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专题19 计数原理与二项式定理
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1 类方案中有m 种不同的方法，
在第2 类方案中有n 种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1 步有m 种不同的方法，做第2 步有n 种不同的方
法，完成这件事共有N＝m·n 种不同的方法。
3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如
果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事
的方法数时，使用分步计数原理．
知识点2 排列与组合
1、排列与排列数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素排成一列，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一
个排列．从
个不同元素中取出
个元素的所有排列的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的排列数，用符号
表示．
1
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（2）排列数的公式：
．
特例：当
时，
；规定：
．
（3）排列数的性质：①
；②
；③
．
2、组合与组合数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素并成一组，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一
个组合．从
个不同元素中取出
个元素的所有组合的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的组合数，用符号
表示．
（2）组合数公式及其推导
求从
个不同元素中取出
个元素的排列数
，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这
个不同元素中取出
个元素的组合数
；
第二步，求每一个组合中
个元素的全排列数
；
根据分步计数原理，得到
；
因此
．
这里
，
，且
，这个公式叫做组合数公式．因为
，所以组合数公式还可表
示为：
．特例：
．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是
按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式
常用于具体数字计算，
常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①
；②
．
3、排列和组合的区别
（1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
（2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在
于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是
在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排
列”．
2
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知识点3 二项式定理
1、二项式定理
（1）二项式定理：
，
（2）通项公式：
，表示展开式的第
项：，
（3）二项式系数：系数
（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（4）两个常用的二项展开式：
①
0
1
1
(
)
( 1)
( 1)
n
n
n
r
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
（
*
N
n
）
②
1
2
2
(1
)
1
n
r
r
n
n
n
n
x
C x
C x
C x
x
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质：
①每一行两端都是，即
；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即
．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
．
（2）二项式系数的最大项
二项式系数先增后减中间项最大
①如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
②如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
（3）系数的最大项
求
展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为
，
设第
项系数最大，应有
，从而解出
来．
3、二项展开式中的系数和问题
（1）二项式系数和令
，则二项式系数的和为
，
变形式
．
（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令
，
则
，
从而得到：
．
（3）若
，则
①常数项：令
，得
．
②各项系数和：令
，得
．
3
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重难点01 分组分配问题的解题思路
分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
【典例1】（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较
热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5 部，小
明和小华两位同学准备从这5 部影片中各选2 部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选
看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．12
B．24
C．28
D．36
【答案】D
【解析】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《名侦探柯南》中选择一部，
小华从剩余的3 部中选择两部，此时共有
种方案，
若两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，则两人从剩余4 部中各选1 部，有
种方案，
若两人所选影片中，不是《名侦探柯南》相同，相同的影片为4 部中1 部，有
种选择，
再给小华从剩余3 部中选择一部，有
种选择，故共有
种方案，
综上，共有
种方案.故选：D
【典例2】（24-25 高三上·安徽·开学考试）我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最
佳避暑选择某家庭共6 个人，包括4 个大人，2 个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3 只不同的船只可供他
们选择使用，每船最多可乘3 人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有 种.
【答案】348
【解析】①若6 人乘坐3 只船：
先将4 个大人分成
三组有
种方法，然后将三组排到3 只船有
种方法，
再将两个小孩排到3 只船有
种方法，所以共有
种方法.
②若6 人乘坐2 只船：共有
种方法
4
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综上共有：
种方法.
故答案为：348
【典例3】（24-25 高三上·重庆·开学考试）第41 届全国青少年信息学奥林匹克竞赛
于2024
年7 月
日在重庆市育才中学成功举办．在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5 名育才新教师参加了
接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教
师参加．若5 名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（ ）种
A．108
B．114
C．150
D．240
【答案】B
【解析】5 名新教师按
分组有
种方法，按
分组有
种分法，
因此5 名新教师的安排方案有
种，
当甲乙在同一组时，甲乙可视为1 个人，即相当于4 名教师的安排方案，有
种，
所以所求不同的安排方案有
（种）.故选：B
【典例4】（24-25 高三上·江西·月考）现有6 个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个
城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2 人选择南昌的选
法种数为（ ）
A．420
B．660
C．720
D．1200
【答案】B
【解析】当有2 人选择去南昌时，剩余4 人的分配方式为
，选法种数为：
，
当有3 人选择去南昌时，剩余3 人的分配方式为
，选法种数为：
，
∴至少有2 人选择南昌的选法种数为
.故选：B.
重难点02 涂色问题的解法
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种
数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分
5
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类计数原理求出不同涂色方法种数.
【典例1】（23-24 高三下·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成
五个部
分（如图所示），现用4 种颜色的鲜花进行装扮（4 种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不
同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（ ）
A．48 种
B．36 种
C．24 种
D．12 种．
【答案】A
【解析】满足条件的摆放方案可分为两类，
第一类
区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域
有
种方法，
第二步，摆放区域
有3 种方法，
第三步，摆放区域
有2 种方法，
第四步，考虑到区域
不同色，且4 种颜色都要用到，摆放区域
有1 种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有
种方案，
第二类，
区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域
有
种方法，
第二步，摆放区域
有3 种方法，
第三步，摆放区域
有2 种方法，
第四步，考虑到区域
不同色，且4 种颜色都要用到，摆放区域
有1 种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有
种方案，
根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有
种，故选：A.
【典例2】（23-24 高三上·天津·月考）①一组数据
的第三四分位数为8；
②若随机变量
，且
，则
；
③具有线性相关关系的变量
，其线性回归方程为
，若样本的中心
，则
；
④如图，现要用5 种不同的颜色对某市的4 个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种
颜色，共有180 种不同的着色方法.
6
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以上说法正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解析】对于①：将数据从小到大排列为、、、、
、
、
、
、
、
，
所以
，则第三四分位数为
，故①错误；
对于②：因为
，且
，
所以
，所以
，故②正确；
对于③：因为线性回归方程为
，且样本的中心
，
所以
，解得
，故③正确；
对于④：首先涂I 有种，第二步涂II 有
种，第三步涂III 有种，第四步涂IV 有种，
按照分步乘法计数原理可得一共有
种涂色方法，故④正确；故选：C
重难点03 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
（1）若n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展
开分别求解．
（2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
（3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【典例1】（23-24 高三下·江西·模拟预测）
的展开式中
的系数为 ．
【答案】-105
【解析】因为
，
而二项式
的展开式的通项
，
．
所以
的展开式中
的项为
，
其系数为-105，
故答案为：-105．
7
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【典例2】（23-24 高三下·陕西西安·模拟预测）
的展开式的常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
的展开式的通项公式为
，
所以
的展开式的项为
或
，
令
时，
，
令
时，
，
所以
的展开式的常数项为
，故选：A.
【典例3】（23-24 高三下·广东广州·模拟预测）若
的展开式中，
项的
系数为−8，则
的最大值为 .
【答案】
/0.125
【解析】
,
又
，
故
，
可由
分别提供
得到，
或者提供
得到，或者提供
得到，
故
项的系数为为
，
故
，即
，
要使
最大，则
需为正数，
因此
，故
，当且仅当
时取等号，
8
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故答案为：
重难点04 二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为
A1，A2，…，An＋1，且第k 项系数最大，应用 从而解出k 来，即得．
【典例1】（23-24 高三上·四川雅安·零模）
的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4 项
B．第5 项
C．第6 项
D．第7 项
【答案】C
【解析】依题意，
的展开通项公式为
，其系数为
，
当为奇数时，
才能取得最小值，
又由二项式系数的性质可知，
是
的最大项，
所以当
时，
取得最小值，即第6 项的系数最小.故选：C．
【典例2】（23-24 高三上·全江苏·期末）已知
的展开式中唯有第5 项的系数最大，则a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
的展开式的通项为
，
由题可知
，解得
．故选：A
一、求解排列应用问题的六种常用方法
1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；
2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；
3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
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5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
6、间接法：正难则反、等价转化的方法
【典例1】（24-25 高三上·福建泉州·月考）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起
出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96 种
B．120 种
C．192 种
D．240 种
【答案】C
【解析】由题意可知，丙排在第4 位，则甲乙两人可能在第1、2 或2、3 或5、6 或6、7 位，
故不同的排法有
种.故选：C.
【典例2】（24-25 高三上·广东·月考）甲、乙等6 人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（
）
A．6 种
B．12 种
C．24 种
D．48 种
【答案】D
【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，
将n 个不同元素围成的环状排列剪开看成n 个元素排成一排，即共有
种排法，
由于n 个不同元素共有n 种不同的剪法，则环状排列共有
种排法.
甲、乙两人相邻而坐，可将此2 人当作1 人看，即5 人围一圆桌，有
种坐法，
又因为甲、乙2 人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为
种.故选：D
【典例3】（24-25 高三上·广东肇庆·月考）五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包
（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包
的概率为 .
【答案】
【解析】第一种情况，甲拿了乙或者丙的旅行包，有
种情况；
第二种情况，甲没有拿乙和丙的旅行包，有
种情况.
故所求的概率为
.
故答案为：
.
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【典例4】（24-25 高三上·江苏无锡·月考）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火
遍全国.现有甲、乙、丙3 位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3 个吉祥物互
不相邻的排队方法数为 .（用数字作答）
【答案】144
【解析】由题意，甲、乙、丙3 位运动员站成一排，有
种不同的排法，
在三位运动员形成的4 个空隙中选3 个，插入3 个吉祥物，共有
种排法.
故答案为：144．
二、组合问题的常见类型与处理方法
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
【典例1】（23-24 高三下·广西柳州·模拟预测）有4 名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，
若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1 人，则所有不同的录用情况种数为（ ） ．
A．40 种
B．60 种
C．80 种
D．120 种
【答案】B
【解析】根据题意，分2 种情况讨论：
①四人中有3 人被录取，有
种不同的录用情况；
②四人都被录取，需要先将4 人分为3 组，再将分好的3 组安排给3 所学校，
有
种不同的录用情况；
所以共有
种不同的录用情况．故选：B．
【典例2】（24-25 高三上·四川成都·开学考试）某高中运动会设有8 个项目，甲､乙两名学生每人随机选取
3 个项目，则至少选中2 个相同项目的报名情况有（ ）
A．420 种
B．840 种
C．476 种
D．896 种
【答案】D
【解析】由题意可知，可以分两种情况，
第一种情况所选取3 个项目恰有2 个相同，
第一步，在8 个项目中选取2 项，共有
种，
第二步，甲在剩下的6 个项目中选取1 项，共有
种，
第三步，乙在剩下5 个项目中选取1 项，共有
种，
由分步乘法计算原理可知，共有
种；
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第二种情况所选取的3 个项目完全相同，则有
种；
由分类加法计数原理可知，总情况一共有
种.故选：D
【典例3】（24-25 高三上·浙江·模拟预测）天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，
如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这
颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】四个孩子向三颗星星许愿，一共有
种可能的许愿方式.
由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，
这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，
所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，
可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，
有
种情况，
所以所求概率为
.故选：C.
三、二项展开式中的特定项求解
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特
定项的关键点如下：
（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．
（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【典例1】（24-25 高三上·江苏·模拟预测）二项式
中展开式中
项的系数为
【答案】
【解析】二项式的展开式的通项公式为
，
令
，所以
，
所以二项式
中展开式中x 项的系数为
.
故答案为：
.
12
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【典例2】（23-24 高三下·黑龙江大庆·三模）在
的展开式中，含
项的系数是 .
【答案】24
【解析】在
的展开式中，
.
令
得
，所以含
项的系数是
.
故答案为：24.
四、三项展开式中某些特定项的系数的求法
（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
（2）两次利用二项式定理的通项公式求解．
（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要
得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【典例1】（23-24 高三下·湖南衡阳·一模）
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
项对应
，
，
项对应
系数为
，故
展开后
系数为
.故选：D.
【典例2】（23-24 高三下·河南·三模）
的展开式中，
的系数为 ．（用数字作答）
【答案】6
【解析】
，
的展开式通项为
，
的展开式通项为
，
，
令
，得
，
所以
的系数为
．
故答案为：6
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五、二项式系数的和与各项的系数和问题
（1）系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和
题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1 等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
（2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n.
【典例1】（23-24 高三下·福建福州·模拟预测）（多选）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A，令
，即可得
，可得A 正确；
对于B，因为展开式中
代表一次项系数，
所以
的展开式中含有一次项
，可得
，即B 错误；
对于C，令
，即可得
，
可得
，所以C 错误；
对于D，令
，即可得
，
得
，得
，即D 正确.故选：AD
【典例2】（24-25 高三上·四川成都·开学考试）若
，则
.
【答案】
14
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【解析】令
，得
，
令
，得
，
则
，
且
，
故
.
故答案为：
.
六、二项式系数最大与最小
二项式系数先增后减中间项最大
（1）如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
（2）如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
【典例1】（23-24 高三下·湖北·模拟预测）若
的二项展开式中，当且仅当第5 项是二项式系数
最大的项，则其展开式中
的系数为（ ）
A．8
B．28
C．70
D．252
【答案】D
【解析】因为二项展开式中当且仅当第5 项是二项式系数最大的项，
即二项式系数
中第5 个即
最大，
所以由二项式系数的性质可知，展开式中共项，
，
又
，则
二项展开式的通项公式
，
.
令
，所以
的系数为
．故选：D．
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【典例2】（23-24 高三下·浙江温州·三模）已知
，
和
的展开式中二项式系数的最
大值分别为
和
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小关系与
有关
【答案】A
【解析】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1 项或正中间的2 项.
即
，
，
所以
，从而
.故选：A.
七、有关整除或求余的问题
利用二项式定理解决整除问题时要进行合理的变形，使被除数展开后的每一项都有除数的因式，要注意变
形的技巧．
【典例1】（24-25 高三上·河南焦作·开学考试）
被10 除的余数为 .
【答案】1
【解析】由题
，
因为
可以被10 整除，
所以
被10 除的余数为1.
故答案为：1.
【典例2】（23-24 高三下·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则
天后是（ ）
A．星期一
B．星期二
C．星期三
D．星期五
【答案】B
【解析】
，
故
．
前面7 项均能被7 整除，则
被7 整除余5，
故
天后是星期二．故选：B.
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易错点1 利用分步乘法原理计数，分步标准错误
点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一
个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一
种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分
成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成n 个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同
的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.
【典例1】（24-25 高三上·江苏南京·期中）甲、乙、丙、丁去听同时举行的3 个讲座，每人可自由选择听
其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
【答案】A
【解析】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种，
丙丁两人听不同的讲座，方法数有
种，
所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为
种.故选：A
【典例2】（23-24 高三下·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3 张和数字“2”，“3”，“5”的
卡片各1 张，从中任意取出4 张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）．
【答案】
【解析】如果取一张数字7 的卡片，则数字2、3、5 的卡片都要取出，则组成
个不同的四位数；
如果取两张数字7 的卡片，则数字2、3、5 的卡片要取出两张，则组成
个不同的四位数；
如果取三张数字7 的卡片，则数字2、3、5 的卡片要取出一张，则组成
个不同的四位数；
所以最多能组成
个不同的四位数.
故答案为：
.
易错点2 数字排列中“0”的位置不明
点拨：对于数字排列问题，0 是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0 不在首位的特殊要求。
【典例1】（23-24 高三下·四川雅安·三模）从
五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个
数，则该数为偶数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【解析】若选择的4 个数中有0，则没有重复数字的四位数有
个；
若选择的4 个数中无0，则没有重复数字的四位数有
个；
所以没有重复数字的四位数共有
个.
若个位数为0，则没有重复数字的偶数有
个；
若个位数不为0，则没有重复数字的偶数有
个；
所以没有重复数字的四位数共有
个.
综上所述：该数为偶数的概率为
.故选：C.
【典例2】（23-24 高三下·安徽·月考）从
中任意选1 个数字，从
中任意选2 个数字，得到没
有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为 .
【答案】
【解析】根据题意可知：若从
中任意选1 个不为0 的数字有
种选法，
从
中任意选2 个数字有
种选法，
由选出的3 个数字组成三位数有！种组法，共
种方法，
其中偶数有
个；
若从
中选0，再从
中任意选2 个数字有
种选法，
由选出的3 个数字组成三位数有
种组法，共
种方法，
其中偶数有
个；
所以该数为偶数的概率为
.
故答案为：
易错点3 忽略二项式中的负号
点拨：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b 的系数为-1，展开求解释不要忽略。
【典例1】（23-24 高三下·湖北武汉·模拟预测）
展开式中含
项的系数为（ ）
A．420
B．
C．560
D．
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【答案】D
【解析】由题意知，
的二项展开式的通项公式为
，
令
，得
，故含
项的系数为
.故选：D.
【典例2】（23-24 高三下·四川德阳·模拟预测）
的展开式中，常数项为（ ）
A．60
B．
C．120
D．
【答案】A
【解析】
的展开式的通项为
令
，解得
，
所以
的展开式中的常数项为
.故选：A
易错点4 混淆二项式系数与系数
点拨： 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1 项的系数是
，
其值只与
有关，与
无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；
但当a，b 的系数不是1 时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性
具体讨论而定.
【典例1】（23-24 高三上·重庆渝中·月考）（多选）在二项式
的展开式中，下列说法正确的是
（ ）
A．第6 项的二项式系数最大
B．第6 项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为
D．所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【解析】通项公式为
，
，
其二项式系数为
，二项式
的展开式共
项，中间项的二项式系数最大，
故第6 项的二项式系数
是最大的，故A 正确；
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二项式系数和为
，所以C 正确；
令
得所有项的系数和为1，故D 正确；
因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B 选项错误，故选：
ACD.
【典例2】（23-24 高三下·江西九江·三模）（多选）已知二项式
，则（ ）
A．展开式中
的系数为45
B．展开式中二项式系数最大的项是第5 项
C．展开式中各项系数之和为1
D．展开式中系数最大的项是第5 项或第7 项
【答案】AD
【解析】
，当
时，
，系数为
，故A 正确；
由组合数性质可知，中间项系数
最大，
展开式中二项式系数最大的项是第6 项，故B 错误；
令
，得展开式中各项系数之和为
，故C 错误；
当
为奇数时，系数为负数，当
为偶数时，系数为正数，
当或时，系数最大，正确.故选：AD.
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