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2011年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。
（1）已知集合P={x|x2 £1}，M ={a}.若P M = P,则a的取值范围是
U
（A）(-¥,-1] （B）[1,+¥) （C）[-1,1] （D）(-¥,-1] [1,+¥)
U
i-2
（2）复数 =
1+2i
4 3 4 3
（A）i （B）-i （C）- - i （D）- + i
5 5 5 5
（3）在极坐标系中，圆r=-2sinq的圆心的极坐标是
p p
（A）(1, ) （B）(1,- ) （C）(1,0) （D）(1,p)
2 2
（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）-3 开 始
1
（B）-
2
i =0,s =2
s-1
1 s =
（C） s+1
3
是
（D）2
i<4 i =i+1
否
输出s
结 束
数学（理）（北京卷） 第1页 （共5页）
第1页 | 共5页（5）如图，AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F ，延长AF 与圆O交于另一点G。
给出下列三个结论：
① AD+ AE = AB+BC+CA； E
C
② AF×AG = AD×AE； O G
F
③ DAFB DADG
:
A B D
其中，正确结论的序号是
（A）① ② （B）② ③
（C）① ③ （D）① ② ③
（6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为
ì c
,x< A
ï
ï x
f(x)=í
c
ï
,x³ A
ï î A
（A,c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，
那么c和A的值分别是
（A）75,25 （B）75,16 （C）60,25 （D）60,16
（7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中
最大的是
4
（A） 8
4 3
（B）6 2
正（主）视图 侧（左）视图
（C） 10
（D）8 2
俯视图
（8）设A(0,0)，B(4,0)，C(t+4,4)，D(t,4)（tÎR），记N(t)为平行四边形内
部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)
的
值域为
（A）{9,10,11} （B）{9,10,12} （C）{9,11,12} （D）{10,11,12}
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第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
p
（9）在DABC中，若b=5,ÐB= ，tanA=2，则sinA= ；a= 。
4
（10）已知向量a=( 3,1)，b=(0,-1)，c=(k, 3)，若a-2b与c共线，则k = 。
1
（11）在等比数列{a }中，若a = ，a =-4，则公比q= ；
n 1 2 4
|a |+|a |+ +|a |= 。
1 2 L n
（12）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个。
（用数字作答）
ì2
ï , x³2
（13）已知函数 f(x)=íx 过关于x的方程 f(x)=k有两个不同的实根，则实
ï î(x-1)3,x<2
数k的取值范围是 。
（14）曲线C是平面内与两个定点F(-1,0)和F (1,0)的距离的积等于常数a2(a >1)的点
1 2
的轨迹，给出下列三个结论：
① 曲线C过坐标原点；
② 曲线C关于坐标原点对称；
1
③ 若点P在曲线C上，则DFPF 的面积不大于 a2；
1 2 2
其中，所有正确结论的序号是 。
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三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
p
已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1，
6
（I）求 f(x)的最小正周期；
p p
（Ⅱ）求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值；
6 4
（16）（本小题共14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，底面ABCD
P
是菱形，AB=2,ÐBAD=60°。
（I）求证：BD^平面PAC
（Ⅱ）若PA= AB，求PB与AC所成角的余弦值；
D
（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC垂直时，求PA的长； A
C
B
（17）（本小题共13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模
糊无法确认，在图中以X 表示。
甲 组 乙 组
9 9 0 X 8 9
1 1 1 0
（I）如果X =8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总
棵数Y 的分布列和数学期望；
1
注：方差s2 = [(x -x)2 +(x -x)2 + +(x -x)2]，其中x 为x ,x , ,x 的平均数
n 1 2 K n 1 2 L n
第4页 | 共5页数学（理）（北京卷） 第4页 （共5页）
（18）（本小题共13分）
x
已知函数 f(x)=(x-k)2ek 。
（Ⅰ）求 f(x)的单调区间；
1
（Ⅱ）若对于任意的xÎ(0,+¥)，都有 f(x)£ ，求k的取值范围；
e
（19）（本小题共14分）
x2
已知椭圆G: + y2 =1，过点(m,0)作圆x2 + y2 =1的切线l交椭圆G于A,B两点
4
，
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）将| AB|表示为m的函数，并求| AB|的最大值；
（20）（本小题共13分）
若数列A :a ,a , ,a （n³2）满足 a -a =1(k =1,2, ,n-1)，则称A 为E
n 1 2 L n k+1 k L n
数列，记S(A )=a +a + +a 。
n 1 2 L n
（Ⅰ）写出一个满足a =a =0，且S(A )>0的E数列A ；
1 5 5 5
（Ⅱ）若a =12,n=2000，证明E数列A 是递增数列的充要条件是a =2011；
1 n n
（Ⅲ）对任意给定的整数n(n³2)，是否存在首项为0的E数列A ，使得S(A )=0
n n
，如果存在，写出一个满足条件的E数列A ；如果不存在，说明理由。
n
、
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