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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
U =1,2,3,4,5,A=1,3,B =1,2,4 ð B A=
1. 已知集合 ，则 U U （ ）
A. 1,3,5 B. 1,3 C. 1,2,4 D. 1,2,4,5
2. “a2 =b2”是“a2 +b2 =2ab”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 若a =1.010.5,b=1.010.6,c =0.60.5，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. c>a>b B. c>b>a
C a>b>c D. b>a>c
.
4. 函数 f x 的图象如下图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
5 ex -e-x 5sinx
A B.
. x2 +2 x2 +1
5 ex +e-x 5cosx
C. D.
x2 +2 x2 +1
5. 已知函数 f x 的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则 f x 的解析式可能为（ ）
æp ö æp ö
A. sin ç x ÷ B. cos ç x ÷
è 2 ø è 2 ø
æp ö æp ö
C. sin ç x ÷ D. cos ç x ÷
è 4 ø è 4 ø
第1页 | 共5页6. 已知 a 为等比数列，S 为数列 a 的前n项和，a =2S +2，则a 的值为（ ）
n n n n+1 n 4
A. 3 B. 18 C. 54 D. 152
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r =0.8245，下列说法正确的是（ ）
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
1 2
8. 在三棱锥P-ABC 中，线段PC上的点M 满足PM = PC ，线段PB上的点N 满足PN = PB，则
3 3
三棱锥P-AMN 和三棱锥P-ABC 的体积之比为（ ）
1 2 1 4
A. B. C. D.
9 9 3 9
x2 y2
9. 双曲线 - (a >0,b>0)的左、右焦点分别为F、F ．过F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为
a2 b2 1 2 2
2
P．已知PF =2，直线PF 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
2 1
4
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
8 4 4 8
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
4 2 2 4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分．试题中包含两个空的，答对 1个的给
3分，全部答对的给 5分．
5+14i
10. 已知i是虚数单位，化简 的结果为_________．
2+3i
第2页 | 共5页6
æ 1ö
11. 在 ç 2x3- ÷ 的展开式中，x2项的系数为_________．
è xø
12. 过原点的一条直线与圆C:(x+2)2 + y2 =3相切，交曲线 y2 =2px(p>0)于点P，若 OP =8，则 p
的值为_________．
13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比
例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将
三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
14. 在
V
ABC中，ÐA=60o，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设 u A u B ur =a r , u A u C ur =b r ，
则 u A u E ur 可用a r ,b r 表示为_________；若 u B u F ur = 1u B u C ur ，则 u A u E ur × u A u F ur 的最大值为_________．
3
15. 若函数 f x=ax2 -2x- x2 -ax+1有且仅有两个零点，则a的取值范围为_________．
三、解答题：本大题共 5小题，共 75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在
V
ABC中，角A,B,C所对的边分別是a,b,c．已知a = 39,b=2,ÐA=120o．
（1）求sinB的值；
（2）求c的值；
（3）求sinB-C
．
17. 三棱台ABC- ABC 中，若AA^面ABC,AB ^ AC,AB = AC = AA =2,AC =1，M,N 分别是
1 1 1 1 1 1 1
BC,BA中点.
（1）求证：AN //平面C MA；
1 1
第3页 | 共5页（2）求平面C MA与平面ACC A 所成夹角的余弦值；
1 1 1
（3）求点C到平面C MA的距离．
1
x2 y2
18. 设椭圆 + =1(a >b>0)的左右顶点分别为A,A ，右焦点为F ，已知 AF =3, A F =1．
a2 b2 1 2 1 2
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A P交y轴于点Q，若三角形APQ的面积是三角
2 1
形A FP面积的二倍，求直线A P的方程．
2 2
19. 已知 a 是等差数列，a +a =16,a -a =4．
n 2 5 5 3
2n-1
（1）求 a 的通项公式和 å a ．
n i
i=2n-1
（2）已知 b 为等比数列，对于任意kÎN*，若2k-1 £n£2k -1，则b 0时，证明： f x>1；
5 æ 1ö
（3）证明：
