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2025 年天津市中考数学真题
本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II
卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并
在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上
无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 计算 的结果等于（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可．
【详解】解： ；
故选B．
2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题主要查了简单组合体的三视图．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解．
【详解】解：根据题意得：它的主视图是
故选：D
3. 估计 的值在（ ）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值在3和4之间；
故选C．
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B5. 据 年 月 日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到
为
人次．将数据 用科学记数法表示应 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成 的形式，其
中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 时， 是正整数；当原数的绝对值小于 时， 是负
整数．
【详解】解：将数据 用科学记数法表示应为 ．
故选：B．
6. 的值等于（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解．
【详解】解：
故选：A．
7. 若点 都在反比例函数 的图象上，则 ， 的大小关系是（
）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数 的增减性，进行判断即
可．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内， 随着 的增大而增大，
∵点 都在反比例函数 的图象上，且 ，
∴ ；
故选D．
的
8. 《算学启蒙》是我国古代 数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百
五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每
天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马 天可以追上慢马，则可以列出的方程为（
）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的
等量关系．
设快马用 天追上慢马，快马的总路程为 里，慢马的总路程为 里，根据题意，列出方程
即可．
【详解】解：设快马用 天追上慢马，快马的总路程为 里，慢马的总路程为 里，根据题
意得：
．故选：A
9. 计算 的结果等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可．
【详解】解：原式
；
故选A．
10. 如图， 是 的角平分线．按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径画弧，与边
相交于点 ，与边 相交于点 ；②以点 为圆心， 长为半径画弧，与边 相交于点 ；③以点
为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ；④作射线 ，与 相交于点 ，
与边 相交于点 ．则下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得： ，
再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可．
【详解】解：由作法得： ，
根据题意无法得到 与 的大小关系，
所以无法确定 与 的大小关系，故A选项错误；
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故D选项正确；
题干中没有说明 的大小关系，
∴无法判断 的大小关系，则无法得到 的度数，故B选项错误；
根据题意无法得到 的大小关系，故C选项错误；
故选：D
11. 如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，点B，C的对应点分别为 的延长线与边 相交于点 ，连接 ．若 ，则线段 的长为（
）
A. B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，
熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接 ，交 于点 ，先证出 ，根据全等三
角形的性质可得 ，再证出 垂直平分 ，则可得 ， ，然后利用
勾股定理和三角形的面积公式求出 的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接 ，交 于点 ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
12. 四边形 中， ， ．动点 从点 出发，
以 的速度沿边 、边 向终点 运动；动点 从点 同时出发，以 的速度沿边 向
终点 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 ．当
时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当 时， ；
②当 时， 的最大面积为 ；
③ 有两个不同的值满足 的面积为 ．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C
【解析】
【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当 时，点M在 上，求出
，可判断①；当 时，点M在 上，利用三角形面积公式求出 的面积，利用二
次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在 上时，点M在 上，结合 的面积为
，列出方程，可判断③．
【详解】解：根据题意得：点M在 上的运动时间为 ，点M在 上的运动时间为 ，点
N在 上的运动时间为 ，
①当 时，点M在 上，
此时 ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②当 时，点M在 上，
此时 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 随t的增大而增大，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，即当 时， 的最大面积为 ，故②错误；
③当点M在 上时，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得： （舍去），
∴当 时， 的面积为 ；
当点M在 上时，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
此时 ，
解得： ，
∴当 时， 的面积为 ；
∴ 有两个不同的值满足 的面积为 ，故③正确．
故选：C
第II卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用 铅笔）．
2．本卷共13题，共84分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从
袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概
率公式．
用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【详解】解：袋子中绿球的个数为6，
球的总数为13，
所以抽到绿球的概率为 ，
故答案为： ．
14. 计算 的结果为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可．
【详解】解： ；
故答案为： ．
15. 计算 的结果为____________．
【答案】60
【解析】
【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：60．
16. 将直线 向上平移 个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则 的值可
以是____________（写出一个即可）．【答案】2（答案不唯一，满足 即可）
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解
析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，平移后的解析式为： ，
∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限，
∴ ，
∴ ；
∴ 的值可以是2；
故答案为：2（答案不唯一，满足 即可）
17. 如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ．
（1）线段 的长为____________；
（2） 为 的中点， 为 的中点， 为 上一点，若 ，则线段 的长为
____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩
形的性质与勾股定理是解题的关键．
（1）求出 ，再利用勾股定理即可求出答案；
（2）过点M作 于H，由矩形的性质得到 ，，证明 ，得到 ， ，则可证明
，可得 ，则 ；由勾股定
理得 ，则 ，解直角三角形求出 的长，进而可求出 的长．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图所示，过点M作 于H，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
在 中，由勾股定理得 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（1）线段 的长为____________；
（2）直线 与 的外接圆相切于点 ．点 在射线 上，点 在线段 的延长线
上，满足 ，且 与射线 垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，
N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________．【答案】 ①. ②. 见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位
线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定
线段 的中点 ，利用网格确定点 为线段 的中点，则 为三角形的中位线，利用一组平行线确定
点 为线段 的中点，证明 和 ，得出 ，即 ，
最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出 为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出
．
【详解】解：（1）由勾股定理得 ，
故答案为： ；
（2）如图所示，点 即为所求，
作法：直线PA与射线BC的交点为 ；取圆与网格线的交点 和 ，连接 ；取格点 ，连接 ，与 相交于点 ；连接 并延长，与 相交于点 ，与直线 相交于点 ；连接 并延长，与
网格线相交于点 ，连接 ，与网格线相交于点 ；连接 ，与线段 的延长线相交于点 ，则点
M，N即为所求．
理由：∵ ，
∴ 为圆的直径，
∵ 为正方形的对角线，
∴ ,
∴ 垂直平分线段 ，
∴点 为圆的圆心，
∴ ，
又 ，
，
，
平分 ，
∴点 为线段 的中点，
由网格可知点 为线段 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴点 为线段 的中点，
∵ ，
，，
∴ ，
又 ，
∴ ，
,
即 ，
延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ,
，
∴
∵ 为圆的切线，
∴ ，
，
,
∴ ，
即 ，
∵ ，
，
∴ 为等腰三角形，∴ ，
∴点 即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得____________；
（2）解不等式②，得____________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为____________．
【答案】（1）
（2）
（3）作图见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，
（1）根据移项，合并同类项即可得解；
（2）根据移项，合并同类项即可得解；
（3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“ ”空心圆点向右画折线，“ ”实心圆点向右画折线，
“ ”空心圆点向左画折线，“ ”实心圆点向左画折线，据此画出图形；
（4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到，据此确定不等式组的解集；
解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则．
【小问1详解】
解：移项，得： ，
合并同类项，得： ，
∴解不等式①，得： ，故答案为： ；
【小问2详解】
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
∴解不等式②，得： ，
故答案为： ；
【小问3详解】
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
【小问4详解】
原不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
20. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校 名学生，根据统计的结果，
绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空： 的值为____________，图①中 的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务
的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________；
（2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多
少？【答案】（1）40，25，4，3
（2）这组数据的平均数是
（3）估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权
平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用．
（1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可；
（2）利用加权平均数公式进行求解即可；
（3）利用样本频数预估总体频数即可．
【小问1详解】
解： ；
3小时人数所占的百分比为 ，
∴ ；
∵在该组数据中4出现的次数最多，
∴众数为4；
中位数为排序后的第20位和21位的平均数，
∴中位数为 ；
故答案为：40，25，4，3；
【小问2详解】
解：该组数据的平均数为 ，
∴这组数据的平均数是 ；
【小问3详解】
解： 在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占 ，
根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占 ，有.
估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350．
21. 已知 与 相切于点 与 相交于点D，E为 上一点．
（1）如图①，求 的大小；
（2）如图②，当 时， 与 相交于点 ，延长 与 相交于点 ，若 的半径为
3，求 和 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）连接 ，切线的性质得到 ，三线合一，求出 的度数，圆周角定理求出 的
度数即可；
（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到 ，直径得到
，解 ，进行求解即可．
【小问1详解】
解：连接 ．
与 相切于点 ，
．又 ，平分 ．
∴ ．
，
．
在 中， ，
．
【小问2详解】
由（1）知： ．
，
．
为 的一个外角，
．
由题意， 为 的直径，
．
又 的半径为3，则： ．
在 中， ，
．22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， 依次在同一条水平直线上， ，
，且 ．在 处测得世纪钟建筑顶部 的仰角为 ，在 处测得世纪钟建筑
顶部 的仰角为 ， ．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑 的高度（结果取整
数）．
参考数据： ， ．
【答案】世纪钟建筑 的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长 与 相交于点 ，在Rt 和 中，
分别求得 和 ，再根据 ，列式计算求解即可．
【详解】解：如图，延长 与 相交于点 ，
根据题意，可得 ，有 ， ， ， ， ，
在Rt 中， ，
，
在 中， ，
．
，
．
．
．
答：世纪钟建筑 的高度约为 ．
23. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家 ，公园离家 ．小华从家出发，
先匀速步行了 到书店，在书店停留了 ，之后匀速步行了 到公园，在公园停留
后，再用 匀速跑步返回家．下面图中 表示时间， 表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华
离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：小华离开家的时间 1 6 18 50
小华离家的距离
②填空：小华从公园返回家的速度为____________ ；
③当 时，请直接写出小华离家的距离 关于时间 的函数解析式；
（2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以 的速度散步直接到公园．在从家到
公园的过程中，对于同一个 的值，小华离家的距离为 ，小华的妈妈离家的距离为 ，当 时，
求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）① ② ③
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相
结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息．
（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可；
②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可；
③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可；
（2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集．
【小问1详解】
解：①小华去书店的速度为 ，
1分钟时小华离家的距离为 ；
由图可知18分钟时，小华离家的距离为 ；
的
50分钟时，小华离家 距离为 ；
故答案为： ；②小华返回家 的速度为
故答案为： ；
③由①得小华去书店的速度为 ，
∴当 时， ；
由图可知，当 时， ；
当 时，假设直线解析式为 ，
将 代入解析式得 ，
解得
∴ ；
综上， ；
【小问2详解】
解：如图所示， 为妈妈的图形，
根据题意可知，小华妈妈的速度为 ，
所以其直线解析式为 ，
当 时，令 ，
解得 ，经验证 ，符合题意；
令 ，
解得 ，经验证 ，符合题意；
结合图形，当 时， ．
24. 在平面直角坐标系中， 为原点，等边 的顶点 ，点 在第一象限，等边
的顶点 ，顶点 在第二象限．
（1）填空：如图①，点 的坐标为____________，点 的坐标为____________；
（2）将等边 沿水平方向向右平移，得到等边 ，点 的对应点分别为 ．设
．
①如图②，若边 与边 相交于点 ，当 与 重叠部分为四边形 时，试用含
有 的式子表示线段 的长，并直接写出 的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为 ，当 时，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）（2）① ， ②
【解析】
【分析】（1）作 于点 ，作 于点 ，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行
求解即可；
（2）平移的性质，得到 ，求出 的长，解直角三角形求出
的长，线段的和差表示出 的长，当点 落在 轴上之后，直至点 与点 重合之前，重叠部分
为四边形，求出 的范围即可；
（3）分 ， 和 三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：作 于点 ，作 于点 ，
∵ 均为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
①∵平移，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点 落在 轴上时，此时，点 为 的中点，则： ，
当点 与点 重合时， ，
∴当 与 重叠部分为四边形 时， ；
②当 时，则重叠的部分为四边形 ，如图，作 轴，
由（1）和（2）①可知： ， ， ，∴ ，
∴当 时， 的值最小，为 ；
∴ ；
设 交 轴于点 ，则： ，
∴当 时，此时点 于 重合， 与 点重合， 重叠的部分恰为 ，
∴ ；
当 ， 随着 的增大而减小，
∴当 时， 有最小值，此时点 轴，如图：
此时重叠部分为五边形， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由平移可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同法可得： ，
∴ ；
综上： ．
【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等
知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
25. 已知抛物线 为常数， ．（1）当 时，求该抛物线顶点 的坐标；
（2）点 和点 为抛物线与 轴的两个交点，点 为抛物线与 轴的交点．
①当 时，若点 在抛物线上， ，求点 的坐标；
②若点 ，以 为边的 的顶点 在抛物线的对称轴 上，当
取得最小值为 时，求顶点 的坐标．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是
解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①根据 ，得出抛物线解析式为 ，点 在第四象限，过点 作
轴于点 ，证明 ，进而得出点 的坐标为 ，代入解析式，解方程，即
可求解；
②在 轴上点 的左侧取点 ，使 ，连接 ．在 中，根据勾股定理，
，得出 ,根据题意，点 和点 关于直线 对称，点 在直线 上，
得 ．根据平行四边形的性质得出当点 在线段 上时， 取得最小值 ，即
，勾股定理可得 ，进而代入 ，求得点 ，可得直线 的解析式为 ．求得点 的坐标为 ，根据平移的性质即可得出点 的
坐标为 ．
【小问1详解】
解： ，
∴该抛物线的解析式为 ，
，
∴该抛物线顶点 的坐标为 ；
【小问2详解】
①∵点 在抛物线 上，
∴ ，即 ，
又 ，点 ，
，
为
∴抛物线解析式 ，
如图，点 在第四象限，过点 作 轴于点 ，
，
∴ ，，
∴ ．
∴ ，
又 ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 在抛物线 上，
，
整理得， ，
解得
∵ ，
∴ 不合，舍去，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
②∵ ，
∴ ，在 轴上点 的左侧取点 ，使 ，连接 ．
，得 ．
，
．
∴ ，则 ．
在 中，根据勾股定理， ，
．
∴ ．
．
又点 ，得 ．
．即
根据题意，点 和点 关于直线 对称，点 在直线 上，得 ．
又 中， ．得 ．
．
当点 在线段 上时， 取得最小值 ，即 ．
在 中， ，
．
将 代入，得 ．
解得 （舍）．
∴ ．
点 ．直线 的解析式为 ．
设点 的横坐标为 ，则 ．得 ．
点 的坐标为 ．
线段 可以看作是由线段 经过平移得到的，
点 的坐标为 ．
