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2026 年北京市初中学业水平考试
数学试卷
1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题满分100分．考试时间120分
钟
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
考生须
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
知
4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作
答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
3. 实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 一个不透明的袋子中仅有 个球，其中有 个白球、 个黄球，其余都是红球，这 个球除颜色外无其他
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学科网（北京）股份有限公司差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 方程组 的解为（ ）
A. B. C. D.
6. 再生水利用提升工程是北京市“十五五”时期美丽北京建设的重大工程之一．北京市一家在建的再生水
厂建成后每天能够供应 高品质再生水．若一年按365天计．则该再生水厂建成后，一年能够供应
的高品质再生水的总量用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，点 在射线 上，在射线 上截取 ，分别以 、 为圆心， 长为半径画弧，
两弧相交于点 ．连接 ， ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系 中，点 ， ．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点
的三角形与 全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论：
①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”；
②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”；
③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”；
④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
第二部分 非选择题
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学科网（北京）股份有限公司二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________．
10. 分解因式： ________．
11. 在凸五边形 中， ， ，则 ________ ．
12. 某学校共有2000名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机
抽取了100名学生进行调查，数据整理如下：
每周体育活动时间
学生人数 3 7 55 24 11
学校建议，每周体育活动时间小于 的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息．估计该学校
2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是________．
13. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．若 ，则
________ （填“ ”“ ”或“ ”）．
14. 如图， 的两条对角线相交于点O．已知 的面积为 ， 的长为 ，当 的长为
________时， 是菱形．
15. 如图，在平面直角坐标系 中，过 轴正半轴上的点 作 轴的平行线，分别交函数
和 的图象于点 、 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 交 轴于点 ，则
的值为________．
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学科网（北京）股份有限公司16. 如图所示，公路旁自西向东依次有 ， ，…， 共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住
宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自
家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校．
已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为 ，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为 ，
校车从 处至学校的行驶时间为 ．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行
时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）．
（1）若车站设在 处，则住在 处的学生的理想通勤时间为________ ；
（2）若当车站设在 处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则 ________．
三、解答题（共68分，第17~19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第
23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
18. 解不等式组： ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
20. 如图，在 中， ，D，E分别为 ， 的中点， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
21. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，直接写出
的取值范围．
22. 在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器
人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：
·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；
·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的 倍．
已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为 ；一台B类机器人起跑
后，前 保持匀速，速度是这台A类机器人的 倍，之后原地维护 ，维护后匀速跑至终点，
速度比维护前增加了 ，完赛成绩为 ．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终
点的路程．
23. 若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分
为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下：
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学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________；
（2）记甲、乙8轮得分的方差分别为 和 ，则 ________ （填“ ”“ ”或“ ”）；
（3）如果丙8轮得分的中位数为 ，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若
是，请说明理由；若不是，请举出反例．
24. 如图，过点P作 的两条切线，切点分别为A，B， 为 的直径，过点B作 的垂线，垂足
为E，交 于点D，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 交 于点F，若 ， ，求 的长．
25. 在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质
的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在 溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量
小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙
（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示：
0 10 20 30 40 50 60 70 80
温度
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学科网（北京）股份有限公司甲的
溶解 13.3 20.9 31.6 45.8 63.9 85.5 110 138 169
度
（1）根据表中数据，在图中画出 范围内甲的溶解度曲线；
（2）当温度为________ （精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为 ．在该温度下．将 乙加
入 水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至 ，此时会有________ （精确到个位）乙从水
中析出；
（3）当温度为 时，小云将 甲加入到装有 水的1号杯中，将 乙加入到装有 水的
2号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两
种方案：
方案一：将温度提升至 ，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解；
方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入 水，向2号杯中再加入 水，充分搅拌后使两种物质
均能全部溶解．
①方案一中，T的最小值为________（精确到个位）；
②方案二中， 的最小值为________（精确到个位）．
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学科网（北京）股份有限公司26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，对称轴为 ．
（1）求b的值，并用含a的式子表示c；
（2）已知M是抛物线 上的点，M的横坐标为t，抛物线 的顶点为M，且可以由抛物线 平移得到
（特别地，当M是 的顶点时， 即为 ）．若无论t为何值，抛物线 都不经过点O，求a的取值范
围．
27. 在 中， ， ，过 的中点 作 的垂线 ，交 于点
，点 在 的延长线上， ．
（1）如图 ， ，求证： ；
（2）如图 ，点 在 的延长线上， ，连接 ， ，直接写出 的大小，并证
明．
28. 对于不共线的三点A，B，C，连接 ， ，并作劣弧 ，使得 所在圆的圆心在过点A且与
平行的直线上，称由 ， 和 组成的图形为单弧三角形，记作 ，其中 所在圆
的圆心称为 的弧心．
在平面直角坐标系 中，
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，点 ， ， ，直接写出 的弧心的坐标及 的长；
（2）如图2，点 ， ，当 的弧心为O时，求点F的坐标；
（3）已知点 ，对于平面内的点N，存在点P，Q满足 和 的弧心均为O，
和 都不是钝角三角形，且 ，记N的横坐标为t，直接写出t的取值范围．
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