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2025 年高考数学第三次模拟考试
高三数学·参考答案
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
B
D
A
A
C
D
A
B
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．
12．
13．
14．
15．①③④
三、解答题：本题共6 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（满分13 分）
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）连接
，
∵E 为
中点，
为
的中点，
∴
，
∵
平面
，
平面
，
∴
平面
；.....................5 分
（2）以点C 为坐标原点，
所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
则
，
设平面
的法向量
，
则
，取
，则
，
设
与平面
所成角为
，
则
与平面
所成角的正弦值为：
．.....................13 分
1
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17．（满分13 分）
【答案】(1)
，
；(2)
【解析】（1）因为
，
若选①
，则
，
所以
，
当
时，
，因为
在
上不单调，不符合题意，故舍去；
若选②
的图像关于直线
对称，
则
，解得
，
所以
，
当
时，
，因为
在
上单调递减，符合题意，
令
，
，解得
，
，
所以函数的单调递增区间为
，
；
若选③
的最大值为
，因为
（其中
）
所以
，解得
或
；
当
时，由①可知，不符合题意；
当
时，由②可知，符合题意；
所以
，
当
时，
，因为
在
上单调递减，符合题意，
令
，
，解得
，
，
所以函数的单调递增区间为
，
；.....................6 分
（2）由（1）可知
，则
，
2
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令
，即
，即
，
即
或
，
当
，则
或
，
解得
或
；
当
，则
或
，
解得
或
；
因为
且
，
所以
......................13 分
18．（满分14 分）
【答案】(1)
；(2)分布列见解析，
；(3)答案见解析
【解析】（1）80 个路段中，传感器1 判断正确的路段有
个．
设“传感器1 对该路况判断正确”为事件
，则
......................3 分
（2）80 个路段中共有60 个有障碍的路段．60 个有障碍的路段中，
传感器1 判断正确的路段有40 个，
错误的有
个，传感器2 判断正确的路段有45 个，判断错误的路段有
个
的取值集合为
．
，
，
，
故
的分布列为
3
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随机变量
的数学期望
.....................8 分
（3）可以通过提高传感器3 的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于
．
分析：共有20 个无障碍地路段，传感器1 判断无障碍的有15 个，
由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器1 判断无障碍的概率为
．
传感2 判断无障碍的有15 个，由频率估计概率，故无障碍路段上，
估计传感器2 判断无障碍的概率为
．
若传感器3 在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为1．
小汽车在无障碍的道路上减速的概率：
．
故可以通过提高传感器3 的判断正确率，
使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于
．.....................14 分
19．（满分15 分）
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【解析】（1）依题可得，
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.所以离心率
......................4 分
（2）由（1）知
，易知直线
与
的斜率存在且同号，所以直线
不垂直于
轴，
故可设
，
由
可得，
，
所以
，
，而
，即
，
4
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化简可得
，
即
，
即
，
化简得
，所以
或
，
所以直线
或
，
因为直线
不经过点A，所以直线
经过定点
......................13 分
20．（满分15 分）
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)
.
【解析】（1）由题设
，则
，
则在
上有
，故
在
上是增函数，得证；.....................4 分
（2）由题设
，则
，
当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
所以最小值为
时
，最大值为
时
；.....................9 分
（3）由题设
在
上能成立，则
，
对于
，则在
上
恒成立，
故
在
上单调递增，且
时
，即在
上
恒成立，
所以
在
上能成立，
令
且
，则
，
对于
且
，则
，
5
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当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
当
，
，即在
上
恒成立，
在
上
恒成立，则
在
上单调递增，故
，
所以
......................15 分
21．（满分15 分）
【答案】(1)证明见解析；(2)
；(3)存在，
的最小值为，理由见解析.
【解析】（1）当分子比分母小时，比值小于1，显然不在区间
内，
当分子比分母大时，由于
，
，故
是可分比集合．.....................4 分
（2）解法一：一方面，取
，则
；
另一方面，若
，不妨设
，则
，则
，
此时
，且
，矛盾！综上所述，正整数
的最大值为7.
解法二：
，则
，
又
，即若
，
内的数均不属于
，
若
，则
，则
，
又
，矛盾，
所以
，当
时，
符合，所以
．.....................9 分
（3）存在，
；
证明：要使
最小，即满足每个集合内的个数尽可能多，
令
，
，
令
即可将
分成了3 个可分比集合，
先证明
，将
分成
，
，
其中，
，
由（2）可知当
时不成立，所以
......................15 分
6
