文档内容
2012年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2012•天津）i是虚数单位，复数 =（ ）
A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i
2．（2012•天津）设变量x，y满足约束条件 则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3
3．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（ ）
A．8 B．18 C．26 D．80
4．（2012•天津）已知a=21.2，b=（ ）﹣0.8，c=2log 2，则a，b，c的大小关系为（ ）
5
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
5．（2012•天津）设x∈R，则“x＞ ”是“2x2+x﹣1＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（ ）
A．y=cos2x，x∈R B．y=log |x|，x∈R且x≠0 C．y= D．y=x3+1，x∈R
2
7．（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移 个单位长度，所得图象经过点 ，
则ω的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
第1页 | 共18页8．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 ， ，λ∈R．
若 =2，则λ=（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．（2012•天津）集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为 _________ ．
10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 _________ m3．
11．（2012•天津）已知双曲线C ： 与双曲线C： （a＞0，b＞0）有相同
1
的渐近线，且C 的右焦点为F（ ，0）．则a= _________ ，b= _________ ．
1
12．（2012•天津）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所
得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为 _________ ．
13．（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD
的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF= ，则线段CD的长为 _________ ．
14．（2012•天津）已知函数y= 的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是
_________ ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
第2页 | 共18页15．（2012•天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对
学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．
（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．
16．（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c= ，cosA=﹣ ．
（1）求sinC和b的值；
（2）求cos（2A+ ）的值．
17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2 ，PD=CD=2．
（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
18．（2012•天津）已知{a }是等差数列，其前n项和为S ，{b }是等比数列，且a =b =2，a +b =27，S ﹣b =10．
n n n 1 1 4 4 4 4
（1）求数列{a }与{b }的通项公式；
n n
（2）记T =a b +a b +…+a b ，n∈N*，证明：T ﹣8=a b （n∈N*，n≥2）．
n n 1 n﹣1 2 1 n n n﹣1 n+1
19．（2012•天津）已知椭圆 ，点P（ ）在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．
20．（2012•天津）已知函数f（x）= x3+ x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t）
，求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．
第3页 | 共18页2012年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2012•天津）i是虚数单位，复数 =（ ）
A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i
考点：复数代数形式的乘除运算。
专题：计算题。
分析：进行复数的除法运算，分子很分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果．
解答：
解： = = =1+i
故选C．
点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．
2．（2012•天津）设变量x，y满足约束条件 则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3
考点 简单线性规划。
：
专题 计算题。
：
分析 先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值
：
解答 解：画出可行域如图阴影区域：
：
目标函数z=3x﹣2y可看做y= x﹣ z，即斜率为 ，截距为﹣ z的动直线，
数形结合可知，当动直线过点A时，z最小
由 得A（0，2）
∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×2=﹣4
故选 B
第4页 | 共18页点评 本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，
： 属基础题
3．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（ ）
A．8 B．18 C．26 D．80
考点：数列的求和；循环结构。
专题：计算题。
分析：根据框图可求得S =2，S =8，S =26，执行完后n已为4，故可得答案．
1 2 3
解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S =0+31﹣30=2；
1
同理可求n=2，S =2时，S =8；
1 2
n=3，S =8时，S =26；执行完后n已为4，
2 3
故输出的结果为26．
故选C．
点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．
4．（2012•天津）已知a=21.2，b=（ ）﹣0.8，c=2log 2，则a，b，c的大小关系为（ ）
5
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
考点：不等式比较大小。
专题：计算题。
分析：由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log 2=log 4＜log 5=1，从而得到a，b，c的大小关系
5 5 5
第5页 | 共18页解答：
解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（ ）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，
∴a＞b＞20=1．
再由c=2log 2=log 4＜log 5=1，
5 5 5
可得 a＞b＞c，
故选A．
点评：本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
5．（2012•天津）设x∈R，则“x＞ ”是“2x2+x﹣1＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。
专题：计算题。
分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．
解答：
解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞ ；
所以当“x＞ ”⇒“2x2+x﹣1＞0”；
但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞ ”．
所以“x＞ ”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．
故选A．
点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．
6．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（ ）
A．y=cos2x，x∈R B．y=log |x|，x∈R且x≠0 C．y= D．y=x3+1，x∈R
2
考点 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明。
：
专题 计算题。
：
分析 利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由“在区间（1，2）内是增函数”可排除A，从而可得答案．
：
解答 解：对于A，令y=f（x）=cosx，则f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=f（x），为偶函数，
： 而f（x）=cosx在[0，π]上单调递减，（1，2）⊂[0，π]，
故f（x）=cosx在区间（1，2）内是减函数，故排除A；
对于B，令y=f（x）=log |x|，x∈R且x≠0，同理可证f（x）为偶函数，当x∈（1，2）时，y=f（x）=log |x|=log
2 2 2
x，为增函数，故B满足题意；
对于C，令y=f（x）= ，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数，故可排除C；
而D，为非奇非偶函数，可排除D；
故选B．
第6页 | 共18页点评 本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中
： 的作用，属于基础题．
7．（2012•天津）将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移 个单位长度，所得图象经过点 ，
则ω的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
考 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
点
：
专 计算题。
题
：
分
图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣ ），再由所得图象经过点 可得sinω（ ﹣
析
：
）=sin（ω ）=0，故ω• =kπ，由此求得ω的最小值．
解
解：将函数y=sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数为y=sinω（x﹣ ）．
答
：
再由所得图象经过点 可得sinω（ ﹣ ）=sin（ω ）=0，∴ω• =kπ，k∈z．
故ω的最小值是2，
故选D．
点 本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，以及由y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数解析式，属于中档题．
评
：
8．（2012•天津）在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足 ， ，λ∈R．
若 =2，则λ=（ ）
A． B． C． D．2
考点 平面向量数量积的运算。
：
专题 计算题。
：
分析
由题意可得 =0，根据 =﹣（1﹣λ） ﹣λ =（λ﹣1）4﹣λ×1=2，求得λ的值．
：
解答
解：由题意可得 =0，
：
由于 =（ ）•（ ）=[ ﹣ ]•[ ﹣ ]
第7页 | 共18页=﹣（1﹣λ） ﹣λ =（λ﹣1）4﹣λ×1=2，
解得 λ=2，
故选D．
点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算
： ，属于中档题．
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．（2012•天津）集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为 ﹣3 ．
考点绝对值不等式的解法。
：
专题计算题。
：
分析由|x﹣2|≤5可解得﹣3≤x≤7，从而可得答案．
：
解答解：∵A={x∈R||x﹣2|≤5}，
： ∴由|x﹣2|≤5得，
﹣5≤x﹣2≤5，
∴﹣3≤x≤7，
∴集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3．
故答案为﹣3．
点评本题考查绝对值不等式的解法，可根据绝对值不等式|x|≤a（a＞0）的意义直接得到﹣a≤x≤a，也可以两端平方
： ，去掉绝对值符号解之，属于基础题．
10．（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 30 m3．
考点 由三视图求面积、体积。
：
专题 计算题。
：
分析 通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
：
解答 解：由三视图可知几何体是组合体，下部是长方体，底面边长为3和4，高为2，
： 上部是放倒的四棱柱，底面为直角梯形，底面直角边长为2和1，高为1，棱柱的高为4，
第8页 | 共18页所以几何体看作是放倒的棱柱，底面是5边形，
几何体的体积为：（2×3+ ）×4=30（m3）．
故答案为：30．
点评 本题考查三视图与几何体的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力与计算
： 能力．
11．（2012•天津）已知双曲线C ： 与双曲线C： （a＞0，b＞0）有相同
1
的渐近线，且C 的右焦点为F（ ，0）．则a= 1 ，b= 2 ．
1
考点 双曲线的简单性质。
：
专题 计算题。
：
分析
： 双曲线C ： 的渐近线方程为y=± x，右焦点为（c，0），结合已知即可得 =2
1
，c= ，列方程即可解得a、b的值
解答
： 解：∵双曲线C： （a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，
∴ =2
∵且C 的右焦点为F（ ，0）．
1
∴c= ，由a2+b2=c2
解得a=1，b=2
故答案为1，2
点评 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题
：
12．（2012•天津）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所
得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为 3 ．
第9页 | 共18页考直线与圆相交的性质；直线的一般式方程。
点
：
专计算题。
题
：
分由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l
析的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m2+n2
：的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐
标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB的面积，利用
基本不等式变形后，将m2+n2的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值．
解解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
答∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，
：
∴圆心到直线l的距离d= = ，
∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d= = ，
整理得：m2+n2= ，
令直线l解析式中y=0，解得：x= ，
∴A（ ，0），即OA= ，
令x=0，解得：y= ，
∴B（0， ），即OB= ，
∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，
∴|mn|≤ ，
又△AOB为直角三角形，
∴S = OA•OB= ≥ =3，
△ABC
则△AOB面积的最小值为3．
故答案为：3
点此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式
评方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆
：的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题．
13．（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD
的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF= ，则线段CD的长为 ．
第10页 | 共18页考点 与圆有关的比例线段。
：
专题 计算题。
：
分析 由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．
：
解答
解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1= ×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：B
：
D，BD= ，
设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（ ）2，x=
故答案为：
点评 本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性
： 质．
14．（2012•天津）已知函数y= 的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是
（0，1）∪（1，2） ．
考 函数的零点与方程根的关系。
点
：
专 计算题。
题
：
分
析
函数y= = = ，如图所示，可得直线y=kx与函数y=
：
的图象相交于两点时，直线的斜率k的取值范围．
解
答
解：函数y= = = ，如图所示：
：
第11页 | 共18页故当一次函数y=kx的斜率k满足0＜k＜1 或1＜k＜2时，直线y=kx与函数y= 的图象相交于两点，
故答案为 （0，1）∪（1，2）．
点 本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于
评 基础题．
：
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（2012•天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对
学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．
（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．
考 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法。
点
：
专 计算题。
题
：
分 （1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；
析
（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有 =15种，按规律列举即可；
：
（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果
解
解：（I）抽样比为 = ，
答
：
故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21× =3，14× =2，7× =1
（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A
则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2
，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种
（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种，
∴P（B）= =
点 本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列举法计数的方法，属基础题
评
第12页 | 共18页：
16．（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c= ，cosA=﹣ ．
（1）求sinC和b的值；
（2）求cos（2A+ ）的值．
考点 解三角形；三角函数中的恒等变换应用。
：
专题 计算题。
：
分析 （1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC，再由余弦定理求得b=1．
：
（2）利用二倍角公式求得cos2A的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+ ）=cos2Aco
s ﹣sin2Asin 的值．
解答
解：（1）△ABC中，由cosA=﹣ 可得sinA= ．
：
再由 = 以及a=2、c= ，可得sinC= ．
由a2=b2+c2﹣2bc•cosA 可得b2+b﹣2=0，解得b=1．
（2）由cosA=﹣ 、sinA= 可得 cos2A=2cos2A﹣1=﹣ ，sin2A=2sinAcosA=﹣ ．
故cos（2A+ ）=cos2Acos ﹣sin2Asin = ．
点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的
： 应用，属于中档题．
17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2 ，PD=CD=2．
（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
考 直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定。
点
：
专 计算题；证明题；综合题。
第13页 | 共18页题
：
分 （1）判断∠PAD为异面直线PA与BC所成角，在Rt△PDA中，求异面直线PA与BC所成角的正切值；
析 （2）说明AD⊥BC，通过AD⊥PD，CD∩PD=D，证明AD⊥平面PDC，然后证明平面PDC⊥平面ABCD．
： （3）在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，求出PE，PB，
在Rt△PEB中，通过sin∠PBE= ，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．
解 （1）解：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，
答 因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且AD∥BC，
： 又因为AD⊥PD，
故∠PAD为异面直线PA与BC所成角，
在Rt△PDA中， =2，
所以异面直线PA与BC所成角的正切值为：2．
（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥BC，
由于AD⊥PD，CD∩PD=D，
因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．
（3）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB．
由于平面PDC⊥平面ABCD，
而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，
故PE⊥平面ABCD．
由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，
在△PDC中，
由于PD=CD=2，PC=2 ，可得∠PCD=30°，
在Rt△PEC中，PE=PCsin30°= ．
由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，
因此BC⊥PC．
在Rt△PCB中，PB= = ．
在Rt△PEB中，sin∠PBE= = ．
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 ．
点 本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能
评 力．
：
18．（2012•天津）已知{a }是等差数列，其前n项和为S ，{b }是等比数列，且a =b =2，a +b =27，S ﹣b =10．
n n n 1 1 4 4 4 4
（1）求数列{a }与{b }的通项公式；
n n
（2）记T =a b +a b +…+a b ，n∈N*，证明：T ﹣8=a b （n∈N*，n≥2）．
n n 1 n﹣1 2 1 n n n﹣1 n+1
第14页 | 共18页考点 等差数列与等比数列的综合；数列的求和。
：
专题 计算题；证明题。
：
分析 （1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．
： （2）先借助于错位相减法求出T 的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．
n
解答 解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，
： 由a =b =2，得a =2+3d，b =2q3，s =8+6d，
1 1 4 4 4
由a +b =27，S ﹣b =10，得方程组 ，
4 4 4 4
解得 ，
所以：a =3n﹣1，b =2n．
n n
（2）证明：由第一问得：T =a b +a b +…+a b =2×2+5×22+8×23+…+（3n﹣1）×2n； ①；
n n 1 n﹣1 2 1 n
2T =2×22+5×23+…+（3n﹣4）×2n+（3n﹣1）×2n+1，②．
n
由①﹣②得，﹣T =2×2+3×22+3×23+…+3×2n﹣（3n﹣1）×2n+1
n
= ﹣（3n﹣1）×2n+1﹣2
=﹣（3n﹣4）×2n+1﹣8．
即T ﹣8=（3n﹣4）×2n+1．
n
而当n≥2时，a b =（3n﹣4）×2n+1．
n﹣1 n+1
∴T ﹣8=a b （n∈N*，n≥2）．
n n﹣1 n+1
点评 本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并
： 考察计算能力．
19．（2012•天津）已知椭圆 ，点P（ ）在椭圆上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．
考 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质。
点
：
专 综合题。
题
：
分
析 （1）根据点P（ ）在椭圆上，可得 ，由此可求椭圆的离心率；
：
（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x ，y ），与椭圆方程联立，
0 0
，根据|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y =kx ，可求 ，由此可求直线OQ的斜率的值．
0 0
第15页 | 共18页解
答 解：（1）因为点P（ ）在椭圆上，所以
：
∴
∴
∴
（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx
设点Q的坐标为（x ，y ），由条件得 ，消元并整理可得 ①
0 0
∵|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y =kx ，
0 0
∴
∴
∵x ≠0，∴
0
代入①，整理得
∵
∴
∴5k4﹣22k2﹣15=0
∴k2=5
∴
点 本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．
评
：
20．（2012•天津）已知函数f（x）= x3+ x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t）
，求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．
考利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。
点
第16页 | 共18页：
专综合题。
题
：
分（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；
析（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰
：有两个零点，由此可求a的取值范围；
（3）a=1时，f（x）= ，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，
在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]
上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣ ，而最小值m（t
）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值；②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]
，﹣1，1∈[t，t+3]，比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]
上的最小值．
解解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x﹣a），令f′（x）=0，可得x =﹣1，x =a＞0
1 2
答令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞a；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜a
：故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a，）
（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰
有两个零点，
∴ ，∴ ，∴0＜a＜
∴a的取值范围为 ；
（3）a=1时，f（x）= ，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，
在（1，2）上单调递增
①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减
因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣ ，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者
由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f
（﹣1）﹣f（t）
而f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣ ，所以g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为
②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．
由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有
f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）
∵f（1）=f（﹣2）=﹣ ，f（﹣1）=f（2）=﹣
∴M（t）=f（﹣1）=﹣ ，m（t）=f（1）=﹣
∴g（t）=M（t）﹣m（t）=
第17页 | 共18页综上，函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为 ．
点本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类
评讨论是解题的关键．
：
第18页 | 共18页
