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2019 年北京市高级中等学校招生考试
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有
一个.
1.4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫
星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地
球最近点 米.将 用科学记数法表示应为 （ ）
A. B. C. D.
2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是 （ ）
A B C D
3.正十边形的外角和为 （ ）
A. B. C. D.
4.在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，
得到点C.若 ，则a的值为 （ ）
A. B. C. D.1
5.已知锐角 如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，
交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于
点M，N；（3）连接OM，MN.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
（ ）
P
A.
M
B.若 ，则
A
C
C.
O D B
D. N
Q
6.如果 ，那么代数式 的值为 （ ）
A. B. C.1 D.3
7.用三个不等式 ， ， 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为
结论组成一个命题，组成真命题的个数为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
学生
类型
人数
时间
性 男 7 31 25 30 4
别 女 8 29 26 32 8
学 初中 25 36 44 11
段
高中
人均参加公益劳动时间/小时
30
27.0
25.5
24.5
25
21.8
20
15
10
5
0 男生 女生 初中生高中生 学生类别
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间
所有合理推断的序号是 （ ）
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.若分式 的值为0，则 的值为 .
10.如图，已知 ，通过测量、计算得 的面积约为 .（结果保留
一位小数）
C
A B
第10题图
11.在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 .（写出所有正确答案的序
号）①长方体 ②圆柱 ③圆锥
第11题图
12.如图所示的网格是正方形网格，则 。（点A，B，P是网格线
交点）.
P
A B
第12题图
13.在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上.点 关于 轴
的对称点 在双曲线 上，则 的值为 .
14.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成
如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 .
5
1
图1 图2 图3
15.小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差 .在计算平均数的过程中，
将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4， ，9， .记这组
新数据的方差为 ，则 .(填“ ”，“ ”或“ ”)
16.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）.
对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.
所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，
第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、
演算步骤或证明过程．17.计算：
18.解不等式组：
19.关于x的方程 有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根.
20.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上， ，连接EF.
（1）求证： ；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若 ， ，求
AO的长.
21.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得
分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成 7组： ， ，
， ， ， ， ）；
频数（国家个数）
12
9
8
6
2
1
30 40 50 60 70 80 90 100 国家创新指数得分
b.国家创新指数得分在 这一组的是：c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
国家创新指数得分
l
1
A
100
l
2
B
90
80
C
70
60
50
40
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 人均国内生产总值/万元
d.中国的国家创新指数得分为 .
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在
内的少数几个国家所对应的点位于虚线 的上方.请在图中用“ ”圈出代表中国
的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约
万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是 .
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提
出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提
出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值.
22.在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示.点O到点A，B，C的距离均
等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G， 的平分线交图
形G于点D，连接AD，CD.
（1）求证： ；
（2）过点D作 ，垂足为E，作 ，垂足为F，延长DF交图形G于点M，
连接CM.若 ，求直线DE与图形G的公共点个数.A
B C
23.小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第 组有 首， ；
②对于第 组诗词，第 天背诵第一遍，第（ ）天背诵第二遍，第（ ）天背诵
第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵， ；
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
第1组
第2组
第3组
第4组
③每天最多背诵14首，最少背诵4首.
解答下列问题：
（1）填入 补全上表；
（2）若 ， ， ，则 的所有可能取值为 ；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首.
24.如图，P是 与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是 上一动点，连接PC交
弦AB于点D.
C
A
D
P B
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究.
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在 上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表：
位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置
1 2 3 4 5 6 7 8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83
AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和
的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
y/cm
6
5
4
3
2
1
O 1 2 3 4 5 6 x/cm
（3）结合函数图象，解决问题：当 时，AD的长度约为 cm.
25.在平面直角坐标系 中，直线 与直线 ，直线 分别交于
点A，B，直线 与直线 交于点 .
（1）求直线 与 轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段 围成的区域（不含边
界）为 .
①当 时，结合函数图象，求区域 内的整点个数；
②若区域 内没有整点，直接写出 的取值范围.
26.在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点A，将点A向右平移2
个单位长度，得到点B，点B在抛物线上.
（1）求点B的坐标（用含 的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点 ， .若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围.
27.已知 ，H为射线OA上一定点， ，P为射线OB上一点，M为线
段OH上一动点，连接PM，满足 为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转
，得到线段PN，连接ON.
（1）依题意补全图1；
（2）求证： ；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M
总有 ，并证明．
B B
A
O H A O H
图1 备用图
28．在 中， ， 分别是 两边的中点，如果 上的所有点都在 的内
部或边上，则称 为△ABC的中内弧．例如，下图中 是 的一条中内弧．
A
D E
B C
（1）如图，在Rt 中， 分别是 的中点．画出△ABC
的最长的中内弧 ，并直接写出此时 的长；
A
D E
B C
（2）在平面直角坐标系中，已知点 ，在 中，
分别是 的中点．
①若 ，求 的中内弧 所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在 中存在一条中内弧 ，使得 所在圆的圆心P在 的内部
或边上，直接写出t的取值范围．
2019 年北京市高级中等学校招生考试
数学答案解析
一、选择题
1.【答案】C
【解析】本题考察科学记数法较大数， 中要求 ，此题中 ，故
选C
2.【答案】C
【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选C
3.【答案】B
【解析】多边形的外角和是一个定值 ，故选B
4.【答案】A
【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点A表示数为a，点B表示数为2，
点C表示数为 ，由题意可知， ，∵ ，∴ ，解得 （舍）或
，故选A
5.【答案】D
【解析】连接ON，由作图可知 .
A.由 .，可得 ，故A正确.
B.若 ，则 为等边三角形，由全等可知 ，
故B正确
C.由题意， ，∴ .设OC与OD与MN分别交于R，S，易证
， 则 ， ∴ ， ∴ .∴
，故C正确.
D.由题意，易证 ，∴ .∵两点之间线段最短.∴
，故选D
6.【答案】D
【解析】：原式=3，故选D
∴
7.【答案】D
【解析】本题共有3种命题：
命题①，如果 ，那么 .
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，整理得 ，∴该命题是真命题.
命题②，如果 那么 .
∵ ∴ ∵ ，∴ ，∴ .
∴该命题为真命题.
命题③，如果 ，那么 .
∵ ∴ ∵ ，∴ ，∴
∴该命题为真命题.
故，选D
8.【答案】C
【解析】①由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为 24.5 h，女生为25.5 h，则平均
数一定在24.5~25.5之间，故①正确
②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15,60,51,62,12，则中位数在20~30之间，
故②正确.
③由统计表计算可得，初中学段栏 的人数在0~15之间，当人数为0时，中位数在
20~30之间；当人数为15时，中位数在20~30之间，故③正确.
④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 0~15，35,15，18,1.当 时间
段人数为0时，中位数在10~20之间；当 时间段人数为15时，中位数在10~20
之间，故④错误
故，选C
二、填空题
9.【答案】1
【解析】本题考查分式值为0，则分子 ，且分母 ，故答案为1
10.【答案】测量可知【解析】本题考查三角形面积，直接动手操作测量即可，故答案为“测量可知”
11.【答案】①②
【解析】本题考查对三视图的认识.①长方体的主视图，俯视图，左视图均为矩形；②圆柱的
主视图，左视图均为矩形，俯视图为圆；③圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为
圆.故答案为①②
12.【答案】45
【解析】本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计
算 ，∴ ，即 为等腰直角三角形，∴
，∵ ，故答案为45
13.【答案】0
【解析】本题考查反比例函数的性质， 在反比例 上，则 ，A关于 轴的对
称点B的坐标为 ，又因为B在 上，则 ，∴
故答案为0
14.【答案】12
【解析】设图1中小直角三角形的两直角边分别为a， ，则由图2，图3可列方程组
解得 ，所以菱形的面积 故答案为12.
15.【答案】=
【解析】本题考查方差的性质。两组数据的平均值分别为91和1，
=
∴ ，
故答案为=
16.【答案】①②③
【解析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定可知，存在无数个平行四
边形，无数个矩形，无数个正方形，故答案为①②③
三、解答题
17.【答案】原式=
18.【答案】解不等式①得：
，∴解不等式②得： ，∴
∴不等式组的解集为
19.【答案】∵ 有实数根，∴ ，即 ，∴
∵m为正整数，∴ ，故此时二次方程为 即
∴
∴ ，此时方程的根为
20.【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形∴ ，AC平分
∵ ， ∴ ，∴
∴△AEF是等腰三角形，∵AC平分 ，∴
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴ ， ，∵
∴四边形EBDG为平行四边形，∴ ，∴
∴ ，∴
21.【答案】
（1）17
（2）
（3）2.7
（4）①②
22.【答案】如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示
（1）证明：∵BD平分 ，∴ ，
∴ ，∴
（2）解：∵ ， ，∴ .∵ ，∴
在 和 中
，∴ ，∴ ，∴BC为弦DM的垂直平分线∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵ ， ，∴ ，∴ .
又∵ ，∴ ，∴ ，即 ，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
23.【答案】（1）如下图
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
第1组
第2组
第3组
第4组
（2）根据上表可列不等式组：
，可得
（3）确定第4天， ，由第2天，第3天，第5天可得
，∴ ，∴ ，
可取 最大整数值为9，∴
24.【答案】
（1）AD，PC，PD；
（2）
（3）2.29或者3.98
25.【答案】（1）令 ，则 ，∴直线 与 轴交点坐标为
（2）①当 时，直线 ，把 代入直线 ，则 ，∴
把 代入直线 得： ，∴∴ ，整点有 共6个点.
② 或
26.【答案】（1）∵抛物线与 轴交于点A，∴令 ，得 ，
∴点A的坐标为 ，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为 ；
（2）∵抛物线过点 和点 ，由对称性可得，抛物线对称轴为
直线 ，故对称轴为直线
（3）①当 时，则 ，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经
过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.
②当 时，则 .
分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上
方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时 即
综上所述，当 时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
27.【答案】
（1）如图所示
（2）在 中，
∴（3）过点P作 ，过点N作 .
∵ ，∴
在 和 中
，∴
∴ ， ， .
又∵ ，在 和 中
，∴ ，∴ .
设
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵M与Q关于H对称，∴
∴
2√3+2=x(2+2√3)
∵ ，∴ ，整理得
所以
x=1
，即
∵ ，∴
28.【答案】
（1）
（2）①当 时
（i）当P为DE的中点时， 是中内弧，∴
（ii）当⊙P与AC相切时， ，当 时， ，∴
综上，P的纵坐标 或
②（i）当 时， ，得 ∴ ∴
∴
（ii） ，得
， ，∴ ，∴
综上：
