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2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）答案及解析
一、选择题 (本大题12个小题，每小题4分，共48分。)
1. 2的相反数是（ ）
A. 2 B. －2 C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得．
的
【详解】A、40° 直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；
B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；
C平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；
D矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟知轴对称图形是指一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁 的部
分完全重合的图形是解题的关键．3. 为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是（ ）
A. 企业男员工 B. 企业年满50岁及以上的员工
C. 用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工 D. 企业新进员工
【答案】C
【解析】
【详解】【分析】样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所
体现．根据样本的确定方法与原则，结合实际情况，依次分析选项可得答案．
【详解】A、调查对象只涉及到男性员工，选取的样本不具有代表性质；
B、调查对象只涉及到即将退休的员工，选取的样本不具有代表性质；
C、用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工，选取的样本具有代表性；
D调查对象只涉及到新进员工，选取的样本不具有代表性，
故选：C．
【点睛】本题考查了样本的确定方法，明确样本要具有代表性和广泛性是解题的关键．
4. 把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第
③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n个图案中三角形的个数为2
（n+1），由此即可得.
【详解】∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；
第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；
第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；
……
∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）
∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，
故选C.
【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结
果是解题的关键.5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 ， 和 ，另一个三角
形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形三边对应成比例进行求解即可得.
【详解】设另一个三角形的最长边为xcm，由题意得
5：2.5=9：x，
解得：x=4.5，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分
C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分
【答案】D
【解析】
【详解】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐项进行判断即可得.
【详解】A、平行四边形的对角线互相平分，故A选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故B选项错误；
C、菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，故C选项错误；
D、正方形的对角线互相垂直平分，故D选项正确，
故选D.
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关对角线的性质，熟练掌握是解题的
关键.
7. 估计 的值应在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解】
= ，
= ，
而 ，
4< <5，
所以2< <3，
所以估计 的值应在2和3之间，
故选B.
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼
法”是解题的关键.
8. 按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可知，代入 、 值前需先判断 的正负，再进行运算方式选择，据此逐项进行计算即可得．【详解】A选项 ，故将 、 代入 ，输出结果为 ，不符合题意；
B选项 ，故将 、 代入 ，输出结果为 ，不符合题意；
C选项 ，故将 、 代入 ，输出结果为 ，符合题意；
D选项 ，故将 、 代入 ，输出结果为 ，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查程序型代数式求值，解题的关键是根据运算程序，先进行 的正负判断，选择对应
运算方式，然后再进行计算．
9. 如图，已知AB是 的直径，点P在BA的延长线上，PD与 相切于点D，过点B作PD的垂线交
PD的延长线于点C，若 的半径为4， ，则PA的长为（ ）
A. 4 B. C. 3 D. 2.5
【答案】A
【解析】
【详解】【分析】连接OD，由已知易得△POD∽△PBC，根据相似三角形对应边成比例可求得PO的长，
由PA=PO-AO即可得.
【详解】连接OD，
∵PD与⊙O相切于点D，∴OD⊥PD，
∴∠PDO=90°，
∵∠BCP=90°，
∴∠PDO=∠PCB，
∵∠P=∠P，
∴△POD∽△PBC，∴PO：PB=OD：BC，
即PO：（PO+4）=4：6，
∴PO=8，
∴PA=PO-OA=8-4=4，
故选A.
【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，连接OD构造相似三角形是解题的
关键.
10. 如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测
得旗杆顶端的仰角 ，升旗台底部到教学楼底部的距离 米，升旗台坡面CD的坡度
，坡长 米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离 米，则旗杆AB的高度约为
（ ）
（参考数据： ， ， ）
A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米
【答案】B
【解析】
【分析】延长AB交地面于点H，作CM⊥DE， 易得CM=1.6，DM=1.2，再由tan58°= ，求得AH长
即可得.
【详解】延长AB交地面于点H，作CM⊥DE，则四边形BHMC是矩形，
∴HM=BC=1，BH=CM，
∵ ，i=CM：DM，∴DM=0.75CM，
∵DM2+CM2=CD2， ，
∴CM=1.6，DM=1.2，
∴HE=HM+DM+DE=1+1.2+7=9.2，
在Rt△AHE中，∠AEB=58°，∴tan58°= ，
即 =1.6，
∴AH=14.72，
∴AB=AH-BH=14.72-1.6=13.12≈13.1（米），
故选B.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，从图中提取相关信息是
解题的关键.
11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数 （ ， ）的图象上，
横坐标分别为1，4，对角线 轴．若菱形ABCD的面积为 ，则k的值为（ ）A. B. C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，BM=4-1=3，AM=m-n，由菱形的面积可推得m-
n= ，再根据反比例函数系数的特性可知m=4n，从而可求出n的值，即可得到k的值.
【详解】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，
则有BM=4-1=3，AM=m-n，
∴S =4× BM•AM，
菱形ABCD
∵S = ，
菱形ABCD
∴4× ×3（m-n）= ，
∴m-n= ，
又∵点A，B在反比例函数 ，
∴k=m=4n，
∴n= ，
∴k=4n=5，故选D.
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、菱形的性质、菱形的面积等，熟记菱形的对角线互相垂直
平分是解题的关键.
12. 若数 使关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于y的方程
的解为非负数，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，根据只有四个整数解确定出a的取值范围，解分式方程后根据解为非负数，
可得关于a的不等式组，解不等式组求得a的取值范围，即可最终确定出a的范围，将范围内的整数相加
即可得.
【详解】解不等式 ，得 ，
由于不等式组只有四个整数解，即 只有4个整数解，
∴ ，
∴ ；
解分式方程 ，得 ，
∵分式方程的解为非负数，∴ ，
∴a≤2且a≠1，
∴ 且a≠1，
∴符合条件的所有整数 为：-1，0，2，
和为：-1+0+2=1，
故选C.
【点睛】本题考查含有参数的不等式和含有参数的分式方程的应用，熟练掌握不等式组的解法、分式方程
的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键.
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中
对应的横线上．
13. 计算： ______________．
【答案】3
【解析】
【详解】【分析】先分别进行绝对值化简、0次幂的计算，然后再进行加法计算即可得.
【详解】
=2+1
=3，
故答案为3.
【点睛】本题考查了实数的运算，熟知任何非0数的0次幂为1是解题的关键.
14. 如图，在矩形ABCD中， ， ，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中
阴影部分的面积是___________（结果保留 ）．
【答案】
【解析】【分析】由S =S -S ，根据矩形面积公式、扇形面积公式进行计算即可得.
阴影 矩形ABCD 扇形ADE
【详解】S =S -S
阴影 矩形ABCD 扇形ADE
=2×3-
=6-π，
故答案为6-π.
【点睛】本题考查扇形、四边形面积的计算，结合图形确定出阴影部分面积的求法是解题的关键.
15. 春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的
游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为__．
【答案】23.4
【解析】
【详解】【分析】将折线统计图中 的数据按从小到大进行排序，然后根据中位数的定义即可确定.
【详解】从图中看出，五天的游客数量从小到大依次为21.9，22.4，23.4，24.9，25.4，
则中位数应为23.4，
故答案为23.4.
【点睛】本题考查了中位数的定义，熟知“中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排
列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）”是解题的关键.
16. 如图，把三角形纸片折叠，使点 、点 都与点 重合，折痕分别为 ， ，得到 ，
若 厘米，则 的边 的长为____________厘米.【答案】
【解析】
【详解】【分析】过点E作EH⊥AG于H，由AE=EG=2 ，∠AGE=30°可求得AG的长，由翻折可知
AE=BE、AG=CG，根据BC=BE+EG+CG，将数据代入相加即可得.
【详解】过点E作EH⊥AG于H，
∵AE=EG=2 ，∠AGE=30°，
∴AG=2AH =2AE •cos30°=2×2 × =6，
由翻折得 ，
∴ ，
故答案为6+4 .
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、折叠的性质等，解题的关键是正确添加辅助线构造直
角三角形.
17. 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从 地出发到 地，分别以一定的速度匀速
行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生
故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达 地.甲、乙两车相距的路程 （千
米）与甲车行驶时间 （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距 地还有____________千米.【答案】90
【解析】
【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车
的距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B
地，设乙车出故障前走了t 小时，修好后走了t 小时，根据等量关系甲车用了 小时行驶了
1 2
全程，乙车行驶的路程为60t+50t=240，列方程组求出t，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B
1 2 2
地的路程.
【详解】解：甲车先行40分钟（ ），所行路程为30千米，
因此甲车的速度为 （千米/时），
设乙车的初始速度为V ，则有
乙
，
解得： （千米/时），
因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），
设乙车出故障前走了t 小时，修好后走了t 小时，则有
1 2
，解得： ，
45×2=90（千米），
故答案为90.
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组
进行求解是关键.
18. 为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装
有3千克 粗粮，1千克 粗粮，1千克 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克 粗粮，2千克 粗粮，2千克粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中 三种粗粮的成本价之和.已知 粗粮每千克成
本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮
的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是____________________.
（ ）
【答案】
【解析】
【详解】【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本，然后设设甲销售 袋，乙销售 袋使总利润
率为24%，根据等量关系：（甲的成本+乙的成本）×24%=a袋甲种粗粮的利润+b袋乙种粗粮的利润，列
出方程进行整理即可得.
【详解】用表格列出甲、乙两种粗粮的成分：
品种
甲 乙
类别
3 1
1 2
1 2
由题意可得甲的成本价为： =45（元），
甲中A的成本为：3×6=18（元），
则甲中B、C的成本之和为：45-18=27（元），
根据乙的组成则可得乙的成本价为：6+27×2=60（元），
设甲销售 袋，乙销售 袋使总利润率为24%，则有
（45a+60b）×24%=(58.5-45)a+(72-60)b，
整理得：2.7a=2.4b，
所以，a：b=8：9，
故答案为 .【点评】本题考查了方程的应用，难度较大，根据题意求出甲、乙两种包装的成本价是解题的关
键.
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算
过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位
置上。
19. 如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数．
【答案】72°
【解析】
【分析】由平行线的性质可求得∠ABC=54°，再根据角平分线的定义可求得∠ABD=108°，再由平行线的性
质可求得 ∠CDB=72°，根据对顶角相等即可求得∠2=72°．
【详解】解：∵ AB//CD，∠1=54°，
∴ ∠ABC=∠1=54°，
∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠ABD=2∠ABC =2×54°=108°，
∵ AB//CD，
∴ ∠ABD+∠CDB=180°，
∴ ∠CDB=180°-∠ABD=72°，
∵ ∠2=∠CDB，
∴ ∠2=72°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
20. 某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统
计图，请结合图中相关数据解答下列问题：（1）请将条形统计图补全；
（2）获得一等奖的同学中有 来自七年级，有 来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一
等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有
九年级同学的概率.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据参与奖有10人，占比25%可求得获奖的总人数，用总人数减去二等奖、三等奖、鼓励
奖、参与奖的人数可求得一等奖的人数，据此补全条形图即可；
（2）根据题意分别求出七年级、八年级、九年级获得一等奖的人数，然后通过列表或画树状图法进行求
解即可得出．
【详解】（1）调查的总人数为10÷25%=40（人），
∴获一等奖人数：40-8-6-12-10=4（人），
补全条形图如图所示：
（2）七年级获一等奖人数：4× =1（人），八年级获一等奖人数：4× =1（人），
∴ 九年级获一等奖人数：4-1-1=2（人），
七年级获一等奖的同学用M表示，八年级获一等奖的同学用N表示，
九年级获一等奖的同学用P 、P 表示，树状图如下：
1 2
共有12种等可能结果，其中获得一等奖的既有七年级又有九年级人数的结果有4种，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率P= ．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或事件B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
四、解答题（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算
过程或推理步骤，画出必要的图形，（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的
位置上。
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据单项式乘多项式法则、平方差公式进行展开，然后再合并同类项即可得；
（2）括号内先通分进行分式的加减运算，再进行分式的除法运算即可得．
【详解】解（1）原式= = ；（2）原式=
=
= ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 过点 且与 轴交于点 ，把点 向左平移2个单
位，再向上平移4个单位，得到点 .过点 且与 平行的直线交 轴于点 .
（1）求直线 的解析式；
（2）直线 与 交于点 ，将直线 沿 方向平移，平移到经过点 的位置结束，求直线
在平移过程中与 轴交点的横坐标的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）由题意先求出点A的坐标，再根据平移求得点C的坐标，由直线CD与y=2x平行，可设直
线CD的解析式为y=2x+b，代入点C坐标利用待定系数法即可得；
的
（2）先求得点B坐标，根据直线平移后经过点B，可得平移后 解析式为y=2x+3，分别求得直线CD、直线BF与x轴的交点坐标即可得到平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围.
【详解】（1） 点 在直线 上，
， ，
又 点 向左平移2个单位，又向上平移4个单位得到点 ，
，
直线 与 平行，
设直线 的解析式为 ，
又 直线 过点 ，
∴2=6+b，解得b=-4，
直线 的解析式为 ；
（2）将 代入 中，得 ，即 ，
故平移之后的直线 的解析式为 ，
令 ，得 ，即 ，
将 代入 中，得 ，即 ，
平移过程中与 轴交点的取值范围是： .
【点评】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法等，明确直线平移k值不变是解题的关键.
23. 在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
（1） 原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少
是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？
（2） 到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道
路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.
经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路
硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道
路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
【答案】（1）40千米；（2）10.
【解析】
【分析】（1）设道路硬化的里程数是x千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列
不等式进行求解即可得；
（2）根据题意先求出2017年道路硬化、道路拓宽的里程数以及每千米的费用，然后表示出今年6月起道
路硬化、道路拓宽的经费及里程数，根据投入比2017年增加10%，列方程进行求解即可得.
【详解】（1）设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是40千米；
（2）由题意得：
2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，
化简得： ，
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，
10 -t=0，
t(10t-1)=0，∴ （舍去）， ，
∴综上所述： a = 10，
答：a的值为10.
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是将道路硬化，道路拓
宽的里程数及每千米需要的经费求出.
24. 如图，在平行四边形 中，点 是对角线 的中点，点 是 上一点，且 ，连接
并延长交 于点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，交 于点 .
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由AH=3，HE=1可求得AB的长，根据勾股定理可求得BH的长，然后根据三角形的面积公
式进行求解即可；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，结合图形根据已知条件可以
得到 ，继而可得到 ，通过证明 ，可得 ，根据等
的
腰三角形 性质可求得 ，再根据平行四边形的性质可以证明 ，从而得
，继而可得 .【详解】（1） ，
，
又 在 中， ，
；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，
=90°，
=45°，
=45°
，
，
，
=90°，
，
=180°，
=180°，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
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，，
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，
.
【点睛】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等，
综合性较强，正确添加辅助线、应用数形结合思想进行解题是关键.
25. 对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为
“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，
记D（m）= ，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
【答案】（1）是；（2）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．
【解析】
【分析】（1）根据“极数”的概念写出即可，设任意一个“极数”为 （其中1≤x≤9，
0≤y≤9，且x、y为整数），整理可得由 =99(10x+y+1)，由此即可证明；
（2）设m= （其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），由题意则有D（m）=3
（10x+y+1），根据1≤x≤9，0≤y≤9，以及D（m）为完全平方数且为3的倍数，可确定出D(m)可取36、
81、144、225，然后逐一进行讨论求解即可得．
【详解】（1）如：1188，2475，9900（答案不唯一，符合题意即可）；
猜想任意一个“极数”是99的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为 （其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），=1000x+100y+10(9-x)+(9-y)
=1000x+100y+90-10x+9-y
=990x+99y+99
=99(10x+y+1)，
∵x、y为整数，则10x+y+1为整数，
∴任意一个“极数”是99的倍数；
（2）设m= （其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），
由题意则有D（m）= =3（10x+y+1），
∵1≤x≤9，0≤y≤9，
∴33≤3（10x+y+1）≤300，
又∵D（m）为完全平方数且为3的倍数，
∴D(m)可取36、81、144、225，
①D(m)=36时，3（10x+y+1）=36，
10x+y+1=12，
∴x=1，y=1，m=1188；
②D(m)=81时，3（10x+y+1）=81，
10x+y+1=27，
∴x=2，y=6，m=2673；
③D(m)=144时，3（10x+y+1）=144，
10x+y+1=48，
∴x=4，y=7，m=4752；
④D(m)=225时，3（10x+y+1）=225，
10x+y+1=75，
∴x=7，y=4，m=7425；
综上所述，满足D(m)为完全平方数的m的值为1188，2673，4752，7425．
【点睛】本题考查数值问题，包括：题目翻译，数位设法，数位整除，完全平方数特征，分类讨论等，易
错点是容易忽略数值上取值范围及所得关系式自身特征．五、解答题（本大题1个小题，共12分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，
画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26. 如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上,且横坐标为1，点 与点 关于抛物线的
对称轴对称，直线 与 轴交于点 ，点 为抛物线的顶点，点 的坐标为
（1）求线段 的长；
（2）点 为线段 上方抛物线上的任意一点，过点 作 的垂线交 于点 ，点 为 轴上一点，
当 的面积最大时，求 的最小值；
（3）在（2）中， 取得最小值时，将 绕点 顺时针旋转 后得到 ,过
点 作 的垂线与直线 交于点 ，点 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在
点 ，使得点 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理
由.
【答案】（1） ； = ； (-1，3+ )； (-1，3- )； (5，3)；
(-1，8)【解析】
【详解】【分析】（1）由已知易得A、B的坐标，由此即可得；
（2）延长 ，交 于点 ，根据B、E的坐标可得直线BE的解析式，设 ( ，
)， ，则 (m，m)，因此则S = =PN，由此可知当 取最大值时，
△PBE
取最大值，从而可得 ( ， )， ( ， )，构造与 轴夹角为 的直线OM，如图
所示，可得 ，即 ，从而有
，继而可得当 时， ，即可求得；
（3）由OM的解析式为 ，HM⊥OM，且HM过点H，可知HM的解析式为:
，从而可得 (0，3- ），根据点C坐标继而可得 (-1，3)，然后分
为边， 为对角线，两种情况分别画图结合图形即可得.
【详解】（1）由题意得 (1，3)，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点D(2，4)， (0，3)，
由点 与点 关于抛物线的对称轴对称，则 (3，3），
则 ；
（2）延长 ，交 于点 ，
(3，3)， (1，1)，
直线 的解析式为： ，
设 ( ， )， ，则 (m，m)，则S = =PN，
△PBE
∴当 取最大值时， 取最大值，
，
，
当 ，PN取最大值，
∴ ( ， )， ( ， )，
构造与 轴夹角为 的直线OM，如图所示，
则 ，即 ，
，
当 时， ，
，，
；
（3）∵OM的解析式为 ，HM⊥OM，且HM过点H，
∴HM的解析式为: ，
∴ (0，3- ），
又∵ (0，3)，
，
在 中， =30°，
，
(-1，3)，
①以 为边，此时 (-1，3- )； (5，3)； (-1，3+ )；
②以 为对角线， 此时 (-1，8).【点评】本题考查了二次函数性质、最值问题、特殊图形的存在性问题等，综合性较强，难度较
大，第（2）问的考查的是双最值的问题.前半部分求面积的最大值要把它转化成求线段的最大值.
后半部分为三条线段和最小问题，求解过程中，利用点到直线的距离公式求线段长，则计算会简
化很多；第（3）问考查特殊图形的存在性问题(菱形的存在性问题)，从已知的线段为边或对角线
两种情况进行讨论是关键.
