一 图形的运动(二)
一、轴对称图形①
1. 轴对称图形:如果把一个图形沿一条直线对折,折痕两旁的部分能够完全重合,这个图形
就是轴对称图形,这条折痕所在的直线就是它的对称轴。
2. 用折纸的办法判断正方形、等边三角形、等腰梯形、长方形和圆有几条对称轴。②
3. 轴对称图形的特征。
(1)将轴对称图形沿其对称轴对折后,互相重合的点叫做对称点。
(2)轴对称图形的特征:对称点到对称轴的距离相等。
4. 在方格纸上画轴对称图形的方法。③
(1)确定已知图形的关键点。
(2)数出关键点到对称轴的距离。
(3)在对称轴的另一端描出关键点的对称点。
(4)按照已知图形的形状连接各对称点,即可画出已知图形的轴对称图形。
二、平移④
1. 平移:物体或图形在同一平面内沿直线的运动。
2. 判断一个图形是否可以通过平移得到另一个图形,先看这两个图形的大小、形状是否完
全相同,再看两个图形的方向是否一致。
3. 一个图形通过平移得到另一个图形的方法。
①
要点提示:
平行四边形不是轴对称图形。
② 易错题:
判断:正方形中的两条对称轴是正方形的对角线。 ()
错因分析:对称轴是直线,而正方形的对角线是线段。
正确答案:✕
③ 重点提示:一般情况下,图形的关键点是线段的各个端点。
④ 要点提示:
物体或图形平移后,本身的大小、形状和方向都不发生改变,只有位置发生改变。⑤(1)确定平移的方向。
(2)确定平移的方格数,即对应点或对应线段之间的方格数。
4. 在方格纸上画简单图形平移后的图形。
(1)找出图形的关键点(关键线段)。
⑥(2)以关键点(关键线段)为参照点,数出平移的方格数,按平移方向描出各对应点(对应线
段)。
(3)把各对应点(对应线段)按原图形的形状连接起来。
三、旋转⑦
1. 旋转:物体或图形绕着一个点(或一个轴)的运动。
2. 旋转的特征:物体在旋转过程中,大小、形状都没有发生变化,只是位置发生了变化。
3. 旋转的方向:物体的旋转方向和表针的转动方向一致,叫做顺时针旋转;物体的旋转方向
和表针的转动方向相反,叫做逆时针旋转。
顺时针 逆时针
4. 物体旋转的三要素:旋转点、旋转方向和旋转角度。
5. 在方格纸上画简单图形旋转90°后的图形的方法:(1)确定旋转点、旋转方向和旋转角
度。
(2)确定旋转后图形的各个对应点的位置。
⑤ 易错题:
如下图,图形①向右平移(6)个方格得到图形②。
⑥ 错因分析:此题错在把图形平移前、后之间的距离当成了平移的距离。应用图①中的
某一点(某一线段)平移前、后的位置变化来判断。
正确答案:10
⑦ 重点提示:
物体旋转时,都是绕着一个固定点(或轴)按一定的方向和角度进行的。(3)顺次连接各对应点。
四、设计图案⑧
利用平移、旋转或轴对称的方法设计图案。
二 异分母分数加减法
一、真分数与假分数⑨
4 3 5
1. 真分数:分子比分母小的分数,真分数都小于1。如 、 、 。
5 20 7
5 7
2. 假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,假分数大于1或等于1。如 、 、
5 5
9
。
8
3. 带分数:一个整数(0除外)和一个真分数合成的数。读带分数时,先读整数部分,再读分
4
数部分,中间加“又”字。如4 读作四又五分之四。带分数的写法,先写整数部分,再写分
5
数部分,分数部分的分数线与整数的中间对齐。
⑧ 要点提示:
在设计复杂的图案时,可以利用多种图形的变换方式进行设计。
⑨
重点提示:
1. 真分数小于1;假分数大于1或等于1。
2. 读带分数时,“又”字前面是整数部分,“又”字后面是分数部分。⑩4. 把整数化成假分数:整数(0除外)可以化成分母是任意自然数(0除外)的假分数,即用
4×5 20
指定的分母作分母,用分母和整数相乘的积作分子。如4= = 。
5 5
5. 把假分数化成带分数或整数的方法:用分子除以分母,当分子是分母的整数倍时,能化成
整数,商就是这个整数;当分子不是分母的整数倍时,能化成带分数,商是带分数的整数部分,
12 15 3
余数是分数部分的分子,分母不变。如 =12÷3=4, =15÷4=3 。
3 4 4
6. 把带分数化成假分数时,用原来的分母作分母,用整数和分母相乘的积再加上原来的分
子作分子。
4 3×5+4 19
如3 = = 。
5 5 5
二、分数的大小比较⑪
1 2
1. 公分母:把异分母分数化成同分母分数,这个相同的分母叫做它们的公分母。如把 和
2 3
化成同分母分数,分母是6,6是这两个分数的公分母。
2. 公倍数:两个数或几个数公有的倍数叫做它们的公倍数。如6是2的倍数,也是3的倍
数,6就是2和3的公倍数。
3. 通分:把异分母的分数化成和原来分数相等的同分母的分数,叫做通分。
4. 通分的方法:通分时,用原分母的公倍数作公分母,通常选用最小公倍数作公分母,然后
把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
⑫5. 异分母分数比较大小的方法:先通分,再比较大小。
6. 公倍数和最小公倍数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
⑩ 易错题:
判断:假分数一定大于1,真分数一定小于1。()
错因分析:此题错在没有理解假分数的特征,当假分数的分子和分母相等时,它的分数值是1,
因此假分数一定大于1是错误的。
正确答案:✕
⑪ 易错题:
判断:通分时分数值变大,约分时分数值变小。()
错因分析:无论是通分还是约分,依据的是分数的基本性质,分数的大小不变。
正确答案:✕
⑫ 重点提示:
一个数的倍数的个数是无限的,因此两个数的公倍数的个数也是无限的,只有最小的公倍数,
没有最大的公倍数。如4的倍数:4、8、12、16、20、24……
6的倍数:6、12、18、24……
⑬在4和6的倍数中12和24是4和6的公倍数,其中12是最小的,是4和6的最小公倍数。
7. 有特殊关系的两个数的最小公倍数。
(1)两个数,如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如6和
2,6是2的倍数,那么6是6和2的最小公倍数。
(2)如果两个数只有公因数1,那么这两个数相乘的积就是它们的最小公倍数。如4和5只
有公因数1,那么它们的最小公倍数是4×5=20。
⑭8. 用短除法求两个数的最小公倍数的方法。
先用两个数公有的质因数(一般从最小的开始)依次作为除数连续去除这两个数,一直除到
所得的商只有公因数1为止,再把所有的除数和最后所得的商连乘,所得的积就是这两个数
的最小公倍数。
如求4和6的最小公倍数。
4和6的最小公倍数是2×2×3=12。
9. 求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法的异同。
相同点:用两个数公有的质因数(一般从最小的开始)依次作为除数连续去除这两个数,一直
除到所得的商只有公因数1为止。
不同点:用短除法求两个数的最大公因数时,要将所有的除数连乘;用短除法求两个数的最
小公倍数时,要将所有的除数和最后的商连乘。
三、分数和小数互化⑮
⑬ 易错题:
判断:两个数的公倍数一定比这两个数都大。()
错因分析:此题忽略了当两个数成倍数关系时,它们的最小公倍数是较大数的情况。
正确答案:✕
⑭ 易错题:用短除法求12和16的最小公倍数。
12和16的最小公倍数是2×2=4。
错因分析:此题混淆了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。用短除法求
两个数的最小公倍数时,要将所有的除数和最后的商连乘。
正确答案:
12和16的最小公倍数是2×2×3×4=48。
⑮ 方法提示:1. 把分数化成小数:用分子除以分母,除不尽的用“四舍五入”法按要求保留小数的位数,
5 1
取近似值后要用约等号连接。如 =5÷8=0.625; =1÷6≈0.17。
8 6
2. 把小数化成分数:根据小数的意义,有限小数可以直接写成分母是10、100、1000……
的分数,原来有几位小数,就在1的后面写几个0作分母,把原来的小数去掉小数点后作分
子,能约分的要约分,化成最简分数。如果需要化成假分数,先把小数化成带分数,再化成假
625 5 5 29
分数。如3.625=3+ =3+ =3 = 。
1000 8 8 8
3. 能化成有限小数的分数的特征:分母中只含有质因数2和5的数能化成有限小数;分母
中除了2和5以外还有其他质因数的不能化成有限小数。
四、异分母分数加减
⑯1. 异分母分数加减法的计算方法:分母不同的分数相加减,要先通分,化成同分母的分数,
再按照同分母分数加减法的计算方法进行计算。
2. 异分母分数连加的计算方法:可以先把几个分数一次性通分,再相加,也可以应用加法的
运算定律进行计算。
3. 整数加减法的运算定律在分数加减法中同样适用。
4. 异分母分数加减法的运算顺序:与整数加减法的运算顺序相同。没有括号的算式,按照
从左到右的顺序计算,有括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。
⑰五、公交车上的数学
1. 运用时间、最小公倍数等知识求出两路公交车同时发车的时刻。
2. 运用时间等知识计算公交车每天卖票的收入。
三 长方体和正方体
把分数化成小数的两种情况:
2 7
1. 分子除以分母能除尽,得到有限小数。如 =0.4、 =0.875。
51 8 1
2. 分子除以分母除不尽,得到无限小数。如 =0.142857142857…… =0.111……
7 9
⑯ 易错题:
3 3 6 1
+ = =
5 7 12 2
错因分析:此题错在没有通分,直接把分子和分母分别相加了。
3 3 21
正确答案: + = +
15 36 5 7 35
=
35 35
⑰ 重点提示:
学数学要有运用意识,把所学的知识应用到生活中去解决身边的问题。一、长方体和正方体的特征⑱
1. 认识长方体和正方体的面、棱、顶点。
2. 长方体和正方体面的特征。
(1)长方体有6个面,分别是上面、下面、左面、右面、前面、后面。上、下,左、右,前、
后分别是一组相对的面。相对的面完全相同。
(2)正方体的6个面都完全相同。
3. 长方体和正方体顶点和棱的特征。
⑱
知识拓展:
1. 把长方体放在一个平面上观察,最多能同时看到3个面。
2. 一个长方体最多有两个面是正方形。
3. 正方体的棱长总和=棱长×12
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4长方体:有12条棱,分成3组,每组4条棱的长度相等。相交于一个顶点的三条棱的长度,
分别叫做长方体的长、宽、高;有8个顶点。
正方体:有12条棱,都相等;有8个顶点。
4. 从长方体和正方体的对比中可以看出,正方体具备了长方体所有的特征,因此正方体可
以看成是长、宽、高都相等的长方体,可以用下图表示长方体和正方体的关系。
5. 长方体和正方体的异同点。
⑲
相同点 不同点
名称 面的
面 棱 顶点 面积 棱长
形状
长方形
(最多有
相对的 相对的
12 8个 两个相
长方体 6个面 面的面 棱长度
条棱 顶点 对的面
积相等 相等
是正
方形)
⑲
重点提示:
沿不同的棱将长方体(或正方体)剪开,展开后的平面图形一般不相同。6个面 12条棱
12 8个
正方体 6个面 正方形 的面积 的长度
条棱 顶点
都相等 都相等
二、长方体和正方体的展开图
⑳
长方体展开图 正方体展开图
三、长方体和正方体的表面积
1. 长方体六个面的总面积叫做长方体的表面积。
2. 长方体相对的面相等,所以长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。
3. 正方体六个面的总面积叫做正方体的表面积。
4. 正方体的六个面都相等,所以正方体的表面积=棱长×棱长×6。
四、解决问题
1. 求粉刷房间的面积时,先确定好粉刷几个面,再扣除门窗等的面积。
2. 解决生活中的实际问题时,所要求的长方体并不一定都有6个面,如长方体鱼缸只有5
个面,长方体通风管只有4个面……计算时要根据实际条件和题中的要求求解。
五、包装扑克
1. 探索怎样包装6盒扑克用的包装纸最少时,要把6盒扑克实际摆一摆,通过实际拼摆与
比较,发现将6盒扑克摞在一起摆6层,最节省包装纸。
2. 探索怎样包装8盒扑克用的包装纸最少时,要把8盒扑克实际摆一摆,通过实际拼摆与
比较,发现将8盒扑克最大的面叠放在一起时,用的包装纸最少。
⑳
易错题:
判断:底面积和高分别相等的两个长方体,它们的形状一定相同。()
错因分析:底面积相等,形状未必相同,如底面积是12,长和宽可能分别是6和2,也可能分别是
4和3。
正确答案:✕
知识巧记:
包装用料求面积,意义方法要牢记,前后单位要统一,还要把面数清楚,六面齐全容易算,六面
不全也不难,要么数清几个面,几面一合是答案,要么就看缺几面,再从六面里面减。
要点提示:在比较节省包装纸的实验时,可以将扑克的包装方式,扑克摆出的长、宽、高及表
面积列在表格里,便于比较。四 分 数 乘 法
一、分数乘整数的意义和方法㉑
1. 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求几个相同加数的和的运算。
2. 分数乘整数,用分子乘整数的积作分子,分母不变。
2 2×2 4
如 ×2= = 。
7 7 7
二、求一个数的几分之几是多少
求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。
1
每千克草莓5元,买 千克草莓应付多少元?根据“单价×数量=总价”用乘法计算。
2
1 1
列式为5× 的意义就是求5元的 是多少。
2 2
1 5×1 5
5× = = =2.5(元)。
2 2 2
三、分数乘分数㉒
㉑
1 1
易错题: ×2=
3 6
错因分析:此题错在没有真正理解分数乘整数的计算方法,把分母与整数相乘了。
1 2
正确答案: ×2=
3 3
知识巧记:
分数乘整数,计算很简单,分子乘整数,分母不用变,计算想简便,约分要在先,结果要想准,分数
化最简。
方法提示:
求部分量,要用部分量对应的分率去乘单位“1”对应的量。
㉒ 易错题:
判断:一个数乘真分数,积小于这个数。()
错因分析:此题忽略了这个数可能是“0”的情况,0乘真分数,积还是0,这时积等于这个数,而
不是小于这个数。
正确答案:✕1. 分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
1 3
一台收割机每小时收割小麦 公顷, 小时收割小麦多少公顷?
2 5
1 3 1
根据题意,求 公顷的 是多少,就是把 公顷平均分成5份,也就是把1公顷平均分成
2 5 2
2×5=10(份),取其中的3份。
求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。
1 3
列式为 × 。
2 5
1 3 1×3 3
× = = (公顷)。
2 5 2×5 10
2. 两个不为0的数相乘,当其中的一个因数小于1时,所得的积小于另一个因数;当其中一
个因数大于1时,所得的积大于另一个因数;当其中的一个因数等于1时,所得的积等于另
一个因数。
㉓四、分数的混合运算
1. 分数混合运算的运算顺序同整数混合运算的运算顺序相同,即在没有括号的算式里先算
乘除法,再算加减法;有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
2. 已知一部分量占总量的几分之几,求另一部分量。
解题方法:另一部分量=总量-总量×部分量占总量的分率=总量×(1-部分量占总量的分率)
2
一捆彩带的长是60米。某蛋糕店今天已经用去这捆彩带的 ,还剩多少米彩带?根据题意:
5
还剩的长度=彩带的总长度×还剩的长度占总长度的分率。
( 2) 3
60× 1- =60× =36(米)。
5 5
3. 简便运算。
整数乘法的运算定律,分数乘法同样适用。
㉓ 易错题:
1
学校给同学们体检,小亮的体重是35千克,小林的体重比小亮的轻 ,小林的体重是多少千克?
1 7
35× =5(千克)
7
答:小林的体重是5千克。
错因分析:此题把小林比小亮轻的部分看成小林的体重了。
正确答案:
( 1)
35× 1-
67
=35×
7
=30(千克)
答:小林的体重是30千克。即a×b=b×a,(a×b)×c=a×(b×c),(a+b)×c=ac+bc。
五、倒数
1. 倒数的意义。
乘积是1的两个数互为倒数。
3 5 1
㉔如 × =1,8× =1。
5 3 8
3 5 1
和 互为倒数;8和 互为倒数。
5 3 8
2. 求倒数的方法。
求一个数的倒数,可以把它的分子和分母调换位置;一个整数(0除外)的倒数就是以这个数
为分母,分子是1的分数。
3 8 1
如 的倒数是 ;5的倒数是 。
8 3 5
五 长方体和正方体的体积
一、体积和体积单位㉕
1. 体积的意义。
物体都占空间,物体大的占的空间大,物体小的占的空间小。物体所占空间的大小叫做物体
的体积。
2. 常用的体积单位。
常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。
3. 体积单位的实际意义。
㉔ 重点提示:
1. “互为倒数”是对两个数来说的,它们是相互依存的,必须说一个数是另一个数的倒数,不
是孤立地说某个数是倒数。
2. 1的倒数是1,0没有倒数。
3. 真分数的倒数大于1,假分数的倒数小于或等于1。
㉕
易错题:
判断:只有棱长是1米的正方体的体积才是1立方米。 ()
错因分析:此题错在对1立方米的意义理解不透彻。棱长是1米的正方体的体积是1立方米,
这是建立体积单位模型时的一个参照物,用它作为衡量体积的一个标准。
正确答案:✕(1)1立方厘米:棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米,用字母表示为1 cm3,一个蚕豆
的大小大约是1 cm3。
(2)1立方分米:棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米,用字母表示为1 dm3,一个粉笔
盒的大小大约是1 dm3。
(3)1立方米:棱长是1米的正方体,体积是1立方米,用字母表示为1 m3,借助3根1米长的
木条在墙角搭成的空间的大小大约是1 m3。
二、长方体、正方体的体积公式及应用㉖
1. 长方体的体积=长×宽×高,用字母表示为V=abh。
2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示为V=a3。
3. 底面积:长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
4. 长方体、正方体体积的统一公式。
(1)长方体的底面积=长×宽
长方体的体积=长×宽×高
长方体的体积=底面积×高
(2)正方体的底面积=棱长×棱长
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
正方体的体积=底面积×棱长
(3)由上面可以推导出长方体(正方体)的体积=底面积×高,用字母表示为V=Sh。
5. 体积单位之间的进率。
(1)相邻体积单位之间的进率是1000,即1立方米=1000立方分米,1立方分米=1000立方厘
米。
(2)体积单位的换算:把高级单位换算成低级单位,要乘进率;把低级单位换算成高级单位,
要除以进率。
㉖ 重点提示:
在实际运用中,长方体的“厚”是长方体的“高”。
易错题:
选择:两个棱长总和相等的长方体,它们的体积(A)。
A.一定相等
B.一定不相等
C.不一定相等
错因分析:棱长总和相等只能说明两个长方体的长、宽、高的和相等,不能说明两个长方体
的长、宽、高的积相等。
正确答案:C
易错点:a3表示三个a相乘,不要与3×a混淆。三、应用问题㉗
1. 土石方问题。
生活中,计量沙、土、石子等的体积时,常常把“立方米”简称为“方”。
2. 求挖出土石多少方,可以根据体积公式进行计算。
3. 容积的意义:容器所能容纳物体的体积,通常叫做容积。
4. 容积和体积的区别:意义不同,容积和体积是同一容器的两个方面的特征;容积和体积的
计算方法相同,但测量的方法不同(求体积从容器的外面测量,求容积从容器的里面测量)。
5. 容积的计量单位:计量容积,一般用体积单位,但计量液体的体积常用“升”和“毫升”
作单位。
1升=1000毫升,1升=1立方分米,1毫升=1立方厘米。
四、设计包装箱
在设计适合装香皂和牙膏的包装箱时,要根据牙膏盒和香皂盒的长、宽、高等数据,通过
实际拼摆和画图的方法来分析、比较得出哪种设计最好。
六 分 数 除 法
一、分数除以整数㉘
1. 一个整数除以另一个整数(0除外)等于这个整数乘另一个整数的倒数。
1 1
如48÷8=48× =6,36÷9=36× =4。
8 9
㉗ 方法提示:
求横截面是梯形的拦河坝的体积,可以用“横截面面积×长”来计算。
易错题:
判断:一个可乐瓶的包装上标有500毫升,是指这个可乐瓶的容积是500毫升。 ()
错因分析:可乐瓶上标的500毫升是瓶内可乐的体积,而不是可乐瓶的容积。
正确答案:✕
要点提示:在实践中,要综合考虑包装箱是否容易搬动、是否结实等现实问题。
㉘
易错题:
5 5 5
÷6= ×6=
12 12 2
错因分析:此题错在没有掌握分数除以整数的计算方法。应该用被除数乘除数的倒数。
5 5
正确答案: ÷6= ×
1 5 12 12
=
6 722. 分数除以整数的计算方法。
分数除以整数(0除外)等于这个分数乘整数的倒数。
1 1 1 1
如 ÷3= × = 。
2 2 3 6
二、一个数除以分数㉙
1. 一个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数。
2 5
如2÷ =2× =5。
5 2
2. 商与被除数的关系。
(1)一个数(0除外)除以真分数,商大于被除数。
(2)一个数(0除外)除以1,商等于被除数。
(3)一个数(0除外)除以大于1的数,商小于被除数。
三、应用问题。㉚
1. 已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
解这类问题的方法步骤:
(1)根据题意找出单位“1”,设未知数量为x。
(2)找出题中的等量关系。
(3)列方程解答。
(4)检验并写出答案。
2. 稍复杂的已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
㉙ 易错题:
判断:一个数(0除外)除以真分数,商大于被除数;一个数(0除外)除以假分数,商小于被除数。
()
错因分析:假分数大于或等于1,当一个数除以1,商等于被除数,所以原说法错误。
正确答案:✕
㉚
拓展提升:
4
同学们开联欢会布置会场,用了28个红气球,红气球占气球总数的 。一共用了多少个气球?
4 9
根据除法的意义,知道用了28个红气球,对应气球总数的 ,求单位“1”,用除法计算。即
4 9 9
28÷ =28× =63(个)。
9 4解这类问题的方法步骤:
先找到题中的等量关系,设未知量(单位“1”的量)为x,再列方程。
解题的关键是找准单位“1”,计算出已知量对应单位“1”的几分之几。
四、混合运算㉛
1. 分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同,即先算乘除法,再算加减法;有括号的,
先算括号里面的,再算括号外面的。
1 3 15 4 (1 1)
如 + ÷ × -
10 4 16 5 2 3
1 3 16 4 1
= + × = ×
10 4 15 5 6
9 2
= =
10 15
2. 整数的运算定律和运算性质,在分数四则运算中同样适用。
七 折线统计图
一、认识单式折线统计图㉜
㉛ 易错题:
5 5 18
÷ ÷
9 8 355 8 18
= × ×
196 5 35
=
35
错因分析:没有把第二个除数变成乘倒数的形式。
5 5 18
正确答案: ÷ ÷
5 89 385 35
= × ×
19405 18
=
81
㉜
易错题:
判断:条形统计图和折线统计图都在表示事物发展趋势方面有优势。()
错因分析:此题错在不清楚条形统计图和折线统计图的特征,条形统计图不能表示事物的发
展趋势,只能便于看出和比较各种数量的多少。
答案:✕1. 折线统计图的意义:折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少,描
出各点,然后把各点用线段顺次连接。
2. 折线统计图的特征:折线统计图不但可以表示出数量的多少,还能够清楚地反映出数量
的增减变化情况。
3. 绘制单式折线统计图的方法:
(1)先画横轴,再画纵轴。
(2)根据数据的大小确定一个单位长度表示的数量。
(3)根据数据的大小描点,描点时应注意先找准横轴上的点,再找准纵轴上的点,过两点画横
轴、纵轴的垂线,两条垂线的交点便是所要描的点。
(4)连点成线段。
(5)标明数据。
4. 解读单式折线统计图:
运用横向、纵向、综合比较等不同的观察方法,可以读懂折线统计图,从中获取更多的信息,
并能根据获取的信息回答或提出相应的问题,进行㉝简单的分析和推测。
二、认识复式折线统计图
1. 复式折线统计图的意义:
在统计过程中存在两组数据,需要在一幅统计图中表示出这两组数据,就要用两种不同颜色
(形式)的折线来表示不同数据的变化情况,这样的统计图就是复式折线统计图。
㉞2. 复式折线统计图的特征:
复式折线统计图可以更加清晰地反映两组数据的增减变化情况,便于对两组相关数据进行
比较。
3. 绘制复式折线统计图的方法:
与单式折线统计图的制作方法基本相同,只是需要用不同的图例表示不同的数据信息。
4. 单式折线统计图和复式折线统计图有什么相同点和不同点?
相同点:都是折线统计图。
㉟不同点:(1)单式拆线统计图只有一条折线,而复式折线统计图会有两条(或两条以上)折
线,而且一般都是以虚线和实线出现的。多张结构一样的单式折线统计图可以合并到一张
复式折线统计图中。
(2)单式折线统计图通过将一组数据的水平表示出来,可以很容易地看出数量增减变化的情
况。复式折线统计图通过两组或两组以上数据的水平进行比较,可以容易地比较出两组或
两组以上数据的变化趋势,更清楚地看出各类之间的比较。
㉝
重点提示:
1. 画复式折线统计图时,一定要标明图例。
㉞ 2. 解读复式折线统计图要先看清图例,不要把两种 数据混淆了。
㉟ 3. 方法提示:
运用不同的观察方法可以读懂统计图,从中获取信息,根据信息提出或回答相应的问题,并进
行简单的分析和合理的预测。八 探 索 乐 园
一、用集合图解决问题㊱
1. 用集合图表示整体与部分的包含关系。
整体与部分的包含关系可以用一个图包含另一个图的方式表示。
㊲整体-部分=另一部分。
2. 关于两种情况互相包含的问题。
㊳如上图:如果放在桌面上的两张圆形纸片的面积分别是A、B,它们相互包含的部分的面积
为C,那么它们覆盖的面积为A+B-C。关于两种情况相互包含这一类题型,都可以用上面的
计算方法。
二、比赛场次
1. 比赛场次问题。
(1)单循环赛:即假设有n个队参加比赛,则每个队都要和除自己队之外的(n-1)个队打一场
比赛。
㊱
㊲ 方法提示:
关于两种情况互相包含的问题。用求出两个量的和再减去相同的部分的方法来解决。
㊳
易错题:
从北京到上海的某特快列车在沿线共停靠5站,分别是北京、济南、徐州、南京和上海。
请问:要为这几个站点共准备多少种不同的车票?列举出来。
北京—济南、北京—徐州、北京—南京、北京—上海、济南—徐州、济南—南京、济南
—上海、徐州—南京、徐州—上海、南京—上海,共10种。
错因分析:此题错在没有注意与车票站点的顺序有关,北京—济南,济南—北京,票价相同,但
属于往、返两种车票,所以共要准备10×2=20(种)车票。(2)单循环赛的比赛场次。
用画图法:(以四国球队比赛为例)
从图中可以看出,每支球队都要和另外3支球队分别进行一场比赛,每场比赛只与2支球队
有关,与2支球队的排列顺序无关。但在比赛中,每一场次的比赛都重复计算了。
用列表法:
㊴
中国 韩国 澳大利亚 越南
中国
韩国 中、韩
澳大利亚 中、澳 韩、澳
越南 中、越 韩、越 澳、越
从上面的表格里也可以看出只在一半的表格里写出了球队,而另一半则是重复的。
2. 由以上两种方法可以看出比赛场次=[1+2+3+…+(n-1)]。
如果队数比较多,则可以根据“队数×(队数-1)÷2=比赛场次”直接列式解答。
㊴ 正确答案:北京—济南、济南—北京、北京—徐州、徐州—北京、北京—南京、南
京—北京、北京—上海、上海—北京、济南—徐州、徐州—济南、济南—南京、南京—
济南、济南—上海、上海—济南、徐州—南京、南京—徐州、徐州—上海、上海—徐州、
南京—上海、上海—南京,共20种。
