文档文本内容
2017 年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
x
2．（3分）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x−4
A．x=0 B．x=4 C．x≠0D．x≠4
3．（3分）如图是某个几何题的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
4．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论
是（ ）
A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
5．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6 B．12 C．16 D．184 a2
7．（3分）如果a2+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣ ）• 的值是（ ）
a a−2
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．（3分）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．
2011﹣2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图
（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）
根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（ ）
A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长
B．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
C．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元
D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9．（3分）小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过
程中，跑步者距起跑线的距离 y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关
系如图2所示．下列叙述正确的是（ ）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程
D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次
10．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以“钉尖
向上”的概率是0.616；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618附近摆动，显示出一
定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．（3分）写出一个比3大且比4小的无理数： ．
12．（3分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中
篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价
为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S =1，则
△CMN
S = ．
四边形ABNM
14．（3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上的点，AD=CD．若
∠CAB=40°，则∠CAD= ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过
若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD 得到
△AOB的过程： ．16．（3分）图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．
1
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于 P，Q
2
两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28
题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（5分）计算：4cos30°+（1﹣❑√2）0﹣❑√12+|﹣2|．{
&2(x+1)＞5x−7
18．（5分）解不等式组： ．
x+10
& ＞2x
3
19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点
D．
求证：AD=BC．
20．（5分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对
角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如
图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海
岛算经》九题古证．
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界
数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程．
证明：S =S ﹣（S +S ），S =S ﹣（ + ）．
矩形NFGD △ADC △ANF △FGC 矩形EBMF △ABC
易知，S =S ， = ， = ．
△ADC △ABC
可得S =S ．
矩形NFGD 矩形EBMF21．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．
22．（5分）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，
∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．k
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞0）的图象与直线
x
y=x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2
k
于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y= （x＞0）的图象于点N．
x
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
24．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于
点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．25．（5分）某工厂甲、乙两个部门各有员工 400人，为了解这两个部门员工
的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百
分制）如下：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83
77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70
40
整理、描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x 40≤x≤ 50≤x≤ 60≤x≤ 70≤x≤ 80≤x≤8 90≤x
49 59 69 79 9 ≤100
人数
部门
甲 0 0 1 11 7 1
乙
（说明：成绩 80分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79分为生产技能良好，60
﹣﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
部 平均数 中位数 众数
门甲 78.3 77.5 75
乙 78 80.5 81
得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 ；b．可以推断出
部门员工的生产技能水平较高，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明
推断的合理性）
26．（5分）如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点
M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．已知AB=6cm，设A、P两点间的距离
为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为
0）
小东根据学习函数的经验，对函数 y随自变量x的变化而变化的规律进行了探
究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 0 2.0 2.3 2.1 0.9 0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出
该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度
约为 cm．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于点A、B
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x ，y ），Q（x ，y ），与直线BC
1 1 2 2
交于点N（x ，y ），若x ＜x ＜x ，结合函数的图象，求x +x +x 的取值范围．
3 3 1 2 3 1 2 3
28．（7分）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点
B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于
点H，交AB于点M．
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
29．（8分）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若
在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形
M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，1 1 ❑√3 5
①在点P （ ，0），P （ ， ），P （ ，0）中，⊙O的关联点是 ．
1 2 2 2 2 3 2
②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．
若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
