文档内容
几何-曲线型几何-扇形-4 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
扇形 B 1.了解扇形的特征和有关概念 少考
2.能够通过圆的面积和周长公式推
导出扇形的面积和弧长公式
3.能够运用公式计算扇形的弧长、
面积和周长
知识提要
扇形
概念
圆上两点之间的部分叫做弧 。
扇形是指一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所形成的夹角称为扇形的圆心角。 公式
n
扇形的弧长= ×2πr
360
n
扇形的面积=
πr2
360
其中，n 表示圆心角的度数
注意：扇形的弧长不是周长，扇形的周长还需要加上两条半径。
精选例题
扇形
1. 如图，分别以 B，C 为圆心的两个半圆的半径都是 1 厘米，则阴影部分的周长是
厘米．（π 取 3）
【答案】 3
【分析】 BE，BC，CE 均为圆的半径，所以 △BCE 等边三角形，每个角均为 60
度，所以阴影部分的两段圆弧均 为 60 度的扇形所对应的圆弧，所以周长为
60 1
×π×d×2+1= ×3×2×2+1=3(厘米).
360 61
2. 如图，分别以长方形的一条长边的两个顶点为圆心，以长方形的宽为半径作 圆，若图中
4
的两个阴影部分的面积相等，则此长方形的长与宽的比值是 ．
【答案】 π:2
1
【分析】 因为 S =S ，两个 圆的面积
2 4 4
S +S +S +S =S +S +S +S
1 2 2 3 1 2 3 4
与长方形面积相等．
所以设长为 a，宽为 b，
1
πb2×2=ab,
4
πb=2a,
a:b=π:2.3. 如下图所示，平行四边形的长边是 6，短边是 3，高为 2.6，则阴影部分的面积为
．（π 取 3.14）
【答案】 15.9
【分析】 根据容斥的思想，
阴影的一半=大扇形+小扇形-平行四边形,
所以阴影面积为：
[1 ]
×3.14×(62+32 )-6×2.6 ×2=15.9.
64. 6 个半径相同的小圆和 1 个大圆如图摆放．大圆的面积是 120，那么，阴影部分面积是
．
【答案】 40
【分析】 设大圆半径和小圆半径分别为 R 和 r，画出大小圆半径会发现它们同处一
个正三角形，如下图，两条粗线分别为大圆直径和小圆直径，由正三角形性质和勾股定理，有
R2+r2=(2r) 2 ⇒R2=3r2,
这说明大圆面积和小圆面积是 3 倍关系，即小圆面积为 40；
由于三个小圆面积等于大圆面积，所以下图中红色部分面积等于灰色部分；如下图，可以看出，上图中的两种阴影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成 6 个 120
度扇形，总和为 2 个小圆，又因为两种阴影部分面积相等，所以所求面积为一个小圆面积
40．
5. 如图，直角三角形 ABC 中，∠B 为直角，且 BC=2 厘米，AC=4 厘米，则在将
△ABC 绕 C 点顺时针旋转 120∘ 的过程中，AB 边扫过图形的面积为 ．
（π≈3.14）
【答案】 12.56 平方厘米．【分析】 如下图所示，假设 △ABC 旋转 120∘ 到达 △AʹBʹC 的位置．阴影部分为
AB 边扫过的图形．
从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积
等于扇形 ACAʹ 的面积与 △ABC 的面积之和，空白部分面积等于扇形 BCBʹ 的面积与
△AʹBʹC 的面积，由于 △ABC 的面积与 △AʹBʹC 的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇
形 ACAʹ 与扇形 BCBʹ 的面积之差，为
120 120
×π×42- ×π×22=4π=12.56(平方厘米).
360 360
6. 如下图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，A´C=C´D=D´B，M 是 C´D 的中点，H 是
弦 CD 的中点．若 N 是 OB 上一点，半圆的面积等于 12 平方厘米，则图中阴影部分的
面积是 平方厘米．
【答案】 2
【分析】 连接 OC、OD、OH，由于 C、D 是半圆的两个三等分点 M 是 C´D
的中点，H 是弦 CD 的中点，可见这个图形是对称的．由对称性可知 CD 与 AB 平行，
由此可得：△CHN 的面积与 △CHO 的面积相等，所以，阴影部分面积等于扇形 COD 面1
积的一半，而扇形 COD 的面积又等于半圆面积的 ，所以，阴影部分面积等于半圆面积的
3
1 1
，为 12× =2(平方厘米)．
6 6
7. 如图，△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是 1 米．现在以 C 点为圆心，把
三角形 ABC 顺时针转 90 度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是 平
方米．（π≈3.14）
【答案】 0.6775
【分析】 如图，顺时针旋转后，A 点沿弧 AAʹ 转到 Aʹ 点，B 点沿弧 BBʹ 转到
Bʹ 点，D 点沿弧 DDʹ 转到 Dʹ 点．因为 CD 是 C 点到 AB 的最短线段，所以 AB 扫
过的面积就是图中的弧 AʹAB 与 BDDʹAʹ 之间的阴影图形．
S =S -S ,
阴影 半圆 空白
1 1
S =S +S = ×1×1= (平方米),
△ABC △BDC △ADʹC 2 2
1
S =S =CD2= (平方米),
△ABC 正方形ADCDʹ 2
所以，
π π 1 π
S = ×CD2= × = (平方米),
扇形DCDʹ 4 4 2 8
我们推知
π
S = ×BC2-S -(S +S )
阴影 2 扇形DCDʹ △BDC △ACDʹ
3π 1
¿ = -
8 2
¿ ¿8. 如图，边长为 12 米的正方形池塘的周围是草地，池塘边 A，B，C，D 处各有一根木桩，
且 AB=BC=CD=3 米．现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上（不计打结
处）．为使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在 处的木桩上．
【答案】 C
【分析】 在 A 点时活动区域的面积是一个半径为 4 米的半圆，即
1
×42×π=8π(平方米).
2
1
在 B、D 点时活动区域的面积都是一个半径为 4 米的半圆加一个 半径为 1 米
4
的圆．即
1 1 1
×42×π+ ×12×π=8 π(平方米).
2 4 4
3
在 C 点时活动区域的面积是 个半径为 4 米的圆，即
4
3
×42×π=12π(平方米).
4综上所述，拴在 C 处的木桩上时活动范围最大．
9. 如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？(π=3.14)
【答案】 7.125
【分析】 观察可知阴影部分是被以 AD 为半径的扇形、以 AB 为直径的半圆形和
对角线 BD 分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，如果能求出左下边空
白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，再观察可以发现左下边空白部分的面积就等
于三角形 ABD 的面积减去扇形 ADE 的面积，那么思路就很清楚了．
因为 ∠ADB=45∘，
45 45
所以扇形 ADE 的面积为： ×π×AD2= ×3.14×52=9.8125(平方厘米)，
360 360
1
那么左下边空白的面积为： ×5×5-9.8125=2.6875(平方厘米)，
2
1 (5) 2
又因为半圆面积为： ×π× =9.8125(平方厘米)，
2 2
所以阴影部分面积为：9.8125-2.6875=7.125(平方厘米)．
10. 如图，C、D 是以 AB 为直径的半圆的三等分点，O 是圆心，且半径为 6．求图中阴影
部分的面积．【答案】 6π
【分析】
如图，连接 OC、OD、CD．由于 C、D 是半圆的三等分点，所以 △AOC 和 △COD 都
是正三角形，那么 CD 与 AO 是平行的．所以 △ACD 的面积与 △OCD 的面积相等，那
1
么阴影部分的面积等于扇形 OCD 的面积，为 π×62× =6π．
6
11. （1）如图（1），一只小狗被拴在一个边长为 4 米的正方形的建筑物的顶点 A 处，四周
都是空地，绳长 8 米，小狗的活动范围是多少平方米？
（2）如图（2）小狗不是被拴在 A 处，而是在一边的中点 B 处，那么小狗的活动范围是多
少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π 取 3.14）
【答案】 （1）175.84；（2）163.28
【分析】 （1）如下左图，小狗的活动范围为圆心角为 270∘、半径为 8 米的扇形，
和两个圆心角为 90∘、半径为 4 米的扇形，总大小为
3 1
π×82+ ×π×42×2=56π=175.84(平方米).
4 4（2）如下右图，小狗的活动范围为半径是 8 米的半圆，和两个圆心角为 90∘、半径为 6 米
的扇形，以及两个圆心角为 90∘、半径为 2 米的扇形．总大小为
1 1 1
×π×82+ ×π×62×2+ ×π×22×2=52π=163.28(平方米).
2 4 4
12. 如图，边长为 3 的两个正方形 BDKE、正方形 DCFK 并排放置，以 BC 为边向内侧
作等边三角形，分别以 B、C 为圆心，BK、CK 为半径画弧．求阴影部分面积．（π=3.14
）
【答案】 8.58
【分析】 根据题意可知扇形的半径 r 恰是正方形的对角线，所以
r2=32×2=18,如上图将左边的阴影翻转右边阴影下部，
S =S -S
阴影 扇形 柳叶
¿ =18-3π
¿ ¿
13. 先做一个边长为 2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm 为半径作弧，形成曲
边三角形（如下图）．再准备两个这样的图形，把一个固定住（下图中的阴影），另一个围绕
着它滚动，如下图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少
平方厘米？（π≈3.14）【答案】 25.12cm2
【分析】 在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只
有大的方向确定了，才能实施具体的计算．在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性
质就是它在所有方向上的宽度都相同．
为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分 2 步来思考：
第 1 步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点 A 的上方滚动到顶点 A 的左边时，这时
阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以 A 为圆心、2cm 为半径、圆心角为 60∘ 的扇
形．在顶点 A、B、C 处各有这样的一个扇形；
第 2 步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边 AB 上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角
形”看作是以图⑶中 D 点为圆心的圆的一部分，这个圆在以 C 点为圆心的弧 AB 上滚动，
可知此时圆心 D 运动的轨迹是图⑶中的弧 DDʹ，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部
分面积是以 C 为圆心、4cm 为半径、圆心角为 60∘ 的扇形减去半径为 2cm 的 60∘ 的扇
形；
综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．
滚动时经过的面积是：3× ( π×22× 60 ) +3× ( π×42× 60 -π×22× 60 )
360 360 360 8π¿=¿25.12(cm2 ).¿
¿
14. 正三角形 ABC 的边长是 6 厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使 A 点再次落在这条
直线上，那么 A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是 15 平方
厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留 π）
【答案】 24π+15
【分析】 如下图所示，A 点在翻滚过程中经过的路线为两段 120∘ 的圆弧，所以路
线的总长度为：
120
2π×6× ×2=8π(厘米);
360
三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个 120∘ 的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：
120
π×62× ×2+15=24π+15(平方厘米)．
360
15. 如图，一只狗被栓在底座为边长 3 米的等边三角形建筑物的墙角上，绳长是 4 米，求狗
所能到的地方的总面积？【答案】 43.96 平方米．
【分析】 如下图，狗被栓在底座为边长 3 米的等边三角形建筑物的墙角上，绳长是
4 米，狗的活动区域可以分割成三个部分：
蓝色部分是一个半径为 4 米、圆心角为 300 度的扇形：
360-60=300(度)
红色部分是两个同样的边长为 1 米、圆心角为 120 度的扇形：
4-3=1(米),180-60=120(度)
所以狗能到的地方的总面积为：
300 120
3.14×4×4× +2×3.14×1×1× =43.96(平方米)
360 360
16. 一条直线上放着一个长和宽分别为 4 厘米和 3 厘米的长方形Ⅰ（如下图）．让这个长方
形绕顶点 B 顺时针旋转 90∘ 后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A 点到达 E 点的
位置．求 A 点经过的总路程的长度．（圆周率按 3 计算）【答案】 5
【分析】 如下图，A 点旋转所经过的为三段四分之一圆的弧长，其中 r =4,r =3．
1 3
由勾股定理知：
r 2=r2 +r 2=42+32=25,
2 1 3
则
r =5.
2
17. 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040 平方厘米，空白部分是 6
个半径为 10 厘米的小扇形．（圆周率取 3.14）【答案】 412 平方厘米
【分析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面
nπR2
积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式 S = ．
扇 360
可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为 60°，那么
∠AOC=120∘，又知四边形 ABCO 是平行四边形，所以 ∠ABC=120∘，这样就可求出扇
120
形的面积和为 6× ×π×102=628(平方厘米)，阴影部分的面积
360
=1040-628=412(平方厘米)．
18. 如图，在 3×3 方格表中，分别以 A、E、F 为圆心，半径为 3、2、1，圆心角都是
90∘ 的三段圆弧与正方形 ABCD 的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比
S :S =?
1 2
【答案】 5:3【分析】 如下图，
仔细观察图形不难发现带形 S 的面积等于曲边三角形 BCD 的面积减去曲边三角形
1
B CD 的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出．
1 1
所以，
S 的面积 = ( 32-π×32× 1) - ( 22-π×22× 1)
1 4 4
¿ ¿
同理可求得带形 S 的面积：带形 S 的面积 = 曲边三角形 B CD 的面积 - 曲边三角形
2 2 1 1
( π)
B CD 的面积 =3× 1- ；所以，S :S =5:3．
2 2 4 1 2
19. 已知三角形 ABC 是直角三角形，AC=4cm，BC=2cm，求阴影部分的面积．
【答案】 3.85cm2
【分析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形
ABC 的面积之差，所以阴影部分的面积为：
1 (4) 2 1 (2) 2 1
π× + π× - ×4×2=2.5π-4=3.85（cm2）．
2 2 2 2 220. 如图，ABCD 是平行四边形，AD=8cm，AB=10cm，∠DAB=30∘，高 CH=4cm，
弧 BE、DF 分别以 AB、CD 为半径，弧 DM、BN 分别以 AD、CB 为半径，则阴影部
分的面积为多少？（精确到 0.01）
【答案】 5.83cm2
【分析】 因为四边形 ABCD 是平行四边形，AD=8cm，AB=10cm，
∠DAB=30∘，所以
30∘ 25
S =S =102π× = π(cm2)，
扇形EAB 扇形FCD 360∘ 3
30∘ 16
S =S =82π× = π(cm2)．
扇形DAM 扇形BCN 360∘ 3
因为平行四边形 ABCD 的高 CH=4 cm，所以 S =10×4=40(cm2)．
▱ABCD
由图中可看出，扇形 EAB 与 FCD 的 面积之和，减去平行四边形 ABCD 的面积，
等于曲边四边形 DFBE 的面积；平行四边形 ABCD 的面积减去扇形 DAM 与扇形 BCN
的面积，等于曲边四边形 DMBN 的面积．则
S =S -S
阴影 曲边四边形DFBE 曲边四边形DMBN
=(2S -S )-(S -2S )
扇形EAB ▱ABCD ▱ABCD 扇形DAM
=2×(S +S -S )
扇形EAB 扇形DAM ▱ABCD
=2× (25 π+ 16 π-40 ) =2× (41 ×3.14-40 ) ≈5.83(cm2)．
3 3 3
21. 如图中三个圆的半径都是 5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．（π 取
3.14）【答案】 39.25(cm2 )
【分析】
将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为
5×5×3.14÷2=39.25(cm2 ).
22. 已知图中正方形的边长是 2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形的中心，
求图中阴影部分的面积．【答案】 2π-4
【分析】 r2=2，S =πr2-22=2π-4．
阴影
23. 如图，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10；以 A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形 AEF；
两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．
【答案】 400
【分析】 题目已经明确告诉我们 ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看
似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角 A 为 45 度，则扇
形所在圆的面积为扇形面积的 8 倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即1
S = ×10×10=50
扇形 2
则圆的面积为
50×8=400
24. 直角三角形 ABC 放在一条直线上，斜边 AC 长 20 厘米，直角边 BC 长 10 厘米．
如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕 A 点转动，到达位置Ⅱ，此时 B，C 点分别到达 B ，C
1 1
点；再绕 B 点转动，到达位置Ⅲ，此时 A，C 点分别到达 A ，C 点．求 C 点经 C
1 1 2 2 1
到 C 走过的路径的长．
2
65
【答案】 π 厘米．
3
【分析】 由于 BC 为 AC 的一半，所以 ∠CAB=30∘，则弧 C´C 为大圆周长的
1
180∘-30∘ 5 1
= ，弧 C´C 为小圆周长的 ，而 C´C +C´C 即为 C 点经 C 到 C 的
360∘ 12 1 2 4 1 1 2 1 2
路径，所以 C 点经 C 到 C 走过的路径的长为
1 2
5 1 50 65
2π×20× +2π×10× = π+5π= π(厘米).
12 4 3 3
25. 如图，一头山羊被拴在一个边长为 4 米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周都是
空旷，绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置，请问：山羊的活动范围有多少平方米？
（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，π 取 3）【答案】 98
【分析】 山羊的活动范围如图所示，绳长为 6 米，面积为
300 120 98π
×π×62+2× ×π×22= =98(平方米).
360 360 3
26. △ABC 为等腰直角三角形，D 为半圆中点，BC 为半圆直径．已知 AB=BC=10，那么
阴影部分面积为多少？（圆周率取 3.14）【答案】 32.125
【分析】 设 BC 中点为 O，连接 OD，则 OD=5，OB=5，
2 1 1 2
BP:PO=AB:OD=10:5=2:1，BP=5× =3 ，PO=OB-BP=5-3 =1 ，
3 3 3 3
1 1 1 2 1 2 1
S = ×AB×BP= ×10×3 =16 ，S = ×5×1 =4 ，
△ABP 2 2 3 3 △OPD 2 3 6
2 1 1 1 25
阴影部分的面积为 16 + ×π×52-4 =12 + π=32.125．
3 4 6 2 4
4
27. 如图，已知扇形 BAC 的面积是半圆 ADB 面积的 倍，则角 CAB 的度数是多少？
3
【答案】 60 度
1 π
【分析】 设半圆 ADB 的半径为 1，则半圆面积为 π×12= ，扇形 BAC 的面
2 2
π 4 2π n n 2π
积为 × = ．因为扇形 BAC 的面积为 πr2× ，所以，π×22× = ，得到
2 3 3 360 360 3
n=60，即角 CAB 的度数是 60 度．28. 如图所示，一个半径为 1 的圆绕着边长为 4 的等边三角形滚动一周又回到原来的位置时，
扫过的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 36.56
【分析】 扫过的面积为三个相同的长方形，加三个相同的圆心角为 120 度的扇形，
长方形总面积 2×4×3=24，扇形总面积为 12.56，所以，扫过的整个面积是 36.56．
29. 一只狗被拴在底座为边长 3m 的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是 4m，求
狗所能到的地方的总面积．（圆周率按 3.14 计算）【答案】 43.96m2
【分析】 如图所示，狗活动的范围是一个半径 4m，圆心角 300∘ 的扇形与两个半
径 1m，圆心角 120∘ 的扇形之和．所以答案是 43.96m2．
30. 面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的
面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 20
【分析】 阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形．这个图形可以割补成
一个顶角为 60∘ 的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分
的面积等于两个圆的面积，为 20．31. 如下图，以 OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以
O 点为中心旋转 90∘，问：三角形扫过的面积是多少？（π 取 3）
【答案】 99 平方厘米．
【分析】 从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个
三角形的面积与四分之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边 OA．
因此可以求得，三角形扫过的面积为：
1
24+ ×π×10×10=24+25π=99(平方厘米).
4
32. 图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）
【答案】 12.765
【分析】 如下图，为了方便说明标上字母，并称曲线四边形 BCFE 的面积为“①”．将扇形 ABC 的面积称为“大扇形”，扇形 CDF 的面积称为“小扇形”，长方形 BCDE
的面积称为“长方形”．
阴影部分面积=大扇形-①,①=长方形-小扇形.
所以有
阴影部分面积=大扇形-(长方形-小扇形)=大扇形+小扇形-长方形.
即
1 1
×52×π+ ×22×π-2×5≈29×3.14÷4-10=12.765(平方厘米).
4 4
33. 如图，ABCD 是一个长为 4，宽为 3，对角线长为 5 的正方形，它绕 C 点按顺时针方
向旋转 90∘，分别求出四边扫过图形的面积．
9π
【答案】 BC:
4
DC:4π
AB:4π
9π
AD:
4
【分析】 容易发现，DC 边和 BC 边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆
1
的 ，如图：
49π
因此 DC 边扫过图形的面积为 4π，BC 边扫过图形的面积为 ．
4
研究 AB 边的情况．
在整个 AB 边上，距离 C 点最近的点是 B 点，最远的点是 A 点，因此整条线段所扫过部
分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：
下面来求这部分的面积．
观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：
扇形 ACAʹ 面积 + 三角形 AʹBʹC 面积 - 三角形 ABC 面积一扇形 BCBʹ 面积 = 扇形
52π 32π
ACAʹ 面积一扇形 BCBʹ 面积 = - =4π．
4 4
研究 AD 边扫过的图形．
由于在整条线段上距离 C 点最远的点是 A，最近的点是 D，所以我们可以画出 AD 边扫
过的图形，如图阴影部分所示：52π 42π 9
用与前面同样的方法可以求出面积为： - = π，旋转图形的关键，是先从整体把握
4 4 4
一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具
体数据，一定要把思路捋清楚．最后会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，
一定会有．
34. 如图，直角 △ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米，∠ABC=60∘．此时 BC 长 5 厘米．
以 B 为中心，将 △ABC 顺时针旋转 120∘，点 A、C 分别到达点 E、D 的位置．求
AC 扫过图形的面积．（π 取 3）
【答案】 75 平方厘米．
【分析】1
扇形的面积 = π(AB2-AC2)
3
¿ =75(平方厘米).
35. 求下图中阴影部分的面积．（π 取 3）
【答案】 100 平方厘米
【分析】 看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差
来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手．这样，平移和旋转就成了我们首
选的方法．
（法 1）我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的 ①、② 部分面积之和即
可，其中 ①、② 面积相等．易知 ①、② 部分均是等腰直角三角形，但是 ① 部分的直角边
AB 的长度未知．单独求 ① 部分面积不易，于是我们将 ①、② 部分平移至一起，如右上图
所示，则 ①、② 部分变为一个以 AC 为直角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之一圆
的半径，所以有 AC=10．两个四分之一圆的面积和为 150，而 ①、② 部分的面积和为
1
×10×10=50，所以阴影部分的面积为
2
150-50＝100(平方厘米).（法 2）欲求图中阴影部分的面积，可将如上左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180∘，使 A
与 C 重合，从而构成如右上图的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰
直角三角形的面积．所以阴影部分面积为
1 1
×π×102- ×10×10=100(平方厘米).
2 2
36. 如图所示，一个半径为 1 的圆绕着边长为 4 的正方形滚动一周又回到原来的位置，扫过
的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 44.56
【分析】
两个半径为2的直角扇形+四个相同的长方形即为该圆扫过的面积，
1
×π×22×4+2×4×4=44.56．
437. 如图，AB 与 CD 是两条垂直的直径，圆 O 的半径为 15，AE´B 是以 C 为圆心，AC
为半径的圆弧．求阴影部分面积．
【答案】 225 平方厘米
【分析】 阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分
看成半圆加上三角形 ABC 再减去扇形 ACB 的结果．
1
半圆面积为
×π×152
，
2
三角形 ABC 面积为
1
×(15+15)×15=152,
2
1
又因为三角形面积也等于
×AC2
，
2
所以 AC2=2×152，
那么扇形 ACB 的面积为
90 1
×π×AC2= ×π×2×152.
360 4
阴影部分面积
S =S +S -S
阴影 半圆 三角形 扇形
¿ =225.
38. 如图所示，ABCD 是一边长为 4cm 的正方形，E 是 AD 的中点，而 F 是 BC 的中
点．以 C 为圆心、半径为 4cm 的四分之一圆的圆弧交 EF 于 G，以 F 为圆心、半径为
2cm 的四分之一圆的圆弧交 EF 于 H 点，若图中 S 和 S 两块面积之差为
1 2
mπ-n(cm2 )（其中 m、n 为正整数），请问 m+n 之值为何？【答案】 11
1
【分析】 （法1）S =2×4=8cm2，S = ×π×42=4π (cm2 )，
▱FCDE 扇形BCD 4
1
S = ×π×22=π (cm2 )，而
扇形BFH 4
S -S =S -S -S =4π-π-8=3π-8 (cm2 )，
1 2 扇形BCD 扇形BFH ▱FCDE
所以 m=3，n=8，m+n=3+8=11．
（法 2）如右上图，S+S =S -S =2×4-2×2×π÷4=8-π(cm2 )，
1 BFEA 扇形BFH
S+S =S -S =4×4-4×4×π÷4=16-4π (cm2 )，
2 ABCD 扇形BCD
所以，S -S =(8-π)-(16-4π)=3π-8 (cm2 )，故 m+n=3+8=11．
1 2
39. 已知半圆所在的圆的面积为 62.8 平方厘米，求阴影部分的面积．（π=3.14）【答案】 5.7 平方厘米
【分析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．
从图中可以看出，阴影部分的面积是一个 45∘ 的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．
由于半圆的面积为 62.8 平方厘米，所以 OA2=62.8÷3.14=20．
因此
S =OA×OB÷2=OA2÷2=10(平方厘米).
△AOB
由于 △AOB 是等腰直角三角形，所以 AB2=20×2=40．
因此
$\begin{split}\text{扇形 $ ABC $ 的面积} &= {\rm \pi} \times {AB^2} \times \dfrac{{45}}{{360}}
\\&= {\rm \pi} \times 40 \times\dfrac{{45}}{{360}} \\&= 15.7\text{(平方厘米)}.\end{split}$
所以，阴影部分的面积等于：15.7-10=5.7(平方厘米)．
40. 在半径为 1 的圆内，画 13 个点，其中任意 3 点不共线．请证明：一定存在 3 个点，
π
以它 们为顶点的三角形面积小于 ．
6
【答案】 略
π
【分析】 证明：将半径为 1 的圆八等分，分为六个扇形，每个扇形的面积是 ，根
6
据抽屉原理，至少有三个点在同—部分中，这三个点组成的三角形不会大于所在的扇形，即
π
．
6
41. 如图所示，阴影部分的面积为多少？（圆周率取 3）27
【答案】
16
【分析】 图中 A、B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的 A、B 的面积．
9 27
所以 S +S =(1.52π-1.5×3)÷4+(32π-3×3×2)÷8= ÷4+9÷8= ．
A B 4 16
42. 如图中的三角形都是等腰直角三角形，求各图中阴影部分的面积．（π 取 3.14）
【答案】 4;4.56;8
【分析】 （1）割补法，将右边的弓形补到左边，两块阴影面积之和恰好为等腰直角
三角形面积的一半．即 4×4÷2÷2=4．
（2）割补法，如图，将图中的叶子形从中间分成面积相等的两个小弓形，阴影部分可拼成一
1 1
个完整弓形，面积为 ×4×4×3.14- ×4×4=4.56．
4 2
（3）割补法，正好是把第二问的过程反过来，把两个小弓形补到空白部分，阴影部分面积之
和正好是等腰直角三角形的面积，即 4×4÷2=8．
43. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，分别以 B、D 为圆心以 4 厘米为半径在正方
形内画圆．求阴影部分面积．（π 取 3）【答案】 8
【分析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从
图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．
解法一：把两个扇形放在一起得到 1 个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．
1
则阴影部分的面积为 = ⋅π⋅42-4×4=8；
2
解法二：连接 AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，
1
所以阴影部分面积 = 2×( ⋅π⋅42-4×4÷2)=8．
4
44. 如图，正方形边长为 1，正方形的 4 个顶点和 4 条边分别为 4 个圆的圆心和半径，求
阴影部分面积．（π 取 3.14）
【答案】 7.14
【分析】 把中间正方形里面的 4 个小阴影向外平移，得到如下图所示的图形，可见，
阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个 90∘ 的扇形的面积之和，所以，S =4×S +4×S
阴影 ▫ 1
圆
4
¿
=4×12+π×12
¿ ¿
45. 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为 12，那么阴影部分面积是多少？（π
取 3.14）
【答案】 阴影部分面积为 113.04．
【分析】 方法一：设小正方形的边长为 a，则三角形 ABF 与梯形 ABCD 的面积
均为
(a+12)×a÷2.
阴影部分为：
大正方形+梯形-三 角 形A-右BF上角不规则部分 1
大正方形-右上角不规则部分¿=¿ 圆.¿
¿ 4
因此阴影部分面积为：
3.14×12×12÷4=113.04.
方法二：连接 AC、DF，设 AF 与 CD 的交点为 M，由于四边形 ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶
模型有 S =S ，所以
△ADM △CMF
S =S =3.14×12×12÷4=113.04.
阴影 扇形DCF
46. 图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是 4，阴影部分
的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 4.56
【分析】 如下图所示，将下图阴影部分对折，则有：阴影部分面积为：
1 1
π×42- ×4×4=4π-8=4.56.
4 247. 如图（1）是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径．如图（2）所示，让 A 点不动，
把整个半圆逆时针转 60∘，此时 B 点移动到 C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方
厘米？（π 取 3.14）
【答案】 4.71 平方厘米
【分析】 图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个
半圆面积与一个圆心角为 60∘ 的扇形面积之和．因此阴影面积等于圆心角为 60∘ 的扇形面积，
1
即
×π×32=4.71．
6
48. 如图所示，一块半径为 2 厘米的圆板，从位置 ① 起始，依次沿线段 AB、BC、CD 滚
到位置 ②．如果 AB、BC、CD 的长都是 20 厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方
厘米？（π 取 3.14，答案保留两位小数．）【答案】 228.07
【分析】 小圆滚动时所经过的区域如下图所示．
半圆 FEQ、半圆 JKL 的面积之和是 4π 平方厘米；长方形 FGBQ、BHIP、IJLM 的面
积之和是
(18+16+14)×4=192(平方厘米);
60∘ 的扇形 BGH 的面积为
1 8π
×42×π= ;
6 3
PIMNO 部分的面积为 (12+π) 平方厘米．
所以总面积为
8π 23
4π+192+ +12+π=204+ π≈228.07(平方厘米).
3 3
49. 在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和 4，求两个阴影部分的面积差．（圆周率
取 3.14）【答案】 1.42
【分析】 看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再
扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么
它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：
π π
×4×4- ×2×2-4×2=3×3.14-8=1.42．
4 4
50. 如图是一个直径为 3cm 的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针方向旋转 60∘，此时
B 点移动到 Bʹ 点，求阴影部分的面积．（图中长度单位为 cm，圆周率按 3 计算）．
【答案】 4.5cm2
【分析】 面积 = 圆心角为 60∘ 的扇形面积 + 半圆 - 空白部分面积（也是半圆）=
60 3
圆心角为 60∘ 的扇形面积 = ×π×32= π=4.5(cm2 )．
360 2
51. 如图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm 和 3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好
是 5cm．让这个长方形绕顶点 B 顺时针旋转 90∘ 后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，
点 A 到达点 E 的位置．求点 A 走过的路程的长．【答案】 6πcm
【分析】 因为长方形旋转了三次，所以 A 点在整个运动过程中也走了三段路程（如
下图所示）．
这三段路程分别是：
第 1 段是弧 A A ，它的长度是
1
1
2×π×4× ;
4
第 2 段是弧 A A ，它的长度是
1 2
1
2×π×5× ;
4
第 3 段是弧 A E，它的长度是
2
1
2×π×3× ;
4
所以 A 点走过的路程长为：
1 1 1
2×π×4× +2×π×5× +2×π×3× =6π(cm).
4 4 4
52. 求下列各图中阴影部分的面积（π=3）
（1）（2）
（3）
（4）
（5）（6）
【答案】 （1）4.5（2）4（3）1（4）2（5）1.5（6）4.5
【分析】 略
53. 平面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分
的面积是多少？
【答案】 20
【分析】 题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与 6 个下图阴影部分的面积和．而图形 ① 可以通过割补得到图形 ②，
1
而图形 ② 是一个圆心角为 60∘ 的扇形，即 圆．
6
1
所以，原题图中阴影部分面积为 1 个完整圆与 6 个 圆，即 2 个圆的面积．
6
即原题图中阴影部分面积为 2×10=20.
54. 左图是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径．让 A 点不动，把整个半圆逆时针转 60∘，
此时 B 点移动到 C 点，如右图所示．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π 取
3.14．）
【答案】 略
【分析】 右图中阴影部分面积等于以 AC 为直径的半圆以及以 AC 为半径的 60∘
扇形的面积和减去以 AB 为直径的半圆面积．
那么阴影部分的面积等于以 AC 为半径的 60∘ 扇形的面积，即
60
×32×π≈1.5×3.14=4.71(平方厘米).
36055. 如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米，∠ABC=60∘，此时 BC 长5
厘米．以点 B 为中心，将 △ABC 顺时针旋转 120∘，点 A、C 分别到达点 E、D 的位置．
求 AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积．（π 取 3）
【答案】 75 平方厘米
【分析】 注意分割、平移、补齐．
如图所示，将图形（1）移补到图形（2）的位置，
因为 ∠EBD=60∘，那么 ∠ABE=120∘，
1
则阴影部分为一圆环的 ．
3
1
所以阴影部分面积为
×π×(AB2-BC2)=75(平方厘米)．
3
56. 一只小狗被拴在一个边长为 4 米的正五方形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳
长刚好够小狗走到建筑物外的墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不
可逾越，小狗身长忽略不计，π 取 3.14）【答案】 270.04 平方米．
【分析】
根据题意，如上图所示，由对称性，小狗最远活动点是 A 点，故绳长为 10 米，所以其活动
的范围是：
1 72 72×2 72×2
S = π×102+ π×102+ π×62+ π×22
2 360 360 360
= 86π
= 270.04(平方米).
57. 求图中阴影部分的面积．（π 取 3.14）【答案】 107
【分析】 我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的 ①、② 部分面
积和即可，其中 ①、② 面积相等．
易知 ①、② 部分均是等腰直角三角形，但是 ① 部分的直角边 AB 的长度未知．单独求 ①
部分面积不易，于是我们将 ①、② 部分平移至一起，如下图所示，则 ①、② 部分变为一个
以 AC 为直角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之一圆的半径，所以有 AC=10．
两个四分之一圆的面积和为
1
2× ×102×π≈50×3.14=157,
4
而 ①、② 部分的面积和为
1
×10×10=50,
2
所以阴影部分的面积为
157-50=107(平方厘米).
58. 如图，等腰直角三角形的一腰的长是 8 厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么
阴影部分的面积共有多少平方厘米？（π 取 3.14）【答案】 18.24
【分析】 如下图，我们将原题中阴影部分分成 ①、②、③、④ 4 个部分，并且这
4 个部分的面积相等．
有 ②、③ 部分的面积和为二分之一圆的面积与其内等腰直角三角形的面积差．
二分之一圆的面积为
1
×4×4×π≈8×3.14=25.12.
2
其内等腰直角的底为 8，高为 4，所以其面积为
1
×8×4=16,
2
所以 ②、③ 部分的面积和为
25.12-16=9.12(平方厘米).
而 ①、②、③、④ 四部分的面积和为 ②、③ 部分的面积和的 2 倍，即为
9.12×2=18.24(平方厘米).
所以，原题中阴影部分的面积共有 18.24 平方厘米．
