一轮复习83练答案精析_一轮复习_2025年_2025年大一轮复习讲义人教A版数学_资料_1-资料_大一轮复习讲义学生专用_答案精析

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一轮复习83 练答案精析
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
§1.1　集　合
1．A　2.C　3.B　4.D　5.A　6.A
7 ．A 　[B ＝{x|x2 －x>0} ＝{x|x<0 或x>1} ，由题意可知阴影部分对应的集合为
∁U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即∁U(A∩B)＝{x|x≤1 或x>2}，所
以∁U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．]
8．B　[当|A|＝1 时，即集合A 中元素的个数为1 时，A 的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当|A|＝2 时，即集合A 中元素的个数为2 时，A 的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；
当|A|＝3 时，即集合A 中元素的个数为3 时，A 的可能情况为{3,5,7}，
综上所述，I 的所有“好子集”的个数为8.]
9．AD　[因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A 正确，B 错误；
又I 为全集，集合M，N⊆I，则∁IM⊇∁IN，(∁IN)∩M＝∅，C 错误，D 正确．]
10．ABC　[A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，
集合B 表示关于x 的方程ax＝1 的解集，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
当a＝0 时方程ax＝1 无解，此时B＝∅，符合题意；
当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，
综上可得a＝0 或±1.]
11．4　12.－3 
13．29
解析　由题意画出Venn 图，如图所示，
由Venn 图知，参加比赛的人数为26，
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.
1
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14．{x|－3<x<0}
{x|－3<x<0 或x≥3}
解析　由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3<x<3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－
3<x<0}．因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0 或x≥3}．
15．BD　[对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A 错误；对于
B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M 中没有最大元素，N 有一
个最小元素0，故B 正确；对于C，若M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，则不能同时
满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C 错误；对于D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足
戴德金分割，此时M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故D 正确．]
16．13
解析　集合M 的非空子集共有(212－1)个，其中，最小值为1 的子集可视为{2,3，…，12}的
子集与集合{1}的并集，共有211个，
同上可知，最小值为2 的子集共有210个，最小值为3 的子集共有29个，…，最小值为12 的
子集共有20个．
最大值为12 的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，
同上可知，最大值为11 的子集共有210个，最大值为10 的子集共有29个，…，最大值为1
的子集共有20个．
所以M 的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，
最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，
所以xA的算术平均值为
＝
＝＝13.
§1.2　常用逻辑用语
1．C　2.A　3.A　4.C　5.D　6.C
7．C　[命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0 为假命题，即命题綈p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0
为真命题，
当a＝0 时，－4<0 恒成立，符合题意；
当a≠0 时，则a<0 且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.
综上可知，－4<a≤0.]
8．C　[方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，
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因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
即－＝＝为常数，
设为t，即＝t，
则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有
Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，对n＝1 也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．
方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn＝na1＋d，
则＝a1＋d＝n＋a1－，
因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，
设数列的公差为D，
则－＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
当n≥2 时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，
当n＝1 时，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D 为常数，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件．]
9．AC　[当a＝1 时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A 为真命题；y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，当
sin＝－1 时，y＝0，故B 为假命题；当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C 为真命题；当x＝时，
∈(0,1)，
＝1，∴
，故D 为假命题．]
10．BCD　[对于A，由A∪B＝A 可得B⊆A，故充分性成立，
由B⊆A 可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，故A 错
误；
对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0 有一正一负根，设为x1，x2，
则解得m<0，满足必要性，
当m<0 时，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0 有一正一负根，满
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足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0 有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B 正确；
对于C，若幂函数y＝
为反比例函数，则
解得m＝0，满足必要性，
当m＝0 时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，
所以“幂函数y＝
为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C 正确；
对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx 在区间[1,3]上不单调，则1<m<3，
所以“函数f(x)＝－x2＋2mx 在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”，
故D 正确．]
11．充要
解析　在△ABC 中，∠A＝∠B⇔a＝b⇔sin A＝sin B，故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充
要条件．
12．存在一个素数不是奇数
解析　因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真
命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数．
13．(0，＋∞)
14．必要不充分条件
15．A　[设等比数列的公比为q，
若a2 021<a2 024，则a2 021－a2 024<0，
即a2 021(1－q3)<0.
因为a1＝1>0，
所以a2 021＝a1q2 020>0，
所以q3>1，所以q>1；
若a2 023<a2 025，则a2 023－a2 025<0，
即a2 023(1－q2)<0.
因为a1＝1>0，
所以a2 023＝a1q2 022>0，
所以q2－1>0，解得q>1 或q<－1.
所以“a2 021<a2 024”是“a2 023<a2 025”的充分不必要条件．]
16.
解析　依题意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)＝x＋在上单调递减，
∴f(x)max＝f ＝.
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又g(x)＝2x＋a 在[2,3]上单调递增，
∴g(x)max＝8＋a，
因此≤8＋a，则a≥.
§1.3　等式性质与不等式性质
1．B　2.A　3.B　4.C　5.A　6.A
7．BCD
8．ABD　[因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，
则－5<5x<10，即－1<x<2，故A 正确；
又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，
所以－5<－5y<10，即－2<y<1，故B 正确；
x＋y＝∈(－2,2)，故C 错误；
x－y＝∈(－1,3)，故D 正确．]
9．ab<ab2<a
10．a＝－1，b＝2(答案不唯一)
11.　
12．(－3，－1)
13．(1)解　∵a>b>0，
∴>0，>0，
∴＝＝1＋>1，
∴>.
(2)证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0，
又a>b>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
又e<0，
∴－＝＝＝>0，
∴>.
14．解　(1)a＝[(a＋b)＋(a－b)]，
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，
即－2≤a≤3，
故实数a 的取值范围为[－2,3]．
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(2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
∴－4≤3a－2b≤11，
即3a－2b 的取值范围为[－4,11]．
15．ABD　[对A，根据abc＝1 可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为
a2＋ac＋c2＝2＋>0 恒成立，故(a＋c)2>成立，故A 正确；对B，因为a>b>c，故a－c>b－
c>0，故<成立，故B 正确；对C，当a＝，b＝－1，c＝－2 时，满足a>b>c 且abc＝1，但
a2>b2不成立，故C 错误；对D，因为abc＝1，(a2b－1)·(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，故>0，
故D 正确．]
16．乙
解析　设第一次和第二次购物时价格分别为p1元/千克，p2元/千克，
按甲策略，每次购n 千克，按这种策略购物时，两次的平均价格x＝＝(元/千克)，
按乙策略，第一次花m 元钱，能购买千克物品，第二次仍花m 元钱，能购买千克物品，
两次购物的平均价格
y＝＝(元/千克)，
比较两次购物的平均价格
x－y＝－＝－＝＝≥0，
则甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以用乙购物策略比较经济．
§1.4　基本不等式
1．B　2.D　3.D　4.D　5.C　6.B
7．BCD
8．BC　[因为ab≤2≤(a，b∈R)，
由x2＋y2－xy＝1 可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤32，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1 时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1 时，x＋y＝2，所以A 错误，B 正确；
由x2＋y2－xy＝1 可变形为
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(x2＋y2)－1＝xy≤，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1 时取等号，所以C 正确；
因为x2＋y2－xy＝1 可变形为
2＋y2＝1，
设x－＝cos θ，y＝sin θ，
所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，
因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋
sin θcos θ
＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝＋sin∈，
所以D 错误．]
9．－4　10.
11.
解析　因为a>1，b>2，
所以a－1>0，b－2>0，
又a＋b＝5，
所以(a－1)＋(b－2)＝2，
即[(a－1)＋(b－2)]＝1，
所以＋＝[(a－1)＋(b－2)]· 
＝ 
≥ 
＝×(5＋4)＝，
当且仅当＝，
即a＝，b＝时取等号，
所以＋的最小值为.
12．4
解析　因为a>0，b>0，
所以36＝(a＋5b)(2a＋b)
≤2
＝(a＋2b)2，所以a＋2b≥4，
当且仅当
即a＝，b＝时，等号成立，
所以a＋2b 的最小值为4.
13．解　(1)因为x>0，y>0，
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根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6 时取等号)，
令＝t(t>0)，
则t2＋2t－30≤0，
解得－5≤t≤3，又t>0，
所以0<t≤3，即0<≤3，
所以0<xy≤18，
故xy 的最大值为18.
(2)由x＋2y＋xy＝30 可知，y＝>0,0<x<30,2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11，
当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2 时取等号，
所以2x＋y 的最小值为11.
14．解　(1)设甲工程队的总报价为y 元，依题意，左右两面墙的长度均为x 米(2≤x≤6)，
则屋子前面新建墙体长为 米，
则y＝3＋7 200
＝900＋7 200
≥900×2＋7 200＝14 400，
当且仅当x＝，即x＝4 时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低为14 400 元．
(2)由题意可知，900＋7 200>对任意的x∈[2,6]恒成立，
即>，
所以>a，
即a<min，
＝x＋1＋＋6
≥2＋6＝12，
当且仅当x＋1＝，即x＝2 时，等号成立，
则的最小值为12，
即0<a<12，
又a>5，
所以a 的取值范围是(5,12)．
15．C　[由题得
＋＝＋，
设＝t(t>0)，
则f(t)＝t＋＝t＋2＋－2
≥2－2＝8－2＝6，
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当且仅当t＋2＝，即t＝2，即y＝2x 时取等号．
所以＋的最小值为6.]
16．4
解析　∵a＞b＞0，
∴a－b＞0，
∴a(a－b)＞0，
a2＋＋＝a2＋ab－ab＋＋
＝a2－ab＋＋ab＋
＝a(a－b)＋＋ab＋
≥2＋2＝4，
当且仅当
即a＝，b＝时，等号成立．
∴a2＋＋的最小值是4.
§1.5　基本不等式的综合应用
1．C　2.B　3.B　4.D　5.A　6.B
7．ABC　[由于ex＋ey≥2＝2＝2e2，当且仅当ex＝ey，即x＝y＝2 时取等号，故A 正确；
由基本不等式得xy≤2＝4，
故lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2 时取等号，故B 正确；
x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2 时取等号，故C 正确；
由正实数x，y 满足x＋y＝4，
得y＝4－x，x∈(0,4)，
故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0,16)，故D 错误．]
8．ABD　[由a>1，b＝>1，
得1<a<e2，
因为函数f(a)＝a＋b＝a＋在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a＋b<e2＋
1，故A 正确；
因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0<ln a·ln b≤2＝1，当且仅当a＝b＝e 时，等号成
立，故B 正确；
ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，
设t＝ln a∈(0,2)，所以φ(t)＝t＋－1 在(0，)上单调递减，在[，2)上单调递增，
所以φ(t)＝t＋－1∈[2－1，＋∞)，故C 错误；
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设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D 正确．]
9．4　10.(－∞，9)　11.2
12．2＋5
解析　由于A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a<b)}中有且仅有一个元素，
所以b>a>0，Δ＝b2－4ac＝0，
所以b>a>0，b2＝4ac.
所以M＝＝
＝＝，
设t＝－1>0，所以＝t＋1，
所以M＝
＝＝t＋＋5
≥2＋5＝2＋5.
当且仅当t＝时，等号成立．
所以M 的最小值为2＋5.
13．解　(1)由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2，
解得a＝1，b＝0.
(2)由(1)知f(x)＝4x－2x，
所以f(x)<m·2x－3 可化为m>2x＋3·2－x－1. 
故原问题等价于∃x∈(－∞，3]，
使得m>2x＋3·2－x－1 成立．
则当x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1)min，
设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]，令t＝2x，则t∈(0,8]，
设p(t)＝t＋－1，t∈(0,8]，
则p(t)≥2－1，当且仅当t＝时取等号，所以当t＝时，h(x)取得最小值2－1. 
故m 的取值范围是(2－1，＋∞)．
14．解　(1)调整后研发人员的年人均投入为(1＋2x%)a 万元，
则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)，
整理得0.02x2－9x≤0，
解得0≤x≤450，
又因为x∈N*，所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500 名技术人员的
年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50.
(2)(500－x)(1＋2x%)a≥xa，两边同时除以ax 得≥m－，
整理得m≤＋＋9；
由a≥a，解得m≥＋1，
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故＋1≤m≤＋＋9(100≤x≤200，x∈N*)恒成立，
＋＋9≥2＋9＝19，
当且仅当＝，
即x＝100 时等号成立，所以m≤19，
因为100≤x≤200，x∈N*，
所以当x＝200 时，＋1 取得最大值15，
所以m≥15，所以15≤m≤19，
即实数m 的取值范围为[15,19]．
§1.6　一元二次方程、不等式
1．A　2.B　3.A　4.B　5.A　6.B
7．ABC　[根据题意，易知a≠0.
当a>0 时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向上，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋
∞)．
当a<0 时，函数y＝a(x－a)(x＋1)的图象开口向下，若a＝－1，则不等式的解集为∅；
若－1<a<0，则不等式的解集为(－1，a)；
若a<－1，则不等式的解集为(a，－1)．]
8．BC　[由题意得，a<0，和1 是方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根，
由根与系数的关系可得
 
解得a＝3c，b＝－4c，则c<0，
故A 错误，B 正确；a＋b＝－c>0，故C 正确；
不等式cx2＋bx＋a>0 可化为cx2－4cx＋3c>0，
即x2－4x＋3<0，解得1<x<3，
故不等式解集为{x|1<x<3}，故D 错误．]
9.　10.(－2,3)
11.
12．[－1,0)∪(8,9]
解析　不等式x2－kx＋2k<0 有实数解等价于x2－kx＋2k＝0 有两个不相等的实数根，
则Δ＝(－k)2－8k>0，
解得k>8 或k<0.
设x2－kx＋2k＝0 的两根为x1，x2，
令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k.
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由题意得x2－x1＝
＝≤3，
解得－1≤k≤9，又k>8 或k<0，
所以－1≤k<0 或8<k≤9，
所以实数k 的取值范围为[－1,0)∪(8,9]．
13．解　(1)由题意得，a<0，且b,2 为方程ax2＋3x－2＝0 的两根，
所以解得
(2)由(1)可得，不等式f(x)≥2＋m 可化为－x2＋3x－2≥2＋m，
所以m≤－x2＋3x－4.
因为对于任意的x∈[－1,2]，不等式f(x)≥2＋m 恒成立，
所以对于任意的x∈[－1,2]，不等式m≤－x2＋3x－4 恒成立，
即m≤(－x2＋3x－4)min，x∈[－1,2]，
因为y＝－x2＋3x－4＝－2－，x∈[－1,2]，
所以当x＝－1 时，y＝－x2＋3x－4 取最小值，最小值为－8，
所以m≤－8，
故实数m 的取值范围为(－∞，－8]．
14．解　(1)依题意，mx2＋mx＋3>0 在实数集R 上恒成立．
①当m＝0 时，3>0，成立；
②当m≠0 时，要使原不等式恒成立，
则解得0<m<12.
综上，0≤m<12，
故实数m 的取值范围是{m|0≤m<12}．
(2)不等式f(x)>(3m－1)x＋5，
等价于mx2＋(1－2m)x－2>0，
即(x－2)(mx＋1)>0.
①当m>0 时，解得x>2 或x<－；
②当m＝0 时，不等式整理为x－2>0，解得x>2；
③当m<0 时，方程(x－2)(mx＋1)＝0 的两根为x1＝－，x2＝2.
(ⅰ)当－>2，即－<m<0 时，解得2<x<－；
(ⅱ)当－＝2，即m＝－时，原不等式的解集为∅；
(ⅲ)当－<2，即m<－时，解得－<x<2，
综上所述，当m<－时，原不等式的解集为；
当m＝－时，原不等式的解集为∅；
12
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当－<m<0 时，原不等式的解集为；
当m＝0 时，原不等式的解集为{x|x>2}；
当m>0 时，原不等式的解集为.
15．A　[不等式ax2－|x|＋2a≥0 的解集是R，
即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0 恒成立，即a≥max，
当x＝0 时，a≥0，
当x≠0 时，a≥＝，
因为≤
＝，
当且仅当|x|＝，即|x|＝，即x＝±时，等号成立，
所以a≥，
综上所述，a∈.]
16．(－4,2－2)
解析　因为对于任意m∈[－1,1]，任意y∈R，使得不等式x2＋(3－m)x－6<|y－1|＋|y－3|成
立，
设t(y)＝|y－1|＋|y－3|，
则x2＋(3－m)x－6<t(y)min，
又因为t(y)＝|y－1|＋|y－3|
≥|(y－1)－(y－3)|＝2，
所以t(y)min＝2.
所以x2＋(3－m)x－6<2，
即x2＋(3－m)x－8<0，
设g(m)＝x2＋(3－m)x－8＝－mx＋x2＋3x－8，
对于任意m∈[－1,1]，g(m)＝－mx＋x2＋3x－8<0，应用一次函数性质可知
即得
解得
则实数x 的取值范围是(－4,2－2)．
第二章　函　数
§2.1　函数的概念及其表示
1．A　2.D　3.B　4.A　5.D　6.C
13
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7．BD　[由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0,1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交
集为[0,1]．
y＝的定义域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，＋∞)，A 错误；
y＝的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0,1]，B 正确；
y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，C 错误；
y＝的定义域A＝[－1,1]，值域B＝[0,1]，则A∩B＝[0,1]，D 正确．]
8．ACD　[对于A，对于f(x＋1)，
令t＝x＋1⇒x＝t－1∈[－2,2)，
则t∈[－1,3)，
所以f(t)，即f(x)的定义域为[－1,3)，故A 正确；
对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，不是同一个函数，故B 不正确；
对于C，因为x2＋3≥3，所以0<≤，故函数y＝的值域为，故C 正确；
对于D，由2f(x)－f(－x)＝x＋1 可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，
所以由
可得f(x)＝＋1，故D 正确．]
9．(0,1)∪(1,2]　10.x2－2x(x≥1)
11．4　(－1,1)∪(1，＋∞)　12.
13．解　(1)∵＞1，
∴f ＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，
∴f ＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)此分段函数的图象如图所示．
在函数y＝3x＋5 的图象上截取x≤0 的部分，
在函数y＝x＋5 的图象上截取0＜x≤1 的部分，
在函数y＝－2x＋8 的图象上截取x＞1 的部分．
图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1 时，f(x)取最大值6.
14．解　(1)已知函数f(x)＝，
14
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∴f ＋f(3)＝＋＝＋＝1，
f ＋f(2)＝＋＝＋＝1.
(2)由f(x)＝，
得f ＝＝，
∴f(x)＋f ＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f ＝1，f(1)＝＝，
∴f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)＝2 022＋f(1)＝2 022×1＋＝.
15．AD　[对于A，因为f(x)＝x－[x]，
所以f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故A 选项正确；
对于B，因为f(0.5)＝0.5－[0.5]＝0.5－0＝0.5，f(－0.5)＝－0.5－[－0.5]＝－0.5－(－1)＝
0.5，
所以f(0.5)＋f(－0.5)＝1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B 选项错误；
对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x<k＋1，此时有k＋1≤x＋1<k＋2，
所以f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－(k＋1)＝x－k，f(x)＝x－[x]＝x－k，故C 选项错误；
对于D，由C 选项分析可知∀x∈R，总有f(x＋1)＝f(x)，即f(x)是周期为1 的周期函数，
不妨设0≤x<1，则此时有0≤f(x)＝x－[x]＝x－0＝x<1，因此函数f(x)的值域为[0,1)，故D 选
项正确．]
16.　
解析　若函数f(x)的定义域为R，
则有m>0 且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0，解得m≥，
所以m 的取值范围是.
当m＝0 时，f(x)＝＝，值域是[0，＋∞)，满足条件；
令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0，
当m＜0 时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，＋∞)，不满足条件；
当m＞0 时，g(x)的图象开口向上，
只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0 中的Δ≥0，
即(m－2)2－4m(m－1)≥0，
解得－≤m≤，
又m>0，所以0<m≤，
综上，0≤m≤，
所以实数m 的取值范围是.
15
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§2.2　函数的单调性与最值
1．B　2.B　3.D　4.C　5.C　6.A
7．AD
8．BC　[∵函数f(x)＝x2－2ax＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，
∴函数图象的对称轴应当位于区间(－∞，1)内，
∴a<1，
g(x)＝＝x＋－2a(x≥1)，
任取1≤x1<x2，g(x1)－g(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)，
由a<1,1≤x1<x2，有x1－x2<0，x1x2>1>0，x1x2－a>0，
则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)，
所以g(x)＝x＋－2a 在区间[1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为g(1)＝1－a，无最大值．]
9．[－1,1]　10.
11．f(x)＝(x－1)2(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可)
12．[2,4)
解析　函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减，
当0<a<1 时，x2－ax＋3＝2＋3－≥3－>0 恒成立，
而函数u＝x2－ax＋3 在区间[0,1]上不单调，因此0<a<1 不符合题意；
当a>1 时，函数y＝logau 在(0，＋∞)上单调递增，
由复合函数的单调性，得函数u＝x2－ax＋3 在区间[0,1]上单调递减，
因此≥1，并且12－a×1＋3>0，解得2≤a<4，
所以实数a 的取值范围是[2,4)．
13．解　(1)f(x)，g(x)的图象如图所示．
(2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上
单调递减，
所以当a≤0 时，M(x)在(－∞，a]上单调递减；
当0<a≤2 时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增；
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当a>2 时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，a]上单调递减．
14．解　(1)f(x)＝＝1－在R 上是增函数．
证明：在R 上任取x1，x2且x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝
，
由x1<x2可知
，
所以
，所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)．
即f(x)在R 上是增函数．
(2)易知f(－x)＝＝
＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，
由(1)知，函数f(x)在R 上是增函数，
由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)，
所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0，
解得－3<t<1，
即关于t 的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0 的解集为{t|－3<t<1}．
15．ABC　[由题意得y＝f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，
故y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(2ax)<f(2x2＋1)，
故f(|2ax|)<f(2x2＋1)，
所以|2ax|<2x2＋1，
当x＝0 时，|0|<1 恒成立，满足要求，
当x≠0 时，|2a|<＝2|x|＋在x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立，
其中2|x|＋≥2＝2，当且仅当2|x|＝，即|x|＝时，等号成立，
故|2a|<2，解得－<a<，
综上，a 的取值范围为－<a<，
A 选项，由于(－，－1)⊆(－，)，A 正确；
B 选项，⊆(－，)，B 正确；
C 选项，[0，)⊆(－，)，C 正确；
D 选项，(，＋∞)显然不是(－，)的子集，D 错误．]
16．(－∞，0]　(2,4]
解析　若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0，
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则f(x)在R 上是减函数，
则≤0，即a≤0，
所以实数a 的取值范围为(－∞，0]；
当a>0 时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则f ＝－＝4，
解得a＝4 或a＝－4(舍去)，
又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，
所以2<t≤4；
当a≤0 时，f(x)在[－1，t)上单调递减，则f(x)在[－1，t)上的最大值为f(－1)＝2，不符合题
意，
所以实数t 的取值范围为(2,4]．
§2.3　函数的奇偶性、周期性
1．B　2.D　3.D　4.B　5.D　6.C
7．AC　[对于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，
又f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在R 上单调递增，故A 正确；
对于B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B 错误；
对于C，显然y＝x 与y＝x3在R 上既是奇函数又单调递增，
所以f(x)＝x＋x3在R 上既是奇函数又单调递增，故C 正确；
对于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，
所以 f(x)为(－2,2)上的奇函数，
f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)＝ln ＝ln，
显然f(x)为减函数，故D 错误．]
8．ABD　[由题意，定义在R 上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A 正确；
对于B，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
所以y＝f(x)为奇函数，故B 正确；
对于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，
因为x1<x2，所以x1－x2<0，
所以f(x1－x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R 上单调递减，故C 错误；
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对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)，
由C 知函数f(x)在R 上单调递减，所以x－1<1－x2，
解得－2<x<1，
所以f(x－1)＋f(x2－1)>0 的解集为{x|－2<x<1}，故D 正确．]
9．f(x)＝cos x(答案不唯一)
10．2　11.－2
12.
解析　因为函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，
所以函数f(x)的周期为6，
又因为f(2 023)＝3，
所以f(6×337＋1)＝f(1)＝3，
因为当0<x<3 时，f(x)＝2ax＋b(a>0，b>0)，
则有2a＋b＝3，
所以＋＝(2a＋b)＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．
13．解　(1)∵当x>0 时，f(x)＝logax 的图象过点(3，－1)，
∴loga3＝－1，解得a＝.
(2)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝
，
又∵f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝
．
综上所述，f(x)＝
(3)∵f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
1＝
＝f ，
∴f(x)<1⇒f(x)<f ，
∴|x|>，
解得x<－或x>.
故不等式的解集为
.
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14．解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，
则f(－x)＝－x，
∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－x＝－f(x)，
即f(x)＝x，－1≤x≤0，
即当－1≤x≤1 时，f(x)＝x；
若1<x≤3，则－1<x－2≤1，
∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)
＝2－x，
即当－1≤x≤3 时，f(x)的解析式为f(x)＝
(3)作出函数f(x)在[－4,4]上的图象，如图，
则函数的最小值为－1，
若m＝－1，则方程f(x)＝m 在[－4,4]上的解为x＝－1 或x＝3，则－1＋3＝2；
若－1<m<0，则方程f(x)＝m 在[－4,4]上共有4 个解，
则它们分别关于直线x＝－1 和直线x＝3 对称，
设它们从小到大依次为a，b，c，d，
则a＋b＝－2，c＋d＝6，即a＋b＋c＋d＝－2＋6＝4.
15．D　[当x>0 时，因为f(x)是偶函数，
所以有f(x)＝f(－x)⇒21＋x－21－x＝m·2－x＋n·2x⇒(2x)2(2－n)＝m＋2，要想x>0 上式恒成立，
只需⇒m－n＝－4，
当x<0 时，因为f(x)是偶函数，
所以有f(x)＝f(－x)
⇒21－x－21＋x＝m·2x＋n·2－x
⇒(2－x)2(2－n)＝m＋2，
要想x<0 上式恒成立，
只需⇒m－n＝－4，
综上所述，m－n＝－4.]
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16．A　[因为f(1)＝1，
所以在f(x＋y)＋f(x－y)
＝f(x)f(y)中，
令y＝1，
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)．②
由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令x＝1，y＝0，得
f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，
所以f(0)＝2.
令x＝y＝1，得
f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，
所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x)，
得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
根据函数的周期性知，∑f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.]
§2.4　函数的对称性
1．A　2.C　3.A　4.C　5.D　6.B
7．ABD　[∵f(x)＝2x－1＋21－x，
∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，
即f(x)＝f(2－x)，
即f(x)的图象关于直线x＝1 对称，故C 正确，A，D 错误；
∵f(－1)≠－f(1)，
∴f(x)不是奇函数，故B 错误．]
8．AC　[因为f(x－1)＝f(3－x)，
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所以直线x＝1 是f(x)的图象的对称轴，故选项A 正确；
因为f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，
又因为f(x)的对称轴为x＝1，所以f(x)的周期T＝4，故选项B 错误；
直线x＝1 是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1,2]上单调递减，
所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，
又f(x)的周期T＝4，
所以函数f(x)在[4,5]上单调递增，故选项C 正确；
因为f(x)的周期T＝4，
f(4)＝f(0)＝0，
则f(5)>f(4)＝0，故选项D 错误．]
9．cos πx(形如acos πx＋b 或a＋b 或a＋b 或a＋b 等)
10．2
11.
解析　∵y＝f(x＋3)是偶函数，
∴f(x)的图象关于直线x＝3 对称．
∵当x≥3 时，f(x)＝log2x，
∴f(x)在[3，＋∞)上单调递增，
∴|2x＋2－3|>|x－1－3|，
即|2x－1|>|x－4|，
∴(2x－1)2>(x－4)2，
即3x2＋4x－15>0，
解得x<－3 或x>.
12．n
解析　∵函数f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
则f(2－x)＋f(x)＝0，
∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，
∵函数y＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1 个单位长度得到的，
∴函数y＝的图象关于点(1,0)对称，
∴函数f(x)与函数y＝的图象的交点也关于点(1,0)对称，
∴(xi＋yi)＝i＋i＝2×＋0×＝n.
13．解　(1)f(x)的图象关于直线x＝2 对称．
证明：由|x－2|>0，得x≠2，
所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
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因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4，
f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，
所以f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2 对称．
(2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x，
当x>2 时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x 也单调递增，
故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x 在(2，＋∞)上单调递增．
又f(x)的图象关于直线x＝2 对称，
故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．
14．解　(1)设函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为点P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)，
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得
所以函数f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
15．D　[因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4
＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝
－f(－x－2)，所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函
数．]
16．BCD　[∵定义在R 上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，
将y＝f(x－2)的图象向左平移2 个单位长度即可得到函数y＝f(x)的图象，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，
∵g(x)＝f(x)＋1，
∴g(0)＝f(0)＋1，
∴g(0)＝1，故B 选项正确；
∵y＝f(x－2)为减函数，
∴f(x)为减函数，
∴g(x)＝f(x)＋1 为减函数，
又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A 选项错误；
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∵f(x＋1)>f(1－2x)，且f(x)为减函数，∴x＋1<1－2x，解得x<0，故C 选项正确；
g(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＋2＝－f(1)＋f(2)＋2，
∵f(1)>f(2)，∴g(－1)＋g(2)<2，故D 选项正确．]
§2.5　函数性质的综合应用
1．D　2.B　3.B　4.C　5.C
6．D　[令g(x)＝xf(x)，
由题意知g(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)为R 上的偶函数，
所以g(x)为R 上的奇函数，
所以g(x)在R 上单调递减，
①当t>0 时，原不等式等价于
f>(2t－1)f(2t－1)，
即g>g(2t－1)，
所以<2t－1，所以1<2t2－t，
解得t>1；
②当t<0 时，原不等式等价于
 f <(2t－1)f(2t－1)，
即g<g(2t－1)，
所以>2t－1，
所以1<2t2－t，解得t<－.
所以t<－或t>1.]
7．AB　[因为f(x＋4)＝f(x)，
所以f(x)的周期为4，f(2)＝f(－2)，
又函数f(x)是R 上的奇函数，
故f(2)＝－f(－2)，
所以f(2)＝f(－2)＝0，故A 正确；
因为点(0,0)是f(x)的对称中心，f(x)的周期为4，
所以点(4,0)也是函数f(x)的图象的一个对称中心，故B 正确；
作出函数f(x)的部分图象如图所示，
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易知函数f(x)在[－6，－2]上不具有单调性，故C 不正确；
函数f(x)在[－6,6]上有7 个零点，故D 不正确．]
8．ACD　[因为f(x＋1)为奇函数，
所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
所以f(－0＋1)＝－f(0＋1)，
所以f(1)＝0，A 正确；
因为当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos ，
所以f(0)＝－cos 0＝－1，
因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
所以f(2)＝－f(0)＝1，
故f(2)≠f(0)，
所以2 不是f(x)的周期，故B 错误；
因为f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x＋1)的图象关于原点对称，
所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，C 正确；
由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(x)－f(－x)＝0，
可得f(x＋2)＝－f(－x－1＋1)＝－f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)为周期函数，周期为4，
所以f ＝f ＝f ＝f ，
又当x∈[0,1)时，f(x)＝－cos ，
所以f ＝－cos ＝－，D 正确．]
9．(0,1)
10．0　
解析　令x＝y＝1，
即f(2)＋f(0)＝2f2(1)，
∴f(2)＝－1，
令x＝2，y＝1，
即f(3)＋f(1)＝2f(2)f(1)，
∴f(3)＝0，
令x＝y＝2，
即f(4)＋f(0)＝2f2(2)，
∴f(4)＝1，
令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝0，
即f(x＋1)＝－f(x－1)，
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可得f(x＋2)＝－f(x)，
f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，
∴4 为函数f(x)的周期，
f(1)＝0，f(2)＝－1，f(3)＝0，f(4)＝1，∴当x 为奇数时，f(x)＝0，
当n 为奇数时，n2也为奇数，此时f(n2)＝0；当n 为偶数时，n2为4 的整数倍，此时f(n2)＝1.
∴f(12)＋f(22)＋…＋f(2 0232)＝0＋1＋0＋1＋…＋0＋1＋0＝1 011，
n2＋(n＋1)2＝2n2＋2n＋1
＝2n(n＋1)＋1，
由n∈Z，得n(n＋1)为偶数，
记n2＋(n＋1)2＝2n(n＋1)＋1＝4kn＋1，kn∈Z，
12＋22＋…＋2 0232＝(12＋22)＋(32＋42)＋…＋(2 0212＋2 0222)＋2 0232
＝4(k1＋k3＋…＋k2 021)＋1 011＋4 092 529
＝4(k1＋k3＋…＋k2 021)＋4 093 540
＝4(k1＋k3＋…＋k2 021＋1 023 385)，
f(12＋22＋…＋2 0232)＝f(4(k1＋k3＋…＋k2 021＋1 023 385))＝f(0)＝1，
∴
＝.
§2.6　二次函数与幂函数
1．D　2.A　3.B　4.B　5.D　6.B
7．AB　[A 中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意；
B 中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意；
C 中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意；
D 中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意．]
8．CD　[A 选项，设f(x)＝xα，将代入得α＝2，即(2－3)α＝2，
解得α＝－，故解析式为y＝f(x)＝
，A 错误；
B 选项，因为－<0，所以f(x)＝
在(0，＋∞)上单调递减，
又f(x)＝
的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝
＝f(x)，
故f(x)＝
为偶函数，故f(x)＝
在(－∞，0)上单调递增，B 错误；
C 选项，因为α>0，所以0α＝0,1α＝1，
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故幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0,0)和(1,1)，C 正确；
D 选项，由题意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2 或－1，
当m＝2 时，f(x)＝x2为偶函数，满足图象关于y 轴对称，
当m＝－1 时，f(x)＝x－1为奇函数，不满足图象关于y 轴对称，舍去，
其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4 恒成立，
故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3，
又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D 正确．]
9．211　
10．y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋
解析　因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，
所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，
展开得y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为＝－4a，
由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离为2，
所以|－4a|＝2，即a＝±，
所以二次函数的表达式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
11．4
解析　由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函数的对称轴为直线x＝1.
由函数f(x)＝x2＋ax＋b，
得－＝1，a＝－2，
所以f(x)＝x2－2x＋b.
因为f(x)的值域为[2，＋∞)，
所以f(1)＝12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3，
故f(x)＝x2－2x＋3.
若f(x)在[m，n]上的值域为[2,6]，
令x2－2x＋3＝6，
解得x＝3 或x＝－1.
所以m 最小为－1，n 最大为3，
则n－m 的最大值为4.
12．1
解析　因为A(1,0)，B(0,1)，BM＝MN＝NA，
所以M，N，
不妨设y＝xα，y＝xβ分别过M，N，
则＝α，＝β，
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则＝α＝α＝αβ，
所以αβ＝1.
13．解　(1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，
解得m＝－1 或m＝－3.
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以m＋2<0，即m<－2，则m＝－3.
(2)设g(x)＝x3，则g(x)是增函数．
由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，
即(2a－1)3<(a＋3)3，
则2a－1<a＋3，解得a<4，
即a 的取值范围为(－∞，4)．
14．解　(1)由题意设函数的解析式为y＝ax(x－5)(a>0)，
由已知可得二次函数图象的顶点坐标为，
代入得－＝a××，
解得a＝2，
所以二次函数的解析式为y＝2x(x－5)，即y＝2x2－10x.
(2)由(1)知y＝2x2－10x
＝22－，
其图象开口向上，
对称轴为直线x＝，
当t＋1≤，即t≤时，y＝2x2－10x 在[t，t＋1]上单调递减，
所以当x＝t＋1 时，y＝2x2－10x 取得最小值，
所以2(t＋1)2－10(t＋1)＝－12，解得t＝1 或t＝2(舍去)，所以t＝1；
当t<<t＋1，即<t<时，y＝2x2－10x 在x＝时取得最小值－，不满足题意；
当t≥时，y＝2x2－10x 在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t 时，y＝2x2－10x 取得最小值，
所以2t2－10t＝－12，
解得t＝3 或t＝2(舍去)．
综上所述，t 的值为1 或3.
15．B　[令f(x)＝g(x)，
可得＝ax＋b.
设F(x)＝，G(x)＝ax＋b，
根据题意，F(x)的图象与G(x)＝ax＋b 的图象只有两个交点，
不妨设x1<x2，结合图形可知，当a>0 时(如图1)，
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G(x)＝ax＋b 的图象与F(x)图象的左支相切，与右支有一个交点，
根据对称性可得|x1|>x2，即－x1>x2>0，此时x1＋x2<0，y2＝>＝－y1，∴y1＋y2>0，
同理可得，当a<0 时(如图2)，
x1＋x2>0，y1＋y2<0.]
16．AB　[设t＝x2－2x，
方程化为关于t 的二次方程t2＋2t＋k＝0.(*)
当k>1 时，方程(*)无实根，故原方程无实根；
当k＝1 时，可得t＝－1，则x2－2x＝－1，原方程有两个相等的实根x＝1；
当k<1 时，方程(*)有两个实根t1，t2(t1<t2)，
由t1＋t2＝－2 可知，t1<－1，t2>－1.
因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以x2－2x＝t1无实根，x2－2x＝t2有两个不同的实根．
综上可知，A，B 项正确，C，D 项错误．]
§2.7　指数与指数函数
1．B　2.B　3.D　4.D　5.C　6.C
7．CD　[画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．
由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A 错误，C 正确；
由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2，
所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B 错误，D 正确．]
8．AC　[因为函数f(x)＝m－是定义域为R 的奇函数，
所以f(0)＝m－＝0，
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解得m＝，
此时f(x)＝－，
则f(－x)＝－
＝－＝－
＝－1＋＝－
＝－f(x)，符合题意，故A 正确；
又f(x)＝－＝－＝－，
因为ex>0，
所以ex＋1>1，
则0<<1，
所以－<f(x)<，
即f(x)∈，故B 错误；
因为y＝ex是增函数，y＝ex>0，
且y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)＝－是减函数，故C 正确；
因为f(x)是减函数，所以y＝f(x)与y＝n 最多有1 个交点，
故f(x)－n＝0 最多有一个实数根，
即不存在实数n，使得关于x 的方程f(x)－n＝0 有两个不相等的实数根，故D 错误．]
9．81　10.e－x(答案不唯一) 
11．1
解析　令g(x)＝ax2－4x＋3，
则f(x)＝g(x)，
∵f(x)有最大值3，
∴g(x)有最小值－1，
则解得a＝1.
12.
解析　∵f(x)＝3x＋m－1 是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)，
∴
＋m－1＝
－m＋1，
∴2m＝
＋2，
构造函数y＝
＋2，x0∈[－1,1]，
令t＝
，t∈，
则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1,3]上单调递减，
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∴当t＝1 时，函数取得最大值0，
当t＝或t＝3 时，函数取得最小值－，∴y∈，
又∵m≠0，∴－≤2m<0，
∴－≤m<0.
13．解　令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1 时，因为x∈[－1,1]，
所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2 在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3 或a＝－5(舍去)；
当0<a<1 时，因为x∈[－1,1]，
所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2 在上单调递增，
则ymax＝2－2＝14，
解得a＝或a＝－(舍去)．
综上，a＝3 或a＝.
14．解　(1)因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，
所以a＝1，
又因为f(－x)＝－f(x)，
所以＝－，
将a＝1 代入，整理得＝，
当x≠0 时，有b·2x＋1＝b＋2x，
即(b－1)(2x－1)＝0，
又因为当x≠0 时，有2x－1≠0，
所以b－1＝0，所以b＝1.
经检验符合题意，所以a＝1，b＝1.
(2)由(1)知，函数f(x)＝＝＝－1＋，
因为y＝1＋2x为增函数，且1＋2x>0，则函数f(x)是减函数．
(3)因为存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0 成立，且函数f(x)是定义在R 上的奇函数，所
以不等式可转化为f(k＋t2)<f(2t2－4t)，
又因为函数f(x)是减函数，
所以k＋t2>2t2－4t，所以k>t2－4t，
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令g(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4，
由题意可知，问题等价转化为
k>g(t)min，
又因为g(t)min＝g(2)＝－4，
所以k>－4，
即实数k 的取值范围为(－4，＋∞)．
15．A　[已知α∈，
则0<cos α<sin α<1，
因为y＝(cos α)x在(0,1)上单调递减，故c＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a；
因为幂函数y＝xcos α在(0,1)上单调递增，故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b，故b>c>a.]
16.
解析　由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝en－1＋(n－1)，
令f(x)＝ex＋x，
则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，
显然函数f(x)为增函数，
于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，
而m>0，n>0，
因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，
当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，
所以当m＝n＝时，＋取得最小值.
§2.8　对数与对数函数
1．C　2.B　3.C　4.D　5.D　6.B
7．BC　[由10a＝5，10b＝20，
得a＝lg 5，b＝lg 20，
则a＋b＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A 错误；
b－a＝lg 20－lg 5＝lg ＝lg 4<lg 5，故B 正确，D 错误；
ab＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5)
＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2，
∵lg 4<lg 5，
∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2＝2(lg 5)2，
∴ab<2(lg 5)2，故C 正确．]
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8．AB　[函数f(x)＝
的图象如图所示，
设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0<t<4，
则直线y＝t 与函数y＝f(x)图象的4 个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4.
对于A，函数y＝－x2－4x 的图象关于直线x＝－2 对称，则x1＋x2＝－4，故A 正确；
对于B，由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0<x3<1<x4，
所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B 正确；
对于C，由图象可知log2x4∈(0,4)，则1<x4<16，故C 错误；
对于D，由图象可知－4<x1<－2，
当x≤0 时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，
所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－x－4x1＝－(x1＋2)2＋4＝f(x1)∈(0,4)，故D 错误．]
9．2　10.
(答案不唯一) 
11.
解析　令log4p＝log6q＝log9(2p＋q)＝k，则p＝4k，q＝6k,2p＋q＝9k，
所以2p＋q＝2·4k＋6k＝9k，
整理得2·2＋k＝1，
解得＝(负值舍去)，
所以＝＝＝.
12．(2，]
解析　因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数，
所以x＋m>0 在[－2,2]上恒成立，
所以m－2>0，
即m>2，
由局部奇函数的定义，存在x∈[－2,2]，
使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m)，
即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0，
所以存在x∈[－2,2]，
使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1，
又因为x∈[－2,2]，
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所以x2＋1∈[1,5]，
所以m2∈[1,5]，
即m∈[－，－1]∪[1，]，
综上，m∈(2，]．
13．解　(1)当a＝2 时，f(x)＝
，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f(x)≤
＝－2，
∴f(x)的值域为(－∞，－2]．
(2)令u＝x2－ax＋5a，
∵y＝
为减函数，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴u＝x2－ax＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，
∴解得－≤a≤2，
∴a 的取值范围是.
14．解　(1)因为9x＋1>0，
所以f(x)的定义域为R，
又因为f(x)是偶函数，
所以∀x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即log9(9－x＋1)＋kx＝log9(9x＋1)－kx 对∀x∈R 恒成立，
则2kx＝log9(9x＋1)－log9(9－x＋1)＝log9＝log99x＝x 对∀x∈R 恒成立，
即x(2k－1)＝0 对∀x∈R 恒成立，
因为x 不恒为0，
所以k＝.
(2)由(1)得f(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9(9x＋1)－
＝log9
＝log9，
则方程f(x)＝log9有两个不相等的实数解等价于方程log9＝log9有两个不相等的实数解，
所以方程3x＋＝＋1 有两个不相等的实数解，
令t＝3x，且t>0，
方程化为t＋＝＋1，
即方程m＝t2－t＋1 在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，
令g(t)＝t2－t＋1，
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则y＝m 与y＝g(t)在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示，
又g(t)在上单调递减，在上单调递增，
所以g(t)≥g＝，且g(0)＝1，
所以m∈.
15．D　[令log2x＝log3y＝log5z＝t≠0，
则x＝2t，y＝3t，z＝5t，
令g(k)＝kt，
由幂函数图象的性质可知，
当t>0 时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z，
当t<0 时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z，
故A，B 不一定正确；
假设x，y，z 成等比数列，
则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t，
则t＝0，与已知矛盾，故C 错误；
因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，
即t＋t＝1，
令f(t)＝t＋t－1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数，
注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，即t＋t＝1 只有一个解t＝1，所以x＋y＝z 只有一组解
x＝2，y＝3，z＝5，故D 正确．]
16．
解析　由题知，x>0，
f(x)＝logax－()x－loga2＝loga－
，
令t＝，t>0，
则y＝logat 与y＝at的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
又y＝logat 与y＝at互为反函数，所以交点在直线y＝t 上，
设y＝logat，y＝at的图象与直线y＝t 相切时，切点坐标为(m，n)，m>0，
则解得m＝e，
又＝1，所以a＝
>1，
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所以当a＝
时，y＝logat 和y＝at只有一个交点，如图1；
当a>
时，y＝logat 和y＝at无交点，如图2；
当1<a<
时，y＝logat 和y＝at有两个交点，如图3.
综上，a 的取值范围为
．
§2.9　指、对、幂的大小比较
1．D　2.C　3.A　4.A　5.D　6.A
7．D　[令f(x)＝(18－x)ln x，x≥8，
则f′(x)＝－ln x＋－1，
f′(x)＝－ln x＋－1 在[8，＋∞)上单调递减，且f′(8)＝－ln 8＋－1＝－ln 8<－ln e2＝－
2<0，
所以f′(x)＝－ln x＋－1<0 在[8，＋∞)上恒成立，
故f(x)＝(18－x)ln x 在[8，＋∞)上单调递减，
所以f(8)>f(9)>f(10)，
即10ln 8>9ln 9>8ln 10，即ln 810>ln 99>ln 108，
所以810>99>108，即a>b>c.]
8．AD　[a＝
＝log25＝log2，b＝
＝log23，所以根据对数函数y＝
log2x 的图象与单调性知log22<a<b<log24，
即1<a<b<2，c＝eln 2＝2，所以a<b<c.]
9．BC　[由log2m＝，可得m＝
>1，
因为
，所以
，
则a＝log3m－<
－＝0，A 错误，B 正确；
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又因为
，所以
，b＝log5m－>
－＝0，C 正确，D 错误．]
10．ABC　[方法一　∵三个实数a，b，c 都大于1，
∴lg a>0，lg b>0，lg c>0，
∵(lg a)2－2lg alg b＋lg blg c＝0，
即lg a(lg a－lg b)＋lg b(lg c－lg a)＝0，
∴lg alg ＋lg blg ＝0，
对于A 选项，若a＝b＝c，则lg ＝0，lg ＝0，能满足题意；
对于B 选项，若a>b>c，则>1,0<<1，∴lg >0，lg <0，能满足题意；
对于C 选项，若b>c>a，则0<<1，>1，∴lg <0，lg >0，能满足题意；
对于D 选项，若b>a>c，则0<<1,0<<1，∴lg <0，lg <0，∴lg alg ＋lg blg <0，不满足题意．
方法二　令f(x)＝x2－2xlg b＋lg b·lg c，x>0，
则lg a 为f(x)的零点，且该函数图象的对称轴为直线x＝lg b，故对于方程x2－2xlg b＋lg 
b·lg c＝0，
Δ＝4(lg b)2－4lg b·lg c≥0，
因为b>1，c>1，所以lg b>0，lg c>0，
所以lg b≥lg c，即b≥c，
f(lg b)＝lg b·lg c－(lg b)2
＝lg b(lg c－lg b)，
f(lg c)＝(lg c)2－lg b·lg c
＝lg c(lg c－lg b)．
当b＝c 时，f(lg b)＝f(lg c)＝0，
故lg a＝lg b＝lg c，即a＝b＝c；
当b>c 时，f(lg b)<0，f(lg c)<0，
所以lg a<lg c 或lg b<lg a，
即b>c>a 或a>b>c.]
§2.10　函数的图象
1．C　2.A　3.B　4.C　5.B
6．D　[|x2－2x－3|－mx＋2<0 可转化为|x2－2x－3|<mx－2，
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在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2 的图象，如图所示．
易知当m＝0 时不满足题意．
当m>0 时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)，
则即
解得<m≤.
当m<0 时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)，
则
即
解得－≤m<－2.
综上，实数m 的取值范围是∪.]
7．BCD　[由图知f(0)＝>0，
所以b<0，B 正确；
当x＝－c 时，函数f(x)无意义，
由图知－c<0，所以c>0，C 正确；
令f(x)＝0，解得x＝，
由图知<0，
又因为b<0，所以a>0，A 错误；
综上，a>0，b<0，c>0，所以abc<0，D 正确．]
8．ABD　[由∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，
可知f(x)的图象关于直线x＝1 对称，当x≥1 时，f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，当x<1 时，2－
x>1，f(2－x)＝(2－x－2)2－4＝x2－4，
则f(x)＝f(2－x)＝x2－4，
所以f(x)＝
作出f(x)＝的图象，如图所示，
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所以f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)，(1,2)上单调递减，
f(x)min＝－4，f(x)不是奇函数，故A，B，D 错误，C 正确．]
9．y＝2(x＋1)2＋3　10.1
11．(－∞，2]
解析　因为偶函数y＝f(x＋1)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x＋1)在区间(－∞，0]
上单调递增，又因为f(x－1)＝f((x－2)＋1)，则函数f(x－1)的图象是由函数f(x＋1)的图象向
右平移2 个单位长度得到的，所以函数f(x－1)的单调递增区间是(－∞，2]．
12．4＋
解析　作出函数f(x)＝x(|x|－2)＝的图象，如图所示，
当x≥0 时，令x(x－2)＝3，
得x1＝－1(舍)，x2＝3，
当x<0 时，令x(－x－2)＝－1，
得x3＝－1－，x4＝－1＋(舍)，
结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－)＝4＋.
13．解　(1)当x≤0 时，0<2x≤1，
则f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2)，
作出函数f(x)的图象，如图所示．
(2)由f(x)－m＝0 可得m＝f(x)，
则方程f(x)－m＝0 的根的个数即为直线y＝m 与函数y＝f(x)图象的交点个数，如图所示．
当m≤0 时，方程f(x)－m＝0 无实根；
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当0<m<1 或m≥2 时，方程f(x)－m＝0 只有一个实根；
当1≤m<2 时，方程f(x)－m＝0 有两个不相等的实根．
14．解　(1)因为函数f(x)＝2x－ax＋1(a∈R)，
所以f(4)＝24－4a＋1>0，即a<，
又a∈Z，所以a 的最大值为4.
(2)当a＝3 时，f(x)＝2x－3x＋1，
由f(x)＝2x－3x＋1＝0，可得2x＝3x－1，
作出函数y＝2x与y＝3x－1 的图象，如图所示．
由图可知y＝2x与y＝3x－1 的图象有两个交点，
即函数f(x)有两个零点，
又因为f(1)＝2－3＋1＝0，f(3)＝23－3×3＋1＝0，
故函数f(x)的零点为1,3.
(3)因为对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，
所以2x>ax－1 在(－∞，1)上恒成立，
即当x∈(－∞，1)时，函数y＝2x的图象恒在直线y＝ax－1 的上方，
作出函数y＝2x，x∈(－∞，1)与y＝ax－1 的大致图象，如图所示．
则a≥0，且a－1≤2，所以0≤a≤3，
即a 的取值范围为[0,3]．
15．BCD　[由题意得，当－4≤x<－2 时，点B 的轨迹是以(－2,0)为圆心，2 为半径的圆；
当－2≤x<2 时，点B 的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的圆；
当2≤x<4 时，点B 的轨迹是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆，如图所示．
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此后依次重复，所以函数f(x)是以8 为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，
故A 错误；
因为f(x)以8 为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B 正确；
由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C 正确；
由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8 为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在
[－2,0]上的图象相同，即f(x)在[6,8]上单调递增，故D 正确．]
16．(－5，－4)
解析　由f(x)＝0，
得a＝
作出函数g(x)＝的图象，如图所示．
由图可知，当a∈(－5，－4]时，直线y＝a 与函数g(x)的图象有3 个交点，
从而f(x)有3 个零点，
但x2－4x－a>0 对x>0 恒成立，
则a<－4，故a∈(－5，－4)．
§2.11　函数的零点与方程的解
1．C　2.B　3.B　4.C　5.A
6．A　[由题意得，方程＝|x－k|有三个不相等的实数根．
而y＝＝
分别作出函数y＝和y＝|x－k|的图象，
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当k＝1 时，y＝|x－1|；
当x≥1 时，y＝＝ln x，对其求导得y′＝，
所以y′|x＝1＝1，所以曲线y＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，
如图，直线y＝x－1 与曲线y＝ln x 在点(1,0)相切．
所以k 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
7．BCD　[对于A，∵x2－2x－8＝0 的解为x＝－2，x＝4，
∴f(x)在区间(－1,3)内没有零点，故A 错误；
对于B，∵f(x)＝
在[－1，＋∞)上为增函数，
且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，
∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故B 正确；
对于C，∵f(x)＝2x－1－1 在R 上为增函数，且f(－1)＝－<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，
∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故C 正确；
∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0，即f(－
1)f(3)<0，
∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故D 正确．]
8．AD　[∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，
当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，
∴当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，
∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，
即当x∈[－1,0]时，f(x)＝－2－x＋1，
又对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，
则f(x)的图象关于直线x＝1 对称，
且f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是以4 为周期的函数，
又由函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)(a>0 且a≠1)在(－1,7)上恰有4 个不同的零点，
得函数y＝f(x)与y＝loga(x＋2)的图象在(－1,7)上有4 个不同的交点，
又f(1)＝f(5)＝1，f(－1)＝f(3)＝f(7)＝－1，
当a>1 时，由图可得loga(5＋2)<1＝logaa，解得a>7；
当0<a<1 时，由图可得loga(7＋2)>－1＝logaa－1，
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解得0<a<.
综上可得a∈∪(7，＋∞)，
故选项A，D 满足条件．]
9．(1,2)　10.b>c>a
11．6(答案不唯一)
解析　因为2x＋3x＋4x＝ax在(1,2)内有解，故a>4，方程2x＋3x＋4x＝ax可化为
x＋x＋x－1＝0，
令f(x)＝x＋x＋x－1，
因为a>4，所以f(x)在R 上单调递减，
所以
即
解得<a<9，
又a∈N*，所以a＝6 或a＝7 或a＝8.
12．(2,4]∪(5，＋∞)
解析　作出函数y＝x－5，y＝x2－6x＋8 的图象，如图所示，
依题意f(x)＝有2 个零点，
由图象可得实数λ 的取值范围是(2,4]∪(5，＋∞)．
13．证明　(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，
∴c＝－a－b.
∵3a＞2c＝－3a－2b，
∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b.
若a＞0，则－3＜＜－；
若a＝0，则0＞－b,0＞b，不成立；
若a＜0，则＜－3，＞－，不成立．
综上，a＞0 且－3＜＜－.
(2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c，f(1)＝－，
Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0.
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当c＞0 时，f(0)＞0，f(1)＜0，
∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点；
当c＝0 时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0，
∴f(x)在(0,2)内有一个零点；
当c＜0 时，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，
∴f(x)在(0,2)内有一个零点．
综上，f(x)在(0,2)内至少有一个零点．
14．解　(1)f(x)为奇函数，理由如下：
由题意得解得－2<x<2，即函数f(x)的定义域为(－2,2)，故定义域关于原点对称．
又f(－x)＝log2(2－x)－log2(2＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(2)由f(x)＝log2(a＋x)，得log2(2＋x)－log2(2－x)＝log2(a＋x)，
所以＝a＋x，所以a＝－x＝－x＝＋(2－x)－3，
故方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋(2－x)－3 在区间(－2,2)上有
两个不同的实数根，
即函数y＝a 与y＝＋(2－x)－3 在区间(－2,2)上的图象有两个交点．
设t＝2－x，x∈(－2,2)，则y＝＋t－3，t∈(0,4)．
作出函数y＝＋t－3，t∈(0,4)的图象，如图所示．
当1<a<2 时，函数y＝a 与y＝＋t－3，t∈(0,4)的图象有两个交点，即关于x 的方程f(x)＝
log2(a＋x)有两个不同的实数根，
故实数a 的取值范围是(1,2)．
15．D　[因为(x＋sin x)f(x)－ax2＝0，
f(x)＝x2 023|x|，
所以(x＋sin x)x2 023|x|－ax2＝0，
①当x＝0 时，方程成立；
②若x≠0，(x＋sin x)x2 023|x|－ax2＝0 可化为(x＋sin x)x2 021|x|－a＝0
⇔(x＋sin x)x2 021|x|＝a，
令F(x)＝(x＋sin x)x2 021|x|，
因为定义域关于原点对称，
且F(－x)＝[－x＋sin(－x)](－x)2 021·|－x|＝(x＋sin x)x2 021|x|＝F(x)，
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所以F(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，所以F(x)与y＝a 的两个交点对应的横坐标关于y 轴
对称，即方程(x＋sin x)x2 021|x|＝a 的另外两根一定一正一负，
又x1<x2<x3，所以x1<0，x2＝0，x3>0，且x1＝－x3≠0，所以sin x2＋2 023x1x3＝－2 023x<0.]
16．(2，＋∞)
解析　f(x)＝
＝
作出函数的图象如图所示，
则可得－2<x1<－1<x2<0<x3<1<x4，因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝m，
所以－ln(x1＋2)＝－ln(－x2)＝－ln x3＝ln x4，
所以x1＋2＝－x2＝x3＝，
所以x1＝x3－2，x2＝－x3，x4＝，
因为λ>x1－x2＋恒成立，
所以λx>2x3－，
所以λ>＝－＋＝－2＋2，
对任意x3∈(0,1)恒成立，
即λ>max，
所以当x3＝时，函数y＝－2
＋2 取到最大值2，所以λ>2，
即λ 的取值范围为(2，＋∞)．
§2.12　函数与方程的综合应用
1．A　2.B　3.C　4.A　5.A
6．D　[根据函数f(x＋4)＝f(x)可知，函数f(x)的周期T＝4，
由f(x)是定义在R 上的偶函数，
当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1 可得
当x∈(0,2]时，－x∈[－2,0)，
所以f(－x)＝－x－1
＝2x－1＝f(x)，
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画出函数f(x)部分周期内的图象如图粗实线所示，
若在区间(－2,6]内方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)有三个不同的实数根，即函数f(x)的图象与y
＝loga(x＋2)(a>1)的图象在(－2,6]内有三个交点，
y＝loga(x＋2)(a>1)的图象如图中细实线所示，
则需满足
即解得<a<2.]
7．ABD　[对于A，易知当m＝0 时，(x－2)(x－3)＝0 的根为x1＝2，x2＝3，故A 正确；
对于B，设y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝2－≥－，因为y＝(x－2)(x－3)的图象与直线y＝m
有两个交点，所以m>－，故B 正确；
对于C，当m>0 时，y＝(x－2)(x－3)－m 的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m 个单位
长度得到，则x1<2<3<x2，故C 错误；
对于D，由(x－2)(x－3)＝m 展开得x2－5x＋6－m＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2
＝6－m，代入y＝(x－x1)(x－x2)＋m 可得y＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋m＝x2－5x＋6－m＋m＝x2－
5x＋6＝(x－2)·(x－3)，所以二次函数y＝(x－x1)·(x－x2)＋m 的零点为2 和3，故D 正确．]
8．ACD　[由方程f(g(x))＝x 有实数解可得g(f(g(x)))＝g(x)，
再用x 替代g(x)，即 x＝g(f(x))有实数解．
对于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有实数解，故A 正确；
对于B，x＝x＋1，即0＝1，方程无实数解，故B 错误；
对于C，当ecos x＝x 时，
令h(x)＝ecos x－x，
因为h(0)＝e>0，h＝1－<0，
由函数零点存在定理可知，h(x)在上存在零点，所以方程有实数解，故C 正确；
对于D，当ln(|x|＋1)＝x 时，x＝0 为方程的解，
所以方程有实数解，故D 正确．]
9．(－∞，－－1]∪(0，－1]
10．4
解析　若x≤0，f(x)＝－x2－2x，
f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x2－2x(x≥0)，
在同一直角坐标系中画出g(x)＝x2－2x(x≥0)和f(x)＝x－(x>0)的图象，此时有两个“优美
点”(x0，f(x0))，满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图①.
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若x>0，f(x)＝x－，f(x)关于原点对称的函数为g(x)＝x－(x<0)，
在同一直角坐标系中画出g(x)＝x－(x<0)和f(x)＝－x2－2x(x≤0)的图象，此时有两个“优美
点”(x0，f(x0))，满足f(x0)＋f(－x0)＝0，如图②.
综上可知，满足题意的“优美点”有4 个．
§2.13　函数模型的应用
1．C　2.C　3.A　4.B　5.C
6．B　[设甲城市投资a 万元，则乙城市投资(120－a)万元，
由题意可知
解得40≤a≤80，
设投资这两座城市收益为y，
则有y＝3－6＋(120－a)＋2＝3－a＋26，
令＝t⇒t∈[2，4]，
则有f(t)＝－t2＋3t＋26，
该二次函数的图象开口向下，且对称轴t＝6∈[2，4]，
所以f(t)max＝f(6)＝－×(6)2＋3×6＋26＝44.]
7．ABD　
8．ACD　[由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20 元，
因为100÷20＝5，
所以＝e－a＝5，
则a＝－ln 5，故A 正确；
由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.
因为四等奖的面值是五等奖面值的3 倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，
解得k＝5，故B 错误；
则三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D 正确；
由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130，故一等奖的面值为3 130 元，故C 正确．]
9．11.1　10.48 800
11．②
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12．8
解析　过滤第1 次污染物的含量为1.2×(1－0.2)(mg/cm3)；
过滤第2 次污染物的含量为1.2×(1－0.2)2(mg/cm3)；
过滤第3 次污染物的含量为1.2×(1－0.2)3(mg/cm3)；
…
过滤第n 次污染物的含量为1.2×(1－0.2)n(mg/cm3)．
要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，
则1.2(1－0.2)n≤0.2，即n≥6，
两边取以10 为底的对数可得
lgn≥lg 6，
即nlg≥lg 2＋lg 3，
所以n≥，
因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，
所以≈＝7.77，
所以n≥7.77，
又n∈N*，所以nmin＝8，
故排放前需要过滤的次数至少为8.
13．解　(1)当x∈[0,16]时，
设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0)，
因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80，
所以b＝－，
所以f(x)＝－(x－12)2＋84；
当x∈[16,40]时，f(x)＝log0.8(x＋a)＋80，
由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80，解得a＝－15，
所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80，
综上，f(x)＝
(2)当x∈[0,16]时，
令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68，
即(x－12)2≥64，
解得x≤4 或x≥20(舍去)，
所以x∈[0,4]；
当x∈[16,40]时，令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68，
得x≥15＋0.8－12≈29.6，
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所以x∈[30,40]，
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟)．
14．解　(1)由表格中的数据知，当时间x 变长时，Q(x)先增后减，
①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．
所以选择函数模型②：
Q(x)＝a|x－m|＋b.
由Q(15)＝Q(25)，可得|15－m|＝|25－m|，解得m＝20，
由
解得
则日销售量Q(x)与时间x 的关系式为Q(x)＝－|x－20|＋60(1≤x≤30，x∈N*)．
(2)因为第10 天的日销售收入为505 元，
则×50＝505，解得k＝1，
所以P(x)＝＋10.
由(1)知Q(x)＝－|x－20|＋60
＝
则f(x)＝P(x)·Q(x)
＝
当1≤x≤20，x∈N*时，
f(x)＝10x＋＋401
≥2＋401＝441，
当且仅当10x＝，即x＝2 时，等号成立；
当20<x≤30，x∈N*时，
f(x)＝－10x＋＋799 单调递减，
所以函数的最小值为f(30)＝499＋>441，
综上可得，当x＝2 时，函数f(x)取得最小值441.
第三章　一元函数的导数及其应用
§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算
1．A　2.A　3.B　4.C　5.B　6.A
7．ACD　[对于A，设切点为(m，ln m－1)，
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则k＝f′(m)＝＝，
∴ln m－1＝·m，∴ln m＝2，
∴m＝e2，k＝.
∴过原点的切线方程为y＝，故A 正确；
对于B，由反函数的概念可得y＋1＝ln x⇒ey＋1＝x，故与f(x)关于y＝x 对称的函数为y＝ex＋
1，故B 错误；
对于C，若过点(a，b)有2 条直线与f(x)相切，则点(a，b)在f(x)上方，如图所示，
即b>f(a)，即b>ln a－1，故C 正确；
对于D，由于∀x>0，设g(x)＝x－ln x－1⇒g′(x)＝，
令g′(x)>0⇒x>1，令g′(x)<0⇒0<x<1，
∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
∴g(x)≥g(1)＝0⇒ln x≤x－1⇒f(x)≤x－2，
故D 正确．]
8．BCD　[对于A，f′(x)＝cos x＋sin x，
f″(x)＝－sin x＋cos x
＝－sin，
当x∈时，sin<0，
f″(x)＝－sin>0，故A 错误；
对于B，f′(x)＝－3，f″(x)＝－<0 在上恒成立，故B 正确；
对于C，f′(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x<0 在上恒成立，故C 正确；
对于D，f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，f″(x)＝－e－x－(1－x)e－x＝－(2－x)e－x，
因为x∈，所以2－x>0，
所以f″(x)＝－(2－x)e－x<0 在上恒成立，故D 正确．]
9．－2
10.y＝x3＋x(答案不唯一)
11.
解析　设直线y＝x＋m 与y＝ln x 相切于点(x0，ln x0)，
因为y＝ln x 的导函数为y′＝，
所以＝1，且ln x0＝x0＋m，
解得x0＝1，m＝－1.
因为直线y＝x－1 与曲线y＝ax2相切，
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联立得ax2－x＋1＝0，a≠0 且Δ＝1－4a＝0，即a＝.
12.
解析　由已知得，曲线的切线过点(0,0)，
当x>0 时，曲线为y＝ax＋2ln x，
设x1>0，直线y＝k1x 在曲线上的切点为(x1，ax1＋2ln x1)，
＝a＋，
∴切线方程为y－(ax1＋2ln x1)＝(x－x1)，
又切线过点(0,0)，
∴－ax1－2ln x1＝(－x1)，
∴x1＝e，k1＝a＋；
同理，当x<0 时，曲线为
y＝ax＋2ln(－x)，
设x2<0，直线y＝k2x 在曲线上的切点为(x2，ax2＋2ln(－x2))，
＝a＋，
∴切线方程为y－[ax2＋2ln(－x2)]＝(x－x2)，
又切线过点(0,0)，
∴－ax2－2ln(－x2)＝(－x2)，
∴x2＝－e，k2＝a－，
∴k1－k2＝.
13．解　(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，
f′(e)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，
∴f(e)＝－＋ln e＝－1.
(2)∵f(x)＝－＋ln x，
f′(x)＝－＋，
∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，
f′(e2)＝－＋，
∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)，
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
14．解　(1)方程7x－4y－12＝0 可化为y＝x－3，
当x＝2 时，y＝，
又∵f′(x)＝a＋，
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∴解得
∴f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
∴切线与直线x＝0 的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
∴切线与直线y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．
∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0 和y＝x 所围成的三角形的面积
S＝·|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0 和y＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值
为6.
15．B　[f′(x)＝＋1，
切点为P(m，ln m＋m)，
则切线方程为
y＝(x－m)＋ln m＋m，
因为l 过原点，
所以0＝(－m)＋ln m＋m，
解得m＝e，则P(e，e＋1)，
由ln x0＋x0＝0，可得x0＝－ln x0，
故
＝ex0·
＝ex0·＝e.]
16．(0,1)
解析　由题意得，f(x)＝|ex－1|＝
则f′(x)＝
所以点A(x1,1－
)和点B(x2，
－1)，kAM＝
，kBN＝
，
所以
＝－1，x1＋x2＝0，
所以AM：y－1＋
＝
所以|AM|＝
·|x1|，
同理|BN|＝
·|x2|，
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所以＝
∈(0,1)．
§3.2　导数与函数的单调性
1．A　2.D　3.C　4.C　5.D
6．B　[设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R，
则f′(x)＝ex－1，
当x<0 时，f′(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0 时，f′(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)＝0，即ex≥1＋x，
当且仅当x＝0 时取等号，
∵ex≥1＋x，
∴
>1－＝，
∴b>a，
由以上分析可知当x>0 时，有ex－1≥x 成立，当x＝1 时取等号，
即ln x≤x－1，当且仅当x＝1 时取等号，
∴ln <－1＝，
∴a>c，故b>a>c.]
7．BD　
8．ACD　[由f(x)＝ln x，
得f′(x)＝ln x＋，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因为c＝f ，0<<<<1，
所以f >f >f ，
故c>a>b.]
9.
10．(－∞，－)∪(，＋∞)
11．(－3，－1)∪(0,1)
12.
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解析　f′(x)＝－4x＋，
若函数f(x)在[1,2]上单调，
即f′(x)＝－4x＋≥0 或f′(x)＝－4x＋≤0 在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，
又a>0，所以0<a≤或a≥1.
因为f(x)在[1,2]上不单调，
所以<a<1.
13．解　(1)根据题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(1)＝0，
f′(x)＝－ln x＋，
∴f′(1)＝a－1，
∴曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(a－1)(x－1)．
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－ln x＋＝，
令g(x)＝－xln x－x＋a，
则g′(x)＝－ln x－2，
令g′(x)＝0，则x＝，
令g′(x)>0，则0<x<，
令g′(x)<0，则x>，
∴g(x)在上单调递增，在上单调递减，
g(x)max＝g＝＋a，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)≤0 在(0，＋∞)上恒成立，
即＋a≤0，
∴a≤－.
14．解　(1)f(x)≤x＋c 等价于
ln x－x≤c－1.
令h(x)＝ln x－x，x>0，
则h′(x)＝－1＝.
当0<x<1 时，h′(x)>0，
所以h(x)在(0,1)上单调递增；
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当x>1 时，h′(x)<0，
所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减．
故h(x)max＝h(1)＝－1，
所以c－1≥－1，即c≥0，
所以c 的取值范围是[0，＋∞)．
(2)g(x)＝＝(x>0 且 x≠a)，
因此g′(x)＝，
令 m(x)＝x－a－xln x＋xln a，
则m′(x)＝ln a－ln x，
当x>a 时，ln x>ln a，所以m′(x)<0，m(x)在(a，＋∞)上单调递减，
当0<x<a 时，ln x<ln a，所以m′(x)>0，m(x)在(0，a)上单调递增，
因此有m(x)<m(a)＝0，
即 g′(x)<0 在x>0 且x≠a 上恒成立，
所以函数g(x)在区间(0，a)和(a，＋∞)上单调递减．
15．D　[因为当0<x1<x2时，不等式－<0 恒成立，
所以<，
即x1f(x1)<x2f(x2)，
令g(x)＝xf(x)＝ex－ax2，
则g(x1)<g(x2)，
又因为0<x1<x2，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g′(x)＝ex－2ax≥0 在(0，＋∞)上恒成立，
分离参数得2a≤恒成立，
令h(x)＝(x>0)，
则只需2a≤h(x)min，
而h′(x)＝ex·，
令h′(x)>0，得x>1，令h′(x)<0，得0<x<1，所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单
调递增，
所以h(x)≥h(1)＝e，故2a≤e，
即a≤.]
16．C　[令g(x)＝xf(x)，
由于f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．
因为当x＞0 时，＞－f′(x)，
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即＞0，
所以f(x)＋xf′(x)＞0，
即g′(x)＞0.所以当x＞0 时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
因为g(x)在R 上为奇函数且在R 上存在导函数，
所以g(x)在R 上为增函数．
因为f(2)＝1，所以g(2)＝2f(2)＝2，
又(x2－x)f(x2－x)＞2 等价于
g(x2－x)＞g(2)，
所以x2－x＞2，解得x＜－1 或x＞2.
综上所述，x 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]
§3.3　导数与函数的极值、最值
1．A　2.B　3.A　4.D
5．B　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
依题意可知
而f′(x)＝－，
所以即
所以f′(x)＝－＋，
因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1 时，函数f(x)取得最大值，满足题意．
所以f′(2)＝－1＋＝－.]
6．D　[由f(m)＝g(n)，得em＋m＝3n，
所以3n－3m＝em－2m；
令h(m)＝em－2m(m∈R)，
则h′(m)＝em－2，
令em－2＝0，解得m＝ln 2.
当m∈(－∞，ln 2)时，h′(m)<0，
即h(m)在(－∞，ln 2)上单调递减；
当m∈(ln 2，＋∞)时，h′(m)>0，
即h(m)在(ln 2，＋∞)上单调递增；
即h(m)min＝h(ln 2)＝2－2ln 2，
故(n－m)min＝(1－ln 2)．]
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7．ABC
8．BCD　[函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，
则f′(x)＝－－＝，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而
a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0 有两个不相等的正实数根x1，x2，
于是
即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，
显然a2bc<0，即bc<0，故A 错误，B，C，D 正确．]
9．sin x(答案不唯一)　10.
11．4
解析　商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，
f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
令f′(x)＝0，得x＝4 或x＝6(舍去)．
故当x∈(3,4)时，f′(x)＞0，当x∈(4,6)时，f′(x)＜0.
则函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，
∴当x＝4 时，函数f(x)取得最大值f(4)＝42.
故当销售价格为4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
12.
解析　f(x)＝ex－ax2－a，定义域为R，
所以f′(x)＝ex－2ax，
故
－2ax1＝0，
－2ax2＝0；
又x2＝2x1，所以
－4ax1＝0.
又
>0，故
＝2，所以x1＝ln 2，
所以a＝
＝.
13．解　(1)f′(x)＝－＋2a2
＝
＝，x>0，
∵a>0，∴－<0<.
∴在上，f′(x)<0，f(x)单调递减；
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在上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)可知，f(x)min＝f 
＝aln ＋3a＋2a－4a
＝aln ＋a＝a(1－ln a)，
∵y＝f(x)的图象与x 轴没有公共点，
∴1－ln a>0，∴0<a<e.
∴a 的取值范围为(0，e)．
14．解　(1)∵f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e]，
∴f′(x)＝，
由f′(1)＝0，得a＝1.
∴f′(x)＝，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e]时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；
f(x)的极大值为f(1)＝－1，
也即f(x)的最大值为f(1)＝－1.
(2)∵f(x)＝ln x－ax，
∴f′(x)＝，
①当a≤0 时，f(x)在(0，e]上单调递增，∴f(x)的最大值是f(e)＝1－ae＝－3，
解得a＝>0，舍去；
②当a>0 时，由f′(x)＝＝0，得x＝，
当0<<e，即a>时，
∴x∈时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，
又f(x)在(0，e]上的最大值为－3，
∴f(x)max＝f＝－1－ln a＝－3，
∴a＝e2，符合题意；
当e≤，即0<a≤时，f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)max＝f(e)＝1－ae＝－3，
解得a＝>，舍去．
综上，存在a 符合题意，此时a＝e2.
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§3.4　函数中的构造问题
1．B　2.D　3.C　4.C　5.B
6．B　[由0<x<y<π，且eysin x＝exsin y，得＝，
令f(x)＝(0<x<π)，
则f′(x)＝，
当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当<x<π 时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当f(x)＝f(y)时，0<x<，<y<π，因为0<x<y<π，ex<ey，＝，
所以sin y>sin x>0，
所以<y<π－x<π，
所以cos y>cos(π－x)＝－cos x，
所以cos x＋cos y>0.]
7．ABD　[构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
则g′(x)＝f′(x)－＝，
因为xf′(x)－1>0，所以g′(x)>0，
故g(x)是增函数，
由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A 正确；
由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B 正确；
由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C 错误；
由g(e2)>g(e)得，
f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，
即f(e2)－2>f(e)－1，
即f(e2)－f(e)>1，故D 正确．]
8．BCD　[设g(x)＝(x>0)，
则g′(x)＝＝＝′，
可设g(x)＝＋c，
则g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，
故g(x)＝－e，
即f(x)＝ex－ex，x>0，
令g′(x)>0，则x>1，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
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∴g(2)<g(3)，
即<，
则3f(2)<2f(3)，故A 错误；
令f′(x)＝ex－e>0，得x>1，
令f′(x)＝ex－e<0，得0<x<1，
则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(1)<f(2)<f(e)，f(x)在x＝1 处取得极小值，无极大值，故B，C，D 均正确．]
9．(2，＋∞)
10.
解析　∵f(x)＜f′(x)tan x，
∴f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，x∈，
令g(x)＝，x∈，
∴g′(x)＝＞0，
∴g(x)在上为增函数，
由f(x)＞sin x，得＞1＝，
即g(x)>g，∴x＞，
又0<x<，∴<x<，
∴不等式的解集为.
§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题
1．解　(1)当a＝0 时，f(x)＝ex－x＋1，x∈R，则f′(x)＝ex－1，
令f′(x)＝0，得x＝0，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(0)＝2.
(2)由题意知，当x>0 时，f(x)≥0 恒成立等价于ex－ax2－x＋1≥0 对任意x>0 恒成立，
即a≤对任意x>0 恒成立，
令h(x)＝，x>0，
则h′(x)＝，
所以当0<x<2 时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x>2 时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，
所以当x＝2 时，函数h(x)有最小值h(2)＝，
所以a 的取值范围为a≤.
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2．解　(1)该函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x－＝(x>0，a≠0)，
①当a<0 时，f′(x)＝>0 恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a>0 时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
综上，当a<0 时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0 时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
(2)对任意的x∈[1，＋∞)，都有f(x)≥成立，只需任意的x∈[1，＋∞)，f(x)min≥，
①当a<0 时，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以只需f(1)≥，而f(1)＝，
所以a<0 满足题意；
②当0<a≤1 时，0<≤1，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以只需f(1)≥，而f(1)＝，
所以0<a≤1 满足题意；
③当a>1 时，>1，f(x)在[1，]上单调递减，
在[，＋∞)上单调递增，所以只需f()≥即可，而f()<f(1)＝，从而a>1 不满足题意．
综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(0,1]．
3．解　(1)若b＝0，函数f(x)＝x 的图象与g(x)＝2aln x 的图象相切，
设切点为(x1,2aln x1)，且g′(x)＝，
则切线方程为y－2aln x1＝(x－x1)，
即y＝x－2a＋2aln x1，
∴解得
(2)当a>0，b＝－1 时，F(x)＝xf(x)＋g(x)＝x2＋1＋2aln x，x∈(0,1]，
F′(x)＝2x＋>0，
∴F(x)在(0,1]上单调递增．
不妨设0<x1<x2≤1，原不等式⇔F(x2)－F(x1)<3，
即F(x2)＋<F(x1)＋.
设h(x)＝F(x)＋＝x2＋1＋2aln x＋，x∈(0,1]，
则原不等式⇔h(x)在(0,1]上单调递减．
即h′(x)＝2x＋－≤0 在(0,1]上恒成立．
∴2a≤－2x2在(0,1]上恒成立．
∵函数y＝－2x2在(0,1]上单调递减，∴ymin＝3－2＝1，
∴2a≤1，又a>0，∴0<a≤.
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4．解　(1)因为f′(x)＝2x＋a(x＋1)ex，
所以函数f(x)的图象在x＝2 处的切线斜率为f′(2)＝4＋3ae2，
又因为f(2)＝4＋3ae2，
所以函数f(x)的图象在x＝2 处的切线方程为
y－4－3ae2＝(4＋3ae2)(x－2)．
又因为这条切线过点(3,14)，
代入解得a＝.
(2)当x＝0 时，f(0)＝ae2≥0，
所以a≥0.
下面证明，当a≥0 时，对任意实数x∈R，都有x2＋axex＋ae2≥0 恒成立．
记g(x)＝xex＋e2，
则g′(x)＝(x＋1)ex，
令g′(x)>0，得x>－1；
令g′(x)<0，得x<－1；
所以g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(－1)＝－e－1＋e2>0.
所以当x∈R 时，xex＋e2>0 恒成立，
又x2≥0，所以当a≥0 时，对任意实数x∈R，x2＋axex＋ae2≥0 恒成立．
综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)．
§3.6　利用导数证明不等式
1．(1)解　因为f(x)＝x2ln x，x>0，
所以f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，
由f′(x)＝0，得x＝
.
当x∈
时，f′(x)<0；
当x∈
时，f′(x)>0.
故f(x)的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
(2)证明　f(x)≥x－1 等价于ln x－≥0.
令函数g(x)＝ln x－，x>0，
则g′(x)＝－＝.
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当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
故g(x)≥g(1)＝0，即f(x)≥x－1.
2．(1)解　函数f(x)＝aln x＋x＋＋2a 的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋1－＝.
由f′(1)＝a－1＝0，得a＝1，
经检验，a＝1 满足题意．
(2)证明　要证明f(x)<x＋，
即证x＋aln x＋＋2a<x＋，
即证a(ln x＋2)<，
即证<.
令g(x)＝，其中x>0，
则g′(x)＝，
当0<x<2 时，g′(x)<0，此时函数g(x)单调递减；当x>2 时，g′(x)>0，此时函数g(x)单调递
增．
所以g(x)min＝g(2)＝.
令h(x)＝，
其中0<a<，x>0，
则h′(x)＝－.
当0<x<时，h′(x)>0，此时函数h(x)单调递增；当x>时，h′(x)<0，此时函数h(x)单调递减．
所以h(x)max＝h＝ae<，
则h(x)max<g(x)min，
所以<.
故原不等式得证．
3．(1)解　f′(x)＝ln x＋1，x∈(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝，
当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)证明　令g(x)＝f(x)－2x＋1，
则g′(x)＝ln x－1，
令g′(x)＝0，得x＝e，当0＜x＜e 时，g′(x)＜0，当x＞e 时，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，
e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
又g(e)＝1－e＜0，
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所以不妨设0＜x1＜e＜x2.
要证x1＋x2＞2e，即证x2＞2e－x1，
即证g(x2)＞g(2e－x1)．
因为g(x2)＝g(x1)，
所以g(x1)＞g(2e－x1)．
令h(x)＝g(x)－g(2e－x)，x∈(0，e)，
则h′(x)＝ln x－2＋ln(2e－x)
＝ln(2ex－x2)－2
＝ln [－(x－e)2＋e2]－2＜0，
所以h(x)在(0，e)上单调递减，
所以h(x)＞h(e)＝g(e)－g(e)＝0，
从而必有g(x2)＞g(2e－x1)．
即x1＋x2＞2e.
4．(1)解　f′(x)＝＋2x－a＝(x>0)．
当a＝3 时，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，
当0<x<或x>1 时，f′(x)>0；
当<x<1 时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为
和(1，＋∞)，单调递减区间为.
(2)证明　由于f(x)有两个极值点x1，x2，则2x2－ax＋1＝0 有两个不相等的实根，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
即2(x1＋x2)＝a，x2＝，
则f(x1)－f(x2)＝ln x1＋x－ax1－ln x2－x＋ax2
＝ln x1－ln x2＋x－x－a(x1－x2)
＝ln x1－ln＋x－x－2(x1＋x2)(x1－x2)
＝2ln x1－x＋＋ln 2(x1>1)，
设F(x)＝2ln x－x2＋＋ln 2(x>1)，则F′(x)＝－2x－＝－<0，
所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以F(x)<F(1)＝－＋ln 2，
即f(x1)－f(x2)<－＋ln 2.
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§3.7　利用导数研究函数的零点
1．(1)解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
由f(x)＝－kln x(k>0)，
得f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f′(x)与f(x)在区间(0，＋∞)上随x 的变化情况如下表．
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
↗
所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值．
(2)证明　由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，
当k＝e 时，f(x)在区间(1，]上单调递减且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点；
当k>e 时，f(x)在区间(1，]上单调递减且f(1)＝>0，f()＝<0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
2．解　(1)函数f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝＋a.
当a≥0 时，f′(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)无极值点；
当a<0 时，令f′(x)＝0，解得x＝－，
所以当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示．
x
－
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
所以f(x)有一个极大值点，无极小值点．
综上，当a≥0 时，f(x)无极值点；
当a<0 时，f(x)有一个极值点．
(2)当a＝2 时，方程f(x)＋f′(x)＋m＝0，
即ln x＋2x＋＋2＋m＝0，
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则－m＝ln x＋2x＋＋2.
令h(x)＝ln x＋2x＋＋2，x>0，
则h′(x)＝＋2－＝.
令h′(x)＝0，解得x＝或x＝－1(舍去)．
当x∈时，h′(x)<0，h(x)在区间上单调递减；
当x∈时，h′(x)>0，h(x)在区间上单调递增，
所以h(x)≥h(x)min＝h＝5－ln 2，
又当x→0 时，h(x)→＋∞；
当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
所以－m>5－ln 2，即m<ln 2－5，
故m 的取值范围是(－∞，ln 2－5)．
3．解　(1)∵f(x)＝xsin x＋sin
＝xsin x＋cos x，
∴f′(x)＝xcos x，
∵0<x<π，
∴由f′(x)>0，得0<x<；
由f′(x)<0，得<x<π，
∴f(x)在(0，π)上的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)g(x)＝x2＋4－4f(x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x，x≥0，
则g(0)＝0，g′(x)＝2x(1－2cos x)，
当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，g(x)<g(0)＝0，
当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增，g＝2＋4－4×sin －4cos >0，
∴g(x)在上有唯一零点；
当x≥时，g(x)>x2＋4－4x－4＝x2－4x≥2－4×>0，
故g(x)在上无零点．
又g(0)＝0，
∴g(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点．
4．解　(1)当a＝0 时，f(x)＝－－ln x(x>0)，
所以f′(x)＝－＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝－1.
(2)由f(x)＝ax－－(a＋1)ln x(x>0)，得f′(x)＝a＋－＝(x>0)．
当a＝0 时，由(1)可知，f(x)不存在零点；
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当a<0 时，f′(x)＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，
所以f(x)不存在零点；
当a>0 时，f′(x)＝，
当a＝1 时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝a－1＝0，所以函数f(x)恰有一个零点；
当a>1 时，0<<1，
故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
因为f(1)＝a－1>0，
所以f >f(1)>0，
当x→0＋时，f(x)→－∞，
由零点存在定理可知f(x)在上必有一个零点，
所以a>1 满足条件，
当0<a<1 时，>1，
故f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减．
因为f(1)＝a－1<0，
所以f <f(1)<0，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，
由零点存在定理可知f(x)在上必有一个零点，
即0<a<1 满足条件．
综上，若f(x)恰有一个零点，
则a 的取值范围为(0，＋∞)．
第四章　三角函数与解三角形
§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念
1．D　2.B　3.B　4.B　5.A　6.C 
7．ACD　[角θ 的终边经过点(－2，－)，
则sin θ＝－，A 正确；
θ 与α 的终边关于x 轴对称，由题意得α 的终边经过点(－2，)，α 为第二象限角，不一定为
钝角，cos α＝－，B 错误，C 正确；
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因为tan θ＝>0，sin α＝>0，
所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D 正确．]
8．BD　[由题意可知，经过1 s 后，∠AOB＝－＋＝，
所以此时扇形AOB 的面积为α·r2＝××12＝，故A 错误；
经过2 s 后，∠AOB＝－2×
＋2×＝，所以此时劣弧AB的长为αr＝，故B 正确；
经过6 s 后，质点B 转过的角度为6×＝，结合题意，此时质点B 为角＋＝的终边与单位圆
的交点，所以质点B 的坐标为，故C 错误；
经过 s 后，质点B 转过的角度为×＝，质点A 转过的角度为×＝－，
因为－＋＝2π，
所以经过 s 后，质点A，B 在单位圆上第一次相遇，故D 正确．]
9．120°或－240°　10.4
11．{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}
解析　终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为
S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为
S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在题图中阴影部分内的角α 的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，
k∈Z}．
12.
解析　设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，
在Rt△POB 中，PB＝rtan α，
则△POB 的面积为r2tan α，
由题意得r2tan α＝2×αr2，
即tan α＝2α，所以＝.
13．解　(1)因为角θ 的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a>0 时，r＝5a，
sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a<0 时，r＝－5a，
sin θ＋cos θ＝－＋＝.
综上，sin θ＋cos θ＝±.
(2)当a>0 时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin<0；
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当a<0 时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin>0.
综上，当a>0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a<0 时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号
为正．
14．解　(1)由题意得，
30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，
∴θ＝(0<x<10)．
(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50，
装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，
∴花坛的面积与装饰总费用的比
y＝(0<x<10)．
令t＝17＋x，则t∈(17,27)，
则y＝－
≤－＝，
当且仅当t＝，即t＝18 时，
y 取得最大值，最大值为，
此时x＝1，θ＝.
故当x＝1 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．
15．AD　[由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有ACB＝1·α＝α，所以A 正确；由于点B
是∠AOB 的一边与单位圆的交点，则y1是对应∠AOB 的正弦值，x1是对应∠AOB 的余弦值，
若y1＝sin x0，则x1＝cos x0，所以B 错误；当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以
C 错误；反过来，当∠AOB＝x0，即ACB＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D 正确．]
16．15
解析　由题意碾滚最外侧滚过的距离为2π×100＝200π(cm)，碾滚的周长为2π×30＝
60π(cm)，所以碾滚滚过＝(圈)，即滚过了×360°＝3×360°＋120°，所以点A 距碾盘的垂直距
离为30－30×cos(180°－120°)＝15(cm)．
§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
1．B　2.C　3.C　4.B　5.D　6.D
7．ABC　[在△ABC 中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A 正确；
sin ＝sin＝cos ，B 正确；
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tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C 正确；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D 错误．]
8．BD　[当t＝时，sin θ＋cos θ＝，
两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝，
可得sin θcos θ＝－<0，故A 错误；
所以θ∈，所以sin θ－cos θ＝－＝－＝－，
可得sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)·(sin2θ＋cos θsin θ＋cos2θ)＝×＝－，故B 正确；
因为sin θ＋cos θ＝t，t∈(－1，]，
两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝t2，
可得sin θcos θ＝，
所以sin θ＋cos θ－sin θcos θ
＝t－＝1－(t－1)2，
因为t∈(－1，]，
所以f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ∈(－1,1]，故C 错误，D 正确．]
9．－　10.1
11．－　
解析　cos＝cos
＝－cos＝－.
sin＝sin＝cos＝.
12.
解析　因为sin θ－2cos θ＝－，
则2＋cos2θ＝1，
所以5cos2θ－cos θ－＝0，
即＝0，
又因为θ 为第一象限角，
所以cos θ＝，所以sin θ＝，
从而sin θ＋cos θ＝.
13．解　(1)∵cos＝－sin α＝－，∴sin α＝，
又α 是第二象限角，
∴cos α＝－＝－，
则tan α＝＝－.
(2)f(α)＝
＝＝cos α，
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由(1)知，cos α＝－，
则f(α)＝cos α＝－.
14．解　若选择条件①：
∵4sin(2 022π＋α)＝－3cos(2 024π＋α)，
∴4sin α＝－3cos α，
∴tan α＝－.
若选择条件②：
∵α 是第四象限角，
∴sin α<0，cos α>0，
又sin α＋cos α＝，
∴2＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝－，
∴tan α＝－.
若选择条件③：
∵α 是第四象限角，
∴sin α<0，cos α>0，
又∵α，β 的终边关于x 轴对称，
∴sin α＝－sin β，cos α＝cos β.
又∵4sin β＝3cos β，
∴－4sin α＝3cos α，
即tan α＝－.
(1)＝
＝＝1.
(2)sin2α＋3sin αcos α＝
＝＝
＝－.
15．BD　[由tan ＝sin C
⇒tan＝＝＝2sin cos ，
因为0<<，所以cos ≠0，
所以1＝2sin2⇒1－2sin2＝0
⇒cos C＝0⇒C＝，
所以tan B＝tan＝，＝tan2A 不一定为1，A 错误；
因为sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin，0<A<
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⇒<A＋<，
所以<sin≤1
⇒1<sin≤，
从而有1<sin A＋sin B≤，B 正确；
因为cos B＝cos＝sin A，所以sin2A＋cos2B＝2sin2A 不一定等于1，C 错误；
cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，D 正确．]
16．0
解析　 记sin2x＝m，sin2y＝n，
则tan2x＝，tan2y＝，
于是题中等式即＝m＋n，也即＝m＋n，
整理得mn(m＋n－2)＝0，
于是m＝0 或n＝0 或m＋n＝2.
若m＋n＝2，则sin2x＝sin2y＝1，不符合题意．
因此sin x＝0 或sin y＝0，
于是sin x·sin y＝0.
§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．C　2.A　3.D　4.B　5.D　6.B
7．BC　[对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A 错误；
对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B 正确；
对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C 正确；
对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D 错误．]
8．BD　[由已知可得
所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sin α－sin β)2＋(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)＝2－
2cos(β－α)，
所以cos(β－α)＝，
因为α，β，γ∈，
则－<β－α<，
因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin x 在上单调递增，则α>β，则－<β－α<0，故β－α
＝－.]
9．－
72
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10．1
解析　原式＝－sin 40°
＝－sin 40°·
＝－sin 40°·
＝＝
＝＝1.
11.
解析　因为θ∈(0，π)，
所以－θ∈(－π，0)，
所以－θ∈，
因为cos＝－<0，
所以－θ∈，
所以sin＝
＝，
所以tan＝tan＝－tan＝－＝.
12．－4
解析　由已知得3cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]＝0，
因此3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，
整理得8cos(α＋β)cos α＋2sin(α＋β)sin α＝0，
因此sin(α＋β)sin α＝－4cos(α＋β)cos α，
于是·＝－4，
即tan(α＋β)tan α＝－4.
13．解　(1)因为α，β∈，
所以cos α>0，cos β>0，
由
解得cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)因为α＋β＝，sin ＝>sin α＝>sin β＝，且函数y＝sin x 在上单调递增，
所以0<β<α<，
所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
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14．解　(1)∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∵cos＝－，
sin＝，
∴sin＝＝，
cos＝＝，
∴cos 
＝cos
＝coscos＋
sinsin
＝－×＋×
＝－.
(2)∵α∈，β∈，
∴α＋β∈，
则∈，
∵cos ＝－，
∴sin ＝＝，
∴tan ＝－.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
15．C　[tan θ＝
＝－＝－
＝－tan＝tan
＝tan，
故θ＝－2＋kπ，k∈Z.
又cos 2－sin 2<0，
－cos 2－sin 2＝－sin<0，
故θ 在第三象限，故k＝1，θ＝－2.]
16．－
解析　由题意可得
OA＝(sin α，cos α)，
OB＝，
所以|OA|＝＝1，
同理可得|OB|＝1，
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则cos∠AOB＝cos〈OA，OB〉＝＝sin αcos＋cos αsin
＝sin＝cos ＝－，
所以2α＋＝－＋2kπ(k∈Z)或2α＋＝＋2kπ(k∈Z)，
解得α＝－＋kπ(k∈Z)或α＝＋kπ(k∈Z)．
§4.4　简单的三角恒等变换
1．D　2.A　3.C　4.D　5.B
6．D　[由<α<，
知<α＋<2π，
因为sin＝－，
所以cos＝
＝，
所以sin α＝sin
＝sin－cos
＝×＝－，
而sin 2α＝－cos
＝－cos 2
＝－
＝－＝－，
所以sin 2α＋sin2α＝－＋2
＝.]
7．BD　[对于A，cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝，所
以A 错误；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cos 15°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，所以B 正确；
对于C, cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－
60°)＝cos 60°＝，所以C 错误；
对于D,2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2××＝＝，所以D 正确．]
8．CD　[因为
f(x)＝sin xsin－
＝sin x－
＝sin2x＋sin xcos x－
＝×＋sin 2x－
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＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以－≤f(x)≤，f(x)的值不可能是－2 和2.]
9.　10.1　1
11.
解析　＝＝＝＝＝tan α＝.
12.
解析　由题意得cos2＝＝＝，
即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，0<2θ<，
所以cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin 
＝×－×＝.
13．解　(1)原式＝2cos 50°－
＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝32.
14．解　(1)因为f(x)＝a·b
＝2cos2x－2sincos
＝1＋cos 2x－sin
＝1＋cos 2x－sin 2x－cos 2x
＝－sin 2x－cos 2x＋1
＝－sin＋1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f ＝－sin＋1＝，可得sin＝，
又因为x0∈，
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则x0＋∈，
则cos＝－
＝－，
则sin 2＝2sin·cos＝－，
cos 2＝cos2－sin2＝，
可得cos 2x0＝cos
＝cos 2cos ＋
sin 2sin 
＝×＋×
＝，
所以cos 2x0＝.
15．D　[ f(x)＝＋
＋＝－[cos 2x·(1＋cos 2α＋cos 2β)－sin 2x(sin 2α＋sin 2β)]，
由题意得
两式平方相加可得cos(2α－2β)＝－，
所以2α－2β＝＋2kπ 或2α－2β＝－＋2kπ，k∈Z.
当α＝，β＝时，2α－2β＝－，符合题意，故D 正确，A，B，C 错误．]
16．D　[由tan(α＋15°)＝7tan(α－15°)
⇒＝7·
⇒sin(α＋15°)cos(α－15°)
＝7sin(α－15°)cos(α＋15°)，
设A＝sin(α＋15°)cos(α－15°)，
B＝cos(α＋15°)sin(α－15°)，
则A＝7B，①
又A－B＝sin 30°＝，②
联立①②，解得A＝，B＝，
故sin(α－15°)cos(α＋15°)＝.]
§4.5　三角函数的图象与性质
1．A　2.D　3.A　4.D　5.B
6．C　[由函数的最小正周期T 满足<T<π，得<<π，解得2<ω<4，
又因为ω∈N*，所以ω＝3，
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所以f(x)＝sin＋b，
又函数y＝f(x)的最小值为1，
所以b＝2，
所以f(x)＝sin＋2，
令3x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－，k∈Z，
所以对称中心为(k∈Z)，只有C 符合题意(k＝2)．]
7．AD　[函数f(x)＝cos x＋asin x
＝sin(x＋θ)，
其中sin θ＝，
cos θ＝，θ∈(0，π)，
当a＝0 时，f(x)＝cos x 为偶函数，故A 正确；
对于B，无论a 取何值，函数f(x)＝sin(x＋θ)都不可能为奇函数，故B 错误；
对于C，f(x＋π)＝sin(x＋π＋θ)＝－sin(x＋θ)≠f(x)，故C 错误；
对于D，当x＝时，函数f(x)取得最大值或最小值，故＋a＝±，解得a＝1，故D 正确．]
8．CD　[因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间
上单调，
所以＝·≥－＝，
所以0<ω≤2，
因为f ＝－f ＝1，
所以sin＝－sin
＝1，所以ω＋φ＝＋2k1π，
ω＋φ＝＋2k2π，k1，k2∈Z，
故ω＝π＋2(k2－k1)π，
所以ω＝2＋4(k2－k1)，k2，k1∈Z，
因为0<ω≤2，k2－k1∈Z，所以ω＝2，
则φ＝＋2k1π，k1∈Z，
又0<|φ|<，所以φ＝.]
9.(k∈Z)
10．－cos 4x(答案不唯一)
11.
解析　因为x∈，
所以x＋∈，
又在y＝sin x 的单调递减区间内，
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所以a＋≤，
解得a≤，
所以a 的最大值为.
12.
解析　∵sin x＋cos y＝，sin x∈[－1,1]，
∴sin x＝－cos y∈[－1,1]，
∴cos y∈，
即cos y∈，
∵sin x－sin2y
＝－cos y－(1－cos2y)
＝cos2y－cos y－
＝2－1，
又cos y∈，
利用二次函数的性质知，当cos y＝－时，sin x－sin2y 取最大值，(sin x－sin2y)max＝2－1＝.
13．解　(1)由直线x＝π 是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得
sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝＋(k∈Z)．
又0<ω<，所以ω＝，
所以函数f(x)的最小正周期为3π.
(2)由(1)知
f(x)＝2sin＋m，
因为f(π)＝0，
所以2sin＋m＝0，
解得m＝－2，
所以f(x)＝2sin－2，
当0≤x≤时，－≤x－≤，
可得－≤sin≤1.
所以－3≤f(x)≤0，
故函数f(x)在上的值域为[－3,0]．
14．解　(1)函数f(x)＝asin
－2cos2
＝asin－cos－1
＝asin－
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cos－1
＝asin＋sin－1
＝(a＋1)sin－1，
若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1，
所以f(x)＝2sin－1，
则函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3 的两个相邻交点的距离等于π，
且f(x)的最小正周期T＝＝π，
所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1，
所以f(x)＝2sin－1.
若选择条件③f(x)的图象过点，
则f ＝(a＋1)sin －1＝0，
解得a＝1.
所以f(x)＝2sin－1，
则函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令f(x)＝1，得sin＝1，
解得2x－＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z.
若关于x 的方程f(x)＝1 在区间[0，m]上有两个不同解，
则x＝或x＝，
所以实数m 的取值范围是.
15．D　[函数f(x)的周期是2π，故A 错误；
f(x)的值域是[0，＋∞)，故B 错误；
当x＝时，x－＝≠，k∈Z，
∴直线x＝不是函数f(x)图象的一条对称轴，故C 错误；
令kπ－<x－<kπ，k∈Z，
可得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z，故D 正确．]
16.
解析　函数f(x)＝sin 的周期T＝π，而－α＝<，
当函数f(x)在上单调时，
N－M＝
＝
＝|cos 2α|≤，
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当函数f(x)在上不单调时，由正弦函数的图象性质知，
当f(x)在上的图象关于直线x＝α＋对称时，N－M 最小，
此时2－＝kπ＋，k∈Z，
即α＝＋，k∈Z，
因此(N－M)min＝
＝
＝
＝＝，
所以N－M 的取值范围是.
§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
1．D　2.C　3.B　4.D　5.B
6．B　[函数f(x)＝sin x，将其图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．所以g(x)＝
sin，两个函数的图象如图所示．
由f(x)＝g(x)，可得
sin x＝sin＝sin x＋cos x，
可得tan x＝，x＝kπ＋，k∈Z，
如图所示就是△ABC 面积的最小值情况之一，此时|AB|＝2π，此时点C 到AB 的距离为，三角
形的面积的最小值为××2π＝π.]
7．BC　[由题图可知，函数的最小正周期T＝2×＝π，
∴＝π，ω＝±2.
当ω＝2 时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，
∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
故y＝sin.
由于y＝sin
＝sin
＝sin，故B 正确；
y＝sin
＝cos
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＝cos，故C 正确；
对于A，当x＝时，sin＝1≠0，故A 错误；
对于D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，故D 错误；
当ω＝－2 时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin＝0，
结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴y＝sin，
但当x＝0 时，y＝sin
＝－<0，与图象不符合，舍去．]
8．AC　[f(x)＝sin，
∵函数f(x)的最小正周期为π，
∴＝π，解得ω＝2，
∴f(x)＝sin，
∵f(x)的图象过点(0，)，
∴f(0)＝sin＝，
即sin＝1，
∴φ＋＝2kπ＋，
解得φ＝2kπ＋，k∈Z，
∵|φ|<，
∴当k＝0 时，φ＝，
则f(x)＝sin
＝sin＝cos 2x，
则f(x)的最大值为，故A 正确；
f ＝cos ＝0≠±，
则x＝不是f(x)图象的一条对称轴，故B 错误；
当0<x<时，0<2x<π，
此时f(x)＝cos 2x 在上单调递减，故C 正确；
把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos＝cos 的图象，无法得到g(x)＝cos 的图象，
故D 错误．]
9．2　10.
11.　8 096
解析　f(x)＝4sin(ωx＋φ)·sin＝2sin(2ωx＋2φ)，
由题图可知f(0)＝，即sin 2φ＝，
由于点(0，)在单调递增的区间内，
故2φ＝＋2kπ，k∈Z，
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解得φ＝＋kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝；
由图象过点，
则ω＋＝2π，解得ω＝2.
故f(x)＝2sin，
令4x＋＝＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z.
令0≤＋≤2 024π，k∈Z，
则－≤k≤8 096－，k∈Z.
所以f(x)在[0,2 024π]内有8 096 条对称轴．
12．S＝60－30cos t(t>0)　4
解析　因为风车6 秒旋转一圈，则其转动的角速度为 rad/s，经过t 秒时，叶片转过的圆心
角为t，此时离地面的高度为30＋30，
故S＝60－30cos t(t>0)．
由S＝60－30cos t≥45，
得cos t≤，
因为0≤t≤6，cos t≤，
所以≤t≤，解得1≤t≤5，
故一圈内点P 离地面的高度不低于45 米的时长为4 秒．
13．解　(1)由图可知，A＝＝2，
函数f(x)的最小正周期为
T＝2×＝π，∴ω＝＝2，
∵f ＝2sin＝2，
∴sin＝1，
则φ＋＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝，
故f(x)＝2sin.
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩小为原来的，
可得到函数y＝2sin 的图象，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数y＝
g(x)的图象，
则g(x)＝2sin＝2sin，
当0≤x≤时，≤4x＋≤，
则－≤sin≤1，－≤g(x)≤2，
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所以g(x)在区间上的值域为[－，2]．
14．解　(1)由题意知g(x)＝2sin(x＋φ)，
根据函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，
又0<φ<，所以φ＝，
则g(x)＝2sin，
则h(x)＝f(x)g(x)
＝4sin xsin
＝4sin x
＝2sin2x＋2sin xcos x
＝1－cos 2x＋sin 2x
＝2sin＋1，
则函数y＝h(x)的最小正周期
T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数y＝h(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)列表如下：
x
－
－
－
2x－
－
－π
－
0
sin
0
－1
0
1
h(x)
2
1
－1
1
3
2
故y＝h(x)在区间上的大致图象如图所示．
15．C　[根据题意可知，点C 是f(x)的一个对称中心，又直线BC 交f(x)的图象于点D，利用
对称性可知B，D 两点关于C 点对称．不妨设B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，
由重心坐标公式可得＝0，
又xB＋xD＝2xC，即可得xC＝，
由最小正周期公式可得
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－(－π)＝＝，解得ω＝，
即f(x)＝2sin，
将A(－π，0)代入f(x)可得
2sin＝0，
又0<φ<π，所以φ＝，
即f(x)＝2sin，
所以|OB|＝yB＝f(0)＝
2sin＝.]
16．－
解析　将函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R 且b≠0)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2
倍，得到函数g(x)＝f ＝asin x＋bcos x(a，b∈R)的图象，再将所得图象向左平移个单位长
度后，得到函数h(x)＝g＝asin 
＋bcos(a，b∈R)的图象，因为h(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以有h(0)＝asin ＋bcos 
＝a＋b＝0，解得＝－.
§4.7　三角函数中有关ω 的范围问题
1．B　2.A　3.C　4.C
5．D　[由方程|f(x)|＝
＝1，可得sin＝±，
所以ωx＋＝kπ±(k∈Z)，
因为ω>0，所以当x∈(0,2π)时，ωx＋∈，
所以ωx＋的可能取值为，，，，，，…，
因为原方程在区间(0,2π)上恰有5 个实根，所以<2ωπ＋≤，
解得<ω≤，
即ω 的取值范围是.]
6．C　[由题意，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，
所以f ＝±1，
即ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z，①
又f ＝0，
所以－ω＋φ＝k2π，k2∈Z，②
由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，
又f(x)在区间上有最小值无最大值，
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所以T≥－＝，
即≥，解得ω≤16.
综上，先检验ω＝15，
当ω＝15 时，由①得×15＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π－，k1∈Z，
又|φ|≤，所以φ＝－，
此时f(x)＝sin，
当x∈时，15x－∈，
当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．
故ω 的最大值是15.]
7．ABC　[f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
则ω·≤，ω·≥－，
∴0<ω≤，
∴选项ABC 符合题意．]
8．CD　[因为f(x)＝1－2cos2
＝－cos＝sin，
所以周期T＝＝.
对于A，由条件知，周期为2π，所以＝2π，解得ω＝，故A 错误；
对于B，函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝sin 的图象，
若其关于y 轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，
故对任意整数k，ω∉(0,2)，故B 错误；
对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π，解得≤ω<，故C 正确；
对于D，由条件得
解得ω≤，
又ω>0，
所以0<ω≤，故D 正确．]
9．[2,3)
解析　因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)＝cos ωx－1＝0，
则cos ωx＝1 有3 个根，
令t＝ωx，则cos t＝1 有3 个根，其中t∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t 的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，
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故2≤ω<3.
10.
解析　由题意得
k1，k2∈Z，
则
又f(x)在上单调，
则－＝≤＝，
解得0<ω≤5，
即0<＋≤5，k1，k2∈Z，
则－<k2－k1≤，
当k2－k1＝2 时，ω＝，此时φ＝，
f(x)＝sin，
当x∈时，x＋∈，
∴f(x)单调递减，符合题意，
故ωmax＝.
§4.8　正弦定理、余弦定理
1．B　2.A　3.D　4.A　5.C　6.B
7．BD　[根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accos B，
代入(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
可得2accos B·＝ac，
即sin B＝，
因为0<B<π，所以B＝或B＝.]
8．BC　[对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B 或2A＋2B＝180°，即A＝B 或A＋B＝90°，则△ABC 为等腰三
角形或直角三角形，故A 错误；
对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin 
A＝sin B，即A＝B，则△ABC 是等腰三角形，故B 正确；
对于C，若＝＝，则由正弦定理得＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC 是
等边三角形，故C 正确；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得
a＝c，故△ABC 是等边三角形，故D 错误．]
9.　10.84
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11．等腰直角三角形
解析　依题意，△ABC 的面积为
S＝(b2＋c2)，
则bcsin A＝(b2＋c2)，
即2bcsin A＝b2＋c2，
由于0<A<π，所以0<sin A≤1，
所以0<2bcsin A≤2bc，
由基本不等式可知b2＋c2≥2bc，
当且仅当b＝c 时等号成立，
所以sin A＝1，A＝，△ABC 是等腰直角三角形．
12.
解析　在△ADC 中，AD⊥AC，AD＝1，
所以＝＝tan C，
因为B＝180°－∠BAC－C＝60°－C，在△ABC 中，
由正弦定理得，＝，
则AB＝＝＝，
所以＝－·
＝－tan C，
所以＋＝tan C＋(－tan C)＝.
13．解　(1)已知bsin C＝csin ，
由正弦定理，得
sin Bsin C＝sin Csin ，
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
故sin B＝sin ，
即2sin cos ＝sin ，
因为∈，
所以sin ≠0，则cos ＝，
所以＝，则B＝.
(2)依题意，得a·BD·sin ＋c·BD·sin ＝acsin ，
即a·BD＋c·BD＝ac，
即2BD＋c·BD＝2c，
所以BD＝.
在△ABC 中，由余弦定理，
得b2＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2＋ac，即7＝4＋c2＋2c，
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解得c＝1 或c＝－3(舍去)，
所以BD＝＝.
14．解　(1)方法一　在△ABC 中，因为D 为BC 的中点，∠ADC＝，AD＝1，
则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4.
在△ABD 中，∠ADB＝，
由余弦定理得
c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，
即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，
解得c＝.
在△ABD 中，则cos B＝＝＝，
sin B＝＝＝，
所以tan B＝＝.
方法二　在△ABC 中，因为D 为BC 的中点，∠ADC＝，AD＝1，
则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4.
在△ACD 中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC，
即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，
解得b＝，
又AC2＋AD2＝4＝CD2，
则∠CAD＝，C＝，
过A 作AE⊥BC 于点E，如图所示，
于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝，
所以在Rt△AEB 中，tan B＝＝.
(2)方法一　在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理得
整理得a2＋2＝b2＋c2，
而b2＋c2＝8，则a＝2，
又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，
解得sin∠ADC＝1，
而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝，
所以b＝c＝＝2.
方法二　在△ABC 中，因为D 为BC 的中点，则2AD＝AB＋AC，
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又CB＝AB－AC，
于是4AD2＋CB2＝(AB＋AC)2＋(AB－AC)2＝2(b2＋c2)＝16，
即4＋a2＝16，解得a＝2，
又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，
解得sin∠ADC＝1，
而0<∠ADC<π，于是∠ADC＝，
所以b＝c＝＝2.
15．B　[方法一　设AB＝x，∠BAD＝α，
在△BAD 中，由正弦定理得
＝，
可以化简得＝＋，
在△EAC 中，由正弦定理得
＝，
可以化简得＝＋，
联立可得＝－，
可以化简得x2－42x＋80＝0，
解得x＝40，x＝2(舍去)．
方法二　设AB＝x，利用余弦定理得
AD2＝x2＋162－16x，
AE2＝x2＋52－5x，
而△ADE 的面积S＝DE·AB×sin 60°＝(x－21)x＝AD·AE×sin 30°，
则AD·AE＝x(x－21)，
则在△ADE 中，由余弦定理得
(x－21)2＝AD2＋AE2－2AD·AEcos 30°，
x2－42x＋212＝x2＋162－16x＋x2＋52－5x－3x(x－21)，
化简整理得x2－42x＋80＝0，
即x＝40，x＝2(舍去)．]
16．B　[利用tan ＝，tan ＝及正弦定理和题设条件，得＝，①
＝，②
所以1＋cos A＝sin B＋sin C，③
1＋cos B＝sin A＋sin C，④
由③和④得1＋cos A－sin B＝1＋cos B－sin A，
即sin A＋cos A＝sin B＋cos B，
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sin＝sin，
因为A，B 为三角形内角，
所以A＋＝B＋或A＋＝π－B－，即A＝B 或A＋B＝.
(1)若A＝B，由C＝π－A－B＝π－2A，
将其代入③，得1＋cos A＝sin A＋sin 2A.
变形得(sin A－cos A)2－(sin A－cos A)＝0，
即(sin A－cos A)(sin A－cos A－1)＝0，⑤
由A＝B 知A 为锐角，
从而知sin A－cos A－1≠0.
所以由⑤，得sin A－cos A＝0，
即A＝，从而B＝，C＝.
因此，△ABC 为等腰直角三角形．
(2)若A＋B＝，即C＝，此时③④恒成立，
综上，△ABC 为直角三角形．]
§4.9　解三角形中的最值与范围问题
1．B　2.D　3.B　4.B 
5．BC　[∵a(sin A－sin B)＝csin C－bsin B，
∴由正弦定理可得a(a－b)＝c2－b2，
即a2＋b2－c2＝ab，
对于A 选项，由余弦定理的推论，可得cos C＝＝，
∵0<C<π，∴C＝，故A 错误；
对于B 选项，由题可知
absin C＝ab＝，∴ab＝4，
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab＝4，
∴c≥2，当且仅当a＝b＝2 时等号成立，故c 的最小值为2，故B 正确；
对于C 选项，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝4，
∵ab≤，∴≤4，
∴a＋b≤4，当a＝b 时等号成立，
∵c＝2，∴a＋b>2，∴4<a＋b＋c≤6，
则△ABC 的周长的最大值为6，故C 正确；
对于D 选项，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，即8＝a2＋9－3a，
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即a2－3a＋1＝0，解得a＝，
则满足条件的△ABC 有2 个，故D 错误．]
6．AC　[对于A，由正弦定理得
(c－2asin B)c＝(b2－a2)，
∴(a2＋c2－b2)＝2acsin B，
∴·＝cos B＝sin B，
∴tan B＝，
又B∈，∴B＝，A 正确；
对于B，cos Acos C＝
cos Acos [π－(A＋B)]
＝－cos Acos(A＋B)
＝－cos Acos
＝－cos A
＝sin Acos A－cos2A
＝sin 2A－cos 2A－
＝sin－，
∵△ABC 为锐角三角形，
∴
解得<A<，
∴<2A－<，
∴<sin≤1，
∴0<sin－≤，
即cos Acos C 的取值范围为，B 错误；
对于C，由正弦定理得
＝＝＝＝＝＋·，
由B 知<A<，
∴＝＋，
又tan A∈，
∴∈(0，)，
∴＋∈，
即∈，C 正确；
对于D，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BDC，
∴acsin ＝csin ＋asin ，
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即ac＝c＋a，∴a＋c＝ac，
即＋＝，
∴4a＋c＝(4a＋c)
＝
≥
＝3(当且仅当＝，即c＝2a 时取等号)，
当c＝2a 时，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝5a2－2a2＝3a2，
∴a2＋b2＝c2，即△ABC 为直角三角形，不合题意，
∴4a＋c>3，D 错误．]
7.
解析　由c2＝a(a＋b)，得c2＝a2＋ab，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴a2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，
即b＝a＋2acos C，
由正弦定理得sin A＋2sin Acos C＝sin B，
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin A＋2sin Acos C＝sin B＝sin Acos C＋cos Asin C，
即sin A＝sin(C－A)．
∵c2＝a2＋ab，∴c>a，∴C－A>0，
又△ABC 为锐角三角形，
∴0<A<，0<C－A<，
∴A＝C－A，解得C＝2A，
又0<A<，0<B＝π－3A<，0<C＝2A<，
∴<A<，∴sin A∈.
8.－1
解析　设BD＝k(k>0)，
则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．
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在△ABD 中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋
4.
在△ACD 中，由余弦定理得
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·
＝4k2－4k＋4，
则＝
＝
＝4－＝4－
＝4－.
∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1 时等号成立)，
∴≥4－＝4－2＝(－1)2，
∴当取得最小值－1 时，BD＝k＝－1.
9．解　(1)因为2bsin＝a＋c，
由正弦定理可得
2sin Bsin＝sin A＋sin C，
即2sin B
＝sin A＋sin(A＋B)，
整理得sin Bsin A＝sin A＋cos Bsin A，
又A∈(0，π)，所以sin A≠0，
所以sin B－cos B＝1，
即sin＝，
又B∈(0，π)，所以B－∈，
所以B－＝，即B＝.
(2)由(1)知B＝，又b＝2，
由正弦定理，得＝＝＝，所以a＝sin A，c＝sin C，
所以a＋c＝(sin A＋sin C)
＝
＝
＝4sin，
在锐角△ABC 中，
⇒<A<，则<A＋<，
所以<sin≤1，
则2<a＋c≤4，
故△ABC 的周长的取值范围为
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(2＋2,6]．
10．解　(1)若选①，
因为asin B－bcos Bcos C＝ccos2B，
由正弦定理得sin Asin B＝sin B·cos Bcos C＋sin Ccos2B，
即sin Asin B＝cos B(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝cos Bsin(B＋C)，
所以sin Asin B＝cos Bsin A，
由A∈(0，π)，得sin A≠0，
所以sin B＝cos B，
即tan B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
若选②，
由(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C，
化简得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C.
由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac，
即＝，所以cos B＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
若选③，
因为＝a，由正弦定理得＝sin A，
即sin Bsin A＝sin A(1＋cos B)，
因为0<A<π，所以sin A≠0，
所以sin B＝1＋cos B，
所以sin＝，
又因为－<B－<，
所以B－＝，所以B＝.
(2)在△ABC 中，由正弦定理
＝＝，
得a＝，b＝，
由(1)知，B＝，
又с＝1，代入上式得
a＝，b＝，
所以a2＋b2＝c2＋2abcos C
＝1＋2cos C
＝1＋cos C
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＝1＋cos C
＝1＋cos C
＝1＋×cos C
＝1＋＋.
因为△ABC 为锐角三角形，
所以
解得C∈，
所以tan C>，所以∈(0，)，
所以a2＋b2＝1＋＋
＝2＋∈(1,7)．
§4.10　解三角形应用举例
1．A　2.B　3.B　4.B 
5．A　[设建筑物的高度为x，如图所示，
由△HGF∽△DEF，
得＝⇒EF＝＝，
由△ABC∽△DEC，得
＝⇒＝，
所以ah＋xa1＝xa2，
即x(a2－a1)＝ah，
解得x＝(m)．]
6．C　[由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，
所以在Rt△CBD 中，BC＝CD＝300(米)，
又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，
所以∠CAD＝60°，
在△ACD 中，由正弦定理得
＝，
所以AC＝×＝200(米)，
在△ABC 中，∠ACB＝∠DCA－∠DCB＝75°－30°＝45°，
由余弦定理得
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AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(200)2＋(300)2－2×200×300×＝150 000，
所以AB＝100(米)．]
7．AC　[如图，由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AB＝12 n mile，AC＝
8 n mile，
所以B＝180°－60°－75°＝45°，
在△ABD 中，由正弦定理得
＝，
所以AD＝＝＝24(n mile)，故A 正确；
在△ACD 中，由余弦定理得CD＝
＝
＝8(n mile)，故B 错误；
由B 项解析知CD＝AC，
所以∠CDA＝∠CAD＝30°，
所以灯塔C 在D 处的南偏西30°方向，故C 正确；
由∠ADB＝60°，得D 处在灯塔B 的北偏西60°方向，故D 错误．]
8．ABD　[对于A，已知CD＝100 m，∠ACB＝，∠BCD，∠BDC，在△BCD 中，由正弦定理
求得CB，从而求得AB，故A 正确；
对于B，已知CD＝100 m，∠ACB＝，∠ACD，∠ADC，在△ACD 中，由正弦定理求得AC，
从而求得AB，故B 正确；
对于C，已知CD＝100 m，∠ACB＝，∠BCD，∠ACD 四个条件，无法通过解三角形求得
AB，故C 错误；
对于D，由∠ACB，∠BCD 借助直角三角形和余弦定理，用AB 表示出CB，BD，AC，AD，
然后结合∠ADC 在△ADC 中利用余弦定理列方程，解方程求得AB，故D 正确．]
9．15
10．－
解析　如图，作DM∥AC 交BE 于点N，交CF 于点M，则DF＝
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＝
＝(m)，
DE＝＝
＝100(m)，
EF＝＝＝130(m)，
在△DEF 中，由余弦定理得
cos∠DEF＝
＝＝－.
11．1
解析　设A 地东北方向上存在点P 到城市B 的距离为30 千米，AP＝x，
在△ABP 中，由余弦定理得PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，
即302＝x2＋402－2x·40·cos 45°，
化简得x2－40x＋700＝0，
设方程的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝40，x1x2＝700，
所以|x1－x2|＝＝20，即图中CD＝20 千米，
所以城市B 处于危险区的时间为＝1(小时)．
12．85
解析　由余弦定理得BD2＝BE2＋DE2－2BE·DE·cos∠BED，
则BD＝
＝＝2
＝2×12.04＝24.08(m)．
在△BCD 中，由正弦定理得
＝，
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则BC＝
＝≈45.270 4(m)．
在△ABC 中，∠ACB＝62°，
所以AB＝BC·tan∠ACB
≈45.270 4×1.88≈85(m)．
第五章　平面向量与复数
§5.1　平面向量的概念及线性运算
1．A　2.D　3.B　4.B　5.D　6.B
7．ACD
8．ABC　[∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB＝－AB＋AD，故A 正确；
∵BC＝3EC，
∴BE＝BC＝－AB＋AD，
∴AE＝AB＋BE＝AB＋＝AB＋AD，
又F 为AE 的中点，∴AF＝AE＝AB＋AD，故B 正确；
∴BF＝BA＋AF＝－AB＋AB＋AD＝－AB＋AD，故C 正确；
∴CF＝CB＋BF＝BF－BC＝－AB＋AD－＝－AB－AD，故D 错误．]
9．等腰梯形　10.2 024　0　11.
12．3
解析　因为BE＝EC，
所以AE＝AB＋BE＝AB＋AD，
又因为CD＝2CF，
所以AF＝AD＋DF＝AB＋AD，
所以|AE＋AF|＝|AB＋AD|＝|AC|，
又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，
所以△ADC 为等边三角形，
所以AC＝AD＝2，
所以|AE＋AF|＝|AC|
＝×2＝3.
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13．解　(1)依题意，设EN＝tEF，
CN＝CE＋EN＝CE＋tEF
＝CE＋t(CF－CE)
＝(1－t)CE＋tCF
＝－AB－AD，
又CN＝λAB＋μAD，
所以
解得λ＋μ＝－.
(2)因为AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，
所以AE＋AF＝(AB＋AD)＝AC，
所以AC＝a＋b.
14．(1)解　在△ABC 中，D，F 分别是BC，AC 的中点，
则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，
故AE＝AD＝a＋b，BE＝AE－AB＝a＋b－a＝b－a.
(2)证明　因为BE＝b－a＝(b－2a)，
BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)，
所以BE＝BF，
所以BE∥BF，
又BE，BF有公共点B，所以B，E，F 三点共线．
15．C　[如图，∵OA＋3OB＋4OC＝0，
∴－OA＝OB＋OC，
设－OA＝OD，
则OD＝OB＋OC，
即B，C，D 三点共线，
∴＝＝，
∴S△BOC＝4×＝.]
16．(1，＋∞)
解析　因为CO 与AB 交于点D，
所以O，C，D 三点共线，
所以OC与OD共线，
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设OC＝mOD，则m>1，
因为OC＝λOA＋μOB，
所以mOD＝λOA＋μOB，
可得OD＝OA＋OB，
因为A，B，D 三点共线，
所以＋＝1，可得λ＋μ＝m>1，
所以λ＋μ 的取值范围是(1，＋∞)．
§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
1．B　2.A　3.C　4.C　5.C
6．A　[以B 为原点，BC，BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(0,1)，C(1,0)，AC＝，
设D 为AC 的中点，则以AC 为直径的圆的圆心为AC 的中点D.
则以AC 为直径的圆的方程为
2＋2＝，
设M(x，y)，则BM＝(x，y)，BC＝(1,0)，BA＝(0,1)，
BM＝λBC＋λBA＝(λ，λ)，
所以
由点M 在圆2＋2＝上，
可得2＋2＝，
即4λ2－(1＋)λ＝0，
解得λ＝或λ＝0(舍去)．]
7．ABD
8．ABC　[建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，
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设Q(x,0)，则根据题意可得A(0,2)，D(2,2)，C(2,0)，E，
F，B(0,0)，
则AF＝，AC＝(2，－2)，AQ＝(x，－2)，AE＝，AB＝(0，－2)，AD＝(2,0)，
由于AE∥AQ，所以－x＝－2×，
解得x＝1，故Q(1,0)，
对于A，AE＋AF＝＋＝(2，－2)＝AC，故A 正确；对于B，AB＋AD＝×(0，－2)＋×(2,0)＝
＝AE，故B 正确；对于C，AB＋AD＝×(0，－2)＋×(2,0)＝＝AF，故C 正确；对于D，AB＋
AD＝×(0，－2)＋×(2,0)＝，FQ＝，故D 错误．]
9.　10.6
11．6
解析　方法一　如图，作平行四边形OB1CA1，
则OC＝OB1＋OA1，
因为OA与OB的夹角为120°，
OA与OC的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C 中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，
所以OC＝4OA＋2OB，所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二　以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，
C(3，)．
由OC＝λOA＋μOB，
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得解得所以λ＋μ＝6.
12．2
解析　依题意设MN＝λBE，
则MN＝MA＋AN＝－mAB＋nAD＝λ(BC＋CE)＝λ，
即－mAB＋nAD＝－λAB＋λAD，
所以
故＝2.
13．解　(1)在平面直角坐标系中，
由|OA|＝2，知A(2,0)，
设B(xB，yB)，
又∠OAB＝，|AB|＝1，
则xB＝2＋cos＝，
yB＝sin＝，
∴B.
又BC＝(－1，)，
∴OC＝OB＋BC＝＋(－1，)＝，
∴C.
(2)由(1)可得OC＝，
AB＝，
∴OC＝3AB.
∴OC∥AB，|OC|＝3|AB|＝3.
又|BC|＝＝2，|OA|＝2，
∴四边形OABC 为等腰梯形．
∵|OA|＝2，|AB|＝1，|BC|＝2，
|OC|＝3，
∴四边形OABC 的周长为8.
14．解　(1)由于m∥n，
所以2sin(A＋C)×＝cos 2B，
即2sin Bcos B＝cos 2B，
即sin 2B＝cos 2B，tan 2B＝，
由于B 是锐角，
所以0<B<，0<2B<π，
所以2B＝，B＝.
103
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(2)依题意，B＝，b＝1，
由正弦定理得＝＝，
即＝＝，
a＝2sin A，c＝2sin C，
所以S△ABC＝acsin B＝sin Asin C
＝sin Asin(A＋B)＝sin Asin
＝sin A
＝sin2A＋sin Acos A
＝×＋×sin 2A
＝sin 2A－cos 2A＋
＝sin＋，
由于所以<A<，
所以<2A<π，<2A－<，
所以当2A－＝，即A＝时，S△ABC取得最大值为＋＝.
15．A　[以C 为坐标原点，CD，CA 所在直线分别为x，y 轴建立如图所示的平面直角坐标
系，
由题意得AC＝，则A(0，)，
B，C(0,0)，
AB＝，AC＝(0，－)．
因为CB＝CD＝1，∠DCB＝90°＋45°＝135°，故∠BDC＝22.5°，
因为tan 45°＝＝1，
所以tan 22.5°＝－1，
所以OC＝DC·tan 22.5°＝－1，
故O(0，－1)．
又D(－1,0)，则DO＝(1，－1)，
因为DO＝λAB＋μAC
＝，
所以
解得所以λ＋μ＝－1.]
104
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16．2　
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(3,0)，
B，
设∠AOC＝α，
则C(3cos α，3sin α)，α∈，
由OC＝xOA＋yOB
⇒(3cos α，3sin α)＝x(3,0)＋
y＝，
化简得x＝sin α＋cos α，
y＝sin α.
则x＋y＝＋sin α
＝sin α＋cos α＝2sin，
则当sin＝1 时，x＋y 最大，值为2.
2x＋y＝2＋sin α＝sin α＋2cos α＝sin(α＋φ)，
其中tan φ＝且φ 为第一象限角，
则当sin(α＋φ)＝1 时，2x＋y 最大，值为.
§5.3　平面向量的数量积
1．D　2.C　3.D　4.D　5.C
6．D　[设线段BC 的中点为D，则AB＋AC＝2AD，
因为|AC|2－|AB|2
＝2AM·(AC－AB)，
所以(AC＋AB)·(AC－AB)
＝2AM·BC，
即2AD·BC＝2AM·BC，
即BC·(AM－AD)＝BC·DM＝0，
即DM⊥BC，
105
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所以DM 垂直且平分线段BC，
因此动点M 的轨迹是BC 的垂直平分线，必通过△ABC 的外心．]
7．BC　[如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，
易知正六边形的每个内角为120°，
所以∠CBx＝60°，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，
F(－1，)．
设P(x，y)，则AP＝(x，y)，AB＝(2,0)，且－1<x<3.
所以AP·AB＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．]
8．CD　[对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，
又a，b 不共线，
所以a，b 的夹角为锐角，故A 错误；
对于B，向量a 在b 上的投影向量为
·＝b，故B 错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，故C 正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n 均为正数，
得mn＝(2m·n)≤2＝2，
当且仅当m＝1，n＝2 时，等号成立，
即mn 的最大值为2，故D 正确．]
9．(1，－1)(答案不唯一)　10.10
11．6
12．10
解析　如图，设BC 的中点为D，连接OD，AD，
则AO·BC＝(AD＋DO)·(AC－AB)＝(AC＋AB)·(AC－AB)＋DO·(AC－AB)
＝(|AC|2－|AB|2)＝10.
106
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13．解　(1)AC＝AD＋DC＝AD＋AB，
AE＝(AB＋AC)
＝
＝AB＋AD，
BC＝AC－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB.
(2)由题意可知，
|AD|＝＝＝1，
DB＝AB－AD，
所以DB·AE＝(AB－AD)·＝|AB|2－|AD|2－AB·AD＝|AB|2－|AD|2－|AB||AD|·cos＝×4－×1－
×2×1×＝.
14．解　(1)如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系，则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，
F(6，2)，
∴DE＝(3，－6)，AF＝(6,2)，
由于∠EMF 就是DE，AF的夹角，
∴cos∠EMF＝cos〈DE，AF〉＝＝，
∴∠EMF 的余弦值为.
(2)∵AM＝λAF，
则AM＝(6λ，2λ)，则M(6λ，2λ)，
又D，M，E 三点共线，
则设DM＝tDE，0<t<1，
即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)，
则解得λ＝，
故M.
15．D　[
107
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如图，以O 为坐标原点，BE 所在直线为x 轴，AF 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面
直角坐标系，
设点P(cos θ，sin θ)(0≤θ≤2π)，
由题意知，E(2,0)，O(0,0)，
则PE＝(2－cos θ，－sin θ)，OE＝(2,0)，所以PE·OE＝4－2cos θ，
当cos θ＝1，即θ＝0 时，PE·OE取最小值2.]
16．C　[如图，设AB＝a，AC＝b，BM＝λBC，
则有AM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC＝(1－λ)a＋λb，
由余弦定理得
cos∠BAC＝
＝＝，
∵AM⊥BC，∴AM·BC＝0，
即[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝(1－2λ)a·b－(1－λ)a2＋λb2＝0，
其中a·b＝|a||b|cos∠BAC＝63×＝33，a2＝49，b2＝81，
解得λ＝，BN＝BC，
∴MN＝BN－BM＝BC，
MN·BC＝BC2＝16.]
§5.4　平面向量中的综合问题
1．B　2.C　3.B 
4．B　[由题意可得，
PA·PB＝(PO＋OA)·(PO＋OB)＝(PO＋OA)·(PO－OA)＝|PO|2－|OA|2＝|PO|2－1，
为使PA·PB最小，只需|PO|最小，只需OP⊥EF，根据圆的性质可得，此时P 为EF 中点，
又EF＝1，
因此|PO|min＝＝，
所以PA·PB的最小值为－.]
5．B　[已知a，b 是单位向量，
由|xa＋b|≥，
得(xa＋b)2≥，
108
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则x2＋2(a·b)x＋≥0，
依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋≥0 对任意实数x 恒成立，
则Δ＝4(a·b)2－1≤0，
解得－≤a·b≤，
而cos〈a，b〉＝＝a·b，
则－≤cos〈a，b〉≤，
又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x 在[0，π]上单调递减，
所以≤〈a，b〉≤，
所以向量a，b 的夹角的取值范围为.]
6．ABD　[对于A，
∵AD＝(AB＋AC)，
即AD－AB＝AC－AD，即BD＝DC，
即点D 是边BC 的中点，故A 正确；
对于B，AD·BC＝
＝(－|BC|＋|BC|)＝0，
即AD⊥BC，故直线AD 过△ABC 的垂心，故B 正确；
对于C，∵AD＝2AB－AC，
即AD－AB＝AB－AC，
即BD＝CB，即点D 在边CB 的延长线上，故C 错误；
对于D，∵AD＝xAB＋yAC，
且x＋y＝，设AM＝2AD，
则AM＝2AD＝2xAB＋2yAC，
且2x＋2y＝1，
故M，B，C 三点共线，
且|AM|＝2|AD|，
即△BCD 是△ABC 面积的一半，故D 正确．]
7．ACD　[如图，以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐
标系，
109
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设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，π]，
又A(－2,0)，B(2,0)，E(2,2)，
D(－2,4)，C(2,4)，
则AP＝(2cos θ＋2,2sin θ)，AD＝(0,4)，AE＝(4,2)，
∵AP＝λAD＋μAE，
即(2cos θ＋2,2sin θ)＝λ(0,4)＋μ(4,2)
∴
解得
∵θ∈[0，π]，
则－1≤cos θ≤1,0≤sin θ≤1，
∴μ＝∈[0,1]，
λ＝＝，
其中sin φ＝，cos φ＝，φ 为锐角，
当sin(θ－φ)＝1，即θ＝＋φ 时，
λ 取最大值，故A 正确，B 错误；
AP·AD＝(2cos θ＋2,2sin θ)·(0,4)＝8sin θ∈[0,8]，故C 正确；
AP·AE＝(2cos θ＋2,2sin θ)·(4,2)＝4sin θ＋8cos θ＋8＝4sin(θ＋α)＋8，
其中sin α＝，cos α＝，α 为锐角，
当sin(θ＋α)＝1，即θ＝－α 时，AP·AE取最大值8＋4，故D 正确．]
8．3　
9.
解析　∵λ，μ 为正实数，AD＝DC，
故AC＝4AD，
∴AP＝λAB＋4μAD，
又P，B，D 三点共线，∴λ＋4μ＝1，
∴λμ＝·λ·4μ≤2＝，当且仅当λ＝，μ＝时取等号，
故λμ 的最大值为.
10．2
解析　∵a·b＝|a|＝|b|＝2，
设a 与b 的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ＝2×2×cos θ＝2，∴cos θ＝，
又θ∈[0，π]，则θ＝，
不妨设a＝(2,0)，b＝(1，)，
110
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再设e＝(cos α，sin α)，
则|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|
＝|(3，)·(cos α，sin α)|
＝|3cos α＋sin α|
＝≤2，
即|a·e＋b·e|≤2，
∴|a·e＋b·e|的最大值为2.
§5.5　复　数
1．B　2.A　3.D　4.C　5.D　6.B
7．D
8．D　[对于A，
＝cos ＋isin ＝－＋i，对应的点位于第二象限，故A 正确；
对于B，
＝cos ＋isin ＝i，为纯虚数，故B 正确；
对于C，＝＝＝＝＝，故C 正确；
对于D，
＝cos ＋isin ＝＋i，所以
的共轭复数为－i，故D 错误．]
9．AD　[对于A，由虚数的运算性质，可得i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A 正确；
对于B，虚数不能比较大小，故B 不正确；
对于C，当z＝i 时，|z|2＝1，z2＝－1，此时|z|2≠z2，故C 不正确；
对于D，根据复数的概念，可得复数－2－i 的虚部为－1，故D 正确．]
10．ABD　[设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝a＋bi(a，b∈R)，则1＝x－yi，
对于A，z1＋1＝2x∈R，故A 正确；
对于B，|z1|＝，|1|＝，∴|1|＝|z1|，故B 正确；
对于C，当z1＝3＋4i，z2＝5 时，|z1|＝|z2|＝5，但是z1≠±z2，故C 错误；
对于D，z21＝(a＋bi)(x－yi)＝(ax＋by)＋(bx－ay)i，|z21|＝＝，z2z1＝(a＋bi)(x＋yi)＝(ax－by)
＋(bx＋ay)i，|z2z1|＝＝，
∴|z21|＝|z2z1|，故D 正确．]
11.　12.i(或－i) 
13．－1＋i
解析　由题意得＝1＋i，
∵复数z 与对应的点关于虚轴对称，∴z＝－1＋i.
14．2＋1
111
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解析　设z＝x＋yi，其中x，y∈R，
由|z|＝1，可得x2＋y2＝1，
根据复数z 的几何意义可得复数z 表示以原点O 为圆心，1 为半径的单位圆，
则|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝，
可得|z－2－2i|表示单位圆上的点到点P(2,2)的距离，
因为PO＝2，
所以|z－2－2i|的最大值为PO＋r＝2＋1.
15．B　[根据题意，得|z|＝|(z2－z)－z2|≤|z2－z|＋|z2|＝|z1－1|＋1≤|z1|＋1＋1＝3，
当z1＝－1，z2＝1，z＝3 时，|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|＝2，此时|z|＝3，所以|z|max＝3.]
16．2－4
解析　因为复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，
且|z1|＝|z2|＝2，则可确定点Z1，Z2在以O 为圆心，2 为半径的圆上，
又Z1Z2＝4，所以Z1Z2为圆的直径，即Z1，Z2关于原点对称，所以OZ1＝－OZ2，
因为AZ1＝AO＋OZ1，BZ2＝BO＋OZ2，
所以AZ1·BZ2＝(AO＋OZ1)·(BO＋OZ2)＝AO·BO＋AO·OZ2＋OZ1·BO＋OZ1·OZ2＝(1,0)·(0，
－3)－AO·OZ1＋OZ1·BO＋2×2×cos(－π)＝－4＋OZ1·BA，
又|BA|＝＝，|OZ1|＝2，〈OZ1，BA〉∈[0，π]，
则cos〈OZ1，BA〉∈[－1,1]，
所以OZ1·BA＝|OZ1||BA|cos〈OZ1，BA〉＝2cos〈OZ1，BA〉，
即OZ1·BA的最大值为2，
所以AZ1·BZ2的最大值为2－4.
第六章　数　列
§6.1　数列的概念
1．A　2.B　3.B　4.D　5.A　6.C
7．BCD　[假设第n 项为{an}的最大项，则
即
所以
又n∈N*，所以n＝4 或n＝5，
故在数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5 时，数列{an}是递减数列．]
112
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8．ABD　[因为an＋1－an＝－an＝>0，即an＋1>an，所以an≥a1＝1，故D 正确；因为an＋
1>an，所以数列{an}为递增数列，可得a2 023>a2 022，故A 正确；对于选项B，因为an＋1＝，则
2an＋1－an＝，两边平方整理得4a－1＝4an＋1an，故B 正确；对于选项C，因为数列{an}为递
增数列且an≥1>0，则为递减数列，
所以为递减数列，不存在最小值，故C 错误．]
9．7　
10.n－1
解析　当n＝1 时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1；
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，
所以数列{an}是以1 为首项，－为公比的等比数列，
故an＝n－1.
11．an＝
解析　当n≥2 时，有(n－1)an＝n·2nan－1，
故＝·2n，
则有＝·2n－1，＝·2n－2，…，＝×22.
上述n－1 个式子累乘，得＝···…·＝n·2n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＝
.
因为a1＝1，
所以an＝
，
而当n＝1 时，a1＝1×20＝1，也满足上式，
故数列{an}的通项公式为an＝
.
12．341
解析　由题意，an＝an－2＋2n－1，
故a3－a1＝22，
a5－a3＝24，
…
a2n－1－a2n－3＝22n－2，
以上各式相加，可得
a2n－1－a1＝22＋24＋…＋22n－2＝41＋42＋…＋4n－1，
即a2n－1＝1＋41＋42＋…＋4n－1＝＝，
所以按规则解开九连环最少需要移动的次数为a9＝＝341.
13．解　(1)∵a1＝1，an＋1＝2＋1，
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∴a2＝2＋1＝2＋1＝3.
(2)方法一　由an＋1＝2＋1，
得Sn＋1－Sn＝2＋1，
故Sn＋1＝(＋1)2.
∵an>0，∴Sn>0，
∴＝＋1，
即－＝1，
则－＝1(n≥2)，
由累加法可得＝1＋(n－1)＝n，
∴Sn＝n2(n≥2)，
又S1＝a1＝1，满足上式，∴Sn＝n2.
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又a1＝1 适合上式，∴an＝2n－1.
方法二　由an＋1＝2＋1，
得(an＋1－1)2＝4Sn，
当n≥2 时，(an－1)2＝4Sn－1，
∴(an＋1－1)2－(an－1)2＝4(Sn－Sn－1)＝4an.
∴a－a－2an＋1－2an＝0，
即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.
∵an>0，∴an＋1－an＝2(n≥2)．
a2－a1＝2，
∴{an}为等差数列，且公差为2，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
14．解　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，
∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*)．
(2)∵bn＝3n－λn2，
∴bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．
∵数列{bn}为递增数列，
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∴2·3n－λ(2n＋1)>0，
即λ<.令cn＝，
则＝·＝>1，
∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2，
即λ 的取值范围为(－∞，2)．
15．ABC　[A 项，S7＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，A 正确；
B 项，S2 024＋S2 023－S2 022－S2 021＝a2 023＋a2 024＋a2 022＋a2 023＝a2 025＋a2 024＝a2 026，B 正确；
C 项，a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝a4＋a5＋…＋a2 023＝a6＋…＋a2 023＝a2 022＋a2 023＝a2 024，C 正确；
D 项，a＝a2a1，a＝a2(a3－a1)＝a2a3－a1a2，a＝a3a4－a2a3，a＝a4a5－a3a4，…，a＝a2 022a2 023
－a2 021a2 022，a＝a2 023a2 024－a2 022a2 023，所以a＋a＋a＋…＋a＝a2 023a2 024，D 错误．]
16．an＝n
解析　a＋a＋…＋a＝S，①
当n＝1 时，a1＝1；
当n≥2 时，a＋a＋…＋a
＝S＝(Sn－an)2，②
①－②得a＝S－(Sn－an)2
＝an(2Sn－an)，
因为各项均不为0，
所以a＝2Sn－an，③
a＝2Sn－1－an－1(n≥2)，④
③－④得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0(n≥2)，
因为an＋an－1>0，
所以an－an－1＝1(n≥2)，
所以an＝1＋n－1＝n.
又a1＝1 适合上式，所以an＝n.
§6.2　等差数列
1．C　2.B　3.A　4.C　5.C　6.C
7．AC　[因为a1>0，S4＝S12，
则＝，
即a1＋a4＝3(a1＋a12)，
则d＝－a1<0，故A 正确；
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a7＋a9＝2a1＋14d＝－d>0，故B 错误；
由a7＋a9>0，得a8>0，a9＝a1＋8d＝d<0，
因为d<0，a1>0，
所以数列{an}是递减数列，且当n≤8 时，an>0，当n≥9 时，an<0，
所以Sn的最大值为S8，故C 正确；
Sn＝n2＋n
＝－n2＋n，
令Sn<0，解得n>16，
所以满足Sn<0 的n 的最小值为17，故D 错误．]
8．AD　[由题意可知，两马日行里数分别成等差数列，记数列{an}为良马的日行里数，其
中首项a1＝103，公差d1＝13，所以数列{an}的通项公式为an＝13n＋90，n∈N*，
记数列{bn}为驽马的日行里数，其中首项b1＝97，公差d2＝－0.5，所以数列{bn}的通项公式
为bn＝－0.5n＋97.5，n∈N*，
因此，驽马第七日行里数为b7＝－0.5×7＋97.5＝94，即驽马第七日行九十四里，故A 正确；
第七日良马行走总里程为S7＝103×7＋×13＝994，而齐去长安一千一百二十五里，因为
994<1 125，所以第七日良马未至齐，故B 错误；
设第m 日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，即103m＋×13
＋97m－×0.5＝2×1 125，解得m＝9 或m＝－40(舍)，即第九日二马相逢，故C 错误；
由C 可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了S9＝103×9＋×13＝1 395，所以二马相逢时
良马行一千三百九十五里，故D 正确．]
9．2n＋1(答案不唯一)　
10．24
解析　设等差数列{an}的公差为d，d≠0，则由题意得S23＝S8，
即23a1＋d＝8a1＋d，
整理得a1＝－15d.
因为a8＋ak＝0，
所以a1＋7d＋a1＋(k－1)d＝0，即2a1＋(k＋6)d＝0，
所以－30d＋(k＋6)d＝0，
因为d≠0，所以k＝24.
11．－
解析　依题意，B，C，P 三点共线，
∴＋λ＝1，∴λ＝1－2×，
依题意，＝＝＝＝＝＝，
∴λ＝1－2×＝－.
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12．10
解析　因为等差数列{an}共有2n＋1 项，所有奇数项之和为
S 奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1
＝132，
所有偶数项之和为S 偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1＝120，
所以＝＝＝＝，
解得n＝10.
13．解　(1)因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，
所以当a2＝－1 时，－1＝2－λ，
解得λ＝3，
所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}不可能为等差数列．理由如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)，
若存在常数λ，使{an}为等差数列，
则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3，
于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，
这与{an}为等差数列矛盾，
所以对于任意常数λ，{an}都不可能是等差数列．
14．解　(1)∵3a2＝3a1＋a3，
∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d，
∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，
an＝a1＋(n－1)d＝nd，
又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝，∴S3＋T3＝6d＋＝21，
即2d2－7d＋3＝0，
解得d＝3 或d＝(舍去)，
∴an＝nd＝3n.
(2)∵{bn}为等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，
即＝＋，
∴6＝＝，
117
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即a－3a1d＋2d2＝0，
解得a1＝d 或a1＝2d，
∵d>1，∴an>0，
又S99－T99＝99，
由等差数列的性质知，
99a50－99b50＝99，
即a50－b50＝1，
∴a50－＝1，
即a－a50－2 550＝0，
解得a50＝51 或a50＝－50(舍去)．
当a1＝2d 时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1 矛盾，无解；
当a1＝d 时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝.
综上，d＝.
15．B　[方法一　由题意得
an＝a1＋(n－1)，
cos an＋3＝cos
＝cos
＝cos
＝cos
＝cos an，
所以数列{cos an}是以3 为周期的周期数列，
又cos a2＝cos
＝－cos a1－sin a1，
cos a3＝cos
＝－cos a1＋sin a1，
因为集合S 中只有两个元素，
所以有三种情况：
cos a1＝cos a2≠cos a3，
cos a1＝cos a3≠cos a2，
cos a2＝cos a3≠cos a1.
下面逐一讨论：
①当cos a1＝cos a2≠cos a3时，
有cos a1＝－cos a1－sin a1，
118
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得tan a1＝－，
所以ab＝
cos a1
＝－cos2a1＋sin a1cos a1
＝
＝
＝＝－.
②当cos a1＝cos a3≠cos a2时，
有cos a1＝－cos a1＋sin a1，
得tan a1＝，
所以ab＝
cos a1
＝－cos2a1－sin a1cos a1
＝
＝
＝＝－.
③当cos a2＝cos a3≠cos a1时，
有－cos a1－sin a1＝－cos a1＋sin a1，得sin a1＝0，
所以ab＝
cos a1
＝－cos2a1
＝－(1－sin2a1)＝－.
综上，ab＝－.
方法二　取a1＝－，
则cos a1＝，
cos a2＝cos＝，
cos a3＝cos＝－1，
所以S＝，ab＝－.]
16．B　[由a1＝1，an－1≤an(n＝2，3，…，k)，
得1＋(n－2)d≤4[1＋(n－1)d]，
即3＋(3n－2)d≥0，
当n＝2,3，…，k 时，
恒有3＋(3n－2)d≥0，
即d≥－，所以d≥－，
119
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由a1＋a2＋…＋ak＝8，得8＝＝，
所以16＝2k＋k(k－1)d≥2k＋k(k－1)·，
因为k∈N*，k≥2，
整理得3k2－49k＋32≤0，
所以k≤15.
所以k 的最大值是15.]
§6.3　等比数列
1．C　2.B　3.B　4.A　5.D
6．C　[方法一　设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，
若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，不符合题意，
所以q≠1.
由S4＝－5，S6＝21S2，
可得＝－5，
＝21×，①
由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，
所以S8＝＝·(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.
方法二　设等比数列{an}的公比为q，
因为S4＝－5，S6＝21S2，
所以q≠－1，否则S4＝0，
从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，
所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，
解得S2＝－1 或S2＝，
当S2＝－1 时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，
即为－1，－4，－16，S8＋21，
易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；
当S2＝时，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，
与S4＝－5 矛盾，舍去．
综上，S8＝－85.]
7．ACD　[令等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，
对于A，＝2＝q2，且a≠0，则{a}是等比数列，故A 正确；
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对于B，由a3＝2，a7＝32，得q4＝16，即q2＝4，所以a5＝a3q2＝2×4＝8，故B 错误；
对于C，由a1<a2<a3知，则
an＋1－an＝qn－1·a1(q－1)>0，
即∀n∈N*，an＋1>an，所以数列{an}是递增数列，故C 正确；
对于D，显然q≠1，则Sn＝＝·qn－，而Sn＝3n＋r，
因此q＝3，＝1，r＝－＝－1，故D 正确．]
8．AC　[设数列{an}的公比为q.
∵a1>1，a2 023<1，
∴0<a2 023<1，
又a2 022>1，∴0<q<1.
∵a2 022a2 024＝a<1，
∴a2 022a2 024－1<0，故A 正确；
∵a2 023<1，
∴a2 023＝S2 023－S2 022<1，
即S2 022＋1>S2 023，故B 错误；
∵0<q<1，a1>1，
∴数列{an}是递减数列，
∵a2 022>1，a2 023<1，
∴T2 022是数列{Tn}中的最大项，故C 正确；
T4 045＝a1a2a3·…·a4 045
＝a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4 044)
＝aq1＋2＋3＋…＋4 044
＝aq2 022×4 045
＝(a1q2 022)4 045＝a，
∵0<a2 023<1，∴a<1，
即T4 045<1，故D 错误．]
9．－　10.
11．31 104
解析　设等比数列{an}的公比为q，
则an＝a1qn－1.
因为a9＋a10＝4，a19＋a20＝24，
所以a19＋a20＝(a9＋a10)q10＝24，解得q10＝6，
所以a59＋a60＝(a9＋a10)q50＝4×65＝31 104.
12.　
121
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解析　由题意得a1＝1－a1，
故a1＝.
当n≥2 时，由
得an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1，
则＝，
故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
故数列{an}的通项公式为an＝.
由等比数列的性质可得a1a3＝a，a3a5＝a，…，a2n－1a2n＋1＝a，
所以数列{a2n－1a2n＋1}是以a＝为首项，为公比的等比数列，
则Tn＝a＋a＋…＋a＝＝.
13．解　(1)由an＋1＝2an＋2，
得an＋1＋2＝2(an＋2)，
又a1＋2＝3，所以＝2，
所以{an＋2}是首项为3，公比为2 的等比数列， 
所以an＋2＝3×2n－1，
an＝3×2n－1－2.
(2)由10<an<2 023，
得10<3×2n－1－2<2 023，
即4<2n－1<675，即4≤n≤10，
故{an}落入区间(10,2 023)的项为a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，
所以其和S＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10
＝3×(23＋24＋…＋29)－2×7
＝3×－14
＝3 034.
14．解　(1)由题意知，在数列{an}中，
an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1，n≥2，
两式相减可得，an＋1－an＝3an，an＋1＝4an，n≥2，
由条件知，a2＝3a1＋1＝4a1，符合上式，故an＋1＝4an，n∈N*.
∴{an}是以1 为首项，4 为公比的等比数列．
∴an＝4n－1，n∈N*.
(2)由题意及(1)得，
在数列{an}中，an＝4n－1，n∈N*，
在数列{bn}中，bn＝，
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如果满足条件的bm，bk，bp存在，
则b＝bmbp，其中2k＝m＋p，
∴＝·，
∵2k＝m＋p，
∴(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，
解得k2＝mp，
∴k＝m＝p，与已知矛盾，
∴不存在满足条件的三项．
15．A　[若{an}是等比数列，设公比为k，则a2＋a3＋…＋an＋1＝k(a1＋a2＋…＋an)，
a3＋a4＋…＋an＋2＝k(a2＋a3＋…＋an＋1)，
于是(a2＋a3＋…＋an＋1)2＝k2(a1＋a2＋…＋an)2＝(a3＋a4＋…＋an＋2)·(a1＋a2＋…＋an)，
即q：(Sn＋1－a1)2＝Sn(Sn＋2－S2)成立；
若(Sn＋1－a1)2＝Sn(Sn＋2－S2)，
取an＝0，n∈N*，显然{an}不是等比数列，故p 是q 的充分不必要条件．]
16．20
解析　由题可得⇒
则m，－2，n 或n，－2，m 成等比数列，得mn＝(－2)2＝4.
不妨设m<n，则－2，m，n 成等差数列，得2m＝n－2.
结合mn＝4，可得(2m＋2)m＝4⇒
m(m＋1)＝2，
解得m＝1 或m＝－2(舍去)，
即⇒⇒pq＝20.
§6.4　数列中的构造问题
1．B　2.D　3.C　4.A
5．ABD　[由题意，数列{an}的前n 项和为Sn，a2＝3，且an＋1＝3Sn＋2，
则a2＝3S1＋2＝3a1＋2，
所以a1＝，故A 正确；
因为an＋1＝3Sn＋2，①
所以当n≥2 时，an＝3Sn－1＋2，②
①－②得，an＋1－an＝3an，
即an＋1＝4an，
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当n＝1 时，a1＝，不满足a2＝4a1，
故数列{an}不是等比数列，故C 错误；
当n≥2 时，an＋1＝4an，
则a3＝4a2＝12，a4＝4a3＝48，故S4＝＋3＋12＋48＝，故B 正确；
由an＋1＝3Sn＋2，
得Sn＋1－Sn＝3Sn＋2，
所以Sn＋1＝4Sn＋2，
令Sn＋1＋λ＝4(Sn＋λ)，
则Sn＋1＝4Sn＋3λ，
所以3λ＝2，即λ＝，
所以Sn＋1＋＝4，
即＝4，故是首项为S1＋＝a1＋＝1，
公比为4 的等比数列，故D 正确．]
6．AB　[因为an－3an＋1＝2anan＋1，
所以＋1＝3，
又＋1＝2≠0，
所以是以2 为首项，3 为公比的等比数列，故A 正确；
＋1＝2×3n－1，
即an＝，故B 正确；
所以{an}为递减数列，故C 错误；
的前n 项和Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n＝2×－
n＝3n－n－1，故D 错误．]
7.＋×5n－1
解析　由an＋1＝5an－3，得
an＋1－＝5，
因为a1＝1，所以a1－＝，
进而an－≠0，
所以数列是首项为，公比为5 的等比数列，
所以an－＝×5n－1，即an＝＋×5n－1.
8．2 046
解析　方法一　由an＋1＋an＝3×2n，得an＋1－2n＋1＝－(an－2n)．
又a1－21＝－1，
所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1 的等比数列，所以an－2n＝(－1)n，
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即an＝2n＋(－1)n，
所以S10＝21＋22＋…＋29＋210＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)9＋(－1)10＝＝211－2＝2 046.
方法二　∵an＋1＋an＝3×2n，
∴a2＋a1＝3×2，a4＋a3＝3×23，a6＋a5＝3×25，a8＋a7＝3×27，a10＋a9＝3×29，
则S10＝3×(2＋23＋25＋27＋29)＝3×＝2 046.
9．解　(1)由a1＝2，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N*)，
得a2＝2a1－2＋2＝4，a3＝2a2－3＋2＝7，
∵an－n＝2an－1－2n＋2＝2[an－1－(n－1)]，a1－1＝1，
∴＝2(n≥2，n∈N*)，
∴{an－n}是首项为1，公比为2 的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝1×2n－1＝2n－1，
∴an＝2n－1＋n.
10．(1)解　当n＝2 时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4×＋5×＝8×＋1，
解得a4＝.
(2)证明　∵4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，
∴4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，
即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，
∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，符合上式，∴4an＋2＋an＝4an＋1，
∵＝
＝＝
＝，
∴数列是以a2－a1＝1 为首项，为公比的等比数列．
(3)解　由(2)知，是以1 为首项，为公比的等比数列，
∴an＋1－an＝n－1.
即－＝4，
∴数列是以＝2 为首项，4 为公差的等差数列，
∴＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
即 an＝(4n－2)×n＝(2n－1)×n－1，
∴数列{an}的通项公式是an＝(2n－1)×n－1.
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§6.5　数列求和
1．解　(1)若选择①：设{an}的公差为d，
因为S11＝66，a1＝1，
所以11＋×d＝66，解得d＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
若选择②：因为a3，a9,9a3成等比数列，所以a＝9a， 
又an>0，所以a9＝3a3，
又a1＝1，设{an}的公差为d (d>0)，
所以1＋8d＝3(1＋2d)，解得d＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
若选择③：设{an}的公差为d，
因为Sn－nan＝， 
所以na1＋d－n[a1＋(n－1)d]＝，
又a1＝1，即n＋d－n－n(n－1)d＝d＝，
解得d＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
(2)由(1)知bn＝
＋2an＝3n＋2n.
所以Tn＝(3＋2)＋(32＋4)＋…＋(3n＋2n)，
所以Tn＝3＋32＋…＋3n＋2＋4＋…＋2n，
所以Tn＝＋＝＋n2＋n，
所以Tn＝.
2．(1)证明　由an＋1＋2an＝2n＋2可得
an＋1－2n＋1＝2n＋1－2an＝－2(an－2n)．
又a1－21＝1≠0，
所以数列{an－2n}是以1 为首项，－2 为公比的等比数列．
(2)解　由(1)可得an－2n＝(－2)n－1，
即an＝2n＋(－2)n－1.
当n 为奇数时，
bn＝an＝2n＋(－2)n－1＝3×2n－1；
当n 为偶数时，bn＝log2an＝log2[2n＋(－2)n－1]＝log22n－1＝n－1.
所以T10＝(b1＋b3＋b5＋b7＋b9)＋(b2＋b4＋b6＋b8＋b10)
＝(3＋3×22＋3×24＋3×26＋3×28)＋(1＋3＋5＋7＋9)
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＝＋＝1 048.
3．解　(1)由已知得2Sn＝3an－1，①
当n＝1 时，2S1＝3a1－1，
即2a1＝3a1－1，
解得a1＝1，
当n≥2 时，2Sn－1＝3an－1－1，②
①－②得2an＝3an－3an－1，
即an＝3an－1，
所以数列{an}是以1 为首项，3 为公比的等比数列，所以an＝3n－1.
(2)因为bn＝
＝
＝×，
所以Tn＝×
＝×
＝－.
4．解　(1)当n＝1 时，a1＝S1＝22－2＝2，
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n，
当n＝1 时，上式也成立，
所以an＝2n.
由题意得b2＝a2＋2＝22＋2＝6，b3＝2＋4＋3＝9，
设等差数列{bn}的公差为d，
则d＝b3－b2＝3，b1＝b2－d＝3，
故bn＝b1＋(n－1)d＝3n.
综上，an＝2n，bn＝3n.
(2)由(1)知anbn＝3n·2n，
所以Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn
＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n，①
2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1，②
所以①－②得，－Tn＝3×(21＋22＋23＋…＋2n－1＋2n)－3n·2n＋1＝3×－3n·2n＋1
＝(3－3n)·2n＋1－6，
所以Tn＝(3n－3)·2n＋1＋6.
5．(1)解　因为＋＋＋…＋＝n2＋n，①
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则当n＝1 时，＝2，即a1＝4，
当n≥2 时，＋＋＋…＋＝n2－n，②
①－②得＝2n，
所以an＝2n(n＋1)，n≥2，
a1＝4 也满足an＝2n(n＋1)，
故an＝2n(n＋1)(n∈N*)．
(2)证明　因为＝＝·＝·
＝，
所以＋＋…＋
＝
＝<.
6．解　(1)设{an＋1－an}的公比为q.
∵an＋2＝λan＋1－2an，
∴an＋2－an＋1＝λan＋1－2an－an＋1
＝(λ－1)an＋1－2an
＝(λ－1)
＝q(an＋1－an)．
∴＝1，解得λ＝3，∴q＝2.
又a2－a1＝1，
∴an＋1－an＝2n－1.
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋20＋21＋…＋2n－2
＝1＋＝2n－1(n≥2)，
当n＝1 时，符合上式，
∴{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)当bm＝k＝1 时，m∈[1,2)，共2－1＝1 项，
当bm＝k＝2 时，m∈[2,4)，共4－2＝2 项，
当bm＝k＝3 时，m∈[4,8)，共8－4＝4 项，
…
当bm＝k＝n 时，m∈[2n－1,2n)，共2n－2n－1＝2n－1项，
又
＝n＋1，
∴{bn}的前2n项和为1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1＋n＋1.
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记Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，
则2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
作差可得－Sn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
因此，数列{bn}的前2n项和为
Sn＋n＋1＝(n－1)·2n＋n＋2.
§6.6　数列中的综合问题
1．D　2.B　3.A　4.B
5．C　[因为当n>7 时，an＝n＋2，而要满足an>an＋1，故{an}要单调递减，
所以－a<0，解得a>，
当n≤7 时，an＝an－6，
而要满足an>an＋1，
故{an}要单调递减，所以0<a<1，
还需满足a7－6>×8＋2，解得a>，
所以实数a 的取值范围是.]
6．B　[因为{an}是各项均为正数的等差数列，其公差d≠0，
则S2 023＝＝2 023a1 012，
且a1 012＝a1＋1 011d≠a1，
则b1 012≠b1，
设等比数列{bn}的公比为q，
则q1 011＝>0，
且q1 011≠1，即q>0 且q≠1，
又因为b1>0，
所以等比数列{bn}为正项单调数列，
由基本不等式可得b1＋b2 023>2＝2b1 012，b2＋b2 022>2＝2b1 012，…，
b1 011＋b1 013>2＝2b1 012，
所以T2 023＝b1＋b2＋…＋b2 023>2 023b1 012＝2 023a1 012＝S2 023.]
7．BC　[因为an＋1＝ln(
－an)，
所以
＝
－an，
即an＝
－
，
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所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(
－
)＋(
－
)＋…＋(
－
)＝
－
＝e－
.
因为a1＝1，所以an>0，所以Sn>1.
因为
>an＋1，
所以
－an>1，
所以an＋1>0，所以Sn<e－1.
即1<Sn<e－1.]
8．ACD　[由题意，a13＝a11·m2＝3m2，a51＝a11＋4m＝3＋4m，
由a13＝a51＋1，得3m2＝3＋4m＋1，
整理可得(3m＋2)(m－2)＝0，
由m>0，解得m＝2，故A 正确；
a71＝a11＋6×2＝15，a78＝a71·27＝15×27≠15×28，故B 错误；
ai1＝a11＋(i－1)×2＝2i＋1，aij＝ai1·2j－1＝(2i＋1)·2j－1，故C 正确；
S＝a11·＋a21·＋a31·＋…＋an1·＝(3＋5＋7＋…＋2n＋1)＝(2n－1)·＝n(n＋2)(2n－1)，故D 正
确．]
9．8　
10.
解析　由a2a3a4＝64，得a＝64，
解得a3＝4，
设{an}的公比为q，则q3＝＝8，
解得q＝2，a1＝1，
所以an＝2n－1，bn＝log2an＋1＝n，
则原不等式等价于4λ≥n[1－(n＋4)λ]，
即λ≥，
又＝
≤＝，
当且仅当n＝2 时等号成立，故λ≥.
11．(1)证明　设等差数列{an}的公差为d，
由a2－b2＝a3－b3，
得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，
即d＝2b1；
由a2－b2＝b4－a4，
得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，
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即a1＝5b1－2d，将d＝2b1代入，
得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.
(2)解　由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1，
由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，
由a1＝b1≠0 得2k－1＝2m，
由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9 个数，即集合{k|bk＝
am＋a1,1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9.
12．(1)证明　因为是公差为的等差数列，所以an－＝a1－＋(n－1)×＝，
于是当n≥2 时，
Sn－Sn－1－＝，
所以－＝，
可见数列是首项为S1＝a1，公差为的等差数列，
于是＝a1＋，Sn＝na1＋，
又当n＝1 时，S1＝a1，
所以对n∈N*，Sn＝na1＋，
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝a1＋n－1，当n＝1 时也成立，
因此an－an－1＝1，
则{an}是首项为a1，公差为1 的等差数列．
(2)解　因为a1＝1，
且{an}的公差为1，所以an＝n，
所以bn＝max{2n，n2}＝
①当n≥4 时，Tn＝1×21＋2×22＋3×32＋4×24＋…＋n·2n
＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n＋3，
令Fn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
则2Fn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，
所以－Fn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
所以Fn＝(n－1)·2n＋1＋2，
所以当n≥4 时，Tn＝(n－1)·2n＋1＋5，
②当n≤2 时，Tn＝Fn＝(n－1)·2n＋1＋2，
③当n＝3 时，Tn＝T3＝37(或直接分别求T1＝2，T2＝10，T3＝37)．
综上，Tn＝
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§6.7　子数列问题
1．解　(1)依题意，数列{an}满足a1＝1，
an＋1＝k∈N*，
所以a2＝a1＋1＝，
a3＝a2－4＝－4＝－.
bn＝a2n－2，a2n＝bn＋2，
bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋1－2
＝a2n＋1＋2n＋1－2
＝a2n＋1＋2n－1
＝(a2n－4n)＋2n－1
＝a2n－1＝(bn＋2)－1
＝bn.
所以数列{bn}是首项为b1＝a2－2＝－2＝－，公比为的等比数列，
所以bn＝－.
(2)a2n＝2－，
a2n＋1＝a2n－4n＝2－－4n，
所以a5＝2－－8，a7＝2－－12，
a9＝2－－16，
所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝1＋＋＋
＋＝－.
2．解　(1)由题意，可得6a3＝8a1＋a5，
所以6q2＝8＋q4，
解得q2＝4 或q2＝2，
又q 为正整数，所以q＝2，
又a1＝2，所以an＝2n.
由2n2－(3＋bn)n＋bn＝0，
得bn＝2n.
(2)因为b1＝2，所以a1与a2之间插入2 个2，
b2＝4，所以a2与a3之间插入4 个2，
b3＝6，所以a3与a4之间插入6 个2，
…
则{cn}的前100 项，由90 个2 及a1，a2，a3，…，a9，a10构成，所以T100＝(a1＋a2＋…＋a10)＋
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2×90
＝＋180＝2 226.
3．(1)证明　由2Sn－nan＝n，得2Sn＋1－(n＋1)an＋1＝n＋1，
将上述两式相减，得2an＋1－(n＋1)an＋1＋nan＝1，
即nan－(n－1)an＋1＝1.
∴ an＋1＝(n≥2)，
∵－＝－ ＝－＝0(n≥2)，
∴数列(n≥2)是常数列．
(2)解　由(1)可知，当n≥2 时，＝＝2，
∴an＝2n－1(n≥2)，
经检验，当n＝1 时，an＝2n－1 也适用，∴ an＝2n－1(n∈N*)，
∴数列{an}是以1 为首项，2 为公差的等差数列，
又数列{bn}是以1 为首项，3 为公差的等差数列，
∴这两个数列的公共项所构成的新数列{cn}是以1 为首项，6 为公差的等差数列，
∴{cn}的前n 项和为n×1＋×6＝3n2－2n.
4．解　(1)由Sn＝(n－1)2n＋1＋2，得a1＝2，Sn－1＝(n－2)2n＋2(n≥2)，
两式相减得an＝n·2n(n≥2)，
当n＝1 时，代入上式，求得a1＝2，
所以an＝n·2n(n∈N*)．
(2)由题知，bn＝＝2n，所以数列{cn}为22,23,25,26,28,29，…，
它的奇数项组成以4 为首项，8 为公比的等比数列；
偶数项组成以8 为首项，8 为公比的等比数列，
所以T2 023＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2 023)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2 022)＝＋
＝＋
＝.
第七章　立体几何与空间向量
§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1．B　2.A　3.A　4.B　5.D　6.B
7．AC　[如图，在正四棱锥S－ABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为AB 的中点，
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则SH⊥AB，
设底面边长为2a 米．
因为∠SHO＝30°，
所以OH＝AH＝a 米，OS＝a 米，SH＝a 米．
在Rt△SAH 中，a2＋2＝21，
解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6 米，侧面积为×6×2×4＝24(平方米)．]
8．AC　[依题意，∠APB＝120°，PA＝2，所以OP＝1，OA＝OB＝.
A 项，圆锥的体积为×π×()2×1＝π，故A 正确；
B 项，圆锥的侧面积为π××2＝2π，故B 错误；
C 项，取AC 的中点D，连接OD，PD，如图所示，
则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO 是二面角P－AC－O 的平面角，
则∠PDO＝45°，所以OP＝OD＝1，
故AD＝CD＝＝，
则AC＝2，故C 正确；
D 项，PD＝＝，
所以S△PAC＝×2×＝2，故D 错误．]
9．72
10．12＋4　
解析　如图，该棱长为的“半正多面体”的所有顶点恰为正方体各棱的中点，容易得到正方
体的棱长为2.
设该“半正多面体”的表面积为S，体积为V，则该“半正多面体”的表面由6 个正方形和
8 个等边三角形组成，所以其表面积S＝6×()2＋8××××＝12＋4，
则该“半正多面体”可以看作是棱长为2 的正方体，在8 个顶点处截去侧棱长为1 的8 个正
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三棱锥得到的，所以其体积
V＝23－8×××1×1×1＝.
11．282＋54
解析　由题意，该几何体侧面4 个面的面积和为4×4×6＝96(cm2)，
底面积为6×6＝36(cm2)，
正方形EFGH 的面积为3×3＝9(cm2)．
考虑梯形ABFE，
高为
＝(cm)，
故正四棱台的侧面积为
4××(3＋6)×＝27(cm2)，
故该模型的表面积为96＋36＋9＋27＝(141＋27)cm2，
故所需金属膜的质量为
2×(141＋27)＝(282＋54)mg.
12．120＋24π　144＋18π
解析　魔方表面共有30 个边长为2 cm 的正方形，
故面积为30×22＝120(cm2)，
魔方表面共有6 个半径为2 cm 的扇形，
故面积为6×π·22×＝6π(cm2)，
魔方表面共有个圆柱的侧面9 个，
故面积为9×2π·2×2×＝18π(cm2)，
故该魔方的表面积为120＋6π＋18π＝(120＋24π)cm2；
18 个棱长为2 cm 的正方体小块的体积为18×23＝144(cm3)，
9 个底面半径为2 cm，高为2 cm 的个圆柱小块的体积为π·22××2×9＝18π(cm3)，
故魔方体积为(144＋18π)cm3.
13．解　(1)因为S 原图形＝2S 直观图，
所以S 四边形OABC＝2S 直观图＝6.
(2)平面四边形OABC 如图所示，在Rt△ODC 中，有OC2＝OD2＋CD2＝(2)2＋12＝9，
所以OC＝3，所以AB＝3.
如图，分别过点B，C 作OA 及其延长线的垂线，垂足为E，F.
矩形FEBC 绕OA 及其延长线旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l1＝BC＝3 的圆柱；
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Rt△BEA 绕OA 旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l2＝AB＝3，高h1＝AE＝1 的圆
锥；
Rt△CFO 绕OA 及其延长线旋转一周得到一个底面半径r＝OD＝2，母线l3＝OC＝3，高h2
＝OF＝CD＝1 的圆锥．
所以旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，再加上一个同底的圆锥构成的组合体．
则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体
积，
所以旋转形成的几何体的体积V＝πr2l1－πr2l2＋πr2l3＝π×(2)2×3－π×(2)2×1＋π×(2)2×1＝
24π.
旋转形成的几何体的表面积即圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，
所以S＝2πrl1＋πrl2＋πrl3＝2π×2×3＋π×2×3＋π×2×3＝24π.
14．(1)证明　作AE⊥DC，E 为垂足，
在等腰梯形ABCD 中，设AD＝AB＝BC＝CD＝a(a>0)，
∴DE＝(CD－AB)＝a，∠ADE＝60°，
∴AC＝＝a，
∴AC2＋AD2＝DC2，∴AC⊥AD.
又PC⊥PD，平面ADP⊥平面PCD，平面ADP∩平面PCD＝PD，PC⊂平面PCD，∴PC⊥
平面ADP，
又AD⊂平面ADP，∴PC⊥AD，
∵AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面ACP，∴AD⊥平面ACP，
∵AP⊂平面ACP，∴AD⊥AP，
∴∠DAP＝90°，
即△ADP 为直角三角形．
(2)解　由(1)知在等腰梯形ABCD 中，AE＝.
S△ADC＝×1×＝，
S 梯形ABCD＝×＝.
∴＝.∴＝.
又PC⊥平面ADP，△ADP 为直角三角形，PD⊥PC，
∴DP＝＝，AP＝＝，
∴VP－ADC＝VC－ADP＝××1××1＝.
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∴VP－ABCD＝VP－ADC
＝×＝.
15．C　[方法一　因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合＝2，
可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.
不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，
h2，
则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π 的圆，
所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.
由勾股定理得，
h1＝＝，
h2＝＝2，
所以＝＝＝.
方法二　设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，
侧面展开图的圆心角分别为n1，n2，
则由＝＝＝2，
得＝＝2.
由题意知n1＋n2＝2π，
所以n1＝，n2＝，
所以2πr1＝l,2πr2＝l，
得r1＝l，r2＝l.
由勾股定理得，h1＝＝l，
h2＝＝l，
所以＝＝＝.]
16．BD　[因为PA⊥平面ABCD，BE∥PA，则BE⊥平面ABCD，
因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥BE，
因为四边形ABCD 为矩形，则BC⊥AB，
因为AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABEP，所以BC⊥平面ABEP，
同理可证CD⊥平面PAD，
故该几何体的体积为
V＝VC－ABEP＋VP－ACD＝××(1＋2)×1×2＋××1×2×2＝，故A 错误；
取PA 的中点F，连接EF，DF，
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因为BE∥PA，PA＝2BE，F 为PA 的中点，
则AF∥BE 且AF＝BE，
所以四边形ABEF 为平行四边形，所以EF∥AB，
又因为AB∥CD，则EF∥CD，
因为EF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD，
所以点E，F 到平面PCD 的距离相等，
所以V1＝VE－PCD＝VF－PCD＝VC－PDF＝×1××1×2＝，
V2＝VE－PBC＝VC－PBE＝××1×1×2＝，
因为BE∥PA，BE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，
所以BE∥平面PAC，所以点B，E 到平面PAC 的距离相等，
故V3＝VE－PAC＝VB－PAC＝VP－ABC＝××2×1×2＝，
所以3V1≠2V2，V3＝2V2，V1＋V2＝V3，故B，D 正确，C 错误．]
§7.2　球的切、接问题
1．C　2.A　3.C　4.C 
5．A　[将该多面体放入正方体中，如图所示．
由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，
因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，
所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线
长，即2R＝，所以R＝1，
所以该多面体外接球的体积
V＝πR3＝.]
6．C　[该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O 组成的圆锥体积最大．设圆锥的
高为h(0<h<1)，底面半径为r，
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则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h，则V′＝π(1－3h2)，
令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝，
所以V＝π(1－h2)h 在上单调递增，在上单调递减，
所以当h＝时，四棱锥的体积最大．]
7．ABC　[设正方体的棱长为a，
则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即a；
内切球的半径为棱长的一半，即a.
∵M，N 分别为外接球和内切球上的动点，
∴MNmin＝a－a＝a
＝－1，
解得a＝2，即正方体的棱长为2，
∴正方体外接球的表面积为4π×()2＝12π，内切球的体积为π，故A，B，C 正确；
线段MN 的最大值为＋1，故D 错误．]
8．BCD　[由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则球的表面积为
4πr2，圆柱的表面积为2πr2＋2πr·2r＝6πr2，所以球与圆柱的表面积之比为2∶3，故A 错误；
ABCD 所在截面如图所示，过点O 作OG⊥DO1于点G，则由题可得
OG＝×＝，
设点O 到平面DEF 的距离为d1，平面DEF 截得球的截面圆的半径为r1，
则d1≤OG，r＝r2－d＝4－d≥4－＝，
所以平面DEF 截得球的截面面积最小值为π，故B 正确；
由题可知四面体CDEF 的体积等于
，点E 到平面DCO1的距离d∈(0,2]，
又
＝×4×4＝8，
所以
＝×8d＝∈，故C 正确；
由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，
设P 在底面的射影为P′，则PP′＝2，PE＝，
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PF＝，P′E2＋P′F2＝16，
设t＝P′E2，则t∈[0,42]，PE＋PF＝＋，
所以(PE＋PF)2＝(＋)2
＝24＋2
＝24＋2∈[24＋8，48]，
所以PE＋PF∈[2＋2，4]，故D 正确．]
9.
解析　圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，
如图，圆锥母线长BS＝3，底面半径BC＝1，其高SC＝＝2，
不妨设该内切球与母线BS 切于点D，
令OD＝OC＝r，由△SOD∽△SBC，得＝，
即＝，
解得r＝，V＝πr3＝.
10.　6π
解析　如图，添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF，
可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF－BCE，
因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，
BC＝CE＝1，
所以S△BCE＝CE×BC＝×1×1＝，
直三棱柱ADF－BCE 的体积
V＝S△BCE·AB＝×2＝1，
添加的三棱锥的体积为V＝.
方法一　如图，分别取AF，BE 的中点M，N，连接MN，与AE 交于点O，
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因为四边形AFEB 为矩形，所以O 为AE，MN 的中点，在直三棱柱ADF－BCE 中，CE⊥平
面ABCD，
所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱
柱的外接球的球心即为点O，AO 即为球的半径，
因为AM＝AF＝，MO＝1，
所以AO2＝AM2＋MO2＝＋1＝，所以外接球的表面积为4π·AO2＝6π.
方法二　因为CE，CB，CD 两两垂直，故将直三棱柱ADF－BCE 补成长方体，设外接球的
半径为R，则4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π.
§7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系
1．D　2.B　3.B　4.D　5.D
6．B　[连接BD，DF，AC，CG，CE，如图，
设BF＝DF＝x，由BD∥EG，得∠FBD 即为BF 与EG 所成的角，
在△FBD 中，易知BD＝2，
cos∠FBD＝＝，
解得x＝.
设PB＝PC＝y，在△PFB 中，2＋3－2·cos∠PFB＝y2，①
因为∠PFB＋∠BFC＝180°，
故cos∠BFC＝cos(180°－∠PFB)＝－cos∠PFB，
则在△BCF 中，2＋3－2·cos∠BFC＝4，
即2＋3＋2·cos∠PFB＝4，②
①＋②得＋6＝y2＋4，因为y>0，解得y＝2.
因为F 为PC 的中点，故V 三棱锥P－EFG＝V 三棱锥C－EFG＝V 三棱锥F－ECG，
因为PA2＋PC2＝AC2，PA＝PC，
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所以△PAC 为等腰直角三角形，
则在等腰直角三角形PAC 中，易求得点P 到AC 的距离即点P 到底面的距离为＝，
故点F 到平面CEG 的距离为，
S△ECG＝S▱ABCD－S△AEG－S△CDG－S△CEB＝2×2－×1×1－×2×1－×1×2＝4－－1－1＝，
故所求三棱锥的体积为
××＝.]
7．AB　[∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，
∴O∈平面ACC1A1.
∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O 是平面ACC1A1和平面C1BD 的公共点，
同理可得，点M 和点C1 都是平面ACC1A1 和平面C1BD 的公共点，∴点C1，M，O 在平面
C1BD 与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O 三点共线，故A，B 正确；根据异面直线的判
定定理可得BB1与C1O 为异面直线，故C1，O，B1，B 四点不共面，故C 不正确；根据异面
直线的判定定理可得DD1 与MO 为异面直线，故D1，D，O，M 四点不共面，故D 不正
确．]
8．ABD　[将三棱锥补形为长方体，如图所示．
其中BE＝BN＝1，BF＝2，
所以AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，
连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，
所以四边形AMFB 为平行四边形，
所以AB∥MF，
又四边形MCFD 为正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A 正确；
长方体的体积V1＝1×1×2＝2，
三棱锥E－ABC 的体积V2＝V 三棱锥A－BEC＝××1×2×1＝，
同理，三棱锥N－ABD，三棱锥F－BCD，三棱锥M－ACD 的体积也为，
所以三棱锥A－BCD 的体积V＝2－4×＝，故B 正确；
长方体的外接球的直径为＝，
所以长方体的外接球的半径为，
长方体的外接球也是三棱锥A－BCD 的外接球，
所以三棱锥A－BCD 外接球的半径为，故C 错误；
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连接MN，交AD 于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD 与BC 所成
的角，
由已知OA＝AD＝，
OM＝MN＝，AM＝2，
所以cos∠AOM＝＝－，
所以异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为，故D 正确．]
9．P∈l　10.3
11．60°
解析　在平面ABD 中，过E 作EG∥AB，交DB 于点G，连接GF，如图，
∵＝，
∴＝，
又＝，∴＝，
则GF∥CD，
∴∠EGF(或其补角)即为AB 与CD 所成的角，
在△EGF 中，EG＝AB＝2，GF＝CD＝1，EF＝，
∴cos∠EGF＝＝－，
∴∠EGF＝120°，
∴AB 与CD 所成角的大小为60°.
12．①②③
解析　如图所示，连接B1D1，BD，DB1，EF，DE，DH，DF，DG，因为E，F 分别为棱
CC1，BB1的中点，所以EF∥BC，
又底面ABCD 为正方形，
所以BC∥AD，所以EF∥AD，
所以四边形EFAD 为梯形，所以DH 与AE 相交，DF 与AE 相交，故②③不可视；
因为B1D1∥DB，所以四边形B1D1DB 是梯形，
所以B1D 与BD1相交，故①不可视；
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因为EFAD 为梯形，G 为CF 的中点，
即G∉EF，则D，E，G，A 四点不共面，所以DG 与AE 不相交，
若DG 与BD1相交，则D，B，G，D1四点共面，
显然D，B，B1，D1四点共面，G∉平面DBB1D1，
所以D，B，G，D1四点不共面，即假设不成立，
所以DG 与BD1不相交，即点G 与点D 可视，故④可视．
13．(1)证明　因为M∈AB，N∈AD，
AB⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，
所以MN⊂平面ABD，
因为E∈CB，F∈CD，CB⊂平面CBD，CD⊂平面CBD，
所以EF⊂平面CBD，
由于直线MN 与直线EF 相交于点O，即O∈MN，O∈平面ABD，
O∈EF，O∈平面CBD，
又平面ABD∩平面CBD＝BD，则O∈BD，所以B，D，O 三点共线．
(2)解　连接BD，作BD 的中点G，并连接GN，GE，如图所示，
在△ABD 中，点N，G 分别是AD 和BD 的中点，且AB＝6，
所以GN∥AB，且GN＝AB＝3，
在△CBD 中，点E，G 分别是BC 和BD 的中点，且DC＝4，
所以GE∥CD，且GE＝DC＝2，
则异面直线AB 与DC 所成的角等于直线GE 与GN 所成的角，即∠EGN 或∠EGN 的补角，
又NE＝2，由余弦定理得
cos∠EGN＝＝＝>0，
故异面直线AB 与DC 所成角的余弦值为.
14．解　(1)存在．当G 为PA 的中点时满足条件．
如图，连接GE，GD，则GE 是△PAB 的中位线，所以GE∥AB.
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又AB∥DC，所以GE∥DC，
所以G，E，C，D 四点共面．
(2)因为E 是PB 的中点，所以V 三棱锥P－ACE＝V 三棱锥B－ACE＝V 三棱锥P－ACB.
又S△ABC＝AB·AD＝×2×1＝1，
V 三棱锥P－ACB＝PC·S△ABC＝，
所以V 三棱锥P－ACE＝.
15．ABC　[对于A，连接DB，C1D，AB1，D1B1，
因为BC1∥AD1，BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1，
因为DB∥D1B1，DB⊄平面AB1D1，D1B1⊂平面AB1D1，
所以DB∥平面AB1D1，
又DB∩BC1＝B，DB，BC1⊂平面BDC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，又DP⊂平面BDC1，
所以DP∥平面AB1D1，故A 正确；
对于B，
由点P 在线段BC1上运动知平面AD1P 即平面AD1C1B，故点C 到平面AD1P 的距离不变，且
△AD1P 的面积不变，所以三棱锥C－AD1P 的体积不变，故B 正确；
对于C，因为四边形DCC1D1 为正方形，则CD1⊥C1D，而AD⊥平面DCC1D1，CD1⊂平面
DCC1D1，所以CD1⊥AD，
又AD∩C1D＝D，AD，C1D⊂平面AB1C1D，则CD1⊥平面AB1C1D，
而DB1⊂平面AB1C1D，因此DB1⊥CD1，同理DB1⊥CA，
又CD1∩CA＝C，CD1，CA⊂平面ACD1，所以DB1⊥平面ACD1，
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又DB1⊂平面PB1D，则平面PB1D⊥平面ACD1，故C 正确；
对于D，
由AD1∥BC1，异面直线DP 与AD1所成角即为DP 与BC1所成角，
又△DBC1为等边三角形，当P 与线段BC1的两端点重合时，DP 与AD1所成角取最小值，
当P 与线段BC1的中点重合时，DP 与AD1所成角取最大值，故DP 与AD1所成角的范围为，
故D 错误．]
16．2　
解析　设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，球O 的半径为R，
则由正方体体对角线L＝a＝2R 得R＝，
所以V 球O＝πR3＝π3＝4π，故a＝2，
因为CC1∥AA1，
所以AA1与AP 所成角的正弦值也是，即sin∠A1AP＝，
又因为AA1⊥平面A1B1C1D1，A1P⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1P，
故sin∠A1AP＝＝，
即＝，解得A1P＝，
所以点P 的轨迹是以A1为圆心，为半径的圆与四边形A1B1C1D1内的一段弧，如图所示，
设正方形A1B1C1D1的中心为O1，连接O1P，OO1，
因为O1A1＝A1C1＝×＝，
所以(O1P)min＝O1A1－A1P＝，
所以(OP)min＝＝＝，即(OP)min＝.
§7.4　空间直线、平面的平行
1．C　2.B　3.C　4.D　5.D
6．B　[如图，取B1C1 的中点M，BB1 的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面
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A1MN∥平面AEF，所以点P 位于线段MN 上．因为A1M＝A1N＝＝，MN＝＝，
所以当点P 位于M，N 点时，A1P 最大，当点P 位于MN 的中点O 时，A1P 最小，此时A1O
＝＝，所以≤|A1P|≤，所以线段A1P 长度的取值范围是.]
7．AC　[对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB 与平面DEF 平行，
故A 正确；
对于B，如图1，作平面DEF 交正方体的棱于点G，连接FG 并延长，交AB 的延长线于点
H，则AB 与平面DEF 相交于点H，故B 错误；
图1
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB 与平面DEF 平行，故C 正确；
对于D，如图2，连接AC，取AC 的中点O，连接OD，
图2
又D 为BC 的中点，∴AB∥OD，
∵OD 与平面DEF 相交，∴直线AB 与平面DEF 相交，故D 错误．]
8．ACD　[由题图，显然A 正确，B 错误；
对于C ，因为A1D1∥BC ，BC∥FG ，所以A1D1∥FG 且FG⊂平面EFGH ，A1D1⊄平面
EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，故C 正确；
因为水是定量的(定体积V)，
所以S△BEF·BC＝V，
即BE·BF·BC＝V，
所以BE·BF＝(定值)，故D 正确．]
9.　
10．矩形
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解析　因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD ，平面EFGH∩平面BCD ＝EF ，所以
CD∥EF.
同理HG∥CD，所以EF∥HG.
同理HE∥GF，
所以四边形EFGH 为平行四边形．
又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，
所以平行四边形EFGH 为矩形．
11．A，B，C1(答案不唯一)
解析　由空间图形A1B1C1－ABC 是三棱台，
可得平面ABC∥平面A1B1C1，
当平面ABC1为平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m 时，
又平面α∩平面ABC＝AB，
所以由面面平行的性质定理可知m∥AB，所取的这3 个点可以是A，B，C1.
12．①③
解析　对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF，
∴四边形ABCF 是平行四边形，
∴AF∥BC，
∵AF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，
∴AF∥平面BCD，故①正确；
对于②，取DF 的中点G，连接EG，CG，
∵E 是AD 的中点，AF∥BC，AF＝BC，∴EG＝BC，EG∥BC，
∴四边形BCGE 为梯形，
∴直线BE 与直线CG 相交，
∴BE 与平面CDF 相交，故②错误；
对于③，连接AC，交BF 于点O，连接OE，
∵四边形ABCF 是平行四边形，
∴O 是AC 的中点，
∴OE∥CD，
∵OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF，
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∴CD∥平面BEF，故③正确．
13．(1)证明　设AF＝tAC，
则BF＝BA＋AF＝(1－t)BA＋tBC，AO＝－BA＋BC，
因为BF⊥AO，所以BF·AO＝[(1－t)BA＋tBC]·
＝(t－1)BA2＋tBC2
＝4(t－1)＋4t＝0，
解得t＝，则F 为AC 的中点，
又D，E，O 分别为PB，PA，BC 的中点，于是EF∥PC，DO∥PC，
所以EF∥DO，
又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，
所以EF∥平面ADO.
(2)解　如图，连接DE，OF，过P 作PM 垂直于OF，交FO 的延长线于点M，
因为PB＝PC，O 是BC 中点，
所以PO⊥BC，
在Rt△PBO 中，PB＝，
BO＝BC＝，
所以PO＝＝＝2，
因为AB⊥BC，OF∥AB，
所以OF⊥BC，
又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF，所以BC⊥平面POF，
又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM，
又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，
即三棱锥P－ABC 的高为PM，
因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，
所以PM＝POsin 60°＝2×＝，
又S△ABC＝AB·BC
＝×2×2＝2，
所以V 三棱锥P－ABC＝S△ABC·PM＝×2×＝.
14．(1)证明　连接BD，
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∵四边形ABCD 为平行四边形，由题意可得，G 是线段BD 的中点，
则G，H 分别是线段BD，DF 的中点，故GH∥BF.
(2)解　存在，P 是线段CD 的中点，理由如下：
由(1)可知，GH∥BF，
GH⊂平面GHP，BF⊄平面GHP，
∴BF∥平面GHP，连接PG，PH，
∵P，H 分别是线段CD，DF 的中点，则HP∥CF，
HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP，
∴CF∥平面GHP，
BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF，
故平面GHP∥平面BCF.
15．AB　[对于A，因为点B 在平面AECD 外，点D 在平面AECD 内，直线EC 在平面
AECD 内，直线EC 不过点D，所以直线BD 与EC 是异面直线，即直线BF 与EC 是异面直
线，所以B，E，C，F 四点不共面，故A 正确；
对于B，如图，当点F 为线段BD 的中点，EC＝AD 时，直线CF∥平面BAE，证明如下：
取AB 的中点G，连接GE，GF，
则EC∥FG 且EC＝FG，
所以四边形ECFG 为平行四边形，
所以FC∥EG，又因为EG⊂平面BAE，则直线CF 与平面BAE 平行，故B 正确；
对于C，在三棱锥B－ADC 中，因为点E 的移动会导致点B 到平面ACD 的距离发生变化，
所以三棱锥B－ADC 的体积不是定值，故C 不正确；
对于D，过D 作DH⊥AE 于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，
所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE，
若存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，DH⊂平面AECD，
且DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，
与△ABE 是以B 为直角的三角形矛盾，所以不存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，故D
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不正确．]
16．(1)2　(2)
解析　如图，分别取BC，B1C1的中点F，G，连接EF，FG，EG，
则四边形BFGB1为平行四边形，所以BB1∥FG，
因为E 为CD 的中点，所以EF∥BD，
因为EF，FG⊄平面BDD1B1，BD，BB1⊂平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1，FG∥平面
BDD1B1，
因为EF∩FG＝F，
所以平面EFG∥平面BDD1B1，
(1)因为平面EFG∩平面BCC1B1＝FG，且点P 在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，EP∥
平面BDD1B1，
所以点P 的轨迹是FG，
因为FG＝BB1＝2，
所以动点P 的轨迹长度为2.
(2)因为AB⊥平面BCC1B1，BP⊂平面BCC1B1，所以AB⊥BP，
在Rt△ABP 中，AB＝2，∠BAP＝30°，
则tan∠BAP＝＝，
所以BP＝AB＝，
所以点P 的轨迹是以B 为圆心，为半径的一段弧，且圆心角为，
所以动点P 的轨迹长度为×＝.
§7.5　空间直线、平面的垂直
1．B　2.D　3.A　4.C　5.C 
6．C　[取BC 的中点为E，△BCD 的中心为G，连接AE，DE，CG，AG，
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因为AB＝AC，BD＝CD，则AE⊥BC，DE⊥BC，
可得二面角A－BC－D 的平面角为∠AED，即∠AED＝60°，
因为三棱锥A －BCD 为正三棱锥，则AG⊥平面BCD ，且DE ，CG⊂平面BCD ，则
AG⊥DE，AG⊥CG，
可得AG＝EG，CG＝DG＝2EG，
由AG⊥平面BCD，可知AC 与平面BCD 所成的角为∠ACG，
所以tan∠ACG＝＝＝.]
7．AD　[如图所示，因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为底面ABCD 是矩形，
所以CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A 正确；
因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又PC∩平面PAD＝P，
所以AB 与PC 不垂直，故B 错误；
因为底面ABCD 是矩形，
所以BD 与AC 不一定垂直，
则BD 与平面PAC 不一定垂直，所以平面PBD 与平面PAC 不一定垂直，故C 错误；
因为点E，F 分别是棱PA，PB 的中点，所以EF∥AB，
又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F，C，D 四点共面，故D 正确．]
8．ABC　[对于A，∵E 为AB 的中点，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形EBCD 为平行四边形，
又AB⊥BC，∴四边形EBCD 为矩形，∴CD⊥DE.
∵PD＝AD＝＝2，CD＝2，PC＝2，
∴PD2＋CD2＝PC2，∴CD⊥PD，
又PD∩DE＝D，PD，DE⊂平面EDP，∴CD⊥平面EDP，A 正确；
对于B，∵BC∥DE，AB⊥BC，
∴AE⊥DE，即PE⊥DE，
∵CD⊥平面EDP，PE⊂平面EDP，∴CD⊥PE，
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又CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面EBCD，
∴PE⊥平面EBCD，
∵矩形EBCD 的外接圆半径r＝×＝，
∴四棱锥P－EBCD 的外接球半径R＝＝＝，
∴四棱锥P－EBCD 外接球的体积V＝πR3＝4π，B 正确；
对于C，∵CD⊥平面EDP，PD⊂平面EDP，∴PD⊥CD；
又DE⊥CD，∴二面角P－CD－B 的平面角为∠PDE，
∵PE⊥DE，PE＝DE＝2，
∴∠PDE＝，∴二面角P－CD－B 的大小为，C 正确；
对于D，∵CD⊥平面EDP，∴∠CPD 即为直线PC 与平面EDP 所成的角，
∵CD⊥PD，PD＝2，CD＝2，
∴tan∠CPD＝＝＝，
即直线PC 与平面EDP 所成角的正切值为，D 错误．]
9．2　
10.
解析　画出如图所示示意图，
设底面边长为a，则塔高EF＝a，
AF＝AC＝a，
所以侧棱与底面所成的角∠EAF 的正切值为＝＝.
11．DM⊥PC(或MB⊥PC)
解析　连接AC，
因为底面ABCD 各边都相等，
所以AC⊥BD，
因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，
又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，PC 与平面MBD 内两条相交直线垂直，即有PC⊥平面
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MBD，
而PC⊂平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
12．(0,1]
解析　因为C1C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C1C⊥ED，
由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C⊂平面ECC1，
可得ED⊥平面ECC1，
所以ED⊥EC，
在矩形ABCD 中，设AE＝a,0≤a≤2，则BE＝2－a，
由∠DEA＋∠CEB＝90°，
可得tan∠DEA·tan∠CEB＝·＝＝1，
即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，
当a＝1 时，t2取得最大值1，
即t 的最大值为1；
当a＝0 或2 时，t2取得最小值0，
但由于t>0，所以t 的取值范围是(0,1]．
13．证明　(1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°.
又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°.
又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，
即BD⊥CD.
因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面
PBD.
(2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.
又BP⊥PD，PD∩CD＝D，
所以BP⊥平面PCD.
又BP⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD.
14．(1)证明　连接PC，交DE 于点N，连接MN，
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∵四边形PDCE 为矩形，
∴N 为PC 的中点，
在△PAC 中，M，N 分别为PA，PC 的中点，∴MN∥AC，
∵MN⊂平面MDE，AC⊄平面MDE，
∴AC∥平面MDE.
(2)解　∵∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴AB∥CD，∴∠PBA 是直线PB 与直线CD 所成的角．
∵四边形PDCE 为矩形，
∴PD⊥CD，
∵平面PDCE⊥平面ABCD，
又PD⊂平面PDCE，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，
∴PD⊥平面ABCD，
∵AD，AB⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥AB，
在Rt△PDA 中，∵AD＝1，PD＝，∴PA＝，
∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，
又∵PD⊥AB，PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，
∵PA⊂平面PAD，∴AB⊥PA，
在Rt△PAB 中，∵AB＝1，
∴tan∠PBA＝＝，
∴∠PBA＝，
从而直线PB 与直线CD 所成的角为.
(3)解　l 与平面ABCD 垂直．证明如下：
∵四边形PDCE 为矩形，∴EC∥PD，
∵PD⊂平面PAD，EC⊄平面PAD，
∴EC∥平面PAD，EC⊂平面EBC，
∵平面PAD∩平面EBC＝l，
∴EC∥l，则l∥PD，
由(2)可知PD⊥平面ABCD，
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∴l⊥平面ABCD.
15．ABD　[A 项，如图，连接B1D1，
由正方体可得A1C1⊥B1D1，
且BB1⊥平面A1B1C1D1，
又A1C1⊂平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，
因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BD1B1，
所以A1C1⊥平面BD1B1，
又BD1⊂平面BD1B1，
所以A1C1⊥BD1.
同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，
因为A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，
所以BD1⊥平面A1C1D，故A 正确；
B 项，
＝
，
因为点P 在线段B1C 上运动，
所以
＝A1D·AB 为定值，
且C1到平面A1PD 的距离即为C1到平面A1B1CD 的距离，也为定值，
故三棱锥P－A1C1D 的体积为定值，故B 正确；
C 项，当点P 与线段B1C 的端点重合时，AP 与A1D 所成角取得最小值，最小值为，故C 错
误；
D 项，因为直线BD1⊥平面A1C1D，
所以若直线C1P 与平面A1C1D 所成角的正弦值最大，则直线C1P 与直线BD1所成角的余弦值
最大，
即点P 运动到B1C 中点处，直线C1P 与直线BD1所成角为∠C1BD1，
设正方体棱长为1，在Rt△D1C1B 中，cos∠C1BD1＝＝＝，故D 正确．]
16．2　3
解析　如图所示，
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延长CG 交AD1于点F，连接BF，则F 为AD1的中点，如图所示，
因为GE∥平面D1AB，GE⊂平面CBF，平面CBF∩平面D1AB＝BF，所以GE∥BF，
因为点G 为△D1AC 的重心，
所以CG＝2GF，
所以CE＝2EB，λ＝2.
取CA 的中点O，连接OB，GB，GO，OD1，
则OB⊥AC，
设正方形ABCD 的边长为2，
因为GE∥BF，GE⊥D1A，
所以BF⊥D1A，
又F 为AD1的中点，
所以AB＝D1B＝2，
在Rt△ABC 中，AC＝2，OB＝AC＝，
同理可得，D1O＝，
因为D1O2＋OB2＝D1B2，
所以OB⊥D1O，
又AC∩D1O＝O，
所以OB⊥平面D1AC，
则GO 为GB 在平面D1AC 上的射影，
所以∠OGB 或其补角为直线GB 与平面D1AC 所成的角，
在Rt△OGB 中，GO＝D1O＝，
tan∠OGB＝＝3.
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§7.6　空间向量的概念与运算
1．D　2.A　3.B　4.B　5.A
6．C　[由题意，以A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直
角坐标系，如图所示，
则D(0,4,0)，E(4，0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0，0,0)，B(4,0,0)，
设F(t,0,0)，0<t<4，AF＝λAB(0<λ<1)，
则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，
∴F(4λ，0,0)，
DE＝(4，－4,2)，DF＝(4λ，－4,0)，
PC＝(4,4，－4)，PE＝(4,0，－2)，
设平面DEF 的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，
设平面PCE 的法向量为m＝(a，b，c)，
则
取a＝1，得m＝(1,1,2)，
∵平面DEF⊥平面PCE，
∴m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，
解得λ＝.]
7．ACD　[对于A，若向量a，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a，b 为共线向量，即
a∥b，故A 正确；
对于B，若非零向量a，b，c 满足a⊥b，b⊥c，则a 与c 不一定共线，故B 错误；
对于C，若{OA，OB，OC}是空间的一个基底，且OD＝OA＋OB＋OC，
则OD－OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)，即AD＝AB＋AC，
可得A，B，C，D 四点共面，故C 正确；
对于D，若{a＋b，b＋c，c＋a}是空间的一个基底，
则对空间中任意一个向量d，存在唯一实数组(x，y，z), 
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使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，
则{a，b，c}也是空间的一个基底，故D 正确．]
8．AC　[建立如图所示的空间直角坐标系，因为E 是棱AB 的中点，F 是棱BB1的中点，G
是正方形A1B1C1D1的中心，设正方体的棱长为1，
可得A(0,0,0)，A1(0,0,1)，D(0,1,0)，
C(1,1,0)，C1(1,1,1)，E，
F，G，
D1(0,1,1)，B1(1,0,1)，
设平面EFG 的法向量为n＝(x，y，z)，
EG＝，EF＝，
则
令x＝1，∴n＝(1,2，－1)，
∵C1D＝(－1,0，－1)，C1D·n＝(－1)×1＋0×2＋(－1)×(－1)＝0，C1D⊄平面EFG，
∴C1D∥平面EFG，故A 选项正确；
∵A1C＝(1,1，－1)，A1C与n 不平行，∴A1C 不与平面EFG 垂直，故D 选项错误；
∵GF＝，FE＝，
∴GF·FE＝×＋×0＋×＝0，故C 选项正确；
∵D1B1＝(1，－1,0)，A1A＝(0,0，－1)，D1B1＋A1A＝(1，－1，－1)，
∴GF≠D1B1＋A1A，故B 选项错误．]
9.　10.(－5，－2,6)
11．－a＋b＋c
12.
解析　如图，设BC 的中点为E，连接AE，PE，PO，则O 在AE 上且AO＝2OE，
所以PO＝PA＋AO＝PA＋AE＝PA＋(PE－PA)
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＝PA＋×(PB＋PC)
＝(PA＋PB＋PC)．
故PO＝PM＋PN＋PS，
由于S，M，N，O 四点共面，
于是＋＋＝1，
因此＋＋＝.
13．证明　(1)∵E，H 分别是线段PA，AB 的中点，∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，F(0，1,1)，H(1,0,0)．
PD＝(0,2，－2)，AH＝(1,0,0)，AF＝(0,1,1)，
∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
∴PD⊥AF，PD⊥AH，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.
14．(1)证明　由已知AB＝A1A＝AD＝，∠A1AD＝，∠A1AB＝，∠BAD＝，
所以AD·AA1＝××cos ＝1，
AB·AA1＝××cos ＝1，
AD·AB＝0，
因为O 为AC 的中点，
所以AO＝AC＝AB＋AD，
又A1O·AO＝(AO－AA1)·AO
＝·
＝＋0＋0＋－－＝0，
所以A1O⊥AO，
所以A1O⊥AO.
(2)解　连接A1D，A1B，
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因为A1A＝AD＝，∠A1AD＝，
所以A1D＝，
因为A1A＝AB＝，∠A1AB＝，
所以A1B＝，
连接BD，
由正方形的性质可得B，O，D 三点共线，O 为BD 的中点，
所以A1O⊥BD，
由(1)可知A1O⊥AO，
AO，BD⊂平面ABCD，AO∩BD＝O，
所以A1O⊥平面ABCD，
以O 为坐标原点， OA，OB，OA1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直
角坐标系，
则A(1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，
AD＝(－1，－1,0)，AA1＝(－1,0,1)，AB＝(－1,1,0)，
AD1＝AD＋AA1＝(－2，－1,1)，
AE＝AB＋BE＝AB＋AA1＝，
设平面D1AE 的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令x＝3，则z＝7，y＝1.
所以n＝(3,1,7)为平面D1AE 的一个法向量，
因为点P 在平面ABCD 内，
故设点P 的坐标为(m，n,0)，
因为FP＝OP－OF＝OP－(OC＋CF)＝OP－OC－AA1＝，
又FP∥平面D1AE，
所以FP·n＝3＋n－＝0，即3m＋n＋1＝0，
所以|CP|＝
＝＝
＝，
所以当m＝－时，|CP|有最小值，最小值为.
15．ACD　[在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点D 为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别
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为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，
C(0,3,0)，B(3,3,0)，
设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，D1M＝(3，y，－3)，MN＝(0,3－y，z)，而
D1M⊥MN，
则D1M·MN＝y(3－y)－3z＝0，
即z＝y(3－y)．
对于A，连接A1M，A1M＝(0，y，－3)，则A1M·MN＝y(3－y)－3z＝0，则A1M⊥MN，
MN⊥A1M，故A 正确；
对于B，CM＝(3，y－3,0)，CM·MN＝(y－3)·(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM 与MN 不垂直，
从而MN 与平面D1MC 不垂直，故B 错误；
对于C，BN＝(0,0，z)，则线段BN 的长度|BN|＝z＝≤，当且仅当y＝时等号成立，故C 正确；
对于D，连接A1C1，MC1，不论点M 如何移动，点M 到平面A1D1C1 的距离均为3，而
＝
＝×3·
＝，所以三棱锥C1－A1D1M 的体积为定值，故D
正确．]
16．2　－1
解析　如图，建立空间直角坐标系，则C(0,2,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，设E(x,2，z)，
x∈[0,2]，z∈[0,2]，
所以D1E＝(x,2，z－2)，CE＝(x,0，z)，
因为D1E⊥CE，所以D1E·CE＝x2＋z(z－2)＝0，即x2＋(z－1)2＝1，x∈[0,2]，z∈[0,2]，则动
点E 的轨迹为以(0,2,1)为圆心，1 为半径的半圆，
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将其放到平面直角坐标系中如图所示，则B(2,0)，M(0,1)，N(0,2)，所以|BM|＝＝，所以|BE|
min＝－1；
显然当点E 在点N 处(即立体图形中的C1点)时，|BE|取得最大值，|BE|max＝＝2，
因此，|BE|的最大值为2，最小值为－1.
§7.7　向量法求空间角
1．B　2.C　3.B　4.A
5．A　[∵AB 是圆柱底面圆的一条直径，
∴∠AOB＝90°，∠ACB＝90°，
∵OP＝AB＝OA，
∴∠BAO＝45°，
∴OA＝OB，
∵AC∥OB，∴∠OAC＝90°，
∴四边形OACB 为正方形，设AB＝2，
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，B(0，，0)，P(0,0,2)，C(，，0)，AB＝
(－，，0)，AP＝(－，0,2)，
设平面PAB 的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝，则n＝(，，1)，
又PC＝(，，－2)，
设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ，
∴sin θ＝|cos〈n，PC〉|＝＝＝，
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∴直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为.]
6．A　[由E，F 分别是为CD，CB 的中点，可得EF2＝CE2＋CF2＝DE2＋BF2＝PE2＋PF2，
则PE⊥PF.
由AD⊥DE，AB⊥BF，
可得PA⊥PE，PA⊥PF，
所以PA，PF，PE 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE，PF，PA 分别为坐标轴建立如图所
示的空间直角坐标系，
可得P(0,0,0)，E，
F，A(0,0，a)，
设C(x，y，z)，
由 AC＝a，CE＝CF＝，
得
解得
即得C，
所以可得 PE＝， PC＝，
设平面PCE 的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则
令y′＝1，则x′＝0，z′＝1，
所以平面PCE 的一个法向量为 n＝(0,1,1)，
又 PA＝(0,0，a)，
设PA 与平面PCE 所成的角为θ，
所以sin θ＝|cos〈PA，n〉|＝＝＝.]
7．AD
8．BD　[由题意可得BP⊥AP，BP⊥CP，
又AP∩CP＝P，AP，CP⊂平面PAC，所以BP⊥平面PAC，
在△PAC 中，PA＝PC＝2，AC 边上的高为＝2，
所以V 三棱锥P－ABC＝V 三棱锥B－PAC＝××4×2×2＝，故A 错误；
在△PAC 中，cos∠APC＝＝，
BC＝＝4，
|cos〈PA，BC〉|＝
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＝
＝
＝
＝＝，
所以直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为，故B 正确；
S△PBC＝PB·PC
＝×2×2＝2，
设点A 到平面PBC 的距离为d，
由V 三棱锥B－PAC＝V 三棱锥A－PBC，
得×2d＝，解得d＝，
所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为＝＝，故C 错误；
由B 知，cos∠APC＝，
则sin∠APC＝，
所以△PAC 的外接圆的半径
r＝·＝，
设三棱锥P－ABC 外接球的半径为R，又因为BP⊥平面PAC，
则R2＝r2＋2＝＋1＝，
所以R＝，即三棱锥P－ABC 外接球的半径为，故D 正确．]
9.　
10．1
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a(a>0)，则A(0,0,0)，B1(a,0,2)，A1(0,0,2)，
C(0,1,0)，所以AB1＝(a,0,2)，A1C＝(0,1，－2)，
所以|cos〈AB1，A1C〉|＝＝＝，
解得a＝1，所以棱AB 的长度是1.
11．60°
解析　设二面角α－l－β 的大小为θ，
因为AC⊥AB，BD⊥AB，
所以CA·AB＝0，BD·AB＝0，
由题意得CD＝CA＋AB＋BD，
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所以|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2AB·BD
＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·BD
＝36＋16＋64＋2×6×8×cos(180°－θ)＝(2)2，
所以cos(180°－θ)＝－，
即cos θ＝，所以θ＝60°，
则平面α 与平面β 的夹角为60°.
12．90°　
解析　如图，以点D 为坐标原点，以DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z 轴的正方向建立
空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，
G(1,2,2)，
∴A1C＝(－2,2，－2)，EF＝(0,1,1)，
EG＝(－1,1,2)，
∴A1C·EF＝0＋2－2＝0，
A1C·EG＝2＋2－4＝0，
∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFGHKL，
∴A1C⊥平面EFGHKL，
∴直线A1C 与平面EFGHKL 所成角的大小为90°.
又D1(0,0,2)，B(2,2,0)，D1B＝(2,2，－2)，
由题意知A1C＝(－2,2，－2)为平面EFGHKL 的一个法向量，
设直线D1B 与平面EFGHKL 所成的角为α，则
sin α＝|cos〈D1B，A1C〉|＝＝＝，
∵直线PQ⊂平面EFGHKL，
∴直线D1B 与直线PQ 所成的角最小时即为直线D1B 与平面EFGHKL 所成的角，∴sin θ＝.
13．(1)证明　由CF∥AE，CF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，得CF∥平面ADE，
由AD∥BC，BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
得BC∥平面ADE，
又CF∩BC＝C，CF，BC⊂平面BCF，
所以平面BCF∥平面ADE，
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又BF⊂平面BCF，
所以BF∥平面ADE.
(2) 解　因为AE⊥平面ABCD ，AB ，AD⊂平面ABCD ，所以AE⊥AB ，AE⊥AD ，又
AD⊥AB，
以A 为原点，分别以AB，AD，AE 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2，所以B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，1,0)，E(0,0,2)，则CE
＝(－1，－2,2)，BE＝(－1,0,2)，DE＝(0，－1,2)，
设平面BDE 的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令z＝1，则x＝2，y＝2，
即m＝(2,2,1)，
所以|cos〈m，CE〉|＝＝＝，即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为.
14．(1)证明　取AB 的中点E，连接CE(图略)，
∵在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD＝DC＝AB，AE∥DC，AE＝DC，
∴四边形ADCE 是平行四边形，
CE＝AD，CE＝AE＝EB，
∴∠ACB＝90°，即CB⊥CA，
∵二面角P－AC－B 为直二面角，
∴平面PAC⊥平面ACB，
又平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊂平面ABC，
∴CB⊥平面PAC，
又PA⊂平面PAC，∴CB⊥PA.
(2)解　由AB＝4 知PA＝PC＝2，
取AC 的中点O，则OE∥CB.
∴OE⊥AC，且OP⊥AC，OC，OE，OP 两两互相垂直．
以O 为原点，OC，OE，OP的方向为x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
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设OC＝a(a>0)，则C(a,0,0)，P(0,0，)，A(－a,0,0), B(a，2，0)，
AB＝(2a,2，0)，AP＝(a,0，)，
易得平面PAC 的一个法向量为 n1＝(0,1,0)，
设平面PAB 的法向量为n2＝(x，y，z)，
由
取x＝，
得y＝－a，z＝－a，
故n2＝(，－a，－a)，
由|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，得a＝，
则PC＝(，0，－1)，AB＝(2，2,0)，
设异面直线PC 与AB 所成的角为θ， 
则cos θ＝|cos〈PC，AB〉|＝＝＝，
所以异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为.
§7.8　空间距离及立体几何中的探索性问题
1．(1)证明　∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，
∴以A 为坐标原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，
∵AB＝AC＝AA1＝1，E，F 分别是棱C1C，BC 的中点，∴A(0,0,0)，B1(1，0,1)，E，F，
B1F＝，AE＝，
AF＝，
∵B1F·AE＝0，B1F·AF＝0，
∴B1F⊥AE，B1F⊥AF，
∴B1F⊥AE，B1F⊥AF，
∵AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，∴B1F⊥平面AEF.
(2)解　方法一　∵A1(0,0,1)，
∴A1B1＝(1,0,0)，
又B1E＝，
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∴点A1到直线B1E 的距离
d＝
＝＝.
方法二　∵A1(0,0,1)，
∴A1B1＝(1,0,0)，B1E＝，
∴cos〈A1B1，B1E〉＝＝－，
∴sin〈A1B1，B1E〉＝，
故点A1到直线B1E 的距离为d＝|A1B1|·sin〈A1B1，B1E〉＝.
2．(1)证明　连接A1B，∵AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，故建立如图所示的空间直角坐标系，设A1M＝a，
a∈[0,1]，
则A(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,0,1)，M(0，a,1)，
BM＝(－1，a,1)，AB1＝(1,0,1)，
∵BM·AB1＝0，∴BM⊥AB1，∴BM⊥AB1.
(2)解　设平面BCM 的法向量n＝(x，y，z)，
由(1)知BM＝(－1，a,1)，BC＝(－1,1,0)，AB1＝(1,0,1)，
∴
取x＝1，得n＝(1,1,1－a)，
∵直线AB1与平面BCM 所成的角为，
∴sin ＝|cos〈AB1，n〉|＝＝＝，
解得a＝，∴n＝，
∵A1B＝(1,0，－1), 
∴点A1到平面BCM 的距离d＝＝＝.
3．解　(1)在菱形ABCD 中，∠B＝60°，BE＝EC＝1，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－
2AB·BE·cos 60°＝3，所以AE＝，
所以BE2＋AE2＝AB2，即AE⊥BC，
又AD∥BC，所以AE⊥AD，
在题图2 中，∠DAB′＝90°，
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即AD⊥AB′，
又AB′∩AE＝A，AB′，AE⊂平面AB′E，所以AD⊥平面AB′E，
即EC⊥平面AB′E，
又B′E⊂平面AB′E，所以B′E⊥EC，
如图，以E 为原点，以EC，EA，EB′所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则E(0,0,0)，C(1,0,0)，D(2，，0)，B′(0,0,1)，A(0，，0)，
所以AB′＝(0，－，1)，CD＝(1，，0)，
故|cos〈AB′，CD〉|＝＝＝，
则异面直线AB′与CD 所成角的余弦值为.
(2)由(1)得AC＝(1，－，0)，
设m＝(x，y，z)是异面直线AB′与CD 公垂线的方向向量，
所以⇒
⇒
令y＝1，则m＝(－，1，)，
所以异面直线AB′与CD 之间的距离为＝＝.
4．(1)证明　∵△ABC 是正三角形，E 为AC 的中点，
∴BE⊥AC.
又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.
∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BE⊥平面PAC.
∵BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAC.
(2)解　存在．
由(1)及已知得PA⊥BE，PA⊥AC，
∵点E，F 分别为AC，PC 的中点，
∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC.
又BE⊥AC，
∴EB，EC，EF 两两垂直．
以E 为坐标原点，以EB，EC，EF 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
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则A(0，－2,0)，P(0，－2,2)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，BP＝(－2，－2，2)，AB＝(2，2,0)．
设BG＝λBP＝(－2λ，－2λ，2λ)，λ∈[0,1]，
∴AG＝AB＋BG＝(2(1－λ)，2(1－λ)，2λ)，
BC＝(－2，2,0)，PC＝(0,4，－2)，
设平面PBC 的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝，z＝2，
∴n＝(1，，2)．
由已知得＝|cos〈AG，n〉|＝，
即＝，
解得λ＝或λ＝(舍去)，
故λ＝，
∴存在满足条件的点G，点G 为PB 的中点．
5．解　建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意设点
P(0，t,2)，0≤t≤2，则E(1,1,0)，F(2,2,1)，
C(0,2,0)，
(1)PE＝(1,1－t，－2)，EF＝(1,1,1)，
CF＝(2,0,1)，
设平面EFC 的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令x＝1，得z＝－2，y＝1，
∴m＝(1,1，－2)，
若存在满足题意的点P，则PE∥m，
∴＝1，∴t＝0，满足0≤t≤2，即P 与D1重合时，PE⊥平面EFC，此时C1P＝2.
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(2)易知平面BCC1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
设平面PEF 的法向量为r＝(x0，y0，z0)，
又PF＝(2,2－t，－1)，EF＝(1,1,1)，
∴
令y0＝1，则x0＝－1，z0＝－，
∴r＝，
设平面BCC1B1与平面PEF 的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n，r〉|
＝
＝，0≤t≤2，
∴当t＝时，(cos θ)max＝，
(sin θ)min＝.
此时C1P＝2－＝.
6．(1)证明　∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB∥平面PDC.
(2)解　∵四边形ABCD 是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3，
∴BC＝＝2，
又PB＝PC＝3，
∴点P 到直线BC 的距离为＝2，
∵平面PBC⊥平面ABCD，
∴点P 到平面ABCD 的距离为2.
以D 为原点，以DA，DC 及平面ABCD 过D 的垂线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐
标系(图略)．
∴A(4,0,0)，B(4,5,0)，C(0,3,0)，P(2,4,2)，
∴PB＝(2,1，－2)，AB＝(0,5,0)，CB＝(4,2,0)，
设平面APB 的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
令x1＝1，则y1＝0，z1＝1，
则m＝(1,0,1)，
设平面PBC 的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则
令x2＝1，则y2＝－2，z2＝0，
则n＝(1，－2,0)，
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设平面APB 与平面PBC 的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝
＝＝.
∴平面APB 与平面PBC 夹角的余弦值为.
(3)解　假设棱BC 上存在点Q 到平面APB 的距离为，
设CQ＝λCB＝λ(4,2,0)＝(4λ，2λ，0)，λ∈[0,1]，
∴Q(4λ，2λ＋3,0)，
∴AQ＝(4λ－4,2λ＋3,0)，
由(2)知平面APB 的一个法向量为m＝(1,0,1)，
∴点Q 到平面APB 的距离
d＝＝＝，
∴|4λ－4|＝，∴λ＝1－，
∴棱BC 上存在点Q 到平面APB 的距离为，＝1－.
§7.9　立体几何中的截面、交线问题
1．D　2.D　3.B　4.D
5．C　[截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，则截面圆的面积为4π，
设正四棱锥的底面正方形边长为a，则2a2＝16，所以a＝2，
正四棱锥的底面正方形的面积为(2)2＝8，
由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似，
设圆面中挖去一个正方形的面积为S′，正四棱锥的底面正方形的面积为S，则＝＝，从而
S′＝2，
所以截面图形的面积为4π－2.]
6．B　[如图，在AB 上取点Q，且BQ＝3AQ，取CD 的中点P，连接QM，BP，NP，B1Q.
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在DD1上取点R，且D1R＝3DR，连接NR，MR.
因为＝＝，∠QAM＝∠PCB，
所以△QAM∽△PCB，
所以∠AQM＝∠BPC.
又AB∥CD，所以∠ABP＝∠BPC，
所以∠ABP＝∠AQM，所以QM∥BP.
因为N，P 分别为C1D1，CD 的中点，
所以PN∥CC1，且PN＝CC1.
根据正方体的性质，可知BB1∥CC1，且BB1＝CC1，
所以PN∥BB1，且PN＝BB1，
所以四边形BPNB1是平行四边形，
所以B1N∥BP，所以B1N∥QM.
同理可得NR∥B1Q.
所以五边形QMRNB1即为所求正方体的截面．]
7．BC　[对于A，截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝
角三角形．如图所示的截面为△ABC.设DA＝a，DB＝b，DC＝c，所以AC2＝a2＋c2，AB2＝a2
＋b2，BC2＝b2＋c2.
所以由余弦定理得，cos∠CAB＝＝
>0，
所以∠CAB 为锐角．同理可求，∠ACB 为锐角，∠CBA 为锐角．所以△ABC 为锐角三角形，
故A 不符合题意；
对于B，如图，截面图形如果是四边形，可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形，
不可能是直角梯形，故B 符合题意；
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对于C，如图，当截面为五边形时，不可能出现正五边形，故C 符合题意；
　　
对于D，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形，故D 不符合题意．]
8．ACD　[如图所示，建立空间直角坐标系，设CE＝D1F＝AH＝m，m∈[0,2]，
则D(0,0,0)，E(m,2,0)，F(0，m,2)，H(2,0，m)，B1(2,2,2)，
DB1·EF＝(2,2,2)·(－m，m－2,2)＝－2m＋2m－4＋4＝0，故DB1⊥EF，即DB1⊥EF，
同理可得DB1⊥EH，EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFH，故DB1⊥平面EFH，故A 正确；
平面EFH 的一个法向量为DB1＝(2,2,2)，
点D 到平面EFH 的距离为|DH||cos〈DH，DB1〉|＝＝＝1，
解得m＝－2，不满足题意，故B 错误；
设平面EFH 分别与A1D1，AB，CC1 交于P，Q，R，设P(p,0,2)，则PF·DB1＝(－p，
m,0)·(2,2,2)＝－2p＋2m＝0，p＝m，即P(m,0,2)，
同理可得，Q(2，m,0)，R(0,2，m)，故|HR|＝|PE|＝|FQ|＝2，PF∥HR∥QE，
如图，过点P 作PM⊥HR 于M，EN⊥HR 于N，
则|PM|＝(2－m)，|EN|＝m，
截面面积为S＝(m＋2)×(2－m)＋×(2＋2－m)×m＝－(m－1)2＋3，当m＝1 时有最大值为
3，故C 正确；
截面的周长为m＋(2－m)＋m＋(2－m)＋m＋(2－m)＝6，为定值，故D 正确．]
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9．130
10．3＋
解析　由题意可知过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC1的周长，因
为直三棱柱ABC－A1B1C1的各侧面均为矩形，所以AC1＝＝，
直三棱柱ABC－A1B1C1的侧面部分展开图如图所示，则在矩形ACC1A1中，AM＋MC1≥AC1
＝＝3，
所以过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为3＋.
§7.10　立体几何中的动态、轨迹问题
1．B　2.B　3.B
4．D　[如图，在侧棱AA1上取一点R，使得AR＝2RA1，连接PR，BR，
过点A 作AN⊥BR 交BR 于点M，交BB1于点N，连接AC，CN，BD，
由PR∥AD，可知PR⊥AN，BR，PR⊂平面BPR，BR∩PR＝R，
从而AN⊥平面BPR，BP⊂平面BPR，
所以BP⊥AN，
又由BP 在平面ABCD 内的射影BD⊥AC，所以BP⊥AC，AN，AC⊂平面ACN，AN∩AC＝
A，
知BP⊥平面ACN，CN⊂平面ACN，
所以BP⊥CN，
所以动点Q 的轨迹为线段CN，
在Rt△ABN，Rt△RAB 中，∠BAN＝∠ARB，
所以Rt△ABN∽Rt△RAB，
则＝，得BN＝，
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易得CN＝
＝＝.]
5．C　[取A1D1的中点M，连接AM，B1M，AB1，EM，FM，如图所示，在正方体ABCD－
A1B1C1D1中，AD∥B1C1且AD＝B1C1，
因为E，F 分别是棱AD，B1C1的中点，则AE∥B1F 且AE＝B1F，
所以四边形AB1FE 为平行四边形，则AB1∥EF，
因为AB1⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，
所以AB1∥平面BEF，
同理可证AM∥平面BEF，
因为AB1∩AM＝A，AB1，AM⊂平面AB1M，
所以平面AB1M∥平面BEF，
因为AM⊂平面AA1D1D，
若P∈AM，则B1P⊂平面AB1M，
所以B1P∥平面BEF，
所以点P 在侧面AA1D1D 内的轨迹为线段AM，
由勾股定理可得
AM＝＝.]
6．D　[连接AC，BD 交于点O，连接OB′，四边形ABCD 为菱形，∠ABC＝60°，
所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC，△ACD，△AB′C 均为正三角形，
所以∠B′OD 为二面角B′－AC－D 的平面角，于是∠B′OD＝60°，
又因为OB′＝OD，
所以△B′OD 为正三角形，
所以B′D＝OB′＝OD＝2×＝，
取OC 的中点P，取CD 的中点Q，连接EP，EQ，PQ，所以PQ∥OD，EP∥OB′，所以
AC⊥EP，AC⊥PQ，EP∩PQ＝P，所以AC⊥平面EPQ，
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所以在三棱锥B′－ACD 表面上，满足AC⊥EF 的点F 轨迹为△EPQ，
因为EP＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′D，
所以△EPQ 的周长为3×＝，
所以点F 轨迹的长度为.]
7．ACD　[因为该球的表面积为4πr2＝12π，
故半径r＝，
且正方体的棱长满足(2r)2＝3a2＝12，故棱长a＝2，
选项A，由题意可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且PA∥平面A1B1C1D1，故PA⊂平面
ABCD，则P 的轨迹为正方形ABCD 的外接圆，故有无数个点P 满足，故A 正确；
选项B，易知AC1⊥平面CB1D1，且平面PAA1⊥平面CB1D1，PA⊂平面PAA1，故P 的轨迹为
矩形AA1C1C 的外接圆，其周长为2πr＝2π，故B 错误；
选项C，因为PA∥平面A1B1CD，设过PA 且与平面A1B1CD 平行的平面为α，则P 的轨迹为
α 与外接球的交线，其半径为＝1，周长为2π，故C 正确；
选项D，若平面PAD⊥平面PBC，则点P 在以四边形ABCD 为轴截面的某个圆柱面上，该
圆柱面与球面交线为曲线，故有无数个点P 满足，故D 正确．]
8．BCD　[如图，建立空间直角坐标系，则D(0,1,0)，C1(1,1,1)，
∵直线AM 与AB 的夹角为，当点M 在侧面AA1D1D 上时，AB⊥AM，不合题意；
当点M 在底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D(不包含边界)上时，点M 到直线AB 的距离大于AB 的
长度，此时，AM 与AB 的夹角大于；
当点M 在侧面AA1B1B 和底面ABCD 上时，可知线段AB1，AC 满足题意；
当点M 在侧面BCC1B1上时，由AB⊥BM，可知BM＝AB，此时弧B1C 为所求．
∴M 点的轨迹为线段AC，AB1，弧B1C，显然线段AC，AB1，弧B1C 不共面，∴A 错误；
对于B，点M 的轨迹长度为＋2，∴B 正确；
对于C，若M 在线段AC 上，则C1M 的最小值为1，同理，若M 在线段AB1上，则C1M 的最
小值也为1，若M 在弧B1C 上，则C1M 的最小值为C1B－1＝－1，∴C 正确；
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对于D，M(1，y，z)(0≤y≤1,0≤z≤1)，且y2＋z2＝1，由题意设N(λ，λ，λ)，λ∈[0,1]，则
AN＋MN＝λ＋≥λ＋＝λ＋(1－λ)＝1，
当且仅当y＝z＝λ，且y2＋z2＝1，即y＝z＝λ＝时，等号成立，∴D 正确．]
9.
解析　如图所示，取BC 中点G，连接MG，NG，由正方体的特征可知，MG⊥底面
ABCD，
故MN 与底面ABCD 的夹角即为∠MNG，所以∠MNG＝，
则＝tan ⇒NG＝，
故点N 在以G 为圆心，为半径的圆上，又N 在底面正方形ABCD 上，即点N 的轨迹为图示
中的圆弧EF，易知＝＝⇒∠EGB＝⇒∠EGF＝π－－＝，
所以动点N 的轨迹长度为
×＝.
10.
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C(0,8,0)，E(6,0,0)，B(6,4,0)，设
P(x,0，z)，
则PD＝(－x,0，－z)，PC＝(－x,8，－z)，PE＝(6－x,0，－z)，PB＝(6－x,4，－z)，
∴cos∠EPB＝cos〈PE，PB〉＝＝
，
cos∠DPC＝cos〈PD，PC〉
＝
＝，
∵∠EPB＝∠DPC，
∴cos∠EPB＝cos∠DPC，
∴
＝，
整理化简得x2＋z2－16x＋48＝0，
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即(x－8)2＋z2＝16，∴点P 的轨迹为圆弧，所在圆交A′E 于P1(6,0,2)，交DE 于P2(4,0,0)，
则|P1P2|＝
＝4，
∴P1P2所对应的圆心角α＝，
∴弧长l＝αr＝×4＝，即点P 的轨迹长度为.
第八章　直线和圆、圆锥曲线
§8.1　直线的方程
1．A　2.B　3.C　4.C　5.C　6.D
7．ABD　[若ab>0，则直线l 的斜率－<0，故A 正确；
若b＝0，a≠0，则直线l 的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B 正确；
将(0,0)代入ax＋by－2＝0 中，显然不成立，故C 错误；
若a＝0，b≠0，则直线l 的方程为y＝，其倾斜角为0°，故D 正确．]
8．CD　[对于A，如倾斜角为的直线的斜率为－，而倾斜角为的直线的斜率为，故A 错误；
对于B，当两直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故B 错误；
对于C，当x1＝x2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为x＝x1，此时适合(y－y1)(x2－
x1)＝(x－x1)(y2－y1)；
当y1＝y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为y＝y1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－
x1)(y2－y1)；
当x1≠x2，y1≠y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为＝，也即(y－y1)·(x2－x1)＝(x－
x1)(y2－y1)，
故经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)
(y2－y1)，故C 正确；
对于D，设直线l 为y＝kx＋b，由题意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，则3k＋b＋2＝
b，即k＝－，故D 正确．]
9.
10．y＝－x 或x－y＋8＝0
11．(0，－2)　[1,3]
解析　由题意得直线l：y＝kx－2 过定点C(0，－2)，
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又点A(2,4)，
B(4,2)，kCA＝＝3，kCB＝＝1，
要使直线l 与线段AB 有公共点，由图可知k∈[1,3]．
12．16
解析　根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，
又因为C(－2，－2)在该直线上，
故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.
又因为ab>0，故a<0，b<0.
根据基本不等式ab＝－2(a＋b)＝2(－a－b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4
时取等号，即ab 的最小值为16.
13．解　(1)因为sin α＝，
所以k＝tan α＝±，
则所求直线方程为y－2＝±(x－1)，
即3x－4y＋5＝0 或3x＋4y－11＝0.
(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，
可设直线方程为＋＝1，
代入点A(1,3)，可得＋＝1，
解得m＝2 或m＝4，
所以所求直线方程为＋＝1 或＋＝1，
即所求直线方程为3x＋y－6＝0 或x＋y－4＝0.
(3)直线斜率k＝＝－1，
则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.
14．解　(1)当k＝0 时，方程x－ky＋2＋k＝0 可化为x＝－2，不经过第一象限；
当k≠0 时，方程x－ky＋2＋k＝0 可化为y＝x＋＋1，
要使直线不经过第一象限，
则解得－2≤k<0.
综上，k 的取值范围为[－2,0]．
(2)由题意可得k>0，
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由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，令x＝0 得y＝，
所以S＝|OA||OB|
＝··(2＋k)
＝
≥＝4，
当且仅当k＝，即k＝2 时取等号，
此时Smin＝4，直线l 的方程为x－2y＋4＝0.
15．3x－y－5＝0(答案不唯一)
解析　当过A(2,1)的直线将圆1 与圆2 平分，过B(3,4)的直线将圆3 与圆4 平分时，L 划分为
面积相等的两个区域且kAB＝＝3，
∴直线AB 的方程为y－1＝3(x－2)，
即直线l：3x－y－5＝0(答案不唯一)．
16．6
解析　由题意知，动直线x＋my＋1＝0 过定点A(－1,0)，
动直线mx－y－2m＋3＝0 可化为(x－2)m＋3－y＝0，
令可得B(2,3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
因为≥2，
所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，
当且仅当|PA|＝|PB|＝3 时取等号，即|PA|＋|PB|的最大值为6.
§8.2　两条直线的位置关系
1．C　2.D　3.D　4.B　5.C　6.B
7．AC　[由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点，
当直线l∥AB 时，因为直线AB 的斜率为＝－4，
所以直线l 的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；
当直线l 经过线段AB 的中点(3，－1)时，l 的斜率为＝－，
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此时直线l 的方程是y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0.]
8．ABD　[如图，取AB 的中点为P(x，y)，
因为△ABC 为以C 为直角顶点的等腰直角三角形，
所以CP⊥AB，
即CP 垂直于直线x－y＝1，
则kCP＝＝－1，且x－y＝1，
解得则AB 的中点P 的坐标为(3,2)，故A 正确；
|CP|＝＝，
|AB|＝2|CP|＝2，故B 正确；
所以S△ABC＝|AB||CP|＝×2×＝2，故C 错误；
设点C 关于直线AB 的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，
即xP＝
＝3，所以
＝4，
所以
＝－1，解得
＝1，
即点C 关于直线AB 的对称点的坐标是(4,1)，故D 正确．]
9．－2　　10.
11．[0,2]
解析　直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，
由解得
所以直线过定点P(9，－4)，
当AP 与直线垂直时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 的距离的最大值为
d＝＝2，
当点A 在直线上时，点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 的距离的最小值为0，
故点A(5,2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 的距离的取值范围是[0,2]．
12．x－2y＋4＝0
解析　如图，由题意知点B 在原点O 的右侧，直线BC 一定过点A(6,1)关于x 轴的对称点
A′(6，－1)，且一定过点D(4,4)关于y 轴的对称点D′(－4,4)，所以BC 所在直线的方程为
y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0，
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令x＝0，则y＝2，
所以C 点坐标为(0,2)，
所以CD 所在直线的方程为
y＝x＋2，即x－2y＋4＝0.
13．解　(1)由题意，得
＝4，|3a－26|＝20，
解得a＝2 或a＝.
(2)设点P(－3b，b)，
由题意，得|OP|＝＝.
点P 到直线x＋3y－2＝0 的距离为
＝，
所以＝，解得b＝±.
即点P 的坐标为或.
14．解　(1)设点B(x0，y0)，由AB 中点在2x－y－5＝0 上，
可得2×－－5＝0，
即2x0－y0－1＝0，
又x0－2y0－5＝0，
联立
解得即点B(－1，－3)．
(2)设点A 关于x－2y－5＝0 的对称点为A′(x′，y′)，
则有
解得即A′，
∴BC 边所在的直线方程为
y＋3＝(x＋1)，
即6x－17y－45＝0.
15.
解析　以A 为坐标原点，AB，AC 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，因为△ABC
为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，则lBC：x＋y－2＝0，点P(1,0)，所以点P
关于y 轴的对称点为P1(－1,0)，设点P 关于直线lBC：x＋y－2＝0 的对称点为P2(x0，y0)，则
＝1 且＋－2＝0，解得x0＝2，y0＝1，即P2(2,1)，则|PQ|＋|QR|＋|RP|＝|P2Q|＋|QR|＋|RP1|＝|
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P1P2|＝.
16．13
解析　依题意，AC⊥BE，
设直线AC 的方程为2x－5y＋m＝0，
于是2×5－5×6＋m＝0，
解得m＝20，
即直线AC：2x－5y＋20＝0，
由
解得
即点A(0,4)，
设点B(a，b)，
则线段BC 的中点
D，
于是
解得即点B(3,0)，
因此点B(3,0)到直线AC 的距离
d＝＝，
|AC|＝＝，
所以△ABC 的面积为
|AC|·d＝××＝13.
§8.3　圆的方程
1．A　2.A　3.C　4.C　5.C
6．D　[由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．
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设P(x，y)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x
－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0.]
7．BC　[设圆M 的圆心为M(a，b)，则半径r＝|a|.
又点A(1,0)，B(2,1)在圆上，
所以有|MA|＝|MB|，
即＝，
整理可得a＋b＝2.
又|MA|＝r＝|a|，
即＝|a|，
整理可得b2－2a＋1＝0.
联立
解得或
所以圆心坐标为(1,1)或(5，－3)．
当圆心坐标为(1,1)时，r＝1，圆M 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1；
当圆心坐标为(5，－3)时，r＝5，圆M 的方程为(x－5)2＋(y＋3)2＝25.
综上所述，圆M 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1 或(x－5)2＋(y＋3)2＝25.]
8．ACD　[对于选项A，由(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，得到x2－6kx＋9k2＋y2－2(4k－
1)y＋16k2－8k＋1＝1＋25k2，
整理得x2＋y2＋2y－k(6x＋8y＋8)＝0，
由
得或
故圆C 过定点和，所以选项A 正确；
对于选项B，因为圆心为(3k,4k－1)，r＝，
点(0,0)到圆心的距离d＝＝，
又因为k∈R，当k>0 时，d<r，此时点(0,0)在圆C 内，所以选项B 错误；
对于选项C，因为圆心为(3k,4k－1)，又4×3k－3(4k－1)－3＝0，即圆心在直线4x－3y－3＝
0 上，所以选项C 正确；
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对于选项D，若圆与x 轴相切，则|4k－1|＝，即9k2＋8k＝0，解得k＝0 或k＝－，所以选项
D 正确．]
9．(x－2)2＋(y－2)2＝8(答案不唯一)
10．x2＋2＝
11．x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))
解析　设C(x，y)，根据在等腰△ABC 中|AB|＝|AC|，
可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.
考虑到A，B，C 三点要构成三角形，因此点C 不能为(1,1)和(－1，－1)．
所以点C 的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))．
12．[，3]
解析　如图所示，因为直线x－y－3＝0 与坐标轴的交点A(，0)，B(0，－3)，则|AB|＝＝2，
圆x2＋(y－1)2＝1 的圆心C(0,1)，半径为r＝1，
则圆心C(0,1)到直线x－y－3＝0 的距离为d＝＝2，
所以圆x2＋(y－1)2＝1 上的点P 到直线x－y－3＝0 的距离的最小值为d－r＝2－1＝1，距离
的最大值为d＋r＝2＋1＝3，
所以△ABP 面积的最小值为×2×1＝，最大值为×2×3＝3，
即△ABP 面积的取值范围为[，3]．
13．解　(1)由题意可知，AB 的中点为(2,3)，kAB＝0，
所以AB 的中垂线方程为x＝2，
它与x 轴的交点为圆心C(2,0)，
又半径r＝|AC|＝，
所以圆C 的方程为(x－2)2＋y2＝10.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
由PM＝3QM，
得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
所以
又点P 在圆C 上，
故(x0－2)2＋y＝10，
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所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
化简得点Q 的轨迹方程为
(x－6)2＋y2＝.
14．解　(1)由题意知AB 的中点坐标为，kAB＝＝1，
∴AB 的垂直平分线为
y－＝－，即y＝5－x，
联立解得
即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0 的两侧，
直线x＋y＝0 与两圆分别相离，如图所示．
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3
≥|C1C2|－4
＝－4，
当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线时等号成立，
则|PM|＋|PN|的最小值为－4，
此时点P 为直线C1C2与x＋y＝0 的交点，过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
联立解得
∴点P 的坐标为.
15．D　[由题意可知△ABC 是边长为1 的正三角形，
设AB 的中点为M，则|CM|＝，
又C(1,1)，所以点M 的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝，且|OC|＝.
因为OA＋OB＝2OM，
所以|OA＋OB|＝2|OM|，
因为|OM|≤|OC|＋|CM|＝＋，
当且仅当点C 在线段OM 上时等号成立，
所以|OM|的最大值为＋，
所以|OA＋OB|的最大值为2＋.]
16．A　[由圆的几何性质知，圆心在A，B 中垂线上，故可设圆心M 的坐标为，如图，
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当圆M 与直线y＝x 相切即圆心到y＝x 的距离等于圆心到A 点距离时，圆M 的面积最小，
可得＝，
解得a＝或－，
当a＝时，M，圆M 的半径为|MA|＝＝，
圆M 的面积为；
当a＝－时，M，
圆M 的半径为|MA|＝＝，
圆M 的面积为，
所以圆M 面积的最小值为.]
§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
1．C　2.B　3.B　4.D　5.B
6．D　[如图，由题可知，圆心为O(0,0)，半径R＝1，
若直线l：x＋y－4＝0 上存在两点A，B，使得∠APB≥恒成立，
则O：x2＋y2＝1 始终在以AB 为直径的圆内或圆上，点O(0,0)到直线l 的距离d＝＝2，
所以AB 长度的最小值为2(d＋1)＝4＋2.]
7．BC　[由题可知圆心C1(a，－2)，半径r1＝5，圆心C2(－1，－a)，半径r2＝2，
因为圆C1与圆C2内切，
所以|C1C2|＝
＝|r1－r2|＝3，
解得a＝－1 或a＝2.]
8．AC　[对于A，由圆C：(x－2)2＋y2＝1，可得圆心C(2,0)，半径r＝1，
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∴圆心C 到直线l：x＋y＝0 的距离为＝，
∵－1<<＋1，故圆C 上不是只有一个点到直线l 的距离为，故A 错误；
对于B，由圆的性质，可得切线长|PA|＝＝，
当|PC|最小时，|PA|最小，又|PC|min＝，则|PA|min＝1，故B 正确；
对于C，由四边形ACBP 的面积为
2××|PA|·|CA|＝|PA|，
因为|PA|min＝1，所以四边形ACBP 的面积的最小值为1，故C 错误；
对于D，设P(t，－t)，由题知A，B 在以PC 为直径的圆上，
又由C(2,0)，所以(x－t)(x－2)＋(y＋t)(y－0)＝0，
即x2＋y2－(t＋2)x＋ty＋2t＝0，
因为圆C：(x－2)2＋y2＝1，
即x2＋y2－4x＋3＝0.
两圆的方程相减得直线AB：(2－t)x＋ty－3＋2t＝0，
即2x－3－t(x－y－2)＝0，
由解得
即直线AB 恒过定点，故D 正确．]
9．(x－1)2＋(y－2)2＝5(答案不唯一)
10．(x－2)2＋(y－2)2＝2
11．[－1，＋1]
解析　设圆C1关于y 轴的对称圆为圆C3，其方程为(x＋1)2＋y2＝r2，
根据题意，圆C3与圆C2有交点，
又圆C3与圆C2的圆心距为＝，
要满足题意，只需|r－1|≤≤r＋1，
解得r∈[－1，＋1]．
12．4
解析　由已知可得，圆心C(2,1)，半径r1＝1.
由点B(3,4)到直线l 的距离是2，所以直线l 是以B(3,4)为圆心，r2＝2 为半径的圆的切线，
又直线l 是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1 的切线，
所以直线l 是圆C 与圆B 的公切线．
因为|BC|＝＝>3＝r1＋r2，
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所以两圆外离，所以两圆的公切线有4 条，即满足条件的直线l 有4 条．
13．解　两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1,3)，(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为
2×＝2.
14．解　(1)由题意可知，圆C 的圆心为(2,0)，半径r＝2，
①当直线l 的斜率不存在时，即l 的方程为x＝4，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k，
∴直线l 的方程为y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，若直线l 与圆相切，
则d＝＝2，解得k＝－，
∴l：－x－y＋4＝0，
即l：3x＋4y－16＝0，
综上，当直线l 与圆C 相切时，
所求直线l 的方程为x＝4 或3x＋4y－16＝0.
(2)由题意可知，直线l 的斜率一定存在，设斜率为k，
∴直线l 的方程为y－1＝k(x－4)，
即kx－y＋1－4k＝0，
设圆心到直线l 的距离为d，
则d＝，
由垂径定理可得，d2＋2＝4，
即＋3＝4，
整理得，3k2－4k＝0，
解得k＝0 或k＝，
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则直线l 的方程为y＝1 或4x－3y－13＝0.
15．BD　[圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1 恒过定点O(0,0)，直线l：y＝kx 也恒过定点
O(0,0)，
所以对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点，故B 正确；
圆心M(－cos θ，sin θ)，
圆心到直线l 的距离
d＝
＝
＝|sin(θ＋α)|≤1，其中tan α＝k，
则对任意实数k，存在θ，使得直线l 和圆M 的关系是相交或者相切，故D 正确，A 错误；
当θ＝0 时，圆M 为(x＋1)2＋y2＝1，此时不存在实数k，使得直线l 和圆M 相切，故C 错
误．]
16．2　[依题意，在△ABC 中，|AC|＝|BC|＝，如图，显然0<|AB|≤2，∠ACB 是锐角，sin ＝
＝，又函数y＝sin x 在上单调递增，因此当且仅当公共弦AB 的长度最大时，∠ACB 最大，
此时弦AB 为圆C′的直径，
在Rt△ACC′中，∠AC′C＝90°，
|AC′|＝1，
所以|CC′|＝＝2.]
§8.5　椭　圆
1．A　2.D　3.B　4.C　5.A
6．B　[如图，
∵|FM|＝1，
∴|FM|＝1，
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又∵PM·FM＝0，
∴PM⊥FM，
即PM⊥FM，
∴|PM|＝|PM|＝＝，
∴当点P 为椭圆的右顶点时，|PF|取最小值，|PF|min＝a－c＝a－3，
此时|PM|min＝＝2，
解得a＝0(舍)或a＝6，
∴b2＝a2－c2＝36－9＝27，
∴椭圆C 的方程为＋＝1.]
7．ACD　[根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A 正确；
根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度
最小，B 不正确；
＝＝－1，比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度慢，根据面积守恒定律，则运行时间长，D 正
确．]
8．AD　[由椭圆的方程可得，a＝2，b＝，c＝，
△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2，故A 正确；
当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x 轴，令x＝－，可得y＝±1，
所以|PF1|＝1，故B 不正确；
当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为b2·tan 30°＝2×＝，故C 不正确；
当点P 位于椭圆的上、下顶点时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，而|F1F2|＝2c＝2，此时∠F1PF2＝90°，
有2 个直角三角形，
当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，
此时点P 位于第二或第三象限，有2 个直角三角形，同理可得PF2⊥F1F2 时，∠PF2F1＝
90°，
此时有2 个直角三角形，所以共有6 个直角三角形，故D 正确．]
9.＋＝1　10.
11.
解析　因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以a＝2，c＝1，
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，
解得|PF1||PF2|＝4，
所以
＝|PF1||PF2|sin 60°＝r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)，
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即×4×＝r×(4＋2)，
解得r＝.
12．3
解析　连接BD，PB，BH(图略)，
因为四边形ABCD 为菱形，则AC 为线段BD 的垂直平分线，故|PB|＝|PD|，
所以|PH|＋|PB|＝|PH|＋|PD|＝|DH|＝4>2＝|BH|，
故点P 的轨迹是以B，H 为焦点且长轴长为4 的椭圆，
可得2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，
所以|PB|的最大值为a＋c＝3.
13．解　(1)由题意，
令x＝c，可得y2＝b2，
解得y＝±，可得＝c，
又由c2＝a2－b2，
整理得6a2－6c2＝ac，
即6－6e2＝e，
即6e2＋e－6＝0，解得e＝，
即椭圆C 的离心率为.
(2)由椭圆C 的方程，可得M(0，b)，N(0，－b)，
设P(x0，y0)，所以b2x＋a2y＝a2b2，
则直线MP 的方程为y＝x＋b，
令y＝0，可得xR＝，
同理直线NP 的方程为y＝x－b，令y＝0，可得xQ＝，
因为|OR||OQ|＝＝a2＝4，
解得a＝2，
又因为e＝，所以c＝，
则b＝＝1，
所以椭圆C 的方程为＋y2＝1.
14．解　(1)因为点B 与点A
关于原点对称，
所以点B 的坐标为，
设点P 的坐标为(x，y)，
由题意得·＝－，
化简得＋＝1(x≠±1)，
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故动点P 的轨迹方程为＋＝1(x≠±1)．
(2)若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为(x0，y0)，
则|PA|·|PB|·sin∠APB
＝|PM|·|PN|·sin∠MPN，
因为sin∠APB＝sin∠MPN，
所以＝，
所以＝，
即(3－x0)2＝|x－1|，
解得x0＝，
因为＋＝1(x≠±1)，
所以y0＝±，
故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，
此时点P 的坐标为.
15．D　[如图所示，设|F1F2|＝2c，
因为4|F2N|＝
3|F2M|，
设|F2N|＝3t，
则|F2M|＝4t，
在Rt△F2MN 中，|MN|＝＝5t，
由椭圆定义可知|F1N|＝2a－3t，
|F1M|＝2a－4t，
|F1N|＋|F1M|＝|MN|＝4a－7t＝5t，
解得a＝3t，
所以|F1N|＝2a－3t＝3t＝|F2N|，
|F1M|＝2a－4t＝2t，
在△F1NF2中，可得cos∠NF1F2＝，
在△F1MF2中，由余弦定理可得
cos∠MF1F2＝，
因为∠NF1F2＋∠MF1F2＝π，
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所以cos∠NF1F2＋cos∠MF1F2＝0，
即＋＝0，解得c＝，
所以椭圆的离心率e＝＝.]
16．(0,4)
解析　如图，延长PF2，F1M 相交于点N，连接OM，
因为F1M·MP＝0，则F1M⊥MP，即F1M⊥MP，
因为PM 为∠F1PF2的平分线，
所以|PN|＝|PF1|，则点M 为F1N 的中点，
因为O 为F1F2的中点，
所以|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝||PF1|－|PF2||，
设点P(x0，y0)，由已知可得a＝8，b＝4，c＝＝4，
则－8<x0<8 且x0≠0，且有y＝48－x，
|PF1|＝
＝
＝
＝＝8＋x0，
故|PF2|＝16－|PF1|＝8－x0，
所以|OM|＝||PF1|－|PF2||＝|x0|∈(0,4)．
§8.6　双曲线
1．D　2.A　3.D　4.C　5.A　6.C
7．BD　[若曲线C 表示两条平行线，则有sin α＝0 或cos α＝0，且0≤α<π.
若sin α＝0，则α＝0，此时曲线C 的方程为y2＝1，可得y＝－1 或y＝1，符合题意，
若cos α＝0，则α＝，
此时曲线C 的方程为x2＝1，可得x＝－1 或x＝1，符合题意，故A 错；
若曲线C 表示双曲线，则sin αcos α<0，
由于0≤α<π 且sin α≠0，则sin α>0，
可得cos α<0，则<α<π，故B 对；
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若曲线C 表示椭圆，则
解得0<α<且α≠，故C 错；
若0<α<，则0<sin α<cos α，
则>>0，
曲线C 的方程可化为＋＝1，
此时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，故D 对．]
8．BD　[如图所示，
若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，
AF1⊥BF1，
且|AF1|＝|BF1|.
设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得
|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.
所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.
解得m＝2＋2，
所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2，
所以△ABF1的面积为|AF1|·|BF1|＝×(4＋2)2＝12＋8，故D 正确；
|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，
所以|F1F2|＝2＋2，故C 不正确；
由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋，所以b2＝(1＋)2－1＝2＋2，故A 不正确；
e＝＝1＋，故B 正确．]
9．2　10.－＝1 或－＝1
11．x2－＝1
解析　设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图，因为AB＝BC＝CD＝2，
易知a＝1，
又坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，所以在双曲线上，
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得到－＝1，整理得b2＝，
故所求双曲线的标准方程为
x2－＝1.
12.＋1
解析　因为F1(－c,0)，F2(c,0)，B(0，b)，
所以直线F1B 的方程为y＝x＋b，
又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
由解得
所以A，
又因为|F2A|＝|F1F2|，
所以2＋2＝4c2，
整理得2c2－4ac＋a2＝0，
即2e2－4e＋1＝0，
解得e＝＋1 或e＝1－(舍去)．
13．解　(1)在双曲线－＝1 中，a′＝2，b′＝，
则渐近线方程为y＝±x＝±x，
∵双曲线C：－＝1 与双曲线－＝1 有相同的渐近线，∴＝，
∴方程可化为－＝1，
又双曲线C 经过点M(，－)，代入方程得－＝1，
解得a＝1，故b＝，
∴双曲线C 的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知双曲线C 的方程为x2－＝1，
∵a＝1，b＝，c＝，
∴实轴长2a＝2，离心率为e＝＝，
设双曲线C 的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x，
∴焦点到渐近线的距离
d＝＝.
14．解　(1)在Rt△MF1F2中，
因为∠MF1F2＝30°，所以
tan∠MF1F2＝＝＝，
又a＝1，a2＋b2＝c2，
联立解得c＝，b＝，
所以双曲线C 的方程是x2－＝1.
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(2)设P(x0，y0)是双曲线C 上任意一点，故有2x－y＝2，
两条渐近线方程为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0，设l1：x－y＝0 的倾斜角为α，故tan α＝，
设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，
所以cos θ＝cos 2α＝＝－，
于是有cos〈PP1，PP2〉＝－cos θ＝.
因为P 到双曲线两条渐近线的距离为
|PP1|＝，
|PP2|＝，
所以PP1·PP2＝··cos〈PP1，PP2〉＝·＝.
15．2
解析　由－＝1 得y2＝b2
＝，即y＝±，
不妨设A，
而D(a,0)，
所以直线AD 的方程为
y－0＝(x－a)，
y＝(x－a)，
令x＝0 得y＝，
则M，
同理可求得N，
所以以MN 为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，
将P(－3a,0)代入上式得
9a2＝2＝＝
＝＝(c＋a)2，
即c2＋2ac－8a2＝0，
即(c－2a)(c＋4a)＝0，
则c＝2a，即离心率为＝2.
16．y＝±x
解析　如图所示，
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由双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|，|NF2|＝2a＋|NF1|，
所以|MF2|＋|NF2|＝4a＋|MF1|＋|NF1|＝4a＋|MN|.
因为|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，
所以|MF2|＋|NF2|＝2|MN|，即4a＋|MN|＝2|MN|，|MN|＝4a.
令|MF1|＝x，
在△MNF2中，MF2⊥MN，
所以|MF2|2＋|MN|2＝|NF2|2，
即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2，
解得x＝a，即|MF1|＝a，|MF2|＝3a，
又在Rt△F1MF2中，a2＋(3a)2＝(2c)2,2c2＝5a2，
又c2＝a2＋b2，
所以2b2＝3a2，即＝，
故该双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x.
§8.7　离心率的范围问题
1．D　2.B　3.C　4.B
5．B　[依题意得直线AB：＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0，又a>2，
所以d1＝＝，
d2＝＝，
所以d1＋d2＝＋＝≥c，
所以5·a≥2c2，
即25(c2－a2)·a2≥4c4，
即4e4－25e2＋25≤0，
解得≤e2≤5，
又e>1，所以e∈.]
6．C　[如图所示，根据题意可得
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F1(－c,0)，F2(c,0)，A(a,0)，
设P(x1，y1)，则直线PF1的方程为y＝(x＋c)，
所以直线PF1与y 轴的交点
Q，
由AQ∥PF2可得kAQ＝
，
即＝，
整理得(a＋c)x1＝c2－ac，
即x1＝，
又因为P 为双曲线右支上一点，
所以x1≥a，
当x1＝a 时，AQ，PF2共线，与题意不符，即x1>a，可得x1＝>a，
整理得c2－a2－2ac>0，
即e2－2e－1>0，
解得e>＋1 或e<1－(舍去)，
即双曲线E 的离心率的取值范围为(＋1，＋∞)．]
7．AD　[由题意，A 关于原点的对称点为B，点F 为椭圆右焦点，设左焦点为F1，如图所示，
∵AF⊥BF，
∴四边形AF1BF 为矩形，
∴|AB|＝|F1F|＝2c.
∵∠ABF＝α，
∴|AF|＝2csin α，|BF|＝|AF1|＝2ccos α，
由椭圆的定义得2a＝2csin α＋2ccos α，
∴e＝＝＝.
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin∈，
∴e∈.]
8．ACD　[对于A，因为双曲线C 的渐近线l 与圆F 交于A，B 两点，所以过点O 且与圆F
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相切的直线与双曲线C 没有公共点(如图)，故选项A 正确；
对于B，过点F 作FD⊥l，垂足为D，易知|FD|＝b，因为圆F 与直线l 相交，所以b<a，又
c2＝a2＋b2，所以c2<2a2，即e2<2，又e>1，所以双曲线C 的离心率的取值范围是(1，)，故选
项B 错误；
对于C，若FA·FB>0，则0<∠AFB<，故0<∠AFD<，
故<cos∠AFD<1，
所以<<1，
即<<1，即b<a<b，
得<e2<2，
所以e∈，故选项C 正确；
对于D，因为OA＝AB，所以A 为线段OB 的中点，设|AD|＝m，则|OA|＝2m，|OD|＝3m，
在Rt△AFD 和Rt△OFD 中，由勾股定理得，
消去m2得c2＝9a2－8b2，
即17a2＝9c2，
所以e＝，故选项D 正确．]
9.
10.
解析　设直线OP 的方程为y＝x，
由解得
即点M，
设点Q(λa，λb)，其中λ∈，
由|OM|2＝|OP||OQ|得
＝·λ，
解得λ＝，故Q，
则直线BQ 的方程为bx＋ay－ab＝0，
由直线BQ 与圆x2＋y2＝a2－b2相交，
得<，
故a4－b4－a2b2>0，
即b4<a2(a2－b2)，
因为a2－b2＝c2，
202
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所以(a2－c2)2<a2c2，
即a2－c2<ac，即1－e2<e，
又因为0<e<1，所以<e<1.
§8.8　抛物线
1．C　2.D　3.D　4.B
5．C　[如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A，则|PF|＝|PA|，
当CP 垂直于抛物线的准线时，|CP|＋|PA|最小，
此时线段CP 与圆C 的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C(6,2)，
半径为2，所以|PQ|＋|PF|的最小值为|AQ|＝|CA|－2＝10－2＝8.]
6．B　[由题意，作图如图所示，
设P(t2,2t)(不妨令t>0)，由已知可得F(1，0)，
则M，
所以直线OM 的方程为y＝x，
设k＝，则k＝≤1，当且仅当t＝1 时取等号，
所以点F 到直线OM 的距离为
＝≤，
即圆F 的半径最大值为，面积最大值为.]
7．BD　[点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C 上，
则解得
则抛物线C：y2＝x，
A，B(，)，
抛物线C 的准线方程为x＝－，故A 错误，B 正确；
OA·OB＝×＋1×＝1＋，故C 错误；
203
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抛物线C 的焦点F，
则|AF|＝＝，
|BF|＝
＝，
则＋＝＋＝，故D 正确．]
8．AD　[对于A，x2＝8y，则p＝4，焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2，
∴|MF|＝y1＋2，
∵y1≥0，∴|MF|≥2，当且仅当y1＝0 时等号成立，故A 正确；
对于B，∵|MF|＋|NF|＝12，
根据抛物线定义得y1＋2＋y2＋2＝12，则y1＋y2＝8，
而由中点坐标公式得点P 的纵坐标yP＝＝4，
即点P 到x 轴的距离为4，故B 错误；
对于C，由题意可知直线MN 斜率存在，∵直线MN 过点F，设直线MN 的方程为y＝kx＋
2，
代入抛物线方程整理得x2－8kx－16＝0，∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，故C 错误；
对于D，若MF＝λNF，则M，F，N 三点共线，由题得|MF|＋|NF|＝y1＋2＋y2＋2＝y1＋y2＋4
＝＋4＝＋4
＝＋4，
当k＝0 时，|MN|的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D 正确．]
9．4　10.7 cm
11．60°
解析　如图，
∵|OA|＝|OB|，
∴A，B 两点关于y 轴对称，
设A，
B，
204
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∴S△AOB＝×2a×＝12，
解得a＝2，
∴B(2，6)，∴tan θ＝＝，
∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°.
12．1 或3
解析　分别过点A，B 作准线l：x＝－的垂线，垂足分别为C，D，
设AB 的中点M 在准线上的射影为点N，连接MN，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
根据抛物线的定义，得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝4，
所以在梯形ACDB 中，中位线|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝2，
可得x0＝2－，
因为线段AB 的中点到直线x＝的距离为1，所以＝1，
所以|2－p|＝1，解得p＝1 或p＝3.
13．解　(1)由题意知动点M 到F(2,0)的距离与它到直线x＝－2 的距离相等，所以动点M 的
轨迹为以F(2,0)为焦点，以直线x＝－2 为准线的抛物线，
因此动点M 的轨迹方程为y2＝8x.
(2)设M，
由两点间的距离公式得|MA|＝＝＝，
当m2＝16，即m＝±4 时，
|MA|min＝4，
即当M(2,4)或M(2，－4)时，点M 与点A 的距离最小，最小值为4.
14．解　(1)设圆心C 的坐标为(x，y)，
则半径r＝，
又动圆在y 轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，
化简得y2＝8x，
即动圆圆心C 的轨迹方程为y2＝8x.
(2)如图，设轨迹C 的焦点为F，点P 到直线y＝x＋4 的距离为|PP1|，到y 轴的距离为|PP2|，
点F 到直线y＝x＋4 的距离为|FF1|，
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由抛物线的定义，
可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，
由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F 到直线y＝x＋4 的距离，
所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝＝3，所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3－2.
15．B　[作杯子的截面得一抛物线，如图，
建立平面直角坐标系，则点(1,1)在抛物线上，
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则1＝2p，p＝，抛物线方程为x2＝y，
设球心为A(0，a)(a>0)，球半径为r，P(x，y)是抛物线上任一点，|AP|＝＝，
则r＝|AP|min，小球与杯底接触，则上式在y＝0 时取得最小值，
|AP|＝，
此时≤0，即0<a≤，
r＝|AP|min＝a，
所以rmax＝amax＝.]
16．4
解析　如图，
设∠MAF＝θ，|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义可得
|AM|＝a，|BN|＝b，∠MFO＋∠NFO＝∠MFA＋∠NFB＝，
在△MAF 中，由余弦定理可得
|MF|2＝2a2(1－cos θ)，
同理|NF|2＝2b2(1＋cos θ)，
206
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故S△MAF＝a2sin θ，
S△NBF＝b2sin θ，
(S△MNF)2＝|MF|2·|NF|2＝a2b2sin 2θ，
故＝＝4.
§8.9　直线与圆锥曲线的位置关系
1．C　2.C　3.A　4.A　5.D
6．B　[由题设，＝，
即＝1－＝1－＝，
可得a2＝6>2，
过点P 的直线与椭圆C 交于A，B 两点，
且满足|PA|＝|PB|，
则P 为线段AB 的中点，
所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1，
又＋＝1，＋＝1，
则＋＝0，
即＝
－，
所以＝－＝－1，
故直线AB 的方程为y－＝－，
即x＋y－2＝0，
所以|OM|的最小值为＝.]
7．ACD　[双曲线C：－＝1 的渐近线方程可表示为－＝0，双曲线－＝1 的渐近线方程可表
示为－＝0，整理后都是y＝±x，故A 正确；
由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F 与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长
的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x 轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于
x 轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B 错误；
由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x 轴上，
所以若直线l 与双曲线C 的两支各有一个交点，则直线l 的斜率k∈，故C 正确；
207
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由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，故过点P 能作4 条直线与双曲线C
仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D 正确．]
8．BCD　[如图，因为抛物线C 过点A(1,1)，所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y 的准线
为y＝－，所以A 错误；
因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以C 在点A 处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1 上，所以直线AB 与C 相切，所以B 正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ 的方程为y＝kx－1，
由得x2－kx＋1＝0，
所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2 或k<－2，
所以|OP|·|OQ|＝·＝＝·x1x2＝＝>2＝|OA|2，所以C 正确；
|BP|·|BQ|＝
·
＝·
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝k2＋1>5＝|BA|2，所以D 正确．]
9．2
解析　因为直线方程为mx＋y－1＝0，
所以直线过定点(0,1)，定点在椭圆上，又因为m≠0，所以直线与x 轴不平行，所以直线和
椭圆相交，所以交点个数为2.
10.＋＝1
208
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解析　∵a＝2b，则c＝b，
∴椭圆T：＋＝1，左焦点F(－b,0)，直线AB：y＝x＋b，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
消去y 得5x2＋8bx＋8b2＝0，
∴x1＋x2＝－b，x1x2＝，
|AB|＝＝，
可得b2＝2，
∴椭圆T：＋＝1.
11．5　12. 
13．解　(1)因为椭圆的离心率为e＝＝，长轴长为2a＝4，
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C 的标准方程是＋＝1.
(2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l 的斜率k＝0 时，易得在椭圆C 上有无数对A，B 关于直线y＝0 对称；
当k≠0 时，有kAB＝＝－，
设AB 中点的坐标为(x0，y0)，
又
两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
即3kx0＝4y0，
又y0＝k，
解得x0＝1，y0＝，
因为线段AB 的中点在椭圆内部，
所以＋<1，
即＋<1，
解得－2<k<0 或0<k<2，
综上，直线l 的斜率k 的取值范围为(－2,2)．
14．解　(1)依题意，c＝2，
所以a2＋b2＝4，
则双曲线C 的方程为－＝1(0<a2<4)，
将点P(5，)代入上式，
得－＝1，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
209
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(2)依题意，可设直线l 的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－
6＝0.
因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点A，B，
所以
解得(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝·＝·.
又原点O 到直线l 的距离d＝，
所以S△OAB＝d·|AB|＝××·＝.
又S△OAB＝2，即＝1，
所以k4－k2－2＝0，
解得k＝±，满足(*)．
故满足条件的直线l 有两条，
其方程分别为y＝x＋2 和y＝－x＋2.
§8.10　圆锥曲线中常见结论及应用
1．D　2.B　3.A 
4．A　[如图，BA·BP＝0，
∴BA⊥BP，令kAB＝k，
∵∠ADO＝∠AOD，
∴kAP＝－kAB＝－k，
又BA⊥BP，∴kPB＝－，
依题意，kPB·kPA＝，
∴－·(－k)＝，
∴＝1，即e＝＝＝.]
5．C　[不妨令直线l 的倾斜角为θ，
210
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则S△ABO＝＝＝3，
∴sin θ＝，
取θ＝60°，
∴|AF|＝＝6，|BF|＝＝2，
∴|AB|＝8，|AA′|＝6，|BB′|＝2，
|A′B′|＝|AB|sin θ＝4，
∴S 四边形ABB′A′＝(|BB′|＋|AA′|)·|A′B′|＝×(2＋6)×4＝16.]
6．D　[由已知可得F(1,0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(3，t)，
则切线AM，AN 的方程分别为
＋＝1，＋＝1，
因为切线AM，AN 过点A(3，t)，
所以x1＋＝1，x2＋＝1，
所以直线MN 的方程为x＋＝1，
因为F(1,0)，所以1＋＝1，
所以点F(1,0)在直线MN 上，
所以M，N，F 三点共线，
所以|MF|＋|NF|－|MN|＝0.]
7．BCD　[如图，取AB 的中点E，作ED⊥GH，垂足为D，
当线段AB 为通径时长度最小，为2p＝4，故A 不正确；
∵直线y＝－1 为准线，∴|ED|＝(|AH|＋|BG|)＝|AB|，
故以AB 为直径的圆与准线y＝－1 相切，故B 正确；
又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF，
又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG，
∴∠BFG＝∠MFG，
同理可得∠AFH＝∠MFH，
211
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又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°，
∴∠MFG＋∠MFH＝90°，
∴FG⊥FH.
即∠HFG＝90°，故C 正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB 的斜率存在，
∴设直线AB：y＝kx＋1，
由得x2－4kx－4＝0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
kAM＋kBM＝＋＝＋＝2k＋＝2k＋2·＝0，
∴∠AMO＝∠BMO，故D 正确．]
8．ACD　[对于A，由
＝＝3，
得e＝＝＝2，故A 正确；
对于B，因为PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积为＝b2＝3，
又＝3，所以a＝1，故B 错误；
对于C，设PF1的中点为O1，O 为原点．
因为OO1为△PF1F2的中位线，
所以|OO1|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a，则可知以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切，故
C 正确；
对于D，设P(x0，y0)，则x0<－a，y0>0.
因为e＝2，所以c＝2a，b＝a，
则渐近线方程为y＝±x，
所以∠PA2F1∈，∠PF1A2∈.
又tan∠PF1A2＝＝，
tan∠PA2F1＝－，
所以tan 2∠PA2F1＝
＝
＝
＝
＝
＝＝tan∠PF1A2，
因为2∠PA2F1∈，
所以∠PF1A2＝2∠PA2F1，故D 正确．]
9．y2＝4x 或y2＝16x
212
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解析　抛物线C 的方程为y2＝2px(p>0)，
因为以MF 为直径的圆与y 轴相切，
所以该圆与y 轴相切于点(0,2)，
故圆心的纵坐标为2，则M 点的纵坐标为4，
又|MF|＝xM＋＝5，
所以xM＝5－，
即M，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2 或p＝8.
所以抛物线C 的方程为y2＝4x 或y2＝16x.
10．1
解析　连接OA，OB，如图所示．设B(x0，y0)，所以过点B 与椭圆相切的直线方程为＋y0y＝
1，即x0x＋4y0y－4＝0，
又R2＝|OA|2＝，
R 为圆的半径，R∈(1,2)，
|AB|2＝|OB|2－R2＝x＋y－，
又＋y＝1，所以x＝4－4y，
所以|AB|2＝4－3y－
＝5－(3y＋1)－
≤5－2＝1，
当且仅当3y＋1＝，
即y＝，x＝时，等号成立，
所以|AB|max＝1，
此时R2＝＝2，
即R＝∈(1,2)，
故当R＝时，|AB|max＝1.
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§8.11　圆锥曲线中求值与证明问题
1．解　(1)由题设，y＝2x＋1，联立直线与双曲线方程并整理得x2＋4x＋2＝0，所以Δ＝16
－4×2＝8>0，
则xA＋xB＝－4，xAxB＝2，
所以|AB|＝·＝×＝2.
(2)联立直线与双曲线方程得
3x2－(ax＋1)2＝1，
整理有(3－a2)x2－2ax－2＝0，
由题意Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2>0，且3－a2≠0，即－<a<，且a≠±，
所以xA＋xB＝，xAxB＝－，
则yAyB＝a2xAxB＋a(xA＋xB)＋1＝－＋＋1＝1，
若以AB 为直径的圆经过坐标原点，
则OA·OB＝0，
即xAxB＋yAyB＝1－＝0，
所以a＝±1，满足要求．
2．(1)解　由于A，B
两点关于原点对称，必在椭圆上，
则＋＝1，且＋<1，
∴C(0,1)必在椭圆上，
即有＝1，则b＝1，a2＝2，
∴椭圆T 的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
联立得x2＋tx＋t2－1＝0，
Δ＝2t2－4(t2－1)＝4－2t2>0，
解得－<t<，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－1，y1＋y2＝x1＋t＋x2＋t＝t，
∴M，则kOM＝－，
联立
则可设P，Q，
∴|MP|·|MQ|＝···
＝，
∵|ME|·|MF|＝|EF|2
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＝(1＋k)(x1－x2)2
＝[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝，
∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
3．(1)证明　由题意知，直线AB 斜率不为0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x＝my＋1.
联立
化简可得y2－2my－2＝0.
由根与系数的关系可得
y1＋y2＝2m，y1y2＝－2，
所以kOA·kOB＝＝＝＝－2，
所以直线OA，OB 的斜率之积为定值－2.
(2)解　设线段AB 的中点为N，设∠AMN＝θ.
则tan∠AMB＝tan 2θ＝＝，解得tan θ＝(负值舍去)，
所以＝，即＝.
易知当直线AB 斜率不存在时不成立，舍去，
所以当直线AB 斜率存在时，|AB|＝|y1－y2|＝2.
由N 为线段AB 的中点，可得yN＝＝m，
所以xN＝myN＋1＝m2＋1.
因为MN⊥AB，所以kMN＝－m，
所以|MN|＝|xN－xM|＝(m2＋1)．
所以＝＝，
解得m＝±，
所以直线AB 的方程为x－y－1＝0 或x＋y－1＝0.
4．(1)解　由题意得c＝2.①
因为双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x，所以＝.②
又c2＝a2＋b2，③
所以联立①②③得a＝1，b＝，
所以双曲线C 的方程为x2－＝1.
(2)证明　由题意知直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
将直线PQ 的方程代入C 的方程，
整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝－>0，所以3－k2<0，
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所以x1－x2＝
＝.
设点M 的坐标为(xM，yM)，
则
两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，
又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)，
所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，
解得xM＝；
两式相加，得
2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)
＝k(x1＋x2)＋2t，
所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2t，
解得yM＝＝xM.
因此，点M 的轨迹为直线y＝x，其中k 为直线PQ 的斜率．
若选择①②：
因为PQ∥AB，
所以直线AB 的方程为y＝k(x－2)，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A 在直线y＝x 上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－，
所以xA＋xB＝，yA＋yB＝.
点M 的坐标满足
得xM＝＝，
yM＝＝，
故M 为AB 的中点，即|MA|＝|MB|.
若选择①③：
当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y＝x 上，矛盾；
当直线AB 的斜率存在时，易知直线AB 的斜率不为0，
设直线AB 的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A 在直线y＝x 上，
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则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－.
因为M 在AB 上，且|MA|＝|MB|，
所以xM＝＝，yM＝＝，
又点M 在直线y＝x 上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：
因为PQ∥AB，
所以直线AB 的方程为y＝k(x－2)，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A 在直线y＝x 上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－.
设AB 的中点为C(xC，yC)，
则xC＝＝，
yC＝＝.
因为|MA|＝|MB|，
所以M 在AB 的垂直平分线上，
即点M 在直线y－yC＝－(x－xC)，
即y－＝－上，
与y＝x 联立，得xM＝＝xC，
yM＝＝yC，
即点M 恰为AB 的中点，故点M 在AB 上．
§8.12　圆锥曲线中范围与最值问题
1．解　(1)由题意及抛物线的定义得
a＋＝6，
又因为点M(a,2)在抛物线C 上，所以20＝2pa，
由可得或
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所以抛物线C 的标准方程为y2＝4x 或y2＝20x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y 可得
x2－2(p＋t)x＋t2＝0，
则x1＋x2＝2p＋2t，x1x2＝t2，
因为NA⊥NB，
所以NA·NB＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(x1－1)(x2－1)＋(t－x1)(t－x2)
＝2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，
所以2t2－(t＋1)(2p＋2t)＋t2＋1＝0，
可得2p＝，
由原点O 到直线AB 的距离不小于，可得≥，
解得t≥2 或t≤－2，
因为p>0，所以t≤－2 不成立，
所以t≥2，
因为2p＝＝t＋1＋－4，且函数y＝t＋1＋－4 在[2，＋∞)上单调递增，
所以2p≥＝，
所以p≥，
即p 的取值范围为.
2．解　(1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点坐标为(－，0)，
根据椭圆的定义，可得点M 到两焦点的距离之和为
＋＝4，
即2a＝4，所以a＝2，
又因为c＝，可得b＝＝1，
所以椭圆C 的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．
故设直线l 的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，
因为kOA＋kOB＝－，
可得m2＝4k＋1，所以k≥－，
218
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又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，
所以4k2－4k>0，解得k<0 或k>1，
综上可得，直线l 的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．
3．解　(1)由双曲线E 的离心率为2，得＝2.①
因为双曲线E 过点P(2,3)，
所以－＝1.②
又c2＝a2＋b2，③
联立①②③式，解得a＝1，b＝.
故双曲线E 的标准方程为x2－＝1.
(2)由双曲线的对称性，知四边形ABCD 为平行四边形，
所以S 四边形ABCD＝4S△OAD.
由题意知直线AD 的斜率不为零且过右焦点F(2,0)，
设直线AD 的方程为
x＝my＋2.
联立消去x，
得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0.
Δ＝36(m2＋1)>0，
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
因为A，D 均在双曲线右支上，
所以
所以
解得0≤m2<.
所以S△OAD＝×|OF|×|y1－y2|
＝
＝
＝.
令＝t，
则m2＝t2－1.所以S△OAD＝＝.
令函数f(t)＝－3t，
易得f(t)在区间上单调递减，所以当t＝1 时，(S△OAD)min＝6.
所以四边形ABCD 面积的最小值为24.
4．(1)证明　由题知a＝1，b＝，
219
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∴双曲线C 的方程为x2－＝1，
显然直线l 的斜率存在，
设直线l：y＝kx＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得(2－k2)x2－2kmx－(m2＋2)＝0，
且x1＋x2＝，x1x2＝，
设直线AP，AQ 的斜率分别为k1，k2，
则k1＝，k2＝，
故k1＋k2＝＋＝，
又x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m)＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝＋2m＝，
∴k1＋k2＝
＝
＝＝－2，
∴(m－k)(m－k－2)＝0，
∵PQ 不过点A，∴m－k≠0，
∴m＝k＋2，
∴y＝k(x＋1)＋2，
∴直线l 过定点(－1,2)．
(2)解　由题意可设直线PR：y＝t(x＋1)＋r(r≠0)，直线AP 的斜率为k1，直线AQ 的斜率为
k2.
由得P.
由得P.
故|AP|2＝，
同理|AQ|·|AR|＝.
由∠APQ＝∠ARP 可知，
|AP|2＝|AQ|·|AR|，
即＝.
∵k1≠k2，k1＋k2＝－2，
化简得t＝－≤－.
220
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当时取等号，
∴直线PR 的斜率的最大值为－.
§8.13　圆锥曲线中定点与定值问题
1．(1)解　将直线方程y＝kx＋3 代入双曲线方程－＝1，
化简整理得(1－4k2)x2－24kx－52＝0，
Δ＝(－24k)2＋4×(1－4k2)×52＝208－256k2，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A 和B，
则应满足
解得－<k<－.
所以实数k 的取值范围为.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
则由(1)知，
x1＋x2＝，x1x2＝－.
由＝，得＝，
所以x0＝＝＝－，
所以y0＝kx0＋3＝－＋3＝－，
所以点D 的纵坐标为定值－.
2．(1)解　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，
又因为双曲线C 的右焦点F(c,0)到其渐近线的距离为，
所以＝b＝，
又e＝＝，a2＋b2＝c2，
联立解得a＝，
所以双曲线C 的方程为－＝1.
(2)证明　由已知得，双曲线C 的右焦点为F(3,0)，直线x＝3 过双曲线C 的右焦点．
则＝
＝＝，
所以sin∠AFQ＝sin∠BFQ，
所以直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，kAF＋kBF＝0.
显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y＝kx＋m(0<k<)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠3，x2≠3)．
联立得
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(2－k2)x2－2kmx－m2－6＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝－，
因为kAF＋kBF＝0，
所以＋＝0，
所以＋＝0，
所以(kx1＋m)(x2－3)＋(kx2＋m)·(x1－3)＝0，
整理得2kx1x2＋(m－3k)(x1＋x2)－6m＝0.
所以－2k·＋(m－3k)·－6m＝0，
化简得k＋m＝0，即m＝－k，
所以直线l 的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过点(1,0)，
所以直线l 过定点．
3．(1)解　∵抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2,0)，
∴＝2，解得p＝4，
故抛物线C 的标准方程为y2＝8x.
(2)证明　∵点A 的横坐标为2，
即y2＝8×2，解得y＝±4，
故A 点的坐标为(2,4)，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由已知设AB：m(y－4)＝x－2，
即x＝my－4m＋2，
代入抛物线C 的方程得y2＝8(my－4m＋2)，即y2－8my＋32m－16＝0，
则y1＋4＝8m，故y1＝8m－4，
∴x1＝my1－4m＋2＝m(8m－4)－4m＋2＝8m2－8m＋2，
即B(8m2－8m＋2,8m－4)，
设AC：－m(y－4)＝x－2，
即x＝－my＋4m＋2，
同理可得y2＝－8m－4，
则x2＝－my2＋4m＋2＝－m(－8m－4)＋4m＋2＝8m2＋8m＋2，
即C(8m2＋8m＋2，－8m－4)，
直线BC 的斜率
kBC＝＝＝－1，
∴直线BC 的斜率为定值．
4．(1)证明　设P(x0，y0)，
222
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则＋＝1，可得y＝9－，
又kPA＝，kPB＝，
则kPA·kPB＝＝＝－，
因为BG∥PA，
所以kBF·kBG＝kPA·kPB＝－.
(2)解　当直线GF 的斜率存在时，设GF 的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
联立消去y 得(4k2＋3)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0.
则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，
设G(x1，y1)，F(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
由kBF·kBG＝·
＝＝－，
得＝－，
约去k2 并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2 不符合题意，舍去)，此时直线GF 过定点
(1,0)；
当直线GF 的斜率不存在时，设GF 的方程为x＝m，其中m≠2，
联立
解得y＝±，
则F，
G，
所以kBF·kBG＝－＝－，解得m＝1.
综上，直线GF 过定点(1,0)．
(3)证明　设PA 的方程为y＝k1(x＋2)(k1>0)，
联立解得E 点的坐标为.
由(1)知P(x0，y0)，y＝9－，
由k1＝，则E 点的坐标为.
同理，记PB 的斜率为k2，则F 点的坐标为，
由k2＝，则F 点的坐标为，
则EF 的斜率kEF＝
＝，
所以直线EF 的方程为y＋＝·.
令y＝0，得xQ＝，
又xP＝x0，故xPxQ＝x0·＝4.
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§8.14　圆锥曲线中的探索性与综合性问题
1．解　(1)由题意得，c＝2，
所以所以a2＝1，b2＝3，
所以双曲线C 的标准方程为
x2－＝1.
(2)假设存在P(n,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知，直线AB 的斜率不为0，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB：x＝my＋
2(m≠0)，
联立消去x，得
(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
则3m2－1≠0，Δ＝(12m)2－
4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，
且y1＋y2＝－，y1y2＝，
因为点F 到直线PA，PB 的距离相等，
所以PF 是∠APB 的平分线，
则kPA＋kPB＝0，即＋＝0，
则y1(my2＋2－n)＋y2(my1＋2－n)＝0，
整理得2my1y2＋(2－n)(y1＋y2)＝0，
故－＝0，
即3m－2m(2－n)＝0，因为m≠0，
所以n＝，此时P；
当直线AB 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得点P 也能让点F 到直线PA，PB 的
距离相等．
综上所述，故存在P 满足题意．
2．解　(1)由题意可知
解得
所以椭圆C 的方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l 存在，
由E(0，－2)，F(，0)，得kEF＝，
因为点F 为△EAB 的垂心，
所以AB⊥EF，所以kAB＝－，
设直线l 的方程为y＝－x＋t，
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代入＋＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－<t<.
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由AF⊥BE 得·＝－1，
所以y1y2＋2y1＋x1x2－x2＝0，
将y1＝－x1＋t，y2＝－x2＋t 代入上式，
得3x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0，
所以3×－(t＋2)·＋(2t2＋4t)＝0，
所以5t2＋t－18＝0，
解得t＝(t＝－2 舍去)，
满足Δ>0，
所以直线l 的方程为y＝－x＋.
3．解　(1)设过点F 且倾斜角为的直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋＝
0，
若M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝3p，
所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，
则p＝2，
即抛物线E 的方程为y2＝4x.
(2)设A(x0，y0)，则过A 作抛物线E 的切线为y－y0＝k(x－x0)，
即x＝＋x0，
代入y2＝4x，整理得ky2－4y＋4y0－ky＝0，
因为此直线与抛物线相切，
所以Δ＝4(4－4ky0＋k2y)＝0，
即(ky0－2)2＝0，解得k＝，
所以过A 的切线为
y－y0＝(x－x0)，
令y＝0 得x＝－x0，即B(－x0,0)，
所以|BF|＝|AF|＝|AC|，
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又AC∥BF，所以四边形ACBF 有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF
为菱形．
4．解　(1)由题意得，c＝2，A1(－a,0)，A2(a,0)，P(x，y)，
＝·＝－⇒2y2＝a2－x2，①
∵点P 在C 上，∴y2＝b2－x2，
代入①式，得2b2－x2＝a2－x2，
∴a2＝2b2，
∵a2＝b2＋4，∴a2＝8，b2＝4，
∴椭圆C 的方程为＋＝1，
设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，
⊥l，设
：y＝－x＋t，
联立得3x2－4tx＋2t2－8＝0，
Δ＝(－4t)2－12(2t2－8)>0⇒t2<12⇒t∈(－2，2)，
x1＋x2＝，x1x2＝.
∴B1B2的中点M 在l 上，即＝＋m，
∴m＝－∈.
(2)设lMN：x＝sy＋2，
联立
得(s2＋2)y2＋4sy－4＝0，
yM＋yN＝，yMyN＝，
|MN|＝|yM－yN|＝，
lOQ：y＝－sx，
联立得x＝，y＝，
|OQ|2＝，
∴＋＝＋＝，
∵＋为定值，设为λ，
∴(k＋2)s2＋(2k＋1)＝8λs2＋8λ，
∴k＋2＝2k＋1，解得k＝，
∴存在k＝，使得＋为定值.
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第九章　统计与成对数据的统计分析
§9.1　随机抽样、统计图表
1．C　2.A　3.B　4.D　5.A　6.D
7．ABD　
8．AD　[设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则
招商引资前工资净收入为M×60%＝0.6M，而招商引资后工资净收入为2M×37%＝0.74M，
所以工资净收入增加了，故A 正确；
招商引资前转移净收入为M×4%＝0.04M，招商引资后转移净收入为2M×5%＝0.1M，所以
招商引资后，转移净收入是前一年的2.5 倍，故B 错误；
招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为0.1M＋0.56M＝0.66M<×2M＝0.8M，所以
招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C 错误；
招商引资前经营净收入为M×30%＝0.3M，招商引资后经营净收入为2M×30%＝0.6M，所
以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D 正确．]
9．按比例分配的分层随机抽样
10．23　11.2 
12．(1)830　(2)18　65
13．解　(1)由已知及图1 得，3 月份手机销售额为290－(85＋80＋65)＝60(万元)．
(2)由图1 及图2 得，1 月份音乐手机销售额为85×23%＝19.55(万元)．
(3)不同意．由图1 及图2 知，3 月份音乐手机销售额为60×18%＝10.8(万元)，
4 月份音乐手机销售额为65×17%＝11.05(万元)，
11．05>10.8，所以4 月份音乐手机销售额比3 月份音乐手机销售额增加了，所以不同意小
刚的看法．
14．解　(1)依题可知，患病者该指标的频率分布直方图中第一个小矩形的面积为5×0.002
＝0.01＝1%>0.5%，
所以95<c<100，
所以(c－95)×0.002＝0.5%，
解得c＝97.5，
q(c)＝0.01×(100－97.5)＋5×0.002＝0.035＝3.5%.
(2)当c∈[95,100]时，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－95)×0.002＋(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.008c＋0.82≥0.02；
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当c∈(100,105]时，
f(c)＝p(c)＋q(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＋(105－c)×0.002＝0.01c－0.98>0.02，
故f(c)＝
所以f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02.
§9.2　用样本估计总体
1．B　2.B　3.D　4.A　5.C　6.A
7．BD
8．AC　[选项A，根据极差的定义，原数据的极差为x9－x1，去掉x5后的极差为x9－x1，即
极差不变，故A 正确；
选项B，原数据的第25 百分位数为x3，去掉x5后的第25 百分位数为(x2＋x3)<x3，即第25 百
分位数变小，故B 错误；
选项C，原数据的平均数为＝x5，去掉x5后的平均数为＝(x1＋…＋x4＋x6＋…＋x9)＝×＝x5
＝，即平均数不变，故C 正确；
选项D，原数据的方差为s2＝[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，去掉x5后的方差为s′2＝
[(x1－x5)2＋(x2－x5)2＋…＋(x4－x5)2＋(x6－x5)2＋…＋(x9－x5)2]，故s2<s′2，即方差变大，故D
错误．]
9．93　10.6　11.7.8
12．19.8
解析　设增加的数为k，原来的9 个数分别为a1，a2，…，a9，
则a1＋a2＋…＋a9＝72，a1＋a2＋…＋a9＋k＝90，所以k＝18，
又因为(ai－8)2＝12，
即(ai－8)2＝108，
所以[(ai－9)2＋(k－9)2]
＝[(ai－8)2－2(ai－8)＋9＋81]＝19.8.
13．解　(1)甲＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
乙＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－
85)2]＝35.5，
s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－
85)2]＝41.
(2)由(1)知甲＝乙，s<s，
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甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适．
14．解　(1)由频率分布直方图知，(m＋0.03＋0.04＋0.02)×10＝1，解得m＝0.01，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为x0，由数据落在[60,80)内的频率为0.4，落在[60,90)内
的频率为0.8，
可得80<x0<90，由(x0－80)×0.04＝0.1，解得x0＝82.5，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5.
(2)由频率分布直方图及(1)知，数据落在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率分别为
0.1,0.3,0.4,0.2，
＝65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.2＝82，
此次竞赛活动学生得分不低于82 的频率为0.2＋×0.4＝0.52，
则1 000×0.52＝520，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1 000 名学生中估计有520 名学生获奖．
§9.3　成对数据的统计分析
1．C　2.D　3.C　4.A　5.C　6.B
7．ABD　[由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2 倍，
故经常锻炼人数为200 人，不经常锻炼人数为100 人，
故男生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100(人)，不经常锻炼的人数为100×0.6＝60(人)，
故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，故A 正确；
女生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100(人)，不经常锻炼的人数为100×0.4＝40(人)，
故从参与调查的学生中任取一人，已知该学生为女生，则该学生经常锻炼的概率为＝，故B
正确；
由题意结合男、女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表如表所示：
经常锻炼
不经常锻炼
合计
男
100
60
160
女
100
40
140
合计
200
100
300
则χ2＝≈2.679<2.706＝x0.1，
故依据小概率值α＝0.1 的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，故
C 错误；
由题意可得
229
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经常锻炼
不经常锻炼
合计
男
200
120
320
女
200
80
280
合计
400
200
600
则此时χ2＝
≈5.357>3.841＝x0.05，
故依据小概率值α＝0.05 的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断
犯错误的概率不超过0.05，故D 正确．]
8．BC　[根据题意，得
＝＝17，
s＝×[(－9)2＋(－3)2＋(－2)2＋32＋112]＝44.8，故A 错误；
由题意得＝＝3，
iyi＝1×8＋2×14＋3×15＋4×20＋5×28＝301，
＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
＝82＋142＋152＋202＋282＝1 669，
所以r＝
＝
＝
≈≈0.972，故B 正确；
因为b＝
＝＝4.6，
a＝－b＝17－4.6×3＝3.2，
所以y 关于x 的经验回归方程为y＝4.6x＋3.2，故C 正确；
令y＝4.6x＋3.2≥40，得x≥8，
所以最小的整数为8,2 017＋8＝2 025，
所以该地区沃柑种植面积最早在2025 年能突破40 万亩，故D 错误．]
9．甲　10.75
11．0.05
解析　完善2×2 列联表如下：
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
230
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合计
30
70
100
零假设为H0：给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果．
因为χ2＝≈4.762,3.841<4.762<6.635，
所以根据小概率值α＝0.05 的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该
种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．
12．0.3e－4
解析　y＝
经过z＝ln y 变换后，
得到z＝ln y＝c2x＋ln c1，
根据题意得ln c1＝－4，故c1＝e－4，
又x1＋x2＋…＋x10＝300，
故＝30，
y1y2…y10＝e50⇒ln y1＋ln y2＋…＋ln y10＝50，
故＝5，
于是经验回归直线z＝bx－4 一定经过点(30,5)，
故30b－4＝5，
解得b＝0.3，即c2＝0.3，于是c1c2＝0.3e－4.
13．解　(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是＝0.75，乙机床生产的
产品中一级品的频率是＝0.6.
(2)零假设为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异，根据题表中的数据可得
χ2＝
＝≈10.256>6.635＝x0.01，
所以依据小概率值α＝0.01 的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机
床的产品质量有差异．
14．解　(1)由图可知，两个变量线性相关．
由已知条件可得＝＝3，＝＝15，
所以(ti－)(wi－)＝16＋3＋0＋4＋18＝41，
＝＝，
＝＝，
所以样本相关系数
r＝≈≈0.98，
因此，两个变量具有很强的线性相关性．
(2)结合(1)可知，b＝＝4.1，a＝－b·＝15－4.1×3＝2.7，所以经验回归方程是w＝4.1t＋2.7，
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当t＝7 时，有w＝4.1×7＋2.7＝31.4，
即预测2024 年移动物联网连接数为31.4 亿户．
第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.1　计数原理与排列组合
1．C　2.C　3.B　4.A　5.A
6．C　[如图，设5 个区域分别是A，B，C，D，E.
第一步：选择1 种花卉种植在A 区域，有6 种方法可以选择；
第二步：从剩下的5 种不同的花卉中选择1 种种植在B 区域，有5 种方法可以选择；
第三步：从剩下的4 种花卉中选择1 种种植在C 区域，有4 种方法可以选择；
第四步：若区域D 与区域A 种植同1 种花卉，则区域E 可选择的花卉有4 种；
若区域D 与区域A 种植不同种花卉，则区域D 有3 种花卉可以选择，区域E 可选择的花卉
有4 种，
故不同的种植方法种数是6×5×4×(1×4＋3×4)＝1 920.]
7．A　[不考虑限制条件共有A 种，B 最先汇报共有A 种，如果B 不能最先汇报，而A，
C，D 按先后顺序汇报(不一定相邻)，则不同的汇报安排种数为＝100.]
8．B　[①若失重飞行安排在第一天，且前庭功能安排在第二天，则后面三天安排其他三项
测试有A＝6(种)安排方法，此情况跟失重飞行安排在第五天，且前庭功能安排在第四天的
安排方案种数相同；
②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有C 种选择，超重耐力安排在第四、第五天有C
种选择，剩下两种测试全排列为A，则有CCA＝8(种)安排方法，此情况与失重飞行安排在
第四天的安排方案种数相同；
③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有C 种选择，超重耐力在第一、第五天有C 种选
择，剩下两种测试全排列为A，则有CCA＝8(种)安排方法，
故选拔测试的安排方案有6×2＋8×2＋8＝36(种)．]
9．AC　[将四个空位当成一个整体，全部的坐法有A＝120(种)，故A 对；
先排4 个学生A，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入到由4 个学生形
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成的5 个空当中，有A 种方法，所以一共有AA＝480(种)坐法，故B 错；
先排4 个学生A，4 个空位是一样的，然后将4 个空位插入到由4 个学生形成的5 个空当中，
有C 种方法，所以一共有AC＝120(种)坐法，故C 对；
至多有2 个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的坐法有120 种，
空位两个两个相邻的有AC＝240(种)，空位只有两个相邻的有ACC＝720(种)，
所以一共有120＋240＋720＝1 080(种)坐法，故D 错．]
10．AD　[若每人都安排一项工作，每人有4 种安排方法，则有45种安排方法，故A 正确；
先将5 人分为4 组，再将分好的4 组全排列，安排4 项工作，有CA 种安排方法，故B 错误；
先将5 人分为3 组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A 种
情况，则有A 种安排方法，故C 错误；
①从丙，丁，戊中选出1 人开车，②从丙，丁，戊中选出2 人开车，则有(CCA＋CA)种安排
方法，故D 正确．]
11．9
12．24　7
解析　在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上
珠，
所有的数有CC＝24(个)，其中小于600 的有CC－C＝7(个)．
13．240
解析　先把5 名学生分成人数为2,1，1,1 的四组，共有＝C＝10(种)分法，再将四组学生安
排宋元数学四大家讲述，有A＝24(种)分法，
所以分配方案有10×24＝240(种)．
14．85
解析　由3 班最多有2 个名额，得3 班有2 个、1 个或0 个名额三种情况．
(1)当3 班有2 个名额时，先给1 班1 个名额，2 班、4 班各2 个名额，然后将剩下的8 个名额
分给1 班、2 班和4 班，每个班至少一个名额．
相当于将8 个元素排成一排，在中间加入2 个隔板将他们分成3 组，1 班、2 班和4 班分别得
到一组，有C＝21(种)分法；
(2)当3 班有1 个名额时，先给1 班1 个名额，2 班、4 班各2 个名额，然后将剩下的9 个名额
分给1 班、2 班和4 班，每个班至少一个名额．
相当于将9 个元素排成一排，在中间加入2 个隔板将他们分成3 组，1 班、2 班和4 班分别得
到一组，有C＝28(种)分法；
(3)当3 班没有分得名额时，先给1 班1 个名额，2 班、4 班各2 个名额，然后将剩下的10 个
名额分给1 班、2 班和4 班，每个班至少一个名额．
相当于将10 个元素排成一排，在中间加入2 个隔板将他们分成3 组，1 班、2 班和4 班分别
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得到一组，有C＝36(种)分法，
所以一共有21＋28＋36＝85(种)不同的分配方案．
15．B　[因为a＝16，所以a8＝－4 或a8＝4.
当a8＝－4，a14＝2 时，前8 次向左跳跃6 次，向右跳跃2 次，后6 次向右跳跃6 次，
所以有CC＝28(种)跳跃方法；
当a8＝4，a14＝2 时，前8 次向右跳跃6 次，向左跳跃2 次，后6 次向左跳跃4 次，向右跳跃
2 次，
所以有CC＝28×15＝420(种)跳跃方法．
综上所述，满足a＝16，a14＝2 的跳跃方法有28＋420＝448(种)．]
16．A　[依题意作图如图所示：
上面的数字表示排列的位置，必须按照如图的方式排列，其中第3 个位置必须比1,2,4,5,6 要
高，第8 个位置必须比6,7 高，1,6 两处要比排列里其他位置低，设8 个演员按照从矮到高的
顺序依次编号为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，则第3 个位置可选演员编号最小是⑥，
最大是⑧，下面分类讨论：
(1)第3 个位置选⑥号：先从①，②，③，④，⑤号中选两个放入前两个位置，
余下的3 个号放入位置4,5,6，顺序是确定的，只有一种情况，然后⑦，⑧号放入最后两个
位置也是确定的，此时共C＝10(种)情况；
(2)第3 个位置选⑦号：先从①，②，③，④，⑤，⑥号中选两个放入前两个位置，
余下的4 个号中编号最小的放入第6 个位置，剩下3 个选2 个放入4,5 两个位置，
余下的号和⑧号放入最后两个位置，此时共CC＝45(种)情况；
(3)第3 个位置选⑧号：先从①，②，③，④，⑤，⑥，⑦号中选两个放入前两个位置，
余下的5 个号中编号最小的放入第6 个位置，剩下4 个选2 个放入4,5 两个位置，余下的2
个号放入最后两个位置，此时共CC＝126(种)情况，
由分类加法计数原理可得共有10＋45＋126＝181(种)排列方式．]
§10.2　二项式定理
1．B　2.C　3.B　4.B　5.A　6.C
7．BCD　[n的展开式的第三项为T3＝Cn－22＝
＝
，
所以第三项的系数为C＝45，所以n＝10，故A 错误；
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所以二项式为10，
令x＝1 得展开式中所有项的系数和为210＝1 024，故B 正确；
展开式中共有11 项，则二项式系数最大的项为中间项，故C 正确；
通项公式为Tk＋1＝C10－k()k
＝
＝
，
令＝3，解得k＝6，
所以含x3的项是第7 项，故D 正确．]
8．ABD　[根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得C＝C，C＝C＋C 成立，故A，B
正确；
第1 条斜线上的数为C，第2 条斜线上的数为C，
第3 条斜线上的数为C，C，第4 条斜线上的数为C，C，第5 条斜线上的数为C，C，C，第
6 条斜线上的数为C，C，C，第7 条斜线上的数为C，C，C，C，…，
由此，归纳得到，第2n(n∈N*)条斜线上的数依次为C，C，C，…，C，
第(2n＋1)(n∈N)条斜线上的数依次为C，C，C，…，C.
所以第9 条斜线上各数为C，C，C，C，C，其和为C＋C＋C＋C＋C＝1＋7＋15＋10＋1＝
34，故C 错误；
在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小，故D 正确．]
9．7　10.1
11．75
解析　令x＝2，得3×75＝a0＋2a1＋22a2＋…＋211a11，①
令x＝－2，得－75＝a0－2a1＋22a2－…－211a11，②
由，得a0＋22a2＋24a4＋…＋210a10＝＝75.
12．1(答案不唯一)
解析　由题意可知992 025＋a＝(100－1)2 025＋a，
将(100－1)2 025利用二项式定理展开得(100－1)2 025＝C1002 025×(－1)0＋C1002 024×(－1)1＋…＋
C1001×(－1)2 024＋C1000×(－1)2 025，
显然C1002 025×(－1)0＋C1002 024×(－1)1＋…＋C1001×(－1)2 024能被100 整除，
所以只需C1000(－1)2 025＋a＝－1＋a 是100 的整数倍即可，
所以－1＋a＝100n(n∈Z)，得a＝100n＋1(n∈Z)，
不妨取n＝0，得a＝1.
13．解　(1)令x＝1，得展开式中的各项系数和为(1＋3)n＝22n，
又展开式中二项式系数和为2n.
所以＝32，解得n＝5.
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因为n＝5，所以展开式共有6 项，
所以二项式系数最大的项为第三、四两项，
即T3＝C(
)3(3x2)2＝90x6，T4＝C(
)2(3x2)3＝
.
(2)设展开式中第k＋1 项的系数最大，
Tk＋1＝C(
)5－k(3x2)k＝
，
得
解得≤k≤，
因为k∈N，所以k＝4，
即展开式中系数最大的项为T5＝
＝
.
14．解　(1)若选①：
因为只有第5 项的二项式系数最大，
所以展开式中共有9 项，即n＋1＝9，得n＝8.
若选②：
因为第4 项与第6 项的二项式系数相等，所以C＝C⇒n＝8.
若选③：
因为奇数项的二项式系数的和为128，
所以2n－1＝128，解得n＝8.
所以(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝，则有8＝a0＋＋＋…＋，
即有a0＋＋＋…＋＝0，
令x＝0，得a0＝1，
所以＋＋…＋＝－a0＝－1.
综上所述，＋＋…＋＝－1.
(2)由(1)可知，n＝8，
(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
两边求导得16(2x－1)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，
令x＝1，
则有16＝a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8，
所以a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝16.
15．ACD　[对于A，kC＝20C＋21C＋22C＋…＋2nC＝C×1n×20＋C×1n－1×21＋C×1n－2×22
＋…＋C×10×2n＝(1＋2)n＝3n，故A 正确；
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对于B，6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck，要求x3的系数，则k≥3，
当k＝3 时，有C3，其中x3的系数为CC20×(－1)3＝－20；
当k＝4 时，有C4，不存在x3；
当k＝5 时，有C5，其中x3的系数为CC21×(－1)4＝60；
当k＝6 时，有C6，不存在x3.
故多项式6展开式中x3的系数为－20＋60＝40，故B 不正确；
对于C，(2x－1)10的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)10－k·(－1)k＝(－1)kC·210－k·x10－k，可知a1<0，
a3<0，a5<0，a7<0，a9<0，a0>0，a2>0，a4>0，a6>0，a8>0，a10>0，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a0－a1＋a2－…＋a10，
所以令x＝－1，有(－2－1)10＝a0－a1＋a2－…＋a10＝310，
因此|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310，故C 正确；
对于D,2C＋C＋2C＋C＋…＋C＋2C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝22n＋22n－1＝
3·22n－1，故D 正确．]
16．0
解析　因为(1＋x＋x2)2 024·(x－1)2 024＝(D＋Dx＋Dx2＋…＋Dxk＋…＋Dx4 048－1＋Dx4 048)·(Cx2 024
－Cx2 023＋Cx2 022－Cx2 021＋…＋Cx－C)，
其中x2 024的系数为DC－DC＋DC－…＋(－1)kDC＋…－DC，
因为(1＋x＋x2)2 024·(x－1)2 024＝(x3－1)2 024，
而二项式(x3－1)2 024的通项公式Tk＋1＝(－1)kC·(x3)2 024－k，
因为2 024 不是3 的倍数，
所以(x3－1)2 024的展开式中没有x2 024项，由代数式恒成立可得DC－DC＋DC－…＋(－1)kDC
＋…－DC＝0.
§10.3　随机事件与概率
1．A　2.C　3.C　4.D
5．A　[方法一　A 的小孩等可能地与B，C，D 其中一位爸爸交谈，所以A 的小孩与D 交谈
的概率P＝.
方法二　设A，B，C，D 四位爸爸的小孩分别是a，b，c，d，
则交谈组合有9 种情况，分别为(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，
Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，
(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，
A 的小孩与D 交谈包含的不同组合有3 种，分别为(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Bd，Cb，
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Da)，(Ad，Bc，Cb，Da)，
∴A 的小孩与D 交谈的概率P＝＝.]
6．A　[根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6 种情况，
则共有63＝216(种)情况，
它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：
①若落地时向上的点数不同，
则为1,2,3 或1,3,5 或2,3,4 或2,4,6 或3,4,5 或4,5,6，共有6 种可能，
每种可能的点数顺序可以颠倒，即有A＝6(种)情况，共有6×6＝36(种)情况；
②若落地时向上的点数全相同，有6 种情况，
所以共有36＋6＝42(种)情况，则落地时向上的点数能组成等差数列的概率为＝.]
7．BC　[因为A∪B 表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A
和事件B 不是对立事件，故A 错误；事件A 表示“甲没有中奖”，事件C 表示“甲中奖”，
则事件A 和事件C 是互斥事件且和事件为必然事件，则事件A 和事件C 是对立事件，故B
正确；又因为B⊆C，所以P(B∪C)＝P(C)，故C 正确；P(BC)＝P(B)，故D 错误．]
8．BD　[“所需时间小于50 分钟”与“所需时间为60 分钟”是互斥而不对立事件，所以A
错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所
需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时
间比线路二少，所以B 正确；线路一所需时间不超过40 分钟的概率为0.7，线路二所需时间
不超过40 分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C 错误；所需时间之和大于100 分钟，
则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1＋
0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D 正确．]
9．0.4　10.
11.
解析　由题意设该验证码为a1a2a3a4，则a1＝2,2<a2<a3<a4，
∴a2，a3，a4从3,4,5,6,7,8,9 中选，
选出3 个数，让其按照从小到大的顺序有C＝35(种)排法，
又四位验证码共有10×10×10×10＝10 000(种)排法，
∴它是首位为2 的递增型验证码的概率为＝.
12.
解析　将6 人排成一圈，共有A＝120(种)排法，选1 人放在甲、乙中间，有A 种排法，然后
将3 人看成一个整体进行全排列有AA 种排法，由分步乘法计数原理可得甲、乙之间恰好有
1 个人共有A·AA＝48(种)排法，所以甲、乙之间恰好有1 个人的概率为＝.
13．解　(1)一次取出2 个月饼，共有C＝21(种)方法，其中两个都是五仁的有C＝6(种)方法，
两个都是枣泥的有C＝3(种)方法，则两个月饼为同一种口味的概率为＝.
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(2)依次不放回地从礼盒中取2 个月饼，共有A＝42(种)方法，其中第1 次、第2 次取到的都
是五仁月饼有4×3＝12(种)方法，所以第1 次、第2 次取到的都是五仁月饼的概率是＝.
(3)依次不放回地从礼盒中取2 个月饼，共有A＝42(种)方法，第1 次取到五仁、第2 次取到
枣泥月饼的方法有4×3＝12(种)，第1 次取到枣泥、第2 次也取到枣泥月饼的方法有3×2＝
6(种)，所以第2 次取到枣泥月饼的概率为＝.
14．解　(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A 配方生
产的产品中优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B 配方生产的产品中
优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试
验结果知，质量指标值t≥94 的频率为＝0.96，
所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0 的概率约为0.96.
用B 配方生产的100 件产品中每件产品的平均利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．
15．C　[由题意可得一共有C 种分组方法，若要满足220 和284 在同一组，则分两种情况讨
论：①220 和284 在2 个数这一组中，有C 种分组方法，②220 和284 在4 个数这一组中，
有C 种分组方法．故所求概率P＝＝.]
16.　
解析　记“恰好参加2 个小组”为事件A，“恰好参加3 个小组”为事件B，随机选取一名
成员，恰好参加2 个小组的概率P(A)＝＋＋＝，恰好参加3 个小组的概率P(B)＝＝，则至少
参加2 个小组的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，至多参加2 个小组的概率为1－P(B)＝1－＝.
§10.4　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
1．C　2.C　3.B　4.C
5．D　[从四双不同颜色的袜子中随机选4 只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事
件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，事件A 包含两种情况：“取出的
袜子恰好有两只是同一双”“取出的袜子恰好四只是两双”，则
P(A)＝＝，
又P(AB)＝＝，
则P(B|A)＝＝.]
6．A　[设A1表示“该汽车是货车”，A2表示“该汽车是客车”，
则P(A1)＝，P(A2)＝，
设B1表示“货车中途停车修理”，B2表示“客车中途停车修理”，则P(B1)＝0.02，P(B2)＝
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0.01，
B 表示“一辆汽车中途停车修理”，
则P(B)＝P(A1B1)＋P(A2B2)，
今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为P(A1|B)＝＝＝＝0.8.]
7．BD　[互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，事件A 可以有以下情况：第一次掷出
1，第二次掷出5 或第一次掷出3，第二次掷出3 等，如此与事件B 有同时发生的可能，故A
错误；
P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(BC)＝＝＝P(B)P(C)，故B 正确；
易知P(A)＝＝≠，故C 错误；
点数和为6，且两次点数相同仅有都是3 点一种情况，
故P(AC)＝＝，故D 正确．]
8．BC　[记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i 台车床加工的零件，
则P(A|B1)＝8%，P(A|B2)＝3%，P(A|B3)＝2%，P(B1)＝10%，
P(B2)＝40%，P(B3)＝50%，
任取一个零件是第1 台车床加工出来的次品概率为P(AB1)＝P(A|B1)P(B1)＝8%×10%＝
0.008，故A 错误；
任取一个零件是次品的概率为P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝8%×10%＋3%×40%＋2%×50%＝0.03，
故B 正确；
如果该零件是第3 台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为P(|B3)＝1－P(A|B3)＝1－2%
＝0.98，故C 正确；
如果该零件是次品，那么它不是第3 台车床加工出来的概率为
1－P(B3|A)＝1－＝1－＝1－＝，故D 错误．]
9.
解析　若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概
率为；
若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率为P＝××＋××＝.
10.
解析　因为事件B⊆A，
所以P(AB)＝P(B)＝＝，
而P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
11.
解析　设事件M 为“A 灯亮”，事件N 为“B 灯亮”，事件X 为“开关甲闭合”，事件Y 为
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“开关乙闭合”，事件Z 为“开关丙闭合”，则所求概率为 
P(N|M)＝.
其中P(NM)＝P(X)＋
P()P(Y)P(Z)
＝＋××＝，
P(M)＝P(X∪Z)＝P(X)＋P(Z)－P(X)P(Z)＝＋－×＝，
所以P(N|M)＝＝.
12．0.053　
解析　设任取一件产品来自甲厂为事件A1，来自乙厂为事件A2，来自丙厂为事件A3，则
A1，A2，A3彼此互斥，且A1∪A2∪A3＝Ω，
P(A1)＝＝，
P(A2)＝＝，
P(A3)＝＝，
设任取一件产品，取到的是次品为事件B，
则P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×6%＋×5%＋×5%＝＝0.053.
若取得产品是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为
P(A1|B)＝＝
＝＝.
13．解　(1)由于A 队踢完三场比赛后积分不少于6 分，
所以A 队三场比赛中至少胜两场，
则P＝(0.4)3＋C×(0.4)2×(0.4＋0.2)＝0.352.
(2)四支球队共需进行六场比赛，
六场比赛比完后四支球队积分总和最少12 分，最多18 分，
因此，四支球队积分相同，可能同积3 分或同积4 分，
①若同积3 分，则六局皆平P1＝(0.2)6＝0.000 064；
②若同积4 分，则每支球队均一胜一平一负，
若A 胜B，A 平C，A 负D，则B 胜C，B 平D，C 胜D，
所以P2＝6×(0.4)4×(0.2)2＝0.006 144，
综上所述，四支球队比完后积分相同的概率为
P＝P1＋P2＝0.006 208.
14．解　设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红
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球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2.
(1)P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＝×＋×＝.
所以试验一次结果为红球的概率为，
即首次试验结束的概率为.
(2)①因为B1，B2是对立事件，
P(B2)＝1－P(B1)＝，
所以P(A1|B2)＝＝＝＝，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得P(A2|B2)＝1－P(A1|B2)＝1－＝，
所以方案一中取到红球的概率为
P1＝P(A1|B2)P(B1|A1)＋P(A2|B2)·P(B1|A2)＝×＋×＝，
方案二中取到红球的概率为
P2＝P(A2|B2)P(B1|A1)＋P(A1|B2)·P(B1|A2)＝×＋×＝，
因为>，所以方案二中取到红球的概率更大，即选择方案二第二次试验结束的概率更大．
15．D　[设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P 甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的
概率为P 乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P 丙，
方法一　由题意可知，P 甲＝
2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]
＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，
P 乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，
P 丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.
所以P 丙－P 甲＝2p2(p3－p1)>0，
P 丙－P 乙＝2p1(p3－p2)>0，
所以P 丙最大．
方法二　(特殊值法)
不妨设p1＝0.4，p2＝0.5，p3＝0.6，
则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P 甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝0.4；
在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P 乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝0.52；
在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P 丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝0.6.
所以P 丙最大．]
16.
解析　依题意得P1＝＝，
第n 次取出的球是红球的概率为Pn，则第n 次取出的球是白球的概率为(1－Pn)，
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对于第n＋1 次，取出红球有两种情况：①从红箱取出的概率为Pn×，②从白箱取出的概率
为(1－Pn)×，
所以Pn＋1＝＋Pn，
所以Pn＋1－＝，
令an＝Pn－，则数列{an}为等比数列，且公比为，
因为P1＝，所以a1＝，
故an＝2－(2n＋1)即对应Pn＝＋2－(2n＋1)，
所以Sn＝＋
＝＋
＝.
§10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征
1．A　2.A　3.B　4.B　5.C
6．D　[E(X)＝0×＋a×＋1×＝，
∴当a 在(0,1)上增大时，E(X)增大，
D(X)＝2×＋2
×＋2×
＝[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(2－a)2]
＝(a2－a＋1)＝2＋，
∴当a 在(0,1)上增大时，D(X)先减小后增大．]
7．BCD　[根据分布列可知m＋n＝1－－＝，①
因为Y＝12X＋7，
所以E(Y)＝12E(X)＋7＝34，
解得E(X)＝，
又由分布列可得E(X)＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝，
整理得2m＋3n＝，②
联立①②解得m＝，n＝.]
8．ABD　[所有可能的情况有C＝35(种)，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有CC＋
CC＝30(种)，
故P(A)＝＝，故A 正确；
P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，
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所以P(B|A)＝＝＝，故B 正确；
X 的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，故C 错误；
由C 知，D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＝，
因为Y＝3－X，所以D(Y)＝D(X)＝，故D 正确．]
9．11
解析　由表中数据得E(ξ)＝－2a＋0×b＋2×＝，解得a＝，
又a＋b＋＝1，
所以b＝，
所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，
所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11.
10．3
解析　由题意可知P(X<300)＝0.3，
P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y 的分布列为
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
所以E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，所以工期延误天数Y 的均值为3.
11．0<p<
解析　由题意知P(X＝1)＝p，
P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝(1－p)2，
所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75，
解得p>或p<，
又p∈(0,1)，所以p∈.
12.
解析　若从甲盒中随机取到的为红球且概率为，
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则X 的可能取值为1,2，
则P1(X＝1)＝＝，
P1(X＝2)＝＝，
若从甲盒中随机取到的为白球且概率为，则X 的可能取值为0,1,2，
则P2(X＝0)＝＝，
P2(X＝1)＝＝，
P2(X＝2)＝＝，
综上，P(X＝0)＝×P2(X＝0)＝，
P(X＝1)＝×P1(X＝1)＋×P2(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×P1(X＝2)＋×P2(X＝2)＝，
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
13．解　(1)“所选3 人中女生人数X≤1”的概率P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝.
(2)因为从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛，随机变量X 表示所选3 人中女生的
人数，
所以X 的可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
14．解　(1)设员工所获得的奖励金额为X，
①P(X＝1 000)＝＝，
∴员工所获得的奖励金额为1 000 元的概率为.
②X 所有可能的取值为400,1 000，
P(X＝400)＝＝，
∴X 的分布列为
X
400
1 000
P
∴员工所获得的奖励金额的均值为
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E(X)＝400×＋1 000×＝700(元)．
(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1 000 元，
∴先寻找均值为1 000 元的可能方案，
对于面值由800 元和200 元组成的情况，
如果选择(200,200,200,800)的方案，
∵1 000 元是面值之和的最大值，
∴均值不可能为1 000 元，
如果选择(800,800,800,200)的方案，
∵1000 元是面值之和的最小值，
∴均值不可能为1 000 元，
因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1；
同理，对于面值由600 元和400 元组成的情况，
排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，
∴可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2.
对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400,1 000,1600，
P(X1＝400)＝＝，
P(X1＝1 000)＝＝，
P(X1＝1 600)＝＝，
∴E(X1)＝400×＋1 000×＋1 600×＝1 000，
D(X1)＝(400－1 000)2×＋(1 000－1 000)2×＋(1 600－1 000)2×＝120 000；
对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800,1 000,1 200，
P(X2＝800)＝＝，
P(X2＝1 000)＝＝，
P(X2＝1 200)＝＝，
∴E(X2)＝800×＋1 000×＋1 200×＝1 000，
D(X2)＝×(800－1 000)2＋×(1 000－1 000)2＋×(1 200－1 000)2＝，
由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2 的方差比方案1 小，
∴应选择方案2.
15．CD　[因为f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，
则g(x)＝f′(x)＝p1＋2p2x1＋3p3x2＋…＋ipixi－1＋…＋npnxn－1，
E(X)＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn，
当x＝1 时，E(X)＝g(1)，故A 错误，C 正确；
连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X 的分布列为
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X
2
3
4
5
6
7
8
P
f1(x)＝x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8，
f1(2)＝×22＋×23＋×24＋×25＋×26＋×27＋×28＝，故B 错误，D 正确．]
16．ABC　[由题意可知x＋＋＝1，即x＋y＝1，故A 正确；
E(ξ)＝0×x＋1×＋2×＝，故B 正确；
D(ξ)＝x2＋2＋2＝(1－y)2＋2＋2＝－y2＋3y，
因为xy≠0，x＋y＝1，
易得0<y<1，
而函数f(y)＝－y2＋3y 的图象开口向下，对称轴为y＝，
所以f(y)在上单调递增，在上单调递减，
故f(y)在y＝处取得最大值，
所以D(ξ)随着y 的增大先增大后减小，
当y＝时取得最大值，故C 正确，D 错误．]
§10.6　二项分布、超几何分布与正态分布
1．D　2.A　3.B　4.D
5．A　[设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余
棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手
人数为32－n.
X 所有可能的取值为0,1,2，…，n，
则X～B，E(X)＝；
Y 所有可能的取值为0,1,2，…，32－n，
则Y～B，E(Y)＝，
所以获胜的业余棋手总人数的均值
E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)＝＋＝≥10，解得n≥24.]
6．B　[设中奖的概率为p,30 天中奖的天数为X，则X～B(30，p)．
若盒子中的有奖券有1 张，则中奖的概率p＝＝，
E(X)＝30×＝6，
若盒子中的有奖券有2 张，
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则中奖的概率p＝＝，
E(X)＝30×＝，
若盒子中的有奖券有3 张，
则中奖的概率p＝＝，
E(X)＝30×＝16，
若盒子中的有奖券有4 张，
则中奖的概率p＝＝，
E(X)＝30×＝20，
根据题意盒子中的有奖券有2 张，更有可能30 天中奖11 天．]
7．BD　[由正态分布的对称性可知P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，
故A 错误；
X～B(3,0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，故B 正确；
E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)<E(5X)，故C 错误；
因为X～B(3,0.6)，
所以P(X＝0)＝C(0.6)0×(0.4)3＝0.064，
故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936>0.9，故D 正确．]
8．AC　[从中随机地有放回摸出3 个球，
则每次摸到红球的概率为＝，
则X1～B，
故E(X1)＝3×＝，
D(X1)＝3××＝；
从中随机地无放回摸出3 个球，记红球的个数为X2，则X2的可能取值是0,1,2,3，
则P(X2＝0)＝＝，
P(X2＝1)＝＝，
P(X2＝2)＝＝，
P(X2＝3)＝＝，
所以随机变量X2的概率分布为
 X2
0
1
2
3
 P
E(X2)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
D(X2)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
故E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)．]
9.　10.
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11.　6
解析　令Ai为第i(i＝1,2,3)次取得一等品，
所以抽取三次，第三次才取得一等品的概率为
P(A3)＝××＝，
若抽取后再放回，则设X 为抽取一等品的次数，抽取一等品的概率为，
则X～B，E(X)＝10×＝6，
所以平均取得一等品6 次．
12．97.7%
解析　因为100 个数据x1，x2，x3，…，x100的平均数＝i＝72，
方差s2＝(xi－)2＝(－1002)＝×[100×(722＋36)－100×722]＝36，
所以μ 的估计值为μ＝72，σ 的估计值为σ＝6.
设该市高中生的身体素质指标值为X，
由P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
得P(72－12≤X≤72＋12)＝P(60≤X≤84)≈0.954 5，
P(X>84)＝P(X>μ＋2σ)＝P(X<μ－2σ)＝≈，
所以P(X≥60)＝P(60≤X≤84)＋P(X>84)≈0.954 5＋×(1－0.954 5)＝0.977 25≈97.7%.
13．解　(1)选择方案一，
若享受到7 折优惠，
则需要摸出2 个红球和1 个黑球，
设顾客享受到7 折优惠为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)若选择方案一，
设付款金额为X 元，
则X 可能的取值为5 000,7 000，9 000，10 000，
P(X＝5 000)＝＝，
P(X＝7 000)＝，
P(X＝9 000)＝＝，
P(X＝10 000)＝1－－－＝.
故X 的分布列为
X
5 000
7 000
9 000
10 000
P
所以E(X)＝5 000×＋7 000×＋9 000×＋10 000×＝≈9 608.3(元)．
若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，
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则Z＝10 000－2 000Y，
由已知可得Y～B，
故E(Y)＝3×＝，
所以E(Z)＝E(10 000－2 000Y)＝10 000－2 000E(Y)＝8 800(元)，
因为E(X)>E(Z)，
所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
14 ．解　(1) 由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值μ ＝35×0.006×10 ＋
45×0.012×10 ＋55×0.018×10 ＋65×0.034×10 ＋75×0.016×10 ＋85×0.008×10 ＋
95×0.006×10＝64，则所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布N(64，152)，
因为μ＋σ＝79，所以P(X>79)≈＝0.158 65，
故参赛学生中成绩超过79 分的学生人数为0.158 65×10 000≈1 587.
(2)由μ＝64，得P(X>64)＝，
即从所有参赛学生中随机抽取1 名学生，该生竞赛成绩在64 分以上的概率为，
所以随机变量ξ～B，
所以P(ξ＝0)＝C×3＝，
P(ξ＝1)＝C××2＝，
P(ξ＝2)＝C×2×＝，
P(ξ＝3)＝C×3＝，
所以随机变量ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
§10.7　概率与统计的综合问题
1．解　(1)2×2 列联表如下：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
零假设为H0：该校学生喜欢足球与性别无关．
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由表中数据得
χ2＝
≈18.182>10.828＝x0.001，
根据小概率值α＝0.001 的独立性检验可知零假设不成立，即该校学生喜欢足球与性别有关，
且此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)3 人进球总次数ξ 的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝2×＝，
P(ξ＝1)＝C×××＋×2＝，
P(ξ＝2)＝C×××＋2×＝，
P(ξ＝3)＝2×＝，
∴ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
∴ξ 的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
2．解　(1)由已知
＝＝4.5，
所以(xi－)2＝(－3.5)2＋(－2.5)2＋(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＋2.52＋3.52＝42，
又(xi－)(yi－)＝228.9，
所以b＝＝5.45，
因为＝119.05，
所以a＝－b＝94.525，
所以y＝5.45x＋94.525.
(2)由题可知，和谐发展年有5 个，其中计分为1 分的年份有3 个，计分为2 分的年份有2 个，
X 的所有可能取值为3,4,5，
所以P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以X 的分布列为
X
3
4
5
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
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3．解　(1)记这天浪级是“微浪”为事件A1，浪级是“小浪”为事件A2，浪级是“中浪”为
事件A3，浪级是“大浪”为事件A4.该渔船当天出海作业为事件B，
则由题意可知，
P(A1)＝50×0.004＝0.2，
P(A2)＝50×0.006＝0.3，
P(A3)＝50×0.004＋50×0.002＝0.3，
P(A4)＝50×0.002＋50×0.002＝0.2，
∴P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)
＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)
＝0.9×0.2＋0.8×0.3＋0.6×0.3＝0.18＋0.24＋0.18＝0.6.
(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，
∴P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝，
则X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
4．解　(1)设感染诺如病毒的患者为x 人，则感染甲流的患者为2x 人，
感染两种病毒的60 岁以上的患者人数均为x，
由题意必有χ2≥7.879，
即≥7.879，所以x≥26.26，
又因为x 为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有27 人．
(2)设抗病毒口服液治疗有效的概率为p，每次试验花费为m，则奥司他韦治疗有效的概率为
2p<1，
故0<p<，
设抗病毒口服液试验总花费为X，X 的所有可能取值为4m,5m,6m，
P(X＝4m)＝p4，
P(X＝5m)＝2(p2－p4)，
P(X＝6m)＝(1－p2)2，
故E(X)＝4mp4＋10m(p2－p4)＋6m(p4－2p2＋1)＝－2mp2＋6m，
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设奥司他韦试验总花费为Y，Y 的所有可能取值为3m,6m，
P(Y＝3m)＝C(2p)2(1－2p)＋(2p)3＝12p2－16p3，
P(Y＝6m)＝1＋16p3－12p2，
所以E(Y)＝48mp3－36mp2＋6m，
由0<p<，
所以E(Y)－E(X)＝2mp2(24p－17)<0，
所以E(Y)<E(X)，
所以奥司他韦试验的平均花费较低．
§10.8　概率、统计与其他知识的交汇问题
1．解　(1)记甲前3 次答题得分之和为40 分为事件A，
则事件A 是甲前3 次答题中仅答对一次的事件，
所以甲前3 次答题得分之和为40 分的概率为
P(A)＝C××2＝.
(2)①甲第1 次答题得20 分、10 分的概率分别为，，
则E(X1)＝20×＋10×＝，
甲第2 次答题得40 分、20 分、10 分的概率分别为×，×，，
则E(X2)＝40××＋20××＋10×＝，
显然E(X2)＝2
×＋10×＝E(X1)＋，
i∈N*，i≥2，甲第(i－1)次答题所得分数Xi－1的数学期望为E(Xi－1)，
因此第i 次答对题所得分数为2E(Xi－1)，答错题所得分数为10 分，其概率分别为，，
于是甲第i 次答题所得分数Xi的数学期望为E(Xi)＝2E(Xi－1)×＋10×＝E(Xi－1)＋，
所以E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式是
E(Xi)＝E(Xi－1)＋，i∈N*，
i≥2，且E(X1)＝.
②由①知，E(X1)＝，
当i∈N*，i≥2 时，E(Xi)＋5＝[E(Xi－1)＋5]，
而E(X1)＋5＝，
因此数列{E(Xi)＋5}是以为首项，为公比的等比数列，
E(Xi)＋5＝×i－1＝15×i，
于是E(Xi)＝15×i－5，
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由15×i－5>100 得i>7，
显然数列是递增数列，
而4＝<7，5＝>7，
则有正整数imin＝5，
所以i 的最小值是5.
2．解　(1)设样本平均数的估计值为，
则＝10×(40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62，
所以样本平均数的估计值为62.
(2)因为学生的初试成绩X 近似服从正态分布N(μ，σ2)，
其中μ＝62，σ≈14.
所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90，
所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈×(1－0.954 5)＝0.022 75.
所以估计能参加复试的人数为
0．022 75×8 000＝182.
(3)由该学生获一等奖的概率为可知，a2b＝，
则P＝a2(1－b)＋Ca(1－a)b＝a2＋2ab－＝a2＋－.
令P＝f(a)＝a2＋－，0<a<1，
则f′(a)＝2a－＝
＝，
当0<a<时，f′(a)<0；
当<a<1 时，f′(a)>0，
所以f(a)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以f(a)min＝f ＝＋－＝，
所以P 的最小值为.
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