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2018 年重庆市中考数学试卷（B 卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代
号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所
对应的方框涂黑
1. 下列四个数中，是正整数的是（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】正整数是指既是正数还是整数，由此即可判定求解．
【详解】A、-1是负整数，故选项错误；
B、0既不是正整数，也不是负整数；故选项错误；
C、 是分数，不是整数，错误；
D、1是正整数，故选项正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点，比较简单．
2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部
分能够重合，那么这个是轴对称图形．3. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中
有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方
形纸片的张数为（ ）
A. 11 B. 13 C. 15 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个，
由此得到规律求得第⑥个图形中正方形的个数即可．
【详解】观察图形知：
第①个图形有3个正方形，
第②个图形有5=3+2×1个，
第③个图形有7=3+2×2个，
…
故第⑥个图形有3+2×5=13（个），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得
到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
C. 对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查
D. 对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查
【答案】D
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比
较近似．由此，对各选项进行辨析即可.
【详解】A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此
选项不符合题意；
B、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项不符合题意；
C、对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故
此选项不符合题意；
D、对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5. 制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的
四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A. 360元 B. 720元 C. 1080元 D. 2160元
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的
面积，计算即可．
【详解】3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，
故选C．
【点睛】本题考查 的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B. 如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D. 如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数为1和0；算术平
方根等于本身的数为1和0进行分析即可．【详解】A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
故选A．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．
的
7. 估计5 - 值应在（ ）
A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间
【答案】C
【解析】
【分析】先化简二次根式，合并后，再根据无理数的估计解答即可．
【详解】5 ﹣ = ，
∵49 54 64，
< <
∴7 8，
< <
∴5 ﹣ 的值应在7和8之间，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小及合并同类二次根式，解决本题的关键是估算出无理数的大小．
8. 根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A. 9 B. 7 C. ﹣9 D. ﹣7
【答案】C
【解析】
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．
【详解】∵当x=7时，y=6-7=-1，∴当x=4时，y=2×4+b=-1，
解得：b=-9，
故选C．
【点睛】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
9. 如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达
点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右
行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑
物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）
A. 21.7米 B. 22.4米 C. 27.4米 D. 28.8米
【答案】A
【解析】
【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再
根据tan24°= ，构建方程即可解决问题．
【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
在Rt△CDN中，∵ ，设CN=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴CN=8，DN=6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°= ，
∴0.45= ，
∴AB=21.7（米），
故选A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解
答此题的关键．
10. 如图， ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与
△
AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2 ，则线段CD的长是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OD，得Rt OAD，由∠A=30°，AD=2 ，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，
△
OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理可得结论．
【详解】连接OD，
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC，
在Rt AOD中，∵∠A=30°，AD=2 ，
△∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴ ，即 ，
∴CD= ．
故选B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边对等角以及平行线分线段成比
例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直
角，是通常添加的辅助线．
11. 如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比
例函数y= （k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（
）
A. B. C. 3 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
【详解】解：过点D做DF⊥BC于F，由已知，BC=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=5，
∵BE=3DE，
∴设DE=x，则BE=3x，
∴DF=3x，BF=x，FC=5-x，
在Rt DFC中，
DF2+F△C2=DC2，
∴（3x）2+（5-x）2=52，
∴解得x=1，
∴DE=1，FD=3，
设OB=a，
则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a），
∵点D、C在双曲线上，
∴1×（a+3）=5a，
∴a= ，
∴点C坐标为（5， ）
∴k= .
故选B．
【点睛】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理
构造方程．
12. 若数a使关于x的不等式组 ，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A. ﹣10 B. ﹣12 C. ﹣16 D. ﹣18
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解： ，
解①得x≥-3，
解②得x≤ ，
不等式组的解集是-3≤x≤ ．
∵仅有三个整数解，
∴-1≤ ＜0
∴-8≤a＜-3，
=1，
3y-a-12=y-2．
∴y= ，
∵y≠2，
∴a≠-6，
又y= 有整数解，
∴a=-8或-4，
所有满足条件的整数a的值之和是-8-4=-12，
故选B．【点睛】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡
中对应的横线上
13. 计算：|﹣1|+20=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】对指数幂、绝对值，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：|-1|+20
=1+1
=2．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了有理数的运算．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、绝对值等考点的运算．
14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图
中阴影部分的面积是_____（结果保留π）
【答案】8﹣2π
【解析】
【分析】根据S =S -S 计算即可．
阴 ABD 扇形BAE
△
【详解】解：四边形ABCD为正方形，
所以 ，
S =S -S = ×4×4- =8-2π，
阴 ABD 扇形BAE
△
故答案为8-2π．
【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
15. 某企业对一工人在五个工作日里生产零件的数量进行调查，并绘制了如图所示的折线统计图，则在这
五天里该工人每天生产零件的平均数是_____个．【答案】34
【解析】
【分析】根据平均数的计算解答即可．
【详解】 ＝34，
故答案为34.
【点睛】此题考查折线统计图，关键是根据平均数的计算解答．
16. 如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将 BCD沿直线CD翻折至
ECD的位置，△连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于_____． △
△
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．
【详解】由题意可得，
DE=DB=CD= AB，
∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，
∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
∴AC=DE，
∵AC∥DE，AC=CD，
∴四边形ACDE是菱形，
∵在Rt ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，
△
∴AC=2 ，
∴AE=2 ．
故答案为2 ．
【点睛】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找
出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17. 一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需
的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给
小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，
小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之
间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回
到家时，小玲离学校的距离为_____米．
【答案】200
【解析】
【分析】由图象可知：家到学校总路程为1200米，分别求小玲和妈妈的速度，妈妈返回时，根据“妈妈返
回时骑车的速度只是原来速度的一半”，得速度为60米/分，可得返回时又用了10分钟，此时小玲已经走
了25分，还剩5分钟的总程．【详解】解：由图象得：小玲步行速度：1200÷30=40（米/分），
由函数图象得出，妈妈在小玲10分后出发，15分时追上小玲，
设妈妈去时的速度为v米/分，
（15-10）v=15×40，
v=120，
则妈妈回家的时间： =10，
（30-15-10）×40=200．
故答案为200．
【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程=速度×时间之间的关系的运用，分别求小玲和妈
妈的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象．
18. 为实现营养套餐的合理搭配，某电商推出两款适合不同人群的甲、乙两种袋装的混合粗粮．甲种袋装
粗粮每袋含有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种袋装粗粮每袋含有1千克A粗粮，2千克
B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本分别等于袋中的A、B、C三种粗粮成本之和．已知
每袋甲种粗粮的成本是每千克A种粗粮成本的7.5倍，每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮售价高20%，乙
种袋装粗粮的销售利润率是20%．当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为24%时，该电商销售甲、乙两种
袋装粗粮的袋数之比是_____（商品的销售利润率= ×100%）
【答案】
【解析】
【分析】根据每袋甲种粗粮的成本是每千克A种粗粮成本的7.5倍，可得甲的成本，乙的成本；根据乙种
袋装粗粮的销售利润率是20%，可得乙的售价，根据每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮售价高 20%，可得
甲的售价，根据甲的利润+乙的利润=（甲的成本+乙的成本）×24%，根据等式的性质，可得答案．
【详解】设A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z元，当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为
24%时，该电商销售甲的销售量为a袋，乙的销售量为b袋，由题意，得
A一袋的成本是7.5x=3x+y+z，
化简，得
y+z=4.5x；
乙一袋的成本是x+2y+2z=x+2（y+z）=x+9x=10x，乙一袋的售价为10x（1+20%）=12x，
甲一袋的售价为10x．
根据甲乙的利润，得
（10x-7.5x）a+20%×10xb=（7.5xa+10xb）×24%
化简，得
2.5a+2b=1.8a+2.4b
0.7a=0.4b
，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量
关系是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算
过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
19. 如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD，
若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【答案】20°
【解析】
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到
∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是 EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．
【详解】∵∠EFG=90°，∠E=35°， △
∴∠FGH=55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB=55°﹣35°=20°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
20. 某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事
竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级
（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结
合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（3）班学生总人数是 ，并将条形统计图补充完整；
的
（2）刘老师发现报名参加“植物识别” 学生中恰好有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担
任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率．
【答案】(1)40人，补图见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出C项目的人数后补
全条形统计图；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结
果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）调查的总人数为12÷30%=40（人），
所以C项目的人数为40-12-14-4=10（人）
条形统计图补充为：故答案为40人；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数为8，
所以恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率= ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
四、解答题：（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演
算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
21. 计算：
（1）（x+2y）2﹣（x+y）（x﹣y）；
（2）（a﹣1﹣ ）÷
【答案】（1）4xy+5y2；（2）
【解析】
【分析】（1）原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结
果．
【详解】（1）原式=x2+4xy+4y2﹣x2+y2=4xy+5y2；
（2）原式= ．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= x与直线l 交点A的横坐标为2，将直线l 沿y轴向下平移
1 2 1
4个单位长度，得到直线l，直线l 与y轴交于点B，与直线l 交于点C，点C的纵坐标为﹣2．直线l 与y
3 3 2 2
轴交于点D．
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）求△BDC的面积．
【答案】直线l 的解析式为y=﹣ x+4；（2）16.
2
【解析】
【分析】（1）把x=2代入y= x，得y=1，求出A（2，1）．根据平移规律得出直线l 的解析式为y=
3
x-4，求出B（0，-4）、C（4，-2）．设直线l 的解析式为y=kx+b，将A、C两点的坐标代入，利用待定
2
系数法即可求出直线l 的解析式；
2
（2）根据直线l 的解析式求出D（0，4），得出BD=8，再利用三角形的面积公式即可求出 BDC的面积．
2
△
【详解】（1）把x=2代入y= x，得y=1，
∴A的坐标为（2，1）．
∵将直线l 沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l，
1 3
∴直线l 的解析式为y= x-4，
3
∴x=0时，y=-4，
∴B（0，-4）．
将y=-2代入y= x-4，得x=4，
∴点C的坐标为（4，-2）．
设直线l 的解析式为y=kx+b，
2
∵直线l 过A（2，1）、C（4，-2），
2∴ ，解得 ，
∴直线l 的解析式为y=- x+4；
2
（2）∵y=- x+4，
∴x=0时，y=4，
∴D（0，4）．
∵B（0，-4），
∴BD=8，
∴△BDC的面积= ×8×4=16．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特
征，三角形的面积，正确求出求出直线l 的解析式是解题的关键．
2
23. 在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：
2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数
的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是
原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大
美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，
全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平
均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018
年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
【答案】（1）按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．
（2）10．
【解析】
【分析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50-x）个垃圾集中处理
点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其
最小值即可得出结论；（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费
用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．
【小问1详解】
设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，
根据题意得：x≥4（50﹣x），
解得：x≥40．
答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．
【小问2详解】
修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），
修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．
根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），
设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，
解得：y=0（不合题意，舍去），y=0.1，
1 2
∴a的值为10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据沼气池
的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，列出关于x的一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出
一元二次方程．
24. 如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交
AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH．
（1）若BC=12 ，AB=13，求AF的长；
（2）求证：EB=EH．
【答案】（1）5；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）依据BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12 ，可得等腰Rt BCF中，BF=sin45°×BC=12，再根
△
据勾股定理，即可得到Rt ABF中，AF= =5；
△（2）连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF=EF，
AP=AG=CH，进而得出 APB≌△HCE，依据AB=EH，AB=BE，即可得到BE=EH．
△
【详解】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12 ，
∴等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，
又∵AB=13，
∴Rt△ABF中，AF= =5；
（2）如图，连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，
∵BE=BA，BF⊥AC，
∴AF=FE，
∴BG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，AP=EP，
∵∠GAE=∠ACB=45°，
∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE=90°，
△APE是等腰直角三角形，即∠APE=90°，
∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°，
又∵AG=EG，
∴四边形APEG是正方形，
∴PF=EF，AP=AG=CH，
又∵BF=CF，
∴BP=CE，
∵∠APG=45°=∠BCF，
∴∠APB=∠HCE=135°，
∴△APB≌△HCE（SAS），
∴AB=EH，
又∵AB=BE，
∴BE=EH．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．
25. 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为
“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，
记D（m）= ，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
【答案】（1）是；（2）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．
【解析】
【分析】（1）根据“极数”的概念写出即可，设任意一个“极数”为 （其中1≤x≤9，
0≤y≤9，且x、y为整数），整理可得由 =99(10x+y+1)，由此即可证明；
（2）设m= （其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），由题意则有D（m）=3
（10x+y+1），根据1≤x≤9，0≤y≤9，以及D（m）为完全平方数且为3的倍数，可确定出D(m)可取36、
81、144、225，然后逐一进行讨论求解即可得．
【详解】（1）如：1188，2475，9900（答案不唯一，符合题意即可）；
猜想任意一个“极数”是99的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为 （其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），
=1000x+100y+10(9-x)+(9-y)
=1000x+100y+90-10x+9-y
=990x+99y+99
=99(10x+y+1)，
∵x、y为整数，则10x+y+1为整数，
∴任意一个“极数”是99的倍数；
（2）设m= （其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），由题意则有D（m）= =3（10x+y+1），
∵1≤x≤9，0≤y≤9，
∴33≤3（10x+y+1）≤300，
又∵D（m）为完全平方数且为3的倍数，
∴D(m)可取36、81、144、225，
①D(m)=36时，3（10x+y+1）=36，
10x+y+1=12，
∴x=1，y=1，m=1188；
②D(m)=81时，3（10x+y+1）=81，
10x+y+1=27，
∴x=2，y=6，m=2673；
③D(m)=144时，3（10x+y+1）=144，
10x+y+1=48，
∴x=4，y=7，m=4752；
④D(m)=225时，3（10x+y+1）=225，
10x+y+1=75，
∴x=7，y=4，m=7425；
综上所述，满足D(m)为完全平方数的m的值为1188，2673，4752，7425．
【点睛】本题考查数值问题，包括：题目翻译，数位设法，数位整除，完全平方数特征，分类讨论等，易
错点是容易忽略数值上取值范围及所得关系式自身特征．
五、解答题：（本大题1个小题，共12分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步
骤请将解答书写在答题卡中对应的位置上
26. 抛物线y=﹣ x2﹣ x+ 与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是
该抛物线的顶点．
（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；
（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿
x轴左右平移，线段OB的对应线段是OB，当PE+ EC的值最大时，求四边形POBC周长的最小值，
1 1 1 1
并求出对应的点O 的坐标；
1
（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△OBC的位置，再将
2 2△OBC绕点B 旋转一周在旋转过程中，点O，C的对应点分别是点O，C ，直线OC 分别与直线AC，
2 2 2 2 3 1 3 1
x轴交于点M，N．那么，在△OBC的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的
2 2
等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段OM的长；若不存在，请说明理由．
2
【答案】（1） ；（2） ；O 的坐标为（- ，0）；（3）存在，OM的长 或 或
1 2
或 ．
【解析】
【分析】（1）分别表示C和D的坐标，利用勾股定理可得CD的长；
（2）令y=0，可求得A（-3 ，0），B（ ，0），利用待定系数法可计算直线AC的解析式为：y=
x+ ，设E（x， x+ ），P（x，﹣ x2﹣ x+ ），表示PE的长，利用勾股定理计算
AC的长，发现∠CAO=30°，得AE=2EF= x+2 ，计算PE+ EC，利用配方法可得当PE+ EC的值
最大时，x=-2 ，此时P（-2 ， ），确定要使四边形POBC周长的最小，即PO+BC的值最小，
1 1 1 1
将点P向右平移 个单位长度得点P（- ， ），连接PB，则PO=PB，再作点P 关于x轴的对
1 1 1 1 1 1 1
称点P（- ，- ），可得结论；
2
（3）先确定对折后OC落在AC上，△AMN是以MN为腰的等腰三角形存在四种情况：
2
①如图4，AN=MN，证明△C EC≌△BOM，可计算OM的长；
1 2 2 2②如图5，AM=MN，此时M与C重合，OM=OC= ；
2 2
③如图6，AM=MN，N和H、C 重合，可得结论；
1
④如图7，AN=MN，过C 作C E⊥AC于E证明四边形C EOB 是矩形，根据OM=EO+EM可得结论．
1 1 1 2 2 2 2
【详解】（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，
当x=0时，y= ，
∴C（0， ），
y=﹣ x2﹣ x+ =- ，
∴D（- ， ），
∴DK= ，CK= - = ，
∴CD= ；
（2）在y=- x2﹣ x+ 中，令y=0，则- x2﹣ x+ =0，
解得：x=-3 ，x= ，
1 2
∴A（-3 ，0），B（ ，0），
∵C（0， ），易得直线AC的解析式为：y= x+ ，
设E（x， x+ ），P（x，- x2﹣ x+ ），
∴PF=- x2﹣ x+ ，EF= x+ ，
Rt△ACO中，AO=3 ，OC= ，
∴AC=2 ，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF= x+ ，
∴PE+ EC=（- x2﹣ x+ ）-（ x+ ）+ （AC-AE），
=- x2- x+ [2 -（ x+ ）]，
=- x2- x- x，
=- （x+2 ）2+ ，
∴当PE+ EC的值最大时，x=-2 ，此时P（-2 ， ），
∴PC=2 ，
∵OB=OB= ，
1 1
∴要使四边形POBC周长的最小，即PO+BC的值最小，
1 1 1 1
如图2，将点P向右平移 个单位长度得点P（- ， ），连接PB，则PO=PB，
1 1 1 1 1 1再作点P 关于x轴的对称点P（- ，- ），则PB=PB，
1 2 1 1 2 1
∴PO+BC=PB+BC，
1 1 2 1 1
∴连接PC与x轴的交点即为使PO+BC的值最小时的点B，
2 1 1 1
∴B（- ，0），
1
将B 向左平移 个单位长度即得点O，
1 1
此时PO+BC=PC= ，
1 1 2
对应的点O 的坐标为（- ，0），
1
∴四边形POBC周长的最小值为 ；
1 1
（3）OM的长度为 或 或2 + 或2 - ．
2
理由 是：如图3，
∵H是AB的中点，
∴OH= ，
∵OC= ，
∴CH=BC=2 ，
∴∠HCO=∠BCO=30°，
∵∠ACO=60°，
∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O 在AC上，
2∴∠BCA=∠CAB=30°，
2
∴BC∥AB，
2
∴B（-2 ， ），
2
①如图4，AN=MN，
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠OBO，
2 2 3
由旋转得：∠CB C =∠OBO=30°，BC=BC ，
2 1 2 2 3 2 2 1
∴∠BCC =∠BC C=75°，
2 1 2 1
过C 作C E⊥BC于E，
1 1 2
∵BC=BC =2 ，
2 2 1
∴C E＝ =BO，BE= ，
1 2 2 2
∵∠OMB =∠BMO =75°=∠BCC ，
2 2 2 3 2 1
∠BOM=∠C EC=90°，
2 2 1
∴△C EC≌△BOM，
1 2 2
∴OM=CE=BC-BE=2 - ；
2 2 2
②如图5，AM=MN，此时M与C重合，OM=OC= ，
2 2
③如图6，AM=MN，∵BC=BC =2 =BH，即N和H、C 重合，
2 2 1 2 1
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO =30°，
2
∴OM= AO= ；
2 2
④如图7，AN=MN，过C 作C E⊥AC于E，
1 1
∴∠NMA=∠NAM=30°，
∵∠OC B=30°=∠OMA，
3 1 2 3
∴C B∥AC，
1 2
∴∠C BO=∠AOB=90°，
1 2 2 2 2
∵∠C EC=90°，
1
∴四边形C EOB 是矩形，
1 2 2
∴EO=C B=2 ，C E＝BO＝ ，
2 1 2 1 2 2
∴EM= ，
∴OM=EO+EM=2 + ，
2 2
综上所述，OM的长是 或 或2 + 或2 − ．
2【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问题，对于第3问等腰三角形的判定
要注意利用数形结合的思想，属于中考压轴题．
