第 1 讲 比谁眼力好
【专题简析】
小朋友，如果给你一组图形，其中有一个图形与其他图形的特征不一样，你能很快辨认出来
吗？或者先画了几幅图，要你接着画下去你会画吗？这就要比谁的眼力好了。我们可以从图
形的形状、位置、大小、方向等方面观察、比较。
[来源:学科网ZXXK]
要学会这种本领，小朋友一定要认真观察，根据前后几个图形的排列，找出变化的规律，才
能推算出下面该画什么图形。
【例题1】
下面一组图中，有一个是不同的，你能找出它吗？
思路导航:图（1）、（2）、（3）、（5）是完全相同的两个图形重叠一小部分。而图（4）
是两个完全一样的半圆拼成的一个整圆，没有重叠。
这几组图形中，第4 组图形与其他的不同。
练习1
1．下面一组图，其中有一个是不同的，你能找出来吗？
2．找出与其他图形不同的那组图。
[来源:Zxxk.Com]
3．你能把与其他不同的找出来吗？【例题2】
根据规律接着画。
思路导航:仔细观察图可以发现，第一竖行是三个基本图形○、△、□，第二竖行是在○、△、
□外面加了一个圆，第三竖行由上两个图形发现是在○、△、□外加上了一个方框，由此可
推断第三个空格的图应该在□外加上一个方框。所以图中空格里应该画“回”。
练习2
1．按顺序仔细观察图，第三幅“？”处该怎么填？
2．按顺序仔细观察，在“？”处填图。
3．接着画。
【例题3】
在方框里填上适当的字母。
思路导航:仔细观察这些字母，不难发现，每一横行、竖行都有字母 A、B、C，只不过是排列
顺序不同而已。因此空格里横看、竖看，都应该填 B。
练习31．按规律在空格里画上图形。
2．在空格里填上适当的图形。
3．接着画。
【例题4】
请你根据前三个图形的变化规律，画出第四个图形来。
思路导航:通过观察可以发现这三幅图都是把完全一样的圆平均分成 4份，把其中的一份涂上
阴影。第一幅图阴影部分在左上角，第二幅图阴影部分在左下角，第三幅图阴影部分在右下
角。根据这个规律，第四幅图阴影部分应该转到右上角。
所以第四个方框里应填 。
[来源:学+科+网]
练习4
1．请你根据前三个图形的变化规律，画出第四个图形来。
2．接下去该怎样画？3．仔细观察图，在第四幅中应画什么图形？第十幅图应画什么图形？
【例题5】
接着应该怎样画？请画在空格里。
思路导航:先观察○。（1）在左上角，（2）在左下角，（3）在右下角。由此可见○按逆时
针方向依次转动。再观察◇、□、△这三种也是按照逆时针方向依次转动。根据规律第四
幅图应该这样画：
练习5
1．仔细观察，第四幅图应画什么图形？
[来源:Z|xx|k.Com]
2．想一想，第四幅图该怎么填？
3．仔细观察，想一想第三幅图应该怎样填？练习题答案
练习1
1．（4） 2．（2） 3．（4）
练习2
1．△ 2． 3．
练习3
1． 2． 3．
[来源:学.科.网]
练习4
1． 2．
3．第四幅图应画： ， 第十幅图应画：
练习5
1． 2． 3．第 2 讲 数数图形
【专题简析】
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在
一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个
数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得
正确的结果。
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1，弄清被数图形的特征和变化规律。
2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
【例1】：数出下面图中有多少条线段。
分析与解答：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗
漏。
从图中可以看出，从 A 点出发的不同线段有 3 条：AB、AC、AD；从 B 点出发的不同线段
有2条：BC、BD；从 C点出发的不同线段有 1条：CD。因此，图中共有 3+2+1=6条线段。.
练习1：数出下列图中有多少条线段。答
（1）
（2）
（3）例2：数一数下图中有多少个锐角。
分析与解答：数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因
此，要求图中有多少个锐角，可根据公式 1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）
.练习2：
下列各图中各有多少个锐角？答
期望数学岛
[来源:Z§xx§k.Com]
.例3：数一数下图中共有多少个三角形。
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
分析与解答：图中AD 边上的每一条线段与顶点 O构成一个三角形，也就是说，AD 边上有几
条线段，就构成了几个三角形，因为 AD 上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有 6
个三角形。练习3：
数一数下面图中各有多少个三角形。答
例4：数一数下图中共有多少个三角形。
分析与解答：与前一个例子相比，图中多了一条线段 EF，因此三角形的个数应是 AD和EF上
面的线段与点O所围成的三角形个数的和。显然，以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6
个，所以图中共有6×2=12 个三角形。
.
练习4：
数一数下面各图中各有多少个三角形。答
[来源:Z§xx§k.Com]
.例5：数一数下图中有多少个长方形。分析与解答：数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考，图中的长方形的个数取决于 AB
或CD边上的线段，AB边上的线段条数是 1+2+3=6条，所以图中有 6个长方形。
.
练习5：
1、数一数下面各图中分别有多少个长方形。答
2、数一数下面各图中分别有多少个正方形。
[来源:Zxxk.Com]练习题答案
练习1
1．10 2．16 3．10
练习2
1．6 2．15 3．28
练习3
6，10，5
练习4
20，24，21
练习5
1．21，10，3 2．14，18第 3 讲 按规律填数
【专题简析】
我们经常会看到按一定规律排列起来的一列数，如果要接在一列数后面再写几个数，就
要仔细观察这列数中已经出现的几个数之间有什么规律，找准了规律，就能按规律接下去填
数了。
按规律填数不是很容易就填对的，要运用数的顺序和加、减、乘法的知识，通过仔细观察，
根据同组数排列的顺序和前后、上下之间的相互关系，才能找出数与数间的排列规律。
【例题1】
按规律填数。
（1）15，5，12，5，9，5，（ ），（ ）
（2）5，9，10，8，15，7，（ ），（ ）
[来源:Z+xx+k.Com]
思路导航:（1）第一个数 15 减去 3是第三个数 12，第三个数 12 减去 3是第五个数 9，第二、
四、六个数不变，根据这一规律，第七个数是 9－3 = 6，第八个数还是 5。
（2）第一个数 5 加上 5 的和是第三个数 10，第三个数 10 加上 5 的和是第五个数 15，第二
个数 9 减去 1 的差是第四个数 8，第四个数 8 减去 1 是第六个数 7，根据这一规律，第七个
数应是 15＋5 = 20，第八个数应是 7－1 = 6，即 20 和6。
练习1
1．找规律填数。
25，4，20，4，15，4，（ ），（ ）
8，7，10，6，12，5，（ ），（ ）
2．找规律填数。
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
（ ），（ ），7，34，7，36，7，38
（ ），（ ），5，4，9，6，13，8
3．找规律填数。
16，3，8，9，4，（ ），（ ）
40，16，20，8，10，4，（ ），（ ）
[来源:学#科#网]【例题 2】
仔细观察，找规律填数。
0，1，2，3，6，7，（ ），（ ）
思路导航:这里第一个数加上 1得到第二个数（0＋1 = 1），第二个数乘 2 得第三个数（1×
2 = 2），这里第三个数加上 1得到第四个数（2＋1 = 3），第四个数乘 2 得第五个数（3×
2 = 6），.即根据加 1，乘 2；加 1，乘 2……的规律，可以确定括号内应填 7×2 = 14，14
＋1 = 15，即14，15 这两个数。
练习2
按规律填数。
1．1，2，4，5，10，（ ），（ ）
2．3，6，5，10，9，（ ），（ ）
3．3，6，12，（ ），（ ）
4．30，15，14，7，6，（ ），（ ）
5．2，3，4，3，4，5，4，5，6，（ ），（ ）
【例题 3】
在空格中填上合适的数。
思路导航:表格中的数分上下两排，每排的数各有自己的规律，上排的数是从 4 开始依次加 2，
加 3，加 4 得到，这样最后一个数就是 13＋5 = 18。下排的数是从 5 开始依次加 4，加 6，
加 8得到，这样下排最后一个数就是 23＋10 = 33，所以空格中应填 。
练习3
1．在空格里填上适当的数。2．在空格里填上适当的数。
3．根据下左图内四个数字之间的关系，填出下右图空格内的数字。
4．按规律填图。
[来源:学科网]
【例题 4】
在空格中填入合适的数。
[来源:Zxxk.Com]
思路导航:每组有三个数，第一组中 8＋18 = 13×2，即第一个数和第三个数的和是中间一个
数的 2 倍，同样第三组中 16＋30 = 23×2，所以中间一组 13＋5 = 18，18＋5 = 23，所以
空格中应填 18。
也可以横着看，第一排中有 8＋4 = 12，12＋4 = 16，即后面的数比前面的数大 4，第三排
中有18＋6 = 24，24＋6 = 30，后面的数比前面的数大 6，再看第二排应是 13＋5 = 18，18
＋5 = 23，所以空格中应填 18。
练习4
1．按规律填空。2．按规律填空。
3．按规律填空。
【例题 5】
找规律填数。
（1）0，1，4，9，（ ），（ ），36
（2）2，4，（ ），（ ），32，64
（3）1，3，7，（ ），31
思路导航:（1）在这些数中，仔细观察可以发现，0 = 0×0，1 = 1×1，4 = 2×2，9 = 3
×3，36 = 6×6，根据这一规律，中间正好少了，4×4 = 16，5×5 = 25.所以括号里填 16
和 25。
（2）在这些数中，通过观察，2×2 = 4，32×2 = 64，试一试用前一个数乘 2，4×2 = 8，
8×2 = 16，16×2 = 32，正好都能满足前一个数乘 2得最后一个数。因此括号里填 8 和16。
（3）在这一列数中，3 = 1×2＋1，7 = 3×2＋1，后一个数是否等于前一个数乘 2加 1，再
试 7×2＋1 = 15，15×2＋1 = 31，因此这道题的规律是后一个数 = 前一个数×2＋1，括号
里应填 15。
练习5
找规律填数：
1．4，9，16，（ ），（ ），49
2．81，（ ），49，36，（ ）
3．1，2，4，8，（ ），（ ）练习题答案
练习1
1．（1）10，4；（2）14，4
2．（1）7，32；（2）1，2
3．（1）27，2；（2）5，2
练习2
1．11，22（加1，乘 2；加1，乘 2……）
2．18，17（乘2 减 1，乘2 减1……）
3．24，48（前一个数乘 2）
4．3，2（除以 2减 1，除以 2减 1……）
5．5，6
练习3
1．29，81
2．10，24
3．9
4． ，
练习4
1．49（下两个数相乘加 1得上一个数）
2．28，14
3．40，70
练习5
1．25，36
2．64，25
3．16，32第 4 讲 趣味数学（一）
【专题简析】
小朋友，下面有一些有趣的题目，不要列复杂算式计算，但一不小心在回答时就可能落入“圈
套”。要想正确解答这些题目，一定要充分发挥自己的智力，有时还要打破“常规”去想。
解答这些带有迷惑性的题目，要靠认真读题，领会题目的意思，再经过充分的分析和思考，
运用自己的聪明才智巧妙地解决。
【例题1】盒子里有红球和黄球各 8个，最多摸出几个球，才能保证有两种颜色不同的球？
思路导航:在摸球时，如果不凑巧，连续摸出的 8个都是同一种颜色的球，那么再摸一个，也
就是第9个，一定是另一种颜色的球。
答：最多摸出9个球，才能保证有两种颜色不相同的球。
练习1
1．小口袋里混合放着红、黄两种玻璃球各 4粒。它们的形状大小完全一样，如果不用眼睛看，
要保证一次拿出两粒颜色不同的玻璃球，至少必须摸出几粒？
2．布袋里有红、绿两种小木块各 6块，形状大小都一样，如果要保证一次能从布袋里取出 2
块颜色不同的木块，至少必须取出几块小木块？
[来源:Zxxk.Com]
3．在367个七岁小朋友中，至少有几个小朋友是同月同日生的？
【例题2】一只小兔 5分钟吃一棵菜，5 只小兔同时吃5棵同样大的菜需要几分钟？
【思路导航】根据题意，一只小兔 5 分钟吃一棵菜，5 只小兔同时吃 5 棵菜所需的时间，也
就等于一只小兔吃一棵菜所用的时间。
一只小兔5分钟吃一棵菜，5只小兔同时吃 5棵同样大的菜需 5分钟。练习2
1．一个小朋友吃1 个西红柿，要用 3分钟。5个小朋友同时吃 5个同样大小的西红柿，要用
几分钟才能吃完？
2．4个小朋友同时削 4枝铅笔需要4分钟，照这样的速度，7个小朋友同时削 7枝铅笔需要
几分钟？
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
3．5只猫5天能捉 5只老鼠，照这样计算，要在 100天里捉 100只老鼠需要多少只猫？
【例题 3】5 点放学，雨还在不停地下，大家都盼着晴天，小林对小季说：“已经连续两天
下雨了，你说再过 30小时太阳会出来吗？”
思路导航:晚上5点，再过 30小时，是第二天晚上 11点（30－24＋12＋5 = 23），而不管阴
天、雨天、晴天，夜里太阳都不会出来，因此再过30小时太阳不会出来。
练习3
1．12点放学，雨还在下，大家都盼着晴天，张三问李四：“再过 36小时太阳会出来吗？”
请你帮李四判断一下。
2．中午小红问小明：“后天有雨吗？”小明说：“今天晴，再过 30 小时要连续下雨两天两
夜。”请你帮小红推导一下后天是否有雨？3．今天是 15 号，早上雨还在不停地下，妈妈对小兰说；“兰兰，我考考你，今天下雨，再
过72小时天会晴，那么 17号是晴还是雨？”请你帮兰兰回答。
【例题4】甜甜小朋友将 30颗珠子排成数量不等的五堆，每堆的颗数恰好是双数，你知道每
堆各有多少颗吗？
思路导航:由于“珠子排成数量不等的五堆，每堆的颗数恰好又是双数”，于是我们可以从最
小的双数想起，最小的一堆是 2 颗，则每堆分别为 2 颗、4 颗、6 颗、8 颗、10 颗，因为 2
＋4＋6＋8＋10 = 30（颗）。
五堆分别为2颗、3颗、6颗、8颗、10颗。
练习4
1．雯雯小朋友将 25 颗珠子排成数量不等的五堆，每堆颗数恰好都是单数，你知道每堆各有
多少颗？
2．有 48 个同学参加三项体育活动，只知道参加每项活动的人数不一样，而人数都有一个数
字“6”，参加三项体育活动的各有多少人？
3．10块糖分成数量不同的 4堆，数量最多的一堆有几块？
【例题5】兔妈妈把 12根萝卜分成数量各不相等的 4堆，问最多的一堆中有几根萝卜？
思路导航:兔妈妈要把 12 根萝卜分成根数各不相等的 4 堆，要让最多的一堆中萝卜的根数尽
量多，那么余下三堆的根数就要尽量少，所以，兔妈妈可以在第一堆中放 1 根萝卜，在第
2堆中放2根萝卜，在第 3堆中放3根萝卜，这样第 4堆可放 12－1－2－3 = 6（根）萝卜。列式如下：
12－1－2－3 = 6（根）
答：最多的一堆中有 6根萝卜。
练习5
1．小猫要把8条鱼分成数量不等的 3堆，问最多的一堆中可放几条鱼？
[来源:学科网]
2．小红把13根小棒分成数量不等的 4堆，问最多的一堆中有几根小棒？
3．如果要把18枚棋子分成数量不等的 5堆，最多的一堆中有几枚棋子？
[来源:Zxxk.Com]练习题答案
练习1
1．5粒 2．7块 3．2个
练习2
1．3分 2．4分 3．5只
练习3
1．过36小时，正好是夜里，太阳不会出来。
2．小红问小明时，再过 30 小时是第二天的晚上，第二天晚朝后要连续下两天两夜雨，因此
后天有雨。
[来源:学§科§网]
3．15 号再过 72 小时是 18 号，15 号雨，再过 72 小时是晴，即从 18 号早上才开始晴，因此
17号仍然是雨天。
练习4
1．1，3，5，7，9颗
2．6＋16＋26 = 48（人）
3．4块
练习5
1．8－1－2 = 5（条）答：最多的一堆中可放 5条鱼。
2．13－1－2－3 = 7（根）答：最多的一堆中有 7根小棒。
3．18－1－2－3－4 = 8（枚）答：最多的一堆中有 8枚棋子。第 5 讲 锯木头
专题简析：
爬楼梯遇到层数问题，主要是要明白几楼与几层楼梯是不同的，楼数比楼梯层多 1。锯
木头的段数问题，主要是要明白锯成木头的段数比锯木头的次数多 1。同样敲钟遇到的时间
问题，应先考虑敲的次数比敲的间隔数多 1。解答这类问题，先考虑这些问题的差别所在，
再选择恰当的解题方法。
【典型例题】
【例题1】爸爸把一根木头锯成了 9段，每锯一次要用 7分钟，爸爸锯完这根木头要用多少
分钟？
思路导航：要计算爸爸锯这根木头用了多少分钟，必须要知道锯的次数和每锯一次所用的时间，已知条
件中不知道锯了多少次，但通过分析我们知道锯一次可以把一根木头锯成2段，,锯两次可以把一根木头
锯成3段.......,总结得出锯的次数总比段数少1，所以9段就应该锯了8次。
9-1=8（次） 8×7=56（分）
答：爸爸锯完这根木头要用 56分钟。
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
练习1
1.把一根粗细均匀的木头锯成5段，每锯一次需要 5分钟，一共要多少分钟？
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
2.沸羊羊把一根木头锯成两段用 3分钟，锯成 10段，要多少分钟？
3.灰太狼要把20米长的钢管锯成4米长的小段，每锯一次用 2分钟，一共需要几分钟？
[来源:Z,xx,k.Com]【例题2】把1根粗细均匀的木头锯成 7 段，共用30分钟，每锯一次要几分钟？
思路导航:把一根木头锯成 7 段，根据段数比次数多 1，可知锯了（7-1）=6 次，锯 6 次用
了30分钟，每次要用 30 6=5（分钟）
解：7-1=6（次） 30 6=5（分钟）
答：每锯一次要5 分钟
练习2
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
1.王师傅把一根钢筋锯成了 10段，一共用了 27分钟，他锯一次要用几分钟？
2.有3根木料，每根锯成 3段，一共用了18分钟，每锯一次要用几分钟？
3.李师傅把一根铝合金材料锯成三段时用了 6分钟，他用 18 分钟，把这根铝合金锯成适用
的短料，这根铝合金被锯成了多少小段？
【例题3】时钟6 点敲6下，10秒钟敲完，敲 12下需要几秒？
思路导航:用敲 6 下，可以知道 6 下中有 5 个间隔，5 个间隔用了 10 秒钟敲完，由此可见
每个间隔为10÷（6—1）=2（秒）；敲12 下，12下之间有11 个间隔，每个间隔用 2秒，所
以一共用了2×（12-1）=22（秒）。列式如下：
10÷（6—1）=2（秒）
2×（12-1）=22（秒）
答：敲 12 下需要22秒。
[来源:学科网ZXXK]
练习3：
1.时钟敲4下用了6 秒，敲6下用几秒？2.时钟12秒敲7下，敲 4下需要几秒？
3、时钟5点敲5下用8秒钟，那么10点敲10下用几秒？
【例题4】小明家住九楼，他从底楼走到二楼用 1分钟，那么他从底楼走到 9楼需要几分钟？
思路导航:楼数比楼梯层多1，小明从底楼走到9楼就走了（9—1）层楼。他从底楼走到2楼用1分钟，就
是他每走一层楼要用1分钟。
1×（9—1）=8（分）
答：他从底楼走到 9楼需要8分钟。
练习4
1.小红家住四楼,她从底楼到二楼需要 2 分钟,那么他从底楼到 4楼需要几分钟？
2.小红家住八楼，她从 7楼走到八楼要用 1分钟，那么她从底楼走到八楼要用几分钟?
3.王师傅家住在6楼，他从底楼走到 3楼要用 2分钟。那么他从底楼到 6楼要几分钟？
【例题5】荣荣住的这栋楼共七层，每层楼有 20级台阶，她家住在 5楼，荣荣从底楼开始，
往上走多少级台阶才能到自己住的那一层？
思路导航:荣荣住在 5 楼，从底楼走到 5 楼，其实是走了 5-1=4（层）楼梯，由于每层楼梯
20级，因此住在5楼，其实是求 4个20 是多少，即204=80（级）台阶。解：5-1=4（层） 2 0 4 = 8 0 （级）
答：往上走80级台阶才能到自己住的那一层
练习5
1.开心果一边上楼一边数台阶，他走到2 楼时，有 20 级台阶，他家住 11 楼，一共有多少级
台阶？
2.小东住在大厦 11 楼，他数了数 3 楼到 5 楼有 42 级台阶，那么他要走多少级台阶才能从底
楼走到自己住的那一层？
3.小明和小红同住一栋楼，小红家住 3 楼，小明家住 6 楼，小明说：“我走的台阶数是小红
的2倍。”他说得对吗？为什么？第 6讲 间隔趣谈
【专题简析】
两根绳子结起来只要打一个结，两根绳子结成一个圆需要打两个结，一根绳子剪 4 次被剪
成了5 段等等，这是日常生活中的比较特殊的问题。想要做好这类题，需要我们多动脑筋，
多动笔画画，才能找到正确的答案。这一讲是有关绳子打结和剪绳子的问题。给绳子打结
如果不练成一个圆，打结的次数比绳子的根数少 1；如果结成 1 个圆，打结的次数与绳子
的根数同样多。同样，如果是剪绳子，那么剪成的段数比剪得次数多 1.
【例题1】小刚把4 根绳子连起来成一条绳子，一共需要打几个结？
思路导航:解这种题，可以画图解答。如图：
打结 打结 打结
从上图中可以看出，4 根绳子要结起来成一根绳子，只要打 3 次结就可以了，可见，打结的
次数比绳子的根数少 1.
解：4-1=3（个）
答：小刚把 4 根绳子连起来成一条绳子，一共需要打 3 个结
练习1
1．小明把 5根绳子连起来成一根长绳，一共需要打几个结？
2.把 8根绳子连接起来成一根绳子，一共需要打几个结？
[来源:学科网ZXXK]
【例题 2】把几根绳子打 7个结就能成一个圆？
思路导航:根据题意，如图所示：打了 7 个结，就把一些绳子
结成了一个圆，这些绳子应该有 7 根。因此，如果把绳子结成圆
时，绳子的根数与打结的次数相等。
解：把 7根绳子打 7 个结就能成一个圆练习2
1．丽丽打了 8 个结就把一些绳子结成一个圆，你知道丽丽拿了几根绳子吗？
2．小红拿 10根绳子结成一个圆，她打了几个结？
3．把20根绳子连接起来成一根绳子，一共需要打几个结？如果要结成一个圆，需要结几次？
[来源:Zxxk.Com]
【例题 3】一根10米长的绳子剪了 4次，平均每段长多少米？
思路导航:10 米长的绳子剪了 4 次，应该剪成了 5 段。求平均每段长多少米，也就是要把10
平均分成 5 份，求每份是多少。 1 0 5 = 2 （米），因此平均每段长 2米
解：4+1=5（段） 1 0 5 = 2 （米）
答：平均每段长 2 米
练习3
1．一根8 米长的绳子，剪了 3次，平均每段长多少米？
2．一根9 分米长的绳子，剪了 2 次，平均每段长多少分米？
3．一根绳子剪了 5 次后，平均每段长 3 米，这根绳子原来长多少米？
[来源:Z,xx,k.Com]【例题 4】一根 10米长的绳子，把它剪成 2米长的一段，可以剪多少段？要剪几次？
思路导航:（1）10 米长的绳子，剪成每段 2 米长，要求可剪多少段，这里求 10 里面有几个
2，
102=5（段），可以剪 5 段。
（2）要求剪几次，可以用线段图分析：
2米
10米
从图中可以看出每一段剪一次，剪最后一次还可以有 2段，因此剪的次数比剪得段数少 1.
即剪得次数=段数-1。
解： 1 0 2 = 5 （段） 5-1=4（次）
答：可以剪 5 段，要剪 4次。
练习4
1.一根木材长 8 米，把它锯成 2米长的小段，可以锯成多少段？要锯几次？
2.一根12米长的铁丝，把它剪成 3米长的小段，可以剪成多少段？要剪多少次？
3.一根25米长的电线，剪了 4次，可以剪成多少段？平均每段长多少米？
[来源:学科网]
【例题 5】小兰在桌上摆小棒，先摆了 1 根，然后每隔 7 厘米放 1根，在距离第一根 42 厘米
处，共放了几根？
思路导航:每隔 7 厘米放一根，42 里有几个 7 就有几段，42÷7＝6（段），小棒的根数比段
数多1，
6+1＝7（根）。
解 :42÷7+1=7（根）答：共放了 7 根。
练习5
1．小灰灰把贝壳放在桌上，先放一个，然后每隔 4 厘米放一个，从第 1个到20厘米处，一
共可以放多少个？
[来源:学_科_网]
2.小红把几枝铅笔放在桌上，每两枝之间相隔 8 厘米，从第一根到最后一根之间相隔 64 厘
米，你知道放了几枝铅笔吗？
3.小美在桌上摆了 1 颗珠子，然后每隔 5 厘米放 1颗，在距第一颗 35 厘米处放的是第几颗？练习题答案
练习1
1.4个 2.7个
练习2
1.8 根 2.10 个 3.19 个 20 次
练习3
1.2 米 2.3 分米 3.18 米
练习4
1.8÷2＝4（段）4－1＝3（次）
2.12÷3＝4（段） 4－1＝3（次）
3.4+1＝5（段） 25÷5＝5（米）
练习5
1.20÷4+1＝6（个）
2.64÷8+1＝9（枝）
3.35÷5+1＝8（颗）第 7 讲 火柴棒游戏
【专题简析】
用火柴棒做游戏，小朋友们感兴趣吗？火柴棒游戏中有很多窍门，让我们共同了解火柴
棒中的数学，了解数学的其妙，使小朋友们在有趣的数学游戏中变得更加聪明。
用火柴棒摆成的算式，可以根据算式中给的数的特点，移动火柴棒使它变成另一个数，
或改变一个运算符号，使等式成立，如果是图形，可以直接拿掉或移动多余的几根火柴棒，
还要考虑让火柴棒重复使用，这样可增加图形的个数
【例题 1】下面是用火柴棒摆成的两道算式，但都不能成立，请你只移动一根火柴棒，使算
式成立。
（1）
（2）
思路导航:移动火柴棒时，要保证火柴棒的根数没有变化。如“ ”与“ ”、“ ”与
“ ”、“ ”与“ ”之间都可以相互转化。
第（1）题中，等号左边的计算结果是 21，而右边只是 1，所以应通过移动火柴棒，使左边
减小右边增大。把左边的“+”变成“－”，左边移动一根火柴棒到右边，使“1”变成“7”，等式
成立。
第（2）题中，观察算式两边。等号左边的计算结果是 641，右边的计算结果是 141，所以
应从等号左边移一根火柴棒到右边，把等号左边的减数121变成21，则左边的计算结果是741。
等号右边 141中，添上移过来的一根火柴棒，恰好变成 741，于是等式成立。
解：（1）17－7＝7 或4+7＝11
（2）741+21－21＝741 或 141+121－121＝141
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
练习 1
1.下面的算式是用火柴棒摆成的，等号两边不相等，请移动其中一根使等式成立。
（1） （2）
2.移动一根火柴棒使等式成立。（1） （2）
3.只许移动一根火柴棒，使等式成立。
（1） （2）
【例题 2】有一把椅子如图（1）所示，椅子翻倒还掉了一条腿。请移动 2根火柴，使椅子翻
过来，且看上去也不缺少腿。
（ 1 ） （ 2 ）
思路导航:要把椅子翻过来，就要使下面有四条腿，上面有靠背。移动后的结果如图（2）所
示，虚线表示移走的火柴。
解：见图（2）
练习 2
1.下面是用火柴棒摆成头朝上的龙虾，移动 3根，使它头朝下。
2.移动 3根火柴，使图中的鱼调头。3.先用 14根火柴摆成如下图的房子。摆成的这座房子面向左，请你移动其中的 2 根火柴，使
这座房子改为面向右。
【例题 3】你能用 7 根火柴棒摆成三个相同的三角形吗？
思路导航:用 7 根火柴棒摆成三个同样的三角形，需要我们动脑筋想一想。一个三角形要 3
根火柴棒，两个三角形就要 6 根火柴棒，7 根火柴棒用去了 6 根。仅剩 1 根火柴棒，就必须
考虑重复使用至少两个边，也就是必须考虑有两个公用边，如下图：
[来源:Z#xx#k.Com]
( 1 ) ( 2 )
解：见图（2）
练习 3
1.你能用 9根火柴棒摆成 4个相同的三角形吗？
2.你能用 10根火柴棒摆成 3个相同的正方形吗？
3.你能用 12根火柴棒摆成 4个相同的正方形吗？【例题 4】移动 4根火柴，把图（1）中的斧子变成三个完全相同的三角形。
( 1 )
思路导航:图（1）中摆斧子的火柴棒共有 9 根，要用 9 根火柴摆出三个完全相同的三角形，
说明三个三角形没有公用的边，所以可摆成图（2），其中虚线表示移走的火柴。
解：见图（2）
练习 4
1.下图是用 16根火柴棒摆成的，移动其中的 6根火柴棒，使它变成两个相等的正方形。
2.移动 2根火柴棒，使它变成 3个大小一样的正方形。
3.移动 3根火柴棒，使下列用火柴棒摆成的图形成“田”字形。【例题 5】如下图，是用 15根火柴棒摆成的5个相等的正方形，请你拿走基中的 3 根火柴棒，
使它变成只有 3个正方形的图形，怎样拿？
思路导航:一个正方形，由 4根火柴棒摆成，只要去掉一根火柴棒，就不是正方形了。所以把
左上角的两根去掉，再把正中最下面的一根去掉，就破坏掉 2个正方形，只剩下 3个正方形
了。
解：
练习 5
1.下图是用 18根火柴棒摆成的 9个大小相同的三角形，拿走几根火柴棒，就可以变成 5个三
角形，怎样拿？
[来源:Zxxk.Com]
2.用 12根火柴棒摆成 6个大小一样的三角形，请你拿走 3根，还剩下 3个大小一样的三角形。
3.用 16根火柴棒摆成 4个相等的正方形，拿掉 1根、2根、3 根、4根后，还可以摆成 4个相
等的正方形，应该怎样做？期望数学岛
[来源:Zxxk.Com]练习题答案
练习 1
[来源:学科网ZXXK]
1.(1)7+4=11 (2)11+1=12或 1+7=8
2.（1）2+1=3 （2）7+1-1=7
3．（1）3=7-4 （2）11=7+4
练习 2
1. 2.
3.
练习 3
1. 2. 3.
练习 4
1. 2. 3.
练习 5
1. 2.3. 减 少 1 根 减少2根
减 少 3 根 减 少 4 根÷
÷
6 =
=
. . . .
.
.
.
.
. . . . 4
,
第 8 讲 巧用余数（一）
【专题简析】
小朋友已经学会了有余数的除法，在有余数的除法里，余数要比除数小，利用余数，可
以解决许多有趣的实际问题，就要看你会不会巧妙地应用了。
要解决除数最小，余数最大的问题，就要理解除数和余数之间的关系，余数必须比除数
小，即除数必须比余数大，掌握了这一点才能找到准确答案。
要求平均分给几位小朋友，平均每人种多少棵树等类型的问题时，应该首先从总数里去
掉多余的部分，使得能够除尽，这样就能符合题意，求出问题的结果。
【例题 1】
， 除数最小是几？
[来源:学+科+网]
思路导航：根据余数一定要比除数小的道理，现在余数是 4，那么除数的范围就比 4大，比4
大的数有很多，最小的是几呢？答案是 5，因为最小的除数只要比余数大 1就可以了。
解：除数最小是 5.
练习 1
1.（ ）÷( )=( )……3,除数最小是（ ）
2.（ ）÷( )=( )……7,除数最小是（ ）
3.（ ）÷( )=6……8,除数最小是几？当除数取最小时，被除数是几？
【例题 2】
余数可以是几，最大余数是几？
思路导航：根据余数一定比除数小的道理，可知余数可以是 1、2、3、4、5，最大余数是 5，
最大余数的确定，是只要比除数小 1就可以了。
解：余数可以是 1、2、3、4、5，最大余数是 5.
练习 2
1.（ ）÷7 =（ ）……（ ），余数可以是（ ），最大余数是（ ）
2.（ ）÷5 =（ ）……（ ），余数可以是（ ），最大余数是（ ）
3.（ ）÷6 = 5……（ ），余数取最大时，被除数是（ ）。【例题 3】
新年快到了，青青草原上挂起了彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂，一共挂了
50盏彩灯，第 50盏彩灯是什么颜色？红色的彩灯一共有多少盏？
思路导航：这些彩灯按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序，即六种颜色为一个周期，先算出
50盏彩灯有几个这样的周期：50÷6=8（个）……2(盏)，余数是 2，这 2盏彩灯是第 8个周期
之后的红、黄两种彩灯。所以第 50盏彩灯是黄色的，红色的彩灯一共有 8+1=9（盏）
解：50÷6=8（个）……2(盏)
8+1=9（盏）
答：第 50盏彩灯是黄色的，红色的彩灯一共有 9盏
练习 3
1.慢羊羊把 54 张扑克牌依次发给喜洋洋、美羊羊、沸羊羊和懒羊羊，问：第 24 张扑克牌发
给谁？谁会拿到最后一张扑克牌？
2.学校大门上挂有一串彩灯，按“红、绿、白、黄”的规律排列起来，请你算一算，第 18只彩
灯是什么颜色？第 25只彩灯是什么颜色？
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
3.植树节那天，同学们按一棵松树，2棵香樟树和 3棵广玉兰的顺序依次栽树，那么第 15棵
是什么树？第 31棵是什么树？
【例题 4】
一张纸很整齐的写着下面这样的两行字：
喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼……
青青草原青青草原青青草原……如果我们把同一列的上下两个字称为一组，第一组的两个字是（喜，青），第二组的两个字
是（羊，青）……那么第 25组的两个字是（ ， ）。
思路导航：根据题意，可以分别算出第 25组的上，下两个字分别是什么。
第一行字是按“喜羊羊与灰太狼”为一组排列的，25÷7=3（组）……4（个），所以第 25组的
上面一个字是“与”。第二行字是按“青青草原”为一组排列的，25÷4=6（组）……1（个），
所以第 25组的下面一个字是“青”，因此第 25组的两个字是（与，青）。
解：与，青
练习 4
1.
京
我 爱 北
[来
天 安 门 我 爱 北 京 天 安 门 …
源:Zxxk.Com]
从 小 爱 数 学 从 小 爱 数 学 从 小 爱 数 …
按顺序排列，第 40组的两个字为（ ， ）。
2.小英在练习写英文字母：
C D E F C D E F C ……
a b c d a b c d a ……
按顺序写，第 35列的那组字母为（ ， ）。
3.在学校小路的两旁植树，左边按“两棵松树，一棵法桐”的顺序种植，右边按“两棵圆柏，两
棵银杏”的顺序种植，左右两侧第 19棵树分别是什么？
【例题 5】
小红带领7个小朋友为幼儿园做50朵花，平均每人做几朵？小红要多做几多才能完成任务？
思路导航：要求平均每人做几朵，用花的总数除以总人数，根据题意可知总人数是 7+1=8（人），
50÷8=6（朵）……2（朵），这余下的 2 朵若给小红做就正好完成任务，也就是小红要比别
的小朋友多做 2朵。
解：7+1=8（人）
50÷8=6（朵）……2（朵）
答：平均每人做 6朵，小红要多做 2多才能完成任务练习 5
[来源:Z*xx*k.Com]
1.小明带 5个小朋友种 32棵数，平均每人种多少棵？小明要多种几棵才能完成任务？
[来源:Zxxk.Com]
2.4个西瓜重 25 千克，每个西瓜的重量都是整千克数，其中一个重一点，其余 3个一样重，
重的一个西瓜是几千克？（轻重两种西瓜相差不超过 1千克）
3.小林和小邱带 6个小朋友去拿苹果，一共拿了 42个，平均每人拿几个？小林，小邱平均每
人多拿几个就能一次拿完？练习题答案
练习 1
1.4 2.8 3.9 62
练习 2
1. 余数可以是 1、2、3、4、5、6，最大余数是 6.
2. 余数可以是 1、2、3、4，最大余数是 4.
3. 余数最大是 5，被除数是 35.
练习 3
1.懒羊羊 美羊羊 2.绿 红
3.香樟树 松树
练习 4
1.天，学 2.E,c 3.松树，银杏
练习 5
1. 5棵 2棵
2. 25÷4=6（千克）……1(千克)
6+1=7（千克）
4. 42÷（6+2）=5（个）……2(个)
2÷2=1（个）第 9 讲 天平平衡
【专题简析】
小朋友们一定知道“曹冲称象”的故事吧？“曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代
换”的思考方法，即两个完全相等的量，可以互相代换。解数学题，经常会用到这种思考方法。
进行等量代换时，要选择容易求出结果的两个等式来比较，使同一个等式中的未知量或
符号越来越少，最后只剩下一个。
【例题 1】
1只猪的重量=2 只羊的重量，1只羊的重量=5只兔的重量。
问：1只猪的重量=（ ）只兔的重量。
思路导航：由一只羊的重量=5 只兔的重量，可知：2 只羊的重量=10 只兔的重量，而 1 只猪
的重量=2只羊的重量，所以 1只猪的重量=10只兔的重量。
解：10.
练习 1
1.1壶水的重量=2瓶水的重量，1瓶水的重量=4 杯水的重量。
那么，1壶水的重量=（ ）杯水的重量？
2.
1只白兔重 6千克 1 只公鸡重（ ）千克
3.小熊种了 3 个南瓜，他想和小兔换萝卜。小兔说：“2 个南瓜可以换 6 棵青菜，1 棵青菜可
以换 4根萝卜。”小朋友，请你算一算，小熊用他的 3个南瓜可以换到小兔的几根萝卜？
【例题 2】你能动脑筋，想办法使天平平衡吗？
4克
6克
3克
10克 7克
思路导航：因为左边重 10+3+7=20（克），右边重 4+6=10（克），左边比右边多 20-10=10
（克），所以要使左右平衡必须从左边拿出 10 克，或拿出 3 克、7克，也可以在右边再添上
10克，也能使天平平衡。
[来源:学科网]
解：左边减 10 克，或右边加 10克.
练习 2
想一想，左边的砝码保持不变，怎样使天平平衡？
1.
7 克 6 克
3 克
4 克
9 克
2.
5 克
4 克
6 克
8 克
7 克
9 克
3.
1克 5克 5克
7克 7克【例题 3】
3 0 0 克
200克
1 5 0 克
=（ ）克 =（ ）克 =（ ）克
思路导航：从图中可以看出：梨+香蕉=200克，而且苹果+梨+香蕉=300克，显然，苹果的重
量是 300-200=100（克）；再看苹果+香蕉=150克，所以香蕉的重量是 150-100=50 克；最后
看梨+香蕉=200克，可以推算出梨的重量是 200-50=150克
[来源:学科网]
解： =（100）克 =（150）克 =（50）克
答：第 50盏彩灯是黄色的，红色的彩灯一共有 9盏
练习 3
1.一只梨重多少克?
140克 190克2.
40克
3 2 克
26克
=( )克 =（ ）克 =（ ）克
3.
2只鹅3只鸡 13千克
3 只 鹅 2 只 鸡 1 7 千 克
一只鹅=（ ）千克 一只鸡=（ ）千克
【例题 4】
下面有四个算式：
小猫的只数－小鸭的植树＝15 小猫的只数×小鸭的只数＝16
小猫的只数÷小鸭的只数＝16 小猫只数 + 小鸭只数＝17
那么，小鸭有几只？小猫有几只？
思路导航：从“小猫的只数×小鸭的只数＝16”，有三种情况
小
小
猫
鸭
的
的
只
只
数
数
=
=
1
1 6
小猫的只数=2
； ；
小鸭的只数=8
小猫的只数=4 小猫的只数=16
，小猫只 数与小鸭只数交换，又有两种可能，即 ；
小鸭的只数=4
小鸭的只数=1 小
小
猫
鸭
的
的
只
只
数
数
=
=
8
2
，再根据另外三个等式，可推算小鸭和小猫的只数，把这五种情况代入另外
三个算式，只有第四种情况符合题意，即：小猫有 16只，小鸭有 1只。
解：小猫有 16 只，小鸭有 1只。
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
练习 4
1.鸡的只数+鸭的只数+鹅的只数=17，鸭的只数=鸡的只数×5，鹅有( )只.
2.如果 20 只兔子可以换 2 只羊，9 只羊可以换 9 头小猪，8 头小猪可以换 2 头牛。那么用 5
头牛可以换（ ）只兔子。
3.已知：鸡×4 = 鸭 + 鹅 鹅 = 鸭×2
如果：鸡 = 3千克，那么，鸭 = （ ）千克，鹅 = （ ）千克
【例题 5】
有一架天平和一个 5 克的砝码，用这架天平称出 30克味精，至少要称几次？
思路导航：第一次先把 5克砝码放在天平的一个盘里，另一个盘里放味精，使得天平平衡，
这样就得到了 5克味精。第二次先把 5克的砝码与第一次称出的 5克味精放在天平的一个盘
里，再给另一个盘里放味精，使天平平衡，这样称出了 10 克的味精。第三次把已称出的 15
克味精放到一个盘里，另一个盘里放味精使天平平衡，称出 15克味精，然后把两盘味精合起
来就是 30克，共称 3次
[来源:Zxxk.Com]
解：
5 克 砝 码 5 克 味 精
5克砝码
5克味精 10克味精
5克味精
10克味精 15克味精
答：至少称 3 次。
练习 5
1.有一架天平只备有一个 20克的砝码，要称出 140克的物件，只称三次，应该怎样称？2.有一架天平和两个砝码，一个 5 克，一个 3 克，怎样才能称出 2 个的白糖？（每个砝码只
能用一次）
3.大勺子一次能装 5两油，小勺子一次能装 3两油，你能用这两把勺子量出 7两油吗？练习题答案
练习 1
1.8 2.1 3. 6÷2=3（棵）3×4=12（根）12×3=36（根）
练习 2
5. 右边拿走 3克，或左边加 3克
6. 右边拿走 9克，或左边加 9克
7. 右边添上 5克
[来源:Z|xx|k.Com]
练习 3
1.25克 2. =(10)克 =（14 ）克 =（8）克
3.5 1
练习 4
1.11或 5 2.200 3.4 8
练习 5
1. 应用 20+40+80=140（克）去称三次 ，图略
2. 先把 5克砝码放在天平的一个盘里，在另一个盘里放白糖，使天平平衡。再把 5克的砝码
取走，换上 3 克的砝码，从另一个盘里取走白糖，待天平平衡时，取走的白糖正好是 2克
3，用大勺装满油，倒满小勺子，这时大勺子就剩下 2 两油了，倒进瓶子里，再把大勺子装
满油倒进瓶子里，瓶子里就有 7两油了。第 10 讲 学习一笔画
【专题简析】
一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复。它是一
种有趣的数学游戏。那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？
一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有 2个或 0个单数点的图形就能够一
笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点。
【例题 1】
一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己
画一些图研究每个点和线的连接情况。
思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连。
① ② ③ ④
[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]
（1） 与一条线段相连的点有：
（2） 与两条线段相连的点有：
（3） 与三条线段相连的点有：
（4） 与四条线段相连的点有：
归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八
条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。
练习 1
1.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。2.下面图形中有哪几个单数点？
A
B C
D
3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？
A
B
G
H
E
F
D
C
【例题 2】
下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？
A C A B C
（1） O （2）
B D
D E F
A B C
C
（3）
D
E F
【思路导航】图（1）中 A、B、C、D、O五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成。
画时可以从任意一点出发。图（2）中 A、C、D、F 四个点都是双数点，B 和 E 两个点是单
数点，所以这个图形也可以一笔画成。画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点。图（3）
中 A、D是双数点，B、C、E 和 F四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不
能一笔画成。练习 2
1.下面的图形能不能一笔画成，如果能，请说明画法，如果不能，请说明理由
（1） （2）
2.下列图形能一笔画成吗?为什么？
3.观察下列图形，哪个图形可以一笔画成？怎么画？
【例题 3】
下图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从 A、B出发，以相同的速度走遍
所有的街道，最后到达 C.那么两人谁先到达？
C
B
A
思路导航：题中要求两人必须走遍所有街道，最后到达 C.仔细观察，可以发现图中有两个单
数点：A、C。这就是说：甲可以从 A点出发，不重复地走遍所有街道，最后到达 C.而B 点
是双数点，从 B 点出发的乙则不行。因此，甲所走的路程正好等于所有街道的总和，而乙所
走的路程一定比这个总和多，所以甲最先到达 C.
解：甲最先到达 C.练习 3
1.下图是某新村小区主干道平面图。甲、乙两人同时分别从 A、B 出发，以相同的速度走遍
所有的主干道，最后到达 C.问谁能最先到达 C?
B
A C
2. 甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从 A、B 出发，哪辆车能最先行驶完所有的路程？
A C
B
B
A C
3.一只蚂蚁分别从 A 点和 B 点出发，爬遍所有的小路。如果每次爬行的速度相同，那么从哪
一点出发所用的时间少？
【例题 4】
下图（图 1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形？
（1） （2）
思路导航：此图共有 9个点，其中 5个点是双数点，4个点是单数点，由于超过两个单数点，
因此不能一笔画成。要想改为一笔画成，关键在于减少单数点数目（把单数点的个数减少到
0或 2），所以只要在任意两个单数点间连上线，就可以一笔画，有时也可以将多余的两个单数点间的连线去掉，改成一笔画。
解：图（1）有 4个单数点，不能一笔画成。要改成一笔画成，如图（2）
练习 4
1.将下图改成一笔画。
1. 2.
3.在一个小区中有一些路，每个圆柱表示邮筒（如下图），邮递员叔叔每次送信时，总是没
法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给小区加一条路来解决这个问题，
你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画。
【例题 5】
邮递员叔叔要给一个居民小区送信（如图），怎么走才能少走重复路，使每天走的路尽可能
短？
A
H
G
B
F
I
C
E
D
思路导航：图中一共有九个点，其中单数点有 2个（点 D和点 F）,因此能一次不重复走过所
有的路，但必须从这两个单数点中的一个出发，再回到另一个单数点。
解：邮递员叔叔只能从点 D（或点 F）出发，走过所有的路后，再回到点 F(或点 D) .练习 5
1.下图是以个小区的中心花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？入口和出口应
该设在哪儿呢？
2.园林工人在花园里浇花，怎样才能不重复地走遍每条小路？
3. 下图是“儿童乐园”平面图，出、入口应分别设在哪里才能不重复地走遍每条路？可以怎么
走？
D C
A
B
【拓展提高】
1、下面的图形能不能一笔画成？为什么？如果能，应该怎样画？[来源:学#科#网Z#X#X#K]
2、给下面的图形添一条线，使它能够一笔画成。
[来源:学科网]
3、小明和玲玲玩“过木桥”的游戏（如下图），他们谁能不走重复的路？
小明
玲玲
4、在王大爷家的花园中有一些路（如下图），王大爷每次给花浇水时，总是没法走过每一条
路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给花园加一条路来解决这个问题，你准备把这条
路加在哪儿？请你动手画一画。
[来源:Z|xx|k.Com]第 11 讲 凑整速算（一）
【专题简析】
同学们已经掌握了口算、笔算的基本方法，有时根据题目里几个数的特点，采用一些简
便、快速的方法计算，不仅可以节省时间，还可以保证计算正确。这种练习可以训练思维的
灵活性，提高计算能力。三个数相加减时为了使计算又快又准确，可以把相加能凑成整百、
整十数算。注意：多加了要减，少加了要补；多减了要补，少减了再减。
【例题1】
计算：37+5+45
思路导航：这道题是三个数相加，通过观察不难发现，5和45先算可以凑成整十（50），这样计算起来比
较容易
解： 37+5+45
=37+（5+45）
=37+50
=87
练习1：用简便方法计算
1. 65+24+6 78+16+4
2. 46+7+23 19+9+71
3. 38+46+2 54+68+46
【例题2】：计算：32+25+8+5
[来源:学_科_网]思路导航：这道题里是四个数连加，通过观察可以发现，如果把32和8相加就可以凑成整十（40）把25
和5相加可以凑成整十（30），这样计算起来比较容易。
解： 32+25+8+5
=（32+8）+（25+5）
=40+30
=70
.练习2：用简便方法计算
1. 7+24+33+16 28+67+2+3
2. 19+35+21+5+7 34+39+16+11
[来源:学科网]
3. 16+27+14+13 23+14+17+16
[来源:Z&xx&k.Com]
.【例题3】：182-23-37和182-（23+37）的结果相等吗？哪一种计算比较简便？不简便的式
子怎样改成简便计算？
182-23-37 182-（23+37）
=159-37 =182-60
=122 =122
思路导航：
从上面的两个式子中，可以看出他们运算顺序不同，但结果是相等的，也就是182-23-37=182-（23+37）。
比较两种计算方法，23+37=60，显然第二种比较简便，因此，从一个数中连续减去两个数，可以把减的两
个数加起来，再从被减数中减去两个数的和，结果不变。
解：182-23-37和 182-（23+37）的结果相等，第二种计算比较简便，一个数连续减两个数，
等于减去这两个数的和。.练习3：
用简便方法计算。
1. 94-51-19 181-26-34
2. 128-64-36 256-57-93
3. 249-117-83 85-26-44
【例题4】计算：39+39
思路导航：题中加数接近整十数40，所以这样想：两个40相加得80，最后把多加的2减去。也可以把39
看成38+1，把1和39凑成40，然后再和38相加。
解： 39+39 39+39
=（39+1）+（39+1）-2 =38+1+39
=40+40-2 =38+（1+39）
=80-2 =38+40
=78 =78
.练习4：
用简便方法计算
1. 59+59 196+97
2. 37+37+37 49+48[来源:学科网ZXXK]
3. 39+49 37+38+39
【例题5】：计算141-102
思路导航：两个数相加、减，如果其中一个数接近整十或整百数，在计算时可以看作整十、整百数来进行
计算，然后根据“多加要减，少加还要加；多减要加，少减还要减”的原理进行计算比较简便。
解： 141-102
=141-（100+2）
=141-100-2
=41-2
=39
.
练习5：用简便方法计算
1、98+67 176-96
[来源:学科网]
2． 374+99 623-98
3. 78+199 1230-997
练习题答案
练习11.95 98 2.76 99 3.86 168
练习2
1.80 100 2.87 100 3.70 70
练习3
1.24 121 2.28 106 3.49 15
练习4
1.118 293 2.111 97 3.88 114
练习5
1.165 80 2.473 525 3.277 233第 12 讲 画图解题
【专题简析】
小朋友，你喜欢小动物吗？每只动物都只有一个头，可腿的条数却有多有少。把不同的
动物关在一个笼子里，告诉我们它们的头的个数和腿的条数，我们怎样知道笼子里的小动物
各有几只呢？下面就向小朋友介绍一种“画图凑数法”，这种方法会给我们解答这类问题带
来方便。
用“画图凑数法”解这类问题时，先假设全部是腿数少的动物，这样所画的腿数一定比
条件中说的腿数少，再根据两种动物腿数的差，用少的腿数除以腿数差，就得到腿数多的动
物的只数。
【例题 1】
鸡和兔在同一个笼子里，一共有 3个头 8条腿，你知道有几只鸡、几只兔吗？
思路导航：题中说一共有 3个头，一定是 3只小动物，用图表示如下：“ ”，
给每个小动物画上两条腿 。如果有 3只鸡，只能有 6条腿，比题目条件中的
8 条腿少了 2 条腿。又根据兔有 4 条腿，再给 1 个小动物添上 2 条腿，就有 1 个小动物是 4
条腿了。
有 4条腿的是兔；2条腿的是鸡，从图中看出有 1只兔，2只鸡
解：有 2只鸡，1只兔
练习 1
1.一只蛐蛐有 6条腿，一只蜘蛛有 8条腿，如果蛐蛐和蜘蛛共有 3只，腿共有 22 条，你知道
有几只蛐蛐、几只蜘蛛吗？
[来源:Z,xx,k.Com]
2.自行车和三轮车共有 3辆，共有 8个轮子，你知道有几辆自行车、几辆三轮车吗？3.一只乌龟有 4条腿，一只仙鹤有 2条腿，如果乌龟和仙鹤共有 5只，共有 14条腿，你知道
有几只乌龟，几只仙鹤吗？
【例题 2】
鸡兔同笼，共 10个头、26条腿，笼里有几只鸡、几只兔？
思路导航：我们可以用“ ”表示头，用“/”表示一条腿，先把它们全部看作是腿较少的
动物，也就是全部画成鸡。
从图中可以看出，10 只鸡有 20条腿，而条件中说共有 26条腿，显然少画了 26-20=6（条）。
由于一只兔比一只鸡多 2条腿，6÷2=3.所以我们应该在 3只鸡的图上再分别加上 2条腿，使
它们称为兔子的表示图。
从图中可以看出，笼中有 3 只兔子，7只鸡
解：笼里有 7 只鸡，3只兔
练习 2
1.鸡兔同笼，共有 8个头，共有 22条腿，有几只鸡，几只兔？
2.蛐蛐和蜘蛛共 12 只，共有 82条腿，它们各有几只？
[来源:Z_xx_k.Com]
3.鸡兔同笼，共有 9个头，28条腿，笼中的鸡兔各有多少只？【例题 3】蛐蛐和蜘蛛共 15只，共有 100 条腿，蛐蛐和蜘蛛各有多少只？
思路导航：要解答这道题，必须先知道一只蛐蛐有 6条腿，一只蜘蛛有 8条腿。如果全是蛐
蛐，则有 6×15=90（条）腿，而题中说有 100 条腿，多出 100-90=10（条）腿。一只蛐蛐比
一只蜘蛛少 8-6=2（条）腿，10里面有 5 个 2，即 10÷2=5（只），这个 5 也就是蜘蛛的只数。
那么蛐蛐的只数有 15-5=10（只）。
解：100-（15×6）=10（条）
10÷（8-6）=5（只） 15-5=10（只）
答：蛐蛐有 10 只，蜘蛛有 5只
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
练习3
1.蛐蛐和蜘蛛共有 8 只，共有 54 条腿，蛐蛐和蜘蛛各有几只？
2.螃蟹和甲鱼共 10只，共有 64条腿，它们各有多少只？
3.笼中有兔又有鸡，数数腿 36条，数数脑袋 11只，问有几只兔子几只鸡？
[来源:Z*xx*k.Com]
【例题 4】
一辆自行车有 2个轮子，一辆三轮车有 3 个轮子，车棚里放着自行车和三轮车共 12 辆，数数
车轮共 27个，问自行车有几辆？三轮车有几辆？
思路导航：车棚里的 12 辆车，如果全部是自行车，则有 2×12=24（个）轮子，而题中说有
27 个轮子，显然多了 27-24=3（个）轮子，而一辆三轮车比一辆自行车多 1 个轮子，多出的
三个轮子里面有 3个 1，即三轮车有 3÷（3-2）=3（辆），自行车有：12-3=9（辆）。
解：27- 2×12=3（个）
[来源:Zxxk.Com]3÷（3-2）=3（辆） 12-3=9（辆）
答：车棚里有 9辆自行车，3辆三轮车。.
练习 4
1.车棚里放着自行车和三轮车共 10 辆，数数车轮拱 26 个，问车棚里的自行车有几辆？三轮
车有几辆？
2.广场上停着三轮车和小汽车共 12辆，数数车轮共有 40个，问有几辆三轮车，几辆小汽车？
3.停车场停着大汽车和小汽车共 14 辆，大汽车有 6 个轮子，小汽车有 4 个轮子，现在两种
汽车共有 72个轮子，问大汽车和小汽车各有几辆？
【例题 5】
小林共有 16枚硬币，有 5角和1 角两种，它们合在一起共有 4 元4角。5 角和 1角的硬币各
有几枚？
思路导航：如果 16 枚都是 1 角硬币，则小林只有 1×16=16（角），16角=1 元6 角，而事实
上小林优 4元 4角，少：4 元4 角-1 元 6 角=2 元 8角=28 角。由于1 枚 5角与 1枚 1 角相差
5-1=4（角），28 角里有 28÷4=7（枚）5 角，这 7 枚就是 5 角硬币，共有 16 枚硬币，5 角
的有7 枚，1角的就是 16-7=9（枚）
解：1×16=16（角） 4元 4角=44角 44-16=28（角）
28÷（5-1）=7（枚） 16-7=9（枚）
答：5 角硬币有 7 枚，1 角硬币有 9枚。
练习5
1.十元钱买 8 角邮票和4 角邮票，共买 17 张，问两种邮票各多少张？2.有 5元的和 2元的两种游艇票共 18张，总钱数是 66元，问每种游艇票各几张？
3.小白兔采蘑菇，晴天每天可以采 20 个，雨天每天可采 12 个。它一连采了 8 天，一共采了
112个蘑菇。这 8天中有几天是雨天？练习题答案
练习 1
1.1只蛐蛐，2只蜘蛛 2.2辆三轮车，1辆自行车 3.2只乌龟，3只仙鹤
练习 2
8. 5只鸡，3只兔
9. 7只蛐蛐，5只蜘蛛.
10. 4只鸡，5只兔.
练习 3
1.54-(6×8) =6(条)
蜘蛛：6÷(8-6)=3(只) 蛐蛐：8-3=5（只）
2.64-10×4=24（条）
螃蟹：24÷（8-4）=6（只） 甲鱼：10-6=4（只）
3.36-11×2=14(条)
兔：14÷2=7（只） 鸡：11-7=4（只）
练习 4
1.4辆自行车，6辆三轮车
2.8辆三轮车，4辆小汽车
3.8辆大汽车，6辆小汽车
练习 5
1. 8角的邮票有 8张，4角的邮票有 9张
2.5元的票有 10张，2元的票有 8张
3.20×8=160（个） 160-112=48（个）
20-12=8（个） 48÷8=6（天）第 13 讲 两步应用题（一）
【专题简析】
我们已经会解答一步计算的应用题了，如果改变条件的说法，由直接告诉的条件变为需
要计算才知道的条件，或者改变问题的问法，或者再添加一个条件，那么一步应用题就变成
两步应用题了。
解答两步应用题时，先要找出条件和所求的问题，再根据已知的条件，找到隐藏的条件，
最后解决题中的问题，两个量进行比较时，一定要弄清谁多谁少，是求多的数量，还是求少
的数量，再确定正确的算法。
【例题 1】
有两根绳子，一根长 20米，另一根比它长 12米，两根绳子共长多少米？
思路导航：由已知条件出发，可求出另一根绳长：20+12=32（米），再加上已知长 20米
的绳子，求出总长
解：20+（20+12）=52（米）
答：两根绳子共长 52米.
练习 1
1.小明比妈妈小 26岁，当妈妈 40岁时，两人的年龄和是多少?
2.果园里有梨树和苹果树，苹果树 24棵，梨树比苹果树少 3 棵，果园里一共有多少棵树？
3.二（1）班有男生 24人，女生人数比男生多 4人，二（1）班一共有多少人？
[来源:学科网]
[来源:Z.xx.k.Com]【例题 2】
二（1）班有 59个同学，二（2）班有 25 个女生，26个男生，二（1）班比二（2）班多几个
同学？
思路导航：
二（2）班女生有 25 个，男生有 26 个，可以求出二（2）班一共有 25+26=51（个）同学，
而二（1）班 有 59个同学，二（2）班有 51个同学，59-51=8（个），这就是二（1）班比二
（2）班多的同学的个数。
解：59-（25+26）
=59-51
=8（个）
答：二（1）班比二（2）班多 8个同学。
练习 2
1.百货商店第一天卖出童鞋 84双，第二天上午卖了 46双，下午卖了 54双，第二天比第一天
多卖多少双？
2.玩具店第一天卖出 16把枪，第二天卖出长枪 3把，短枪 9把，问第一天比第二天多卖几把？
3.某市五月份用电 1530 度，六月份上半月用电 780度，下半月用电 660度，五月份比六月份
多用多少度电？
【例题 3】学校体育室放有 40个足球，二（1）班借走了 26 个，二（2）班又还来 30个，现
在有多少个足球？
思路导航：要求现在有多少个足球，可以先求出学校原来放有足球与又还来足球的总个数，
再减去借走的个数；也可以先求出 40个足球借走 26个后还剩下的个数，再加上又还回来的个数。
解：方法一：40+30-26=44（个） 方法二：40-26+30=44（个）
答：现在有 44 个足球
练习 3
1.李叔叔从家里的树上摘了 53个橘子，吃了 35个，又摘了 28 个，李叔叔家里现在有多少个
橘子？
2.二（3）班的图书角有 70本书，同学们又从家里带来了 18本，在学雷锋活动中送给贫困地
区小朋友 56本。现在图书角还有多少本书？
3.超市里有一批水果，卖出 26箱后，又运来 50箱，现在超市里有 85箱水果。超市里原来有
多少箱水果？
【例题 4】
二年级 3个班的同学乘坐 3辆汽车去春游，每辆车坐 63人，3个班的男生共有 96人，3个
班的女生有多少人？
思路导航：要求女生共有多少人，必须知道一共有多少人，根据“3个班的同学坐 3辆汽车去
春游，每辆车坐 63人”，可以求出一共有 63×3=189（人），用总人数-男生人数=女生人数。
解：63×3=189（人）
189-96=93（人）
答：3个班的女生有 93 人.
练习 4
1.果园里有 3行梨树，每行 39棵，杏树比梨树少 15棵，杏树有多少棵？2.小朋友参加植树活动，分成 4组，每组植 20棵，其中女生植了 35棵，问男生植树多少棵？
3.喜羊羊带着伙伴们去植树，种了 9行，每行 8棵，还剩 1棵，一共有多少棵树？如果种 10
行，每行 8棵，还少 7棵，一共有多少棵树？
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【例题 5】
一桶油连桶重 15千克，吃了一半油以后，连桶重 8千克。吃掉了多少千克油？满桶油重多少
千克？
思路导航：油和桶共 15千克，吃去一半后，油和桶共重 8千克，也就是把 15千克分了两部
分，一部分是吃去的一半油，另一部分是剩下的油和桶共重 8 千克，从 15千克里拿掉 8千克，
剩下的应该是一半的油，即 15-8=7（千克），半桶油重 7千克，满桶油就能求出来了。
解：15-8=7（千克） 7×2=14（千克）
答：吃掉了 7 千克油，满桶油重 14千克。
练习 5
1.一桶水连桶重 25 千克，用去一半后，连桶重 14 千克，用去多少千克水？满桶水重多少千
克？
2.一筐苹果连筐重 14 千克，吃掉一半苹果后，连筐重 8 千克，筐重多少千克?还剩多少千克
苹果？3.王奶奶拿 1千克的纸箱去装枣，装满一箱枣后共有 11千克，现在王奶奶要把买来的枣分给
李阿姨一半，王奶奶应分给李阿姨几千克枣？练习题答案
练习 1
[来源:Z_xx_k.Com]
1.40-26+40=54（岁）
2.24+24-3=45（棵）
3.24+4+24=52（人）
练习 2
[来源:Z*xx*k.Com]
11. 46+54-84=16（双）
12. 16-（3+9）=4（把）
13. 1530-（780+660）=90（度）
练习 3
1.53+28-35=46（个）
2.70+18-56=32（本）
3.85-50+26=61（箱）
练习 4
1.39×3-15=102（棵）
2.20×4-35=45（棵）
3.8×9+1=73（棵） 10×8-7=73（棵）
练习 5
1. 用去：25-14=11（千克） 水重：11×2=22（千克）
2.14-8=6（千克） 筐重：8-6=2（千克） 剩：8-2=6（千克）
3.（11-1）÷2=5（千克）第 14 讲 猜猜年龄
【专题简析】
小朋友，今年你 8岁，明年你几岁？妈妈今年 34岁，比你大 26岁，明年妈妈比你大多
少岁呢？这一讲我们就讨论和年龄有关的数学问题
在解答年龄问题时，要记住：每过一年，每人年龄都要长大一岁。今年两人差几岁，再
过几年两人还差几岁，这个差是不会变的。
【例题 1】
爷爷今年 65岁，小明今年 8岁，5年以后，爷爷比小明大几岁？
思路导航：根据题意：“爷爷今年65岁，小明今年8岁”，可以得出爷爷今年比小明大65-8=57
（岁），因为每过一年，小明和爷爷的年龄都会增长一岁，而爷爷和小明的年龄差总是不变
的，所以 5年以后，爷爷比小明还是大 57岁
解：65-8=57（岁）
答：5年以后，爷爷比小明大 57岁.
练习 1
1.妈妈今年 40岁，小兵今年 13岁，10 年以后，小兵比妈妈小几岁?
2.有甲、乙两个纸盒，甲盒中有 30 个乒乓球，乙盒中有 27 个乒乓球，现在从两个盒子里都
拿走 18个乒乓球，甲盒中剩下的乒乓球比乙盒中的多几个？
3.15年前，爷爷 62 岁，小冬 10岁，今年爷爷比小冬大多少岁？
[来源:Zxxk.Com]
【例题 2】
小华今年 8岁，她比爸爸小 27岁，5年前爸爸多少岁？5年后爸爸多少岁？思路导航：根据题意可以求出爸爸今年 27+8=35（岁），那么 5 年前，爸爸的年龄就为 35-5=30
（岁），5年后，爸爸的年龄就为 35+5=40(岁)
解：27+8=35（岁） 25-5=30（岁） 35+5=40（岁）
答：5年前爸爸 30岁，5年后爸爸 40岁
练习 2
1.小宝宝今年 2岁，她比妈妈小 25岁，7年前妈妈多少岁？7年后妈妈多少岁？
2.爸爸今年 30岁，小红比爸爸小 26岁，3年后小红几岁？3年前小红几岁？
3.女儿今年 10岁，比妈妈小 24岁，5年前妈妈比女儿大几岁？5年后妈妈几岁？
【例题 3】慢羊羊村长今年 60岁，懒羊羊今年 6岁，再过几年他们的年龄和为 88 岁？
思路导航：每年慢羊羊和懒羊羊都长 1岁，两人的年龄和就多了 2岁。我们先求出今年慢羊
羊村长和懒羊羊的年龄和与 88相差多少，再除以人数 2，就能求出再过几年他们的年龄和为
88岁。
解：60+6=66（岁） 88-66=22（岁） 22÷2=11（年）
答：再过 11年他们的年龄和为 88岁.
练习 3
1.小红今年 10岁，妈妈今年 30岁，再过几年两人的年龄和为 50岁？
2.乐乐今年 11岁，爸爸今年 39岁，妈妈今年 38岁，再过几年她们一家人的年龄和为 100岁？3.舞蹈兴趣小组有 10个小朋友，年龄和是 80岁，再过几年她们的年龄和为 110岁？
[来源:Z_xx_k.Com]
【例题 4】
伟伟今年 8岁，爸爸今年 32岁，几年后爸爸的岁数是伟伟的 3倍？
思路导航：爸爸今年的年龄是伟伟的 4倍（32÷8=4），我们可以利用列表尝试的办法来推算，
把伟伟和爸爸的岁数逐步增加同样的岁数，直到爸爸的岁数是伟伟的 3倍为止，从而算出是
几年后。
解：列表推算如下：
伟伟 爸爸
8———————32
9———————33
10———————34
11———————35
12———————36 36÷12=3
12-8=4或 36-32=4
答：4年后爸爸的岁数是伟伟的 3倍
练习 4
1.妈妈今年 38岁，小刚今年 10岁，几年前妈妈的年龄是小刚的 8倍？
[来源:学科网ZXXK]
2.今年妹妹 8岁，姐姐 14岁，几年前姐姐的年龄是妹妹的 2 倍？
3.小华今年 18岁，小冬今年 3岁，小华年龄是小冬年龄 4倍的那一年，他们的年龄和是多少？【例题 5】
爸爸、妈妈、小敏三人的年龄总和是 73岁，爸爸比妈妈大 3岁，小敏比妈妈小 23 岁，小敏
今年多少岁？
思路导航：依据题意，可先画出表示小敏年龄的线段，再画出表示爸爸、妈妈年龄的线段。
[来
源:学+科+网]
由图可知，爸爸比小明大 26岁，用三人的年龄总和减去妈妈比小敏大的岁数和爸爸比小敏大
的岁数，就能算出小敏年龄的 3倍是多少，再除以 3，就能求出小敏今年的岁数了。
解：23+3=26(岁) 73-23-26=24（岁） 24÷3=8（岁）
答：小敏今年 8岁
练习 5
1.小象今年 4岁，它的妈妈 28岁，小象问妈妈什么时候我能长到你那么大个子？妈妈告诉它，
等你和我的年龄之和是 40岁时，你的个子就长大了。小象还要等几年才能长大？
2.小乐、小佳和小云的年龄之和是 37岁，小佳比小乐大 3岁，小云比小佳大 1岁，小乐、小
佳和小云各是多少岁？
3.明明、小龙、大龙三人的年龄之和是 32岁，明明比大龙大3 岁，明明的年龄是小龙的 2倍，
问三人的年龄各是几岁？
[来源:Zxxk.Com]练习题答案
练习 1
1.27岁 2.3个 3.52 岁
练习 2
1. 20 岁 34岁 2. 7岁 1岁
3．24岁 39岁
练习 3
1. 10+30=40（岁） 50-40=10（岁） 10÷2=5（年）
2. 11+39+38=88（岁） 100-88=12（岁） 12÷3=4（年）
3. 110-80=30（岁） 30÷10=3（年）
练习 4
1.6年 2.2年 3.25岁
练习 5
1. 4+28=32（岁） 40-32=8（岁） 8÷2=4（年）
2. 小乐 10岁， 小佳 13 岁，小云 14岁
3.明明 14岁，大龙 11岁，小龙 7岁第 15 讲 植树问题
【专题简析】
植树的学问真不少，这里面有许多有趣的问题，做这类题目要多动脑筋，弄清题意，理
解树的棵数与间隔数的关系，掌握植树的解题方法，问题就迎刃而解了。
植树的问题，应该注意如果起点和终点都植树，树的棵数比间隔数多 1，如果起点和终
点不植树，树的棵数比间隔数少 1，在解答这类应用题时，应该看清楚题目要求，然后根据
棵数与间隔数的关系，结合已知条件，就能找到解决问题的方法了。
【例题 1】
一条路长 72米，在路的一边每隔 8米栽 1棵松树，从头到尾一共可以栽多少棵松树？
思路导航：每隔 8 米栽一棵树，72 里面有 9 个 8，这个 9 其实就是把 72 米平均分成了 9
个间隔，因为从头到尾都要栽树，所以树的棵数比间隔数多 1，即 9+1=10（棵），也就是棵
数比间隔数多 1.
解：72÷8+1=10（棵）
答：一共可以栽 10棵松树.
练习 1
1.学校门前的一条路长 42米，在路的一边从头到尾栽树，每 7米栽一棵，一共能栽多少棵？
2.教室前面到教室后面长 8米，从头到尾每隔 2米摆一盆花，一共摆了多少盆花？
3.学校门前的一条路长 56 米，为迎接国庆节，在路的一边从头到尾都插上彩旗，每 7 米插
一面，一共要插多少面彩旗？
[来源:学科网ZXXK]
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【例题 2】同学们在一条公路的两边从头到尾每隔 6米栽一棵树，共栽了 22棵，这条公路长多少米？
思路导航：在路的两旁栽树，共栽了 22 棵，那么每边栽了 22÷2=11 棵，由此可知，就是把
这条路的每边分成了 11-1=10（段），又因为每段是 6 米，10×6=60 米，这就是这条公路的
长了
解：22÷2=11（棵） 11-1=10（段） 6×10=60（米）
答：这条公路长60 米。
练习 2
1.少先队员在路的两旁每隔 5米栽一棵树，起点和终点都栽了，一共栽了 72棵树，这条路长
多少米？
2.绿化小组在学校的过道两边摆放月季花，每隔 2 米摆一盆，起点和终点都摆了，一共摆了
24盆，这条过道长多少米？
3.两根同样长的绳子上，每隔 2米挂一个灯笼，起点和终点都挂，共挂了 12个，每根绳子长
多少米？
【例题 3】两栋楼之间每隔 2米种一棵树，共种了 5棵树，这两栋楼之间相距多少米？
思路导航：种 5棵树，两栋楼之间应有 6个间隔。也就是说如果在两栋楼之间种树，树的棵
树比间隔数少 1，每隔 2米种一棵树，两栋楼之间相距 6个 2 米，2×6=12（米）。
解：5+1=6（个）间隔 2×6=12（米）
答：这两栋楼之间相距 12米.
练习 3
1.两栋楼之间每隔 1米种一棵树，一共种了 8棵树，这两栋楼之间相距多少米？⊙
⊙
⊙
8
7
9
6
⊙
⊙
1
5
⊙
⊙
2
4
3
⊙
⊙
2.两根栏杆之间，每隔 2米放一辆自行车，一共放了 19辆，这两根栏杆之间相距多少米？
3.两棵树之间相距 220 米，园艺工人在这两棵树之间等距离补栽 21 棵树，从第 1 棵到第 15
棵树之间的距离是多少米？
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
【例题 4】
[来源:学&科&网]
长江江滩上有一个周长为 27米的圆形喷水池，在水池周围每隔 3米有一盏彩灯，一共有多
少盏灯？
思路导航：水池是圆形的，如果用 27÷3=9，9+1=10.第 10盏灯
就会与第 1盏灯位置重合，由此可知，圆形水池周围灯的盏数
与间隔数相等。如右图：（⊙表示灯，数字表示间隔数）
解：27÷3=9（盏）
答：一共有 9 盏灯。
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
练习 4
1.一个圆形花坛的周长是 32米，每隔 4 米放一盆菊花，一共要放多少盆菊花?
2.有一个圆形水池周长是 45米，在水池周围每隔 5米栽 1棵柳树，一共要栽多少棵？
3.中心小学有个圆形花坛，走一圈正好是 48米，如果沿着一圈每隔 6米栽一株丁香花，一共
要栽几株？【例题 5】
在一块正方形地的四周栽树，要使每边栽 6棵，至少需要多少棵树苗？
思路导航：要节约树苗，就要在正方形地的四个角都栽树，使每个角上的树既可以是横行的
又可以是竖行的。如图
解：（6-1）×4=20（棵）或（6-2）×2+6×2=20（棵）
答：至少需要 20棵树苗。
练习 5
1.在正方形的四边上栽树，每边栽 3棵，最少要栽多少棵树？
2.有一个正方形的花园，要在 4个角都栽一棵树，如果每边栽 10棵，4边一共栽多少棵树？
3.正方形养鱼池的四边一共长 32米，在它的四边每隔 1米插一根柱子，一共要插多少根？练习题答案
练习 1
1.7棵 2.5盆 3.9 面
练习 2
1. 175米 2. 22 米 3. 10米
练习 3
1. 9米 2. 40 米 3. 140 米
练习 4
1. 8盆 2. 9棵 3. 8株
练习 5
1. 8棵 2. 36棵 3. 32根第 16 讲 以图代数
【专题简析】
一道数学算式题都是用运算符号和数组成的，如 3+6=9,2×3=6,15-6=9,18÷3=6，可有一种
图形算式，就是在算式中用图形来代表不同的数，要我们通过计算把图形所代表的数求出来。
解答图形算式题，要根据加、减、乘、除的意义和各种图形之间的关系来解答，通常要
用分析法、代入法、推算法等等，最后得到结论。
【例题 1】
○+○+○=6，△+△+△+△=12，求：○+△=？
思路导航：
○+△=？就要求出○表示几？由题目已知条件○+○+○=6，那么○=6÷3=2，同理△=12÷4=3，
因此，○+△=2+3=5.
解：5
练习 1
1.已知△+△+△=15 □+□+□+□=20，求：□-△=？
2.已知：☆+☆+☆=21 ○+○+☆=15， 求：☆-○=？
3. ○、△、☆各代表什么数？
○+○+○=18 △+○=14 △+△+☆+☆=20
○=（ ） △=（ ） ☆=（ ）
【例题 2】
已知：△+☆=12 △=☆+☆+☆，求：△=？ ☆=？思路导航：,因为△+☆=12，而△=☆+☆+☆，所以☆+☆+☆+☆=12,4个☆等于 12，所以☆=12÷4=3，
因为△+☆=12，☆=3，所以△=12-3=9（或△=☆+☆+☆=3+3+3=9）
解： △=9 ☆=3
练习 2
1.△+○=24 ○=△+△ △= ○=
2. ○、△、☆各代表什么数字？
☆+☆+△=18 △=☆+☆+☆+☆ △+○+○=16
☆=（ ） △=（ ） ○=（ ）
3. □+□+○+○=30 □+□=○+○+○
□=（ ） ○=（ ）
【例题 3】
找出下列算式中△和□代表的数。
△+□=9 △+△+□+□+□=25
[来源:学&科&网]
△=（ ） □=（ ）
思路导航：1个△加 1个□等于 9，那么 2 个△加 2个□等于 18，因为 2个△加 3个□等于 25，
所以 18+□=25，从而推出□=25-18=7，那么△=9-7=2.
解：△=2 □=7
练习 3
1.下列算式中，△、☆各代表什么数？
△+△+☆=10
☆+☆+△+△+△+△+△+△=28
△=（ ） ☆=（ ）
2. ☆+○+○+□+□+□=18
☆+○+○+○+○+□+□+□=24○=（ ）
3. ○+☆+☆=10 ○+☆=8 ○=（ ） ☆=（ ）
【例题 4】
○+○+○+○+□+□=22
○+○+○+○+□+□+□+□=32
求：○+□=（ ） □-○=（ ）
思路导航：比较条件中的两道图形算式，2个□的和是 32-22=10，□=5代入到第一道算式中，
可求出○表示 3，○+□=3+5=8 □-○=5-3=2
解：8 2
练习 4
1.☆+☆+△+△+△=21，☆+☆+△+△+△+△+△=27
求：☆+△=（ ） ☆-△=（ ）
2.已知：□+□+△=16 □+□+△+△+△=24
[来源:学|科|网]
求：□+△=（ ） □-△=（ ）
3. ○、☆各代表什么数？
○+☆+☆=10 ○+☆+○=8
☆=（ ） ○=（ ）
【例题 5】
△、○、☆都不等于 0，○代表的数是几？
△×○=☆ △+△+△=☆-△-△ ○=（ ）
思路导航： △、○、☆都不等于 0，根据△+△+△=☆-△-△可知：☆=△+△+△+△+△=△×5，
因为△×○=☆,也就是说△×○=△×5，所以○=5
解：5
[来源:Z.xx.k.Com]练习 5
1. △、○、□都不等于 0，求出△代表的数是几？
○×△=□ ○+○+○=□-○ △=（ ）
2.已知：☆×△=○，☆+☆+☆=○+☆，☆、△、○都不等于 0，△=（ ）
3.☆、△、○都不等于 0，求出○代表的数是几？
△×○=☆ △+△+△=☆-△-△-△ ○=（ ）
[来源:学科网]
练习题答案
练习 1
1. 0 2. 3 3. ○=6 △=8 ☆=2
练习 2
1. △=8 ○=16 2. ☆=3 △=12 ○=2
3. □=9 ○=6
练习 3
1. △=4 ☆=2 2. ○=3 3. ○=6 ☆=2
练习 4
1. ☆+△=9 ☆-△=3 2. △+□=10 □-△=2
[来源:Z+xx+k.Com]
3. ☆=4 ○=2
练习 5
1. △=4 2. ○=2 3. ○=6第 17 讲 凑整速算（二）
【专题简析】
掌握一些常见的简便计算方法，可以使计算的过程化繁为简，节省时间，提高计算速度。
在进行简便计算时，一定要仔细观察数字的特征和题目的具体情况，灵活地选择适当的方法
进行计算。
在加、减混合运算中，根据先加后减和先减后加，结果不变的性质，把计算后能得到整
百、整十的先算较为简便。求 n 个连续数的和，可以取一个数为基准进行计算较简便。记住
25×4=100,125×8=1000，能使连乘运算简便。
【例题 1】
计算：167-58+33
思路导航：
加、减混合运算，一般是从左到右依次计算。因为加法和减法是同一级运算，所以，在计
算加、减混合运算时，先加后减或先减后加，结果是不变得。根据这一性质，有些加、减混
合运算，可以进行简便计算。因为 167+33 是整百数，所以先算 167+33，再减 58较简便。
解：167-58+33
=167+33-58
=200-58
=142
练习 1
1. 156+74-56 145+67-45
2. 143+28-53 134+29-34
[来源:学科网ZXXK][来源:学+科+网]
3. 125-86+75 173-87+27【例题 2】
138+（62-49）与 138+62-49的结果相等吗？哪一种计算比较简便？不简便的计算可怎么改成
简便计算？
思路导航：138+（62-49） 138+62-49
=138+13 =200-49
=151 =151
从上面的两道算式中可以看出，138+（62-49）=138+62-49=151.比较这两个式子，显然
第二种比较简便。因此，如果括号前是加号，去掉括号，计算结果是不会变的。
解：两种计算结果相等，第二道算式计算简便，为了使第一道算式也能快速算出结果，可
去掉式子中的括号，即：
138+（62-49）
=138+62-49
=200-49
=151
练习 2
用简便方法计算下列各题
1. 153+(47-29) 984-(84+67)
[来源:Z|xx|k.Com]
2. 261-(61+35) 153-(53+19)
3. 268+(132-88) 976-(76+85)
[来源:学科网]【例题 3】计算：197+198+196+199+195
思路导航：这道题是求连续几个自然数之和，197、198、196、199、195它们都接近 200，在
计算时取 200为基数，然后去掉多加的数进行计算比较简便
解： 197+198+196+199+195
=（200-3）+（200-2）+（200-4）+（200-1）+（200-5）
=200×5-（3+2+4+1+5）
=1000-15
=985
练习 3
用简便方法计算下列各题。
1. 98+99+100+101+102 99+98+97+96+95
2. 198+199+201+202 51+48+52+49+50
3. 28+29+30+31+32+33 41+52+53+42+43
【例题 4】
计算：95+995+995+15
思路导航：题中 95、995是接近整百、整千的数，分别添上 5就可以得到整百整千。可以先
把 15拆成 5+5+5，分别算出 95+5、995+5、995+5.
解： 95+995+995+15
=（95+5）+（995+5）+（995+5）
=100+1000+1000
=2100练习 4
用简便方法计算
1. 995+98+7 698+595+497+10
2. 993+996+999+15 198+197+196+10
3. 998+995+97+15 1998+997+98+7
【例题 5】计算下面各题：
（1）298+367 （2）436+389
思路导航： 题（1）：因为 298 较接近整百数 300，可以先把它当作 300 与 367 相加，然后
再减去多加的 2. 题(2):因为 389 较接近整百数 400，可以先把它当作 400 与 436 相加，然后
再减去多加的 11.
解：（1）298+367 （2）436+389
=300+367-2 =436+400-11
=667-2 =836-11
=665 825
练习 5
用简便方法计算。
1. 682+325 573+198
[来源:Z,xx,k.Com]
2. 897+234 788+1433. 694+367 595+698练习题答案
练习 1
1. 174 167 2. 118 129 3. 114 113
练习 2
1. 171 833 2. 165 81 3.312 815
练习 3
1. 500 485 2. 800 250 3. 183 231
练习 4
1. 1100 1800 2. 3003 601
3. 2105 3100
练习 5
1. 1007 771 2.1131 931 3.1061 1293+
1
9
9
9
4
7
1
+
1
9
9
9
5
6
1
+
1
9
9
9
3
8
1
+
1
9
9
9
9
2
1
第 18 讲 图文算式（一）
【专题简析】
算式谜是常见的猜谜游戏，通常在这些式子中含有一些用汉字、字母表示的特定的数字，
要求我们根据一定的法则和逻辑推理方法，找到要填的数字。
解答这类题目，要分析算式的特点，运用加、减的运算法则来安排每一个数。一个算式中
填几个数时，要选好先填什么，再填什么，选准“突破口”，其他就好填了。
【例题 1】
在下面竖式中的空白处填入适当的数，使算式成立。
思路导航：
两个两位数的和是 191，两个加数十位上数字都必须是 9，个位上两个数字的和要进位才
能使十位数字是 9，这样个位上两个数字和应该是 11，和是 11 的两个数有
11=6+5=7+4=8+3=9+2,所以这个算式有多种填法。
解：
练习 1
1. 在下面空格里填上合适的数，使算式成立。2.在下面的算式里，空格里的四个数字的总和是（ ）
3.想一想，竖式中的汉字各代表几？（“学”和“校”表示不同的数字）
9 8 1
+ 9 5 9
1 9 4 0
6 5 4 7 3 3 2
+ 4 9 3 + 3 6 + 4 6
8 2 1 0 7 7 6 8 9
+
学
校
6
校
学
6
【例题 2】
在下面竖式中的空格里填数，使竖式成立。
+
9
8
5
4
1
[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK]
思路导航：这题要填的方格比较多，我们可以看十位上没有缺数，十位上 8+5=13，可和的个
位是 4，说明个位满十向十位进了 1，显然个位是 1+9=10；再看百位：由于十位向百位进一，
所以百位出现了□+□+1=19，不难看出：百位的两个数字都是 9.
解：
[来源:学#科#网]
练习2
在方框里填上适当的数，使算式成立。
1. 2 . 3.8 5 5
+ 3 7 9
1 2 3 4
+
+
4
7
3
0
1
0
5
4
5
7
4
7
6
0
+ 2
5
4
0
6
8
【例题 3】
在方框里填上适当的数，使算式成立。
4 8
+ 3 0 6
8 7 0
5
2 7
+ 7 5
6 7 8
+
8
2
7
3
5
9
思路导航： 我们从个位看起，个位和是 14，向十位进一；再看十位，一个加数是 7 再加进
上来的 1，总共为 8，与□加起来末位是 3，肯定也是进位加法，□+7+1=13，□里应填 5，
向百位进一；再看百位，8+□+1=12，□里应填 3，向千位进一。
解：
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
练习3
在方框里填上适当的数，使算式成立。
1. 2 .
3. 4 .
【例题 4】在方框里填上适当的数，使算式成立。
思路导航：三个加数，知道其中 两个加数的个位分别是 7、5，而和的个位却是+
5
2
2
0
+
9
5
0
2
3
6
3
7
4
5
4
7
7
6
7
5
8
8.从 7+5+？=□8，可以判断另一个加数的个位必为 6，且向十位上进 1。十位上 5+？+7+1=
□7，可以判断？初的数为 4，且向百位进 1.百位上 2+？+1=6，可判断？处的数为 3.
解：
练习 4
1.在□里填上合适的数，使算式成立
2. 求算式中方框中的数字的和是多少。
+
2 0 4
3.下面算式中的数字被方框遮盖住了，求竖式中被遮盖住的几个数字的和。
+
2 9 9 1
【例题 5】6 2 3 6
- 7 9 7
5 4 3 9
-
-
7
6
2
0
6
7
7
6
5
4
5
7
4
1
2
-
-
5
8
1
5
8
2
3
7
5
4 5
1
8
在下面算式的空格中，填上合适的数字，使算式成立。
-
5
2
4
9
3
6
7
思路导航： 先看个位数，6减 7不够减，向十位退 1，和个位 6合起来是 16,16-7，个位□里
填 9，再看十位数□-9=3，□应为 12，被个位退 1，□的值为 13，因此十位□应填 3，并且
向百位退 1，再看百位上的数，差是 4，被减数百位上的 2被十位上退掉 1，还剩 1，肯定要
向千位退 1，合成 11 才够减，11-□=4，□为 7，被减数千位上的数退掉 1还有5，□应为 6
解：
练习5
在□里填上合适的数字，使算式成立
1. 2 .
3. 4 .
练习题答案练习 1
1.个位：9=0+9=1+8=2+7=3+6=4+5，
十位：11=9+2=8+3=7+4=6+5，有多种填法。
2. 如果个位相加不进位，和是 22；如果个位相加进位，和是 31.
3.学=（1），校=（5）或学=(2),校=（4）或学=（5），校=（1）或学=（4），校=（2）
练习 2
1. 3658+4963=8621
2. 747+326=1073
3.3322+4367=7689
练习 3
1. 384+657=1041
2. 246+258=504
3. 4954+2116=7070
4. 5498+3206=8704
练习 4
1. 493+257+4254=5004
[来源:学科网ZXXK]
2. 99+8+97=204 9+9+8+9+7=42（情况不唯一，结果不变）
3. 999+999+993=2991 9×8+3=75（情况不唯一，结果不变）
练习 5
1. 9021-1367=7654
2. 6511-5638=873
3. 9743-6751=2992
4. 8957-7745=1212（答案不唯一）第 19 讲 巧填符号
【专题简析】
在数字之间填上适当的运算符号，可以改变运算结果，填符号时，一定要根据数之间的关系，
通过口算来确定，要把几个数和运算结果结合起来考虑，有时还可用括号来改变运算顺序。
根据题中给的条件和要求添运算符号和括号，没有固定的法则，解决这个问题，一般有试验
法、凑数法等。选择哪种解决问题的方法，要根据题目的特点，有时需要几种方法综合应用，
这样，更有助于解决问题。另外需要注意的是添加的方法可能不是唯一的。
【例题 1】
在下面的式子中的地方添上括号使等式成立。
（1）36－12－10＝34 （2）7×5－3＝14
思路导航：
（1）36－12－10＝34，等号左边都是减号，而且等号左边最大是 36，如果 36－2 就正好等
于 34，把 12－10 添上括号，恰好是 36－2。
（2）7×5－3＝14，等号右边是 14，等号左边是 7，如果能找到 2，7×2＝14 就正好。通过
观察，左边有 5和 3 而且 5和 3中间是减号，这样就把 5－3 添上括号就可以了。
解：（1）36－（12－10）＝34 （2）7×（5－3）＝14
练习1
在适当的地方添上括号使等式成立。
1.45－20－8＝33 8×6－4＝16
2.15+36－4÷4＝23 17－7+5＝5
[来源:Zxxk.Com]
3.20－5÷5+8＝11 23×5－3+4＝50
【例题 2】
在合适的地方添上“+”或“－”，使下面的等式成立。
5 4 3 2 1＝1
[来源:学科网]思路导航：
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
5、4、3、2、1 的总和是 15，把它分成差是 1 的两组，5+3＝8，4+2+1＝7，这样在 4、2、1
前填写“－”号，其它地方填上“+”，等式就成立了。
解：5－4+3－2－1＝1
练习2
在下面的数字与数字之间填上“+”或“－”号，使算式成立。
1.9 8 7 6 5 4 3 2 1＝1
2.6 5 4 3 2 1＝3
5 4 3 2 1＝3
3.7 6 5 4 3 2 1＝4
5 4 3 2 1＝5
【例题 3】
把“+”、“－”、“×”、“÷”分别填入下面等式的“○”中，使等式成立。
7 ○ 2 ○＝10 ○ 2 ○ 5
思路导航：
从 7 O 2和10 O 2 入手，这两个圆圈可能填“×”或“÷”。
经过试算：7×2＝14，14－4＝10；10÷2=5,5+5=10，左边等于右边。
解：7×2 - 4＝10 ÷2 + 5
[来源:学|科|网]
练习3
把“+”、“－”、“×”、“÷”分别填入下列等式的“○”中，使等式成立。
1.2 ○ 8 ○ 4＝12 ○ 4 ○ 9
2.12 ○ 6 ○ 2＝4 ○ 2 ○ 4
3.16 ○ 8 ○ 4＝15 ○ 3 ○ 3【例题 4】
在下面的数字之间，填上“+”、“－”、“×”、“÷”或括号，使等式成立。
7 7 7 7 7＝7
思路导航：
要求在 5个 7 中间填 运算符号使它成为 7，我们可以这样想，把 7扩大7 倍，再缩小 7倍，
再增加 7，再减少 7，正好等于 7，这很有趣，只要把“+、－、×÷”依次填上就可以了。
解：7×7÷7+7－7＝7
[来源:学科网ZXXK]
练习4
在下面的数字之间填上“+”、“－”、“×”、“÷”或括号，使等式成立。
1.7 7 7 7 7＝2 7 7 7 7 7＝8
2.2 2 2 2 2 2＝1 2 2 2 2 2 2＝3
3.9 9 9 9 9＝17
【例题 5】
从“+”、“－”、“×”、“÷”“（）”中挑选合适的符号，填入适当的地方，使下面的
等式成立。
（1）5 5 5 5 5＝1
（2）5 5 5 5 5＝2
（3）5 5 5 5 5＝3
（4）5 5 5 5 5＝4
思路导航：
在加减乘除运算中，要考虑到“1”和“0”在运算中的特点，如 5÷5＝1，5－5＝0，（5－5）
÷5＝0，（5－5）×5＝0。
解：每个式子有多种解答，如：
（1）5÷5+（5－5）×5＝1 （2）（5+5）÷5+5－5＝2
（5+5）÷5－5÷5＝1 5－（5+5+5）÷5＝2
5÷5－（5－5）÷5＝1
（3）5÷5+（5+5）÷5＝3 （4）（5+5+5+5）÷5＝4
5－5÷5－5÷5＝3 5－5÷5+5－5＝4练习5
从从“+”、“－”、“×”、“÷”“（）”中挑选合适的符号，填入适当的地方，使下面
的等式成立。
1.4 4 4 4 4＝1
2.4 4 4 4 4＝2
3.4 4 4 4 4＝3
4.4 4 4 4 4＝4
5.4 4 4 4 4＝5练习题答案
练习 1
1. 45-（20-8）=33， 8×（6-4）=16
2. 15+（36-4）÷4=23
17-（7+5）=5
3.（20-5）÷5+8=11（答案不唯一）
23×（5-3）+4=50
练习 2
1. 9-8+7-6+5-4-3+2-1=1（答案不唯一）
2. 6-5+4-3+2-1=3（答案不唯一）
5-4+3-2+1=3（答案不唯一）
3.7-6+5-4+3-2+1=4（答案不唯一）
5-4+3+2-1=5（答案不唯一）
练习 3
1. 2×8-4=12÷4+9
2. 12÷6+2=4×2-4
3. 4954+2116=7070
4. 16÷8+4=15-3×3
练习 4
1. 7-7+（7+7）÷7=2 （7+7）÷（7+7）+1=8（答案不唯一）
2. 2×2÷2-2+2÷2=1 2÷2+2÷2+2÷2=3（答案不唯一）
3. （9×9-9）÷9+9=17（答案不唯一）
练习 5
1. （4+4）÷4-4÷4=1 4-（4+4+4）÷4=1
2. （4+4）÷4+4-4=2 4-4÷4-4÷4=2
3. （4+4）÷4+4÷4=3 4×4÷4-4÷4=3
4. 4×4-4-4-4=4 4+4+4-4-4=4
5. 4×4÷4+4÷4=5 4÷4+4+4-4=5
以上答案仅供参考，其他合理答案也可+
+
6
8
☆
3
7
3
7
8
5
☆
=
=
（
（
）
）
+
=
=
（
（
5
7
）
）
4
8
第 20 讲 图文算式（二）
【专题简析】
我们经常看到一些残缺不全的算式，要求我们在方格内填上合适的数字，使算式成立，下
面就请小朋友来做这样的填算式练习。
填算式时，要认真分析算式的特点，充分运用加、减法之间的关系，巧妙地安排每一个数，
很快就能求出方格里应填的数字，填空后还要按填好的数算一下，看算式成立不成立。
【例题 1】
根据给出的算式，请推算出每个图形代表一个什么数字。
△=（ ） □=（ ）
思路导航：
根据加、减之间的关系，先看个位，两数相加的和是 8，其中一个加数是 4，要求另一个数，
就用 8-4=4，因此□代表的数是 4，再看十位，两个数的和为 7，一个加数是 5，要求另一个加
数，7-5=2，因此△代表的数是 2.
解：△=（2） □=（4）
练习 1
在适当的地方添上括号使等式成立。
1.
2.
3.
1 ☆ 3
+ ☆
☆ =（ ） =（ ）
1 7 5学 学
-
4 生
学 =（ ） 生 =（ ）
8
-
-
我
☆
-
7
8
○
爱学
○
☆
数
学
9
5
○
○
4
☆
☆
0
4
○
○
我
数
☆
=
=
=
○
（
（
（
= （
）
）
）
爱
学
）
○
=
=
（
（
= （
）
）
）
【例题 2】
猜一猜，每个汉字代表什么数字？
思路导航：
从十位上看，“学”不是 4，就是 5，如果是 4，那么就是不退位减法，但从十位看，4减去几
不可能得到 8，所以这肯定是退位减法，这样就可以推算出“学”表示 5；个位上 15 减几得 8，
这样就知道“生”表示 7，完整的算式为 55-47=8
解：学=5 生=7
练习 2
想一想，每个汉字和图形各代表什么数字？
[来源:学科网]
1.
2.
[来源:Z,xx,k.Com]
3.
【例题 3】
下面竖式中的字母各代表什么数？
a b c d a=( )
b=( )
+ a b c d
c=( )
7 4 5 8
d=( )+
+
车
+
伦伦
5
兵兵
卒
开开
3
敦敦
2
炮炮
马
心心
6
奥奥
7
马车
兵
超超
9
运运
0
卒卒
卒
人人
4
+
灰灰灰
7
伦奥
兵马卒
开超
太太太
7
==
===
==
((
(
(
(
(
(
狼狼狼
7
))
)))
))
敦运
炮车
心人
== ((
==
==
((
((
))
))
))
思路导航：
先看千位数，两个相同数相加，不可能是 7，那一定是百位向千位进了 1，所以千位上 a=3,
由于百位向千位进了 1，因此 b+b=14，则 b=7，十位没有向百位进 1.再看十位数，和是 5，
肯定个位进上来了 1，所以十位上 c=2，个位上的数 d+d=18，所以 d=9，即 3729+3729=7548.
解：a=3 b=7 c=2 d=9
练习 3
下面竖式中的汉字和字母各代表几？
1.
2.
3.
【例题 4】
下面竖式中的“灰”、“太”、“狼”各代表一个数字，你能求出来吗？
思路导航：
先看个位数字，三个相同的数相加末位是 7 这个数只能为 9，并向十位进 2；那么十位上三
个相同的数相加，末位数字应该是 5，并向百位进 1，这个数字是 5；最后看百位，这三个相
同数字相加，末位数字就为 6，这个数是 2.
解：灰=2 太=5 狼=9+
○
○
○
5 6
☆
☆
☆
7
○ 奇 思 妙 想
○ 妙 想
+ ○ + 妙 想
1 3 1 4 2 0 0 8
-
+
灰
懒
6
灰小
灰
羊
羊
4
5
2
草 原
+ 草 原
青 8
- 青
7 1
-
+
竞
奥
2
匹
4
赛
林
林克
0
8
练习 4
下面各竖式中的图形和字母分别代表什么数字？
1. 2. 3.
【 例 题 5】
请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几？
-
+
我
3
爱数
8
0
爱
爱学
9
我爱数学 ==== (((( ))))
思路导航：
这个算式从减法算式想起比较容易，因为差的最高位不可能是 0，所以“爱”不能是“0”，而被
减数个位上是0，减数个位上“爱”不是0，这是退位减法题，只有10减5才能得5，所以“爱”=5，
然后就可推算出“我”=9。最后看加法竖式 55+数学=89，个位 5 加“学”等于 9，“学”应是 4，
十位 5加“数”等于 8，“数”应为 3
解：我=9 爱=5 数=3 学=4
[来源:Z,xx,k.Com]
练习 5
下面竖式中的汉字个代表多少？
1. 2. 3.
[来源:Z+xx+k.Com]练习题答案
练习 1
1. △=4 □=2
2. ☆=3 □=3
3. ☆=2 □=5
练习 2
1. 我=1 爱=0 数=5 学=9
2. ☆=8 ○=7
3. ○=7
练习 3
1. 伦=2 敦=6 奥=3 运=5
2. 兵=5 炮=2 马=4 车=1 卒=0
3. 开=1 心=8 超=4 人=7
练习 4
1. ○=1 △=8 ☆=9
2. ○=4 △=3 □=8
3. 奇=1 思=9 妙=3 想=6
练习 5
1. 小=9 羊=7 灰=1 懒=8
[来源:学科网ZXXK]
2. 青=7 草=3 原=9
3. 奥=9 林=5 匹=6 克=3 竞=1 赛=0第 21 讲 合理安排（一）
【专题简析】
填数是一种既有趣，又能发展智力的趣味活动，它不仅可以提高你的运算能力，而且能
促使你积极地去思考问题，解决问题。
填数这类题目的题型较多，解答时，除了口算要熟练外，更重要的是要学会分析、推理，
有的题目答案不止一种，要尽量运用发散思维、求异思维，把各种可能的答案想出来。
【例题 1】
把 1、3、5、7、9、11、13 七个数填入右图中的七个圆圈内，使每条直线上三个数的和都等
于 21.
思路导航：
这道题可以这样想：1+3+5+7+9+11+13=49,21+21+21=63，
63-49=14，由于计算三条直线上三个数时，中间圆圈里的数 多
算
了两次，就多出了 14，正好 7+7=14，说明中间圆圈里应该填“7”，
21-7=14，把另外六个数两个两个分组，使每组两个数的和都等于 14；
1+13=3+11=5+9=14，也就是首尾配对。
解：
练习 1
1.把 1、2、3、7、8、9这六个数分别填在下面图中的○里，使每条直线上三个数的和都相等。
57
9
1 5
2.在下图圆圈里填数，使每条线上的三个数相加得 12（数字不可重复）
[来源:Zxxk.Com]
3.把 3、6、9、12四个数填在下面○里，使每条线上三个数的和与正方形四个角上四个数的和
相等。
【例题 2】
6
如图：在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、
斜行的三个数的和等于 15.
思路导航：
期望数学岛 4 2
因为每一横行、竖行、斜行三个数的和都等于 15，我们 可以
[来源:学科网]
先填一行中只有一个空格的数，如：4+（9）+2=15，竖行 6+（7）+2=15，斜行 6+（5）+4=15，
根据填出的数再填只有一个空格的数。
解：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
练习 2
1. 在空格里填数，使每一横行、竖行和对角线上的三个数的和等于 21
4
7 32. 讲 2、4、6、7、8、10分别填入图中空格，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和都等于
18.
9
[来源:学,科,网
Z,X,X,K]
5 3
3. 把 1、2、3、5、7、9 分别填入下面的空格中，使每一横行、竖行、
斜行上三个数的和 等于 15.
8 6
4
【例题 3】
把 1、2、3、4、5、6这六个数填入右图的圆内，使每个大圆的四个数的和都等于 13
思路导航：先确定图形中央的两个数分别填几，
可以这样想，先求六个数的和与两个大圆上八个数
的和：1+2+3+4+5+6=21,13+13=26,26-21=5，这个 5
就是中央两个圆的数的和，1+4=5,2+3=5，就是说
中央两个小圆里可以填 1和 4，也可以填 2和 3，
中央填 1和 4,13-5=8，左边填 3和 5，右边填 2和 6，中央填 2和 3行不行呢？剩下的数有 1、
4、5、6任意两个数的和都不是 8，所以无法填出，因此，中央只能填 1和 4.
解：
3 1 2
5 4 65
3
7
练习 3
1.把 10、20、30、40、70、80这六个数填入
下图的圆圈里，使每个大圆上的五个数的和
都是 200.
2. 将 1、2、3、4、5、6、填入图中的小圆圈内，使 每个大圆
上 4个数的和都是 16.
3. 把 1、3、6、9、12、15这六个数填入下图圆圈内，使得每个正方形上四个数的和都是 25.
【例题 4】
由图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上 1～7七个自然数，在一些部分中，自然数
3、5、7三个数已填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是 15.
思路导航：
图中空着四个部分要填入四个数：1、2、4、6，可以看出中心部分属三个圆圈公共部分，
关键要确定中心填哪个数，我们用拆数的方法来确定。看图上圆中已有数 5、7，所以空的部
分两数之和为 15-5-7=3，将 3拆成 1+2，谁填中心，不能确定。再看左圆：15-5-3=7,7=1+6；
最后看右圆：15-3-7=5,5=1+4；由此可以确定，把“1”填在中心部分。
解：
2
5 7
1
6 3 44
8
6
练习 4
1.下图中三个圆两两相交形成七个部分，分别填上 3～9七个自然数，4、6、8已填好，请填
上其余各部分里的数，使每个圆圈中四个数的和都是 22.
2.填上 15、20、25、30、35、40、45 七个自然数，15、20、25 已填好，请填上其余各部分
里的数，使每个圆圈中四个数的和都是 110
15 20
25
3. 将 10、14、6填入下图，使每个圆圈中四个数的和都是 30.
4
2
12 8
【例题 5】
在圆圈内填上 1～8这八个数字，使长方形每条边上三个数的和为 12.1
5
6
8
4
3
7
2
思 路 导 航 ： 图 形 中 四 个 角 上 的 数 各 重 复 计 算 了 一 次 ， 八 个 数 的 和 是 ：
1+2+3+4+5+6+7+8=36,12+12+12+12=48,
48-36=12,12就是四个角的四个数的和，在这八个数中：1+2+3+6=12，因此把 1、2、3、6这
四个数分别填入四角的圈内，再来试算可得 1+8+3=12,1+5+6=12,6+4+2=12,3+7+2=12.
解：
练习 5
将 1、2、3、4、5、6这六个数填在下面的圆圈里，使每条线上三个数的和等于 9.
2.用数字 1、2来填数，使正方形每边的和为 5，四边的和为 13.
3.把 1、2、3、7、8、9这六个数分别填入图中，使每条边上四个数相加得和是 203
2
1
8
3
5
7
9
2
9
4
7
1
或
1
4
7
9
3
2
12 6
15
9 3
5
4
6
练习题答案
练习 1
1.
2.
3.
（12与 3不相邻，6与 9不相邻即可）
练习 2
1. 2.
4 9 811 7 3 9 2 7
6 5 10 4 6 8
5 10 3
3.
8 1 6
3 5 7
4 9 2
练习 3
1.
20 10 40
60 50
80 30 70
10、30在中间，20、80 在左边，40、70 在右边即可
2.
4 5 2
1 6 3
5、6在中间，1、4同圆，2、3同圆即可。
3.
6 1 9
15 3 12
1、3在中间，6与15 在同一边上，9与 12在同一边上即可。
练习 4
45
9
1. 2 .
4 6 15 20
3 30
7 8 5 40 25 352
6
1
1
4
1
2
0
5
4
2
6
3
1 4
8
1 2 2
2 1
2 1 2 5
3
8
2
4
9
7
1
6
[来源:学科网ZXXK]
3.
练习 5
1. 2. 3.
[来源:学_科_网]
答案不唯一第 22 讲 钟表的奥秘
【专题简析】
小朋友们已经学习了“时、分、秒”，认识了时钟，知道了 1小时=60分钟，1分钟=60 秒，
这一讲我们就来研究钟面和时间的计算问题。
研究钟面和时间的计算问题，要知道钟面上的时针、分针所在的某一特定位置时的那一瞬
间是什么时刻，“时刻”是从钟面上看出来的。从一个时刻到另一个时刻之间经过的间隔是时
间，时间可以用计算得来，计算时间的单位有时、分、秒。
【例题 1】
下面的图（1）是 9点整，经过一段时间看到图上的时针走了半格，分针应走到什么位置？这
时指的是几点几分？
12 12
9 3 9 3
6 6
9
1 2
6
( 1 )
3 9
(
1
6
2
2
)
3
思路导航：
经过一段时间，图（1）时针走半格，分针走了半小时，也就是半圈到 6的位置（从图（2）
看出分针的运行），这时指的是 9点 30 分。时针指向 9点整，分针应指向 12，经过半小时，
时针走了半格，分针应从 12走到了 6，这时指的时间应是 9 点 30分。
解：分针走到 6，这时是 9点 30分。
练习 1
1.下图是 3 点整，经过一段时间看到图上的时针走了半格，分针应走到什么位置？这时指的
是几点几分？
2.下图是 1点整，经过一段时间看到图上的分针走了半圈（从 12走到 6,），时针走过了多少？这时指的是几点几分？
9
1 2
6
3 9
1 2
6
3
3.几点整分针和时针正好重合？经过一段时间，时针走了半格，分针应走到什么位置？这时
是几点几分？
9
1 2
6
3
9
1 2
6
3
【例题 2】
学校举行了 50 米跑比赛，贝贝比玲玲少用了 1秒，贝贝用了 11秒，勇勇比玲玲多用了 1秒，
谁跑得快？
思路导航：
期望数学岛
根据“贝贝比玲玲少用了 1 秒，贝贝用了 11 秒”求出玲玲用了 11+1=12（秒），又知“勇勇比
玲玲多用了 1 秒”求出勇勇用了 12+1=13（秒），而时间用得最少的人应该是跑得最快的。
解： 贝贝用了 11秒
玲玲用了 11+1=12（秒）
勇勇用了 12+1=13（秒）
答：贝贝用的时间最少，跑得最快
练习 2
1. 同学们进行了 50米赛跑，军军用了 14秒，比平平多用了 1秒，明明比平平少用了 2秒。
三人中，谁跑得最快，谁跑得最慢？
2.果宝城进行了 50 米往返跑比赛，他们的成绩是：苹果宝贝用了 20 秒，菠萝吹雪比苹果宝9
1 2
6
3 经 过 2 5 分 钟 9
1 2
6
3
贝多用了 4秒，雪梨大哥比菠萝吹雪少用了 2秒，谁跑得最快？
3.三（2）班有五位同学参加 100米跑得成绩分别为：23秒、22秒、21秒、25秒、26秒，请
问最快的用了多少秒？
【例题 3】
12 12
9 3 经过 分钟 9 3
6 6
时 分开始写作业 时 分做完作业
思路导航：从 5 点 45 分开始写作业，6 时 10 分写完作业，从 5 时 45 分到6 时共 15 分钟，
再加上 6时到 6时 10分的 10分钟，一共经过 25分钟。
解：
5 时 45 分开始写作业 6 时 10 分做完作业
12 12
练习 3
经过
9 3 9 3
1. （ ）
6 6
2. 12 1 时 30 分 12 时 12 分 12
经过
经过 经过
9 3 9 3 （ ） 9 3 9 3
4小时 （ ）
6 6 6 6
0：00 4:00 9:00 ： :9
1 2
1 2
6
: 3 0
3
（
经 过
）
9
1 2
6
：
3 （
经 过
） 9
1 2
6
:
3
（
经 过
）
9
1 2
6
：
3
3.
【例题 4】
王老师上午 7:30到校上班，11:30下班，下午 1:00上班，5:00下班，王老师上午在学校里多
少时间？下午在学校里多少时间？一共在校几小时？
思路导航：
7:30～11:30经过了 4小时（11时 30分-7时30分=4小时），所以王老师上午在校时间是
4小时。1:00～5:00经过了 4小时（5时-1时=4 小时）所以王老师下午在校时间也是 4小时。
王老师一共在校时间为 4+4=8（小时）。
解：上午在校 4小时，下午在校 4小时，一共在校 8小时。
练习 4
1.小红放学回到家，正好是 4:30，她先做语文作业，用了 30 分钟；接着做数学作业，用了
20分钟；最后她写了一篇作文，用了 40分钟。当她 2的作业全部做完时，应是几时几分？
2.红光小学上午 8:00开始上第一节课，上午上四节课，每节课 40分钟，课间休息 15分钟，
第四节课下课就排队放学，学生上午在校几小时几分？
3.同学们看电影《红军·长征》，看完这部电影要 1小时 50分，如果 9点 10分开映，放映结
束时应该是什么时间？【例题 5】
填空。
（1）3小时=（ ）分 （2）2小时 45分=（ ）分
（3）120分=（ ）小时 （4）75分=（ ）小时（ ）分
思路导航：题（1）：因为 1小时=60分，3小时就是 60×3=180分；题（2）：先计算 2小时
=60×2=120分钟，再加上 45分钟，就是 120+45=165分钟；题（3）：因为1小时=60分钟，
120分=120÷60=2小时；
题（4）：1小时=60 分钟，75分-60分=15 分，也就是 1小时 15分。
[来源:学科网ZXXK]
解：（1）3小时=（180）分 （2）2小时 45分=（165）分
（3）120分=（2）小时 （4）75 分=（1）小时（15）分
[来源:Zxxk.Com]
练习 5
1.5小时=（ ）分 4 分=( )秒
2小时 20分=( )分 360 秒=（ ）分
[来源:学科网]
2.80秒=（ ）分（ ）秒 75 秒=（ ）分（ ）秒
240分=（ ）小时 3分 25秒=（ ）秒
3.6小时 15分=（ ）分 250 分=（ ）小时（ ）分
[来源:学*科*网]
练习题答案练习 1
1. 分针走了半圈，从 12 走到 6的位置，这时应是 3点 30分
2. 时针走了半格，这时应是 1点 30分
3. 12点整；分针从 12走到 6的位置，这时应是 12点 30分。
练习 2
1. 明明最快；军军最慢。
2. 苹果宝贝
3. 21秒
[来源:Zxxk.Com]
练习 3
1. 经过 4小时 15分，到 5时 45分。
2. 5小时；3小时，12:00
3.经过 1小时 5分，到 1:35又经过 55分，到 2:30又经过 5小时 20分，到 7:50
练习 4
1. 6时 2. 3小时 25分 3. 11 时
练习 5
1. 300 240 140 6
2. 1 20 1 15 4 205
3. 375 4 10第 23 讲 不会输的游戏
【专题简析】
小朋友都很喜欢做游戏，数学中也有很多游戏。通过数学游戏，不仅能培养我们把实际问
题数学化的能力，而且还能培养我们学习数学的兴趣。
在这些游戏中，想要使拿到最后一个者获胜，首先要决定谁先拿，如果把物品总数除以每次
取物品个数的和，没有余数，就让对方先拿，自己拿的个数必须和对方拿的个数合起来是两
人每次的和。
【例题 1】
桌上有 21根火柴，小邱和小红轮流取，每人每次取 1根或 2 根，谁取到最后一根谁就获胜。
小红该怎样取才能保证获胜？
思路导航：
因为每人每次只能拿 1根或 2根，所以只要小邱先拿，小红就一定能拿到第三根，即小邱拿
1根，小红就拿 2根，小邱拿 2根，小红就拿 1根，如此拿下去小红就能把 3、6、9、12、15、
18、21这些“制高点”掌握在手，从而获胜。因此只要把火柴总数除以二人每次取火柴的和，
如果没有余数，就让双方先拿。
解：小红让小邱先拿，并且每次自己拿的个数和小邱拿的根数合起来是 3，则小红保证能获
胜。
[来源:学科网ZXXK]
练习 1
1.小明和小刚一起做游戏，他们把 18粒棋子放在桌上，然后轮流拿，每人每次只能拿 1粒或
者 2粒，谁拿到最后一粒谁就获胜，你能让小明保证获胜吗？
2.桌上放着一堆火柴，共 56根。由甲乙两人轮流拿，每人每次拿 1至 3根，拿到最后一根的
人获胜，问该怎样拿才能保证获胜？3.桌上有 20颗彩珠，小丽和小兰轮流拿，每人每次只能拿 1颗或 2颗，谁拿到最后五颗，谁
就获胜，小兰该怎样拿才能保证获胜呢？
【例题 2】甲、乙两名同学从 1到 30轮流连续报数，谁先报到 30这个数，谁就获胜，规定：
每人每次最多报三个数，最少一个数。如甲报 1，乙可报 2或 2，3或报 2，3，4；接着甲可
报乙报的数后面的 1 个数或 2个数或 3个数。问：有没有必胜的报数策略？
思路导航：
要想必胜，就要抢到 30。要抢到 30，只要捡到 26，这时如果对方报 27，你就报 28，29，30；
如果对方报 27，28，你就报 29，30；对方报 27，28，29，你就报 30。同理，要抢到 26，只
要抢到 22。要抢到 22，只要抢到 18。同理只要抢以 14，10，6，2 即可。也就是从 30 继续
减去 4（30÷4＝7……2，余数是几，就必须先抢到几）。策略是自己先报，且先报到 2，这
样就能确保抢到 6。
解：你先报到 2，对方报 3，你就报 4，5，6；对方报 3，4，你就报 5，6；对方报 3，4，5，
你就报 6；同理可以确保抢到 10，14，18，22，26，30。
练习 2
1.小东和小华做游戏，他们把 19粒棋子放在桌上，然后轮流拿，每人每次能拿 1粒或者 2粒，
谁拿到最后一粒，谁就获胜。这次小东该怎样拿才能保证获胜呢？
[来源:学.科.网]
2.桌上有 22根火柴，小明和小红轮流取，每人每次只能取 1根或 2根，谁取到最后一根谁获
胜。这次小红该怎样取才能保证获胜？3.报 80，两人轮流报，从 1 开始，每人每次报 1~5 个连续数，如果一人报 1，另一个人可报
2或 2，3或 2，3，4，或 2，3，4，5，或 2，3，4， 5，6；如果一人报 1、2、3、另一人可
报 4 或 4， 5 或 4，5，6 或 4，5，6，7 或 4，5，6，7，8，谁先报到 80 谁就获胜。问怎样
报才能取胜？
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【例题 3】
有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，多取不限，但不有不取。谁
取到了最后一枚棋子为胜，如果甲后取，他一定能取胜吗？
思路导航：
由于两堆棋子的枚数相等，例如都有 5枚，如图：
如果乙先在左边取 2 枚，甲在右边取 2枚，这时两边都还有 3枚：
乙先在哪一边取几枚，甲就在另一边取几枚，甲一定取走最后一枚棋子。甲后取，一定能获
胜，不论乙先在其中哪一堆里取多少枚棋子，甲总可以在另一堆里取相同枚数的棋子，因此
甲一定能获胜，如果两堆棋子数不相等，只要甲先取出较多一堆里比另一堆多的枚数，使得
两堆棋子枚数相等，就可以转化为例题中的情形。
解：见思路导航
练习 3
1.左边有 10 枚棋子，右边有 12 棋子，两人轮流去取，取到最后一枚的得胜，先取好还是后
取好？怎样取才能获胜？2.有三行棋子如下图，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走 1 枚或 2 枚，谁最后
取完为胜，问：要想获胜是先取还是后取？
[来源:学科网]
[来源:学§科§网]
【例题 4】
小东和小华玩 25 根小棒轮流取的游戏，每人每次可取 1 根或 2 根，谁取到最后一根谁就获
胜。小东先取了 2根，小华怎样取才能获胜？
思路导航：
25根小棒小东先取走了 2根，还有 25－2＝23（根），23÷3＝7……2，小华也跟着取 2根，
然后不管小东取几根，只要小华每次取的和小东每次取的根数合起来是 3，小华就一定能获
胜。
解：见思路导航
练习 4
1.小华和小东做游戏，桌上有 45粒棋子，每人每次可取 1粒或 2粒，谁取到最后一粒谁获胜，
小华先拿走了 1粒，问小东怎样取才能获胜？
2.小军和小明在做游戏，他们在桌上放 50根火柴棒，规定每人每次可取 1根至 3根，谁拿到
最后一根，谁获胜，小军先拿了 3根，问小明怎样取才能获胜？
3.两堆糖，两人轮流拿，一次只能在其中一堆拿，拿几根不限，最后一个把糖拿走的人算输，9
1
8
0
1
7
1
1 2
6
1
5
2
4
3
怎样拿会输？
【例题 5】
12枚棋子摆成一圈，小华和小东轮流从中取走一枚或两枚，如果取走 2枚，这两枚必须相邻。
谁取走最后一枚谁就获胜，小华应采取什么样的策略才能获胜？
思路导航：
小华可以这样做：
（1）让小东先取走一枚或两枚之后，圆圈的某一位置将出现单独的空当。于是小华从圆圈中
与这个空当相对的一侧取走一枚或两枚，使得余下的棋子被两个空当分成数目相等的两部分。
（2）从这以后，小东从哪一部分中取走一枚或两枚，小华就从另一部分中取走相同数量的棋
子，这样小华就能取走最后一枚而获胜。
解：如右图：（数字是图中棋子的编号）小东在一侧
取一枚或几枚棋子，小华就在空当相对的另一侧取走
相同数量的棋子，小华获胜。
练习 5
1.桌子上摆成一圈放着 10枚棋子，甲、乙两人轮流从中取，每次取一枚或取相邻的两枚，如
果 2枚棋子之间已有棋子被取走，它们不算相邻的，谁取到最后一枚就算胜利，你看是先取
有利还是后取有利？有没有必胜的方法？
2.桌上摆成一圈放着 8 根小棒，每次只能取一根或相邻的两根（如果两根小棒之间有小棒被
取走，就不算相邻），小芳先取，乐乐后取，谁能取到最后一根就算胜利，乐乐要想取胜应
怎样取？
3.有 11 根火柴，A、B 两个比赛，规定每个人每次可以拿 1~3 根火柴，但不能连续再次拿去
相同数目的火柴，谁拿到最后一根火柴，谁就得胜，如果 A先开始拿，是否有必胜的方法？练习题答案
练习 1
1.让小刚先拿，小明 每次拿的个数与小刚拿的个数合起来是 3，小刚保证能获胜。
2.56÷4＝14 没有余数，若甲先拿，刚乙只要每次拿的火柴数和甲的合起来是 4，乙就会拿到
最后一根而获胜。
3.小兰必须先拿两颗，然后按小丽 1 颗，小兰 2 颗；或小丽 2 颗，小兰 1 颗的方法继续拿下
去，小兰才能保证获胜。
练习 2
1.19÷3＝6……1，余数是 1，小东就先拿 1粒，然后不管小华拿几粒，他都能保证拿到第 4，
第 7……最后获胜。
2.22÷3＝7……1，除下来有余数，小红应先把这个 1 根拿下，然后不管小明几根，只要小红
每次拿的火柴根数和小明拿的火柴根数合起来是 3，小红就能获胜。
3.80÷6＝13……2，除下来有余数，先报者应先报两个数，然后不管后报者报几个数，只要先
报者每次报数的个数和后者合起来是 6，先报者就会报到 80，从而获胜。
练习 3
1.要想取胜，要先取右边的 2枚，然后对方取几枚，你就在另一堆也取几枚。
2.应先取。甲先在第二行取一枚棋子，如甲乙在第一行（或第二行）取 1 枚棋子，甲只需在
第三行取 2枚棋子，则剩下第三行一枚棋子和第二行（或第一行）一枚棋子，甲必胜；甲先
在第二行取一枚棋子，如果乙在第三行取一枚棋子，则甲只需在第三行取剩下的棋子，这时
在第一行和第二行分别剩下一枚棋子，甲必胜；甲先在第二行取一枚棋子，如果乙在第三行
取 2枚棋子，则甲只需在任一行取一枚棋子，这时在剩余的两行分别剩下一枚，甲必胜。
练习 4
1.45－1＝＝44（粒），44÷3＝14……2，小东拿 2 粒，然后不管小华拿几粒，只要小东每次
取的和小华合起来是 3，小东就一定取胜。
2.50－3＝47（根），47÷4＝11……3，小军先拿 3 根，小明也跟着拿 3 根，然后小军不管拿
几根，只要小明每次拿的和小军合起来是 4，小明就一定获胜。
3.（1）如果两堆糖同样多，甲先拿几块，乙在另一堆也拿和甲同样多的块数，这样拿下去，
后拿的人一定得输。
（2）如果两堆糖不一样多，可以先从多的一堆里取出比少的一堆多的块数，然后后拿的人拿几块，先拿的人也拿几块，这样下去，先拿的一定得输。
练习 5
1.后取者有利，有必胜的办法，无论先取者取走 1 枚或 2 枚棋子，后者总是在“缺口”对面取
走 1枚或 2枚棋子，使余下的棋子变成数目相同的两段以后，无论先取者取走哪些棋子，后
取者总在另一段相应的位置上取走同样多的棋子，这样可以必胜。
2.乐乐后取，要想取胜，可以这样想：不论小芳先取 1 根还是 2 根，乐乐总在“缺口”的对面
取走 1根或 2 根，使余下的小棒变成数目相同的两段以后，不论小芳取走哪些小棒，乐乐只
要在另一段同样位置上取走同样多的小棒，这样可以必胜。
3.A先拿，第一次拿 3根，以后每次按规则拿后，使余下的根数为 8或 4或 0根，即可取胜。5 个
6 个
第 24 讲 位置趣谈
【专题简析】
同学们排队，以某一个人为标准来数人数，知道他左边、右边人数或从左、从右数他排第
几，这类问题就是排队问题，排队问题的关键是要找出重复部分再解答。
在排队问题中，中间这一个人既不能漏掉，也不能重复，如：小玲从队伍的右边数起是第
4 个，从左边数起是第 8 个，这里小玲重复数了两次，所以在计算总人数时一定要把重复的
人数去掉。
【例题 1】
小明排队唱歌，他站的这一排，从左向右数，他是第 5 个，从右向左数，他是第 6个，问这
一排共有多少人？
思路导航：
如图：
从左边数起，小明是第 5个，他被数了一遍；从右边数起，小明是第 6个，他又被数了一次，
这样小明共被数了两次，多数了一次，所以算一共有多少人时，应从 5+6=11（人）中去掉 1
人。
解：5+6=11（人） 11-1=10（人）
答：这一排共有 10人
练习 1
1.小朋友排队照相，小力坐在第一排。从左往右数，他坐第 4个，从右往左数，他坐第 8个。
第一排一共坐了多少个小朋友?
2.有一排不同颜色的彩灯，无论从左往右数，还是从右往左数，第 9 盏都是同一盏红灯，这
一排共有多少盏彩灯？2 0
A
人 人
5
2
B
5 人
3.一群小动物排一排，从左往右数，第 4 只是兔子，从右往左数第 3 只是小鹿，小鹿在兔子
前 3个，这群小动物共有几只？
[来源:学科网ZXXK]
【例题 2】
光明小学二（2）班参加课外活动，要求每人至少报 1项，最多报 2项，有 20人报合唱组，
有 25人报数学兴趣小组，其中有 5人报 2项，二（2）班一共有多少学生？
思路导航：
图中 A 圈表示参加合唱组的人数，B 圈表示参加数学兴趣组的人
数。
两圈重叠的部分（即阴影部分），表示两项都参加的人数，从图 中
可以看出，两项都参加的 5人被算了 2次，重复了。所以要从两组
共有的人数中减去重复的 5人。
解：20+25-5=40（名）
答：二（2）班一共有 40名学生。
练习 2
1.二（2）班同学人人都订阅报纸，订《数学报》的有 38人，订《中国儿童报》的有 30人，
其中 8人这两种都订，问二（2）班共有多少人？
2.张老师出了两道思考题给二（5）班同学做，做对第一题的有 38人，做对第二题的有 22人，
两题都做对的有 15人，没有全做错的同学，求二（5）班共有学生多少人？
3.有两块木板，一块长 24分米，另一块长 18分米，把两块木板重叠一部分后钉成一块长 36
分米的木板，重叠部分长多少分米？
[来源:Zxxk.Com]【例题 3】
二（1）班同学排成 6 列做操，每列人数同样多，小明站在第一列，从前面数，从后面数他
都是第 5个。二（1）班一共有多少人在做操？
思路导航：
从前边或右边数，小明都排在第 5 个，说明竖着数每列有 5+5－1＝9（人），由于每列人数
相同，竖着每列有 9 人，一共有 6列，要求一共有多少同学在做操，就是求 6个 9是多少。
解：5+5－1＝9（人）
9×6＝54（人）
答：二（1）班一共有 54人在做操。
练习 3
1.二（3）班同学排成 5列做操，每列人数同样多，小红站在第二列，从前面数，从后面数她
都是第 4个。二（3）班一共有多少个同学在做操？
2.小朋友排成方队做操，不管从前边还是从后边数，也不管是从左边还是从右边数，双双都
排在第 4个，这个方队里一共有多少个小朋友？
3.舞蹈队的同学表演节目，每队人数同样多。小兵从左往右数排第 4，从右边往左数排第 6，
从前面数排第 3，从后面数排第 4，你知道舞蹈队一共有多少人？
【例题 4】
25 个小朋友排成一行，从左边数起小林是第 12 个，从右边数起小明是第 9 个，小林和小明
之间隔着几个小朋友？思路导航：
我们可以这样想：先从 25个中减去小林和他左边的人数，再减去小明和他右边的人数，剩下
的就是他俩之间的人数。
解：25－12＝13（个） 13－9＝4（个）
答：小林和小明之间隔着 4个小朋友。
练习 4
[来源:学科网]
1.有 18个小朋友排成一列做操，从前面数起青青是第 6个，从后面数起华华是第 7个，青青
和华华中间有几个小朋友？
2.10个小朋友排成一队，从前面数小红排在第 2个，小华排在小红后面第 4个，那么小华从
后往前数排第几个？
3.两位老师带着 32个学生去看电影，他们正好坐在同一排，从左边数起第 9个是王老师，从
右边数起第 10 个是李老师，求：两位老师中间坐着同个同学？
[来源:Zxxk.Com]
【例题 5】
小东、小红、小佳排成一行，小佳必须站中间，有几种排法？
思路导航：
小佳站中间，则小明站小佳左边，小红站小佳右边为一种排法。小明站小佳右边，小红站小
佳左边为第二种排法。一共有两种排法。
解：有两种排法。练习 5
1.一次晚会，只有 3 个文艺节目，主持人安排这 3 个节目演出的先后，3 个节目的演出次序
有多少种？
2.一路长途汽车，从起点到终点共有 4个车站，有几种不同的票价？（即多少种不同的车票）
3.小龙、小虎、小狮三个人一起来到一家理发店理发，三个人都争着要先理，可是店里只有
一位理发师，只能一个一个顺次理发，请问三人理发的次序有几种？请你把不同的次序写出
来。
[来源:学科网]练习题答案
练习 1
1.11个 2.17盏 3.9只
练习 2
1.38+30－8＝60（人）
2.38+22－15＝45（人）
3.24+18－36＝6（分米）
练习 3
1.35个 2.49个 3.15个
练习 4
1.5个 2.5个 3.15 个
练习 5
1.6种 2.6种
3.6种
小龙 小虎 小狮；小龙 小狮 小虎
小虎 小龙 小狮；小虎 小狮 小龙
小狮 小龙 小虎；小狮 小虎 小龙第 25 讲 拆数游戏
【专题简析】
按要求把一些数分解成几个数相加的形式，这不仅可以提高运算能力，更能促进你积极地
去思考问题，分析问题，使你的头脑更聪明。怎样才能找到全部答案，不出现差错呢？
分析数的时候，一定要弄懂题中要求，使分析的过程按一定的顺序进行，如果要拆成规定
的个数，可以按从大到小的顺序拆；如果没有规定个数，可以按从少到多的顺序拆。只有这
样，才能的找到符合题意的所有分拆方式。
【例题 1】
像 15+51＝66 这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数相加，而和是 66 的两位数一
共有多少对？
思路导航：
个位与十位两个数相加是 6，即（）+（）＝6，不难得出这样的情况：1+5＝6，2+4＝6，如
果是 3+3＝6，则个位数与十位数相同，不合要求。
解：这样的两位数有两对：15+51＝66，24+42＝66。
练习 1
1.十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数相加，各是 55，问这样的两位数有多少对？
2.十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数叫做倒序数，像这样的和是 88的倒序数共有多
少对？
[来源:学科网ZXXK]
3.有这样一道算式，16+61＝77，把 16和 61这样的两个数叫做倒序数，像这样的和在 100以
内的倒序数有多少对？【例题 2】
五个连续自然数的和是 40，这五个数按从小到大排列的顺序是怎样的？
思路导航：
五个连续自然数的和是 40，应该先找到五个数中间的一个数，用 40÷5＝8，8 是中间数，比
8小的两个数是 6、7，比 8大的两个数是 9、10。
解：这五个连续自然数按从小到大的顺序排列是：6，7，8，9，10。
练习 2
1.四个连续自然数的和是 18，这四个数按从小到大排列的顺序是怎样的？
2.小明用 5天时间做了 25道数学题，他每天都比前一天多做一道，这五天里，小明每天各做
几道题？
3.15个网球分成数量不同的 4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？
【例题 3】
把 10分拆成三个不同的数相加的形式（0除外），共有多少种不同的分拆方法？
思路导航：
分拆时，可以按从大到小顺序排列，由题意可知，所拆的三个数必须不同，因此最大数为 7，
最小数为 1。
最大数为 7：10＝7+2+1
最大数为 6：10＝6+3+1
最大数为 5：10＝5+3+2 或 10＝5+4+1
解：把数 10分拆成三个不同的数相加的形式，共有 4种形式：
10＝7+2+1 10＝6+3+110＝5+4+1 10＝5+3+2
练习 3
1.把 9分拆成三个不同的数相加的形式（0除外），共有多少种不同的分拆方法？
2.把 19分拆成不大于 9的三个不同的数（0除外）之和，有多少种不同的分拆方式？
3.把 24分拆成三个不完全相同的数相乘的形式，问由这样的三个数组成的数组有多少种？
【例题 4】
把 5分拆成几个数相加的形式（0不考虑作为加数），有多少种不同的分拆方式？
思路导航：
把“5”分拆时，可以是两个相加，三个数相加，四个数相加，五个数相加，我们可以按顺序依
次找一找答案。
两个数相加：5＝1+4，5＝2+3
三个数相加：5＝1+1+3，5＝1+2+2
四个数相加：5＝1+1+1+2
五个数相加：5＝1+1+1+1+1
解：把 5分拆成几个数相加的形式有 6种：
5＝1+4，5＝2+3，5＝1+1+3，5＝1+2+2，5＝1+1+1+2，5＝1+1+1+1+1。
练习 4
1.把 4分拆成几个数相加的形式，有多少种不同的分拆方式？2.把 6分拆成几个数相加的形式，有多少种不同的分拆方式？
3.把 7分拆成几个数相加的形式，有多少种不同的分拆方式？
[来源:Z+xx+k.Com]
【例题 5】
将 1～9九个数字平均分成三组,使每组的三个数相加的和相等,这样的分法有几种?
思路导航：
[来源:学科网]
这九个数的总和 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,平均分成三组,45÷3=15,每组的和应是 15。
解：（1）1+5+9＝15 （2）1+6+8＝15
2+6+7＝15 2+4+9＝15
3+4+8＝15 3+5+7＝15
所以，有 2种分法。
练习 5
1.从 1～9 这九个数字中选取两个数，将 11 分拆成这两个不同的数相加的形式，有多少种不
同的分法？
2.从 1～9 这九个数字中选取三个数，将 12 分拆成这三个不同的数相加的形式，有多少种不
同的分法？
3. 把 1～8这八个数平均分成两组，使每组的四个数相加的和相等，这样的分法有几种？练习题答案
练习 1
1.两对 14和 41 23和 32
2.3对 17和 71 26 和 62 35 和 53
3.16对 33＝12+21
44＝13+31 55＝14+41＝23+32
66＝15+51＝24+42
77＝16+61＝25+52＝34+43
88＝17+71＝26+62＝35+53
99＝18+81＝27+72＝36+63＝45+54
练习 2
1.从小到大排列是：3，4，5，6。
2.在这五天里，小明每天分别做 3，4，5，6，7道。
3.最多的一堆至少有 6个球。
练习 3
1.3种 9＝6+2+1
9＝5+3+1 9＝4+2+3
2.5种 19＝9+8+2
19＝9+7+3 19＝9+6+4
19＝8+7+4 19＝8+6+5
3.6种 1×3×8＝24
1×4×6＝24 2×2×6＝24
2×3×4＝24 1×1×24＝24
1×2×12＝24
练习 4
1. 4种 4＝1+3 4＝2+2
4+1+1+2 4＝1+1+1+1
2.10种 6＝5+1＝4+2＝3+3
6＝4+1+1＝3+2+1＝2+2+2
6＝3+1+1+1＝2+2+1+1
[来源:学科网ZXXK]6＝2+1+1+1+1
6＝1+1+1+1+1+1
3.14种 7＝6+1＝5+2＝4+3
7＝5+1+1＝4+2+1＝3+3+1＝3+2+2
7＝4+1+1+1＝3+2+1+1＝2+2+2+1
7＝3+1+1+1+1＝2+2+1+1+1
7＝2+1+1+1+1+1
7＝1+1+1+1+1+1+1
练习 5
1. 4种 11＝8+3 11＝7+4
[来源:学科网ZXXK]
11＝6+5 11＝9+2
2.7种 12＝1+2+9 12＝1+3+8
12＝1+4+7 12＝1+5+6
12＝2+3+7 12＝2+4+6
12＝3+4+5
3.4种 8，7，2，1 和6，5，4，3
8，6，3，1和 7，5，4，2
8，5，4，1和 7，6，3，2
8，5，3，2和 7，6，4，1第 26 讲 巧用余数（二）
【专题简析】
我们已经学习了有余数的除法，都知道，在有余数的除法里，余数要比除数小。
利用余数，可以解决许多有趣的实际问题，就看你会不会巧妙地应用余数了。
解答习题时，首先要把重复出现的部分作为一组，再想总数里有几个这样的一组，如果除后
有余数，那么余数是几，某个物体（或数字）就是一组中的第几个，从而解出所求问题，如
果除后没有余数，说明某个（或数字）是一组中的最后一个。
【例题 1】
一串珠子，按下图排列，第 25颗是什么珠子？第 36颗是什么珠子？
思路导航：
这串珠子的排列是有规律的，即按“ ”不断的重复出现，每 6颗珠子为一组，
先算出 25 颗珠子形成几组：25÷6＝4……1，商是 4，表明有 4 组，余数是 1，表明第 25 颗
是第 5组的第 1颗珠子，即“ ”，36÷6＝6，表明 36颗珠子正好排完 6组，第 36 颗珠子就
是“ ”。
解：25÷6＝4（组）……1（颗）
36÷6＝6（组）
答：第 25颗珠子是 ，第 36颗珠子是 。
练习 1
[来源:Z+xx+k.Com]
1.有一张纸上很整齐地写着一排字：
喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼……
问第 38个字是什么字？
2.有一列数：4 3 2 4 3 2 4 3 2 4……
（1）这列数的第 29个数是几？
（2）这列数的第 31个数是几？3.请推算出第 20个图形是什么？第 42 个图形又是什么？
☆△△□□○☆△△□□○……
【例题 2】
节日里街上挂起彩灯，从第一盏灯开始，按照红、黄、蓝、绿各一盏的顺序依次重复排下去，
（1）第 50盏灯是什么颜色？（2）这 50 盏灯里红灯有几盏？
思路导航：
因为彩灯的排列顺序为红、黄、蓝、绿各一盏依次重复排下去，也就是说把 4盏灯作为一个
周期，所以根据这一规律能先算出 50盏灯里有几个周期：
50÷4＝12……2
（1）以上算式表示 50盏灯共有 12个周期，余 2表示多 2盏灯，即从下一个周期起，从红灯
开始数起的第二盏灯为黄灯，所以第 50 盏灯的颜色是黄颜色。
（2）因为每个周期里有 1盏红灯，这 50 盏灯里有 12个周期，就有 12盏红灯，再加上多出
来的 2盏灯里有 1盏是红灯，所以这 50 盏灯时的红灯一共有 13盏，即 12+1＝13（盏）。
解：50÷4＝12（组）……2（盏）
[来源:Zxxk.Com]
12+1＝13（盏）
答：第 50盏灯是黄色，这 50盏灯里的红灯有 13盏。
练习 2
1. ○○○△△□○○○△△□○○○△△□……问：100个图形中有○（ ）个，△（ ）个，□（ ）
个。
2.有同样大小的红、白、黑三种珠子共 100个，按照 3个红的，2个白的，1个黑的要求不断
地排下去，如下图：
……
（1）第 68个是什么颜色的珠子？
（2）在这 100颗珠子中白珠子共有多少个？3.学校门前插了一排彩旗，按照“一红二蓝三黄一绿”排列，第 40 面是什么颜色的旗？第 56
面呢？
【例题 3】
有一列数：2，3，1，2，3，1，2，3，1……
（1）第 25个数是几？
（2）这 25个数的和是多少？
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
思路导航：
这列数是有规律排列的，是按 2，3，1这样的顺序重复写下去的，一组有 3个数，25里面有
几个 3，就是几组，即 25÷3＝8……1，余数是 1，最后一个数是 2。要求这 25个数的和，可
以先求一组中三个数的和，再求所有组数的和，还要加余下的一个数。
解：25÷3＝8……1 第 25个数是 2
（2+3+1）×8+2＝50
答：这列数中第 25个数是 2，这 25个数的和是 50。
练习 3
1.有一列数字 3，1，2，3，1，2，3，1，2…问第 20个数是多少？这 20个数的和是多少？
2.有一列数 4，0，2，1，4，0，2，1，4，0，2，1…问第 30 个数是多少？这 30 个数的和是
多少？
3.有一字母串共 43个，按 A B C D E A B C D E…排列，最后一个是什么字母？这串字母有
几个 A？几个 C？几个 E？【例题 4】
昨天是 8日，星期一，到 31日是星期几？
思路导航：
8 日星期一，再过 1 个星期，2 个星期……都是星期一。从 8 日再过 23 天就是 31 日，所以
要看 23天中有几个 7天还余几天，23÷7＝3……2。
答：到 31日是星期三。
练习 4
1.2012年 7月 1日是星期日，7月 27日伦敦奥运会开幕，这一天是星期几？
2.今天是星期日，再过 50天是星期几？
3.2012年 5月 1日是星期二，“六﹒一”儿童节是星期几？（五月有 31天）
【例题 5】
8 个队员围成一个圈做游戏，从 1 号开始，按顺时针的方向往下一个人传球。在传球时按顺
序报数，当报到 75时，球在几号队员手上？
思路导航：
8个队员依次传球，不能重复，把他们看成一组，每组报 8个数，75个数分成这样几组，75÷8
＝9（组）……3（个），有余数 3，报 75 时，球在第 10 组的第 3 个队员手中，即在 3 号手
上。
解：75÷8＝9（组）……3（个）
答：报 75时，球在 3号队员手上。练习 5
1.喜羊羊、沸羊羊、美羊羊和懒羊羊围坐在圆桌旁，班长 1～64 号拼音卡片依次发给他们，
问第 59号卡片发给谁？
2.数字兴趣组的 6名同学围成一圈做游戏。首先是报数，小荣报“1”，小青报“2”，小东报“3”，
小烽报“4”，小林报“5”，小军报“6”，每人报的数都比前一个多 1。问“29”是谁报的？“55”是
谁报的？
3. 六个小朋友围在一起做“传花”的游戏，从开始，按顺时针方向往下一个人传花并按顺序报
数，当报到 50 时，花在谁的手上？
[来源:学&科&网]练习题答案
[来源:Zxxk.Com]
练习 1
1.7×7+1＝50（枝）
2.6×8+4＝52（个）
3.5×9－2＝43（个）
练习 2
1.12×3+3＝39（个）
39+12＝51（个）
2.2×5+4＝14（个） 5+14＝19（个）
3.135×2+1＝271（棵）
271+135＝406（棵）
练习 3
1.25×4+80＝180（个）
2.5×8＝40（个） 7×2＝14（个）
40+14＝54（个）
3.200－120－10＝70（本）
70÷2＝35（本）
练习 4
1. 10÷2×6＝30（名）
2.20÷5×2＝8（千克）
3.36÷6×2＝12（个）
练习 5
1. 5×4－5＝15（箱）
2.15×3－15＝30（箱）
3.24×3－24＝48（根）第 27 讲 应用题（二）
专题简析
这一讲我们继续讨论两步计算应用题。记住：一定要弄清楚题中条件与条件、条件和问题之
间的关系，才能找出解题的方法。
解答这组题时，要分析题中各部分之间的关系，如果求几个几是多少或求几的倍数是多少，
就用乘法。如果把一个数平均分成几份，求每份是多少或求一个数里有几个几就用除法来
计算。当求几的几倍是多少后，再求总数或差时，就不止一种解题方法。小朋友要学会选
择最佳解法。
【例题 1】
妈妈买回一些梨，平均放在 6个盘子里，每个盘子里放 4个，还余 2个，妈妈一共买了多少
个梨？
【思路导航】根据“平均放在 6个盘子里，每个盘子里放 4个”，可以知道盘子里一共有梨 4×6
= 24（个），再根据“盘子里 24个，还余 2个”，就可以求出妈妈一共买梨的个数。列式如
下：
4×6＋2 = 24＋2 = 26（个）
答：妈妈一共买了 26个梨。
练习 1
1．老师把一些铅笔平均分给 7个小朋友，每个小朋友分 7枝，结果还剩 1枝，老师手里一共
有多少枝铅笔？
2．图书室把新到的一批书平均分给 10个班，每个班分到 15 本，最后还剩 15本，图书室新
到多少本书？
[来源:学科网]
3．小刚有 50张纸订草稿本，每 9张订 1本，要订 6本，还缺几张？【例题 2】田田练了 8 天的字，前 7 天，每天练 4 张纸，最后一天练了 5 张纸。田田 8 天一
共练写了多少张纸？
【思路导航】因为 8 天中，有 7天每天练 4张纸，所以，我们可以用 4×7 = 28（张）求出前
7天练写的总张数。最后一天练了 5张，再用 28＋5 = 33（张），就是 8天一共练写的纸的
张纸。列式如下：
4×7 = 28（张）
28＋5 = 33（张）
答：田田 8天一共练写了 33张纸。
练习 2
1．小明看一本故事书，前 5 天每天看 12 页，最后一天看了 20 页正好看完，这本故事书一
共多少页？
2．张师傅生产一批零件，前 4天每天生产 25个，后 3天共生产 60个，张师傅一周共生产多
少个零件？
3．同学计划 5 天装订本子 300本，结果前 3天装订了 160本，后 2听装订后还剩 20本没完
成，同学们在后 2天共装订了多少本？
【例题 3】二（6）班有 55个同学去野外植树，他们每 5人一组，每组种 4棵，求二（6）班
同学这次一共能种多少棵树？
【思路导航】由“全班 55人每 5人一组”这两个已知条件，就能算出全班一共有 55÷5 =11（个）
小组。再根据“每组种 4棵”，和刚求出的 11个小组，就可以算出二（6）班同学这次一共
能种多少棵树。列式如下：
55÷5 =11（个）
[来源:Z.xx.k.Com]4×11 = 44（棵）
答：二（6）班同学这次一共能种 44棵树。
练习 3
1．36个同学做纸花，他们每 3人一组，每组做 6朵，这些同学一共能做多少朵纸花？
2．20名少先队员帮助图书馆修补图书，他们每 2人一组，每组修补 6本，问这 20名少先队
员一共修补了多少本图书？
3．学校组织同学们进行放风筝比赛，让他们每 6人一组，每组 2只风筝，这时，天空中一共
飘起了 10只风筝，你知道这次参加比赛的一共有多少名同学吗？
【例题 4】
蓝气球有 25个，红气球是蓝气球的 5倍，一共有气球多少个？
【思路导航】从图中可以看出，如果把蓝气球个个数看作 1份，红气球的个数应该就是这样
的 5份。蓝气球 25个，红气球应该是 5个 25个，5×25 = 125（个）。红气球个数求出后，
再把红、蓝气球的个数合起来，就是一共有气球的个数，列式如下：
5×25＋25 = 125＋25 = 150（个）
或：把蓝气球作为 1份，红气球就是 5份，合起来是 6 份。
25×（5＋1）= 25×6 = 150（个）
答：一共有气球 150个。练习 4
1．第一组做 5 个风筝，第二组做的是第一组的 2倍，两组一共做了几个风筝？
2．果园里有梨树 35棵，苹果树是梨树的 2倍，两种树一共有多少棵？
[来源:Zxxk.Com]
3．王伯伯家养了 8 只鸭，鸡的只数是鸭的 3 倍，要使鸭的只数和鸡的只数一样多，那么王
伯伯家还要买几只鸭？
【例题 5】李奶奶家养了 10只鸭，鸡的只数是鸭的 3倍，要使鸭的只数和鸡同样多，那么李
奶奶家还要买几只鸭？
【思路导航】这道题关键是要先求出鸡的只数：10×3 = 30（只）。已知鸭有 10只，要使鸭
的只数与鸡同样多，还应该买 30－10 = 20（只）。
也可以把鸭的只数当作 1份，鸡的只数就是这样的 3份，鸭比鸡少 2份，1份是 10只，2份
是 20只，即还要买 20只鸭。列式如下：
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
10×3－10 = 30－10 = 20（只）
或：10×（3－1）= 10×2 = 20（只）
答：李奶奶家还要买 20只鸭。
练习 5
1．公园里有灰鸽子 20只，白鸽的只数是灰鸽的 4倍，要使灰鸽的只数与白鸽同样多，那么
公园里还要买几只灰鸽？2．学校里买来彩色粉笔 15箱，买的白色粉笔是彩色粉笔的 3倍，现在要使彩色粉笔和白色
粉笔一样多，学校还要买多少箱彩色粉笔？
3．芳芳有 12本书，兵兵有 18本书，要使两人的书同样多，兵兵要给芳芳几本书？练习题答案：
练习 1
1．7×7＋1 = 50（枝）
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
2．15×10＋15 = 165（本）
3．9×6－50 = 4（张）
练习 2
1．12×5＋20 = 80（页）
2．25×4＋60 = 160（个）
3．300－160－20 = 120（本）
练习 3
1．36÷3 = 12（组），6×12 = 72（朵）
2．20÷2 = 10（组），6×10 = 60（本）
3．10÷2 = 5（组），6×5 = 30（人）
练习 4
1．5×2＋5 = 15（个）
2．35×2＋35 = 105（棵）
3．8×3－8 = 16（只）
练习 5
1．20×4－20 = 60（只）
2．15×3－15 = 30（箱）
3．（18－12）÷2 = 3（本）①
②
③
第 28 讲 线路问题
【专题简析】
比较几条线段的长短或一根绳子如何一刀剪成四段等等，这类题目非常有趣，我们在做题的
时候要仔细观察，认真思考。
比较线段的长短，可借助方格图数一数，每条线段占几格，横的、竖的、斜的分别比一比，
很快就可以比出哪条线段长些。将绳子对折剪开时，别忘了对折一次，有一处相连，再对折
一次，又有两处相连，所以剪开后的段数中必须去掉相连的几处。
[来源:学科网]
【例题 1】
仔细观察下面的几条线段，哪一条最长？哪一条最短？
思路导航：
从观察发现，第一条线段占 4格多一点，第二条线段占 5格多一点，第三条线段占 4格，显
然，第二条最长，第三条最短。
解：第二条最长，第三条最短。
练习 1
1.在较长的线后画“√”。
（1） （2）
2.哪条线段最长？哪条线段最短？
①
②
③
④黑 猫
鼠
白 猫
【例题 2】
观察下面的方格图，想一想哪只猫先捉到老鼠？
思路导航：
黑猫竖的横的走了 6 段，斜的走了 2 段；白猫竖的横的走了与黑猫同样的 6 段，斜的走了 3
段，比黑猫多走一段。白猫走的路长，黑猫走的路短，所以，黑猫先捉到老鼠。
解：黑猫先捉到老鼠。
练习 2
1.小芳和小娟用同样的速度同时出发，谁先到公园？
公园
小娟
小芳
2.哪只猴子先听吃到桃子？
大猴
小猴3.张叔叔和王叔叔从不同的地点同时去县城开会，速度相同，谁先到？
张 叔 叔
县 城
王 叔 叔
【例题 3】
如图，下面 A、B、C三条线，哪条最长？哪条最短？
A B C
[来源:学科网ZXXK]
思路导航：
用尺子量一量，容易看出，C线段最长，B线段最短。结论是夹在两条平行线间的线段，竖
直的那条最短，越倾斜越长。
解：C最长，B 最短。
练习 3
1.如下图，比一比，哪条线最长？
①
②
③2.如图，用铁丝围出的两个图形，哪个用的铁丝比较长？
①
②
3.如图，从甲地出发沿线到达乙地，途中不以穿过黑点，也不能重复走，该走哪条路最近？
请你描出路线。
甲
乙
【例题 4】
一张长方形纸，怎样折剩下 3个角、4个角、5个角？我们可以拿一张纸亲自试验一下。
思路导航：
过两个顶点对折，就剩下 3个角，如图（1）；过一个顶点折一次，就剩下 4个角，如图（2）；
不过顶点，过长方形相邻两边折一次，就剩下 5个角了，如图（3）。
（ 1 ）
去
（ 2 ）
去
（ 3 ）
去
解：见图（1），图（2），图（3）。练习 4
[来源:Zxxk.Com]
1.一张正方形纸，剪去一个角，剩下 1个角、2个角，你会剪吗？
2.一张三角形纸，剪去一个角，剩下几个角？
3.一块三角板，切去两个角，还会剩下 3个、4个、5个角吗？
【例题 5】
一根绳子对折，从中间剪一刀，绳子会分成几段？
思路导航：
这根绳子对折后，有一处相连，从中间剪上一刀时，可以分成的段数 2×2＝4（段）中去掉了
一处相连的 1 段，从而得到了 3段，一根绳子对折，从中间剪一刀，分成 3段。
解：分成 3段。
练习 5
1.一根绳子对折一次，从中间剪二刀，绳子会分成几段？
2.一根绳子对折，再对折，从中间剪一刀，绳子会分成几段？3.两根彩带，先对折，再对折，从中间剪开，分成几段？
[来源:学。科。网Z。X。X。K]练习题答案
练习 1
1.（1）
√
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
√
（2）
2.②最长，④最短
练习 2
1.同时到达 2.小猴 3.王叔叔
练习 3
1.①最长
2.②用的铁丝比较长
3.本题答案不唯一
练习 4
1.
×
1 个 角
×
2 个 角
×
× × ×
1个角 2个角 3个角 4个角
2.
3.
×
3 个 角
× ×
4 个
×
角
×
×
5 个 角
练习5
1.5段 2.5段 3.10 段
