2022年高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（湖南）数学高考真题

绝密☆启用前 试卷类型：A 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 本试卷共 4页，22小题，满分 150分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场 号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位 置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答 在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合M ={x∣ x <4}, N ={x∣3x³1}，则M I N =（ ） ì 1 ü     A. x 0£ x<2 B. íx £ x<2ý C. x 3£ x<16 D. î 3 þ ì 1 ü íx £ x<16ý î 3 þ 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合M,N 后可求M ÇN . 1 ì 1 ü 【详解】M ={x∣0£ x<16},N ={x∣x³ }，故M I N =íx £ x<16ý， 3 î 3 þ 故选：D 2. 若i(1-z)=1，则z+z =（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法可求z，从而可求z+z . 1 i 【详解】由题设有1-z = = =-i，故z =1+i，故z+z =1+i+1-i=2， i i2 第1页 | 共23页故选：D 3. 在 V ABC中，点D在边AB上，BD =2DA．记C uu A ur =m r，C uu D ur =n r，则C uu B ur =（ ） r r r r r r A. 3m-2n B. -2m+3n C. 3m+2n D. r r 2m+3n 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． uuur uuur 【详解】因为点D在边AB上，BD =2DA，所以BD=2DA，即 uuur uuur uuur uuur CD-CB=2 CA-CD ， uuur uuur uuur r ur r r 所以CB= 3CD-2CA=3n-2m =-2m+3n． 故选：B． 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水 库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水 面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从 海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（ 7 »2.65）（ ） A. 1.0´109m3 B. 1.2´109m3 C. 1.4´109m3 D. 1.6´109m3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】依题意可知棱台的高为MN =157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的 体积V ． 棱台上底面积S =140.0km2 =140´106m2，下底面积S¢=180.0km2 =180´106m2， 1   1   ∴V = h S +S¢+ SS¢ = ´9´ 140´106 +180´106 + 140´180´1012 3 3   =3´ 320+60 7 ´106 »96+18´2.65´107 =1.437´109 »1.4´109(m3)． 第2页 | 共23页故选：C． 5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C2 =21种不同的取法， 7 若两数不互质，不同的取法有： 2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8 ，共7种， 21-7 2 故所求概率P= = . 21 3 故选：D. æ pö 2p 6. 记函数 f(x)=sin ç wx+ ÷ +b(w>0)的最小正周期为T．若 -1)，因为 f¢(x)= -1=- ， 1+x 1+x 当xÎ(-1,0)时， f¢(x)>0，当xÎ(0,+¥)时 f¢(x)<0， 所以函数 f(x)=ln(1+x)-x在(0,+¥)单调递减，在(-1,0)上单调递增， 1 10 1 1 10 所以 f( )< f(0)=0，所以ln - <0，故 >ln =-ln0.9，即b>c， 9 9 9 9 9 1 9 1 9 - 1 1 1 1 所以 f(- )< f(0)=0，所以ln + <0，故 0，函数h(x)=ex(x2 -1)+1单调递增， 又h(0)=0， 所以当0< x< 2-1时，h(x)<0， 所以当0< x< 2-1时，g¢(x)>0，函数g(x)= xex+ln(1-x)单调递增， 所以g(0.1)> g(0)=0，即0.1e0.1 >-ln0.9，所以a>c 故选：C. 8. 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36p，且 3£l £3 3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） é 81ù é27 81ù é27 64ù A. ê 18, ú B. ê , ú C. ê , ú D. ë 4 û ë 4 4 û ë 4 3 û 第4页 | 共23页[18,27] 【答案】C 【解析】 【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关 系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵ 球的体积为36p，所以球的半径R=3, 设正四棱锥的底面边长为2a，高为h， 则l2 =2a2 +h2，32 =2a2 +(3-h)2, 所以6h=l2，2a2 =l2 -h2 1 1 2 l4 l2 1æ l6 ö 所以正四棱锥的体积V = Sh= ´4a2´h= ´(l2 - )´ = çl4 - ÷， 3 3 3 36 6 9è 36ø 1æ l5 ö 1 æ24-l2 ö 所以V¢= ç4l3- ÷= l3 ç ÷， 9è 6 ø 9 è 6 ø 当3£l £2 6时，V¢>0，当2 6 0得x> 或x<- ， 3 3 3 3 令 f¢(x)<0得- < x< ， 3 3 3 3 3 3 所以 f(x)在(- , )上单调递减，在(-¥,- )，( ,+¥)上单调递增， 3 3 3 3 3 所以x=± 是极值点，故A正确； 3 3 2 3 3 2 3 因 f(- )=1+ >0， f( )=1- >0， f -2=-5<0， 3 9 3 9 æ 3ö 所以，函数 f x 在ç-¥,- ÷上有一个零点， ç ÷ 3 è ø 3 æ 3ö æ 3 ö 当x³ 时， f x³ f ç ÷>0，即函数 f x 在ç ,+¥÷上无零点， ç ÷ ç ÷ 3 è 3 ø è 3 ø 综上所述，函数 f(x)有一个零点，故B错误； 令h(x)= x3 -x，该函数的定义域为R，h-x=-x3 --x=-x3+x=-hx， 则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心， 将h(x)的图象向上移动一个单位得到 f(x)的图象， 所以点(0,1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确； 令 f¢x=3x2 -1=2，可得x=±1，又 f(1)= f -1=1， 当切点为(1,1)时，切线方程为y =2x-1，当切点为(-1,1)时，切线方程为y = 2x+3， 故D错误. 故选：AC . 11. 已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2 =2py(p >0)上，过点B(0,-1)的直线 交C于P，Q两点，则（ ） A. C的准线为y =-1 B. 直线AB与C相切 C. OP × OQ >|OA 2 D. |BP|×|BQ|>|BA|2 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离 第7页 | 共23页公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2 = y，故准线方程为 1 y =- ，A错误； 4 1-(-1) k = =2，所以直线AB的方程为y =2x-1， AB 1-0 ìy =2x-1 联立í ，可得x2 -2x+1=0，解得x=1，故B正确； îx2 = y 设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点， 所以，直线l的斜率存在，设其方程为y =kx-1，P(x ,y ),Q(x ,y )， 1 1 2 2 ìy =kx-1 联立í ，得x2 -kx+1=0， îx2 = y ìΔ=k2 -4>0 ï 所以í x +x =k ，所以k >2或k <-2，y y =(x x )2 =1， 1 2 1 2 1 2 ï x x =1 î 1 2 又|OP|= x2 + y2 = y + y2 ，|OQ|= x2 + y2 = y + y2 ， 1 1 1 1 2 2 2 2 所以|OP|×|OQ|= y y (1+ y )(1+ y ) = kx ´kx =|k |>2=|OA|2，故C正确； 1 2 1 2 1 2 因为|BP|= 1+k2 |x |，|BQ|= 1+k2 |x |， 1 2 所以|BP|×|BQ|=(1+k2)|x x |=1+k2 >5，而|BA|2=5，故D正确. 1 2 故选：BCD æ3 ö 12. 已知函数 f(x)及其导函数 f¢(x)的定义域均为R，记g(x)= f¢(x)，若 f ç -2x ÷， è2 ø g(2+x)均为偶函数，则（ ） æ 1ö A. f(0)=0 B. g ç - ÷ =0 C. f(-1)= f(4) D. è 2ø g(-1)= g(2) 【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性 质逐项判断即可得解. æ3 ö 【详解】因为 f ç -2x ÷，g(2+x)均为偶函数， è2 ø 第8页 | 共23页æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ3 ö 所以 f ç -2x ÷ = f ç +2x ÷即 f ç -x ÷ = f ç +x ÷，g(2+x)= g(2-x)， è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø 所以 f 3-x= f x ，g(4-x)= g(x)，则 f(-1)= f(4)，故C正确； 3 函数 f(x)，g(x)的图象分别关于直线x= ,x=2对称， 2 又g(x)= f¢(x)，且函数 f(x)可导， æ3ö 所以g ç ÷ =0,g3-x=-gx ， è2ø 所以g(4-x)= g(x)=-g3-x ，所以g(x+2)=-g(x+1)= gx ， æ 1ö æ3ö 所以g ç - ÷ = g ç ÷ =0，g-1= g1=-g2 ，故B正确，D错误； è 2ø è2ø 若函数 f(x)满足题设条件，则函数 f(x)+C（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 f(x)的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函 数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解. 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分． æ yö 13. ç 1- ÷ (x+ y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用数字作答）． è xø 【答案】-28 【解析】 æ yö y 【分析】ç 1- ÷ x+ y8 可化为x+ y8 - x+ y8 ，结合二项式展开式的通项公式求 è xø x 解. æ yö y 【详解】因为ç 1- ÷ x+ y8 =x+ y8 - x+ y8 ， è xø x æ yö y 所以ç 1- ÷ x+ y8 的展开式中含x2y6的项为C6x2y6 - C5x3y5 =-28x2y6， è xø 8 x 8 æ yö ç 1- ÷ x+ y8 的展开式中x2y6的系数为-28 è xø 故答案为：-28 14. 写出与圆x2 + y2 =1和(x-3)2 +(y-4)2 =16都相切的一条直线的方程 ________________． 第9页 | 共23页3 5 7 25 【答案】y =- x+ 或y = x- 或x=-1 4 4 24 24 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】圆x2 + y2 =1的圆心为O0,0 ，半径为1，圆(x-3)2 +(y-4)2 =16的圆心O 1 为(3,4)，半径为4， 两圆圆心距为 32 +42 =5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 4 3 3 当切线为l时，因为k = ，所以k =- ，设方程为y =- x+t(t >0) OO 1 3 l 4 4 |t| d = =1 5 3 5 O到l的距离 9 ，解得t = ，所以l的方程为y =- x+ ， 1+ 4 4 4 16 当切线为m时，设直线方程为kx+ y+ p=0，其中 p >0，k <0， ì p ì 7 ï =1 k =- ï 1+k2 ï ï 24 7 25 由题意í ，解得í ，y = x- 3k+4+ p 25 24 24 ï ï =4 p= ï î 1+k2 ïî 24 当切线为n时，易知切线方程为x=-1， 3 5 7 25 故答案为：y =- x+ 或y = x- 或x=-1. 4 4 24 24 第10页 | 共23页15. 若曲线 y =(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ________________． 【答案】 -¥,-4È0,+¥ 【解析】 【分析】设出切点横坐标x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到 0 关于x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围. 0 【详解】∵ y =(x+a)ex，∴y¢=(x+1+a)ex， 设切点为 x ,y  ,则y =x +aex 0 ,切线斜率k =x +1+aex 0, 0 0 0 0 0 切线方程为：y-x +aex 0 =x +1+aex 0 x-x  , 0 0 0 ∵切线过原点，∴-x +aex 0 =x +1+aex 0 -x  , 0 0 0 整理得：x2 +ax -a=0, 0 0 ∵切线有两条，∴ =a2 +4a>0,解得a<-4或a>0, n ∴a的取值范围是 -¥,-4È0,+¥ , 故答案为： -¥,-4È0,+¥ x2 y2 16. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F ，F ，离心率 a2 b2 1 2 为 1 ．过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE |=6，则 ADE的周长是 2 1 2 V ________________． 【答案】13 【解析】 x2 y2 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 + =1，即3x2 +4y2 -12c2 =0，根据离 4c2 3c2 心率得到直线AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE 2 的方程：x= 3y-c，代入椭圆方程3x2 +4y2 -12c2 =0，整理化简得到： 13 13 13y2 -6 3cy-9c2 =0，利用弦长公式求得c= ，得a=2c= ，根据对称性将 8 4 ADE的周长转化为△F DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13. V 2 c 1 【详解】∵椭圆的离心率为e= = ，∴a=2c，∴b2 =a2 -c2 =3c2，∴椭圆的方程 a 2 第11页 | 共23页x2 y2 为 + =1，即3x2 +4y2 -12c2 =0，不妨设左焦点为F ，右焦点为F ，如图所 4c2 3c2 1 2 p 示，∵AF =a，OF =c，a=2c，∴ÐAFO= ，∴△AFF 为正三角形，∵过F 且 2 2 2 3 1 2 1 垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF 的垂直平分线，∴直线DE的斜 2 2 3 率为 ，斜率倒数为 3， 直线DE的方程：x= 3y-c，代入椭圆方程 3 3x2 +4y2 -12c2 =0，整理化简得到：13y2 -6 3cy-9c2 =0，  2 判别式 = 6 3c +4´13´9c2 =62´16´c2， n ∴ CD = 1+  3 2 y - y =2´ n =2´6´4´ c =6， 1 2 13 13 13 13 ∴ c= ， 得a=2c= ， 8 4 ∵DE为线段AF 的垂直平分线，根据对称性，AD= DF，AE = EF ，∴ ADE的周 2 2 2 V 长等于△F DE的周长，利用椭圆的定义得到△F DE周长为 2 2 DF + EF + DE = DF + EF + DF + EF = DF + DF + EF + EF =2a+2a=4a=13 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 . 故答案为：13. 四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． ìS ü 1 17. 记S 为数列 a  的前n项和，已知a =1,í ný是公差为 的等差数列． n n 1 î a þ 3 n 第12页 | 共23页（1）求 a  的通项公式； n 1 1 1 （2）证明： + + L + <2． a a a 1 2 n nn+1 【答案】（1）a = n 2 （2）见解析 【解析】 S 1 n+2 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 n =1+ n-1= ，得到 a 3 3 n n+2a S = n ，利用和与项的关系得到当n³2时， n 3 n+2a n+1a a n+1 a =S -S = n - n-1 ,进而得： n = ，利用累乘法求得 n n n-1 3 3 a n-1 n-1 nn+1 nn+1 a = ，检验对于n=1也成立，得到 a  的通项公式a = ； n 2 n n 2 1 1 1 æ 1 ö （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 + + L + =2 ç 1- ÷，进而证得. a a a è n+1ø 1 2 n 【小问1详解】 S ∵a =1，∴S =a =1,∴ 1 =1, 1 1 1 a 1 ìS ü 1 又∵í ný是公差为 的等差数列， î a þ 3 n S 1 n+2 n+2a ∴ n =1+ n-1= ,∴S = n , a 3 3 n 3 n n+1a ∴当n³2时，S = n-1 ， n-1 3 n+2a n+1a ∴a =S -S = n - n-1 , n n n-1 3 3 整理得： n-1a =n+1a , n n-1 a n+1 即 n = , a n-1 n-1 a a a a ∴a =a ´ 2 ´ 3 ´¼´ n-1 ´ n n 1 a a a a 1 2 n-2 n-1 第13页 | 共23页3 4 n n+1 nn+1 =1´ ´ ´¼´ ´ = ， 2 3 n-2 n-1 2 显然对于n=1也成立， nn+1 ∴ a  的通项公式a = ； n n 2 【小问2详解】 1 2 æ1 1 ö = =2 ç - ÷ , a nn+1 èn n+1ø n 1 1 1 éæ 1ö æ1 1ö æ1 1 öù æ 1 ö ∴ + + L + =2 êç 1- ÷ + ç - ÷ + Lç - ÷ú =2 ç 1- ÷ <2 a a a ëè 2ø è2 3ø èn n+1øû è n+1ø 1 2 n cosA sin2B 18. 记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 = ． V 1+sinA 1+cos2B 2p （1）若C = ，求B； 3 a2 + b2 （2）求 的最小值． c2 π 【答案】（1） ； 6 （2）4 2-5． 【解析】 cosA sin2B 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 = 化成 1+sinA 1+cos2B π cosA+B=sinB，再结合0< B< ，即可求出； 2 π π a2 + b2 （2）由（1）知，C = +B，A= -2B，再利用正弦定理以及二倍角公式将 2 2 c2 2 化成4cos2 B+ -5，然后利用基本不等式即可解出． cos2 B 【小问1详解】 cosA sin2B 2sinBcosB sinB 因为 = = = ，即 1+sinA 1+cos2B 2cos2 B cosB 1 sinB=cosAcosB-sinAsinB=cosA+B=-cosC = ， 2 π π 而0< B< ，所以B= ； 2 6 第14页 | 共23页【小问2详解】 π π 由（1）知，sinB=-cosC >0，所以 6.635， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. 【小问2详解】 P(B| A) P(B| A) P(AB) P(A) P(AB) P(A) (i)因为R= × = × × × ， P(B| A) P(B| A) P(A) P(AB) P(A) P(AB) P(AB) P(B) P(AB) P(B) 所以R= × × × P(B) P(AB) P(B) P(AB) P(A|B) P(A|B) 所以R = × ， P(A|B) P(A|B) (ii) 40 10 由已知P(A|B)= ，P(A|B)= ， 100 100 60 90 又P(A|B)= ，P(A|B)= ， 100 100 P(A|B) P(A|B) 所以R= × =6 P(A|B) P(A|B) x2 y2 21. 已知点A(2,1)在双曲线C: - =1(a >1)上，直线l交C于P，Q两点，直线 a2 a2 -1 AP,AQ的斜率之和为0． （1）求l的斜率； （2）若tanÐPAQ =2 2 ，求△PAQ的面积． 【答案】（1）-1； 16 2 （2） ． 9 【解析】 第18页 | 共23页【分析】（1）由点A(2,1)在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设 l: y =kx+m，Px ,y ,Qx ,y  ，再根据k +k =0，即可解出l的斜率； 1 1 2 2 AP BP （2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，再根据 tanÐPAQ =2 2 即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程 求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出 点A到直线PQ的距离，即可得出△PAQ的面积． 【小问1详解】 x2 y2 4 1 因为点A(2,1)在双曲线C: - =1(a >1)上，所以 - =1，解得a2 =2， a2 a2 -1 a2 a2-1 x2 即双曲线C : - y2 =1 2 易知直线l的斜率存在，设l: y =kx+m，Px ,y ,Qx ,y  ， 1 1 2 2 ìy =kx+m ï 联立íx2 可得，  1-2k2 x2 -4mkx-2m2 -2=0， - y2 =1 ï î 2 4mk 2m2 +2 所以，x +x =- ,x x = ， 1 2 2k2 -1 1 2 2k2 -1 D=16m2k2 +4  2m2 +2  2k2 -1  >0Þm2 -1+2k2 >0． y -1 y -1 所以由k +k =0可得， 2 + 1 =0， AP BP x -2 x -2 2 1 即 x -2kx +m-1+x -2kx +m-1=0， 1 2 2 1 即2kx x +m-1-2kx +x -4m-1=0， 1 2 1 2 2m2 +2 æ 4mk ö 所以2k´ +m-1-2k ç - ÷ -4m-1=0， 2k2 -1 è 2k2 -1ø 化简得，8k2 +4k-4+4mk+1=0，即 k+12k-1+m=0， 所以k =-1或m=1-2k， 当m=1-2k时，直线l: y =kx+m=kx-2+1过点A2,1 ，与题意不符，舍去， 故k =-1． 【小问2详解】 不妨设直线PA,PB的倾斜角为a,ba1时， ex -x=b的解的个数、x-lnx=b的解的个数均为2， 构建新函数h(x)=ex +lnx-2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 f x,gx 的大小关系，根据存在直线y =b与曲线y = f x 、y =g(x) 有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列. 【小问1详解】 f(x)=ex -ax的定义域为R，而 f¢(x)=ex -a， 若a£0，则 f¢(x)>0，此时 f(x)无最小值，故a >0. 第20页 | 共23页1 ax-1 g(x)=ax-lnx的定义域为 0,+¥ ，而g¢(x)=a- = . x x 当xlna时， f¢(x)>0，故 f(x)在 lna,+¥ 上为增函数， 故 f(x) = f lna=a-alna. min 1 æ 1ö 当0< x< 时，g¢(x)<0，故g(x)在ç 0, ÷上为减函数， a è aø 1 æ1 ö 当x> 时，g¢(x)>0，故g(x)在ç ,+¥ ÷上为增函数， a èa ø æ1ö 1 故g(x) = g ç ÷ =1-ln . min èaø a 因为 f(x)=ex -ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值， 1 a-1 故1-ln =a-alna，整理得到 =lna，其中a >0， a 1+a a-1 2 1 -a2 -1 设ga= -lna,a >0，则g¢a= - = £0， 1+a 1+a2 a a1+a2 故ga 为 0,+¥ 上的减函数，而g(1) =0， 1-a 故ga=0的唯一解为a =1，故 =lna的解为a =1. 1+a 综上，a =1. 【小问2详解】 1 由（1）可得 f(x)=ex -x和g(x)= x-lnx的最小值为1-ln1=1-ln =1. 1 当b>1时，考虑ex -x=b的解的个数、x-lnx=b的解的个数. 设Sx=ex -x-b，S¢x=ex -1， 当x<0时，S¢x<0，当x>0时，S¢x>0， 故Sx 在 -¥,0 上为减函数，在 0,+¥ 上为增函数， 所以Sx =S0=1-b<0， min 而S-b=e-b >0，Sb=eb -2b， 设ub=eb -2b，其中b>1，则u¢b=eb -2>0， 故ub 在 1,+¥ 上为增函数，故ub>u1=e-2>0， 第21页 | 共23页故Sb>0，故Sx=ex -x-b有两个不同的零点，即ex -x=b的解的个数为2. x-1 设Tx= x-lnx-b，T¢x= ， x 当0< x<1时，T¢(x) <0，当x>1时，T¢x>0， 故Tx 在(0,1) 上为减函数，在 1,+¥ 上为增函数， 所以Tx =T1=1-b<0， min 而T  e-b =e-b >0，T  eb =eb -2b>0， Tx= x-lnx-b有两个不同的零点即x-lnx=b的解的个数为2. 当b=1，由（1）讨论可得x-lnx=b、ex -x=b仅有一个零点， 当b<1时，由（1）讨论可得x-lnx=b、ex -x=b均无零点， 故若存在直线y =b与曲线y = f x 、y =g(x) 有三个不同的交点， 则b>1. 1 设h(x)=ex +lnx-2x，其中x>0，故h¢(x)=ex + -2， x 设sx=ex -x-1，x>0，则s¢x=ex -1>0， 故sx 在 0,+¥ 上为增函数，故sx>s0=0即ex > x+1， 1 所以h¢(x)> x+ -1³2-1>0，所以h(x)在 0,+¥ 上为增函数， x 1 1 2 2 而h(1)=e-2>0，h( )=ee3 -3- x 时，hx>0即ex -x> x-lnx即 f x> gx ， 0 因此若存在直线y =b与曲线y = f x 、y =g(x) 有三个不同的交点， 故b= f x = gx >1， 0 0 此时ex -x=b有两个不同的零点x ,x (x <0< x )， 1 0 1 0 此时x-lnx=b有两个不同的零点x ,x (0< x <1< x )， 0 4 0 4 故ex 1 -x =b，ex 0 -x =b，x -lnx -b=0，x -lnx -b=0 1 0 4 4 0 0 第22页 | 共23页所以x -b=lnx 即ex 4 -b = x 即ex 4 -b -x -b-b=0， 4 4 4 4 故x -b为方程ex -x=b的解，同理x -b也为方程ex -x=b的解 4 0 又ex 1 -x =b可化为ex 1 = x +b即x -lnx +b=0即 x +b-lnx +b-b=0， 1 1 1 1 1 1 故x +b为方程x-lnx=b的解，同理x +b也为方程x-lnx=b的解， 1 0 所以 x ,x =x -b,x -b ，而b>1， 1 0 0 4 ìx = x -b 故í 0 4 即x +x =2x . x = x -b 1 4 0 î 1 0 【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对 参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系. 第23页 | 共23页