2015年重庆市中考数学真题（A卷）（解析卷）_重庆历年中考真题2008-2026_2.重庆中考数学2008-2026

（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为 .
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．在—4，0，—1，3这四个数中，最大的数是（ ）
A. —4 B. 0 C. —1 D. 3
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据正数大于0大于一切负数，所以最大的数是3.故选：D.
考点：实数的大小比较.
2．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D
【答案】A.
考点：轴对称图形和中心图形的判断和区分.
12
3．化简 的结果是（ ）
4 3 2 3 3 2 2 6
A. B. C. D.【答案】B.
【解析】
试题分析：根据二次根式的化简， .故选：B.
考点：二次根式的化简.
 a2b 3
4．计算 的结果是（ ）
a6b3 a2b3 a5b3 a6b
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
试题分析：根据积的乘方，分别乘方，再由幂的乘方得出结果： .故选：A.
考点：积的乘方、幂的乘方运算法则.
5．下列调查中，最适合用普查方式的是（ ）
A. 调查一批电视机的使用寿命情况
B. 调查某中学九年级一班学生的视力情况
C. 调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况
D. 调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况
【答案】B.
考点：调查方式.
6．如图，直线 AB∥CD，直线 EF 分别与直线 AB,CD 相交于点 G，H.若1=135°，则2 的度数为
（ ）
A. 65° B. 55° C. 45° D. 35°6题图
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠2=180°-∠1=180°-135°=45°.故选：C.
考点：平行线的性质.
7．在某校九年级二班组织的跳绳比赛中，第一小组五位同学跳绳的个数分别为 198,230,220,216,209，则
这五个数据的中位数为（ ）
A.220 B.218 C.216 D.209
【答案】C.
考点：中位数.
x2 2x0
8．一元二次方程 的根是（ ）
x 0,x 2 x 1,x 2
A. 1 2 B. 1 2
x 1,x 2 x 0,x 2
C. 1 2 D. 1 2
【答案】D.
【解析】
试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：
，因此 或 ，所以 .故选：D.
考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.
9.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D.若AOC=80°，则ADB的度数为（ ）
A.40° B.50° C.60° D.20°
9题图
【答案】B.
考点：圆的基本性质、切线的性质.
10．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间.设他从山脚出
发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的
是（ ）
A．小明中途休息用了20分钟
B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C．小明在上述过程中所走的路程为6600米
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
10题图
【答案】C.
【解析】试题分析：从图象来看，小明在第40分钟时开始休息，第60分钟时结束休息，故休息用了20分钟，A正
确；小明休息前爬山的平均速度为： （米/分），B正确；小明在上述过程中所走的路程为3800
米，C错误；小明休息前爬山的平均速度为：70米/分，大于休息后爬山的平均速度：
米/分，D正确.故选：C.
考点：函数的图象、行程问题.
11．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②
个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，．．．，按此规律排列，则第⑦个图形中
小圆圈的个数为（ ）
① ② ③
A.21 B.24 C.27 D.30
【答案】B.
考点：图形的规律.
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A,B两点的纵坐标分别为
3
y 
3,1，反比例函数 x 的图象经过A,B两点，则菱形ABCD的面积为（ ）
2 2 4 2
A. 2 B. 4 C. D.12题图
【答案】D.
【解析】
试题分析：要求菱形的面积，需要求出菱形的边长及高.由于A、B两点的纵坐标知道，且反比例函数
的图象经过A,B两点，故可以构造直角三角形来解决.如下图，分别过点A、B作AE⊥x轴于E，
BF⊥x轴于F，延长CB与AE相交于点G.由题意，易知AE=3，OE=1，BF=1，OF=3，∴BG=EF=2，
GE=BF=1,∴AG=2∴ .
∴ .故选：D.
G
E F
考点：反比例函数与几何图形的综合应用.
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．我国“南仓”级远洋综合补给舰满载排水量为37000吨，把数37000用科学记数法表示为 .
【答案】 .
【解析】
试题分析：由科学记数法表示方式 .故答案为： .
考点：科学记数法.
20150  2 
14．计算： .【答案】 .
【解析】
试题分析：由零次幂的定义、绝对值的性质，可得 .故答案为： .
考点：实数的运算.
15.已知△ABC∽△DEF,ABC与DEF 的相似比为 4:1，则 ABC与DEF 对应边上的高之比为
.
【答案】4：1.
考点：相似三角形的性质.
 4 2
16.如图，在等腰直角三角形ABC中， ACB=90°，AB= ，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点
D，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留 ）
16题图
【答案】 .
考点：解直角三角形、扇形面积、割补法.
2x34

17.从 3,2,1,0,4 这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是不等式组 3x111 的解，1
y 
又在函数 2x2 2x 的自变量取值范围内的概率是 .
【答案】 .
【解析】
试题分析：由不等式组 ，解得： ；又由函数 ，得：
，所以 ，即概率是 .故答案为： .
考点：概率的计算、不等式组的解法、函数自变量取值范围的综合.
4 6 
18．如图，在矩形ABCD中，AB= ,AD=10,连接BD， DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点
B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BCE.当射线BE和射线BC都与线段AD相交时，设交点分别
F,G.若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为 .
M
18题图
【答案】 .考点：全等三角形、相似三角形、勾股定理、角平分线性质、旋转的综合运用.
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．解方程组
【答案】 .
【解析】
试题分析：此题可用代入消元法解，也可用加减消元法来解.将代入，得 ，解得： ；
将 代入，得： .所以原方程组的解是 .故答案为： .
考点：二元一次方程组的解法.
20．如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,B=E。
求证：ADB=FCE.
20题图
【答案】证明见解析.考点：全等三角形的证明.
四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推
理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
21.计算：
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）先观察发现此题是由两部分构成，单项式乘多项式、完全平方公式；（2）先将括号内通
分、分式分子分母因式分解后约分，注意将 当作一个整体处理；
试题解析：（1）原式= .
（2）原式
故答案为：（1） ；（2） .
考点：整式的运算、分式的化简、乘法公式.
22．为贯彻政府报告中“全民创新，万众创业”的精神，某镇对辖区内所有的小微企业按年利润w（万
元）的多少分为以下四个类型：A类（w10），B类(10w20)，C类(20w30)，D类(w30)，
该镇政府对辖区对辖区内所有的小微企业的相关信息进行统计后,绘制成以下条形统计图和扇形统计图,请
你结合图中信息解答下列问题：
（1）该镇本次统计的小微企业总个数是 ，扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为 度，
请补全条形统计图；
（2）为进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业派一名代表参会，
计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D类企业的4个参会代表中2个来自高新区，另2个来自开发区，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率。
【答案】(1)25；72；补图如图所示；(2)P= .
【解析】
试题分析：（1）该镇本次统计的小微企业的总个数是25，扇形统计图中B类所对应的扇形圆心角为72 度，
补全条形统计图略；（2）画树状图或列表求出概率.
试题解析：(1)25；72；补图略；
(2)记来自高新区的两个代表为 ,来自开发区的两个代表为 ，列表如下：
第二个
第一个由列表可知，共有12种等可能情况，其中两个发言代表都来自高新区的有2种.
所以，两个发言代表都来自高新区的概率 .
考点：统计与概率.
23．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出
的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如：自然数12321，从最高位到个位排
出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一
个“和谐数”.再如：22，545，3883，34543，…，都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；
(2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为 x( ，x为自然数)，十位上的
数字为y，求y与x的函数关系式.
【答案】（1）如：1111，2222，3443等；（2） 与 的函数关系式为 .
即任意一个四位“和谐数”能被11整除.
（2）∵这个三位“和谐数”的个位上的数字为 ，十位上的数字为 ，
∴这个三位“和谐数”可表示为： .
∵ ，
又∵这个三位“和谐数”能被11整除，且 是自然数，
∴ 能被11整除.
∵ ∴ .
∴ 与 的函数关系式为 .
考点：新定义题、数的整除、代数式及其变形.
24．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角 ，渔船N在俯角 ，已知MN所在
直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，且PE长为30米.
（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度 .为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝
的背水坡通过填筑土石方加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度为 ，施工队施
工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的 2倍，结果比原计划提
前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
（参考数据： ）
P
J α
β
C D F
M N E
B A H
24题图
【答案】（1）两渔船M、N之间的距离为20米；（2）该施工队原计划平均每天填筑864 的土石方.
【解析】
试题分析：此题为重庆2015年中考新增题型，主要为锐角三角函数的应用，方程的综合.
试题解析：⑴在Rt△PEN中，EN=PE=30m.
在Rt△PEM中，设原计划平均每天填筑 ，则原计划 天完成；增加机械设备后，现在平均每天填筑
解得：
经检验： 是原分式方程的解，且满足实际意义
答：该施工队原计划平均每天填筑864 的土石方.
故答案为：（1）两渔船M、N之间的距离为20米；（2）该施工队原计划平均每天填筑864 的土石方.
考点：锐角三角函数的应用，分式方程的应用.
五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推
理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
25．【题文】如图1，在△ABC中， ACB=90°， BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，
过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中
点.DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。
2 3
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC= ，求AB，BD的长。
（2）如图1，求证：HF=EF。
（3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。25题图1 25题图2
【答案】⑴ , ；（2）证明见解析；（3）△CEF为等边三角形.
⑵证明：连接AF,易证：△DAE≌△ADH，故DH=AE
故
易证：△DHF≌△AEF
∴HF=EF
⑶（方法不唯一，有很多，合理即可）
（法一）取AB的中点M，连接CM、FM.
在RT△ADE中，AD=2AE,
FM是△ABD的中位线，故AD=2FM,∴FM=AE.
易证△ACM为等边三角形，故AC=CM
故△ACE≌△MCF
故易证：△CEF为等边三角形C
D
H
F
E
B
A M
（法二）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN；延长BC至点M，使CB=CM，连接AM；延长BD交AM于点P.
易证：△ADE≌△ANE，△ABC≌△AMC.
易证：△ADM≌△ANB，故DM=BN.
CF是△BDM的中位线，EF是△BDN的中位线.
故
故△CEF为等边三角形.
M
C
P D
H
F
E
A B
N
考点：三角形的综合计算与证明.
3
y  x2  3x3 3
26.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 4 交x轴于A，B两点（点A在点B的左
侧），交 y 轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D。
（1）求直线BC的解析式；
2m4
x x
（2）点E（m，0），F（m+2，0）为 轴上两点，其中 ， ， 分别垂直于 轴，交抛物
E F MENF y RFRE
线与点 ， ，交BC于点M，N，当 的值最大时，在 轴上找一点R，使 的值最
RFRE
大，请求出R点的坐标及 的最大值；9 
P ,0
 
（3）如图2，已知x轴上一点 2 ，现以P为顶点，2 3为边长在x轴上方作等边三角形QPG，使
GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的
QPG QPG Q x Q
△QPG为 ，设 与△ADC的重叠部分面积为s，当点 到 轴的距离与点 到直线AW的距
离相等时，求s的值。
【 答 案 】 ⑴ , S=
； （ 2 ） ； （ 3 ）
或
.此时
∴
∴ ,
⑶由题意，Q点在 的角平分线或外角平分线上.
①当Q点在 的角平分线上时，如图：
△Q’RN∽△WCO，故 ，故
△RCM∽△WCO，故CM=
在Rt△Q’MP’中， ，故
在Rt△CP’S中，
故S=
.
考点：二次函数与一次函数、方程、三角形、相似等知识的综合.