2012年高考数学试卷（理）（福建）（解析卷）_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2012·高考数学真题

本套试题从新课标的新理念出发，展现了新课程新考纲的新观念.考点覆盖 全面，考查知识方法的同时考查能力、思想和方法，没有忘记创新，特别是第 15、17题. 第I卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出分四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.若复数z满足zi=1-i，则z等于 A.-1-i B.1-i C.-1+i D.1=i 2.等差数列{a }中，a +a =10,a =7,则数列{a }的公差为 n 1 5 4 n A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 a a 10,2a 4d 10,a a 3d 7,d 2.  1 5 1 4 1 【答案】B 【考点定位】该题主要考查等差数列的通项公式，考查计算求解能力. 3.下列命题中，真命题是 A.x R,ex 0 0 0 B. xR,2x  x2 a C.a+b=0的充要条件是 =-1 b D.a>1,b>1是ab>1的充分条件 4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 【解析】分别比较A,B,C的三视图不符合条件，D符合. 【答案】D 【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力. 5.下列不等式一定成立的是 1 A.log(x2  )lgx(x0) 4 [来源:Zxxk.Com] 1 B.sinx 2(xk,kz) sinx C. x2 12 x (xR) 第1页 | 共11页1 D. 1(xR) x2 1 6.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 [来源:Z|xx|k.Com] 1 1 1 1 A. B. C. D. 4 5 6 7 1 2 3 1 1 1 1 【解析】 S =（ x x)dx( x2  x2)  .S =1，P= ，C正确.  阴影 0 3 2 0 6 正 6 【答案】C [来源:Zxxk.Com] 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分，考查推理能力、计算求解能力. ì1 x为有理数 7.设函数D(x)í ，则下列结论错误的是 î0,x为为无理数 A.D（x）的值域为{0,1} B. D（x）是偶函数 C. D（x）不是周期函数 [来源:学,科,网] D. D（x）不是单调函数 x2 y2 8.已知双曲线  1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐 4 b2 近线的距离等于 A. 5 B. 4 2 C.3 D.5 第2页 | 共11页ìx y30  9.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件íx2y30，则实数m的最大值为  xm î 3 A.-1 B.1 C. D.2 2 x x 1 10.函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x ，x ∈[a,b]，有 f( 1 2) f(x ) f(x ) 1 2 2 2 1 2 则称f（x）在[a,b]上具有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题： ①f（x）在[1,3]上的图像是连续不断的； ②f（x）在[1, 3]上具有性质P； ③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]； x x x x 1 ④对任意x ，x ，x ，x ∈[1,3]，有 f( 1 2 3 4) f(x ) f(x )+f(x )+f(x ) 1 2 3 4 4 2 1 2 3 4 其中真命题的序号是 [来源:学科网] A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。 11.（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________ 第3页 | 共11页【解析】 T Cra4rxr,r 3时，C3a43=8，a 2.  r1 4 4 【答案】2 【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系，考查计算求解能力. 12.阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于_________________ 13.已知△ABC得三边长成公比为 2 的等比数列，则其最大角的余弦值为_________. 【解析】 设最小边为a,则其他两边分别是 2a,2a,由余弦定理得 a2 ( 2a)2 (2a)2 2 最大角的余弦值为cos=  . 2a( 2a) 4 2 【答案】 4 【考点定位】此题主要考查三角形中的三角函数、等比数列的概念、余弦定理，考查分析推 理能力、运算求解能力. n 14.数列{a }的通项公式a ncos 1,，前n项和为S ，则S =___________ n n 2 n 2012 【解析】 第4页 | 共11页n a ncos +1,  n 2 S （10213041 20121）+2012 2012  （246 20102012）+2012  2503+20123018. 【答案】3018 【考点定位】本题主要考察数列的项、前n项和，考查数列求和能力.此类问题关键是并项 求和. ìa2 ab,(ab), 15.对于实数a和b，定义运算“*”：abí îb2 ab,(ab), 设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数 根x ，x ，x ，则x x x 的取值范围是_________________ 1 2 3 1 2 3 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分13分） 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的 时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两 种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间x（年） 0x1 1x2 x2 0x2 x2 轿车数量（辆） 2 3 45 5 45 每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： （I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； (II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X ，生产一辆乙品牌轿 1 车的利润为X ，分别求X ，X 的分布列； 2 1 2 （III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车， 若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由 第5页 | 共11页17（本小题满分13分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°-sin18°cos12° （4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248° （5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论 18.（本小题满分13分） 如图，在长方体ABCD-A B C D 中AA =AD=1，E为CD中点。 1 1 1 1 1 （Ⅰ）求证：B1E⊥AD1； （Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在， 求AP的长；若不存在，说明理由。 [来源:Z§xx§k.Com] 第6页 | 共11页（Ⅲ）若二面角A-B EA 的大小为30°，求AB的长 1 1 19. （本小题满分13分） x2 y2 1 如图，椭圆E：  1(a b0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e .过F1的 a2 b2 2 直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8 第7页 | 共11页（Ⅰ）求椭圆E的方程。 （Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q。试 探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由 20.（本小题满分14分） 已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点P 第8页 | 共11页21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。 如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号 右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 a 0 设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A   (a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1。 b 1 （Ⅰ）求实数a，b的值 （Ⅱ）求A2的逆矩阵 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 第9页 | 共11页在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l 2 3  上两点M，N的极坐标分别为（2,0）( , )，圆C的参数方程 3 2 ì x22cos í (为参数）. îy  32sin （Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系. （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1]. （Ⅰ）求m的值； [来源:Zxxk.Com] 1 1 1 （Ⅱ）若a，b，c∈R，且   m,求证：a2b3c9. a 2b 3c 第10页 | 共11页第11页 | 共11页