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2016年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题
1．（5分）（2016•天津）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（
）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
2．（5分）（2016•天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=2x+5y
的最小值为（ ）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
3．（5分）（2016•天津）在△ABC中，若AB= ，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（5分）（2016•天津）设{a }是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意
n
的正整数n，a +a ＜0”的（ ）
2n﹣1 2n
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）（2016•天津）已知双曲线 ﹣ =1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实
半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面
积为2b，则双曲线的方程为（ ）
第1页 | 共4页A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
7．（5分）（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC
的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
8．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）= （a＞0，且a≠1）
在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范
围是（ ）
A．（0， ] B．[ ， ] C．[ ， ]∪{ } D．[ ， ）∪{ }
二、填空题
9．（5分）（2016•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则 的值为
．
10．（5分）（2016•天津）（x2﹣ ）8的展开式中x7的系数为
（用数字作答）
11．（5分）（2016•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图
所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
m3
12．（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，B
D=ED，则线段CE的长为 ．
第2页 | 共4页13．（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单
调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则a的取值范围是 ．
14．（5分）（2016•天津）设抛物线 （t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，
过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（ p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|
AF|，且△ACE的面积为3 ，则p的值为 ．
三、计算题
15．（13分）（2016•天津）已知函数f（x）=4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣ ）﹣ ．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣ ， ]上的单调性．
16．（13分）（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次
数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望
．
17．（13分）（2016•天津）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面O
BEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH= HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
18．（13分）（2016•天津）已知{a }是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈
n
N+，b 是a 和a 的等比中项．
n n n+1
第3页 | 共4页（1）设c =b ﹣b ，n∈N+，求证：数列{c }是等差数列；
n n
（2）设a =d，T = （﹣1）kb 2，n∈N*，求证： ．
1 n k
19．（14分）（2016•天津）设椭圆 + =1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为A．已知
+ = ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴
于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
20．（14分）（2016•天津）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x ，且f（x ）=f（x ），其中x ≠x ，求证：x +2x =3；
0 1 0 1 0 1 0
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于 ．
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