2025番禺区中考二模数学试题（答案解析）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_2025中考二模

2025 年九年级数学科综合测试题（二） 【试卷说明】 1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生应将答案全部（涂）写在答 题卡相应位置上，写在本试卷上无效； 2．答题前考生务必将自己的姓名、淮考证号等填（涂）写到答题卡上； 3．作图必须用2B 铅笔，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1. 下面各数中最小的是（ ） 1  A. 7 B. 0 C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正实数大于零，负实数小于零，两个负实数进行比较绝对值大 的反而小即可得解，熟练掌握实数的大小比较方法是解此题的关键． 1 1 1   7 7 7 2 2 2 【详解】解：∵ ， ，且 ， 1 7 0 5 2 ∴ ， 故最小的数为7， 故选：A． 2. 下列AI软件的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个 平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的 第1页/共27页 学科网（北京）股份有限公司180 定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做 中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） a2 a2 a4 a3a2 a6 A. B. a6 a2 a3 (a3)3 a9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算，根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方运算法则逐 项判定即可． a2 a2 2a2 【详解】解：A、 ，故本选项的计算错误； a3a2 a5 B、 ，故本选项的计算错误； a6 a2 a4 C、 ，故本选项的计算错误； (a3)3 a9 D、 ，故本选项的计算正确． 故选：D x y axay a 4. 若 ，且 ，则 的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向， 不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号 a a 0 改变方向，根据题意可知不等式两边同时乘以 之后不等号没有发生改变，则 ． x y axay 【详解】解：∵ ，且 ， a 0 ∴ ， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 第2页/共27页 学科网（北京）股份有限公司故选：B． 5. 某校随机抽取50名学生进行每周课外阅读时间的问卷调查，将调查结果制成频数直方图如图所示（每 组包含最大值，不包含最小值）．估计该校2000名学生中每周阅读时间多于6小时的学生共有（ ） A. 20人 B. 396人 C. 800人 D. 1080人 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了频数直方图，用样本估计总体，先求出每周度数时间为6到8小时的人数，然后 用整体乘以每周阅读时间多于6小时的学生的占比即可得出答案． 501020659 【详解】解：每周度数时间为6到8小时的人数有： 人， 965 2000 800 50 人， ∴该校2000名学生中每周阅读时间多于6小时的学生共有800人， 故选：C． 6. 某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队 胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（ ） 29xx15 29xx15 A. B. 2x9x15 2x9x15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列一元一次方程即可． 9x 9x 2x 【详解】设该队胜了x场，则该队负了 场，胜场得分： 分，负场得分： 分． 因为共得15分， 2x9x15 所以方程应为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 第3页/共27页 学科网（北京）股份有限公司7. 双曲线与直线交于A、B两点，要使反比例函数的值小于一次函数的值，则x的取值范围是（ ） A. x＞3 B. x＜﹣2 C. ﹣2＜x＜0或x＞3 D. x＜﹣2或0＜x＜3 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像可知反比例函数的图象位于一次函数图象的下部的部分的自变量的取值. 【详解】解：由题意得：反比例函数的图象位于一次函数图象的下部的部分， 对应的自变量的取值范围是：﹣2＜x＜0或x＞3． 故选C． 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的性质特点. 8. 如图，在 Rt△ABC 中， ACB90 ， A30 ， CD 是AB边上的高，AB 4，若圆D是以点 D为圆心， 1.4 为半径的圆，那么圆D与直线 AC 的关系是（ ） A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 30 【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含 角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直 1 DH  AD1.5 DH  AC 2 1.51.4 线与圆的位置关系是关键．过点D作 于点H，求出 ，由 即可得到 结论． DH  AC 【详解】解：过点D作 于点H， 第4页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∵在 Rt△ABC 中， ACB90 ， A30 ，AB 4， 1 BC  AB2 ∴ 2 ， AC  AB2 BC2 2 3 ∴ ， 1 1 S  ACBC  ABCD AABC 2 2 ∴ ， ACBC CD  3 ∴ AB ， AD AC2 CD2 3 ∴ 1 DH  AD1.5 2 ∴ 1.51.4 ∵ ， ∴则圆D与直线 AC 的关系是相离． 故选：B． 9. 如图，在等腰三角形 ABC 中， ABC 90 ，D为 AC 边上中点，过D点作 DE  DF 交AB于E， 交 BC 于F ，若AB的长为8，则四边形BFDE的面积为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练 第5页/共27页 学科网（北京）股份有限公司掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键． AEDB≌AFDC 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明 ，结合图 1  S 形得出四边形BFDE的面积 2 AABC ，即可求解． 【详解】解：连接BD，如图所示： 等腰直角三角形 VABC 中，D为 AC 边上中点， BD AC BD CD  AD ABD45 ∴ ， ， ， C 45 ∴ ， ABDC ∴ ， DE  DF 又∵ ， FDCBDF EDBBDF 90 ∴ ， FDC EDB ∴ ， △EDB △FDC 在 和 中，  EBDC   BDCD  EDBFDC  ， AEDB≌AFDCASA ∴ ， 1  S ∴四边形BFDE的面积 2 AABC ， ∵ AB的长为8， AB  BC 8 ∴ ， 1 1 1  S   8816 ∴四边形BFDE的面积 2 ABC 2 2 ， 故选：B． 10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB 4， BC 4 3 ，连接 AC ，以点C为圆心， CD 为半径作弧交 第6页/共27页 学科网（北京）股份有限公司BC 于点E，连接AE．则图中阴影部分的面积为（ ） 4 4 4 2 8 2 4 8 3 2 3 3 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，特殊角的三角函数．熟练掌握矩形的性质，扇形的面 积公式，特殊角的三角函数是解题的关键． ACB30 ACD 利用特殊角的三角函数求出 ，再根据矩形的性质求出 的度数，最后利用阴影部分面 S S S 2S 积 △ACE 扇形D扇C形E ECF 求解即可． 【详解】解：在矩形 ABCD 中，AB 4， BC 4 3 ，BCD90， AB 4 3 tanACB     BC 4 3 3 ， ACBECF 30 ，则 ACDBCDACB903060 ． S S S 2S 阴影部分面积 △ACE 扇形D扇C形E ECF 1 9042 3042  44 2 2 360 360 8 84 3 4 8 3 ． 故选A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） AB//CD c 176 11. 用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知 ， 表示吸管，若 ，则 2______度． 第7页/共27页 学科网（北京）股份有限公司【答案】104 【解析】 【分析】根据对顶角的性质和平行线的性质，可以求得∠3的度数，从而可以得到∠2的度数． AB//CD 【详解】解：∵ ， ∴∠3＋∠2＝180°， ∵∠1＝∠3，∠1＝76°， ∴∠3＝76°， ∴∠2＝180°-76°=104°， 故答案为：104． 【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解 答． 20252 20242  12. ______． 【答案】4049 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的运用．直接利用平方差公式分解即可进行简便计算． 20252 20242 【详解】解： 2025202420252024 40491 第8页/共27页 学科网（北京）股份有限公司 4049 ． 故答案为：4049． 13. 如图，在平行四边形 ABCD 中， ABC 的角平分线交边AD于点E， AEB25 ，则D的度 数是___________． 50 【答案】 【解析】 ABE CBE 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得 ，再 由平行四边形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵BE 平分 ABC ， ABE CBE ∴ ， ABCD ∵四边形 为平行四边形， DABC AD∥BC ∴ ， ， ABE CBE AEB25 ∴ ， DABC ABECBE 50 ∴ ， 50 故答案为： ． x2 3x 3x2 9x20 14. 若 的值为5，则 的值为________ 5 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值的问题，利用了整体代入的思想进行解答是解题的关键；根据题意得到 x2 3x 3 x2 3x 的值，所求式子前两项提取 变形后，将 的值代入求解即可． x2 3x5 【详解】解：∵ ， 3x2 9x203  x2 3x  235205 ∴ ， 5 故答案为： ． ab a★b 15. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆ba2 b2 ， 2 ，则方程 2☆x★ x 6 的解为___________． 第9页/共27页 学科网（北京）股份有限公司x 1 x 4 【答案】 1 ， 2 【解析】 ab x★6 3x 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得： 2☆x22 x2 ， 2 ，由 2☆x★ x 6 可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． ab a★b 【详解】解：∵a☆ba2 b2 ， 2 ， ab x★6 3x ∴ 2☆x22 x2 ， 2 ， 2☆x★ x 6 ∵ ， 22 x2 3x ∴ ， x 1 x 4 解得： 1 ， 2 ， 2☆x★ x 6 x 1 x 4 ∴方程 的解为 1 ， 2 ． x 1 x 4 故答案为： 1 ， 2 ． 16. 如图，在正方形 ABCD 中， AB2，E 是平面内一点， AED45 ，连接DE．过点A作AE的 垂线交直线DE于点P．下列结论：①△△APD≌ AEB ；② EB ED；③当ADE 30时， AE  3 CP 10 2 ；④ 的最小值为 ．其中正确的结论是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判 定，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，可证明△AEP 是等腰直角三角形，得到 AE  AP，∠A∠PE  AEP 45 APD180APE 135 ，则 ，由正方形的性质得到 ABAE≌ADAPSAS AB AD，BAD90 ∠B∠EA DPA135 ，则可证明 ，得到 ，进而得到 第10页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∠B∠E∠D  BEA AED 90 ，据此可判断①②；过点A作AH  DE ，当ADE 30时，则 1 AH AH  AD1 AE   2 2 ，可得 sin∠AEH ，据此可判断③；作△APD 的外接圆，设该外接圆圆心 为O，在优弧AD上取一点G，连接 OA，O，D， AG DG ，可证明 AOD90 ，过点O作OT ^ CD交 CD OP，CP CPOCOP OC CP 延长线于T，连接 ，根据 ，可得当点P在直线 上时， 有最小值，最 OCOP 小值为 的值，据此可判断④． 【详解】解：∵ AE  AP， EAP90 ∴ ， AED45 ∵ ， ∴△AEP 是等腰直角三角形， AE  AP，∠A∠PE  AEP 45 ∴ ， APD180APE 135 ∴ ； ABCD ∵四边形 是正方形， AB AD，BAD90 ∴ ， ∠B∠A∠E  DAP 90 BAP ∴ ， ABAE≌ADAPSAS ∴ ，故①正确 ∠B∠EA DPA135 ∴ ， ∴ ∠B∠E∠D  BEA AED 90 ，即EB ED，故②正确； 如图所示，过点A作AH  DE ， 1 AH  AD1 当ADE 30时，则 2 ， AH AE   2 sin∠AEH ∴ ，故③错误； 如图所示，作△APD 的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧AD上取一点G，连接 OA，O，D， AG DG ， ∠A∠GD 180 APD 45 ∴ ， ∠A∠OD 2 AGD 90 ∴ ， OAOD ∵ ， 第11页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∴OADODA45， OD  ADsin∠OAD  2 ∴ ； 如图所示，过点O作OT ^ CD交 CD 延长线于T，连接 OP，CP ， ∠O∠D∠T  ADT  ODA45 ∴ ， OT ODsin∠O，D∠T 1 DT ODcos ODT 1 ∴ ， CT CDDT 3 ∴ ， OC  OT2 CT2  10 ∴ ； CPOCOP ∵ ， OC CP OCOP 10 2 ∴当点P在直线 上时， 有最小值，最小值为 的值，即最小值为 ，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．） 3x x6①  x31② 17. 求满足不等式组 的所有整数解的和． 5 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小 取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根 据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再得出不等式组 的整数解，求和即可． x3 【详解】解：解不等式①可得： ， 解不等式②可得：x2， 2 x3 ∴不等式组的解集为 ， 第12页/共27页 学科网（北京）股份有限公司∴不等式组的整数解为：1， 0 ，1，2，3, 101235 ∴不等式组的所有整数解的和为 ． VABC D，E AB，AC BDEC 180 18. 如图，在 中，点 分别是边 上的点， ．求证： △△ADE∽ ACB． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中A而公共角，所 ADE C 以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解 ． 【详解】证明：BDEC 180，ADEBDE 180， ADE C， 又∵A为公共角， AADE∽AACB ． a1 a2 4 1 ·  a2 a2 2a1 a2 1 a2 a 1 19. 先化简，再求值： 其中 ． 【答案】a2 a2，1 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可．熟练掌握 分式的乘除法则，是解题的关键． a1 a2a2  · a1a1 a2 a12 【详解】解：原式 a2a1 a2 a2 ； a2 a 1 ∵ ， ∴原式121． 20. 如图，在 VABC 中， ACB90 ， AC  BC ，D为 BC 上一点，且D到A，B两点的距离相等． 第13页/共27页 学科网（北京）股份有限公司（1）用直尺和圆规作出点D的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连结AD，若 AC 3 ， BC 9 ，求 CD的 长． 【答案】（1）图见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理： （1）根据题意，得到点D在线段AB的中垂线上，尺规作出线段AB的中垂线即可； CD x AD BD9x （2）设 ，则 ，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图点D即为所求； 【小问2详解】 如图， ∵点D在线段AB的中垂线上， ∴AD BD， CD x AD BD9x 设 ，则 ， 32 x2 9x2 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得： ， 解得：x4， CD4 ∴ ． 21. 广府文化传承小组为了解中学生对传统艺术的了解情况，随机抽取某校一批学生进行调查，要求他们 从粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术中选择“最感兴趣的一项”．调查结果部分数据如下： 第14页/共27页 学科网（北京）股份有限公司项目 频数 频率 粤剧 30 b 醒獅 45 0.375 广绣 a 0.25 广彩 15 0.125 a  b （1）有上表可得， ___________， ___________，总调查人数为___________人． （2）该校有两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，课程内容从以上四种广府文化项目中任选两个， 请求出两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的概率． 【答案】（1） 30 ， 0.25 ，120 1 （2）2 【解析】 【分析】此题考查了频数分布表，列表法或树状图求概率，熟练掌握以上内容是解题的关键． （1）根据频数，频率，总数之间的关系分别求解即可； （2）先画树状图得到所有都可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 150.125120 解：本次调查的总人数为 （人）， a1200.2530 b301200.25 ∴ ， ． 【小问2详解】 A,B,C,D 解：记粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术分别为： ， 根据题意画树状图如图所示： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，且两个老师 开设的特色课程中有粤剧课程的结果有6种， 第15页/共27页 学科网（北京）股份有限公司6 1 =  P（两个老师开设 的 特色课程中有粤剧课程） 12 2 ． 22. 在《黑神话·悟空》中，“天命人”需要跨越一座被妖雾笼罩的山峰，由于雾气被施法，无法飞行，只 能缓缓爬山，路线示意图如图②，“天命人”从山脚A出发，沿AB走400米到B点，再沿 BC 到山顶 C 点， 已知山高 CF 为384米，BE∥AF ，BD AF ，CEBE交AD的延长线于点F ， 130 ， 250 ．（图中所有点均在同一平面内） （1）求BD的长； C （2）求“天命人”从山脚A点到达山顶 点共走了多少米？（结果精确到0.1米）．（参考数据： sin500.77 cos500.64 tan501.19 ， ， ） 【答案】（1）BD的 长为 200 米 C 639 （2）“天命人”从山脚A点到达山顶 点共走了 米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点 并灵活运用是解此题的关键． 30 （1）由含 角的直角三角形的性质即可得解； （2）证明四边形BDFE为矩形，得出 BD EF 200 米，求出 CE 184 米，解直角三角形得出 BC 239.0 米，即可得解． 【小问1详解】 解：∵BD AF ， ADB90 ∴ ， 130 AB 400 ∵ ， 米， 1 BD AB200 2 ∴ 米， 即BD的长为 200 米； 【小问2详解】 第16页/共27页 学科网（北京）股份有限公司解：∵CEBE，BD AF ， CEBBEF BDF 90 ∴ ， ∵BE∥AF ， AFE CEB 90 ∴ ， ∴四边形BDFE为矩形， BD EF 200 ∴ 米， CF 384 ∵ 米， CE CF EF 184 ∴ 米， Rt△CBE 250 在 中， ， CE 184 BC   239.0 sin50 0.77 ∴ 米， ABBC 639 ∴ 米， C 639 ∴“天命人”从山脚A点到达山顶 点共走了 米． 23. 数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而 改变电路中的电流I ，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：k）与物体质量m（单 6 I  R0 位： kg ）之间的关系如图2所示，电流I （单位：mA）与可变电阻R之间关系为 R3 ． 6 I  R0 （1）小组先探究函数 R3 的图象与性质，并根据I 与R之间关系得到如下表格： Rk 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 6 2 ImA 2 1.5 1.2 p 7 0.75 3 0.6 ．．． p  ①表格中的 ___________； 第17页/共27页 学科网（北京）股份有限公司6 I  R0 ②请在图3中画出 R3 对应的函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，I 随着m的增大而___________；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为 0.2 I 0.4 （单位：mA），判断该电子托盘秤能否称出 2kg 质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】（1）①1；②见解析 2kg （2）增大 （3）该电子托盘秤不能称出质量为 的物体的质量 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 6 I  R 3 R3 （1）①依据题意，将 代入 中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； 24b  R kmb k 0 0,24 3,0 03kb （3）依据题意，设 （ ，b为常数） 将 ， 代入，得 ，求出 6 6 I  I  R 8m24 R3 8m27 k，b后可得 ，再结合 ，进而可以得 ，故可判断得解． 【小问1详解】 6 I  R 3 R3 解：①由题意，将 代入 中， ∴ I 1， p1 ． 故答案为：1． ②图象如下图所示，即为所求． ； 第18页/共27页 学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】 解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 24b  R kmb k 0 为 0,24 3,0 03kb 由题意，设 （ ，b 常数） 将 ， 代入，得 ， k 8  b24 ∴ R 8m24 ∴ ． 6 I  R3 又∵ ， 6 I  8m27 ∴ ． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当I 0.4时， m1.52 ． 2kg ∴该电子托盘秤不能称出质量为 的物体的质量． 24. 已知二次函数 y ax2 bxc 图象的对称轴为直线 x1 ，且与x轴的一个交点为 A3，0 ，与 y 轴交 B0，3 点为 ． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为 OAB 内部一个动点，且 AP3 ，点P关于直线AB的对称点为 P 1，点P关于x轴的对称点 P PP 为 2，问 1 2的距离是定值吗？若为定值，请求出距离：若不是定值，请说明理由； 第19页/共27页 学科网（北京）股份有限公司（3）点 C 为二次函数 y ax2 bxc 与x轴的另一个交点，点 Q 为二次函数 y ax2 bxc 上一点，若 QABOBAOBC Q ，求点 的坐标． yx2 2x3 【答案】（1） PP 3 2 （2） 1 2的距离为定值  2 11  , 2,3   3 9   （3） 或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法和对称轴计算公式计算求解即可； PA P A PA3 P，P， P （2）由轴对称的性质可得 1 2 ，则 1 2都在以A为圆心，半径为3的圆上；可证明 PPP 135 PAP 90 PP  PA2 P A2 3 2 PP 3 2 1 2 ，进而可证明 1 2 ，则 1 2 1 2 ，即 1 2的距离为定值 ； M 1,0 ABOC≌ABOM SAS BM，BC OBC OBM （3）取点 ，连接 ，可证明 ，得到 ，则可证 明 QAB ∠ABM ；当点Q在点B右侧时，可证明 Q 1 A∥BM ；求出直线BM 解析式为 y 3x3 ， y 3x9 x2 x3    AQ y 3x9 y x2 2x3 y 3 y 0 Q 则直线 1解析式为 ，联立 ，解得 或 ，则点 1的坐标为 2,3 L0,1 AL，BQ BL BQ 2 AABL≌AABQ SSS ；取 ，连接 1，则 1 ，可证明 1 ，得到  2 11  ,   ∠L∠AB  Q AB Q  3 9  1 ，则可求出 2的坐标为 ； 【小问1详解】 解：∵二次函数 y ax2 bxc 图象的对称轴为直线 x1 ，且与x轴的一个交点为 A3，0 ，与 y 轴交点 B0，3 为 ， 9a3bc0   b  1 2a  c3  ∴ ， a 1  b2  c3  ∴ ， 第20页/共27页 学科网（北京）股份有限公司yx2 2x3 ∴二次函数解析式为 ； 【小问2详解】 PA P A PA3 解：由轴对称的性质可得 1 2 ， P，P， P ∴ 1 2都在以A为圆心，半径为3的圆上； A3,0，B0,3 ∵ ， OAOB3 ∴ ， AOB90 又∵ ， ∴OABOBA45， PP，AB 设直线 2 交于J， PP⊥A，B∥PP y 由轴对称的性质可得 1 2 轴， ∠A∠JP  ABO 45 ∴ 2 ， ∠JPP 45 ∴ 1 ， PPP 135 ∴ 1 2 ， PP PK，PK 如图所示，在优弧 1 2上取一点K，连接 1 2 ， ∠P∠KP 180 PPP 45 ∴ 1 2 1 2 ， PAP 2PKP 90 ∴ 1 2 1 2 ， PP  PA2 P A2 3 2 ∴ 1 2 1 2 ， PP 3 2 ∴ 1 2的距离为定值 ； 【小问3详解】 M 1,0 BM，BC 解；如图所示，取点 ，连接 ， 第21页/共27页 学科网（北京）股份有限公司yx2 2x3 y x2 2x30 x1 x3 在 中，当 时，解得 或 ， C1,0 ∴ ， ∴OC OM 1， ∠B∠O，C  BOM 90 OB OB 又∵ ， ABOC≌ABOM SAS ∴ ， OBC OBM ∴ ， QABOBAOBC ∵ ， QAB OBAOBM ∠ABM ∴ ； 如图所示，当点Q在点B右侧时， Q AB ∠ABM ∵ 1 ， Q A∥BM ∴ 1 ； y k xb 设直线BM 解析式为 1 1， k b 0 1 1  b 3  ∴ 1 ， k 3 1  b 3  ∴ 1 ， ∴直线BM 解析式为 y 3x3 ， AQ y 3xb ∴可设直线 1解析式为 2， 0 33b ∴ 2， b 9 ∴ 2 ， AQ y 3x9 ∴直线 1解析式为 ， y 3x9 x2 x3    y x2 2x3 y 3 y 0 联立 ，解得 或 ， Q 2,3 ∴点 1的坐标为 ； L0,1 AL，BQ BL BQ 2 如图所示，取 ，连接 1，则 1 ， 第22页/共27页 学科网（北京）股份有限公司AL 032 102  10，AQ  232 302  10 ∵ 1 ， AL AQ ∴ 1， 又∵AB AB， AABL≌AABQ SSS ∴ 1 ， ∠L∠AB  Q AB ∴ 1 ， 1 y  x1 同理可得直线AL解析式为 3 ，  2 x  1   3 y  x1   3 11 x3  y    y x2 2x3  9 y 0 联立 ，解得 或 ，  2 11  ,   Q  3 9  ∴ 2的坐标为 ；  2 11  , 2,3   3 9   综上所述，点Q的坐标为 或 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，圆周角定理，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，两点距 离计算公式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． AB BC CD4，BBCD6090 ABCD 25. 如图1，已知四边形 中， 第23页/共27页 学科网（北京）股份有限公司（1）点E、F 分别是AB、 BC 边上动点，且 BE CF ，连接 CE 与DF，交于点 G ，求 DGE 的度 a 数（用 表示）； 90 （2）当 时， ①点F 是 BC 边上动点，将 VCDF 沿着DF翻折，若点 C 的对应点刚好落在对角线BD上，求此时 CF 的长度； 1 NBC  BAF ②如图2， N 在 CD 上运动，F 在射线 BC 上运动， BN 与AF 交于点M ，且满足 2 ， 5 DPCP P是BM 中点，求 5 的最小值．  【答案】（1） 4 24 （2）① ；②4 【解析】 ABCE≌ACDFSAS CGF B 【分析】（1）证明 ，推出 ，即可求解； ABCD CBD45 BD4 2 （2）①证明四边形 是正方形，得到 ， ，再结合折叠的性质，得到 ABGF 是等腰三角形，即可求解； ②先证得AB AM ，得到 AP  BN ，进而得到点P的运动轨迹是以AB为直径的圆上的一段弧，设 2 OQ 5 AB的中点为O，连接 DO ，如图，在 OD 上取点Q，使 5 ，连接 OP,PQ ，证明 5 5 PQ DP DPCP PQPC CQ APOQ∽ADOP ，得到 5 ，则 5 ，可得当 C,P,Q 三点共线时 5 DPCP PQPC 最小，即 5 最小，然后作辅助线、构建直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ABCE VCDF 解：在 和 中， 第24页/共27页 学科网（北京）股份有限公司BC CD  BFCD  BE CF  ， ABCE≌ACDFSAS ， BEC CFD ， CGF 180BCECFD180BCEBEC B， DGEB； 【小问2详解】 ABCD AB BC CD4，BC 90 解：①在四边形 中， ， 四边形 ABCD 是正方形， CBD45 ，BD BC2 CD2 4 2， 设点C的落点为G，由折叠的性质可知， DG CD4 ，DGF C 90， FG CF ， ABGF 是等腰三角形， BGFG4 24， CF FG4 24； 1 NBC  BAF ②AFB90BAF， 2 ， AFB902NBC， AMBNBCAFB90NBC ， ABM 90NBC， ∴AMBABM ， AB AM ， 连接AP，P是BM 中点， AP  BN ∴ ， ∴点P 的 运动轨迹是以AB为直径的圆上的一段弧， 第25页/共27页 学科网（北京）股份有限公司设AB的中点为O，连接 DO ，如图， 1 AO AB 2 2 OD 22 42 2 5 则 ， ， 2 OQ 5 在 OD 上取点Q，使 5 ，连接 OP,PQ ，则 OP 2 ， 2 5 OQ  5  5 OP  2  5 OP 2 5 OD 2 5 5 ∴ ， ， OQ OP  ∴ OP OD ， POQ DOP 又∵ ， APOQ∽ADOP ∴ ， PQ OQ 5   ∴ PD OP 5 ， 5 PQ DP ∴ 5 ， 5 DPCP PQPC CQ 连接 CQ ，如图，则 5 ， 5 DPCP ∴当 C,P,Q 三点共线时 PQPC 最小，即 5 最小， 第26页/共27页 学科网（北京）股份有限公司QH  AB,QK  BC 作 ，垂足分别为H、K， BKQH OQH ADO 则四边形 是矩形， ， HQ BK,BH QK ∴ ， 2 5 2 2 HOOQsinOQH OQsinADO   OHQ 5 2 5 5 在直角三角形 中， ， 2 5 4 4 HQOQcosOQH OQcosADO   5 2 5 5 ， 2 12 4 16 QK  BH  BOOH 2  CK  BCBK 4  ∴ 5 5 ， 5 5 ， 2 2 12 16 CQ  4     CKQ  5   5  则在直角三角形 中， ， 5 DPCP 即 5 的最小值为4． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、相似三角形 的判定和性质、解直角三角形、勾股定理以及点与圆上距离的最值等知识，比较难的是最后一个小题，正 确作出辅助线、利用相似三角形的性质转化带根号系数的线段是解题的关键. 第27页/共27页 学科网（北京）股份有限公司