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北京市 2018 年中考数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何体中，是圆柱的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的特征进行判断即可．
【详解】A选项为圆柱，
B选项为圆锥，
C选项为四棱柱，
D选项为四棱锥．
故选：A．
【点睛】本题考查立体图形的认识，掌握立体图形的特征是解题的关键．
2. 实数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察数轴得到实数 ， ， 的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可.
【详解】∵ ，∴ ，故A选项错误；数轴上表示 的点在表示 的点的左侧，故B选项正确；
∵ ， ，∴ ，故Ｃ选项错误；
∵ ， ， ，∴ ，故D选项错误．
故选：B.
【点睛】主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算.观察数轴是解题的关键.
3. 方程组 的解为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程组解的概念，将4组解分别代入原方程组，一一进行判断即可.
【详解】解：将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，
故选D．
4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场
的总面积．已知每个标准足球场的面积为 ，则FAST的反射面积总面积约为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 为整数．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时， 是正数；
当原数的绝对值<1时， 是负数．
【详解】 ，
故选C．
【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.
5. 若正多边形的一个外角是 ，则该正多边形的内角和为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】由题意，正多边形的边数为 ，
其内角和为 ．
故选C.
的
【点睛】考查多边形 内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
6. 如果 ，那么代数式 的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据分式混合运算的法则进行化简，再把 整体代入即可.
详解：原式 ，
∵ ，
∴原式 ．
故选A.
点睛：考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起
跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系 （ ）．
下图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞
行到最高点时，水平距离为A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.
详解：设对称轴为 ，
由（ ， ）和（ ， ）可知， ，
由（ ， ）和（ ， ）可知， ，
∴ ，
故选B．
点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.
8. 右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为 轴、 轴的正方向建立平
面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ ， ）时，表示左安门的点的坐
标为（5， ）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ ， ）时，表示左安门的点的坐
标为（10， ）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（ ， ）时，表示左安门的点的
坐标为（ ， ）；
④当表示天安门的点的坐标为（ ， ），表示广安门的点的坐标为（ ， ）时，表示左安
门的点的坐标为（ ， ）．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①③ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据天安门的坐标和点的平移规律，一一进行判断即可.
详解：显然①②正确；
③是在②的基础上，将所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，故③正确；
④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（ ， ）时，表示左安门的
点的坐标为（ ， ）”的基础上，将所有点向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，故④正确．
故选D.
点睛：考查平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 下图所示的网格是正方形网格， ________ ．（填“ ”，“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】>
【分析】构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小.
【详解】解：如下图所示，
是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为
另：此题也可直接测量得到结果．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键.
10. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据二次根式有意义的条件，即可求出实数 的取值范围.详解：被开方数为非负数，故 ．
故答案为 ．
点睛：考查二次根式有意义的条件，被开方数大于等于零.
11. 用一组 ， ， 的值说明命题“若 ，则 ”是错误的，这组值可以是 _____，
______， _______．
【答案】 ①. 2 ②. 3 ③. -1
【解析】
【分析】根据不等式的性质3，举出例子即可．
【详解】解：根据不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
满足 ， 即可，例如： ，3， ．
故答案为 ，3， ．
【点睛】考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
12. 如图，点 ， ， ， 在 上， ， ， ，则
________．
【答案】70°
【解析】
【分析】根据 = ，得到 ，根据同弧所对的圆周角相等即可得到
，根据三角形的内角和即可求出.
【详解】∵ = ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为
【点睛】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
13. 如图，在矩形 中， 是边 的中点，连接 交对角线 于点 ，若 ， ，
则 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出 ，根据 // ，得到 ，即可求出
的长．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， // ， ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 是 中点，∴ ，
∵ // ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质
是解题的关键．
14. 从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙
地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分
钟）的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数 合计
线路
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”
的可能性最大．
【答案】C
【解析】
【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C线路上的公交车用时超过 分钟的频数最小，即可得
出结论.
【详解】解：样本容量相同，C线路上的公交车用时超过 分钟的频数最小，所以其频率也最小，
∴乘坐C线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
故答案为：C.【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.
15. 某公园划船项目收费标准如下：
两人船 四人船 六人船 八人船
船型
（限乘两人） （限乘四人） （限乘六人） （限乘八人）
每船租金
90 100 130 150
（元/小时）
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．
【答案】380
【解析】
【分析】分析题意，可知，八人船最划算，其次是六人船，计算出最总费用最低的租船方案即可.
【详解】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为 （元）
故答案为380.
【点睛】考查统筹规划，对船型进行分析，找出总费用最低的租船方案即可.
16. 2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中
国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．
【答案】3
【解析】
【分析】左边图中，根据中国创新综合排名全球第22，找出对应创新产出排名，再从右图进行分析即可.
【详解】详解：从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从右图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．
故答案为3
【点睛】本题考查函数图象获取信息，读懂图象是解题的关键
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28
题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点 ．
求作： ，使得 ．
作法：如图，
①在直线上取一点 ，作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线于点 ；
②在直线上取一点 （不与点 重合），作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线于点 ；
③作直线 ．
所以直线 就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ _______， _______，
∴ （____________）（填推理的依据）．
【答案】(1)作图见解析（2） ， ，三角形中位线平行于三角形的第三边．
【解析】
【详解】分析：根据作图过程，补全图形即可.
详解：（1）尺规作图如下图所示：
（2） ， ，三角形中位线平行于三角形的第三边．
点睛：考查尺规作图，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.
【详解】原式 ．【点睛】本题考查实数的运算，主要考查零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握
各个知识点是解题的关键.
19. 解不等式组： ．
【答案】 ．
【解析】
【详解】分析：分别解不等式，找出解集的公共部分即可.
详解：
由①得， ，
由②得， ，
∴不等式的解集为 ．
点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.
20. 关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x=x=﹣1．
1 2
【解析】
【分析】（1）求出根的判别式 ，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则 ，写出一组满足条件的 ， 的值即可.
【详解】（1）解：由题意： ．
∵ ，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足 （ ）即可，例如：解：令 ， ，则原方程为 ，
解得： ．
【点睛】考查一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根.
当 时，方程有两个相等的实数根.
当 时，方程没有实数根.
21. 如图，在四边形 中，AB//DC， ，对角线 ， 交于点 ， 平分 ，
过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．
【解析】
【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一
半即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ∥ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴ 是菱形．
（2）解：∵四边形 是菱形，对角线 、 交于点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在Rt△AOB中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△AEC中， ， 为 中点，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
22. 如图， 是 的直径，过 外一点 作 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，连接
， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ， ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质定理得到 ， 平分 ．根据等腰三角形的性质即可得到
于 ，即 ．
（2）连接 、 ．根据等腰三角形的性质和平角的性质得到
．进而得到 ．在 中，解直角
三角形即可.
【详解】（1）证明：∵ 、 与 相切于 、 ．
∴ ， 平分 ．在等腰 中， ， 平分 ．
∴ 于 ，即 ．
（2）解：连接 、 ．
∵
∴
∴
同理：
∴ ．
在等腰 中， ．
∴ ．
∵ 与 相切于 ．
∴ ．
∴ ．
在 中， ，∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形等，题目比较典型，综合性比较强，
难度适中．
23. 在平面直角坐标系 中，函数 （ ）的图象 经过点 （4，1），直线 与
图象 交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 在点 ， 之间的部分与线段 ， ， 围成
的区域（不含边界）为 ．
①当 时，直接写出区域 内的整点个数；
②若区域 内恰有4个整点，结合函数图象，求 的取值范围．
【答案】（1）4；（2）①3个．（1，0），（2，0），（3，0）．② 或 ．
【解析】
【详解】分析：（1）根据点 （4，1）在 （ ）的图象上，即可求出 的值；
（2）①当 时，根据整点的概念，直接写出区域 内的整点个数即可.
②分 ．当直线过（4，0）时， ．当直线过（5，0）时， ．当直线过（1，2）时， ．当直线过（1，
3）时四种情况进行讨论即可.
详解：（1）解：∵点 （4，1）在 （ ）的图象上．∴ ，
∴ ．
（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．
② ．当直线过（4，0）时： ，解得
．当直线过（5，0）时： ，解得
．当直线过（1，2）时： ，解得
．当直线过（1，3）时： ，解得
∴综上所述： 或 ．
点睛：属于反比例函数和一次函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的图象与性质，掌握整点的概念是解题的关键,注意分类讨论思想在解题中的应用.
24. 如图， 是 与弦 所围成的图形的内部的一定点， 是弦 上一动点，连接 并延长交
于点 ，连接 ．已知 ，设 ， 两点间的距离为 ， ， 两点间的距离为 ，
， 两点间的距离为 ．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数 ， 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 ， 与 的几组对应值；
0 1 2 3 4 5 6
（2）在同一平面直角坐标系 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（ ， ），（ ，
），并画出函数 ， 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当 为等腰三角形时， 的长度约为____ ．
【答案】（1）3.00；（2）作图见解析；（3） 或 或 ．
【解析】
【分析】（1）当 时， 即为圆的半径.
（2）根据（1）中的图表，描点，连线即可.
（3）根据等腰三角形的性质，结合函数图象进行回答即可.
【详解】解：（1）
（2）如下图所示：（3） 或 或 ．
如下图所示，函数图象的交点的横坐标即为所求．
的
【点睛】考查动点产生 函数图象问题，函数探究,圆的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握函数图
象以及性质是解题的关键.
25. 某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行
测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
的
．A课程成绩 频数分布直方图如下（数据分成6组： ， ， ，， ， ）；
．A课程成绩在 这一组是：
70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79
．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数
A
B 70 83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程
是________（填“A”或“B”），理由是_______；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过 分的人数．
【答案】（1）78.75；（2）B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数；（3）180人．
【解析】
【分析】（1）根据中位数的概念直接进行计算即可；
（2）根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程；
（3）用总人数300乘以抽取的学生中A课程成绩超过 分的比例即可．
【详解】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为 ，即m=78.75；
（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，
故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．
（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位
置之前．
的
（3）解：抽取 60名学生中．A课程成绩超过 的人数为36人．
∴ （人）
答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过 的人数为180人．
【点睛】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握中位数的计算方法和意义是
解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，抛物线
经过点 ，将点 向右平移5个单位长度，得到点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
【答案】（1） （5，4）；（2）x=1；（3） 或 或 ．
【解析】
【详解】分析：（1）根据直线 与 轴、 轴交于 、 ．即可求出 （ ，0）， （0，
4），根据点的平移即可求出点 的坐标；（2）根据抛物线 过 （ ， ），代入即可求得 ，根据抛物线的对称轴方程
即可求出抛物线的对称轴；
（3）分①当抛物线过点 时．②当抛物线过点 时．③当抛物线顶点在 上时．三种情况进行讨论即
可.
详解：（1）解：∵直线 与 轴、 轴交于 、 ．
∴ （ ，0）， （0，4）
∴ （5，4）
（2）解：抛物线 过 （ ， ）
∴ ．
∴
∴对称轴为 ．
（3）解：①当抛物线过点 时．
，解得 ．
②当抛物线过点 时．，解得 ．
③当抛物线顶点在 上时．
此时顶点为（1，4）
∴ ，解得 ．
∴综上所述 或 或 ．
点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线
段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用.
27. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线
DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连
接BH．
（1）求证：GF=GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）BH= AE，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接 ．根据对称的性质可得 ． ．证明 ，根据全
等三角形的性质得到 ．进而证明 ≌ ，即可证明；
（2）在 上取点 使得 ，连接 ．证明 ≌ ，根据等腰直角三角形的性质即
可得到线段 与 的数量关系．
【详解】（1）证明：连接 ．
∵ ， 关于 对称．
∴ ． ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是正方形，∴ ． ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中
．
∴ ≌ ，
∴ ．
（2） ．
证明：在 上取点 使得 ，连接 ．
∵四这形 是正方形．
∴ ， ．
∵ ≌ ，
∴ ．
同理： ，∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中 ，
∴ ≌ ，
∴ ，
在 中， ， ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股
定理，等腰直角三角形的性质与判定等知识，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意
数形结合思想的应用．
28. 对于平面直角坐标系 中的图形 ， ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为图形上任意一点，如果 ， 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 ， 间的“闭距离”，记作
（ ， ）．
已知点 （ ，6）， （ ， ）， （6， ）．
（1）求 （点 ， ）；
（2）记函数 （ ， ）的图象为图形 ，若 （ ， ） ，直接写出 的取
值范围；
（3） 的圆心为 （t，0），半径为1．若 （ ， ） ，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）2；（2） 或 ；（3） 或 或 ．
【解析】
【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.
（2）分 和 两种情况，画出示意图，即可解决问题.
（3）画出图形，直接写出t的取值范围．
详解：（1）如下图所示：
∵ （ ， ）， （6， ）
∴ （0， ）
∴ （ ， ）
（2） 或（3） 或 或 ．
点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是
解题的关键.
