2012年高考数学试卷（理）（天津）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2012·高考数学真题

2012年普通高等学校招生统一考试数学天津 （理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 7i （1）i是虚数单位，复数 = 3i （A） 2 + i （B）2 – i （C）-2 + i （D）-2 – i （2）设R,则“0”是“ f(x) cos(x)(xR)为偶函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值 为-25时，输出x的值为 （A）-1 （B）1 （C）3 （D）9 （4）函数 f(x)  2x  x3 2在区间(0,1)内的零点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 1 （5）在(2x2  )5的二项展开式中，x的系数为 x （A）10 （B）-10 （C）40 （D）-40 （6）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC= 7 7 （A） （B） 25 25 7 24 （C） （D） 25 25 （7）已知ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP AB，AQ (1)AC 第1页 | 共19页， uuur uuur 3 R，若BQ×CP ，则= 2 1 1 2 （A） （B） 2 2 1 10 32 2 （C） （D） 2 2 （8）设m,nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2 (y1)2 1相切，则 m + n的取值范围是 （A）[1 3,1 3] （B）(,1 3][1 3,) （C）[22 2,22 2] （D）(,22 2][22 2,) 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 学校，中学中抽取________所学校. （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）， 则该几何体的体积为_________m3.   （11）已知集合A xR x2 3 集合 ， B {xR|(xm)(x2)0},且A B (1,n),则m =__________，n = __________.  x  2pt2, （12）已知抛物线的参数方程为 （t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为l. y  2pt 过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = _________. （13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3， 3 FB=1，EF= ，则线段CD的长为____________. 2 第2页 | 共19页x2 1 （14）已知函数y  的图象与函数y  kx2的图象恰有两个交点，则实数k的取 x1 值范围是_________. 三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）   已知函数 f(x) sin(2x )sin(2x )2cos2 x1,xR. 3 3 （Ⅰ）求函数 f(x)的最小正周期；   （Ⅱ）求函数 f(x)在区间[ , ]上的最大值和最小值. 4 4 （16）（本小题满分13分） 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人 去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 X Y ，求随机变量 的分布列与数学期望E. （17）（本小题满分13分） 如图，在四棱锥P- ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC⊥AD； （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值； （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面 直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. （18）（本小题满分13分） 已知{a }是等差数列，其前n项和为S ，{b }是等比数列，且a b  2,a b  27， n n n 1 1 4 4 S b 10. 4 4 第3页 | 共19页（Ⅰ）求数列{a }与{b }的通项公式； n n （Ⅱ）记T  a b a b  a b ，nN*，证明T 12 2a 10b （nN* n n 1 n1 2  1 n n n n ）. （19）（本小题满分14分） x2 y2 设椭圆  1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两 a2 b2 点，O为坐标原点. 1 （Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为 ，求椭圆的离心率； 2 （Ⅱ）若 AP  OA ，证明直线OP的斜率 k满足 k  3 （20）（本小题满分14分） 已知函数 f(x)  xln(xa)的最小值为0，其中a 0. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若对任意的x[0,),有 f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值； n 2 （Ⅲ）证明 ln(2n1) 2（nN*）. 2i1 i1 第4页 | 共19页试卷解析 【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去 年有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。有 如下特点：1.2012年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在2007- 2010年也相继考过，明细如下： 零点存在定理（小题）——2009年、2010年 线线垂直—— 2007年 错位相减法——2007年 ，解析几何之斜率问题（大题）。 2.2012年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。而解答题18题是数列中极为传 统的考法—— 求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第20题的第三问继续考查数列不等式的内容 。 3.三角函数解答题在2011年考查了正切函数的性质和运算，而今年则回归了以往的考查方 式，考查了正余弦函数的性质。 4.加大了解析几何的难度，在考查题数不变的情况下，将直线和圆放在了选择压轴题的位 置，椭圆大题放在第数第二题(第19题)的位置。 5.函数大题难度与去年基本持平。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 7i （1）i是虚数单位，复数 = 3i （A） 2 + i （B）2 – i （C）-2 + i （D）-2 – i （2）设R,则“ 0”是“ f(x) cos(x)(xR)为偶函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件 第5页 | 共19页（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值 为-25时，输出x的值为 （A）-1 （B）1 （C）3 （D）9 （4）函数 f(x)  2x  x3 2在区间(0,1)内的零点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 1 （5）在(2x2  )5的二项展开式中，x的系数为 x （A）10 （B）-10 （C）40 （D）-40 第6页 | 共19页（6）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC= 7 7 （A） （B） 25 25 7 24 （C） （D） 25 25 （7）已知ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP AB，AQ (1)AC ， uuur uuur 3 R，若BQ×CP ，则= 2 1 1 2 （A） （B） 2 2 1 10 32 2 （C） （D） 2 2 第7页 | 共19页（8）设m,nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2 (y1)2 1相切，则 m + n的取值范围是 （A）[1 3,1 3] （B）(,1 3][1 3,) （C）[22 2,22 2] （D）(,22 2][22 2,) 应用. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 第8页 | 共19页学校，中学中抽取________所学校. （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.   （11）已知集合A xR x2 3 集合B {xR|(xm)(x2)0},且 ， A B (1,n),则m =__________，n = __________.  x  2pt2, （12）已知抛物线的参数方程为 （t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为l. y  2pt 过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = _________. 【答案】2 【解析】由抛物线的参数方程可知其普通方程为 y2 2px(p0). EF  MF , ME  MF ,\MEF 为等边三角形，E的横坐标为 Q p 3 p p 2  ,\M 的横坐标为3，\  ,\p2. 2 2 2 【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义和其几何性质，考查学生的转化能力和计算能 力. （13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作 D C A F B 第9页 | 共19页 E圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的 平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3， 3 FB=1，EF= ，则线段CD的长为____________. 2 x2 1 （14）已知函数y  的图象与函数y  kx2的图象恰有两个交点，则实数k的取 x1 值范围是_________. 三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）   已知函数 f(x) sin(2x )sin(2x )2cos2 x1,xR. 3 3 第10页 | 共19页（Ⅰ）求函数 f(x)的最小正周期；   （Ⅱ）求函数 f(x)在区间[ , ]上的最大值和最小值. 4 4 （16）（本小题满分13分） 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人 去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 X Y ，求随机变量 的分布列与数学期望E. 1 【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的概率为 3 2 . 3 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A (i 0,1,2,3,4) i 1 2 则P(A)Ci( )i( )4i. i 4 3 3 第11页 | 共19页（17）（本小题满分13分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC⊥AD； （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值； （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面 直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. 第12页 | 共19页第13页 | 共19页【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直 线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似 ，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三 问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此 第14页 | 共19页最好使用空间直角坐标系解决该问题为好. （18）（本小题满分13分） 已知{a }是等差数列，其前n项和为S ，{b }是等比数列，且a b  2,a b  27， n n n 1 1 4 4 S b 10. 4 4 （Ⅰ）求数列{a }与{b }的通项公式； n n （Ⅱ）记T  a b a b  a b ，nN*，证明T 12 2a 10b （ nN* n n 1 n1 2  1 n n n n ）. a b qT k1 1 k （19）（ 本小题满 分14分） 设椭圆 x2 y2  1(ab0) a2 b2 的左、右 顶点分别 第15页 | 共19页为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点. 1 （Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为 ，求椭圆的离心率； 2 （Ⅱ）若 AP  OA ，证明直线OP的斜率 k满足 k  3 （20）（本小题满分14分） 第16页 | 共19页已知函数 f(x)  xln(xa)的最小值为0，其中a 0. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若对任意的x[0,),有 f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值； n 2 （Ⅲ）证明 ln(2n1) 2（nN*）. 2i1 i1 第17页 | 共19页第18页 | 共19页第19页 | 共19页