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专题17 圆锥曲线的综合应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置判断
设直线方程为
，椭圆方程为
联立
消去y 得一个关于x 的一元二次方程
①
直线和椭圆相交
直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②
直线和椭圆相切
直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③
直线和椭圆相离
直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则弦长公式为：
知识点2 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系判断
1
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将双曲线方程
与直线方程
联立消去
得到关于
的一元二次方程
，
（1）当
，即
，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
（2）当
，即
，设该一元二次方程的判别式为
，
若
，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若
，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若
，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
2、直线与双曲线弦长求法
若直线
与双曲线
（
，
）交于
，
两点，
则
或
（
）．（具体同椭圆相同）
知识点3 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况
相交（有两个公共点或一个公共点）；
相切（有一个公共点）；
相离（没有公共点）.
2、以抛物线
与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率
不存在，设直线方程为
，
若
，直线与抛物线有两个交点；
若
，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若
，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率
存在.
设直线
，抛物线
，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组
，的解的个数，
即二次方程
（或
）解的个数.
①若
，
则当
时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当
时，直线与抛物线相切，有个公共点；
2
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当
时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若
，则直线
与抛物线
相交，有一个公共点.
3、直线与抛物线相交弦长问题
（1）一般弦长
设
为抛物线
的弦，
，
，弦AB 的中点为
.
①弦长公式：
（
为直线
的斜率，且
）.
②
,
推导：由题意，知
，①
②
由①-②，得
，故
，即
.
③直线
的方程为
.
（2）焦点弦长
如图，
是抛物线
过焦点
的一条弦，
设
，
，
的中点
，
过点
，
，
分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点
，
，
，
根据抛物线的定义有
，
，
故
.
又因为
是梯形
的中位线，所以
，
从而有下列结论；
①以
为直径的圆必与准线相切.
②
(焦点弦长与中点关系)
③
.
④若直线
的倾斜角为
，则
.
⑤
，
两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即
，
.
⑥
为定值
.
3
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重难点01 求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的
常量当成变量，将变量x，y 当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0 的形式(k 是原方程中的
常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中
方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（24-25 高三上·甘肃白银·月考）已知离心率为
的椭圆
的右焦点为
，
点
为椭圆上第一象限内的一点，满足
垂直于
轴，且
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线的斜率存在，交椭圆
于
两点，
三点不共线，且直线
和直线
关于直线
对称，
证明：直线过定点.
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【解析】（1）因为椭圆
的离心率为
，所以
，点
在椭圆
上，
代入椭圆方程，有
，解得
，
且
，可得
所以椭圆
的方程为
.
（2）设直线的方程为
，由
消去
，整理得
，
因为直线交椭圆
于
两点，所以
，
设A(x1, y1),B(x2, y2)，所以
，
因为直线
和直线
关于直线
对称，
4
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所以k AF +k BF =
y1
x1−1 +
y2
x2−1 = k x1+m
x1−1 + k x2+m
x2−1 = 2k x1 x2+(m−k )(x1+ x2)−2m
(x1−1)(x2−1)
=0，
所以
，
所以
，
解得
.
所以直线的方程为
，
所以直线过定点
.
【典例2】（23-24 高三下·江西九江·二模）已知双曲线
的离心率为
，点
在
上．
(1)求双曲线
的方程；
(2)直线与双曲线
交于不同的两点
，
，若直线
，
的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
【答案】(1)
;(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得
，
，所以
，
又点
在
上，故
，解得
，
，
所以双曲线
的方程为：
．
（2）当斜率不存在时，显然不满足条件．
当斜率存在时，设其方程为
，与方程联立
联立，消去
得
，
由已知得
，且
，
设
，
，则
，
，
5
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直线
，
的斜率分别为
，
，
由已知
，故
，
即
，
所以
，
化简得
，又已知不过点
，故
，
所以
，即
，
故直线的方程为
，所以直线过定点
．
【典例3】（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点
，且在y 轴上截得弦长为4，动
圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)若过点
的直线l 与曲线C 交于点M，N，问：以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这
个定点；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)过定点，定点为原点.
【解析】（1）设动圆圆心
，
当
时，依题意，
，即
；
当
时，点C 的轨迹为点
，满足
，
所以点C 的轨迹方程为
.
（2）依题意，直线不垂直于
轴，设直线l 方程为：
，
，
由
消去x 并整理得
，
恒成立，
则
，令圆心为
，则
，
，
，
直径
，
则圆
的方程为
，
当
时，
，
因此对于
，圆
恒过原点，
所以存在定点
，以MN 为直径的圆过定点
.
6
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重难点02 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求
得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（24-25 高二上·江苏南通·月考）已知椭圆
的右焦点为
，斜率不为0 的直线与
交于
两点.
(1)若
是线段
的中点，求直线的方程；
(2)若直线经过点
（点
在点
之间），直线
与直线
的斜率分别为
，求证：
为定值.
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【解析】（1）设
，则有
，
且
，作差可得
，
所以
，
由点斜式得，
，
整理得
即为直线的方程.
（2）不妨设
的直线方程为
，
联立
，消去
整理得
，
7
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由韦达定理得，
所以
，
因为
，
所以
为定值.
【典例2】（23-24 高三下·河南郑州·月考）已知双曲线
的右焦点为
，双曲线
的上焦点为
，直线
，且既是
的渐近线也是
的渐近线．
(1)求
的方程；
(2)过
作与
轴不垂直的直线与
的右支交于点
，若点
在
轴上，且
，求证：
为定
值，并求出该定值．
【答案】(1)
；(2)证明见解析，
．
【解析】（1）双曲线
的渐近线方程为
，
由题意得直线
的斜率为负，又直线
，则的方程为
，
故直线
的斜率为
，
所以
，
，
，
又
，所以
，
所以
，
，
的方程为
；
（2）证明：由（1）知
，设直线
的方程为
（
且
），
8
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与
联立得
，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
中点为
，
则
，
，
，
设
，由
得点
在线段
的垂直平分线上，
所以
，
，
，
所以
，
所以
为定值
．
【典例3】（23-24 高三下·重庆·模拟预测）已知抛物线
：
与双曲线
：
相交于点
．
(1)若
，求抛物线
的准线方程；
(2)记直线l：
与
、
分别切于点M、N，当p 变化时，求证：
的面积为定值，并求出该
定值．
【答案】(1)
；(2)证明见解析，
.
9
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【解析】（1）由
，得
，将其代入
，得
，
所以抛物线
的方程为
，其准线方程为
.
（2）由
，得
，
由直线与
相切，得
，解得
，切点
，
由
，得
，
由直线与
相切，得
，解得
，切点
，
于是
，令
，则直线的方程为
，
点
，由
，得
，
所以
，
点
到直线的距离为
，
所以
，
所以
的面积为定值，该定值为
.
重难点03 圆锥曲线中的定直线问题
一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与圆锥曲线方程，根据根与系数的关系以及题中条
10
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件，求出动点的坐标满足的关系，从而可确定结果(一般得到动点横坐标或纵坐标为定值)．
【典例1】（23-24 高三下·河北衡水·模拟预测）已知椭圆
的左､右焦点分别为
是
上一点，且点
到点
的距离之和为
.
(1)求
的方程；
(2)斜率为
的直线与
交于
两点，则
的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；
若不在，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)存在，
【解析】（1）由题意，得
，解得
，
故
的方程为
.
（2）
的外心在定直线
0 上.理由如下：
由题意设直线的方程为
，
联立
，得
，
所以
，
即
，且
.
设
的中点为
，
则
，
所以
11
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，
即直线
与
的斜率互为相反数.
设直线
的方程为
，即
.
联立
，得
，
则
，
所以
，
所以
，
即
，
所以线段
的垂直平分线的方程为
，
即
①.
直线
的方程为
，同理可得线段
的垂直平分线的方程为
②
联立①②，得
，
得
，
故
的外心在定直线
上.
【典例2】（24-25 高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线
的焦距为4，过右焦
点
且垂直
轴的直线交曲线
的右支于
两点（
在
轴上方），
，过右焦点
的动直线交
的左支于点
，交
的右支于点
，直线
和
的交点为
.
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(1)求双曲线
的标准方程；
(2)证明点
在定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】(1)
；(2)证明见解析；
【解析】（1）由双曲线焦距为4 可得，
，即
①.
故右焦点为
，由
，
令
，得
，则
②，
联立①②解得，
.
故双曲线
的标准方程为
；
（2）由题意知，过右焦点的动直线若与左、右两支都相交，故直线斜率存在，
可设方程为
，
联立
，消
得
，
则由题意，
且
，
设
，
由韦达定理知，
，
由直线与左、右两支都相交，则
，得
.
又
，
直线
的方程为
③，
直线
的方程为
④，
13
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④
③得，
，
由
，
故
，解得
，
当
时，不论
取何值，点
横坐标为常数，
即直线
和
的交点为
在定直线
上.
【典例3】（23-24 高三下·河北保定·二模）已知抛物线
的焦点为
，过
作互相垂直的
直线
，分别与
交于
和
两点（A，D 在第一象限），当直线的倾斜角等于
时，四边形
的面积为
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线AD 与BE 交于点Q，证明：点
在定直线上．
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【解析】（1）当直线的倾斜角等于
时，直线
的倾斜角等于
，
直线
的方程为
，由抛物线的对称性知
，
所以
，得
．
联立方程组
，消去
得
．
设
两点的横坐标分别为
，则
，
．
又
，所以
，所以
的方程为
．
（2）由（1）知F (1,0)，依题意，可设直线的方程为y =k (x−1)
，
14
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则直线
的方程为
．
联立方程组
消去
得
，显然
，
设A(x1, y1),B(x2, y2)，则
．
设
，同理可得
，
所以
，同理可得
．
直线
的方程为
，
即
．
同理，直线
的方程为
．
两直线方程联立得
，解得
，
即直线
与
的交点
在定直线
上．
重难点04 圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【典例1】（23-24 高三下·湖南郴州·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，椭圆
上一点
到左焦点的距
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离的最小值为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知直线与椭圆
交于
、
两点，且
，求△OMN 面积的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【解析】（1）依题意，设椭圆
的标准方程为
，半焦距为，
由椭圆
的离心率为
，得
，则
，
设
，则
，椭圆
的左焦点
，
则
，
当且仅当
时取等号，因此
，解得
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）当直线
不垂直于坐标轴时，直线
的斜率存在且不为0，设其方程为
，
由
消去
得
，则
，
直线
，同理
，
则△OMN 的面积
，
令
，
，
当直线
垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令
，
，
所以△OMN 面积的取值范围是
.
16
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【典例2】（23-24 高三下·江西·一模）已知双曲线
（
，
）的一条渐近线的倾斜角
为
，C 的右焦点F 到该渐近线的距离为
.
(1)求C 的方程；
(2)若过F 的直线与C 的左、右支分别交于点A，B，与圆
交于与A，B 不重合的M，N 两点.
（ⅰ）求直线AB 斜率的取值范围；
（ⅱ）求
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【解析】（1）因为C 的一条渐近线的倾斜角为
，所以
，
，
则C 的一条渐近线的方程为
，
因为
，
所以右焦点
到渐近线
的距离为
，
所以
，
，所以C 的方程为
.
（2）（ⅰ）由（1）知，
，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由题意可得直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为
，
与
联立得
，
所以
，
，
，
，
又A，B 两点在x 轴同一侧，所以
.此时
，即
.
17
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又圆O 的方程为
，点O 到直线AB 的距离
，
由
得
，由
得
，所以
或
，
因为直线AB 的斜率
，所以直线AB 斜率的取值范围是
.
（ⅱ）由弦长公式得
，
由垂径定理得
，
所以
，
其中
，设
，
，
则
，
所以
的取值范围是
.
【典例3】（23-24 高三下·江西宜春·模拟预测）已知双曲线
的焦距为
，过点
的直线与
交于A，B 两点，且当与
轴平行时，
．
(1)求
的方程；
(2)记
的右顶点为
，若点A，B 均在
的左支上，直线AT，BT 分别与
轴交于点M，N，且
，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
．
18
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【解析】（1）由题可知双曲线
过点
，
则
．解得
，
，
所以双曲线
的方程为
．
（2）若的斜率不存在，此时与双曲线无交点，舍去，
根据题意设直线
，A(x1, y1)，
，
，
联立
，得
．
则
，且
，
由
，
，可得
，所以
．
由（1）可知
．
则直线AT 的方程为
．
令
，得
，所以
，同理可得
．
所以
，
，
．
由
，
．
得
，
，
所以
，
，
所以
19
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，
因为
，所以
．
所以
，所以
．
所以
的取值范围为
．
重难点05 圆锥曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如
存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直
接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（24-25 高三上·北京海淀·开学考试）已知椭圆
的离心率为
．
(1)求椭圆E 的方程和短轴长；
(2)设直线
与椭圆E 相切于第一象限内的点P，不过原点O 且平行于的直线
与椭圆E 交于不
同的两点A，B，点A 关于原点O 的对称点为C，证明：
．
【答案】(1)椭圆E 的方程为
，短轴长为
；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
所以椭圆E 的方程为
，短轴长为
；
（2）由
，消y 得
①，
由
，得
，
此时方程①可化：
，
20
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解得：
（由条件可知：
异号），
设P(x0, y0)，则
，
，
即
，所以
，
因为
，所以可设直线
：
（
，
），
由
，消y 得
，
当
时，方程有两个不相等的实根，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则
，
，
因为
两点关于原点对称，所以
，
所以
，
所以
，即
.
【典例2】（24-25 高三上·浙江·月考）已知双曲线
与过点
，
的直线有且只有一个公共点
，且双曲线
的离心率
．
(1)求直线
和双曲线
的方程；
(2)设
，
为双曲线
的左、右焦点，
为线段
的中点，求证：
．
【答案】(1)
，
；(2)证明见解析
【解析】（1）因为双曲线的离心率
，所以
，解得
，
设双曲线方程
.
直线
过点
，
，
21
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所以直线
方程为
，即
，
代入双曲线方程
，得
，
由题意，
，解得
所以双曲线
的方程：
．
（2）因为
，于是
即
，
所以
，代入
得
，
则
，又
，所以
，
因为
为线段
的中点，所以
，
所以
．
又
，所以
，故
．
【典例3】（23-24 高三下·广西来宾·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线C：
的焦点，O 为坐标原点，M 为C 的准线l 上一点，直线MF 的斜率为
，
的面积为
4．
(1)求C 的方程；
(2)过点F 的直线交C 于A，B 两点，过点B 作y 轴的垂线交直线AO 于点D，过点A 作直线DF 的垂线与C
的另一交点为E，AE 的中点为G，证明：G，B，D 三点纵坐标相等．
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【解析】（1）设准线l 与x 轴的交点为N，
22
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∵直线MF 的斜率为
，∴
，又
，
∴
，∴
．
故抛物线C 的方程为：
．
（2）证明：设直线AB 的方程为
，设点A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立
，得
，
，
由韦达定理可得
，
，
又因为直线AO 的方程为
，
将
代入，可得
，即点
，
所以
，
因为
，则
，
所以直线AE 的方程为
，
联立
，得
，则
，
23
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故
，
，
故G，B，D 三点纵坐标相等.
重难点06 圆锥曲线中的探索性问题
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；
（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
【典例1】（24-25 高三上·云南昆明·月考）动点
到直线
与直线
的距离之积等
于
，且
．记点M 的轨迹方程为
．
(1)求
的方程；
(2)过
上的点P 作圆
的切线PT，T 为切点，求
的最小值；
(3)已知点
，直线
交
于点A，B，
上是否存在点C 满足
？若存
在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
；(2)2；(3)
【解析】（1）根据
到直线
与直线
的距离之积等于
，
可得
，化简得
，
由于
，故
，即
.
（2）设
，
，
故当
时，
最小值为2
24
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（3）联立
与
可得
，
设
，
则
，
故
设存在点C 满足
，则
，
故
，
由于
在
，故
，
化简得
，即
，解得
或
（舍去），
由于
，解得
且
，
故
符合题意，由于
，故
，
故
,故
，
故存在
，使得
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【典例2】（23-24 高三下·河南·月考）已知椭圆
与双曲线
的焦点
与
的焦点间的距离为
.
(1)求
与
的方程；
(2)过坐标轴上的点
可以作两条
与
的公切线.
（i）求点
的坐标.
（ii）当点
在
轴上时，是否存在过点
的直线，使与
均有两个交点？若存在，请求出的方程；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）
或
或
或
；（ii）不存在，理由见解析
【解析】（1）由题意可得
，解得
.
所以
.
（2）（i）显然公切线的斜率存在且不为0，设公切线
，
联立
得
，
则
，
即
①
联立
得
，
则
，即
②
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联立①②得
，所以公切线为
或
.
公切线的交点即点
的坐标，
由
，解得
，由
，解得
，
由
，解得
，
，解得
，
综上所述：
或
或
或
.
（ii）当点
在
轴上时，
，
假设存在直线
与
均有两个交点，
由（i）知
，不等式组无解，
所以不存在过点
的直线与
均有两个交点.
一、直线与圆锥曲线位置关系判断
1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到
一元二次方程，其中
；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直
线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，
或直线与圆锥曲线相切．
【典例1】（24-25 高三上·广东·开学考试）已知直线
与椭圆
相交，则C 的长轴长
的取值范围是 ．
27
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【答案】
【解析】将
代入
，得
，
则
，解得
．
因为C 的长轴长为
，所以C 的长轴长的取值范围是
．
故答案为：
.
【典例2】（23-24 高三下·福建漳州·三模）写出过点
且与抛物线
有唯一公共点的一条直
线方程 .
【答案】
（写对一个方程即可）
【解析】如图，当直线斜率为0 时，与抛物线
有唯一公共点，此时方程为
；
当斜率不为0 时，设的方程为
，
联立
消去
，整理得：
，
因为直线与抛物线
有唯一公共点，所以
，
解得
或
，所以为
或
，
即
或
.
综上，过点
且与抛物线
有唯一公共点的直线方程为：
或
或
.
故答案为：
（或
或
）.
28
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【典例3】（23-24 高三下·四川绵阳·月考）过双曲线
：
左焦点为
和点
直线与双
曲线
的交点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由题意得双曲线
：
左焦点为
，
则直线l 的斜率为
，
故直线l 的方程为
，而双曲线的渐近线方程为
，
故直线l 与
平行，且l 过双曲线的左焦点，
故直线与双曲线
的交点个数是1，故选：B
二、直线与圆锥曲线的弦长问题
设
，
根据两点距离公式
．
（1）若
在直线
上，代入化简，得
；
（2）若
所在直线方程为
，代入化简，得
29
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（3）构造直角三角形求解弦长，
．其中
为直线
斜率，
为直线倾斜角．
【典例1】（23-24 高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆
，一组斜率
的平行直线与椭圆相交，
则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设斜率
的平行直线与椭圆相交于
，且中点为
，
可得
.
由
，两式相减得
，
整理得
，可得
，
即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为
.故选：C.
【典例2】（23-24 高三下·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线
与双曲线
交
于
两点，点
是弦
的中点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】设
，则
，且
，
所以
，整理得到：
，
因为
是弦
的中点，
所以
，所以
即
所以
，故选：A.
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【典例3】（23-24 高三下·贵州黔南·二模）已知抛物线
：
（
）的焦点为
，过焦点
作直
线交抛物线
于
两点，
为抛物线
上的动点，且
的最小值为1.
(1)抛物线
的方程；
(2)若直线交抛物线
的准线于点
，求线段
的中点的坐标.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）由题意可知：抛物线
的焦点
，准线为
，
设
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）由题意可知：直线与抛物线
必相交（斜率不为0），
设A(x1, y1),B(x2, y2)，线段
的中点
，
且直线过点
和F (1,0)，
则直线的方程
，即
，
联立方程
，消去x 得
，
则
，可知
，
将y M =2代入
可得
，
所以线段
的中点的坐标为
.
三、圆锥曲线的中点弦问题
31
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1、解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
（1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系
数的关系及中点坐标公式求解．
（2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为
，
，将这两点坐标分别代入
圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和直线AB 斜率有关的式子，可以大大减
少计算量．
2、点差法常用结论
已知
，
为圆锥曲线
上的两点，
的中点为
，直线
的斜率为
．
若
的方程为
，则
；
若
的方程为
，则
；
若
的方程为
，则
．
【典例1】（24-25 高三上·云南·月考）动圆
经过原点，且与直线
相切，记圆心
的轨迹为
，
直线
与
交于
两点，则
.
【答案】6
【解析】
如图，设动圆
的圆心M (x , y)，由题意得
，
两边取平方，
，化简得
，故圆心
的轨迹方程为
.
联立方程
，消去
整理得，
设A(x1, y1),B(x2, y2)，则
，
故
.
故答案为：6.
32
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【典例2】（23-24 高三下·安徽·一模）已知双曲线C：
的离心率为2.且经过点
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A，B 两点，且
（点O 为坐标原点），求
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
故双曲线方程为
.
（2）当直线斜率不存在时，可设
，
则
，
将其代入双曲线方程
，
又
，解得
，
此时
，
当直线斜率存在时，设其方程为
，设A(x1, y1),B(x2, y2)，
联立
，
故
，
则
，
化简得
，此时
，
所以
33
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，
当
时，此时
，
当
时，此时
，
，故
，
因此
，
综上可得
.
【典例3】（23-24 高三下·河南·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
点
为椭圆
上一点，且
的面积为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若倾斜角为
的直线l 与C 相交于两个不同的点
，求
的最大值．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
故椭圆
的标准方程为
；
（2）
，故可设
，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
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联立
，消去
可得
，
，即
，
，
，
则
，
则当
时，|AB|有最大值，且其最大值为
.
四、圆锥曲线中三角形的面积问题
利用三角形面积公式求解
（1）
(一般选弦长做底，点到直线的距离为高)；
（2）
．
【典例1】（23-24 高三下·湖南郴州·模拟预测）已知抛物线
，从抛物线内一点
发出平行于
轴的光线经过扡物线上点
反射后交抛物线于点
，则
的面积为 .
【答案】
【解析】由抛物线的光学性质知，直线
与
轴的交点为抛物线的焦点，
的焦点为
，故
与
轴的交点横坐标为，
根据题意，画出草图，如下图所示，
35
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令
得
，解得
，又
过焦点，
所以
方程为：
，
即
，联立
，
得
，解得
或
，所以
∴
的
边上的高为
，
又
，
所以
，
故答案为：
.
【典例2】（24-25 高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆
的左右焦点分别为
，
，
点
在C 上，且
轴．
(1)求C 的方程．
(2)过左焦点
作倾斜角为60°的直线l．直线l 与C 相交于A，B 两点，求
的周长和面积．
【答案】(1)
；(2)周长为
，面积为
【解析】（1）由已知
轴且P(1, √2
2 )，知
，
，
由椭圆的定义
，
所以
，
，
的方程为
.
（2）可知直线的斜率
，的方程为
.
36
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设A(x1, y1),B(x2, y2)，联立方程组
， 消去
得
，
可得
，
可得
，
点F2(1,0)到直线
的距离
，
所以
的周长为
，
.
【典例3】（24-25 高三上·江西南昌·月考）已知双曲线
的右顶点
，点
到
双曲线
一条渐近线的距离为
.若过双曲线
上一点
作直线与两条渐近线相交，交点为
，且分
别在第一象限和第四象限
(1)求双曲线
的方程；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）依题意，
，双曲线
的渐近线为
，则
，解得
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）显然直线不垂直于
轴，设直线方程为
，则直线交
轴于点
，
由（1）知，双曲线
的渐近线为
，设
，
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由
消去
得
，
则
，
，
有
，由
，得
为线段
中点，点
，
而点
在双曲线
：
上，于是
，整理得
，
又
，
所以
的面积
.
五、圆锥曲线中四边形的面积问题
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点(尤其是有
平行条件的时候)，可将面积的关系转化，降低计算量，特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线
长度乘积的一半．
【典例1】（24-25 高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆
的左、右焦点为
，
离心率为
，点
为椭圆
上任意一点，且
的周长为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与直线
分别交椭圆
于
和
两点，求四边形
的面积．
【答案】(1)
；(2)
．
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【解析】（1）由题意知
，解得
，
则椭圆
的方程为
．
（2）易知四边形
为平行四边形，设A(x1, y1),B(x2, y2)，
联立直线与椭圆
消去
并整理得
，
由韦达定理得
，
因为
与
平行，所以这两条直线的距离
，
则平行四边形
的面积
．
【典例2】（24-25 高三上·湖南·月考）已知双曲线
的焦点在
轴上，离心率为
，点
在双曲线
上，点
分别为双曲线的左､右焦点.
(1)求
的方程；
(2)过
作两条相互垂直的直线和
，与双曲线的右支分别交于
，
两点和
两点，求四边形
面积的最小值.
【答案】(1)
；(2)
39
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【解析】（1）因为
，又由题意得
，则有
，
又点
在双曲线
上，故
，解得
，
故
的方程为
.
（2）
根据题意，直线
的斜率都存在且不为
，
设直线
，其中
，
因为
均与
的右支有两个交点，所以
，所以
，
将的方程与
联立，可得
.
设
，则
，
所以
，
同理
，
所以
.
令
，所以
，
则
，
40
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当
，即
时，等号成立.
故四边形
面积的最小值为
.
【典例3】（23-24 高三下·广东·二模）已知抛物线C：
，焦点为F，准线为l，点Q 在准线
l 上.倾斜角为
的直线经过点F 与抛物线C 交于A，B 两点，且点A 在第一象限.
(1)若Q 在x 轴上，证明：直线
的斜率等于
；
(2)已知
，线段
的垂直平分线经过点Q，并与x 轴交于点M，四边形
的面积为
，求p.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】（1）证明：过点A 作
轴，垂足为H，
过点A 作
，垂足为E，则四边形
为矩形.
而
，而
，
由抛物线的定义，
，而
，故
，从而
.
（2）由题得，直线
的方程为
，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
联立
，消去y，可得
，
易知
，故
，从而
，
.
于是线段
的中点为
.
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又
，所以直线
的斜率为
，
故可得直线
的方程为
，即
.
令
，得
，故
，
令
，得
，故
.
于是
.
因为
，故四边形
的面积为
，解得
.
易错点1 忽视直线与双曲线相交的特殊性
点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种
一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程
，
（1）若
，直线与双曲线相交，有两个交点；若
，直线与渐进线平行，有一个交点
（2）若
，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；
（3）若
，直线与双曲线相离，没有公共点；
二是可以利用数形结合的思想
【典例1】（23-24 高三下·浙江绍兴·模拟预测）双曲线
，过点
作直线，与双曲线只
有一个交点M，则的斜率为 .
【答案】
或
【解析】双曲线渐近线斜率为
，
当直线l 与双曲线渐近线平行时，直线l 和双曲线只有一个交点；
当直线与双曲线渐近线不平行时，令直线
，
联立双曲线可得
，则
，
此时直线与双曲线只有一个交点，则
，可得
；
42
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综上，的斜率为
或
.
故答案为：
或
.
【典例2】（24-25 高三上·江苏镇江·月考）已知直线的方程为
，双曲线
的方程为
若
直线与双曲线
的右支交于不同的两点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设，有
，得
，
因为直线与双曲线
的右支交于不同的两点，
故
，解得
，故选：D.
【典例3】（23-24 高三上·重庆南岸·月考）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为√2，且过
点
.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线
与双曲线C 的左支交于A，B 两点，求k 的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）双曲线的中心在原点,焦点在
轴上,设双曲线的方程为
由
,可得
,
由双曲线过点
,可得
，解得
,
则双曲线的标准方程为
;
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（2）联立直线与双曲线方程
，
化简得
，则
，
假设
,
则
，解得
.
易错点2 忽视特殊性误判直线与抛物线的位置关系
点拨：在直线与抛物线的位置关系中存在特殊情况，即直线与抛物线对称轴平行时只有一个交点。在解题
时要注意，不要忘记其特殊性．
【典例1】（24-25 高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选）已知抛物线
过点
，则（ ）
A．拋物线
的标准方程可能为
B．挞物线
的标准方程可能为
C．过点
与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点
与抛物线只有一个公共点的直线有两条
【答案】ABD
【解析】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为
，
将
代入抛物线
中得
，则拋物线
的方程为
，故A 正确；
对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为
，
将
代入拋物线
中得
，则抛物线
为
，故B 正确；
对于C、D 选项，过点
与对称轴平行的直线，
以及抛物线在点
处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C 错误，D 正确.故选：ABD.
【典例2】（24-25 高三上·广东·月考）已知抛物线
的焦点为
，以
和
的准线上的两
点为顶点可以构成边长为
的等边三角形．
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(1)求
的方程；
(2)讨论过点
的直线与
的交点个数．
【答案】(1)
；(2)答案见解析
【解析】（1）由题意得焦点
，准线方程为
，
以焦点和
的准线上的两点为顶点可以构成边长为
的等边三角形
，
而这个等边三角形的高为
，
即焦点到准线的距离
，解得
（负值舍去），
所以
的方程为
．
（2）若直线的斜率存在，设的方程为
．
由方程组
可得
．
（Ⅰ）当
时，解得
，此时方程只有一个实数解，与
只有一个公共点；
（Ⅱ）当
时，方程的根的判别式为
，
（ⅰ）由
，解得
或
，此时方程有两个相等的实数解，与
只有一个公共点；
（ⅱ）由
，解得
或
，此时方程有两个不等的实数解，与
有两个公共点；
（ⅲ）由
，解得
，或
，此时方程没有实数解，与
没有公共点；
若直线的斜率不存在，则直线的方程为
，易知与
没有公共点．
综上，当的方程为
或的斜率
或
时，与
的交点个数为0；
当的斜率
或
1 或
时，与
的交点个数为1；
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当的斜率
时，与
的交点个数为2．
易错点3 解决直线与圆锥曲线位置关系时忽视对直线斜率不存在的讨论
点拨：解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为
方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方
程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。
【典例1】（23-24 高三下·广东·模拟预测）已知
，直线
交于点
，且直线
的斜率之积为
，点
的轨迹记为曲线
．
(1)求
的方程．
(2)不过点
的直线与
交于
两点，且直线
与
的斜率之和为
，试问直线是否过定点？
若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
；(2)直线过定点
，理由见解析.
【解析】（1）设
，则
，
，
由题意得，
，整理得
，
∴曲线
的方程为
.
（2）设
，
当斜率存在时，设
，
由
得，
，
∴
，即
，
∴
，
∵直线
与
的斜率之和为
，
∴
，
∴
，
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∴
，整理得
，
∵
，∴
，
∴直线方程为
，恒过定点
.
当直线斜率不存在时，
，
∵直线
与
的斜率之和为
，
∴
，
∴
，此时直线
，恒过定点
.
综上得，直线过定点
.
【典例2】（24-25 高三上·广西南宁·月考）已知双曲线
的两条渐近线方程为
为
上一点．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若过点
的直线与
仅有1 个公共点，求的方程；
(3)过双曲线
的右焦点
作两条互相垂直的直线，
，且与
交于
两点，记
的中点
与
交于
两点，记
的中点为
．若
，求点
到直线
的距离的最大值．
【答案】(1)
；(2)
，
，
；(3)
【解析】（1）由题意可得，
，解得
，所以双曲线
的方程为
.
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为
，
代入
可得
，
当
时，即
时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，
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即直线的方程为
，
；
当
时，
，
即
，可得
，此时直线与双曲线相切，
直线的方程为
；
显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足；
综上所述，与双曲线
仅有1 个公共点的直线有3 条：
，
，
.
（3）当直线的斜率不存在时，则
与
重合，又
，即
，
所以
，
，此时直线
的方程为
，
则
到
的距离为0；
当直线的斜率为0 时，则
与
重合，
，
，
此时直线
的方程为
，则
到
的距离为0；
当直线的斜率存在且不为0 时，设的方程为
，
设
，
直线
的方程为
，
联立
可得
，
，
由韦达定理可得
，则
，
所以
，
所以
，
联立
可得
，
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，
由韦达定理可得
，则
，
所以
，所以
，
则
，
，
所以直线
的方程为
，
即
，
所以
，即
，
故直线
过定点
，
当
时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当
时，直线
与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当
时，
的横坐标均为
，此时，直线
的方程为
，
过点
；
综上所述，直线
过定点
.
所以点
到直线
的距离的最大值为
.
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