文档内容
几何-曲线型几何-扇形-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
扇形 B 1.了解扇形的特征和有关概念 少考
2.能够通过圆的面积和周长公式推
导出扇形的面积和弧长公式
3.能够运用公式计算扇形的弧长、
面积和周长
知识提要
扇形
概念
圆上两点之间的部分叫做弧 。
扇形是指一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所形成的夹角称为扇形的圆心角。 公式
n
扇形的弧长= ×2πr
360
n
扇形的面积=
πr2
360
其中，n 表示圆心角的度数
注意：扇形的弧长不是周长，扇形的周长还需要加上两条半径。
精选例题
扇形
1. 先做一个边长为 2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm 为半径作弧，形成曲
边三角形（如下图）．再准备两个这样的图形，把一个固定住（下图中的阴影），另一个围绕
着它滚动，如下图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少
平方厘米？（π≈3.14）
【答案】 25.12cm2
【分析】 在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只
有大的方向确定了，才能实施具体的计算．在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性
质就是它在所有方向上的宽度都相同．
为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分 2 步来思考：
第 1 步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点 A 的上方滚动到顶点 A 的左边时，这时
阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以 A 为圆心、2cm 为半径、圆心角为 60∘ 的扇
形．在顶点 A、B、C 处各有这样的一个扇形；
第 2 步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边 AB 上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角
形”看作是以图⑶中 D 点为圆心的圆的一部分，这个圆在以 C 点为圆心的弧 AB 上滚动，
可知此时圆心 D 运动的轨迹是图⑶中的弧 DDʹ，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部
分面积是以 C 为圆心、4cm 为半径、圆心角为 60∘ 的扇形减去半径为 2cm 的 60∘ 的扇
形；
综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．
滚动时经过的面积是：
3× ( π×22× 60 ) +3× ( π×42× 60 -π×22× 60 )
360 360 360 8π¿=¿25.12(cm2 ).¿
¿
2. 如图，直角三角形 ABC 中，∠B 为直角，且 BC=2 厘米，AC=4 厘米，则在将
△ABC 绕 C 点顺时针旋转 120∘ 的过程中，AB 边扫过图形的面积是多少？（π=3.14）【答案】 12.56 平方厘米
【分析】 如右上图所示，假设 △ABC 旋转 120∘ 到达 △AʹBʹC 的位置．阴影部分
为 AB 边扫过的图形．
从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积
等于扇形 ACAʹ 的面积与 △ABC 的面积之和，空白部分面积等于扇形 BCBʹ 的面积与
△AʹBʹC 的面积，由于 △ABC 的面积与 △AʹBʹC 的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇
形 ACAʹ 与扇形 BCBʹ 的面积之差，为
120 120
×π×42- ×π×22=4π=12.56(平方厘米)．
360 360
3. 如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？(π=3.14)
【答案】 7.125
【分析】 观察可知阴影部分是被以 AD 为半径的扇形、以 AB 为直径的半圆形和
对角线 BD 分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，如果能求出左下边空
白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，再观察可以发现左下边空白部分的面积就等
于三角形 ABD 的面积减去扇形 ADE 的面积，那么思路就很清楚了．
因为 ∠ADB=45∘，45 45
所以扇形 ADE 的面积为： ×π×AD2= ×3.14×52=9.8125(平方厘米)，
360 360
1
那么左下边空白的面积为： ×5×5-9.8125=2.6875(平方厘米)，
2
1 (5) 2
又因为半圆面积为： ×π× =9.8125(平方厘米)，
2 2
所以阴影部分面积为：9.8125-2.6875=7.125(平方厘米)．
4. 一只狗被拴在底座为边长 3m 的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是 4m，求狗
所能到的地方的总面积．（圆周率按 3.14 计算）
【答案】 43.96m2
【分析】 如图所示，狗活动的范围是一个半径 4m，圆心角 300∘ 的扇形与两个半
径 1m，圆心角 120∘ 的扇形之和．所以答案是 43.96m2．5. 如图，△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是 1 米．现在以 C 点为圆心，把
三角形 ABC 顺时针转 90 度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是 平
方米．（π=3.14）
【答案】 0.6775
【分析】 如图，顺时针旋转后，A 点沿弧 AAʹ 转到 Aʹ 点，B 点沿弧 BBʹ 转到
Bʹ 点，D 点沿弧 DDʹ 转到 Dʹ 点．因为 CD 是 C 点到 AB 的最短线段，所以 AB 扫
过的面积就是图中的弧 AʹAB 与 BDDʹAʹ 之间的阴影图形．
S =S -S
阴影 半圆 空白
1 1
S =S +S = ×1×1= (平方米),
△ABC △BDC △ADʹC 2 2
1
S =S =CD2= (平方米),
△ABC 正方形ADCDʹ 2
所以，
π π 1 π
S = ×CD2= × = (平方米),
扇形DCDʹ 4 4 2 8
我们推知
π
S = ×BC2-S -(S +S )
阴影 2 扇形DCDʹ △BDC △ACDʹ
3π 1
¿ = -
8 2
¿ ¿6. 如图，边长为 3 的两个正方形 BDKE、正方形 DCFK 并排放置，以 BC 为边向内侧
作等边三角形，分别以 B、C 为圆心，BK、CK 为半径画弧．求阴影部分面积．（π=3.14
）
【答案】 8.58
【分析】 根据题意可知扇形的半径 r 恰是正方形的对角线，所以
r2=32×2=18,如上图将左边的阴影翻转右边阴影下部，
S =S -S
阴影 扇形 柳叶
¿ =18-3π
¿ ¿
7. 面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的
面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 20
【分析】 阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形．这个图形可以割补成
一个顶角为 60∘ 的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分
的面积等于两个圆的面积，为 20．8. 如图所示，ABCD 是一边长为 4cm 的正方形，E 是 AD 的中点，而 F 是 BC 的中
点．以 C 为圆心、半径为 4cm 的四分之一圆的圆弧交 EF 于 G，以 F 为圆心、半径为
2cm 的四分之一圆的圆弧交 EF 于 H 点，若图中 S 和 S 两块面积之差为
1 2
mπ-n(cm2 )（其中 m、n 为正整数），请问 m+n 之值为何？【答案】 11
1
【分析】 （法1）S =2×4=8cm2，S = ×π×42=4π (cm2 )，
▱FCDE 扇形BCD 4
1
S = ×π×22=π (cm2 )，而
扇形BFH 4
S -S =S -S -S =4π-π-8=3π-8 (cm2 )，
1 2 扇形BCD 扇形BFH ▱FCDE
所以 m=3，n=8，m+n=3+8=11．
（法 2）如右上图，S+S =S -S =2×4-2×2×π÷4=8-π(cm2 )，
1 BFEA 扇形BFH
S+S =S -S =4×4-4×4×π÷4=16-4π (cm2 )，
2 ABCD 扇形BCD
所以，S -S =(8-π)-(16-4π)=3π-8 (cm2 )，故 m+n=3+8=11．
1 2
9. 如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米，∠ABC=60∘，此时 BC 长5
厘米．以点 B 为中心，将 △ABC 顺时针旋转 120∘，点 A、C 分别到达点 E、D 的位置．
求 AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积．（π 取 3）
【答案】 75 平方厘米
【分析】 注意分割、平移、补齐．如图所示，将图形（1）移补到图形（2）的位置，
因为 ∠EBD=60∘，那么 ∠ABE=120∘，
1
则阴影部分为一圆环的 ．
3
1
所以阴影部分面积为
×π×(AB2-BC2)=75(平方厘米)．
3
10. 如图，ABCD 是一个长为 4，宽为 3，对角线长为 5 的正方形，它绕 C 点按顺时针方
向旋转 90∘，分别求出四边扫过图形的面积．
9π
【答案】 BC:
4
DC:4π
AB:4π
9π
AD:
4
【分析】 容易发现，DC 边和 BC 边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆
1
的 ，如图：
49π
因此 DC 边扫过图形的面积为 4π，BC 边扫过图形的面积为 ．
4
研究 AB 边的情况．
在整个 AB 边上，距离 C 点最近的点是 B 点，最远的点是 A 点，因此整条线段所扫过部
分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：
下面来求这部分的面积．
观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：
扇形 ACAʹ 面积 + 三角形 AʹBʹC 面积 - 三角形 ABC 面积一扇形 BCBʹ 面积 = 扇形
52π 32π
ACAʹ 面积一扇形 BCBʹ 面积 = - =4π．
4 4
研究 AD 边扫过的图形．
由于在整条线段上距离 C 点最远的点是 A，最近的点是 D，所以我们可以画出 AD 边扫
过的图形，如图阴影部分所示：
52π 42π 9
用与前面同样的方法可以求出面积为： - = π，旋转图形的关键，是先从整体把握
4 4 4
一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具
体数据，一定要把思路捋清楚．最后会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，
一定会有．11. 如图所示，一块半径为 2 厘米的圆板，从位置 ① 起始，依次沿线段 AB、BC、CD 滚
到位置 ②．如果 AB、BC、CD 的长都是 20 厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方
厘米？（π 取 3.14，答案保留两位小数．）
【答案】 228.07
【分析】 小圆滚动时所经过的区域如下图所示．
半圆 FEQ、半圆 JKL 的面积之和是 4π 平方厘米；长方形 FGBQ、BHIP、IJLM 的面
积之和是
(18+16+14)×4=192(平方厘米);
60∘ 的扇形 BGH 的面积为
1 8π
×42×π= ;
6 3
PIMNO 部分的面积为 (12+π) 平方厘米．
所以总面积为
8π 23
4π+192+ +12+π=204+ π≈228.07(平方厘米).
3 3
