文档内容
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟.
第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,
并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上,
答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,
用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.
2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
参考公式:
·如果事件A, B互斥, 那么
P(AÈB)=P(A)+P(B)
·棱柱的体积公式V=Sh，
其中S表示棱柱的底面面积,
h表示棱柱的高.
·如果事件A, B相互独立, 那么
P(AB)=P(A)P(B)
4
·球的体积公式V = pR3.
3
其中R表示球的半径.
第1页 | 共5页一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则AÇB=
(A) (-¥,2] (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]
ì3x+ y-6³0,
ï
(2) 设变量x, y满足约束条件íx- y-2£0, 则目标函数z =
ï
îy-3£0,
y－2x的最小值为
(A) －7 (B) －4
(C) 1 (D) 2
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1,
则输出S的值为
(A) 64 (B) 73
(C) 512 (D) 585
(4) 已知下列三个命题:
1
①若一个球的半径缩小到原来的 ,
2
1
则其体积缩小到原来的 ;
8
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
1
③直线x + y + 1 = 0与圆x2 + y2 = 相切.
2
其中真命题的序号是:
(A) ①②③ (B) ①②
(C) ①③ (D) ②③
(5)
x2 y2
已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2 =2px(p>0)的准线分别交于A,
a2 b2
B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为 3, 则p =
3
(A) 1 (B) (C) 2 (D) 3
2
p
(6) 在△ABC中, ÐABC = ,AB= 2,BC =3,则sinÐBAC =
4
10 10 3 10 5
(A) (B) (C) (D)
10 5 10 5
(7) 函数 f(x)=2x |log x|-1的零点个数为
0.5
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
é 1 1ù
(8) 已知函数 f(x)=x(1+a|x|). 设关于x的不等式 f(x+a)< f(x) 的解集为A, 若 - , Í A,
ê ú
ë 2 2û
则实数a的取值范围是
第2页 | 共5页æ1- 5 ö æ1- 3 ö
(A) ç ,0÷ (B) ç ,0÷
ç ÷ ç ÷
2 2
è ø è ø
æ1- 5 ö æ 1+ 3ö æ 1- 5ö
(C) ç ,0÷Èç0, ÷ (D) ç-¥, ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
2 2 2
è ø è ø è ø
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
(9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .
6
æ 1 ö
(10) çx- ÷ 的二项展开式中的常数项为 .
è xø
æ pö
(11) 已知圆的极坐标方程为r=4cosq, 圆心为C, 点P的极坐标为 ç4, ÷ , 则|CP| = .
è 3ø
(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, ÐBAD=60°, E为CD的中点. 若
uuur uuur
AC·BE＝1, 则AB的长为 .
(13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A
做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE
= 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .
1 |a|
(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, + 取得最小值.
2|a| b
三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
æ pö
已知函数 f(x)=- 2sinç2x+ ÷+6sinxcosx-2cos2x+1,xÎR.
è 4ø
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
é pù
(Ⅱ) 求f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值.
ê ú
ë 2û
第3页 | 共5页(16) (本小题满分13分)
一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张,
编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.
(17) (本小题满分13分)
如图, 四棱柱ABCD－A B C D 中,
1 1 1 1
侧棱A A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1,
1
AA = AB = 2, E为棱AA 的中点.
1 1
(Ⅰ) 证明B C ⊥CE;
1 1
(Ⅱ) 求二面角B －CE－C 的正弦值.
1 1
(Ⅲ) 设点M在线段C E上,
1
2
且直线AM与平面ADD A 所成角的正弦值为 ,
1 1
6
求线段AM的长.
(18) (本小题满分13分)
x2 y2 3
设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F, 离心率为 ,
a2 b2 3
4 3
过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
3
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
uuuruuur uuuruuur
AC·DB+ AD·CB=8, 求k的值.
(19) (本小题满分14分)
3
已知首项为 的等比数列{a }不是递减数列, 其前n项和为S (nÎN*), 且S + a , S + a , S +
2 n n 3 3 5 5 4
a 成等差数列.
4
(Ⅰ) 求数列{a }的通项公式;
n
1
(Ⅱ) 设T =S - (nÎN*), 求数列{T }的最大项的值与最小项的值.
n n S n
n
(20) (本小题满分14分)
已知函数 f(x)=x2lnx.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使t= f(s).
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s=g(t), 证明: 当t>e2时, 有
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第5页 | 共5页
