文档内容
几何-直线型几何-勾股定理和弦图-3
星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
勾股定理和弦图 B 1.能够理解勾股定理的概念 少考
2.熟练应用勾股定理和弦图来解决
相关的几何问题
知识提要
勾股定理和弦图
勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2
+
AC2
=
BC2
勾股图与弦图4ab
(a+b) 2- =a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2
24ab
(a-b) 2+ =a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2
2
精选例题
勾股定理和弦图
1. 下图所示，长方形 ABCD 的长 BC=10 厘米，宽 AB=6 厘米．在 BC 上取点 M，
在 AD 上取点 N，使得四边形 BMDN 是一个菱形．则菱形 BMDN 的面积是
．
【答案】 40.8
【分析】 因为 BMDN 是一个菱形，可设 BM=MD=ND=BN=x，则
AN=10-x．在 直角三角形 ABN 中，由勾股定理得 62+(10-x) 2=x2，即 136=20x，
解得 x=6.8．菱形 BMDN 的面积 =6.8×6=40.8平方厘米．
2. 如下图所示，已知长方形长是宽的 2 倍，对角线的长是 9，则长方形的面积是
．【答案】 32.4
【分析】 可以根据勾股定理进行分析：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的
平方．因为长方形的长是宽的 2 倍，设长方形的宽为 a，那么长用 2a 来表示，长方形的面
81
积可以用 2a×a 来表示．根据勾股定理，2a×2a+a×a=9×9，得出 a×a= ，那么长
5
81 162
方形的面积等于 ×2= =32.4．
5 5
3. 华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科．请小朋友求解《九章算术》中的一个古代
问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”白话译
文：如下图所示，有圆柱形木棍直立地面，高 20 尺，圆柱底面周长 3 尺．葛藤生于圆柱底
部 A 点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的 B 点．则葛藤的长度是
尺．
【答案】 29【分析】 从 A 点将葛藤剪断，顶点处 B 不动，将缠绕的葛藤解开拉直，如下图所
示，A 点变为地面上的 C 点．则葛藤长为直角三角形 BAC 的斜边 BC．由 AB=20，
AC=3×7=21 得：BC2=202+212=292．所以 BC=29(尺)．
4. 如图，分别以一个面积为 169 的正方形的四条边为底，做 4 个面积为 101.4 平方厘米
的等腰三角形．图中阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】 49
【分析】 169=132, 可见大正方形的边长为 13；
等腰三角形的高为
101.4×2
=15.6,
13
则若设等腰三角形的腰为 x，如下图所示，根据勾股定理：
x2=6.52+15.62
则
x=16.9;
则图中
101.4×2
AB= =12
16.9
再根据勾股定理：
AC2+122=132
AC=5;
从弦图的角度看原图，易知中间正方形的边长为 12-5=7, 则其面积为
72=49
5. 如下图所示，两个正方形 ABCD 和 DEFG 的边长都是整数厘米，点 E 在线段 CD 上，
且 CEb），将边长为 a 的正方形切成四块大小、
形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．
【答案】 见解析．
【分析】
拼成大正方形的面积应是 a×a+b×b，设边长 c，则有等式 c×c=a×a+b×b，又因为将
边长为 a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线 MN 为
大正方形边长，如图（1），一定有 MN×MN=a×a+b×b，而 MH=a，则：NH=b，所
以 AN=CM=BH=(a-b)÷2，由此可以确定 MN，然后将 MN 绕中心 O 旋转 90∘ 到
EF 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 块．如图（2）与图（3）．这种分法同时确保图
（3）的中间部分就是边长为 b 的小正方形．这是因为：中心四边形的角即边长为 a 的正方形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形．中
心正方形的边长 =[a-(a-b)÷2]-(a-b)÷2=a-(a-b)=b．因此，中间部分是边长为 b
的正方形．
85. 如图所示，一张边长为 18 厘米的正方形纸片，从距离四角 5 厘米处，用剪刀剪出 45∘
的角度，纸片中间会形成一个小正方形．这个小正方形的面积是多少平方厘米？
【答案】 50
【分析】 如下图所示添加辅助线．
根据题目中的角度可以推出，图中新产生的小三角形为等腰直角三角形，
它的斜边的平方=52+52=50=图中小正方形边长的平方，因此小正方形的面积为 50
平方厘米．86. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 内接一个等腰梯形 ABCD，梯形的上底是 60，下底是
100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 2258
【分析】 由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以 AB、BC、CD 为直径的半
圆面积减去以 AD 为直径的半圆面积，作 OE 垂直于 BC，根据勾股定理可得梯形的高
OE 为 40，则 AB2=BF2+AF2=402+202=2000，阴影部分的面积为：
1 1 (AB) 2 1 (CD) 2 1 (BC) 2 1 (AO) 2
(AD+BC)⋅OE+ π + π + π - π =2258.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
87. 如下图所示，分别以直角三角形的三个边为直径作半圆，这三个半圆交出两个月牙形的区
域（即阴影部分），求这两个月牙形面积之和．
【答案】 30【分析】 因为 ∠ABC=90∘，由勾股定理 AC2=AB2+BC2，又
1 1 1
S = π AC2 ，S = πBC2 ，S = π AB2 ，所以 S =S +S ，那
大半圆 4 中半圆 4 小半圆 4 大半圆 中半圆 小半圆
么
1
S =S +S +S -S =S = ×5×12=30.
月牙 中半圆 小半圆 △ABC 大半圆 △ABC 2
88. 如图，求阴影部分的面积．
【答案】 24
【分析】 阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为 6 和 8 的半
圆面积减去直径为 10 的半圆的面积，
1 1 (6) 2 1 (8) 2 1 (10) 2
×6×8+ ×π× + ×π× - ×π× =24.
2 2 2 2 2 2 2
注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用．
89. 从一个正方形的木板上锯下宽 1m 的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为 6m2，问
锯下的长方形木条面积是多少？【答案】 6m2
【分析】 我们用构造“弦图”的方法，取同样大小的 4 个剩下的长方形木板拼成一
个大正方形（如右下图），同时中间形成了一个小正方形（图中阴影部分）．
仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差（1m）．
那么，阴影小正方形的面积
1×1=1(m2
)
所以，整个大正方形的面积是
1+4×6=25=5×5(m2
)
求得大正方形的边长为 5m．
那么，剩下的长方形木条的长 - 宽 =1，长 + 宽 =5，
可得剩下的长方形木条的长为
(5+1)÷2=3(m)
宽为
(5-1)÷2=2(m)
所以，锯下的长方形木条面积是
3×2=6(m2
)
90. 如图是一个直角三角形，沿三角形的斜边旋转一周得到的立体图形的体积是多少？（π 取
3）【答案】 28.8
【分析】 斜边上的高为
12
3×4÷5= ,
5
所以
1 12 144
V = ×π×( ) 2×5= =28.8
3 5 5
91. 有一个直角三角形 PQR，直角在 Q 点，以其三边为直径作三个半圆．矩形 STUV 的
各边与半圆相切且平行于 PQ 或 QR，如下图所示．如果 PQ=6 厘米，QR=8 厘米，则
STUV 的面积是多少平方厘米？
【答案】 144
【分析】 由勾股定理得大半圆的直径为 10 厘米，则三个半圆的半径分别为 3 厘米，
4 厘米，5 厘米．可知：SV =3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)．面积为
12×12=144(平方厘米)．
