文档内容
绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题
卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好
条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在
本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
ì 5ü
1. 设集合A={-2,-1,0,1,2},B=íx∣0£ x< ý，则A I B=（ ）
î 2þ
A. 0,1,2 B. {-2,-1,0} C. {0,1} D. {1,2}
2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让
他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正
确率如下图：
则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
第1页 | 共7页C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3. 若z =1+i．则|iz+3z |=（ ）
A. 4 5 B. 4 2 C. 2 5 D. 2 2
4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为
（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
æ πö π
5. 将函数 f(x)=sin ç wx+ ÷ (w>0)的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对
è 3ø 2
称，则w的最小值是（ ）
1 1 1
1
A. B. C. D.
6 4 3 2
6. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是
4的倍数的概率为（ ）
1 1 2 2
A. B. C. D.
5 3 5 3
é π πù
7. 函数y = 3x -3-x cosx在区间 ê - , ú 的图象大致为（ ）
ë 2 2û
第2页 | 共7页A. B.
C. D.
b
8. 当x=1时，函数 f(x)=alnx+ 取得最大值-2，则 f¢(2)=（ ）
x
1
1
A. -1 B. - C. D. 1
2 2
9. 在长方体ABCD-ABCD 中，已知BD与平面ABCD和平面AABB所成的角均为30°，则（ ）
1 1 1 1 1 1 1
A. AB=2AD B. AB与平面ABC D所成的角为30°
1 1
C. AC =CB D. BD与平面BBCC所成的角为45°
1 1 1 1
10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 和S ，体积分别为
甲 乙
S V
V 和V ．若 甲 =2，则 甲 =（ ）
甲 乙 S V
乙 乙
5 10
A. 5 B. 2 2 C. 10 D.
4
x2 y2 1
11. 已知椭圆C: + =1(a >b>0)的离心率为 ，A,A 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶
a2 b2 3 1 2
uuur uuuur
点．若BA ×BA =-1，则C的方程为（ ）
1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + y2 =1
18 16 9 8 3 2 2
12. 已知9m =10,a =10m -11,b=8m -9，则（ ）
A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a
第3页 | 共7页二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 已知向量av =(m,3),b v =(1,m+1)．若a r ^b r ，则m=______________．
14. 设点M在直线2x+ y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在 e M 上，则 e M 的方程为______________．
x2 y2
15. 记双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y =2x与C无公共点”的e的一
a2 b2
个值______________．
AC
16. 已知 ABC中，点D在边BC上，ÐADB =120°,AD = 2,CD = 2BD．当 取得最小值时，
V
AB
BD=________．
三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机
调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
n(ad-bc)2
附：K2 = ，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P K2…k 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
2S
18. 记S 为数列 a 的前n项和．已知 n +n=2a +1．
n n n n
（1）证明：
a
是等差数列；
n
（2）若a ,a ,a 成等比数列，求S 的最小值．
4 7 9 n
第4页 | 共7页19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8
（单位：cm）的正方形，V EAB,
V
FBC,
V
GCD,
V
HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面
ABCD垂直．
（1）证明：EF //平面ABCD；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
20. 已知函数 f(x)= x3-x,g(x)= x2 +a，曲线y= f(x)在点 x, f x 处的切线也是曲线y = g(x)的切
1 1
线．
（1）若x =-1，求a；
1
（2）求a的取值范围．
21. 设抛物线C: y2 =2px(p>0)的焦点为F，点Dp,0 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD
垂直于x轴时， MF =3．
（1）求C的方程；
（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为a,b．当a-b
取得最大值时，求直线AB的方程．
（二）选考题：共 10分.请考生在第 22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
ì 2+t
ïx=
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为í 6 （t为参数），曲线C 的参数方程为
1 2
ï
îy = t
第5页 | 共7页ì 2+s
ïx=-
í 6 （s为参数）．
ï
îy =- s
（1）写出C 的普通方程；
1
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cosq-sinq=0，
3
求C 与C 交点的直角坐标，及C 与C 交点的直角坐标．
3 1 3 2
[选修 4-5：不等式选讲]
23. 已知a，b，c均为正数，且a2 +b2 +4c2 =3，证明：
（1）a+b+2c£3；
1 1
（2）若b=2c，则 + ³3．
a c
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