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2026 年北京市初中学业水平考试
数学试卷
1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题满分100分．考试时间120分
钟
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
考生须
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
知
4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作
答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
2. 如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 三角尺的直角顶点在直线 上，且直角等于 ，
，
，
．
3. 实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置确定 ， 的取值范围及正负性，结合绝对值的性质及有理数的大小比较法
则进行判断．
【详解】解：由数轴可知， ， ，
∴ ， ，
A：∵ ， ，
∴ ，
∴A不符合题意；
B：∵ ，
∴ ，
又 ∵ ，
∴ ，
∴B不符合题意；
C：∵ ，根据绝对值的性质可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴C符合题意；
D：∵ ， ，
∴ ，
∴D不符合题意．
4. 一个不透明的袋子中仅有 个球，其中有 个白球、 个黄球，其余都是红球，这 个球除颜色外无其他
差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出红球的个数，再用红球个数除以球的总个数，即可得到摸出红球的概率．
【详解】解：∵袋子中共有 个球，其中 个白球， 个黄球，
∴红球的个数为 ，
∴随机摸出一个球是红球的概率为 ．
5. 方程组 的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解： ，
将①式两边同乘2得， ，
得， ，
解得 ，
第3页/共35页
学科网（北京）股份有限公司将 代入①式得， ，
解得 ，
因此原方程组的解为 ．
6. 再生水利用提升工程是北京市“十五五”时期美丽北京建设的重大工程之一．北京市一家在建的再生水
厂建成后每天能够供应 高品质再生水．若一年按365天计．则该再生水厂建成后，一年能够供应
的高品质再生水的总量用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵每天供应量为 ，一年按365天计算
∴一年总供应量为：
因此结果为 ．
7. 如图，点 在射线 上，在射线 上截取 ，分别以 、 为圆心， 长为半径画弧，
两弧相交于点 ．连接 ， ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图过程可知 是等边三角形，从而得到 ， ，由点 在射线
上，在射线 上截取 可知 、 、 三点共线，结合 可得 ，利用等
腰三角形性质及邻补角定义即可求解．
【详解】解：如图：
第4页/共35页
学科网（北京）股份有限公司由作图可知， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵点 在射线 上，在射线 上截取 ，
∴ 、 、 三点共线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
8. 在平面直角坐标系 中，点 ， ．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点
的三角形与 全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论：
①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”；
②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”；
③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”；
④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】 先明确 的边长特征，再逐个判断每个结论，通过计算或举例验证结论是否成立.
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ 是直角三角形， ，三边长为 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司① 对任意 ，取点 ，该点在 轴上，此时 ， ， 为公共边，
∴ ，且 不与 重合，
因此 轴上一定存在友好点，①正确；
② 假设 轴上存在友好点 ， 不与 重合，也不能与 重合（否则无法构成三角形），
∵全等三角形斜边相等，斜边为 ，
∴ ，
解得 或 ，均不符合要求，
因此 轴上不存在友好点，②错误；
③ 当 时，所有符合条件的友好点为 （在 轴）和 （在 轴负半轴），第一象限内没有
友好点，
因此不是对所有点 都成立，③错误；
④ 举例：取 ，如图，设 与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
第6页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，该点在第四象限，
因此存在这样的点 ，使得在第四象限内有B的“友好点”，故④正确，
综上，正确结论为①④.
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不等于 ，列不等式求解即可得到实数 的取值范围．
【详解】解：由题意得， ，
解得， ，
∴实数x的取值范围是 ．
10. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式
．
11. 在凸五边形 中， ， ，则 ________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据多边形内角和可得五边形的内角和为 ，然后问题可求解．
【详解】解：根据多边形内角和可知：五边形的内角和为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
12. 某学校共有2000名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机
抽取了100名学生进行调查，数据整理如下：
每周体育活动时间
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学科网（北京）股份有限公司学生人数 3 7 55 24 11
学校建议，每周体育活动时间小于 的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息．估计该学校
2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出样本中每周体育活动时间小于 的学生人数，计算对应频率，再用全校总人数乘以该频
率，即可得到估计结果．
【详解】解：由题意，抽取的样本中，每周体育活动时间小于 的学生人数为 ，
∴该校 名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数为 ．
13. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．若 ，则
________ （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合
判断两点横坐标的位置，即可比较 与 的大小．
【详解】解：对函数解析式配方得 ，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而增大，
，
，
第9页/共35页
学科网（北京）股份有限公司．
14. 如图， 的两条对角线相交于点O．已知 的面积为 ， 的长为 ，当 的长为
________时， 是菱形．
【答案】
【解析】
【分析】由菱形面积公式 ，解得 ，故 ．
【详解】解：由题意，若 是菱形，
则 的面积 ，
∵ 的面积为 ， 的长为 ，
∴ ．解得 ．
∵四边形 是菱形，
∴ ．
15. 如图，在平面直角坐标系 中，过 轴正半轴上的点 作 轴的平行线，分别交函数
和 的图象于点 、 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 交 轴于点 ，则
的值为________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】设点 的纵坐标为 ，根据平行于 轴直线上点的纵坐标相等，结合反比例函数解析式表示出点
和点 的坐标，进而得到点 的坐标. 利用平行线性质证明 ，根据相似三角形对应边成
比例即可求解．
【详解】解：∵点 在 轴正半轴上，
∴设点 的坐标为 ，其中 ，
∵直线 平行于 轴，
∴点 和点 的纵坐标均为 ，
∵点 、 分别在函数 和 的图象上，
∴把 代入 ，得 ，
∴点 的坐标为 ，
把 代入 ，得 ，
∴点 的坐标为 ，
∵ 轴于点 ，
∴点 的坐标为 ，
第11页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∵ 轴，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16. 如图所示，公路旁自西向东依次有 ， ，…， 共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住
宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自
家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校．
已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为 ，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为 ，
校车从 处至学校的行驶时间为 ．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行
时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）．
（1）若车站设在 处，则住在 处的学生的理想通勤时间为________ ；
（2）若当车站设在 处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则 ________．
【答案】 ①. 34 ②. 5
【解析】
【分析】（1）求出 到 之间有4个相邻住宅间隔，即可求解；
（2）求出学生从 处总步行时间和以及6名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为
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学科网（北京）股份有限公司，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得： 到 之间有 个相邻住宅间隔，
所以住在 处的学生的理想通勤时间为 ；
（2）车站设在 处 ，
学生从 处总步行时间和为 ．
校车从 处到学校的行驶时间为 ，
所以6名学生的校车行驶时间和为 ，
总时间和为 ，
时，总时间和为 ；
时，总时间和为 ；
时，总时间和为 ；
时，总时间和为 ；
时，总时间和为 ；
时，总时间和为 ；
因为 ，
所以 时，总时间和最小，
三、解答题（共68分，第17~19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第
23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得
解不等式②，得 ．
所以原不等式组的解集为 ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式
，
，
第14页/共35页
学科网（北京）股份有限公司，
原式 ．
20. 如图，在 中， ，D，E分别为 ， 的中点， ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】（1）证明：在 中， ，E为 的中点，
，
，
,
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得 ，从而得到 ，即可求证；
（2）根据三角形中位线定理可得 ， ，从而得到 ， ，再由四边形
的面积 的面积 的面积，即可求解．
【小问1详解】
略
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解： ，E分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
， ，
，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
的面积为 ， 的面积为 ，
四边形 的面积 的面积 的面积 ．
21. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，直接写出
的取值范围．
【答案】（1） 的值为2， 的值为3
（2）
【解析】
【分析】（1）将两点坐标代入一次函数解析式，构建二元一次方程组，解方程组求出 ， ；
（2）先写出一次函数解析式，整理不等式 ，分 、 、 三类讨论，结合 的取
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学科网（北京）股份有限公司值范围列不等式求解，合并得到 的范围．
【小问1详解】
解： 函数 的图象经过点 和 ，
，
解得 ，
的值为2， 的值为3；
【小问2详解】
由（1）可得，函数 的解析式为： ，
∵当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，
∴当 时， ，即 ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得 ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得 ，
∵当 时， 恒成立，
∴ 符合题意，
第17页/共35页
学科网（北京）股份有限公司综上所述： ．
22. 在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器
人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：
·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；
·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的 倍．
已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为 ；一台B类机器人起跑
后，前 保持匀速，速度是这台A类机器人的 倍，之后原地维护 ，维护后匀速跑至终点，
速度比维护前增加了 ，完赛成绩为 ．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终
点的路程．
【答案】A类机器人的速度为 ，比赛起点到终点的路程为
【解析】
【分析】根据赛道总路程不变，设A类机器人速度为 ，得出全程路程 ；再根据B类成绩规则，由公
示成绩 算出它含维护的实际总耗时 ，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相
加，与总路程相等建立方程求解．
【详解】设这台A类机器人的速度为 ，
由题意可知， ，
解得 ，
所以 ，
答：这台A类机器人的速度为 ，此次比赛从起点到终点的路程为 ．
23. 若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分
为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下：
第18页/共35页
学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________；
（2）记甲、乙8轮得分的方差分别为 和 ，则 ________ （填“ ”“ ”或“ ”）；
（3）如果丙8轮得分的中位数为 ，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若
是，请说明理由；若不是，请举出反例．
【答案】（1）2；2 （2）
（3）不是，当丙8轮的得分分别为0，0，0，2，3，3，3，3时，丙8轮得分的中位数为 ，但平均数
为 ，小于乙8轮得分的平均数．
【解析】
【分析】（1）根据统计图得出甲、乙的得分，进而求得平均数；
（2）利用方差公式即可求解；
（3）举例子说明．
【小问1详解】
解：甲8轮得分的平均数为： ；
乙8轮得分的平均数为：
【小问2详解】
解：
第19页/共35页
学科网（北京）股份有限公司，
．
【小问3详解】
解：略．
24. 如图，过点P作 的两条切线，切点分别为A，B， 为 的直径，过点B作 的垂线，垂足
为E，交 于点D，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 交 于点F，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：连接 ， ，
第20页/共35页
学科网（北京）股份有限公司，C，D是 上的点，
，
， 是 的两条切线，
， ， ，
点P在 的平分线上，
平分 ，
，
， 为 的直径，
，
，
．
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ， ，根据切线性质可知点 P 在 的平分线上，根据垂径定理可知
，再根据圆周角，圆心角的关系即可得证；
第21页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（2）先由垂径定理求出 的半径，再解直角三角形 ，可得 ，根据相似三角形的性质可求 ，
由 即可求解．
【小问1详解】
略．
【小问2详解】
解： ， 为 的直径，
， ，
在 中， ， ，
．
设 的半径为r，则 ， ，
在 中，由 ，
得 ，
解得 ．
在 中， ， ，
，
，
，
，
第22页/共35页
学科网（北京）股份有限公司，
即 ，
，
．
25. 在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质
的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在 溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量
小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙
（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示：
温度
0 10 20 30 40 50 60 70 80
甲的
溶解 13.3 20.9 31.6 45.8 63.9 85.5 110 138 169
度
（1）根据表中数据，在图中画出 范围内甲的溶解度曲线；
（2）当温度为________ （精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为 ．在该温度下．将 乙加
第23页/共35页
学科网（北京）股份有限公司入 水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至 ，此时会有________ （精确到个位）乙从水
中析出；
（3）当温度为 时，小云将 甲加入到装有 水的1号杯中，将 乙加入到装有 水的
2号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两
种方案：
方案一：将温度提升至 ，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解；
方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入 水，向2号杯中再加入 水，充分搅拌后使两种物质
均能全部溶解．
①方案一中，T的最小值为________（精确到个位）；
②方案二中， 的最小值为________（精确到个位）．
【答案】（1） （2）70（答案不唯一）；58（答案不唯一）
（3）①57（答案不唯一）；②401（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据表格信息描点连线即可；
（2）根据（1）中函数图象判断即可；
（3）①根据（1）中函数图象判断甲、乙溶解度达到 的温度，取较大值即可；
②根据（1）中函数图象得到 时甲、乙溶解度，进而求出溶解 甲、乙需要的水的总质量，求出
第24页/共35页
学科网（北京）股份有限公司、 的值，计算 即可．
【小问1详解】
略；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当温度约为 （精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同；
此时溶解度 ，
降温到 ，乙溶解度约为 ，
因此析出乙的质量为 ；
【小问3详解】
①解：要让 溶质完全溶解在 水中，溶解度需要至少达到 ．
对甲来说，溶解度达到 的温度约为 ，
对乙来说，溶解度达到 的温度约为 ，
因此T的最小值为 ；
②解： 时甲溶解度约为 ，设溶解 甲需要的水的总质量为 ，
由
解得： ，
因此需要加水 ，
即 ；
时乙溶解度约为 ，同理得溶解 乙需要的水的总质量为 ，
因此需要加水 ，
即 ；
第25页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴最终 ．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，对称轴为 ．
（1）求b的值，并用含a的式子表示c；
（2）已知M是抛物线 上的点，M的横坐标为t，抛物线 的顶点为M，且可以由抛物线 平移得到
（特别地，当M是 的顶点时， 即为 ）．若无论t为何值，抛物线 都不经过点O，求a的取值范
围．
【答案】（1） ，
（2） 且
【解析】
【分析】（1）利用抛物线过 直接得 ，再套用对称轴公式 ，化简求出 ；
（2）先写出顶点为 的平移后抛物线 ，代入原点 得到关于 的一元二次方程，方程无实
数根则判别式 ，解不等式得到 范围．
【小问1详解】
解： 抛物线 经过点 ，
．
抛物线 的对称轴为 ，
．
；
第26页/共35页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：设点 ，
是抛物线 上的点，
．
由题意，抛物线 ，
设抛物线 与y轴交于点 ，则 ．
无论t为何值，抛物线 都不经过点O，
无论t为何值，都有 ，
关于t的方程 没有实数根．
，即 ．
，
化简得： ，
解得： ，
且 ．
27. 在 中， ， ，过 的中点 作 的垂线 ，交 于点
，点 在 的延长线上， ．
第27页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（1）如图 ， ，求证： ；
（2）如图 ，点 在 的延长线上， ，连接 ， ，直接写出 的大小，并证
明．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解： 的大小为 ，
证明：如图，过点 分别作 ， 的垂线，分别交 ， 的延长线于点 ， ，
在 中， ，
第28页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
又 是 和 的公共边，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【解析】
【分析】（1） 得 ，通过 ， ，所以 ，
第29页/共35页
学科网（北京）股份有限公司则有 ，然后通过直角三角形的性质可得 ， ，再由线段的和与差即可求解；
（2）过点 分别作 ， 的垂线，分别交 ， 的延长线于点 ， ，分别证明
， ， 所 以 ， 又
，则 ，即 ，从而可得
．
【小问1详解】
略；
【小问2详解】
略．
28. 对于不共线的三点A，B，C，连接 ， ，并作劣弧 ，使得 所在圆的圆心在过点A且与
平行的直线上，称由 ， 和 组成的图形为单弧三角形，记作 ，其中 所在圆
的圆心称为 的弧心．
在平面直角坐标系 中，
（1）如图1，点 ， ， ，直接写出 的弧心的坐标及 的长；
（2）如图2，点 ， ，当 的弧心为O时，求点F的坐标；
第30页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（3）已知点 ，对于平面内的点N，存在点P，Q满足 和 的弧心均为O，
和 都不是钝角三角形，且 ，记N的横坐标为t，直接写出t的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）点F的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据 、 两点坐标求出 的垂直平分线，再结合“过点 且与 平行”的条件进
而得到弧心坐标，最后计算半径与圆心角，代入弧长公式即可；
（2）先根据平行线的性质得出直线 与 的一次项系数相等，利用待定系数法代入点 坐标求出直
线 的一次函数解析式；再根据同圆半径相等得到 ，结合勾股定理列出坐标方程，联立直线
解析式求解并舍去已知点 对应的解，即可得到点 的坐标；
（3）先利用同圆半径相等和勾股定理求出 的长度，再通过作垂线构造矩形得到 、 为非钝角
的有效线段长度；再分 和 两种情况，结合勾股定理逆定理判断 是否为钝角，根据 的
条件列不等式求解；最后合并两种情况的取值范围即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：弧心在过点 且与 平行的直线上，且弧心是 所在圆的圆心，
∴弧心到 、 距离相等，即在 的垂直平分线上，
∵ ， ， 为水平线段（平行于x轴），
∴过 且平行于 的直线为水平线： ，
∴ 中点为 ，其垂直平分线为竖直线： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴两直线交点即为弧心，坐标为 ，
∵弧心到 、 距离相等，
∴半径 为弧心到点 的距离： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 、 与弧心构成直角三角形，
∴圆心角为 ，
∴ 的长 ．
【小问2详解】
解：设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 的弧心为O，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
设点 坐标为 ，过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： （与点 重合，舍去）， ，
将 代入 ，解得 ，
故 的坐标为 ．
【小问3详解】
解：弧心为 ，故 ，即 在单位圆上，
设点 的坐标为 ，
根据勾股定理可得 ，
过点 、 分别作坐标轴平行线，得： ，
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学科网（北京）股份有限公司代入 ，得 ，
由题意可得已知直线 过原点 ，且 ，
分别过点 、 作 的垂线，交直线 于 、 两点，
当点 在线段 上时， 、 均为直角或锐角（非钝角）；
若 在 左侧或 右侧，对应角为钝角；
由 、 、 ，可判定四边形 是矩形，
根据矩形对边相等得： ，
情况1：当 时，
当 与原点 重合时， ，
代入得： ，
此时 为非钝角，因此整条线段 都满足三角形非钝角的要求，有效区域长度为 ，
要存在 ，需有效长度 ，
解得 ，
结合 得 ；
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学科网（北京）股份有限公司情况2：当 时，
当 与原点 重合时， ，
因此直线 上，原点附近一段区域会使 为钝角，
设 中点为 ，∴ ，
， ，
∵ ，
∴圆心到直线 的距离 的平方 ，
∴ ，
要存在 ，需钝角区域宽度 ，
解得 ，
结合 得 ；
合并两种情况，得 的取值范围为 ．
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