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2013 北京市中考数学真题及答案
满分120分，考试时间120分钟
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提
出了总计约3 960亿元的投资计划。将3 960用科学计数法表示应为
A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104
2. 的倒数是
A. B. C. D.
3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，
从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为
A. B. C. D.
4. 如图，直线 ， 被直线 所截， ∥ ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于
A. 40° B. 50°
C. 70° D. 80°
5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，
C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线
上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于
A. 60m B. 40m
C. 30m D. 20m
6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是7. 某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时） 5 6 7 8
人数 10 15 20 5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是
A. 6.2小时 B. 6.4小时 C. 6.5小时 D. 7小时
8. 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为 ，
△APO的面积为 ，则下列图象中，能表示 与 的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 分解因式： =_________________
10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________10
11. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若
AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为__________
12. 如图，在平面直角坐标系 O 中，已知直线： ，双
曲线 。在上取点A 1，过点A 1作 轴的垂线交双曲线于点
B 1，过点B 1作 轴的垂线交于点A 2，请继续操作并探究：过点
A 2作 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作 轴的垂线交于点
A 3，…，这样依次得到上的点 A 1，A 2，A 3，…，A n，…。记点A n的横坐标为 ，若
，则 =__________， =__________；若要将上述
操作无限次地进行下去，则 不能取的值是__________
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE。求证：BC=AE。
14. 计算： 。
16、解不等式组：
16. 已知 ，求代数式 的值。
17. 列方程或方程组解应用题：
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名
工人，结果比计划提前3小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时
的绿化面积。
18．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值。
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE= BC，连结DE，CF。
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长。20．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，
C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点
E。
（1）求证：∠EPD=∠EDO
（2）若PC=6，tan∠PDA= ，求OE的长。
21．第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根
据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：
（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为 0.04平方千米，
牡丹园面积为__________平方千米；
（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18倍，水面面积是第七、八两
届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；
（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车
位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根
据小娜的发现，请估计将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数
量（直接写出结果，精确到百位）。
第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表
日均接待游客量 单日最多接待游客量 停车位数量
（万人次） （万人次） （个）
第七届 0.8 6 约3 000
第八届 2.3 8.2 约4 000
第九届 8（预计） 20（预计） 约10 500
第十届 1.9（预计） 7.4（预计） 约________
22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 的正方形ABCD各边上分别截
取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。
小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，
T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形
（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为
__________；
（2）求正方形MNPQ的面积。
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再
分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若 ，则AD的长
为__________。
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，
第25题8分）
23．在平面直角坐标系 O 中，抛物线
（ ）与 轴交于点 A，其对称轴与 轴交于点B。
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；
（3）若该抛物线在 这一段位于直线的上方，并且在 这一段位于直
线AB的下方，求该抛物线的解析式。
24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC= （ ），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得
到线段BD。
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含 的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求 的值。
25．对于平面直角坐标系 O 中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，
使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。
已知点D（ ， ），E（0，-2），F（ ，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；②过点F作直线交 轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（ ， ）
是⊙O的关联点，求 的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 的取值范围。
