秘密★启用前
2024 年增城区初中毕业生学业综合测试试题（一）
九年级数学
（本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答
题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置
上，涉及作图的题目，用于2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后
的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修改带．不按以上要求作答的答案
无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5．考试时不可使用计算器．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1
1. 在实数−1， 3，2，3.14中，无理数是（ ）
1
A. −1 B. 3 C. D. 3.14
2
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的特征，即可解答．
1
【详解】解：在实数−1，
3
， ，3.14中，无理数是
3
，
2
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
第1页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解： A，B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，所以是轴对称图形．
D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴
对称图形；
故选：D．
3. 已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ）
A. 0.244×108米 B. 2.44×106米 C. 2.44×107米 D. 24.4×106米
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将数24400000米用科学记数法表示是2.44×107米．
故选：C．
4. 某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项
参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）．
1 1 1
1
A. B. C. D.
2 4 6 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意直接根据概率公式，即可求解．
1
【详解】解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是 ,
4
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）．
( )3
A. x2⋅x4 = x6 B. x3+x5 = x8 C. x2 = x5 D. 3 5− 5 =3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，二次根式的加减运算，根据以上
第2页/共22页
学科网（北京）股份有限公司运算法则进行运算即可求解．
【详解】解：A. x2⋅x4 = x6，故该选项正确，符合题意；
B. x3+x5 ≠ x8，故该选项不正确，不符合题意；
( )3
C. x2 = x6，故该选项不正确，不符合题意；
D. 3 5− 5 =2 5 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
6. 如图，在Y ABCD中，E为AD的中点，连接BE ，交AC于点F ，则AF :CF等于（ ）
A. 1︰3 B. 2︰3 C. 2︰5 D. 1︰2
【答案】D
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，证出 AEF∽△CBF，然后利用其对应边成比例即可求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， △
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AF：CF=AE：BC，
∵点E为AD的中点，
1 1
∴AE= AD= BC，
2 2
∴AF：CF=1：2；
故选D．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明
三角形相似是解决问题的关键．
7. 已知关于x的方程x2 −( 2m−1 ) x+m2 =0有实数根，则m的取值范围是（ ）．
1 1 1 1
A. m≥ B. m≤ C. m≥− D. m≤−
4 4 4 4
【答案】B
【解析】
第3页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得∆=( 2m−1 )2 −4m2 ≥0，解不等式，即可求
解．
【详解】解：依题意得，∆=( 2m−1 )2 −4m2 ≥0
即−4m+1≥0
1
解得m≤
4
故选：B．
8. 如图，在ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将ABC绕点 A 旋转到△AB′C′的位置，使得
CC′∥AB，则∠BAB′等于（ ）
A. 30 B. 35° C. 40° D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，
AC = AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB=70°，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和
定理求∠CAC′．
【详解】解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC = AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°−2∠C′CA=40°．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为
旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质．
9. 如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB ⊥CD，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的切
线AM 相交于点P，连接AC．若O的半径为5，AC =8，则AP的长是（ ）．
第4页/共22页
学科网（北京）股份有限公司32 40
A. B. 13 C. D. 14
3 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，正切的定义，直径所对的圆周角是直角；连接BC，勾股定理求得BC，
3
进而求得tan∠CAB= ，根据切线的性质得出∠BAP=90°，根据同弧所对的圆周角相等，进而得出
4
∠APB =∠CAB，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图，连接BC，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°
∵O的半径为5，AC =8，则AB=10
∴BC = AB2 −AC2 = 102 −82 =6
BC 3
∴tan∠CAB= =
AC 4
∵AP是过点A的切线，则AB⊥ AP
∵ AD = AD
∴?ACD ?ABP
∴∠APB =∠CAB
AB 3
∴tan∠APB=tan∠CAB，即 =
AP 4
4×10 40
∴AP= =
3 3
故选：C．
第5页/共22页
学科网（北京）股份有限公司10. 已知二次函数y =a ( x−1 )2 −a(a≠0)，当−1≤ x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为（ ）．
1 4 4 1
A. 1 或4 B. − 或− C. − 或4 D. − 或4
2 2 3 3 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数y =a ( x−1 )2 −a ( a ≠0 )的对称轴为：直线x=1，
（1）当a>0时，当−1≤ x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤ x≤4，y随x的增大而增大，
∴ 当x=1时，y取得最小值，
∴ y =a(1−1)2 −a =−4，
∴a =4；
（2）当a<0时，当−1≤ x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤ x≤4，y随x的增大而减小，
∴ 当x=4时，y取得最小值，
∴ y =a(4−1)2 −a =−4，
1
∴a=− ．
2
故选：D．
第二部分 非选择题（共 90分）
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分．）
11. 分解因式：a2 −2a=_______．
【答案】a ( a−2 )
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式a即可求解．
【详解】解：a2 −2a= a ( a−2 ) ，
故答案为：a ( a−2 ) ．
12. 已知点A(x，y )，B(x，y )在直线y =−3x+5上，且x > x ，则y _______y ·（填“<”“>”
1 1 2 2 1 2 1 2
或“=”）
【答案】<
【解析】
第6页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当k <0时，y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵−3<0，
∴y随x的增大而减小，
∵x > x ，
1 2
∴y < y ．
1 2
故答案为：<．
13. 某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率
为x，则可列方程为______．
【答案】25(1+x)2 =36
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司营业额的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次
方程，即可求解．
【详解】解：设该公司营业额的月平均增长率为x，根据题意得，25(1+x)2 =36，
故答案为：25(1+x)2 =36．
14. 抛物线y =ax2 +bx+c ( a ≠0 ) 的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为 (−3,0 ) ，对称轴为
x=−1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______．
( )
【答案】 1,0
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案．
【详解】解：抛物线y =ax2 +bx+c ( a ≠0 ) 其与x轴的一个交点坐标为 (−3,0 ) ，对称轴为x=−1，
( )
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 1,0 ，
第7页/共22页
学科网（北京）股份有限公司( )
故答案为： 1,0 ．
【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛
物线对称轴对称．
15. 如图，数轴上点A、B表示的数分别为m、n，化简： m−n − m2 =_______．
【答案】n
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值；根据数轴可得m<0<n，进而根据绝
对值的意义，二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：根据数轴可得m<0<n，
∴ m−n − m2 = n−m−(−m )=n−m+m=n，
故答案为：n．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD =8cm，∠ABC =60°，点P为线段AD的中
点．动点E从点A开始沿边AD以1cm/s的速度运动至点P，动点F 从点C开始沿边CB以2cm/s的速
度运动至点B．点E、F 同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点C关
于直线EF 的对称点C′，在点E从点A运动到点P的过程中，点C′的运动路径长为______cm．
32 3
【答案】 π
9
【解析】
【分析】连接AC,BP，延长BA,CP交于点T ，设AC,EF交于点O，证明AEO∽CFO得出
2 2 8 3
CO= AC = ×4 3 = ，进而得出当点E点运动到点P时，点F 运动到点B，此时EF 与BP重
3 3 3
合，则C′与点T 重合，则C′的运动轨迹为C BT ，根据弧长公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AC,BP，延长BA,CP交于点T ，设AC,EF交于点O
第8页/共22页
学科网（北京）股份有限公司∵在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD =8cm，∠ABC =60°，点P为线段AD的中点．
∴AB= AP=4，DP= DC =4，∠D=∠ABC =60°
∴PC = PA= PD=4
∴∠ACD=90°，
∵AB∥CD，
∴AC ⊥ AB，
3
∴AC = BC⋅sin60°=8× =4 3，
2
∵∠PCD=60°
∴∠PCB=60°=∠ABC
∴TBC是等边三角形，
∵动点E从点A开始沿边AD以1cm/s的速度运动至点P，动点F 从点C开始沿边CB以2cm/s的速度
运动至点B
AE 1
∴ =
CF 2
∵AE∥CF
∴AEO∽CFO
AO AE 1
∴ = =
CO CF 2
2 2 8 3
∴CO= AC = ×4 3 =
3 3 3
∵AB= AP，∠BAD=120°
∴∠ABP=30°
∴∠TBP=∠CBP=30°
∴BP⊥TC，BP过点O，
∴点O是TBC的外心，
第9页/共22页
学科网（北京）股份有限公司∴∠TOC =2∠TBC =120°，
∵点C关于直线EF 的对称点C′，
8 3
∴OC′=OC = ，
3
∴当点E点运动到点P时，点F 运动到点B，此时EF 与BP重合，则C′与点T 重合，则C′的运动轨迹
为C BT
240 8 3 32 3
∴点C′的运动路径长为 π× = π
180 3 9
32 3
故答案为： π．
9
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
x+ y =5
17. 解方程组： ．
2x− y =4
x=3
【答案】 ．
y =2
【解析】
【分析】利用加减消元将方程组化简成一元一次方程，即可得解其一，再将其代入任意一个方程即可得
解．
x+ y =5
【详解】解：
2x− y =4
上下两方程相加，得3x =9，解得x=3．
把x=3代入x+ y =5中，得y=2．
x=3
．
y =2
【点睛】本题考查了解二元一次方程组；关键在于能利用加减消元或者代入消元的方法将其转化成一元一
次方程的形式．
18. 如图，已知∠B=∠C，AD平分∠BAC，
求证：△ABD≌△ACD．
第10页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出
∠BAD=∠CAD，根据AAS即可证出答案．
【详解】证明：AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和ACD中
∠B=∠C
∠BAD=∠CAD，
AD= AD
∴ABD≌ACD ( AAS ) ．
19. 春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10
位游客一天使用共享电动车的次数如下：
使用次数 0 2 3 4 6
人数 2 4 1 2 1
（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 ，众数为 ，平均数
为 ．
（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电
动车的总次数．
【答案】（1）2，2，2.5
（2）3000
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．
（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；
（2）用总人数乘以游客1天内使用共享电动车的次数的平均数，即可．
【小问1详解】
第11页/共22页
学科网（北京）股份有限公司2+2
解：这10位游客1天内使用共享电动车的次数的中位数是 =2，众数是2，平均数是
2
1
×( 0×2+2×4+3×1+4×2+6×1 )=2.5
10
故答案为：2，2，2.5．
【小问2详解】
估计这些游客在春节期间每天使用共享电动车的总次数为1200×2.5=3000（次）
20. 已知T =(a−b)2 −a(a+b)−b2．
（1）化简T ；
（2）若a，b是方程x2 +x−6=0的两个根，求T 的值．
【答案】（1）−3ab
（2）18
【解析】
【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系；
（1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果；
（2）利用根与系数的关系求出ab的值，代入计算即可求出值．
【小问1详解】
解：T =(a−b)2 −a(a+b)−b2
=a2 −2ab+b2 −a2 −ab−b2
=−3ab；
【小问2详解】
解：∵a，b是方程x2 +x−6=0的两个根，
∴ab=−6
∴T
=−3×(−6 )=18
21. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学
们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多 5 元，且用 200 元购买绿萝的盆数与用
300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元
（2）购买吊兰的数量最多为17盆
第12页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
200 300
【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为 ( x+5 ) 元，然后可得方程为 = ，进
x x+5
而求解即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，然后可列不等式进行求解．
【小问1详解】
解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为 ( x+5 ) 元，由题意得：
200 300
= ，
x x+5
解得：x=10，
经检验：当x=10时，则x ( x+5 )≠0，
∴x=10是原方程的解，
∴x+5=15，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；
【小问2详解】
解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，由（1）及题意得：
10×2m+15m≤600，
120
解得：m≤ ，
7
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是
解题的关键．
22. 如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=4，OB=2，反比例函数
k
y = ( k ≠0 )，在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
x
第13页/共22页
学科网（北京）股份有限公司（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式：
（2）若点N 为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M ，使以点A、M 、C、
N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
12
【答案】（1）点C的坐标为 ( 6,2 ) ； y =
x
（2）存在，M ( 0,−3 ) 或M ( 0,−11 ) 或M ( 0,11 )
【解析】
【分析】（1）过点C作CE ⊥ x轴于点E，证明AOB≌BEC，根据全等三角形的性质分别求出BE、
CE，求出点C的坐标，进而求出反比例函数解析式；
3
（2）过点D作DF ⊥ y轴于点F ，同（1）得出点D的坐标，进而求得OD的解析式，设Nn, n，
2
( ) ( ) ( )
M 0,m ，又A 0,4 ，C 6,2 ，根据AC,AM,AN分别为对角线，根据中点坐标公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点C作CE ⊥ x轴于点E，
则∠BEC =90°，
四边形ABCD为正方形，
∴AB= BC，∠ABC =90°，
∴∠OBA+∠EBC =90°，
∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
在AOB和BEC中，
∠OAB=∠EBC，∠AOB=∠BEC，AB= BC，
∴AOB≌BEC ( AAS ) ，
∴BE =OA=4，CE =OB=2，
∴OE =OB+BE =6，
第14页/共22页
学科网（北京）股份有限公司∴点C的坐标为 ( 6,2 ) ，
k
将点C的坐标为 ( 6,2 ) 代入y = ，
x
得k =12，
12
∴反比例函数的关系式为y = ；
x
【小问2详解】
解：如图所示，过点D作DF ⊥ y轴于点F ，
同（1）可得ADF≌BAO，
∴DF =OA=4,AF =OB=2
( )
∴D 4,6
设直线OD的解析式为y =kx，则6=4k
3
解得：k = ，
2
∵点N 为直线OD上的一动点（不与点O重合），点M 在y轴
3
( ) ( ) ( )
设Nn, n，M 0,m ，又A 0,4 ，C 6,2
2
0+6 n+0
=
2 2
①当AC为对角线时， 3
4+2
n+m
2
=
2 2
解得：m=−3， 则M ( 0,−3 )
n+6
0=
2
当AM 为对角线时， 3
4+m
n+2
2
=
2 2
解得：m=−11， 则M ( 0,−11 )
第15页/共22页
学科网（北京）股份有限公司0+6 n+0
=
2 2
当AN为对角线时， 3
m+2
n+4
2
=
2 2
( )
解得：m=11，则M 0,11
综上所述：以点A、M 、C、N 为顶点的四边形是平行四边形时，M ( 0,−3 ) 或M ( 0,−11 ) 或
( )
M 0,11 ．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定
和性质、平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图，在ABC中，∠C是钝角．
（1）尺规作图：在AB上取一点O，以O为圆心，作出O，使其过A、C两点，交AB于点D，连接
CD；（不写作法，保留作图痕迹）
1
（2）在（1）所作的图中，若∠BCD=∠A，tanA= ，BC =9．
3
①求证：BC是O的切线；
②求弦AC的长．
36 10
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
5
【解析】
【分析】（1）作出线段AC的垂直平分线确定圆心，再作出圆即可求解；
（2）①连接OC，得出∠OAC =∠OCA，根据∠ACO+∠OCD=90°，结合已知条件得出
∠BCD+∠OCD =90°，即可得证；
BC BD CD 1
②先证明△BCD∽△BAC，得到 = = = ，再利用勾股定理即可求解．
BA BC AC 3
【小问1详解】
解：点D如图所示：
第16页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
①证明：如图所示，连接OC，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACO+∠OCD=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC =∠OCA，
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD=∠ACO，
∴∠BCD+∠OCD =90°，
即∠OCB=90°，
又OC是半径，
∴BC是O的切线；
②如图，
∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
第17页/共22页
学科网（北京）股份有限公司BC BD CD
∴ = = ，
BA BC AC
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°
CD 1
∵tan∠A= = ，
AC 3
BC BD CD 1
∴ = = =
BA BC AC 3
∵BC =9，
∴BA=27，BD=3，
∴AD= AB−BD=24，
∵∠ACD=90°
2
1
∴AC2 + AC =242，
3
36 10
∴AC = ．
5
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定
理等知识，解题关键是正确作图并得出相似．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y = x2 +2mx−2m+1 （m是常数），顶点为M ．
（1）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（2）已知点A(−2m−2，2)，当点A不在y轴上时，点A关于x轴的对称点为点B，分别过点A、B作y
轴的垂线，垂足分别为D、C，连接AB，得到矩形ABCD．
①当m>−1时，点M 到边AB所在直线的距离等于点M 到x轴的距离，求m的值；
②当m<−1时，抛物线的一部分经过矩形ABCD的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标y随着x的增大
而减小，求m的取值范围．
【答案】（1）x=−m
−3+ 5 −1+ 13 7 3
（2）①m= 或；m= ；②m≤− 或−2≤m<−
2 2 2 2
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与矩形的综合应用；
（1）化为顶点式，求解即可；
（2）①分两种情况，顶点M 在x上方或下方时，根据题意，列出关于m的方程，求解即可；
第18页/共22页
学科网（北京）股份有限公司②分为两种情况，当点A分别在对称轴的左右两侧时，根据题意，列出不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：y = x2 +2mx−2m+1
=( x+m )2 −m2 −2m+1
∴抛物线的对称轴为直线x=−m，
【小问2详解】
解：①y = x2 +2mx−2m+1
=( x+m )2 −m2 −2m+1
∴M ( −m,−m2 −2m+1 )
M 到x轴的距离为 −m2 −2m+1
点M 到边AB所在直线的距离d = −m−(−2m−2 ) = m+2
∵m>−1
∴m+2>0，即d =m+2
当−m2 −2m+1>0时，−m2 −2m+1=m+2
−3+ 5 −3− 5
解得m= 或m= （舍去）
2 2
当−m2 −2m+1<0时，m2 +2m−1=m+2
−1+ 13 −1− 13
解得m= 或m= （舍去）
2 2
−3+ 5 −1+ 13
则m= 或；m= ；
2 2
②由题意可得：B
(−2m−2,−2 )
当x=−2m−2时，y =(−2m−2 )2 +2m (−2m−2 )−2m+1=2m+5
当点A分别在对称轴的左侧时，如下图：
第19页/共22页
学科网（北京）股份有限公司−m≥(−2m−2 )
3
此时需要满足的条件为： ，解得−2≤m<−
2m+5<2 2
当点A分别在对称轴的右侧时，如下图：
−m<(−2m−2 )
7
此时需要满足的条件为： ，解得m≤−
2m+5≤−2 2
7 3
综上：m≤− 或−2≤m<−
2 2
25. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AC =6，点D在边BC的延长线上，将线段CD绕点D逆时针旋
转90°得到线段DE，连接BE ，P为BE 的中点．
（1）求BC 的长；
（2）连接AP ，PD，请猜想AP与PD的数量和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若点M 为AC中点，连接MP，PC，求MP+PC的最小值．
【答案】（1）BC =6 2
（2）AP = PD，AP⊥ PD，证明见解析
（3）3 5
第20页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据勾股定理，即可求解；
（2）连接CE，AP,PD，先证明 A,C,E三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
AP = PD，进而证明A,B,E,D四点共圆，根据圆周角定理，即可得出AP⊥ PD；
（3）过点A作AT ⊥ BC于点T ，先证明A,T,P,D四点共圆，进而得出P点的轨迹，得出TP∥AC，
作点M 关于TP的对称点M′，连接CM′，当P点在CM′上时，PM +PC = PM′+PC =M′C，此时取
的最小值，进而勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：∵在等腰直角三角形ABC中，AC =6，
∴BC = 2AC =6 2 ，
【小问2详解】
结论：AP = PD，AP⊥ PD
证明：如图所示，连接CE，AP,PD，
∵将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，
∴CD= DE,∠CDE =90°，
∴CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE =45°
又∵∠ACB=45°
∴A,C,E三点共线，
∵P为BE 的中点．∠BAE = BDE =90°
1 1
∴PA= BE，PD= PE
2 2
∴PA= PD
∵∠BAE = BDE =90°
第21页/共22页
学科网（北京）股份有限公司∴A,B,E,D四点共圆，
∵ AD = AD ，
∴∠APD=2∠ABC =90°，
【小问3详解】
如图所示，过点A作AT ⊥ BC于点T
∴∠ATD=∠APD=90°
∴A,T,P,D四点共圆，
∴ P D= P D
∴∠DTP=∠DAP=45°，
∴点P在射线TP上运动，
∵∠DTP=∠ACB=45°
∴TP∥AC
作点M 关于TP的对称点M′，连接CM′，当P点在CM′上时，PM +PC = PM′+PC =M′C，此时取
的最小值，
∵ATC是等腰直角三角形，M 是AC的中点，AC =6
1 1
∴TM ⊥ AC，TM = AC =3，MC = AC =3
2 2
∴MM′=6
在RtMM′C中，M′C = MM′2 +MC2 = 62 +32 =3 5
即MP+PC的最小值为3 5．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，直角所对的弦是直径，轴对称的性
质求线段和的最值问题，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
第22页/共22页
学科网（北京）股份有限公司
