致 同 学
你们好! 欢迎你们迈进初中数学的大门,开始新阶段的数学学习。我们在祝福大
家的同时,诚挚地为你们送上一份礼物———2024年新修订的《义务教育教科书
数学
七
至九年级》。本套教科书依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》编写,蕴含了丰
富的问题情境和探究活动,不仅有利于获得数学基础知识和技能,还有利于发展核心
素养,提高综合能力。
当你们拿到这本七年级上册教科书时,一定想了解它的内容、它的特点、它的一切。
在设计上,这本书有以下栏目:
观察与思考: 通过观察、感悟和思考,期待你们进一步学会用数学的眼光观察世
界,发现问题,提出问题。
一起探究: 通过和大家一起探究,学会用数学的思维方式思考问题,领悟数学思
想和方法。在探究过程中互相启发,有利于分析问题,解决问题。
大家谈谈: 重视问题探究后的反思,尝试将问题进行拓展,并用数学的语言表达
你们的认识。这是促进你们学习进步的重要环节。
做一做: 在学习活动中,通过做一做,你们将体会到运用已有知识和方法解决问
题、巩固应用时获得数学发现的乐趣。
回顾与反思: 把握整体内容,梳理知识脉络,概括总结思想方法,学会从整体上
认识问题和概括归纳。这是不可或缺的学习环节。
在内容上,这本书共有五章内容等待你们去探究,去认识:
有理数———负数的引入,使数的范围扩大到了有理数,同时,你们将体会和感受
数的运算的新变化。
几何图形的初步认识———通过从实物抽象出空间图形和平面图形,从熟悉的线段、
射线、直线、角来研究图形的性质,丰富图形知识,积累几何学习经验。
代数式———用字母表示数后,数学的学习进入代数领域。通过学习数量的表示、
数量之间的关系、代数式的求值等,研究的问题更具一般化。
整式的加减———利用合并同类项和去括号法则,类比数的学习,可以较容易地学习
整式的加减运算,在运算的过程中,初步感悟代数推理的重要性。
一元一次方程———通过从现实问题中抽象出方程模型的过程,感受方程在解决实际
问题中的作用和优越性。在解一元一次方程时,体会程序化思想在解决问题中的作用。
同学们,在新学期里,让我们携手前行,一起走进数学新天地!
第一章 有理数
1
1.1 正数和负数
2
1.2 数轴
9
1.3 绝对值与相反数
12
1.4 有理数的大小
16
1.5 有理数的加法
20
1.6 有理数的减法
28
读一读 我国古代关于负数以及有
理数加减的记载
31
1.7 有理数的加减混合运算
32
1.8 有理数的乘法
36
1.9 有理数的除法
44
1.10 有理数的乘方
48
1.11 有理数的混合运算
51
回顾与反思
54
复习题
55
第二章 几何图形的初步认识 61
2.1 从生活中认识几何图形
62
2.2 线段、射线、直线
67
2.3 线段长短的比较
70
2.4 线段的和与差
74
2.5 角和角的度量
78
2.6 角大小的比较
82
2.7 角的和与差
86
2.8 平面图形的旋转
90
数学活动 有趣的七巧板
94
回顾与反思
95
复习题
97
第三章 代数式
101
3.1 用字母表示数
102
3.2 代数式
105
读一读 代数学的来源
113
3.3 数量之间的关系
114
3.4 代数式的值
118
数学活动 古老的传说 今日的
思索
124
回顾与反思
125
复习题
126
第四章 整式的加减
131
4.1 整式
132
4.2 合并同类项
138
4.3 去括号
145
4.4 整式的加减
148
回顾与反思
151
复习题
152
第五章 一元一次方程
155
5.1 等式与方程
156
5.2 一元一次方程
160
5.3 解一元一次方程
163
读一读 4=1?
168
5.4 一元一次方程的应用
169
回顾与反思
182
复习题
183
项目学习 主题活动(一)
做个小小会计师
186
项目学习 主题活动(二)
天宫空间站轨道长度变了
多少
187
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Ფ̺
2 ̺
4
0
1 ̺
1
2
4
2
数学 七年级上册
为了表示物体的个数,产生了自然数0,1,2,3,…;在分配物
品或测量时,产生了分数.随着社会的发展,我们原来学习的数已不能
满足生产、生活的需要,这时就需要引入新数———负数.
ᣲ
ᇉͩ͂ᷕ
甲汽车向东行驶3
km, 超市购进某种饮料100箱,
乙汽车向西行驶1
km. 超市售出这种饮料90箱.
图1.1 1
观察图1.1 1中的两幅图片,请根据图片下方的说明,思考以下问题:
(1)向东和向西,购进和售出所表达的意义具有怎样的关系呢?
(2)如果仅说3
km,1
km 和100箱,90箱,能完整地表达它们的意义
吗? 为什么?
向东和向西,购进和售出等,都具有相反的意义.所以,上面出现的每
一对量中的两个量,都是具有相反意义的量.
怎样用符号来表示具有相反意义的量呢?
第一章 有理数
3
观察图1.1 2,请回答下面的问题:
(1) (2)
图1.1 2
(1)在图1.1 2(1)中,21,188,100,80的含义分别是什么?
(2)在图1.1 2(2)中, “-4”与“3”这两个数所代表的含义有什么
不同?
一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为
正的,并在表示这个量的数的前面加上“+”(读作“正”)来表示;把与它
意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的数的前面加上“-”(读作
“负”)来表示.例如:规定收入为正、支出为负,则收入188元可表示为
+188元,读作“正188元”;支出21元可表示为-21元,读作“负21元”.
1.请仿照上述表示相反意义的量的方法,完成下表:
意义
表示方法
向北走
1.8
km
向南走
3
km
+1.8
km
盈利
30
%
亏损
20
%
+30
%
水位上升
30
cm
+30
cm
-50
cm
4
数学 七年级上册
2.用带“+”或“-”的数表示下列具有相反意义的量:
(1)如果超市购进某种饮料100箱记作+100箱,那么超市售出这种饮
料90箱可记作 箱.
(2)如果规定高于海平面记作正,那么,珠穆朗玛峰高于海平面
8
848.86
m 可记作
m,吐鲁番盆地最低点低于海平面154.31
m 可
记作
m.
(3)如果规定收入记作正,那么,小亮家的年收入126
800元可记作
元,“-77
800元”表示小亮家 (填“收入”或“支出”)了
77
800元.
1.下面哪对量是具有相反意义的量?
(1)在知识竞赛中,得20分和扣10分.
(2)一座水库蓄水量增加10
000
m
3 和减少12
000
m
3.
(3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客.
(4)长方形的周长是24
cm 和面积是27
cm
2.
2.填空:
(1)如果飞机上升200
m 记作+200
m,那么飞机下降300
m 可记作
m.
(2)如果规定铅球的质量高于标准质量的部分为正,低于标准质量的部
分为负,那么,甲铅球高于标准质量3
g可记作
g,乙铅球低于标
准质量2
g可记作
g.
(3)如果规定木材公司购进木材为正,售出木材为负,那么,该公司购进
木材2
000
m
3 可记作
m
3,售出木材1
500
m
3 可记作
m
3.
ȟM
A 组
1.请写出与下列各量具有相反意义的量:
(1)气温是零上8
℃.
第一章 有理数
5
(2)向南走100
m.
(3)转盘顺时针转3圈.
(4)甲地高于海平面500
m.
2.(1)如果升降机下降10
m 记作-10
m,那么上升15
m 记作什么?
(2)如果+40
000元表示在银行存入40
000元,那么-3
000元表示什么?
(3)某盐业公司加工的袋装食盐,如果超过标准质量1
g记作+1
g,那
么低于标准质量2
g记作什么?
B 组
3.某电商在网上销售一种水果,其每箱的标准质量为10
kg.现抽取6箱样
品进行检测,结果如下表:
每箱样品的质量/kg
10.2
9.9
10.3
9.8
9.7
10.4
如果规定高于标准质量的部分记作正,请分别用带“+”或“-”的数
表示样品质量与标准质量的差.
4.请举出一些具有相反意义的量的实例.
前面,我们用带“+”和“-”的数统一地表示出具有相反意义的量,
从而得到了-90,-154.31,-300等这样形式的数,它们都是在已学过的
数(0除外)的前面加上“-”得到的,这样的数叫作负数(negative
number);
+8
848.86,+126
800,+200等这样形式的数,都是在已学过的数(0除外)
的前面加上“+”得到的,这样的数叫作正数(positive
number).
正数中的“+”可以省略不写,如+1.8可以写成1.8,+100可以写
成100,等等.
某水库一监测点将水深为5
m 处的水面设定为警戒水位,规定超过警
戒水位的部分记为正,低于警戒水位的部分记为负.
(1)“+1
m”表示什么意义? 此时水库监测点的实际水深是多少米?
(2)“0
m”表示 ,此时水库监测点的实际水深是多少米?
(3)“-2
m”表示的意义是什么? 此时水库监测点的实际水深是多少米?
6
数学 七年级上册
0是正数和负
数的分界.
0既不是正数,也不是负数.
引入负数以后,我们学过的数可以分为:
正整数(如1,2,3,…);
正分数(如1
2,11
3,31
2,…);
0;
负整数(如-1,-2,-3,…);
负分数(如-1
4,-22
7,-83
4,…).
正整数、0和负整数统称为整数(
integer),正分数和负分数统称为分
数(fraction),整数和分数统称为有理数(rational
number).
事实上,任何分数都可以化为有限小数或无限循环小数;反过来,任何
有限小数或无限循环小数都能表示成分数.例如:0.16=(0.16×100)÷
100=16
100=4
25.
根据有理数的意义,我们知道有理数可作如下分类:
有理数
整数
分数
你能进一步将整数和分数分类吗? 有理数还有其他分类方法吗? 请把你
的想法与同学交流一下.
请把下列各数分别填入相应的圈内:
3,-1
2,0,12,
-6.5,7
8,-24.
正数
负数
整数
负分数
第一章 有理数
7
1.请判断下列各数哪些是正数,哪些是负数:
+12,-3,19,+0.4,0,3.14,+1
3,-2
5,-0.01.
2.有没有这样的有理数,它既不是正数,也不是负数? 如果有,请写
出来.
3.请把下列各数分别填入相应的圈内:
-7,4.8,+15,-3.5,-1
2,5
12.
正数
负数
ȟM
A 组
1.请用正数、负数表示下列各题中的量:
(1)冥王星离太阳非常远,接受的太阳能也非常少,表面温度一般在零
下180
℃左右,甚至可能低至约零下220
℃.
(2)位于南美洲安第斯山区的的的喀喀湖是世界上海拔最高的大淡水湖
之一,湖面高于海平面3
812
m.位于阿拉伯半岛的死海是世界上
海拔最低的湖泊,湖面低于地中海海面430.5
m.
2.请任意写出3个正数与3个负数:
正数:{
…}.
负数:{
…}.
3.通过查阅资料、交流研讨,了解把无限循环小数1.2
·
7
·
化为分数的方法.
8
数学 七年级上册
B 组
4.下列各数,哪些是整数但不是正数,哪些是分数但不是负数?
2,1
3,0,-7,0.24,-0.3,-2
9.
5.请把下列各数分别填入相应的圈内:
-2
3,-3
4,0.618,+15,1
3,-0.3,2
9,-12.
正整数
负整数
正数
负数
C 组
6.图纸上一个零件的标注为Φ30
+0.
02
-0.02,表示这个零件直径的标准尺寸是30
mm.
(1)合格产品的实际直径最小可以是29.98
mm,最大可以是多少毫米?
(2)另一个零件的标注为Φ■
+0.4
-0.4,该零件直径的标准尺寸有些模糊.
已知该零件的七个合格产品的直径分别为73.1
mm,72.7
mm,
72.8
mm,73.2
mm,72.9
mm,73.3
mm,72.6
mm,则该零件
直径的标准尺寸是多少毫米? (注:标准尺寸为整毫米数)
第一章 有理数
9
我们可以用直线上的点来表示自然数,并由此直观地反映出它们的
大小.那么,有理数可以用直线上的点来表示吗?
某市公交公司在一条东西方向的马路旁设置的部分站点如图1.2 1所
示,相邻两站点之间的距离均为2
km.
图1.2 1
1.如果你在其中一个站点处,怎样说明其他站点的位置呢?
2.以实验学校站为参照点,并用0表示该点,规定实验学校站以东的
位置用正数表示,实验学校站以西的位置用负数表示,以1
km 为单位长
度,请在图1.2 2中用有理数表示其他站点的位置.
图1.2 2
3.在实验学校站以东5.5
km处是华龙超市站,实验学校站以西5.5
km
处是东方商城站,请在图1.2 2中标出这两个站点的位置及其对应的有理数.
4.小亮在图1.2 2中用-6表示市第一医院站,请说明市第一医院站
相对于实验学校站的位置.
画一条水平的直线,在这条直线上任取一点作为原点,用这个点表示0,
规定这条直线上的一个方向(一般取从左到右的方向)为正方向,用箭头表
10
数学 七年级上册
示,相反的方向为负方向,选取某一长度作为单位长度,就得到了图1.2 3
所示的图形.
6
-5
-6
图1.2 3
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(number
axis).
观察图1.2 4所示的数轴上表示有理数的点A,B,C ,思考下面的
在数轴上,用
实心圆点来表示所
对应的有理数.
问题:
(1)每个点分别在原点的哪一侧?
(2)每个点到原点的距离分别是多少?
(3)每个点分别表示什么数?
图1.2 4
例 (1)在图1.2 5中,数轴上的点A,B,C,D 分别表示什么数?
图1.2 5
(2)请画一条数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:
1,-2,-3.5,
2.5,
0.
解:(1)点A 表示3,点B 表示-1,点C 表示-4,点D 表示0.
(2)如图1.2 6所示.
图1.2 6
事实上,每个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,也可以说,每个
有理数都对应数轴上的一个点.表示正有理数的点都在原点右侧,表示负有
理数的点都在原点左侧,表示0的点就是原点.
第一章 有理数
11
1.下面数轴上的点A,B,C,D 分别表示什么数?
5
4
3
2
1
6
(第1题)
2.请画一条数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:
1
3,
2,-4.5,
0,
5
2,
-0.5,
-1
4.
ȟM
A 组
1.请画一条数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:
-5,
-3
2,
1,
0,
3,
-0.4.
2.请在数轴上分别标出表示1与-1,1
2与-1
2,6与-6的点,并指出每
对点与原点的关系.
3.如图,已知一条直线上有四个点A,B,C,D,其中AB=2
cm,BC=
1
cm,CD=3
cm.请在给定的直线上确定一点作为原点,建立数轴,
并写出这四个点所表示的数.
(第3题)
B 组
4.数轴上一个表示负数的点到原点的距离等于8,这个点表示什么数?
5.数轴上一个点到原点的距离等于6.2,这个点表示什么数?
6.数轴上的点A 和点B 之间的距离是3个单位长度,并且这两个点到原点
的距离相等.请写出这两个数,并在数轴上标出这两个点.
12
数学 七年级上册
在数轴上有这样一些成对出现的点,它们到原点的距离相等,表示
的数的符号却相反.为了描述这类数的特征,我们需要学习绝对值和相
反数的知识.
小明家位于学校正东方向1
500
m 处,小亮家位于
学校正西方向1
500
m 处.请以学校为原点画一条数轴,
并把小明家和小亮家的位置在数轴上表示出来.你有什
么发现?
请画一条数轴,在数轴上标出表示4,-2,0的点,并写出这些点到原
点的距离.
在数轴上,表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(absolute
value).有理数a 的绝对值表示为a ,读作“a 的绝对值”.
在数轴上,表示4的点到原点的距离是4,所以4的绝对值是4,记作
4 =4;表示-2的点到原点的距离是2,所以-2的绝对值是2,记作
-2 =2;表示0的点到原点的距离是0,所以0的绝对值是0,记作
0 =0.
例1
请用数轴上的点表示下列各组数,并分别写出它们的绝对值.
①3,-3; ②5,-5; ③3
5,-3
5.
解:如图1.3 1所示.
图1.3 1
第一章 有理数
13
观察各点在数轴上的位置,得到
①
3 =3, -3 =3;
②5 =5, -5 =5;
③
3
5 =3
5,
-3
5 =3
5.
观察例1中的三组数在数轴上的位置和绝对值的大小,思考这三组数的
共同特点是什么,并与同学交流.
像3和-3,5和-5,3
5和-3
5等这样符号不同、绝对值相等的两个数,
我们称其中一个数是另一个数的相反数(opposite
number),也称这两个数
互为相反数.
规定0的相反数为0.
表示一个数的相反数时,可以在这个数的前面添加一个“-”.因此,
有理数a 的相反数可以表示为-a.
例如,-4的相反数可以表示为-(-4).
因为-4的相反数是4,所以-(-4)=4.
例2
请化简下列各数:
-(-11),-(+2),-(-3.75),
- +8
13
.
解:因为-11的相反数是11,所以-(-11)=11.
因为+2的相反数是-2,所以-(+2)=-2.
同理,-(-3.75)=3.75,- +8
13
=-8
13.
一个正数的绝对值与这个数有什么关系? 一个负数的绝对值与这个数有
什么关系? 0的绝对值是多少呢?
由绝对值的意义,可以得知:
一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0
的绝对值是0.
14
数学 七年级上册
例3 求下列各数的绝对值:
-3
8,+3
8,-2.5,
2.5.
解:
-3
8 =3
8,
互为相反数的两
个数的绝对值相等.
+3
8
=3
8,
-2.5 =2.5,
2.5 =2.5.
1.求下列各数的绝对值:
-5
3,7.5,-2.8,-3
4,+2.
2.填空:
(1)5.7的相反数是
. (2)-6的相反数是
.
(3)
的相反数是1
2.
(4)
的相反数是0.01.
3.下列各判断是否正确? 为什么?
(1)有理数的绝对值一定是正数.
(2)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数也相等.
(3)绝对值等于它本身的数一定不是负数.
(4)绝对值等于1的数有两个.
ȟM
A 组
1.请写出数轴上的点A,B,C,D 所表示的数的绝对值.
(第1题)
第一章 有理数
15
2.求下列各数的绝对值:
-9,-3.2,5
2,7
8,-3.14.
3.请分别写出下列各数的相反数:
-5,13,0,31
2,-(+1.35).
4.一个数的绝对值等于7,并且在数轴上表示它的点在原点的左侧.求这
个数.
B 组
5.请判断下列各结论是否正确:
(1)有理数的绝对值一定是非负数.
(2)正数的绝对值一定大于负数的绝对值.
(3)负数的绝对值都是正数.
6.请化简下列各数:
-(+5),-(-17),+(+1.2),+ -1
5
.
7.请写出下列各数:
(1)一个正数,它的绝对值等于7.2.
(2)一个负数,它的绝对值等于24.
(3)绝对值等于3
2的数.
16
数学 七年级上册
我们已经会比较两个正数的大小及正数与0的大小,那么怎样比较
两个有理数的大小呢?
某地7天最低气温的趋势预报如图1.4 1所示.
ཙᴰվ"$C Nᣕ
ᱏᵏа
ᴸᰕ
ᱏᵏҼ
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ሿM
L
ᱏᵏй
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ཊӁ
ᱏᵏ
ᴸᰕ
Ფ
ᱏᵏӄ
ᴸᰕ
ཊӁ
ᱏᵏޝ
ᴸᰕ
Ფ
ᱏᵏᰕ
ᴸ ᰕ
Ფ̺
2 ̺
4
0
1 ̺
1
2
4
图1.4 1
1.请按照由低到高的顺序把这7天的最低气温排列出来.
2.请把有理数-2,-4,0,1,-1,2,4表示在图1.4 2所示的数
轴上,并结合图1.4 1中气温的高低以及这些数在数轴上对应点的位置,判
断它们的大小.
图1.4 2
一般地,我们有:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
正数大于0,0大于负数,正数大于负数.
例1 请在数轴上表示3.5,-1,0,并将它们按从小到大的顺序用“<”
连接起来.
解:把3.5,-1,0在数轴上表示出来,如图1.4 3所示.
图1.4 3
第一章 有理数
17
将它们按从小到大的顺序排列为
-1<0<3.5.
1.请在数轴上表示-2,-3,并用“<”把这两个数连接起来.
2.求-2,-3的绝对值,并用“>”把这两个数的绝对值连接起来.
两个负数的大小与它们的绝对值有以下关系:
两个负数,绝对值大的反而小.
海拔是从平均海平面起算的高度,现规定高于平均海平面为正,低于平
均海平面为负.请以此为背景,谈谈你对下列结论的理解:
1.正数大于0,0大于负数,正数大于负数.
2.两个负数,绝对值大的反而小.
例2 请比较下列各组中两个数的大小:
(1)0和-6; (2)3和-4.4; (3)-3
4和-4
5.
解:(1)0>-6 (0大于负数).
(2)3>-4.4 (正数大于负数).
(3)
因为-3
4
=3
4=15
20, -4
5 =4
5=16
20,15
20<16
20,
所以-3
4>-4
5.
1.请在数轴上表示下列各数,并用“>”把这些数连接起来:
-8,0,-1
4,2
3,3
2,-5,0.5.
18
数学 七年级上册
2.请用“>”“<”或“=”填空:
(1)3
-9; (2)-5
-10;
(3)-22
7
-3.14;
(4) -0.25
1
4;
(5)-4
0;
(6)3.2
-4.8.
3.请比较下列各组中两个数的大小:
(1)0和-1;
(2)3和-4;
(3)-6
5和-11
10;
(4)-2
3和-3
4.
ȟM
A 组
1.请在数轴上表示下列各数,并用“<”把这些数连接起来:
-4,-3
4,-1,0,3.2,-0.45.
2.请比较下列各组中两个数的大小:
(1)3和-2;
(2)0和-9;
(3)-4和-7;
(4)-4
5和-7
9.
3.请将下列两组数分别按照从小到大的顺序,用线段把表示它们的点连接
起来,看看是什么图形.
(第3题)
第一章 有理数
19
4.请回答下列问题:
(1)有没有最小的负整数?
(2)有没有最大的负整数?
(3)有没有最小的正整数?
(4)有没有最大的正整数?
B 组
5.请比较下列各组中两个数的大小:
(1)-2
3和-5
7;
(2)- -7
8 和-8
9.
6.下表是我国几个城市某年1月份的日平均气温.请把气温按照由低到高
的顺序排列,并用“<”把表示气温的这些数连接起来.
北京
哈尔滨
广州
连云港
黑河
-8
℃
-19
℃
13
℃
0
℃
-29
℃
7.请写出符合下列要求的数:
(1)绝对值小于3的整数.
(2)绝对值小于或等于2的负整数.
20
数学 七年级上册
引入负数后,数的范围扩大为有理数.那么,如何在有理数范围内
进行加法运算呢?
某体育场在百米跑道的旁边安装了高速轨道摄
像机,用以记录运动员的比赛过程.在其中一段直
轨上测试摄像机时,工作人员使其每回连续运动两
次.规定初始位置为0,向前运动为正,向后运动
为负.先向前运动3
m,再向前运动2
m,两次运
动的结果为:向前运动了5
m.将运动方式表示在
数轴上,如图1.5 1所示.
图1.5 1
由运动方式和运动结果,可以得到算式:
(+3)+(+2)=+5.
1.先向后运动3
m,再向后运动2
m,两次运动的结果为:向后运动
了5
m.将运动方式表示在数轴上,如图1.5 2所示.
图1.5 2
由运动方式和运动结果,可以得到怎样的算式呢?
2.按下列要求填表:
(1)在表格中填写运动结果.
(2)在数轴上分别画出相应运动过程的示意图.
(3)列出相应的算式.
第一章 有理数
21
运动情况
运动结果
数轴表示
算式
先向前运动5
m,
再向后运动2
m
先向后运动5
m,
再向前运动2
m
先向前运动5
m,
再向后运动5
m
1.同号两数相加,怎样确定和的符号与和的绝对值?
2.异号两数相加,怎样确定和的符号与和的绝对值?
有理数加法(addition
of
rational
number)法则
同号两数相加,和取相同的符号,并把绝对值相加.
异号两数相加,绝对值相等时,和为0;绝对值不相等时,和取绝
对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
一个数同0相加,仍得这个数.
例1 计算:
(1)(-8)+(-5); (2)(+2.5)+(-2.5);
(3)(-5)+0;
(4) -1
2
+ +1
3
.
解:(1) (-8)+(-5)
=-(8+5)
=-13.
(2) (+2.5)+(-2.5)
=0.
22
数学 七年级上册
(3) (-5)+0
=-5.
(4) -1
2
+ +1
3
=- 1
2-1
3
=-1
6.
图1.5 3
例2 2020年11月10日,我国“奋斗
者”号载人潜水器在马里亚纳海沟
成功坐底,坐底深度为10
909
m.
如图1.
5 3,海平面的高度为0
m,
潜水器坐底成功后顺利返航.当从
坐底位置上升3
000
m 时,求潜水
器相对于海平面的位置.
解:潜水器下潜10
909
m,记作
-10
909
m;上升3
000
m,
记作+3
000
m.根据题意,得
(-10
909)+(+3
000)
=-(10
909-3
000)
=-7
909(m).
答:当从坐底位置上升3
000
m时,潜水器位于海平面下7
909
m处.
1.计算:
(1)(-3)+(-11); (2)(+3.8)+(-3.8);
(3)(-13)+(+11);
(4) -4
3
+ +3
4
;
第一章 有理数
23
(5)(-99)+0;
(6) -1
4
+ -1
3
.
2.两个有理数相加,和一定大于每个加数吗? 为什么?
ȟM
A 组
1.计算:
(1)(-5)+(-2); (2)(+4)+(-8);
(3)0+(-6);
(4)(+13)+(-2);
(5) -1
2
+ +1
4
;
(6) -1
3
+ -1
3
.
2.热气球从地面上先上升1
000
m 后,又下降了150
m.请用有理数加法
计算热气球实际上升了多少米.
3.从图(1)中找规律,并按此规律在图(2)的空格里填上合适的数.
(1) (2)
(第3题)
B 组
4.某水库昨天的水位下降了15
cm,今天的水位又上升了8
cm.如果将水
位上升记为正,水位下降记为负,请用有理数的加法算式表示出这两天
水位的变化结果.
5.一个点到原点的距离是2个单位长度,另一个点到原点的距离是3个单位
长度,这两个点分别在原点的两侧.这两个点表示的有理数的和是多少?
24
数学 七年级上册
5+(-13)=-8,
(-13)+5=-8.
(-4)+(-8)=-12,
(-8)+(-4)=-12.
(1)
(2)
1.在上面的两组算式中,每组中两个算式的计算结果都相等.观察两
个加数的特征,你有怎样的思考?
2.请举出一组具有上述特征的算式并计算一下,看看结果还相等吗.
3.你能用字母将上述关系表示出来吗?
事实上,有理数的加法仍满足交换律.
加法交换律(commutative
law)
两个数相加,交换加数的位置,和不变.
a+b=b+a.
计算:
(1)[3+(-8)]+(-4)= ,3+[(-8)+(-4)]= ;
(2)[(-6)+(-12)]+15= ,(-6)+[(-12)+15]= .
上面两组算式的计算结果也分别相等.
事实上,有理数的加法仍满足结合律.
加法结合律(associative
law)
三个数相加,先把前两个数相加再和第三个数相加,或先把后两个
数相加再和第一个数相加,和不变.
(a+b)+c=a+(
b+c).
例3 计算:
(1)(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+3.7;
(2)1
6+ -1
3
+ -2
3
+ -5
6
.
第一章 有理数
25
解:(1) (-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+3.7
=(-2.4)+(-4.6)+(-3.7)+3.7
= (-2.4)+(-4.6)
+ (-3.7)+3.7
在进行多个有理数的
加法运算时,运用运算律
可以简化运算过程.
=(-7)+0
=-7.
(2) 1
6+ -1
3
+ -2
3
+ -5
6
=1
6+ -5
6
+ -1
3
+ -2
3
= 1
6+ -5
6
+
-1
3
+ -2
3
= -2
3
+(-1)
=-5
3.
例4 某股民以每股38.5元的价格持有某只股票.下表为一周内该股票的
涨跌情况:
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
每股涨跌/元
-1.8
+0.6
+1.5
-0.2
+0.4
在星期五收盘时,该股票每股的价格是多少元?
解:根据题意,得
38.5+(-1.8)+(+0.6)+(+1.5)+(-0.2)+(+0.4)
=38.5+(+1.5)+(-1.8)+(-0.2)+(+0.6)+(+0.4)
=[38.5+(+1.5)]+[(-1.8)+(-0.2)]+[(+0.6)+(+0.4)]
=40+(-2)+(+1)
=38+(+1)
=39(元).
答:在星期五收盘时,该股票每股的价格是39元.
26
数学 七年级上册
1.用简便方法计算:
(1)(-4)+17+(-36)+73; (2) -5
6
+1
5+11
6+ -4
5
.
2.育英学校的气象小组记录了星期一几个时刻的气温:8时为-3
℃,
到12时上升了6
℃,到17时又下降了2
℃.17时的气温是多少摄氏度?
3.一次知识竞赛的记分办法是:基础分为100分,答对一题得10分,
不答得0分,答错一题得-10分.某队在这次知识竞赛中的得分情况是:
-10分,0分,10分,10分,10分,-10分,10分.那么,这个队的最
后得分是多少分?
ȟM
A 组
1.计算:
(1)(-5)+7+(-4)+5;
(2)4+(-3)+(-2)+(-1)+2;
(3)(-6)+(-44)+13+17;
(4)(-26)+(-22)+9+(-18)+15;
(5)(-0.7)+1.3+(-0.8)+(-2.1)+0.9;
(6)1
2+ -2
3
+ -1
3
+ -1
2
.
2.某餐馆一周每天的盈亏情况(盈余为正,亏损为负)如下:
-82元,-56元,672元,-125元,85元,596元,455元.
这一周总的盈亏数额是多少元?
3.李爷爷的银行卡上原有1
000元钱,近一段时间的存取情况(存入为正,
取出为负)如下:
-240元,+350元,+220元,-130元,-470元.
李爷爷的银行卡上现在有多少元钱? (不计利息)
第一章 有理数
27
B 组
4.某种商品在一周内的进出货情况如下:
时间
进出货情况
星期一
出货83箱
星期二
出货62箱,进货200箱
星期三
出货28箱
星期四
出货140箱
星期五
出货94箱,进货100箱
请用有理数表示进出货量,并通过计算说明:到该周末,这种商品的库
存量是增加了还是减少了?
C 组
5.调查本班学生的身高情况,然后根据获得的数据,设计一个你认为的最
佳方案,计算出全班学生的平均身高.
28
数学 七年级上册
我们已经掌握了有理数的加法运算,那么,如何进行有理数的减法
运算呢?
城市
最高气温/℃
最低气温/℃
昆明
16
5
沈阳
-9
-16
北京
-1
-9
右表是部分城市某日最
高气温和最低气温的统计表.
我们知道,温差=最高
气温-最低气温.
1.根据上表中的数据,解决下面的问题:
(1)分别填写表示各城市温差的算式以及从温度计上的刻度观察到的温差.
城市
表示温差的算式
观察到的温差/℃
昆明
16-5
11
沈阳
北京
(2)表示温差的算式与观察到的温差之间有什么关系?
2.计算:
(1)16+(-5)=
;
(2)(-9)+(+16)=
;
(3)(-1)+(+9)=
.
3.比较下列各组算式,说说怎样把减法运算转化为加法运算.
(1)
16-5,16+(-5);
(2)
(-9)-(-16),(-9)+(+16);
(3)
(-1)-(-9),(-1)+(+9).
有理数减法(subtraction
of
rational
number)法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数.
第一章 有理数
29
例 计算:
(1)6-(-8);
(2)
(-2)-3;
(3)(-3)-(-7); (4)
0-4;
(5)5+(-3)-(-2);
(6)(-5)-(-2.4)+(-1).
减法转化为加法
时,减数一定要改变
符号!
解:(1)6-(-8)=6+(+8)=14.
(2)(-2)-3=(-2)+(-3)=-5.
(3)(-3)-(-7)=(-3)+7=4.
(4)0-4=0+(-4)=-4.
(5)5+(-3)-(-2)=5+(-3)+2=4.
(6)(-5)-(-2.4)+(-1)=(-5)+2.4+(-1)=-3.6.
我国航天科技飞速发展,2019年1月3日,嫦娥四号探测器成功着陆月
球背面,实现了人类探测器首次在月球背面软着陆.研究表明:月球表面最
高温度约为160
℃,最低温度约为-180
℃.月球表面的温差约为多少摄氏度?
1.计算:
(1)11-(-8); (2)(-4)-(-5);
(3)(-6)-2.3;
(4)
4-11;
(5)(-35)-0;
(6)
0-(-35).
2.小明家蔬菜大棚内的温度是24
℃,此时棚
外的温度是-3
℃.棚内温度比棚外温度高多少摄
氏度?
ȟM
A 组
1.计算:
(1)(-37)-12; (2)11-(-17);
(3)(-14)-(-16);
(4)(-2.7)-(-2.7);
30
数学 七年级上册
(5) -1
3
-0;
(6)3-12.
2.请在下面的圈里填上输出的数:
输入 输出
-4
-(-3)
→
40.5
→
-3
→
0
→
-3
5
→
(第2题)
3.珠穆朗玛峰的海拔为8
848.86
m,吐鲁番盆地最低点的海拔为-154.31
m.
那么,珠穆朗玛峰最高点比吐鲁番盆地最低点高多少米?
4.求下列各式中的x:
(1)10+x=2;
(2)x+(-3)=-7;
(3)(-4.2)+x=0;
(4)x-(-2)=-1.
B 组
5.水银的凝固点是-38.87
℃,酒精的凝固点是-117.3
℃.那么,水银
的凝固点比酒精的凝固点高多少摄氏度?
6.下表为不同城市某一天的最高气温、最低气温及温差的记录表.请将下
表补充完整.
城市
北京
广州
杭州
武汉
南京
哈尔滨
最高气温/℃
0
16
10
6
-13
最低气温/℃
-9
3
-1
-3
-4
温差/℃
9
10
第一章 有理数
31
我国古代关于负数以及有理数加减的记载
负数的引进,是我国古代数学家对数学的一个巨大贡献.我国古代传
统数学重要著作《九章算术》,其第八章“方程”部分在解方程时遇到了
较小的数减去较大的数的情形,还遇到了增加与减少、盈余与亏损等互为
相反意义的量,这样,就自然地引入了负数.如负数出现在方程的系数和
常数项中,把“卖(收入钱)”作为正,“买(付出钱)”作为负;把“余钱”
作为正,“不足钱”作为负.在关于粮谷计算的问题中,是以“益实(增加
粮谷)”为正,“损实(减少粮谷)”为负.魏晋数学家刘徽(生卒年不详)在
其所著的《九章算术注》中指出:“今两算得失相反,要令正、负以名之.”
当时是用算筹来进行计算的,所以在算筹中,相应地规定以红筹为正,黑
筹为负;或将算筹直列作为正,斜置作为负.这样,遇到具有相反意义的
量,就能用正负数明确地区别了.
《九章算术》除了引进正负数的概念外,还完整地记载了正负数的加
减法则.这就是书中解方程时用到的“正负术”,即“同名相除,异名相
益.正无人负之,负无人正之.其异名相除,同名相益.正无人正之,负
无人负之”.这段话的前四句说的是正负数减法法则,后四句说的是正负
数加法法则.它的意思是:同号两数相减,差等于其绝对值相减;异号两
数相减,差等于其绝对值相加;零减正数得负数,零减负数得正数.异号
两数相加,和等于其绝对值相减;同号两数相加,和等于其绝对值相加;
零加正数得正数,零加负数得负数.当然,从现代数学观点看,古书中的
文字叙述不够严谨,但直到公元17世纪,这还是对正负数加减运算最完
整的叙述.
32
数学 七年级上册
在进行有理数的加减混合运算时,我们可以先将减法转化为加法,
再按照有理数加法法则来进行运算.
北京冬奥会的开幕式于2022年2月4日在
国家体育场举行.当日,北京市的最低气温是
-6
℃.北京冬奥会张家口赛区位于张家口市崇
礼区,该地当日的最低气温是-21
℃,最高气
温是-11
℃,并且张家口市崇礼区的温差比北京市的温差大3
℃.
(1)张家口市崇礼区当日的温差是多少摄氏度?
(2)北京市当日的温差是多少摄氏度?
(3)北京市当日的最高气温是多少摄氏度?
北京市当日的最高气温可以用下面的方式直接求出:
[(-11)-(-21)]-(+3)+(-6)
=(-11)+(+21)+(-3)+(-6)
=1(℃).
根据有理数减法法则,可将有理数的加减混合运算统一成加法运算.统
一成加法运算后,通常把各个加数的括号及其前面的运算符号“+”省略不
写.如
(-11)+(+21)+(-3)+(-6)
可写成
-11+21-3-6.
它表示-11,21,-3与-6的和,读作“负11,正21,负3与负6的和”,
或读作“负11加21减3减6”.
在进行有理数的加减混合运算时,常常利用加法的交换律和结合律简化
运算过程.
第一章 有理数
33
例
计算:
(1)3-4+9-2;
(2)
0.25-1
8-7
8-3
4.
运用加法交换律交
换加数的位置时,要连
同前面的符号一起交换.
解:(1) 3-4+9-2
= (3+9)+(-4-2)
=12-6
=6.
(2) 0.25-1
8-7
8-3
4
=1
4-1
8-7
8-3
4
= 1
4-3
4
+ -1
8-7
8
=-1
2-1
=-11
2.
1.请把下列各式写成省略加号的形式:
(1)(-5)-(-4)+(-7)-(+2);
(2) -2
3
+ -7
6
- -3
4
- +1
4
.
2.计算:
(1)0-1+2-3+4-5;
(2)4.5-2.3+2.5-3.7+2;
(3)-7
5+5
3-3
5-2
3;
(4)-1
3+3
4-5
6+1
2.
34
数学 七年级上册
ȟM
A 组
1.计算:
(1)0-2+4-6+8;
(2)-14+3.2-6+3.5+0.3;
(3)27-13-4-25;
(4)7.2-3.6-3.6+2.5.
2.计算:
(1)1
2-1
3-1
4+2
3;
(2)1
2-3
4+5
6-1
12;
(3)-3
5-1
2+3
4-2
5+0.5;
(4)-22
3+31
4-1
3-11
4.
3.请列式并计算:
(1)一个数与-2
11的和等于-1
3,这个数是多少?
(2)-2减去-1
3与1
2的和,差是多少?
B 组
4.计算:
(1)39.1-21.9-10.5-3;
(2)3
4-13
3+5
6-7
12;
(3) -5
2 +3.5+ -21
2
;
(4) -38
11 - +27
10 - +19
11 + -9
5 .
第一章 有理数
35
5.下表是某水文站在雨季对某条河一周内水位变化情况的记录(上升为正,
下降为负).
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
水位变化量/m
+0.4
-0.4
-0.3
+0.2
+0.2
+0.1
-0.3
注:①表中记录的数据为每天中午12时的水位与前一天中午12时水位
相比的变化量.
②上星期日中午12时的水位高度为2
m.
(1)请通过计算说明本周日与上周日相比,水位是上升了还是下降了.
(2)请用折线连接该周每天的水位,并根据折线图说明水位的升降趋势.
36
数学 七年级上册
我们学过的乘法,乘数都是正数或0.在有理数范围内,如何进行
乘法运算呢?
通过测量某学校实验楼的楼梯得知,每级台阶的高
都是15
cm.现在规定:一楼大厅地面的高度为0
cm,
从一楼大厅往楼上方向为正方向,从一楼大厅往地下室
方向为负方向.
小亮从一楼大厅向楼上走1,2,3,4级台阶时,他
所在的高度分别为
15×1=15(cm); 15×2=30(cm);
15×3=45(cm); 15×4=60(cm).
1.请在下面的横线上分别填写大华从一楼大厅向地下室走1,2,3,4
级台阶时,他所在的高度:
(-15)×1=
(cm); (-15)×2=
(cm);
(-15)×3=
(cm);
(-15)×4=
(cm).
2.
比较上面的两组算式,你认为当两数相乘时,如果把一个因数换成
它的相反数,那么它们的乘积有什么关系?
3.根据你的判断,写出以下各式的结果.
(-15)×(-1)=
;
(-15)×(-2)=
;
(-15)×(-3)=
;
(-15)×(-4)=
.
通过以上探究,我们发现:
两数相乘,把一个因数换成它的相反数,所得的积应为原来的积的相反数.
例如:
第一章 有理数
37
（-15）×（-3）= 45.
于是应该有
(-15)×(-3)=45.
此外,当有一个因数是0时,积也是0.如:
15×0=0, 0×(-15)=0.
有理数乘法(multiplication
of
rational
number)法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把这两数的绝对值相乘.
任何数同0相乘,仍得0.
例1 计算:
(1)(-3)×7; (2)0.1×(-100);
(3)(-6)× -1
6
;
(4) -1
2
× -1
3
.
解:(1) (-3)×7
=-(3×7)
=-21.
(2) 0.1×(-100)
=-(0.1×100)
=-10.
(3) (-6)× -1
6
=+(6×1
6)
=1.
(4) -1
2
× -1
3
=+ 1
2×1
3
=1
6.
38
数学 七年级上册
如果两个有理数的乘积是1,那么我们称其中一个数为另一个数的倒
数(reciprocal),也称这两个有理数互为倒数.例如,-1
6是-6的倒数,
-1
6和-6互为倒数;2是1
2的倒数,2和1
2互为倒数.0没有倒数.
显然,一个正数的倒数是正数,一个负数的倒数是负数.
例2 通常情况下,海拔每增加1
km,气温就降
低大约6
℃(气温降低记为负).某校七年级
科技兴趣小组在海拔为1
000
m 的山腰上测
得气温为12
℃.请推算此山海拔为3
500
m
处的气温大约是多少摄氏度.
解:1
000
m=1
km,3
500
m=3.5
km.
12+(-6)×(3.5-1)
=12+(-15)
=12-15
=-3(℃).
答:此山海拔为3
500
m 处的气温大约是零下3
℃.
1.不计算,说出下列两数积的符号:
(1)3×5; (2)(-2)×4; (3)9×(-1); (4)(-4)×(-6).
2.写出下列各数的倒数:
1,-2,-3
2,3.5.
3.计算:
(1)(-5)×(-12);
(2)8×(-0.25);
(3) -3
8
× -16
3
;
(4) -11
7
×0;
(5)4
3× -1
2
;
(6) -4
3
× -3
4
.
第一章 有理数
39
ȟM
A 组
1.计算:
(1)(-4.5)×0.2;
(2)(-6)×(-5);
(3)1.25×(-4);
(4)(-2)×(-4).
2.(1)-1的倒数是
,11
3的倒数是
.
(2)
的倒数是-8
7,
的倒数是-0.2.
3.将图中输入的数分别乘-3,写出输出的数.
输入 输出
7
→
-21
3
→
0
→
-1
→
-5
→
×(-3)
(第3题)
B 组
4.计算:
(1)(-8)×(-0.125); (2)4
5× -25
6
;
(3) -1
4
× -8
9
;
(4) -8
7
× -21
8
.
5.一根金属棒,当温度是20
℃时,长为5
cm.温度每升高或降低1
℃,它
的长度就随之伸长或缩短0.000
5
cm.求温度为10
℃时该金属棒的长度.
40
数学 七年级上册
计算:
(1)(-4)×8=
, 8×(-4)=
;
(-5)×(-7)=
,
(-7)×(-5)=
.
(2)[(-3)×2]×(-5)=
,
(-3)×[2×(-5)]=
;
(-4)× -1
2
×(-6)=
,
(-4)×
-1
2
×(-6)
=
.
(3)(-6)× 1
2+ -1
3
=
,
(-6)×1
2+(-6)× -1
3
=
.
通过比较上面各组算式及运算结果,你认为以前学过的乘法交换律、乘
法结合律和乘法对加法的分配律,在有理数范围内还成立吗? 请与同学交流
一下你的看法.
事实上,在有理数范围内,我们仍然有:
乘法运算律
乘法交换律:a×b=b×a.
乘法结合律:(a×b)×c=a×(
b×c).
乘法对加法的分配律:a×(
b+c)=a×b+a×c.
例3 计算:
(1)(-0.25)× -1
6
×(-4);
(2)(-8)×(-6)×(-0.5)×1
3;
第一章 有理数
41
(3)(-24)× -2
3+3
4+1
12
.
解:(1)
(-0.25)× -1
6
×(-4)
=(-0.25)×(-4)× -1
6
=[(-0.25)×(-4)]× -1
6
=1× -1
6
=-1
6.
(2)
(-8)×(-6)×(-0.5)×1
3
=(-8)×(-0.5)×(-6)×1
3
=[(-8)×(-0.5)]× (-6)×1
3
=4×(-2)
=-8.
(3) (-24)× -2
3+3
4+1
12
=(-24)× -2
3
+(-24)×3
4+(-24)×1
12
=16-18-2
=-4.
1.计算:
(1)1×2×3×4=
;
(2)(-1)×2×3×4=
;
(3)(-1)×(-2)×3×4=
;
42
数学 七年级上册
(4)(-1)×(-2)×(-3)×4=
;
(5)(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=
.
2.通过上面的计算,请填写下表:
算式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
负因数的个数
积的符号
3.根据表中填写的结果,你认为当几个不为0的数相乘时,积的符号
与负因数的个数之间有怎样的关系?
由此,我们得到:
几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定:当负因数有
奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.
几个数相乘,如果有一个因数为0,积就为0.
1.不计算,说出下列各式积的符号:
(1)(-1)×(-2)×(-3)×2;
(2)(-2)×3×4×(-5).
2.计算:
(1)(-2)×5×(-0.25);
(2)100×15×(-0.01);
(3) -1
2
× -2
3
× -3
4
;
(4)30× 1
2-1
3
.
3.怎样计算-1
7
×1
5+ -1
7
×4
5更简便?
第一章 有理数
43
ȟM
A 组
1.计算:
(1)(-4)×(-5)×1
4;
(2)100×(-5)×0.01;
(3)24× 1
2-1
6+1
8
;
(4) 1
5-1
2-5
12
×60.
2.计算:
(1)3.5×(-9)×2
7;
(2) -5
6
×(-2.4)× -2
5
;
(3) 7
9-5
6+3
4
×(-36);
(4) -4
5
×2
3× -5
4
×3
2.
B 组
3.计算:
(1)1.25× -81
20
×(-8);
(2)(-9)× -5
4
×(-0.8)×1
3;
(3) -3
4
× -8+10
3-1
2
;
(4)5
6×(-9)+5
6×(-15).
C 组
4.(1)请把-1,-2,3,-4,-5,6,-7,-8,9分别填在下方左图
的空格里,使每行、每列、每条对角线上三个数的积都是正数.
(2)请把-1,2,3,4,-5,6,7,8,-9分别填在下方右图的空格
里,使每行、每列、每条对角线上三个数的积都是负数.
(第4题)
44
数学 七年级上册
我们知道,除法是乘法的逆运算.那么,在学习了有理数的乘法运
算后,如何利用逆运算进行有理数的除法运算呢?
我们已经知道:(-4)×(-3)=12.求12÷(-3)的结果,就是求一个
数,使它与-3相乘等于12,所以
12÷(-3)=-4.
1.填空:
(1)8×9=72,72÷9= ,72×1
9
= ;
(2)2×(-3)=-6,(-6)÷2= ,(-6)×1
2= ;
(3)
(-4)×2=-8,(-8)÷(-4)= ,(-8)× -1
4
= .
2.观察上面的计算结果以及算式的特点,你能得到怎样的结论?
3.请再举出具有上述特点的两组算式,验证你的结论.
事实上,我们有:
有理数除法(division
of
rational
number)法则
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
1.同号两数相除,商的符号怎样确定,结果等于什么?
2.异号两数相除,商的符号怎样确定,结果等于什么?
3.0除以任何一个不等于0的数,结果等于什么?
第一章 有理数
45
两数相除,同号得正,异号得负,并把这两数的绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
在进行两个有理数的除法运算时,既可以先确定商的符号,再将绝对值
相除,也可以将除法转化为乘法来进行.
例1 计算:
(1)(-105)÷7; (2)6÷ -1
4
; (3)(-0.09)÷(-0.3).
解:(1) (-105)÷7
=-(105÷7)
=-15.
(2) 6÷ -1
4
=6×(-4)
=-24.
(3) (-0.09)÷(-0.3)
=+(0.09÷0.3)
=0.3.
例2 计算:
(1) -3
4
÷(-6)÷ -9
4
; (2) 5
12-5
9
÷ -5
36
.
a÷b÷c这样的
式子是指(
a÷b)÷c.
解:(1) -3
4
÷(-6)÷ -9
4
= -3
4
× -1
6
× -4
9
=- 3
4×4
9×1
6
=-1
18.
46
数学 七年级上册
(2) 5
12-5
9
÷ -5
36
= 5
12+ -5
9
× -36
5
=5
12× -36
5
+ -5
9
× -36
5
=-3+4
=1.
1.计算:
(1)(-84)÷7; (2)(-15)÷(-3);
(3)1
2÷ -2
3
;
(4)(-1.25)÷1
8;
(5)0÷ -7
18
;
(6)8
5÷(-4).
2.计算:
(1)100÷(-4);
(2) -12
25
÷3
5;
(3)8
7÷ -2
7
;
(4)(-3)÷ -2
3
÷ -5
2
.
ȟM
A 组
1.计算:
(1)4
7÷(-12);
(2)(-378)÷(-7);
(3)7
3÷(-0.35);
(4) -8
7
÷ -4
3
.
第一章 有理数
47
2.将输入的数分别除以-4
3,请写出输出的数.
输入 输出
-4
→
3
4
3
→
0
→
1
→
-2.5
→
÷ -4
3
(第2题)
B 组
3.计算:
(1)(-189)÷(-9)÷7;
(2)(-0.75)÷5
16÷(-1.2);
(3)(-3.5)÷7
8÷ -4
3
;
(4) -1
4
÷ -2
3
÷ -5
8
.
C 组
4.一袋大米的标准质量是25
kg.超过标准的质量用正数表示,不足标准的
质量用负数表示.现有10袋大米,记录如下:(单位:kg)
-0.4,-0.5,+0.3,-0.3,+0.5,
0, -0.1,+0.2,-0.6,-0.1.
请根据记录,算出这10袋大米的平均质量.
48
数学 七年级上册
在一些问题中,我们会遇到几个相同因数相乘的式子.那么,怎样
简捷地表示这样的式子呢?
我们知道,1
m=10
dm,1
dm=10
cm,1
cm=10
mm.这样就有
1
m
=10×1
dm
=10×10×1
cm
=10×10×10×1
mm
=10×10×10
mm.
在这里,10×10,10×10×10都是相同因数相乘,为方便起见,我们
把10×10记作10
2,读作“10的2次方(或10的平方)”;把10×10×10记
作10
3,读作“10的3次方(或10的立方)”.
请仿照上面的记数方法表示下列各式:
(1)5×5×5记作
;
(2)(-4)×(-4)×(-4)×(-4)记作
;
(3) -1
2
× -1
2
× -1
2
× -1
2
× -1
2
记作
;
(4)m×m×m×m×m×m 记作
.
一般地,n 个相同的数a 相乘, a×a×a×…×a
n个a
记作a
n,即
a×a×a×…×a
n个a
=a
n.
像这种求n个相同因数的积的运算叫作乘方(power).乘方的结果a
n叫作
幂(power).在a
n中,a 叫作底数(base
number),n 叫作指数(exponent),
a
n读作“a 的n 次幂(或a 的n 次方)”.
第一章 有理数
49
底数
an
→ ←
指数
↑
幂(乘方的结果)
如2
3 中,底数是2,指数是3,2
3 读作“2的3次幂(或2的3次方,或
2的立方)”.
一个数可以看作这个数本身的一次方,如5就是5
1.通常指数为1时可
以省略不写.
例 计算:
(1)(-4)
3; (2) -1
3
4
; (3)-2
6.
解:(1)(-4)
3=(-4)×(-4)×(-4)=-64.
(2) -1
3
4
= -1
3
× -1
3
× -1
3
× -1
3
=1
81.
(3)-2
6=-2×2×2×2×2×2=-64.
1.请计算并填表:
(-2)
1
(-2)
2
(-2)
3
(-2)
4
(-2)
5
(-2)
6
…
…
2.上表中计算结果的符号有什么规律?
事实上,正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次
幂是正数.
1.请指出下列各式表示的意义:
4
3,3
10,5
4, -1
3
10
,(-5)
4.
50
数学 七年级上册
2.计算:
(1)(-5)
2; (2) -3
4
3
; (3) -1
10
4
; (4) -1
5
3
;
(5)(-10)
2; (6)(-10)
3;
(7)(-10)
4;
(8)(-10)
7.
ȟM
A 组
1.计算:
(1)(-3)
2;(2)-3
2;(3)(-3)
3;(4)(-1.7)
2;(5) -1
2
5
.
2.请判断下列各式计算结果的正负:
(1)(-2)
9;(2)-3
10;(3)(-0.002)
7;(4) -1
3
8
.
3.一个数的平方是4,这个数是多少?
B 组
4.某药厂生产了一批新药,装箱后存放在仓库中,并按10×10×10箱一堆
的方式摞放,共摞放了10堆.已知每箱装100瓶药,每瓶装100片药.
(1)这批药共有多少箱?
(2)这批药共有多少片?
5.一种放射性物质,每经过一年,它的剩余量变为原来的84%.假设这种
物质现在的总量为1.
(1)请填写下表:
经过时间/年
1
2
3
4
5
…
n
…
剩余量
…
…
(2)几年后这种物质的剩余量约为现在的一半?
第一章 有理数
51
在含有加、减、乘、除及乘方等运算的式子中,我们应按照一定的
顺序进行计算,并求得结果.
在算式18-32÷8+(-2)
2×5中含有多种运算,像这样的运算叫作有
理数的混合运算.
有理数的混合运算应按下面的顺序进行:
先算乘方,再算乘除,最后算加减.
如果有括号,要先算括号里面的.
这样就有
18-32÷8+(-2)
2×5
=18-32÷8+4×5
=18-4+20
=34.
例1 计算:(1)3
5× 1
3-1
2
÷5
4; (2)(-2)
3-1
6×5-1
6×(-3
2).
解:(1)原式=3
5× -1
6
×4
5
=-2
25.
(2)原式=-8-1
6×5-1
6×(-9)
=-8-1
6×(5-9)
=-8+2
3
=-22
3.
52
数学 七年级上册
计算:
(1)1.2× -3
4
-(-1.5)÷5
6;
(2)(-2)
3×0.5-(-1.6)
2× -1
4
.
例2 面粉厂生产的一种面粉以25
kg为标准质量,抽检10袋面粉的质量,
其与标准质量的差值情况如下表所示: (比25
kg多和少的面粉质量
分别记为正和负)
袋数
2
2
3
3
差值/kg
-0.15
-0.10
0
+0.10
求这10袋面粉的平均质量.
解:根据题意,得
25+[(-0.15)×2+(-0.10)×2+0×3+(+0.10)×3]÷10
=25+(-0.30-0.20+0.30)÷10
=24.98(kg).
答:这10袋面粉的平均质量为24.98
kg.
1.请说出下列各式的运算顺序:
(1)-2
3+4
9× -2
3
2
; (2) 1
2
2
÷ (-4)- -3
4
.
2.计算:
(1)(-3)×(-5)-45÷(-15);
(2)3×(-4)+(-28)÷7;
(3)-3
4× -3
2× -2
3
2
-(-2)
3
; (4) -9
4
× -4+8
3-16
9
.
第一章 有理数
53
3.探空气球探测表明,某地的地面气温是20
℃时,10
km 高空的气温
是-38
℃.如果气温是随高度的上升而均匀下降的,那么每升高1
km,气
温下降多少摄氏度?
ȟM
A 组
1.计算:
(1)4×(-3)÷6; (2)2
3+(-3)×(-2)
2.
2.一个气象站每天记录2时,8时,14时,20时四个时刻的气温,并把它
们的平均数作为这天的平均气温.现测得冬季某天四个时刻的气温是:
2时,-12
℃;8时,-9
℃;14时,3
℃;20时,-4
℃.这天的平
均气温是多少摄氏度?
3.计算:
(1)(-1)
6-1
2×[-2-(-3)
2]+1
2;
(2)(-2)
3×0.5-(-1.5)
2×4;
(3)(-1)
5× -3
2× -2
3
2
-2
× -3
2
;
(4)(-25)×3
2-(-25)×5
8+(-25)÷8.
B 组
4.计算:
(1)-5
2+56
5÷(-2)
2× -5
14
;(2)(-1)
3-(-1)
2÷
-1
2
2
-3
4
.
5.猜猜“我”是谁.
(1)“我”的倒数是“我”;同时,谁与“我”的积都是它的相反数.
(2)“我”与-4的和等于-5的平方.
(3)“我”除以-3的商,等于6与-4的积.
54
数学 七年级上册
一、知识结构
Ұ ኇֹ
͝
ቝᮽ
ᅭ
ᅭ ቝߧ ຑ᪲
ᅭ ቝᐣ
ᅭ ቝ Ҭจ
᪤Ƞᓘ єȠኇֹ
ԶȠӝȠͨ
ȠᴍȠͨ
ᅭ ቝྞ
ןᐣ
ᅭ ቝᐣ
二、总结与反思
1.有理数.
为了表示现实生活中具有相反意义的量,需要引入负数,从而数的范围扩
大到了有理数,实现了数的一次扩充.
在给有理数分类时,依据的标准不同,分类的形式也不一样.但不管采用
哪种方式分类,都应该遵循不重不漏的原则.
有理数可以按下面的两种方法进行分类:
2.数轴.
(1)利用数轴,可以将任意一个有理数用“点”直观地表示出来.这种数
形结合的方法,是我们在今后的学习中经常使用的一种方法.
(
2)数轴上的点表示的数是有序的,右边的数总比左边的数大.据此,可
以比较有理数的大小.
3.绝对值.
一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值
是0.
第一章 有理数
55
一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离.
(1)要确定一个数在数轴上的位置,一是看符号,二是看绝对值.
(2)任何一个有理数的绝对值都是非负数.
4.相反数.
互为相反数的两个数可以有多种表现形式:
(1)符号不同,绝对值相等.
(2)在数轴上,它们在原点的两侧,并且到原点的距离相等.
(3)如果a,b互为相反数,那么a+b=0.
5.有理数的运算.
在进行有理数的加、减、乘、除、乘方及其混合运算时,均要根据运算法
则及运算顺序依次运算,不能跳步.
三、注意事项
1.进行有理数的混合运算,一般情况下是先把减法转化为加法、除法转化
为乘法,再进行运算.
2.有理数的混合运算涉及多种运算,合理运用运算法则和运算律,调整运
算顺序,可以简化运算过程.运用加法交换律和乘法交换律交换各数时,要连同
它们的符号一起交换.
A 组
1.请给下列各数分类:
1
2,-3,0.45,10,0,-13
4,-1,9,-3.5,-3.14,-5.
(1)正整数:{ …}.
(2)负整数:{ …}.
(3)整数:{ …}.
(4)分数:{ …}.
2.填空:
(1)互为相反数的两数之和是
.
56
数学 七年级上册
(2)互为倒数的两数之积是
.
(3)一个数的倒数等于它本身,这个数是
.
3.请填写下面的表格:
有理数
相反数
倒数
绝对值
-1
-1
2
3.14
-11
7
a(
a>0)
a(
a<0)
4.下面的结论是否正确? 为什么?
(1)两数的差一定小于被减数.
(2)被减数一定大于减数.
(3)0是最小的有理数.
(4)一个数的倒数一定小于它本身.
(第5题)
5.某面粉车间生产一批面粉,要求每袋面粉的质量为“25±
0.25
kg”.这表明每袋面粉的标准质量是25
kg,只要每袋
面粉的质量不超出(25+0.25)kg,且不低于(25-0.25)kg,
就是合格的.现称得一袋面粉的质量是24.8
kg,这袋面
粉的质量合格吗? 请说明理由.
6.几个有理数之和的相反数,是否等于这几个有理数的相反数的和? 请举
出两个符合判断的例子.
7.请比较下列各组中两个数的大小:
(1)-0.1和-0.01; (2)-3
4和-4
3;
(3)1
5和-0.2;
(4)-2
7和-2
9;
第一章 有理数
57
(5)-6
5和-11
5;
(6)-0.3和-1
3.
8.如图,点A,B 对应的数分别为a,b.请依据图中点A,B 的位置,判
断下列各式哪些是正确的.
(第8题)
(1)a>b;
(2)b-a<0;
(3)a+b>0.
9.计算:
(1)-9-(-11);
(2)26+(-62);
(3)7-(-14);
(4)-8×(-15);
(5)-6÷ -1
6
;
(6)72÷ -1
4
;
(7) -3
4
×(-1.25);
(8)(-0.75)÷ -1
8
.
10.计算:
(1)-6-6-(-7);
(2)-24-(-10)+(-6);
(3)2+(-3)×(-2);
(4)3×(-2)+8÷(-4);
(5)4× -1
4
2
-2
3÷(-8);
(6)7÷[(-2)
3-(-4)];
(7) 1
6+1
36-1
4+1
12
×(-48);
(8)15× -3
4
-(-15)×3
2+15×1
4.
11.有一个水利勘察大队,第一天从出发点沿江向上游走了5.5
km,第二
天又向上游走了5.7
km,第三天向下游走了4.9
km,第四天又向下游
走了5.8
km.这时,勘察大队在出发点的上游还是下游? 距出发点的
路程是多少千米?
58
数学 七年级上册
12.某地3月份每天的最低气温如下表.请先分别计算上旬、中旬、下旬的
日最低气温的平均值,并填入表内,再计算出3月份日最低气温的平均
值.(结果保留一位小数)
3月份日最低气温记录表
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最低气温/℃
-8
-7
-2
-3
-2
1
4
4
3
-1
日期
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
最低气温/℃
1
2
-1
-4
-2
-2
0
2
1
-1
日期
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
最低气温/℃
-3
-2
1
-2
1
3
2
4
5
6
7
上旬日最低气温
平均值/℃
中旬日最低气温
平均值/℃
下旬日最低气温
平均值/℃
13.计算(可借助计算器):
(1)324+278+3
170;
(2)145-1
086-92;
(3)3
024÷(-36)-2
145;
(4)(-23.4×3.01+60.4)÷5;
(5)-123×(-5+20.3)
3;
(6)(34.26-254.76)×(23-12)
4.
B 组
14.某地气象台记录了当地一周内日平均气温的变化情况.
(1)请完成下表:
时间
与前一天比较
用正、负数表示/℃
星期一
上升了3
℃
+3
星期二
下降了2
℃
星期三
下降了3
℃
星期四
上升了1
℃
星期五
上升了2
℃
星期六
下降了4
℃
星期日
下降了2
℃
第一章 有理数
59
(2)如果上星期日的日平均气温是5
℃,那么本星期日的日平均气温是
多少摄氏度?
15.已知a,b是有理数,且a>b,其在数轴上对应的点如图所示.
(第15题)
(1)请在上面的数轴上标出有理数-a,-b,a+b,(-a)+(-b)所
对应的点.
(2)依据这些点在数轴上的位置,将a,b,-a,-b,a+b,(-a)+
(-b)按从小到大的顺序排列出来.
16.按下列程序进行计算:第一次输入的数是20,如果结果不大于100,就
把结果作为输入的数再进行第二次计算,直到符合要求为止.请把每次
计算的结果填在下面的表中.ᫀ
Ҥ
?
?
ў
ᫀ
ӭ
(第16题)
计算次序
1
2
3
4
…
计算结果
…
17.一种细胞,每经过30
min分裂一次,每次每个细胞分裂成2个.那么,
1个细胞经过3
h能分裂成多少个?
18.12~14岁的少年,每天的睡眠时间应为9~10
h,
(1)以9.5
h为标准,超过标准的时间记为正,不足标准的时间记为
负,记录下你一周中每天的睡眠时间.
(2)计算你这一周中平均每天的睡眠时间.
(3)你的睡眠充足吗?
60
数学 七年级上册
C 组
19.请分别写出一个符合下面条件的有理数a:
(1)|a|=a; (2)|a|>a;
(3)|a|=-a;
(4)a>-a.
20.如图,数轴上的点A,B,C 分别表示-3,-1,2.
(第20题)
回答下列问题:
(1)在A,B,C 三点中,每两点之间的距离分别是多少?
(2)根据(1)中的结果,你认为点B 到点A 的距离与点B 到点C 的距
离的和,是否与A,C 两点间的距离相等? 你还能找到这样的点
吗? 请试一试.
(3)你能否找到这样的点,该点到点A 的距离与到点C 的距离的和,
大于A,C 两点间的距离? 请试一试.
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62
数学 七年级上册
在现实生活中,物体的形状、大小及相互之间的位置关系,反映着
几何图形的性质和彼此的关联.那么,怎样从数学角度来认识图形呢?
图形世界,多姿多彩.在下面的情境中,包含了哪些常见的几何图形?
᪭၅ᐯ
ߨݖፗ ຈ
图形的形状、大小
及图形之间的位置关系是
几何研究的主要内容.
对于各种物体,如果不考虑它们的颜色、材
质和质量等,而只关注它们的形状(如方的、圆
的等)、大小(如长度、面积、体积等)和位置关
系(如垂直、平行、相交等),就得到几何图
形(geometric
figure).如小学阶段学过的长方体、正方体、圆柱、圆锥、
球、点、线段、三角形、四边形等,都是几何图形.
第二章 几何图形的初步认识
63
1.请把下面的实物与相应的几何体用线连接起来:
长方体(cuboid)
球(sphere)
圆柱(circular
cylinder)
圆锥(circular
cone)
2.如图2.1 1,请把每个平面图形的名称写在它下面的横线上.
图2.1 1
几何图形包括立体图形(几何体)和平面图形.像长方体、圆柱、球等,
它们都是立体图形(solid
figure).像线段、长方形、六边形、圆等,它们都
是平面图形(plane
figure).
观察以下几何体:ܶ
Ჶ ϭ
ᅫ
图2.1 2
64
数学 七年级上册
数学上的平
面没有边界,是
无限延展的.
可以看到,几何体都是由面围成的.如:长方体有六
个面,这些面都是平的;圆柱有三个面,两个底面是平的,
一个侧面是曲的;球有一个面,是曲的.
对于上面的长方体和圆柱,交流下面的问题:
(1)在长方体中,面与面相交的地方形成直的线.这样的线有几条?
(2)在圆柱中,两个底面与侧面相交的地方形成曲的线.这样的线有
几条?
(3)在长方体中,线与线相交的地方形成点.这样的点有几个?
包围着几何体的是面(surface),面与面相交形成线(
line),线与线相交
形成点(point).点、线、面是几何图形的基本要素.
在图2.1 3中,笔尖在纸上的滑动、汽车雨刷的摆动、旋转门的转动,
分别给我们以“点动成线”
“线动成面”
“面动成体”的形象.
Ꮾ ܽ
ᒵ̳
ቝԺ
ໝ᪗ᴼԐቝ Ժ
ᲷቝԺ
图2.1 3
1.如图,这是一个零件毛坯的示意图.这个几何体有几个面、几条棱、
几个顶点?
(第1题)
第二章 几何图形的初步认识
65
2.观察图中的几何体,在横线上分别写出它们的名称.
(第2题)
ȟM
A 组
1.下列几何体中有哪些平面图形? 试着把它们画出来.
(第1题)
2.图中哪些面是平的,哪些面是曲的? 这些面相交形成怎样的线? 它们是
直的,还是曲的? 请指出这些线相交形成的点.
(第2题)
3.请分别指出下列几何体各有多少个面,面与面相交形成的线各有多少条,
线与线相交形成的点各有多少个.
(第3题)
66
数学 七年级上册
B 组
4.请说出下列物体分别类似于哪一类几何体,或可看作由哪些几何体构
成的.
(第4题)
5.下面几张图片表示的运动,给我们以点动成线、线动成面或面动成体的
形象的各是哪一个?
(第5题)
6.
如图,下面的立体图形是由上面的哪个平面图形旋转后得到的? 请用线
连起来.
(第6题)
7.三根相同的细木条首尾相接,可以围成什么样的图形? 是平面图形,还
是立体图形? 如果是四根细木条,围成的图形和上面的结论一样吗? 请
动手试一试.
第二章 几何图形的初步认识
67
点、线段、射线和直线是最基本的几何图形,又是构成其他几何图
形的基本要素.那么,如何描述和表示它们呢?
在小学阶段,我们已经对线段、射线和直线有了初步认识.
1.分别画出一条线段、射线和直线,谈谈它们各自有什么特点.
2.在数学中,如何表示点、线段、射线和直线呢?
点和线段的表示方法如图2.2 1所示.
图2.2 1
位于线段AB 两端的点A,B,叫作这条线段的端点(endpoint).
如图2.2 2,将线段AB 沿AB 方向(或BA 方向)无限延伸所形成的图
形,叫作射线(ray).点A(或点B)叫作射线的端点.
如图2.2 3,将线段AB 沿这条线段向两方无限延伸所形成的图形,
叫作直线(straight
line).
射线AB
射线BA
直线AB(或直线l)
图2.2 2 图2.2 3
平面内的任意一点P 与直线l 可能有怎样的位置关系? 请画出图形,
并用相应的语言加以说明.
68
数学 七年级上册
如图2.2 4,在同一个平面内,给定一个点与一条直线,它们的位置
关系有两种情况.
点P 在直线l上(直线l经过点P) 点P 在直线l外(直线l不经过点P)
图2.2 4
1.
用一个钉子把一根木条钉在墙上,木条能绕着钉子转
动吗?
2.
用两个钉子把一根木条钉在墙上,木条还能转动吗?
这种现象说明了什么?
基本事实是人们
在长期实践中发现的
正确结论,可以作为
推理的依据.
把钉子看作一个点,木条看作一条直线,由第
一种情况得到:经过一个点,有无数条直线.由第
二种情况得到:
基本事实 两点确定一条直线.
1.观察图中的几何体,指出它有多少条棱,并写出表示这些棱的线段.
(第1题)
(第2题)
2.如图,A,B,C 是平面内的三个点.请画出下列图形:
(1)直线AC;(2)射线AB;(3)线段BC.
第二章 几何图形的初步认识
69
ȟM
A 组
1.
请按要求画图:
(1)
画线段AB=2
cm,延长AB 至点C,使BC=2
cm;
(2)
画一个点P,过点P 画直线AB,在直线AB 外画一个点Q.
2.怎样才能把树苗栽种在同一条直线上? 请想出办法,并说明其中的道理.
3.请按要求画图:
(1)
点A 在直线l上,点B 和点C 都在直线l外;
(2)
在平面上任意画出A,B,C 三个点,过点A,B 画直线l.说明
点C 和直线l的位置关系.
B 组
4.看图,写出相应的语句.
(第4题)
(第5题)
5.请按要求画图:
(1)分别延长线段BA 和CD,相交于点E;
(2)延长线段AD,交BC 的延长线于点F;
(3)连接AC,交BD 于点G.
C 组
6.已知平面内有四个点,其中任意三个点都不共线.过其中任意两个点画
直线,能画出几条?
70
数学 七年级上册
图形的大小是几何研究的主要内容之一.对于两条线段,如何比较
它们的长短呢?
请观察小明、小亮比身高:
比较两名同学的
身高,可以看作比较
两条线段的长短.
比较两名同学的身高,除了估测外,还有什么
方法? 向大家说说你的想法.
如图2.3 1,已知线段AB,CD,比较AB,
CD 的长短有两种方法:
图2.3 1
方法1 用刻度尺分别量出AB,CD 的长度,长度大的线段较长,长
度小的线段较短;长度相等时,两条线段相等.
方法2 将线段AB 放到线段CD 上,使点A 与点C 重合,点B 与
点D 落在点A(也是点C)的同侧.
图2.3 2
(1)如图2.3 2,
如果点B 与点D 重合,
就称线段AB 与CD 相等,记作AB=CD.
第二章 几何图形的初步认识
71
(2)如图2.3 3,
如果点B 在线段CD 上,就说线段AB 小于CD,记
作AB<CD.
图2.3 3
(3)
如图2.3 4,如果点B 在线段CD 的延长线上,就说线段AB 大于
CD,记作AB>CD.
图2.3 4
图2.3 5
如图2.3 5,点P 在线段AB 上.
(1)在线段AB 上,截取BQ=AP.
(2)延长AB 到点D,使BD=AP.
1.如图2.3 6,从A 地到B 地有四条路线可走.
甲、乙、丙、丁分别
骑自行车从A 地出发,沿不同的路线去B 地,谁走的路线最短?
图2.3 6
2.
思考:一般情况下,在连接两点间的各类线中,怎样的线最短?
基本事实 两点之间线段最短.
72
数学 七年级上册
两点之间线段的长度,叫作两点之间的距离(distance).
在现实生活中,测量两点之间距离的方法有很多,可以借助工具(如卷
尺、游标卡尺等)测量,也可以利用某些仪器(如红外线测距仪、激光测距
仪、雷达等)测量.
1.从A 景点到B 景点有三条路线,
小明提供了示意图,并注明了路线的
长度(单位:km),如图所示.
小亮认为小明的示意图有错误.说说你的看法.
(第1题)
(第2题)
2.(1)
观察图中的线段AB 和CD,你认为哪条线段较长?
(2)
用比较线段长短的方法,比较线段AB 和CD 的长短.
(3)
你的直观判断和(2)中比较的结果一样吗?
ȟM
A 组
1.如图,A,B 两个村庄在一条河l(不计河的宽度)的两侧.现在要在河上
建一座码头,使它到A,B 两个村庄的距离之和最小.请你确定码头的
位置,在图中用点C 表示出来,并说明理由.
(第1题)
第二章 几何图形的初步认识
73
2.请测量并比较线段的长短:
如图,在梯形ABCD 中,AD=
cm,BC=
cm,AD
BC
(填“>”“<”或“=”).
(第2题)
B 组
3.画出线段AB.
(1)在线段AB 上画出异于点A,B 的1个点,
图中共有几条线段?
(2)在线段AB 上画出异于点A,B 的2个点,
图中共有几条线段?
(3)在线段AB 上画出异于点A,B 的3个点,
图中共有几条线段?
4.如图,直线MN 和线段AB 相交于点O.在射线OM 上取一点P,画出线
段PA 和PB,再比较点P 到点A 和点B 的距离的大小;
在射线ON 上取
一点Q,画出线段QA 和QB,再比较点Q 到点A 和点B 的距离的大小.
(第4题)
C 组
5.已知线段a,Q 为直线l外一点.请在l上找出所有与点Q 的距离等于a
的点.
(第5题)
74
数学 七年级上册
两条线段可以比较长短,还可以求出它们的和与差.
1.请画线段AB=1
cm,延长AB 到点C,使BC=1.5
cm.你认为线
段AC 和AB,BC 有怎样的数量关系?
2.请画线段MN=3
cm,在MN 上截取线段MP=2
cm.你认为线段
PN 和MN,MP 有怎样的数量关系?
如图2.4 1,已知两条线段a 和b,且a>b.在直线l上顺次画出线段
AB=a,
BC=b,则线段AC 就是线段a 与b的和,即AC=a+b.
图2.4 1
图2.4 2
如图2.4 2,在直线l上画出线段AB=a,在AB 上截取线段AD=b,
则线段DB 就是线段a 与b的差,即DB=a-b.
如图2.4 3,已知线段a 和直线l.
图2.4 3
(1)请在直线l上顺次画出线段AB=a,BC=a,CD=a,DE=a.
第二章 几何图形的初步认识
75
(2)请根据上述画法填空:
AC= AB,AD= AB,AE= AB;
AB=1
2 ,AB=1
3
,AB=1
4 .
图2.4 4
如图2.4 4,线段AB 上的一点M 把AB 分
成两条线段AM 与MB.如果AM=MB,那么点M
就叫作线段AB 的中点(midpoint).此时,有AM=
MB=1
2AB,AB=2AM=2MB.
图2.4 5
例1 如图2.4 5,已知线段a,b.
(1)请画出线段AB,使AB=a+2b.
(2)请画出线段MN,使MN=3a-b.
解:(1)如图2.4 6.
图2.4 6
线段AB=a+2b.
(2)如图2.4 7.
图2.4 7
线段MN=3a-b.
例2 (1)如图2.4 8,若AB=CD,请说明线段AC 和BD 有怎样的数量
关系.
图2.4 8
(2)如图2.4 9,已知线段AB=8
cm,点M 在线段AB 上,C 是线
段AM 的中点,D 是线段MB 的中点.求线段CD 的长度.
图2.4 9
76
数学 七年级上册
在等式的两边分
别加上相等的量,所
得结果仍是等式.
解:(1)因为 AB=CD,
所以 AB+BC=CD+BC.
所以 AC=BD.
(2)因为 C 是AM 的中点,D 是MB
的中点,
所以 CM=1
2AM,MD=1
2MB.
将这两个等式左右两边分别相加,得
CM+MD=1
2AM+1
2MB,
即CD=1
2(AM+MB)=1
2AB.
因为 AB=8
cm,
所以 CD=1
2AB=1
2×8=4(cm).
1.如图,C 是线段AB 的中点,D 是线段CB 的中点,DB 与AC 有怎
样的数量关系? DB 与AD 有怎样的数量关系?
(第1题)
(第2题)
2.如图,AB,BC,AC 是三角形ABC 的三条边.请画出线段MN=
AB+AC-BC.由此,你能得到AB+AC 与BC 的大小关系吗?
ȟM
A 组
1.画出一条线段AB=6.8
cm,请用刻度尺找出它的中点M,再找出线段
MB 的中点N.求线段AN 的长度.
第二章 几何图形的初步认识
77
2.如图,已知线段AB=5
cm.
(第2题)
(1)延长AB 到点C,使BC=2.4
cm.
(2)请找出线段AC 的中点O,并求线段CO 的长度.
3.如图,已知线段a,b,且a>b.画一条线段,使它等于:
(1)
2a-b; (2)2(a+2b).
(第3题)
B 组
4.如图,P 是三角形ABC 内一点.请通过画图验证AB+AC>PB+PC.
(第4题)
(第5题)
5.如图,C,D 是线段AB 上的点,AD=7
cm,CB=7
cm.
(1)线段AC 与线段DB 相等吗? 请说明理由.
(2)如果M 是线段CD 的中点,那么M 是线段AB 的中点吗? 请说明理由.
C 组
6.如图,A,B,C,D 是直线l上的四个点,M,N 分别是线段AB,CD
的中点.如果MN=a,BC=b,求线段AD 的长.(结果中可以含有字
母a 和b)
(第6题)
78
数学 七年级上册
我们对角已经有了初步的了解.现在,我们从角的表示及度量方面
来进一步认识角.
下面左图是人站在地面上看大楼的底部和顶部的视线示意图,右图是停
车场出入口的栏杆由下向上转动的示意图.你能指出图中的角吗? 这些角是
怎样形成的?
从上面的图中可以得到图2.5 1所示的几何图形.
图2.5 1
有公共端点的两条射线所组成的图形叫作角(angle),这个公共端点叫
作角的顶点(vertex),这两条射线叫作角的边(side).如图2.5 1,点O 是
角的顶点,射线OA 和OB 是角的边.
角也可以看作是一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形
成的图形.起始位置的射线叫作角的始边,终止位置的射线叫作角的终边.
通常用符号“∠”表示角,具体表示方法如图2.5 2所示.
在不作特别说明
的情况下,初中阶段
我们说的角都是小于
平角的角.
记作∠AOB 或
∠BOA 或∠O
记作∠α
记作∠1
图2.5 2
第二章 几何图形的初步认识
79
图2.5 3
我们知道,可以用“度”(1度等于
周角的1
360)来度量角.观察图2.5 3,
可以看出:∠AOB=40°.
请先观察图2.5 4中的各角,估测
各角的度数,再用量角器检验你估测的结
果是否准确.
图2.5 4
为了更精细地度量角,我们引入更小的角的度量单位:分、秒.把1°
的
角等分成60份,每份叫作1分的角,1分记作1';把1'的角再等分成60份,
每份叫作1秒的角,1秒记作1″.角的度、分、秒是60进制的,这和计量时
间的时、分、秒进制是一样的.
1°=60',1'=60″;
1'= 1
60
°,1″= 1
60
'.
例1 将57.32°用度、分、秒表示.
解:先把0.32°化为分,
0.32°=60'×0.32=19.2'.
再把0.2'化为秒,
0.2'=60″×0.2=12″.
所以
57.32°=57°19'12″.
例2 将10°6'36″用度表示.
解:先把36″化为分,
36″= 1
60
'×36=0.6',
80
数学 七年级上册
6'+0.6'=6.6'.
再把6.6'化为度,
6.6'= 1
60
°×6.6=0.11°.
所以
10°6'36″=10.11°.
1.请写出下列各图中的角:
(1)
(2)
(3)
(第1题)
2.填空:
(1)1周角=
平角,1平角=
直角,1直角=
°,
1°= ',1'= ″.
(2)经过1
h,钟表的时针转过的角度是 ,分针转过的角度是
;经过15
min,分针转过的角度是 ,时针转过的角度是
.
ȟM
A 组
1.请将下列各角用符号表示出来:
/
.
(第1题)
第二章 几何图形的初步认识
81
2.如图,请分别表示出图中的各角.当两个或两个以上的角有同一个顶点
时,你还能用表示顶点的一个大写字母表示角吗?
(第2题)
B 组
3.如图,请将图形中标有弧线的角表示出来.
(第3题)
4.请用度、分、秒表示下列各角:
(1)38.78°; (2)64.23°; (3) 1
12
°.
5.请用度表示下列各角:
(1)118°20'42″;
(2)50°40'30″;
(3)1
800'; (4)3
240″.
C 组
6.图中共有多少个角? 请把它们分别表示出来.
(第6题)
7.时钟的时针从某一时刻所在的位置开始,旋转一个直角和一个平角,各
需要多长时间? 分针走过20
min和30
min,各旋转了多少度?
82
数学 七年级上册
线段有长短,角也有大小.我们可以类比线段长短的比较方法,来
研究两个角的大小.
如图2.6 1,直接观察,容易看出三个角中∠PQS 张口最大.因此,
∠PQS 最大.而∠AOB 与∠A'O'B'的大小关系,如果只靠观察和估测,就
难以判断准确了.
图2.6 1
一般地,可以分别量出∠AOB 和∠A'O'B'的度数.哪个角的度数较
大,哪个角就较大;当度数相等时,两个角相等.
将∠A'O'B'叠合到∠AOB 上来比较∠AOB 和∠A'O'B'的大小,应如
何进行呢?
(1)∠A'O'B'的顶点O'应当放到什么位置?
(2)∠A'O'B'的边O'B'应当放到什么位置?
(3)∠A'O'B'的另一边O'A'应当放到哪一侧?
(4)这时,根据什么情况来判断∠A'O'B'与∠AOB 的大小?
把∠A'O'B'叠合在∠AOB 上,使顶点O'和O 重合,边O'B'和OB 重
合,边O'A'和OA 落在重合边的同侧.
(1)
如果O'A'与OA 重合,如图2.6 2(1)所示,那么这两个角相等,
记作∠A'O'B'=∠AOB.
(2)如果O'A'落在∠AOB 的内部,如图2.6
2(2)所示,那么
∠A'O'B'小于∠AOB,记作∠A'O'B'<∠AOB.
第二章 几何图形的初步认识
83
(3)如果O'A'落在∠AOB 的外部,如图2.6
2(3)所示,那么
∠A'O'B'大于∠AOB,记作∠A'O'B'>∠AOB.
图2.6 2
作一个角等于已知角,我们可以用量角器量出已知角的度数,再画出等
于这个度数的角来.除此之外,还有其他方法吗?
1.如图2.6 3,已知∠AOB.请在半透明的纸上,按下列步骤作一个
角等于已知角:
图2.6 3
步骤1
:画射线O'M.
步骤2:以点O 为圆心,以
任意长为半径画弧,交OA
于点C,交OB 于点D.
步骤3:以点O'为圆心,
以OC 长为半径画弧,交
O'M 于点A'.
步骤4:以点A'为圆心,
以CD 长为半径画弧,与
已画的弧交于点B'.
步骤5:作射线O'B'.
∠A'O'B'即为所求.
84
数学 七年级上册
2.请用叠合的方法验证∠A'O'B'=∠AOB.
像这样只用直尺(无刻度)和圆规画图的方法称为尺规作图(construction
with
ruler
and
compasses).
如图,已知∠α和∠β.
(1)请用直尺和圆规作两个角,使它们分别等
于∠α和∠β.(保留作图痕迹)
(2)请用两种方法比较这两个角的大小.
ȟM
A 组
1.如图,已知四边形ABCD.
(1)请分别测量图中∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB 的度数,并从中
找出相等的角,用“=”表示出来;找出不相等的角,用“>”或
“<”表示出来.
(2)请分别测量图中∠DAO,∠BAO,∠ABO,∠CBO 的度数,并用
“>”“<”或“=”填空:
∠DAO ∠BAO,∠ABO ∠CBO.
(第1题)
(第2题)
2.如图,已知三角形ABC.
(1)请分别测量∠A,∠B,∠C 的度数.
(2)请用“>”表示出这三个角之间的大小关系.
第二章 几何图形的初步认识
85
B 组
3.如图,D 是三角形ABC 的边BC 延长线上一点.请在∠ACD 的内部用
尺规作出∠ACE=∠A(保留作图痕迹),测量并比较∠ECD 和∠B 的大
小关系.
(第3题)
(第4题)
4.如图,已知线段B'C'和上题中三角形ABC 的边BC 相等.请在B'C'的
上方作出∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB.设A'为这两个角另
一边的交点,验证三角形A'B'C'能否与三角形ABC 完全重合.
C 组
5.如图,已知∠MAN.小明用尺规作出了∠ABC=∠MAN,其中,点B
在AN 上,点C 在AM 上.
(1)
请根据作图痕迹描述小明的作图过程.
(2)
测量一下线段AC 与BC 的长度,并指出它们具有怎样的数量关系.
(第5题)
86
数学 七年级上册
两个角可以比较大小,也可以求出它们的和与差.
图2.7 1
如图2.7 1,在∠AOB 的内部画射线OC.那
么,∠AOB,∠AOC,∠COB 之间有如下关系:
∠AOB=∠AOC+∠COB,
∠AOC=∠AOB-∠COB,
∠COB=∠AOB-∠AOC.
这就是用两个角的和与差表示第三个角.
有一种特殊的情况:如果从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成
两个相等的角,那么这条射线叫作这个角的角平分线(angular
bisector).
图2.7 2
如图2.7 2,如果∠AOP=∠BOP,那么射线OP
是∠AOB 的平分线.
反之,如果射线OP 是∠AOB 的平分线,那么
∠AOP=∠BOP.
请按下列步骤操作:
(1)在半透明纸上画出∠AOB;
(2)折纸,使角的两边重合;
(3)把纸展开,以O 为端点,沿折痕画射线OP.(图2.7 3)
图2.7 3
射线OP 是∠AOB 的平分线吗? 说说理由.
第二章 几何图形的初步认识
87
例 已知∠1=103°24'28″,∠2=30°54″,求∠1+∠2和∠1-∠2的度数.
解:∠1+∠2=103°24'28″+30°54″.
103°24'28″
+ 30°
54″
133°24'82″ (82″=1'22″)
所以 ∠1+∠2=133°25'22″.
∠1-∠2=103°24'28″-30°54″.
103°24'28″
- 30°
54″
73°23'34″
(24'28″=23'88″)
所以 ∠1-∠2=73°23'34″.
已知∠α和∠β.
如果∠α+∠β=90°,那么我们就称∠α与∠β互为余角(complementary
angles),简称互余.其中,∠α(或∠β)叫作∠β(或∠α)的余角(complement
of
an
angle).
如果∠α+∠β=180°,那么我们就称这两个角互为补角(supplementary
angles),简称互补.其中,∠α(或∠β)叫作∠β(或∠α)的补角(supplement
of
an
angle).
1.如果∠α=46°,那么它的余角是多少度,它的补角是多少度?
2.(1)在图2.7 4(1)中,∠AOB=90°.请写出图中互为余角的角.
(2)在图2.7 4(2)中,∠DSE=180°.请写出图中互为补角的角.
像图2.7
4(2)中
∠DSF 与∠FSE 所具有的
位置关系和数量关系的两
个角,我们称之为邻补角.
图2.7 4
88
数学 七年级上册
如果∠1和∠2都是∠α 的余角,那么∠1和∠2相等吗?
请说明理由,
并和同学互相交流.
如果∠1和∠2都是∠α的余角,那么∠1和∠2相等.
理由:因为 ∠1与∠α互余,
所以 ∠1+∠α=90°.
因为 ∠2与∠α互余,
所以 ∠2+∠α=90°.
所以 ∠1=90°-∠α,∠2=90°-∠α.
所以 ∠1=∠2.
用同样的方式可以说明:如果∠3和∠4都是∠β 的补角,那么∠3=
∠4.
同角(或等角)的余角相等,同角(或等角)的补角相等.
1.如图,已知∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°.请在
∠1,∠2,∠3,∠4中找出相等的角,并试着说明理由.
(第1题)
(第2题)
2.(1)请用一副三角板画出一个三角形,要求它的三个角都是利用三
角板的角(可运用角的和与差)画出的.
(2)比较大家画出的三角形,其中最大的角是多少度?
第二章 几何图形的初步认识
89
ȟM
A 组
1.计算:
(1)98°45'+2°35'; (2)108°18'-52°28'; (3)180°-(48°+72°).
2.填空:
(1)61°40'的余角的度数为 .
(2)35°20'的补角的度数为 .
3.已知∠1与∠2互余,∠3与∠4互余.如果∠1=∠3,那么∠2与∠4相
等吗? 请试着说明理由.
B 组
4.(1)如图,已知∠1与∠2互补,∠1与∠3互补.那么∠2与∠3有什么
数量关系? 请试着说明理由.
〔第4(1)题〕
〔第4(2)题〕
(2)如图,已知∠1与∠2互补,∠3与∠4互补.如果∠1=∠3,那么
∠2与∠4有什么数量关系? 请试着说明理由.
(第5题)
5.如图,已知∠AOB=180°,OM 是∠AOC 的
平分线,ON 是∠COB 的平分线.
(1)请指出图中所有互为补角的角.
(2)求∠MON 的度数.
(3)请指出图中所有互为余角的角,并说明理由.
(第6题)
C 组
6.如图,点O 在直线AB 上,OD 平分∠AOC,
∠DOE=90°.请说明OE 平分∠COB 的理由.
90
数学 七年级上册
射线绕其端点旋转,可以形成角.那么一个图形绕某个点旋转,会
有怎样的性质呢?
钟表的指针和风力发电机的叶片在做什么样的运动?
如图2.8 1,∠AOB 可以看作由射线OA 绕端点O 按逆时针方向转到
OB 位置所形成的.
图2.8 1
图2.8 2
如图2.8 2,线段CD 可以看作由线段AB 绕点O 按顺时针方向转动
得到的.
像这样,在平面内,一个图形绕一个定点沿顺时针(或逆时针)方向转
过一个角度,这样的图形运动叫作旋转(rotation),这个定点叫作旋转中
心(center
of
rotation),转过的这个角叫作旋转角(angle
of
rotation).
在图2.8 1中,旋转中心是点O,旋转角是∠AOB.在图2.8 2中,
旋转中心是点O,旋转角是∠AOC(或∠BOD);点A 与点C 是对应点,点B
与点D 也是对应点;线段AB 与CD 是对应线段.
旋转只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小.
第二章 几何图形的初步认识
91
图2.8 3
1.如图2.8 3,已知A,B 是射线OM 上的两
个点,且OA=1
cm,OB=2.5
cm.
(1)当OM 旋转到ON 的位置时,点A,B 分别
旋转到点A',B'的位置,请画出点A',B'.
(2)OA 和OA',OB 和OB'分别有怎样的数量
关系?
图2.8 4
2.如图2.8 4,三角形AOB 绕点O 按顺时针方向
旋转后得到三角形COD,E 是线段BA 上一点.
(1)对应线段OB 与OD,OA 与OC,AB 与CD 分
别相等吗?
(2)∠BOD 与∠AOC 相等吗?
(3)请画出点E 的对应点F.
在平面内,旋转前后的两个图形有如下的性质:
对应点到旋转中心的距离相等;两组对应点分别与旋转中心连线所
成的角相等,它们都等于旋转角.
图2.8 5
例
如图2.8 5,三角形ABC 绕点C 按顺时针方向
旋转后,顶点A 的对应点为点P.
试确定顶点
B 的对应点的位置,并画出旋转后的三角形.
解:画图步骤如下.
(1)如图2.8 6,连接CP;
图2.8 6
(2)以BC 为一边作∠BCN,使
∠BCN=∠ACP;
(3)在射线CN 上截取CM=CB;
(4)连接PM.
因此,顶点B 的对应点为点M,旋转后得到
的三角形为三角形PMC.
92
数学 七年级上册
1.请指出时钟的分针由8时10分的位置转到8时40分的位置所旋转
的角度,并指出旋转中心.
2.请根据要求画图:
(第2题)
(1)画出(1)中的图形绕点A 按逆时针方向旋转90°后的图形.
(2)画出(2)中的图形绕点B 按顺时针方向旋转60°后的图形.
ȟM
A 组
1.如图,请指出图形(2),(3),(4)中哪个是由图形(1)绕点O 旋转后得到的.
(第1题)
2.下面两个图表示的都是图形旋转前后的位置.请分别指出旋转中心,并
量出旋转角的度数.
(第2题)
第二章 几何图形的初步认识
93
B 组
3.先任意画一个等边三角形,再分别画出这个三角形绕它的一个顶点,按
逆时针方向旋转下列度数后的图形:
(1)30°; (2)45°; (3)60°; (4)90°; (5)180°.
4.如图,正方形网格图中每一小格的边长都为1个单位长度.请分别画出线
段AB 绕点P 和三角形DEF 绕点D,按顺时针方向旋转90°后的图形.
(第4题)
C 组
5.如图,四边形ABCD 绕点O 按逆时针方向旋转后,顶点A 的对应点为
点E.
试确定点B,C,D 的对应点的位置,并画出四边形ABCD 旋转
后的四边形.
(第5题)
94
数学 七年级上册
可爱的小猫
活动的老人
昂首的天鹅
有趣的七巧板
七巧板是起源于我国宋朝的一种智力拼图游戏.它共有七个模板,
每个模板的形状都是我们熟悉的几何图形.用这些模板可以拼凑成各种
巧妙的图案,形象有趣,栩栩如生.
活动一:制作七巧板
准备一张8×8的正方形硬纸板,先按图1
所示的方式画线,再按图2所示的方式涂色,
最后沿线剪开,就得到一副七巧板.
活动二:用七巧板拼图
可以模仿右面图示拼
图,也可以发挥想象力,拼
出自己喜欢的图案.
活动三:给七巧板涂色
图3是用一副七巧板拼成的正方形.如果三角形⑦的面积为1,
那么,图3中7个图形的面积如下表:
序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
面积
4
4
2
2
1
2
1
1.给三角形①,⑤,⑦和正方形⑥涂上颜色,如图4所示.请猜
想一下正方形内涂色部分的面积与未涂色部分的面积有什么关系.
2.在图3中任取几个序号代表的图形涂色,假设涂色部分的面积
为a,未涂色部分的面积为b.请尝试并判断能否得到下面的结果.若
能,请给出一种涂色方案;若不能,请说明理由.
(1)a=b+1.
(2)a=b+2.
第二章 几何图形的初步认识
95
一、知识结构
ᒺຆ
ᒺຆح ᒺȠኆᒺቝҬᒉ
ᒺຆᲶዜቝຑ᪲
ᒺຆቝح̷
͆
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ᒺຆቝ ׂ
ן༎
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ᐄͼ ᤆ
ᤆቝ ᮽ
ᤆߧ ቝຑ᪲
ᤆቝح̷
͆
ᤆͿϱȠͿᢣ͆
ᤆቝح͆
ᤆቝ ׂ
ן༎
ᮽ༎
ϝཎ༎
ףᤆᾶ ᐄᤆᾷቝϱᤆኇᐄ
ףᤆᾶ ᐄᤆᾷቝᢣᤆኇᐄ
ᤆ
二、总结与反思
1.当只关注物体的形状、大小和它们的位置关系时,就抽象出了几何
图形.几何图形包括立体图形与平面图形.
2.点是最基本的几何图形,常用它表示物体的位置.线也是最基本的
96
数学 七年级上册
几何图形:射线和直线可以看作由线段向一方或两方无限延伸得到的;射线
和线段也可以看作直线的一部分.
3.两条基本事实:两点确定一条直线;两点之间线段最短.
4.两角互余和两角互补,是两角之间的特殊数量关系,无论是在实际
问题中,还是在以后的几何学习中,它们都有着广泛的应用.
5.在比较线段的长短时,常用度量法和叠合法.
6.线段的中点:若C 为线段AB 的中点,则AC=CB=1
2AB,或
AB=2AC=2CB.
角平分线:若OB 平分∠AOC,则∠COB=∠BOA=1
2∠AOC.
7.角的度量单位是度、分、秒,
这种度量制是以60为进制的.
角的四种表示方法如下:方法一,用三个大写英文字母表示,如
∠AOC(顶点写在中间,表示该角是射线OA 和OC 的夹角);方法二,用一
个大写英文字母表示,如∠O(表示该角的顶点是点O);方法三,用数字表
示,如∠1,∠2,∠3;方法四,用一个希腊字母表示,如∠β.
8.
用量角器通过测量可以画一个角等于已知角.学了尺规作图后,也
可以用直尺和圆规作一个角等于已知角.
9.一个图形与其旋转后得到的图形之间有如下性质:对应点到旋转中
心的距离相等;两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等,它们都等于
旋转角;图形旋转前后,大小和形状不改变.
三、注意事项
1.画出来的射线、直线都是有限的部分,但必须
想象它们是向一方或两方无限延伸的.如图中的直线
a,b,它们实际上是相交的.
2.当两个或两个以上的角有同一个顶点时,不能只用表示顶点的一个
字母来表示其中的一个角,否则会产生混乱.
3.在角的运算中,切记度、分、秒的换算是60进制的.
4.“同角(或等角)的余角相等”与“
同角(或等角)的补角相等”是沟
通角的相等关系的重要途径,今后会经常用到.
第二章 几何图形的初步认识
97
A 组
1.如图,直线a上有A,B,C,D 四个点.
(第1题)
(1)图中共有几条线段,共有几条射线?
(2)请填出符合下列等式的线段:
AC-BC= ; AC+CD= ;
DB-CB= ; BC+CD= .
2.在平面内,点A,B,C 在同一条直线上,点D 不在这条直线上.过每两个
点画一条直线,共可画出多少条不同的直线? 在画出的图中,由以上四点中
的任意两点为端点的线段共有多少条?
3.请按下列要求画图:
(1)点P 在直线l上,点A 在直线l外,过点A 的直线m 交直线l于点P.
(2)画射线OA,在它上面截取OP=3
cm.
(3)利用一副三角板分别画出15°,75°,135°的角.
4.已知∠A=36°45'.
(1)求∠A 的余角的度数和∠A 的补角的度数.
(2)求∠A 的余角的补角的度数.
5.一个角的补角是锐角,那么这个角是锐角还是钝角呢? 请说明理由.
6.请按下列要求作图:
(1)已知点A,B,连接AB,并延长BA 到点P,使AP=2.5
cm.
(2)先用量角器画一个80°的角,再用直尺和圆规作一个与它相等的角.
7.计算:
(1)49.9°= ° ';
(2)25°42'= °;
(3)18°46'55″+27°17'24″= ;
(4)100°2'33″-14°14'53″= .
98
数学 七年级上册
(第8题)
8.如图,请填出符合下列等式的角:
(1)∠AOB+∠BOC= ;
(2)∠BOC=∠BOD- ;
(3)∠AOD=∠AOB+∠COD+ ;
(4)∠DOB=∠DOA-∠COA+ .
9.已知线段AB=6
cm,C 是AB 的中点,点D 在线段AC 上,且CD=
2AD,E 是BC 的中点.求线段DE 的长.
10.如图,O 为直线DA 上一点,∠AOB=130°,OE 是∠AOB 的平分线,
∠FOB=90°.求∠AOF 和∠FOE 的度数.
(第10题)
(第11题)
11.如图,OC 是∠AOD 的平分线,OE 是∠BOD 的平分线,∠AOB=130°.
(1)求∠COE 的度数.
(2)如果∠COD=20°,求∠BOE 的度数.
B 组
12.∠A 的余角与∠A 的补角的和为162°,求∠A 的度数.
13.如图,已知∠1与∠2.画一个角,使它等于∠1与∠2的差;再画一个
角,使它等于∠1与∠2的和.
(第13题)
(第14题)
14.如图,点O 在直线AB 上,OD 是∠AOC 的平分线,OE 是∠COB 的
平分线,∠AOD=51°17'.求∠BOE 的度数.
第二章 几何图形的初步认识
99
15.如图,AB 是直线,O 是AB 上一点,∠AOE=90°,∠FOD=90°,OB
平分∠DOC.图中与∠DOE 互余的角有哪些,与∠COB 互补的角有哪
些? 为什么?
(第15题)
16.如图,如果∠AOB=∠COD=90°,那么∠DOB=∠COA 吗? 为什么?
(第16题)
(第17题)
17.如图,已知BC>AB,请先按要求画图,再比较线段的长短.
(1)延长BA 到点D,使AD=AC,比较BD 和BC 的长短,并说明理由.
(2)在BC 上截取BE=AB,比较EC 和AC 的长短,并说明理由.
18.(1)如图(1),∠AOB 和∠COD 都是直角,请指出∠AOD 和∠BOC
之间的数量关系,并说明理由.
(2)当∠COD 绕点O 按顺时针方向旋转到图(2)所示的位置时,上述
结论还成立吗? 请说明理由.
(第18题)
100
数学 七年级上册
C 组
(第19题)
19.如图,将长方形纸片沿MP 和NP 折叠成图
示的平面图形,PB'和PC'在同一条直线上.
这时,∠MPN 的度数是多少? 为什么?
20.(1)如图,已知线段MN,在MN 上逐一画
点.请数一数:图①中有几条线段? 图②
中有几条线段? 图③中有几条线段? 当
线段MN 上有(n+1)个不相同的点时,共有多少条线段?
"1 "2 "3
Ŗ
Ř
ŗ
/
〔第20(1)题〕
(2)如图,已知∠MON,在∠MON 内逐一画射线.图①,②,③中
分别有多少个角(不大于平角)? 当∠MON 内有(n+1)条射线时,
共有多少个角?
〔第20(2)题〕
(3)小亮在解答(2)题时,在(2)题各图中均画一条直线和各射线相交,
从而将(2)题变成了与(1)题中相应的问题予以考虑和解决.你认为
这样做可以吗?
(第21题)
21.请你先设计出两种方案,使图中所示的各边相等、各
角也相等的六边形绕一点旋转一个角度后,能与自身
重合;再用一张半透明的薄纸描出图中的六边形,验
证你的设计方案.
ǂǂ ݹL+႒Ό͙
UИEݜD̬
χ*ႃ =.+ᗱۡ
Uຮ ᒰͦ
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πSˈߌ"ϐᢎᒷ =.ͦ
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102
数学 七年级上册
随着数学发展的需要,用字母表示数可以简捷地表示数量及数量之
间的关系,同时,也能更直观地反映出数的特征及规律.
小明上小学时,在一堂数学课上,发现了下列等式:
1+2=2+1,
3.5+5.6=5.6+3.5,
1
2+2
3=2
3+1
2.
类似地,我们还能举出很多满足这种规律的式子.
事实上,上述式子反映的规律就是:
a+b=b+a(a,b表示任意数).
在100米短跑测试中,小帆、大林和小明所用的时间如下表:
姓名
小帆
大林
小明
成绩/s
16
14.5
15.2
速度/(m/s)
(1)请算出他们每个人100米短跑的速度,并将计算结果填入表中.(结
果保留两位小数)
(2)写出计算速度时所用的公式.
用字母表示数、数
量关系以及数学事实,
不仅形式简单,而且具
有一般性,还便于使用.
如果用s(m)表示路程,t(s)表示所用时间,
v(m/s)表示速度,那么这个公式就是
v=s
t.
第三章 代数式103
在自然数范围内,回答下列问题:
(1)请用字母表示偶数和奇数.
(2)两个偶数之和具有怎样的特征? 两个奇数之和又具有怎样的特征?
请你提出猜想,并说明猜想的正确性.
(3)如果p 是正整数,那么与p 相邻的两个自然数之和是偶数吗? 请
说明理由.
事实上,在自然数中,偶数用字母可以表示为2m(m 为自然数),奇数
用字母可以表示为2m+1(m 为自然数).
两个偶数2m,2n(m,n 为自然数)的和为2m+2n=2(m+n),这个数
为偶数;两个奇数2m+1,2n+1(m,n 为自然数)的和为2m+2n+2=
2(m+n+1),这个数也为偶数.
如果p 是正整数,那么与p 相邻的两个自然数用字母可以表示为p-1,
p+1,而(p-1)+(p+1)=2p,这个数为偶数.
已知一个两位数,其个位数字为a,十位数字为b.
(1)请用a,b把这个两位数表示出来.
(2)将这个两位数的个位数字与十位数字交换位置后得到一个新数.用
含a,b的式子表示新数与原数的差.
1.一箱苹果的质量约为15
kg,那么a 箱苹果的质量约为多少千克?
2.一把椅子的价格是a 元,一张课桌的价格比一把椅子多b 元,那么
一张课桌的价格是多少元?
3.将边长为a 的正方形的一组对边的长度各增加1,另一组对边的长
度不变.那么,所得到的长方形的周长是多少? 长方形与原正方形的面积之
差是多少?
104
数学 七年级上册
ȟM
A 组
1.回答下列问题:
(1)由-6
℃上升t
℃后的温度是多少摄氏度?
(2)某种书的定价是8元,购买a 本这种书需要多少元?
(3)据统计,2021 年我国对“一带一路”沿线国家进出口总额达
115
979亿元.如果其中进口额为a 亿元,那么出口额为多少亿元?
2.某高铁列车以300
km/h的速度从甲城开往乙城.如果甲、乙两城之间
的路程为s
km,那么当列车行驶了t
ht< s
300
后,列车距离乙城的路
程是多少千米?
B 组
3.如图,在大长方形中剪去一个小长方形,请写出阴影部分的面积.
(第3题)
(第4题)
4.如图是一间套房的平面示意图.请用两种不同的方法表示这间套房的
面积.
第三章 代数式105
用字母表示数后,现实世界中的许多数量都可以用含字母的式子来
表示,于是就产生了代数式.那么,代数式与数相比较,有怎样的优越
性呢?
在前面的学习中,我们遇到了像2m,a+b,s
t,10b+a,ab-cd,
单独一个数或一
个表示数的字母也是
代数式.
πr
2 等用运算符号连接数和字母的式子,我们把这
样的式子叫作代数式(algebraic
expression).
例1 请指出下列各代数式的意义:
(1)2a+5; (2)2(a+5);
(3)a
2+b
2;
(4)(a+b)
2.
解:(1)2a+5表示的是a 的2倍与5的和.
(2)2(a+5)表示的是a 与5的和的2倍.
(3)a
2+b
2 表示的是a 的平方与b的平方的和.
(4)(a+b)
2 表示的是a 与b的和的平方.
观察代数式(a+8)(b-c)的生成过程,请用恰当的语言说出代数式
(a+8)(
b-c)的意义.
( )( )
106
数学 七年级上册
请用代数式表示:
(1)a,b两数之积与2
3的和.
(2)a 与比a 大2的数的积.
(3)a,b两数和的平方与它们的积的差.
例2 请用代数式表示:
(1)a,b的差与c的平方的和.
(2)百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c的三位数.
(3)三个连续的整数(用同一个字母表示),以及它们的和.
解:(1)(a-b)+c
2.
(2)100a+10b+c(其中,a,b,c是不大于9的自然数,且a≠0).
(3)设m 是整数,三个连续整数可表示为m-1,m,m+1.它
们的和为(m-1)+m+(m+1).
在代数式中,字母与数或字母与字母相乘时,通常把乘号写作“·”或
省略不写,如2×a 写作2·a 或2a,a×b写作a·b或ab.
除法运算一般以分数的形式表示,如s÷t写作s
t(
t≠0).
1.请指出下列各代数式的意义:
(1)a
2+2; (2)a(
b+1)-1.
2.请用代数式表示:
(1)a,b两数的差与c的积.
(2)x,y 两数和的平方减去它们差的平方.
(3)a 的3倍与b的和.
第三章 代数式107
ȟM
A 组
1.请指出下列各代数式的意义:
(1)3a+2b; (2)3(a+2b);
(3)a-b
c ;
(4)a-b
c.
2.请用代数式表示:
(1)a 的3倍与4的和的一半.
(2)x 的平方与x 的1
2的和.
(3)a 的1
2与b的3倍的差.
(4)a,b两数的积与这两数的和的积.
B 组
3.请用代数式表示:
(1)三角形的一边长为a,这条边上的高等于这条边长的1
3.请写出这
个三角形的面积.
(2)某型号汽车降价10%后的价格为a 元/辆,降价前的价格是多少?
(3)长方体的长、宽、高分别为a,b,c,请写出它的表面积和体积.
〔第3(4)题〕
(4)如图,在边长为a 的正方形一边裁去两个半径
为a
2的四分之一圆(阴影部分),请写出剩下的图
形的周长.
C 组
4.小明做了一个实验,把黄豆育成豆芽后,质量是原来的7.5倍.现有黄
豆x
kg,育成豆芽后有多少千克? 如果想得到豆芽y
kg,那么需要黄豆
多少千克?
108
数学 七年级上册
5.用化肥若干千克给一块麦田追肥,如果每公顷施肥600
kg,那么缺少
1
700
kg;如果每公顷施肥500
kg,那么余出300
kg.设麦田共有a 公
顷,请用两种方法表示出化肥的数量.
例3 已知参加甲、乙两地植树的同学分别为52人和23人,现从甲、乙两
地共抽调12人到丙地植树.如果从甲地抽调x 人,请用含x 的代数
式分别表示甲、乙两地剩下的人数.
解:由题意,从乙地抽调(12-x)人.
所以,甲地剩下的人数为(52-x)人,乙地剩下的人数为[23-
(12-x)]人.
图3.2 1
例4 如图3.2 1,已知装满油时,桶和油的质量一共
是a
kg;当油用去一半时,桶和油的质量一共是
b
kg.
(1)当桶里装满油时,写出表示油的质量的代数式.
(2)写出表示桶的质量的代数式.
解:(1)由题意,一半油的质量为(
a-b)kg.
所以,当桶里装满油时,油的质量为2(a-b)kg.
(2)桶的质量为[a-2(a-b)]kg.
1.如果一项工程要求30天完成,且每天完成的工作量相同,那么
x 天后完成的工程量是多少?
2.已知A,B两地之间的路程为300
km,一辆汽车以85
km/h的速度
在高速公路上从A地向B地匀速行驶.当行驶的时间为x
h时,该汽车行
驶的路程是多少千米? 此时,该汽车距B地的路程是多少千米?
3.甲、乙两个工程队共同维修一段公路,平均每天修路2
km,修路
x 天后,剩余路段由甲队单独完成.甲队平均每天修路0.8
km,甲队单独
修路y 天后完成了这段公路的维修.那么,这段需要维修的公路的长度是
多少千米?
第三章 代数式109
1.回答下列问题:
(1)已知一批小麦的出粉率是85%.a
kg小麦可磨出面粉多少千克?
要磨出面粉b
kg,需要小麦多少千克?
(2)一个两位数,十位上的数与个位上的数的和为9.
①设这个两位数的十位数字为a,用a 表示这个两位数.
②设这个两位数的个位数字为b,用b表示这个两位数.
2.甲、乙两个口袋中分别装有a
kg和b
kg(a>b)的大豆.要想使两
个口袋中装的大豆一样多,应从甲袋向乙袋倒入多少千克大豆?
ȟM
A 组
1.已知今年弟弟的年龄恰是哥哥年龄的1
2.设哥哥今年的年龄是y 岁,则
9年后哥哥和弟弟的年龄各是多少岁?
2.一个图书馆参加了防火保险,每年的保险费率是0.4%.如果该图书馆
的投保价值是x 万元,那么投保6年应交保险费多少万元?
3.甲、乙两座仓库共有大米50
t,从甲库取出1
10,从乙库取出2
5.设甲库
原有大米x
t,那么如上取出之后甲、乙两库各剩大米多少吨?
B 组
4.一个两位数,个位上的数与十位上的数之和为10,交换个位与十位上两
个数字的位置得到一个新的两位数.设原两位数十位上的数为x,请用
x 表示出原两位数和新两位数.
110
数学 七年级上册
C 组
5.某学校有一块边长为a
m 的正方形草坪,计划在该草坪内修建宽均为
1
m 的小路.
(第5题)
(1)若按图(1)中的方式修建小路,则草坪的实际面积是多少平方米? (用含
a的代数式表示)
(2)若按图(2)中的方式修建小路,则草坪的实际面积是多少平方米? (用含
a的代数式表示)
经过练习,小亮和大华的打字速度都有了提
高,小亮的打字速度达到80个/分,大华比小亮
每分钟多打10个字.
(1)小亮和大华a
min分别能打多少个字?
(2)b
min大华比小亮多打多少个字?
(3)将同为c个字的两篇文章分别交给小亮和大华打,如果要求他们同
时完成任务,那么小亮比大华要提前多少分钟开始打字?
(4)根据以上问题情境,请提出一个数学问题并解答.
上面的问题涉及三个基本的量:打字速度、打字时间、打字数量.这些
量之间具有怎样的关系?
对于上面的问题,可以这样思考和解答:
(1)小亮a
min打的字数就等于80与a 的积,即80a 个字;大华a
min
打的字数就等于(80+10)与a 的积,即90a 个字.
第三章 代数式111
(2)b
min大华比小亮多打的字数就等于b与10的积,即10b个字.
(3)求小亮要比大华提前多少分钟开始打字,就是求小亮打c个字比大
华打c个字多用的时间,也就是求“
c除以80的商与c除以(80+10)的商的
差”,即c
80-
c
80+10
min.
例5 从A地乘火车到北京,普通票价格为40元/人,学生票价格为20元/人.
星期日,A地育才学校组织部分师生到天安门广场观看升旗仪式.
(1)如果有教师14人、学生180人,那么买单程车票共需多少元?
(2)如果有教师x 人、学生y 人,那么买单程车票共需多少元?
(3)如果教师的人数是学生的人数的1
12,那么买单程车票共需要多少
元? (将教师的人数或学生的人数用字母表示)
解:(1)40×14+20×180=4
160(元).
(2)(40x+20y)元.
(3)设教师有x 人,那么学生有12x 人,买单程车票共需(40x+
20×12x)元;如果设学生有y 人,那么教师有y
12人,买单
程车票共需40×y
12+20y
元.
1.已知甲、乙、丙三个数的比为1∶2∶3.如果设甲数为x,请表示
出甲、乙两数的和减去丙数后的差;如果设丙数为z,请表示出甲、丙两数
的和减去乙数后的差.
2.为了预防流感,某校积极为校园环境消毒,购买了甲、乙两种消毒
液共100瓶.其中,甲种6元/瓶,乙种9元/瓶.如果设购买了甲种消毒液
x 瓶,那么购买这两种消毒液共花了多少元?
1.某化肥厂10月份的产量比9月份增长了5%.
(1)如果9月份的产量为a
t,那么10月份的产量为多少吨?
112
数学 七年级上册
(2)如果10月份的产量为b
t,那么9月份的产量为多少吨?
(3)如果9月份的产量为a
t,那么10月份的产量比9月份的产量实际
增加了多少吨?
2.某种商品的进价是a 元/件,商场的标价比进价提高30%,后又按
标价的九折出售.现在,这种商品每件盈利多少元?
ȟM
A 组
1.用几辆相同载质量的卡车装运a 个集装箱,每辆卡车装载4个集装箱后,
还剩下3个集装箱.请用a 表示出卡车的数量.
2.x 和y 都是两位数.现在把y 写在x 的右面组成一个四位数,请用x 和
y 表示出这个四位数.
B 组
3.小明乘公共汽车到书店去买书.上车时,他发现车上已有m 位乘客(包
括小明).车到中途站时,有n 位乘客下车,但又上来若干乘客,这时
公共汽车上共有a 位乘客.请用含m,n,a 的代数式表示出中途上车
的乘客数.
4.甲、乙两种商品原价格的和为100元.现在,甲商品打九折出售,乙商品
提价5%出售.设甲商品的原价格为x 元,请用x 表示出现在甲、乙两种
商品售价的和.
C 组
5.如图,从边长为m+3的正方形纸片上剪下一个边长为m 的正方形后,
剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙).如果拼成的长方形一边
长为3,那么另一边长是多少?
(第5题)
第三章 代数式113
代数学的来源
代数是数学的一个分支.“代数”这个词起源于9世纪阿拉伯数学
家阿尔·花剌子米(al-Khwrizmi,约780—约850)的《还原与对消之
书》(
kitb
al-jabr
wa
al-muqbala),即我们通常所说的《代数学》一书.
约在12世纪时阿拉伯文“al-jabr”被译成拉丁文“algebra”.1859年,我国
清代数学家李善兰(1811—1882)首次将此词译为中文“代数学”,意思
是用符号代表数的一种方法.
早期的代数实际上是指关于解方程的技术.在用字母表示数的方法
尚未出现之前,通常用文字叙述的方法来描述问题和进行计算.这个时
期的代数与算术并无明显的区别.
15世纪前后,数学家开始用字母表示数与式.法国数学家韦
达(François
Viète,1540—1603)首先较系统地引进了字母表示法.他
不仅用字母表示方程的未知数,并且用字母表示方程的系数,因此可以
一般性地得到一元二次方程根的表达式,可以一般性地研究方程的根与
系数的关系.代数与算术开始有了明显的区别,即算术是对具体数的运
算,而代数是讨论能代表任何数的字母的运算.字母表示法的确立,为
代数方程专门理论的建立创造了条件.
我国古代在代数学方面有杰出的成就. 《九章算术》就详细记载了
有关数字系数的一、二、三次方程的解法,还系统地记述了线性方程组
的一般理论.
114
数学 七年级上册
在现实世界中,许多数量之间的关系都可以借助代数式表示出来.
本节课我们就来研究怎样用代数式表示数量之间的关系.
图3.3 1
如图3.3 1,这是一个由1~120的连
续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个
数,那么这9个数的和随方框位置的变化而
变化.
1.设方框左上角的数为a.
(1)请用含a的代数式表示这9个数的和.
(2)当a为1,8,15时,分别求这9个数
的和.
2.设方框正中间的数为m,S 表示这9个数的和,请写出用m 表示S
的关系式.
图3.3 2是由点组成的n 行n 列的方阵,设其总点数为P.图3.3 3
是由每条边上n 个点围成的空心方阵,设其总点数为Q.
图3.3 2
图3.3 3
1.观察图3.3 2和图3.3 3中的方阵,请分别用含n 的代数式表示
它们的总点数P,Q.
第三章 代数式115
2.如图3.3 4,由三种图示方法得到空心方阵的总点数分别为4n-4,
4(
n-1),2n+2(
n-2).请你谈谈是如何得到的.你还有其他的想法吗?
图3.3 4
如图3.3 5,已知大正方形的边长为1,连接对边中点,将大正方形分为
4个边长相等的小正方形,并将其中的3个小正方形涂上阴影,得到如图(1)
所示的图形;连接图(1)中空白正方形的对边中点,又得到4个边长相等的小
正方形,再将其中的3个小正方形涂上阴影,得到如图(2)所示的图形……按
照这样的方式继续分割下去,设阴影部分的面积为S.
图3.3 5
(1)在图(1)中,空白正方形的边长为 ,S=
.
(2)在图(2)中,空白正方形的边长为 ,S=
.
(3)在第n 个图形中,S= .(用含n 的代数式表示)
1.观察下面各式的规律:
m1=1×3,m2=3×5,m3=5×7,m4=7×9,….
请用含n 的代数式表示mn.
116
数学 七年级上册
2.下图是由圆点构成的,其中每行均比上一行多一个圆点,最后一行
有n(n>3)个圆点.设该图中圆点的总数为S.
(1)当n=6时,S 等于多少?
(2)请用不同的方法写出S 与n 的关系式.
(第2题)
ȟM
A 组
1.如图,图(1)中有1个三角形,分别连接这个三角形各边中点就得到
图(2),再连接图(2)中的中间三角形各边中点就得到图(3)……按这样
的方法进行下去,设第n 个图形中三角形的个数为Sn.
(第1题)
(1)请填写下表:
图号
(1)
(2)
(3)
(4)
…
(n)
…
Sn
1
…
…
(2)当三角形的个数为37时,求n 的值.
2.李老师在生物实验室里分组做水稻种子发芽试验:第1组取3粒,第2组
取5粒,第3组取7粒,第4组取9粒……按此规律,请推测第n 组应
该取多少粒种子.
第三章 代数式117
B 组
3.如图是从1开始的连续自然数组成的数表,请观察规律并填空.
(第3题)
(1)表中第8行的最后一个数是
,
它是自然数
的平方,第8行
共有
个数.
(2)用含n的代数式表示:第n 行的第一个
数是
,最后一个数是
,
第n行共有
个数.
4.小明玩一种游戏,每次挪动珠子的颗数与对应所得分数如下表:
挪动珠子的颗数
2
3
4
5
6
…
对应所得分数/分
2
6
12
20
30
…
(1)当挪动的珠子为7颗、8颗时,对应所得分数分别为多少?
(2)设挪动n颗珠子时所得分数为P,请用含n的代数式表示P.
(第5题)
C 组
5.如图所示是用地板砖铺设的部分图案,中央是一
块边长和内角均分别相等的六边形的地板砖,周
围是等边三角形和正方形的地板砖.从里向外的第
1层包括6个正方形和6个等边三角形,第2层包括
6个正方形和18个等边三角形……依此类推.
(1)第3层和第4层中分别包括多少个等边三
角形?
(2)第n 层中包括多少个等边三角形?
118
数学 七年级上册
把数量关系抽象为代数式,再把具体的数代入代数式中,即可得到
代数式的值.这样,就便于我们对许多问题进行计算.
上节课研究了由点组成的空心方阵这一问题,当空心方阵每条边上的点
数为n 时,方阵总点数的一种表示形式是
4n-4.
这是一个含字母n 的代数式.
1.当n 取4,10,13等值时,分别代入代数式4n-4中,请计算出代
数式相应的值.对于n 的同一个值,同学们得到的结果都相同吗?
2.以n=4和n=13为例,请说明你是如何计算出4n-4的值的.
从上可知,代数式中的字母取不同的值,都可以求出代数式相应的值.
一个代数式,可以看作一个计算程序.例如:
1.按照上面的程序,请计算x=3,x=6时的输出值.
2.任意取x 的两个值,请完成上面的求值过程,并与同学相互检查求
值过程和结果是否正确.
像这样,用数值代替代数式中的字母,按照代数式中给出的运算程序计
算出的结果,叫作代数式的值(value
of
algebraic
expression).这个过程叫
作求代数式的值.
第三章 代数式119
例1 当a=-10,b=4时,求代数式a-b
a的值.
解:当a=-10,b=4时,
a-b
a
=-10- 4
-10
=-10+2
5
=-48
5.
图3.4 1
例2 如图3.4 1,已知长方体的高为h,底面是边长为a 的
正方形.
(1)请写出用a 和h 表示长方体的体积V 和表面积S 的
代数式.
(2)当h=3,a=2时,请分别求出长方体的体积V 和
表面积S 的值.
解:(1)V=a
2h,S=2a
2
+4ah.
(2)当h=3,a=2时,
V=a
2h=2
2×3=12,
S=2a
2+4ah=2×2
2+4×2×3=32.
1.根据下面a,b的值,分别求代数式a
2+b
2 和(a+b)
2 的值:
(1)a=1
2,b=1
2; (2)a=4,b=-31
2.
2.当x=2,y=1,z=-3时,求下列各代数式的值:
(1)z-y(z-x); (2)x-y
x+z.
120
数学 七年级上册
ȟM
A 组
1.当a=2,b=1
3时,求下列各代数式的值:
(1)a(a+b); (2)a
2+b; (3)a+ab.
2.请分别计算出当a=-2,a=2,a=1
3时,a-a
2-1
a+1的值.
B 组
3.把一段长为40
cm 的铁丝弯成一个长方形,设长方形一边的长为a
cm.
(1)请写出用a 表示这个长方形面积的代数式.
(2)请完成下表:
长方形一边的长a/cm
2
4
6
8
10
12
14
16
长方形的面积/cm
2
(3)你认为当a 取什么值时,长方形的面积最大? 这时,长方形的形状
是什么样的?
4.(1)请完成下表:
a
-2
-1
-1
2
0
1
2
1
2
3a+2
-3a+2
(2)当a 取的值越来越大时,代数式3a+2的值随之有怎样的变化,代
数式-3a+2的值随之有怎样的变化?
C 组
5.已知代数式(x+y)
2 和x
2+2xy+y
2.
(1)当x=2,y=3时,分别计算出这两个代数式的值.
第三章 代数式121
(2)当x=-2,y=4时,分别计算出这两个代数式的值.
(3)请任取一组x,y 的值,分别计算出这两个代数式的值.
(4)你有什么发现?
小亮家到学校的路程为1
280
m.他每天步
行上学,速度约是80
m/min.我们用t(min)表
示小亮从离开家开始的步行时间,s1(m)表示离
开家的路程,s2(m)表示距学校的路程.
(1)分别写出用t表示s1 和s2 的式子:
s1= ,
s2= .
(2)根据具体的t值,计算s1 和s2 的值,并填写下表:
t/min
0
4
5.5
10
12.5
16
s1/m
s2/m
(3)当t=7
min时,请比较小亮离开家的路程与距学校的路程哪个远.
某农场购买了一台新型拖拉机用来耕地.为了测试耕地时的耗油量,用
它试耕了三块地,其面积分别为0.4公顷、0.6公顷和1公顷.油量表的指
针变化情况如图3.4 2所示(油表中的一个大格表示10升油).
图3.4 2
122
数学 七年级上册
(1)根据油量表指针的变化,请估算耕地0.4公顷、0.6公顷、1公顷
的耗油量,与同学交流,并将结果填入表中.
耕地面积/公顷
0.4
0.6
1
耗油量/升
(2)设耕地a公顷耗油量为b升,请列出a和b之间的关系式.
(3)根据所列的关系式,求解下列问题:
①当耕地面积为0.5公顷、2公顷时,耗油量分别是多少升?
②如果两次耕地耗油量分别是12升和40升,那么所耕地的面积分别是
多少公顷?
在某一时刻,小惠测得一棵2.4
m 高的树在阳光下的影子的长为
1.8
m.
(1)请写出此时高度为h(m)的物体与它在阳光下的影子的长p(m)之
间的关系式.
(2)多高的物体,此时它在阳光下的影子的长为1.5
m?
(3)多高的物体,此时它在阳光下的影子的长超过2
m?
ȟM
A 组
1.爷爷在银行按一年定期存了a 元钱,存款时,一年定期存款的年利率是
2%.
(1)设到期后爷爷取回的本息共为p 元,请写出用a 表示p 的式子.
(2)当a 为1
000,2
000,4
500时,p 的值分别是多少?
(3)请列出一个使a 的值和p 的值相对应的表.
2.某工厂生产了甲、乙、丙三种零件.其中,乙种零件比甲种零件的2倍
多1个,丙种零件比甲种零件的3倍少1个.设甲、乙、丙三种零件分
别为x 个、y 个、z 个.
第三章 代数式123
(1)请分别写出用x 表示y,z 的式子.
(2)请填写下表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
z
(3)请举例说明,对x 的每一个确定的值,分别有y 的一个确定的值和
z 的一个确定的值与它相对应.
B 组
3.甲车从A地出发,以60
km/h的速度沿公路匀速行驶,0.5
h后,乙车
也从A地出发,以80
km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶.
(1)乙车出发x
h后,甲、乙两车离开A地的路程分别为多少千米?
(2)怎样表示乙车追上了甲车?
(第4题)
4.如图,一个碗的高度为7
cm,两个碗摞在一起
的高度为7.8
cm.
(1)请写出n 个碗摞在一起的高度.
(2)求6个碗摞在一起的高度.
C 组
5.观察下列算式:
①1×3-2
2=3-4=-1;
②2×4-3
2=8-9=-1;
③3×5-4
2=15-16=-1;
④
;
︙
(1)请按照以上规律在横线上写出第4个算式.
(2)请把这个规律用含字母的式子表示出来.
124
数学 七年级上册
古老的传说 今日的思索
相传,古代有一位国王对国际象棋非常感
兴趣,于是决定奖赏它的发明者.一天,国王
将发明者召进王宫.
国王:你发明的国际象棋很好,我决定奖
赏你,你想要什么?
发明者:国王,我想要小麦.
国王:要多少?
发明者:在棋盘的格子里放小麦,从第1个格子开始,第1个格子
放1粒,第2个格子放2粒,第3个格子放4粒,第4个格子放8粒,依
此类推,每个格子里的麦粒数都是它前面一个格子里麦粒数的2倍,一直
到最后的第64个格子为止.将这些麦粒数相加,我就要这么多粒小麦.
国王一听,觉得这能有多少小麦呀,于是就立即答应了.国王有这
么多小麦吗?
活动一:计算麦粒数的总和
1.请列出表示麦粒数总和的算式.
2.由1=2-1,可以得到1+2=2
2-1.
进而可得,1+2+2
2=2
3-1,1+2+2
2+2
3=2
4-1.
请按此规律说明1+2+2
2+2
3+2
4+…+2
n-1=2
n-1 (n 为正
整数).
3.请利用上面的等式,计算64个格子里麦粒数的总和.
活动二:估算这些麦粒大约是多少千克
1.估算这些麦粒的总质量大约是多少千克.(可借助计算器)
2.依据上面的计算结果,你认为国王能满足发明者的要求吗?
3.在上面活动的过程中,你有怎样的思考?
第三章 代数式125
一、知识结构
二、总结与反思
1.用字母表示数后,数或字母用运算符号连接组成了代数式.代数式
是现实世界中数量及数量关系的数学表示,用代数式表示数量关系既简明又
具有一般性,同一个代数式还可以表示不同实际问题中的数量关系.
2.列代数式表示数量关系是学习代数的基础,其关键是把实际问题中
的数量关系抽象为和、差、倍、分的关系,概括起来主要有以下两种情况:
(1)整体与部分之间的构成关系,“大数”“小数”与“差”的关系,都
对应数的“和”或“差”的运算.
(2)两个量之间的“倍”“分”关系,对应数的“乘”和“除”的运算.
3.一个代数式可以看作一个计算程序.对代数式中的字母取具体的值,
按程序可以求出代数式的值.一般地,代数式的值随字母取值的变化而变化.
4.通过用代数式表示数量之间的关系,初步感受变化的量之间的对应
关系.用这样简捷的代数式来刻画数量之间的变化规律,便于我们研究问题
及进行相应的计算.
三、注意事项
在用代数式表示数量关系时,要搞清楚要求表示的是哪个量,用哪个或
哪些量来表示.如,“
b比a的2倍多3”,用a 表示b的代数式是b=2a+3,
用b表示a 的代数式是a=b-3
2 .
126
数学 七年级上册
A 组
1.请用代数式表示:
(1)a 是一个不为0的数,a 的相反数的倒数.
(2)a,b,c三数的平均数.
(3)n 袋面粉的质量是m
kg,平均每袋面粉的质量.
(4)一个等腰三角形,其腰长是底边长的2倍,底边长为a,这个等腰
三角形的周长.
(5)一个长方形,宽为b,长比宽多3,这个长方形的面积.
(6)育才学校七年级共有a 名学生,其中男生比女生多24名,这个学校
七年级的男生数和女生数.
2.请用代数式表示:
(1)a,b两数平均数的3倍.
(2)a 的2倍与b的平方的和.
(3)a,b两数平方的和与这两数积的4倍的差.
(4)a,b,c三数的积的倒数与3的和.
3.请列出代数式:
(1)n 表示任意一个自然数,用关于n 的代数式分别表示下列各数:
①能被3整除的自然数;
②被5除余2的自然数;
③按1,3,5,…
排列,第n 个奇数.
(2)对全校的a 名学生进行某项体质测试,达到优良的人数为b 名,则
优良率是多少?
(3)一个长方形的一条边长为a,面积为S,这个长方形的周长是多少?
(4)一个三位数,从百位上的数到十位上的数再到个位上的数,依次小1.
设十位上的数为m,请写出这个三位数.
第三章 代数式127
4.某月共有4个星期日,第一个星期日的日期数是a.请写出这个月星期
日的日期数的和.
5.今年小亮的爷爷的岁数正好是小亮岁数的4倍.设小亮今年a 岁,请写
出5年后小亮的爷爷的岁数.
6.A试验田的面积比B试验田的面积的2倍多50
m
2.
(1)设B试验田的面积为x
m
2,请写出A试验田的面积.
(2)设A试验田的面积为y
m
2,请写出B试验田的面积.
7.一个棱长为a 的正方体铁块,被锻造成一个底面半径为r的圆柱形零件.
请写出这个零件的高.
8.甲车每小时行驶a
km,乙车每小时行驶b
km,甲车先行驶2
h后乙车
出发.请写出乙车行驶35
km 时甲车行驶的路程.
9.对代数式3a 和2a-b,请分别举出两个具有相应数量关系的实例.
10.某兴趣小组的女生人数占全组人数的1
3,再加入6名女生后,女生人数
就是该小组人数的一半.设该小组原有x 人,请用两种不同的方法表
示出男生的人数.
11.某电商出售一种苹果,在网上发布的销售量与销售额的关系如下表:
销售量x/kg
1
2
3
4
…
销售额y/元
8.2
16.4
24.6
32.8
…
(1)请分别计算出当x=5
kg,x=10
kg时,y 的值.
(2)请写出用x 表示y 的代数式.
12.观察下列各式:
1
2+1=1×2,
①
2
2+2=2×3,
②
3
2+3=3×4,
③
︙
请按此规律写出第n 个等式.
128
数学 七年级上册
13.填表:
x
-3
1
2
0
1
2
3.5
6
4x-6
x
2-2x+3
x
x+1
14.当x=1
4时,分别求代数式x
2+2x+1和(x+1)
2 的值.
B 组
15.梯形的上底长为a,下底长比上底长的2倍多3,梯形的高等于上、下
底长的平均数.请写出这个梯形的面积.
16.将x 元钱按1年定期存入银行,到期后将本息再按2年定期存入银行.
如果存款时1年定期存款的年利率是2%,2年定期存款的年利率是
2.5%,那么到期后,本息共是多少元?
17.一项工程,甲队独做10天完工,乙队独做12天完工,丙队独做15天
完工.三队合做x 天后,甲队调离,留下乙、丙两队再做5天.请分
别用含x 的代数式表示出三个队各自完成的工作量,以及总共完成的
工作量.
18.请将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第1个图形有6个小
圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有
24个小圆……按此规律依次递增,第n 个图形有多少个小圆?
(第18题)
第三章 代数式129
19.如图,用a 表示三角形每条边上的花盆数,请用w 表示摆放成三角形
的花盆总数.
(第19题)
(1)请根据上图完成下表:
a/盆
2
3
4
5
6
7
…
w/盆
…
(2)请写出用a 表示w 的代数式.
C 组
20.观察:
2
1-1=1,2
2-1=3,2
3-1=7,2
4-1=15,
2
5-1=31,2
6-1=63,2
7-1=127,2
8-1=255,
︙
(1)请归纳计算结果中的个位数字的规律.
(2)请写出其中个位数字分别为1,3,7,5的算式各两个.
(3)请指出2
100-1计算结果的个位数字.
21.(1)请按底面周长相等的要求,制作无盖、等高的圆柱形和长方体形(底
面是正方形)的容器各一个.
(2)请通过装物实验方法比较哪个容器的容积较大.
(3)设它们的底面周长为a,请通过容积的表达式说明哪个容器的容积大.
(第21题)
130
数学 七年级上册
22.我们都知道乌鸦喝水的故事,现在来做一个道理相同的游戏:如图,在
圆柱形玻璃桶里已有一定量的水,将大小相同的围棋棋子一个个慢慢投
入其中.显然,在有水溢出之前,每投入一个棋子,桶里水位的高度都
会有变化.
(1)投入第1个棋子后,水位上升了多少厘米? 此时桶里的水位高度达
到了多少厘米?
(2)设投入了n 个棋子,且没有水溢出.请用含n 的式子表示此时桶
里水位的高度.
(3)小亮经过思考和计算以后,认为投入72个棋子,正好可使水位达
到桶的高度.你同意他的观点吗? 说说理由.
(第22题)
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ᒏ'+ĄᶒąUҍ6*܍."=.E͑͗
Ąᶒą+Ҁ/ U
ኌچቮ ᄒҳћ
132
数学 七年级上册
整式是一类简单的代数式.在许多问题中,我们经常要用整式表示
有关的量.
1.
小亮家的冰箱平均每天耗电m 千瓦·时,则n天耗电 千瓦·时.
2.
一个两位数,个位数字是x,十位数字是y,这个两位数可表示为
;如果个位数字与十位数字交换位置,所得的两位数可表示为 .
3.为践行绿水青山就是金山银山的理念,实现美丽中国建设,某地计
划逐年增加植树造林的面积.如果第一年植树造林a 公顷,第二年比第一
年增加10%,那么第二年将比第一年的植树造林面积增加 公顷.
图4.1 1
4.如图4.1 1,在边长为a 的正方形内,挖去一个
底为b、高为1
2的三角形,则剩下部分的面积为 .
观察上面得到的代数式:
mn,10y+x,10x+y,10%a,a
2-1
4b.
从所含的运算来看,它们各自有什么特点? 你能尝试给它们分类吗?
单独一个数或一
个字母也是单项式.
像
mn,10%a 这样的代数式,它们都是由数
与字母或字母与字母相乘组成的,我们把这样的代
数式叫作单项式(monomial).
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数(coefficient),所有字母的
指数的和叫作这个单项式的次数(degree).
第四章 整式的加减133
如单项式mn 的系数是1,次数是2;单项式10%a 的系数是10%,次
数是1.
例1 请将下列问题的结果用代数式表示.如果是单项式,请指出它们的系
数和次数.
(1)新能源汽车具有低能耗、低碳等特点,市场认可度持续提升.某
品牌新能源汽车为了进一步提高市场占有率,将原价为a万元/辆
的汽车按九折出售.如果一周内销售了这种汽车b 辆,那么这周
的销售额为多少万元?
(2)小亮从图书馆返回家,若行走的速度为v
m/min,
则t
min所走的路程是多少米?
图4.1 2
(3)如图4.1 2,圆柱形容器内部的底面圆半径为r,
液面高为h,那么其中液体的体积是多少?
当单项式的系数
是1或-1时, “1”
通常省略不写.
解:(1)这周的销售额为0.9ab万元.0.9ab是
单项式,它的系数是0.9,次数是2.
(2)t
min所走的路程是vt
m.vt是单
项式,它的系数是1,次数是2.
(3)容器中液体的体积是πr
2h.πr
2h 是单项式,它的系数是π,
次数是3.
1.请指出下列各式哪些是单项式,并说明理由.
(1)x+y; (2)-x
5; (3)4
a; (4)2πr.
2.填表:
单项式
-a
5x
3
-3
4ab
2
0.3xy
2m
3n
2
abc
7
系数
次数
134
数学 七年级上册
3.请写出两个不同的单项式,要求它们的系数都是-5,所含的字母都
是a 和b,且次数都是3.
ȟM
A 组
1.下列各式哪些是单项式? 为什么?
2
3a,πr
2,1
2x+1,-3xy
3z,a+b
c .
2.请指出下列各单项式的系数和次数:
(1)3x
3; (2)-7
5xyz;
(3)0.12s;
(4)2
3x
2b.
B 组
3.已知单项式-4
5a
2bc
m 的次数是5,请指出单项式2a
mb
3 的次数.
4.商场的某品牌空调标价为m 元/台,节日期间,按八折的优惠价格出售.
商场销售n 台这种空调共收入多少元? 请指出你所得到的单项式的系数
和次数.
C 组
5.请观察下面按照某种规律排列的一组单项式:
-2x,4x
2, ,16x
4,-32x
5,64x
6,…
(1)第3个单项式应该是 .
(2)按此规律排列,次数是7的单项式的系数应该是 .
(3)第n 个单项式应该是 .
第四章 整式的加减135
在前面的“做一做”中,我们还得到了像10y+x,10x+y,a
2-1
4b
这样的代数式,它们都是由单项式相加组成的代数式.我们把这样的代数式
叫作多项式(polynomial).
多项式是若干个单项式的和.我们把多项式中的每一个单项式都叫作
这个多项式的项(term),把不含字母的项叫作常数项(constant
term).
多项式含有几项,这个多项式就叫作几项式.
在多项式里,最高次项的次数,叫作这个多项式的次数(degree).
多项式的次数是几,这个多项式就叫作几次式.
如多项式10y+x 和10x+y 是一次二项式;多项式a
2-1
4b 是二次二
项式,最高次项为a
2.
单项式和多项式统称为整式(
integral
expression).
例2 请写出下列各题中的代数式.如果是单项式,请指出它们的系数和次
数;如果是多项式,请指出它们的项和次数.
(1)目前,在地球上生存的动物约有150万种.其中,无脊椎动物约
有m 万种,脊椎动物约有 万种.
图4.1 3
(2)图4.1 3是某古城墙及门洞的
示意图,其中门洞的下部是长方
形,上部是半圆形,它的面积是
.若城墙上面的垛口都可
看作长为a、宽为b 的长方形,
则5个垛口的面积和是 .
(3)一个三位数的个位数字为a,十
位数字为b,百位数字为c,这个三位数可表示为 .
解:(1)150-m,该多项式的项是150和-m,次数是1.
(2)2rh+1
2πr
2,该多项式的项是2rh 和1
2πr
2,次数是2;5ab,
该单项式的系数是5,次数是2.
(3)100c+10b+a,该多项式的项是100c,10b和a,次数是1.
136
数学 七年级上册
请按要求填表:
多项式
2a-1
-2x+x
2-3
x
3-2xy
2+y
3-x
2y
项
常数项
次数
几次几项式
例3 如图4.1 4,这是一个正方体和一个长方体的组合体.
图4.1 4
(1)请用代数式表示这个组合体的体积.
(2)这个代数式是多项式还是单项式? 如果是多项式,请写出它是几
次几项式.
解:(1)这个组合体的体积是a
3+a
2b.
(2)这个代数式是多项式,它是三次二项式.
1.请指出下列各多项式的项和次数:
(1)a
2-2ab+b
2; (2)x-5x
2y
2+3xy-1.
2.请指出下列各多项式是几次几项式:
(1)x
2-y
2;
(2)3a
4-2a
2+1.
第四章 整式的加减137
ȟM
A 组
1.请指出下列各多项式的项和次数:
(1)3x-2x
2+1; (2)xy
2+x
2y-xy;
(3)abc
2-ac-bc+2;
(4)mn+cd-d+m.
2.请指出多项式5a-3a
2b+b
2a+7ab-1的项数、次数和常数项.
3.某校七至九年级共有学生2
800名.其中,七年级有a 名学生,八年级
有b名学生.那么,九年级有多少名学生?
B 组
4.实验学校七年级有300名学生和25名教师参加了义务植树活动.已知每
名教师植树n 棵,每名学生植树m 棵,那么他们共植树多少棵?
5.请用代数式表示图中长方体形无盖纸盒的容积(纸盒厚度忽略不计)和表
面积.它们是整式吗? 如果是,请分别指出它们是单项式还是多项式.
(第5题)
C 组
6.
已知多项式(a+3)x
3-x
b+x+a 是关于x 的二次三项式,求a
b-ab
的值.
138
数学 七年级上册
我们知道,单位相同的量可以合并,如同分母分数的加减运算.类
似地,在多项式中有没有可以合并的项呢?
小亮用Ⅰ型和Ⅱ型的积木块搭成了图4.2 1和图4.2 2所示的两个不
同形状的“桥”.
图4.2 1 图4.2 2
你能用几种方法表示这两个“桥”的体积之和? 请与同学交流一下.
我们可以看出,一个Ⅰ型积木的体积为a
3,一个Ⅱ型积木的体积为a
2b.
小明的方法 小红的方法
先计算出图4.2 1中“桥”
的体积为2a
3+a
2b,再计算出图
4.2 2中“桥”的体积为3a
3+
2a
2b,所以,两个“桥”的体积
之和为2a
3+a
2b+3a
3+2a
2b.
将两个“桥”看成由5个
Ⅰ型积木和3个Ⅱ型积木组成的
一个整体,所以,两个“桥”的
体积之和为5a
3+3a
2b.
虽然小明和小红所得结果的形式不同,但是这两个多项式表示的都是这
两个“桥”的体积之和.因此有
2a
3+a
2b+3a
3+2a
2b=5a
3+3a
2b.
第四章 整式的加减139
从等式的左边到右边,就是将2a
3 与3a
3
,a
2b与2a
2b分别“合并”在
一起的结果,而2a
3 与3a
3,a
2b与2a
2b除系数不同外,所含字母及相同字
母的指数都是相同的.
几个常数项也是
同类项.
在多项式中,我们把那些所含的字母相同,
并且相同字母的指数也相同的项,叫作同类
项(similar
terms).
根据乘法对加法的分配律,可以得到
2a
3+3a
3=(2+3)a
3, a
2b+2a
2b=(1+2)a
2b.
请观察下面图示中的式子:
在多项式中,具备什么条件的项可以合并? 合并的依据是什么? 合并前
后各项的系数、次数,以及所含的字母有什么变化?
在多项式中,几个同类项可以合并成一项,这个合并的过程,叫作合并
同类项.
在合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持
不变.
合并同类项,就
是利用加法交换律、
加法结合律以及乘法
对加法的分配律进行
加法运算.
例1 合并同类项:
(1)4ab
2-ab-6ab
2;
(2)2x
2y-5x
2y+2
3x
2y+5xy
2;
(3)3a
2b-4ab
2-4+5a
2b+2ab
2+7.
140
数学 七年级上册
解:(1) 4ab
2-ab -6ab
2
=(4-6)ab
2-ab
=-2ab
2-ab.
(2) 2x
2y-5x
2y+2
3x
2y+5xy
2
= 2-5+2
3
x
2y+5xy
2
=-7
3x
2y+5xy
2.
(3) 3a
2b-4ab
2-4
+5a
2b+2ab
2+7
=(3+5)a
2b+(-4+2)ab
2+(-4+7)
=8a
2b-2ab
2+3.
请指出下面多项式中的同类项,并将它们合并:
2x
2-3y-5xy+7+1
6x
2-3
4y.
1.下列各组中的两项是不是同类项? 请说明理由.
(1)ab与2ac; (2)3ab与-ba; (3)a
2bc与ab
2c;
(4)abm 与abn; (5)-8xy
2 与1
2xy
2;
(6)-0.5与9.
2.合并同类项:4a
2-9a+6-3a
2+8a-5.
ȟM
A 组
1.填空:
(1)如果5x
2y 和-x
my
n 是同类项,那么2m-5n=
.
第四章 整式的加减141
(2)当k=
时,将多项式x
2-3kxy-3y
2-1
3xy-8合并同类
项后不含xy 项.
2.请判断下列合并同类项的结果是否正确,并说明理由.
(1)2a+3a=5a; (2)5y
3-3y
2=2y;
(3)6ab-2ba-4ab=0;
(4)4x
2y-5xy
2=-x
2y.
3.请找出下面左、中两列方框中的同类项,用线相连,再将它们合并后填
入右列的方框中:
ab
2
-3
2ab
2
→
-1
2ab
2
a
3b
4ab
→
-7ab
-7ba
3
→
x
-9mnp
→
-mnp
-4x
→
4.合并同类项:
(1)4a+2-7a+8b-5;
(2)15ab
2-2a
2c-12ab
2-6a
2c;
(3)1
2x
3-5
6x
3+1
3x;
(4)4ax+3by-6ax+4bx-3by.
B 组
5.有五个连续的整数,设其中最小的数为n.
(1)请写出这五个数的和.
(2)这五个数各是什么数时,它们的和等于300?
6.某超市9月份购进200件某品牌秋季服装,每件以a 元出售,售出了
120件.进入11月后开始促销,按八折出售,售出了50
件.余下的服
装全部以每件100元售出.求该超市销售这批服装的销售额.
142
数学 七年级上册
当a=1
3时,求多项式5a
2-5a+4-3a
2+6a-5的值.
方法一 方法二
解:当a=1
3时,
原式=5× 1
3
2
-5×1
3+4-
3× 1
3
2
+6×1
3-5
=5×1
9-5×1
3+4-3×1
9+
6×1
3-5
=5
9-5
3+4-1
3+2-5
=-4
9.
解:原式=2a
2+a-1.
当a=1
3时,
原式=2× 1
3
2
+
1
3-1
=2
9+1
3-1
=-4
9.
观察上面的两种解法,哪种方法更简单?
例2 当x=1,y=3
2时,求多项式3xy
2-5xy+0.5x
2y-3xy
2-4.5x
2y
的值.
在通常情况下,
先化简、再求值的方
法比较简单.
解:原式=-5xy-4x
2y.
当x=1,y=3
2时,
原式=-5×1×3
2-4×1
2×3
2
=-27
2.
第四章 整式的加减143
例3 某学校组织七、八年级全体学生参观革命圣地西柏坡.七年级租用
45座(不含司机座位,下同)大巴车x 辆,60座大巴车y 辆;八年级租
用60座大巴车x 辆,30座中巴车y 辆.当每辆车恰好坐满时:
(1)请用含x,y 的代数式表示该校七、八年级学生的总数.
(2)当x=4,y=7时,该校七、八年级共有多少名学生?
解:(1)由题意可知七年级有学生(45x+60y)名,八年级有学
生(60x+30y)名.
所以,七、八年级学生的总数为
45x+60y+60x+30y
=105x+90y.
(2)当x=4,y=7时,
105x+90y
=105×4+90×7
=1
050.
所以,七、八年级共有1
050名学生.
1.当a=-2时,求多项式4a+3a
2-6a-2a
2+13的值.
2.如果一个三角形的第一条边长为m,第二条边长为第一条边长的
2倍,第三条边长为第一条边长的3
2,那么这个三角形的周长是多少?
144
数学 七年级上册
ȟM
A 组
1.已知5ab-a
2+2a
2-7ab-6a
2=ma
2+nab.求m+n 的值.
2.求下列多项式的值:
(1)3x-4x
2+7-3x+2x
2+6.其中,x=2.
(2)x
3-x
2y+xy
2+x
2y-xy
2+y
3.其中,x=1
2,y=-1.
B 组
3.请先合并同类项,再求值:
(1)4ab-3a
2-ab+b
2-3ab-2b
2.其中,a=0.9,b=-1.
(2)-3
2x+1
3y-5
6x+10.其中,x=-8,y=9.
4.一本书有a 页,小明第一天读了全书的2
3,第二天又读了余下部分的1
3.
小明还有多少页没有读?
当a=180时,没有读的有多少页?
C 组
5.放假期间,小明与父母从甲地到乙地自行驾车旅游.出发后,上午行驶
了a
h,平均每小时行驶110
km;中午休息后继续出发,行驶了1.5a
h
到达乙地,平均每小时行驶80
km.求甲地到乙地的路程.
第四章 整式的加减145
在整式中,常常会遇到带有括号的式子,运算时一般需先去掉括
号.那么,怎样去括号呢?
1.请观察下面的两个运算程序,思考问题:
图4.3 1
若a=3,请分别计算出它们输出的结果.你得出了什么结论? 若a=
-5呢?
2.请确定两组a,b,c 的值,并代入下面的式子中.观察计算结果,
你有怎样的思考? 和同学交流一下.
(1)a+(
b+c), (2)a+b+c,
(3)a-(
b+c),
(4)a-b-c.
请谈谈括号前分别是“+”和“-”时,去掉括号后,括号里各项的符
号是怎样变化的.
146
数学 七年级上册
去括号法则
括号前是“+”时,把括号和它前面的“+”去掉,原括号里的各
项都不改变符号.
括号前是“-”时,把括号和它前面的“-”去掉,原括号里的各
项都改变符号.
去括号:
(1)m +(-n-p)= ; (2)m -(-n+p)= ;
(3)m -(n-p+q)= ; (4)m -2(n-p)= .
例 化简下列各式:
(1)5a+2(
b-a); (2)2(4x-3y)-3(2x+3y-1).
解:(1) 5a+2(
b-a)
=5a+2b-2a
=3a+2b.
整式的化简通常
是先去括号,再合并
同类项.
(2) 2(4x-3y)-3(2x+3y-1)
=(8x-6y)-(6x+9y-3)
=8x-6y-6x-9y+3
=2x-15y+3.
1.去括号:
(1)x+(y-z); (2)a-(-b+c);
(3)(x-2y)-(3-2z);
(4)-(a-2b)+(
c-d).
2.
化简下列各式:
(1)6a+(4a-2b);
(2)7x-(-5x+9);
(3)2a+2(3a-b-2c);
(4)x-3(2x+5y-6).
第四章 整式的加减147
ȟM
A 组
1.下列各式去括号正确吗? 如有错误,请改正.
(1)a-2(-b-c)=a+2b+2c;
(2)-2(m-n+1)=2m-2n+2;
(3)x+2(y-z)=x+2y-z;
(4)-6(a+2b)+1
3(
c-d)=-6a-12b+1
3c-1
3d.
2.去括号:
(1)3m+(2n-p); (2)a-3(a
2-b+c).
3.化简下列各式:
(1)(8a-4b)-(4a+4b-c)-2a;
(2)-3x
2+(3x-4x
2)-(2x
2-3x+6).
B 组
4.先化简,再求值:
(1)(a
2-3a)-(-3a-2ab).其中,a=-2,b=0.5.
(2)3(2a+b)-2(2a-3b)+4(3b+2a).其中,a=1
5,b=1
21.
5.任意三个连续的自然数之和能被3整除吗? 请说明理由.
C 组
6.请在下面的横线上填上“+”或“-”,使得运算结果是一个单项式.
3x
2+2xy
(2y
2-3x
2)
(2y
2-2xy).
148
数学 七年级上册
整式的加减是代数式的基本运算,去括号与合并同类项是整式加减
的基础.
某旅行社一旅游项目的收费标准为:成年人a 元/人,儿童b 元/人.
现
有三个家庭报名参加旅游,第一个家庭有4个成年人;第二个家庭有6个成
年人和2个儿童;第三个家庭所付费用是第二个家庭比第一个家庭多付部分
的两倍.
这三个家庭分别付费多少元? 旅行社共收费多少元?
第一个家庭付费4a 元,第二个家庭付费(6a+2b)元,第三个家庭付费
2[(6a+2b)-4a]=(4a+4b)元.
旅行社共收费4a+(6a+2b)+(4a+4b)=(14a+6b)元.
这里,在计算第三个家庭所付费用时,用到了多项式与单项式相减,即
(6a+2b)-4a.在计算旅行社共收费多少元时,用到了单项式与多项式相
加,即4a+(6a+2b)+(4a+4b).这些都是整式的加减.
对于“求整式2a
2+ab+3b
2 与a
2-2ab+b
2 的差”,小明的做法是:
利用去括号法则
和合并同类项,我们
就可以完成整式的加
减运算.
解: (2a
2+ab+3b
2)-(
a
2-2ab+b
2)
=2a
2+ab+3b
2-a
2+2ab-b
2
=a
2+3ab+2b
2.
请观察并思考小明的解题过程,说明整式加减的步骤有哪些.
1.计算:2b
3+(3ab
2-a
2b)-2(ab
2+b
3).
2.求多项式2x
2-3x-1与-x
2+3x-5的和.
第四章 整式的加减149
整式可以像有理数一样进行加减运算,运用整式的加减可以说明一些结
论的正确性.
像这样,利用代数
运算的定义、法则、运算
律和性质等,从条件出发
推导数学结论的推理过程
称为代数推理.
例 设abcd 是一个四位数.若a+b+c+d 可以被
9整除,则这个数可以被9整除.试说明理由.
解: abcd
=1
000a+100b+10c+d
= (999a+99b+9c)+(a+b+c+d)
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d),
因为111a+11b+c是整数,所以9(111a+11b+c)可以被9整除.
因此,若a+b+c+d 可以被9整除,则abcd 可以被9整除.
1.求多项式2a
2+3a-1
2与4a
2-4a+2的差.
2.计算:
(1)(2a-3a
2)+(5a-6a
2);
(2)4(x-1)-7(x+2).
3.先化简,再求值:
(1)(x
2-2x
3+1)-(-1+2x
3+2x
2). 其中,x=2.
(2)(5a
2-3b
2)-3(a
2-b
2)-(-b
2). 其中,a=5,b=-3.
ȟM
A 组
1.计算:
(1)(a
2-2ab+b
2)+(a
2+3ab+2b
2);
(2)3x-2y- -4x+(1+3y)
.
150
数学 七年级上册
2.先化简,再求值:
(1)2(x
2-y
2+1)-2(x
2+y
2)+xy.其中,x=1
2,y=1
4.
(2)(3a
2+7bc-6b
2)-(5a
2-3bc-4b
2).其中,a=5,b=-3,c=1
3.
3.已知多项式A=3x
2-6x+5,B=4x
2+7x-6,求:
(1)A+B; (2)A-B.
4.试说明:一个三位数减去它各个数位上的数的和,差必能被9整除.
B 组
5.已知多项式2x
2+my-12与多项式nx
2-3y+6的和等于-6,试求mn
的值.
6.小明用铁丝制作了一个窗户模型,形状如图所示,上部是半圆形,下部
是边长相同的四个小正方形.
(第6题)
(1)请用含a 的代数式表示这个图形的面积及所用铁丝的总长.
(2)当a=10
cm 时,图形的面积及所用铁丝的总长分别为多少? (结果
取整数,π取3.1,接口处铁丝的用料忽略不计)
C 组
7.在计算多项式M 加x
2-3x+7时,因误写,加的是x
2+3x+7,结果得
到15x
2+2x-4.试求出M 和这个问题的正确答案.
第四章 整式的加减151
一、知识结构
二、总结与反思
1.整式的有关概念.
在学习概念性知识时,我们要关注所给实例,从中“找共性,寻不同”,
从而抽象出数学核心知识,形成数学概念.
(1)在单项式中,数与字母、字母与字母之间都是相乘关系.单项式的
系数包括它前面的符号,当系数是1或-1时,“1”省略不写.单独一个数
或一个字母也是单项式.单项式的次数是所有字母的指数的和.
(2)多项式是若干个单项式的和,因此,多项式的项应包括它前面的符
号.如多项式x
2-x,是由“x
2”与“-x”相加得到的.
(3)同类项有两个“相同”、两个“无关”: “相同”指所含字母相同,
相同字母的指数相同; “无关”指与系数无关,与字母的排列顺序无关.几
个常数项也是同类项.
2.整式的加减运算.
(1)运算步骤:先去括号,再合并同类项.
(2)代数式求值:一般情况下,先化简,再求值.
三、注意事项
去括号时,如果括号前面是“-”,去掉括号后,括号里各项的符号都
要改变.
152
数学 七年级上册
A 组
1.填空:
(1)-2
5ab
2 的系数是 ,次数是 .
(2)多项式2a
2-1
2ab+5ab
2+ab-4的最高次项是 ,常数项是
,同类项是 .
(3)去括号:2x-(3xy-3y
2+5)= .
(4)2x
2-3x-7与4x
2+1的和是 .
2.请把下列整式分类填入下表,并完成表格.
-m,a+1,5x
2,a
2+2ab+b
2,a
2-2ab,-3
4ab
2,-2x
2+3x-6,-1
2.
单项式
系数
次数
多项式
次数
项数
常数项
3.若-3x
my
2 与5x
3y
n 是同类项,则m = ,n= ,
-3x
my
2+5x
3y
n= .
4.合并同类项:
(1)2x-4-4x+6;
(2)y
2-1+3y+5y
2-3y;
(3)ab-7a
2b+2ab
2-9ab+6a
2b-ab
2;
(4)a
3-2a
2b
2+b
4-3a
2b
2-a
3.
第四章 整式的加减153
5.化简下列各式:
(1)2(2b-3a)+3(2a-3b);
(2)(5a
2-2a-1)-4(3-2a+a
2);
(3)4a
2+2(3ab-2a
2)-(7ab-1);
(4)5x
2-[x
2-2x-2(x
2-3x+1)].
6.先化简,再求值:
(1)(3a+2a
2-4a
3)-(-a+3a
3-a
2). 其中,a=-2.
(2)3xy
2-2xy-3
2x
2y+(3x
2y-2xy
2). 其中,x=-4,y=1
2.
7.已知M=-5x
2+3xy-2y
2,N=5x
2-6xy+2y
2,求:
(1)M-N;
(2)M+N.
8.为存放物资,现在要建一个三角形的简易存放地.已知三角形存放地第
一条边的长是3a+2b,第二条边比第一条边长a-b,第三条边比第二
条边短2a.
(1)求这个三角形存放地的周长.(用含a,b的式子表示)
(2)当a=230
m,b=150
m时,围成这个三角形存放地需要多少米材料?
9.已知A=x
2-ax+y,B=bx
2+1
2x-y+2,代数式A-B 的值与字母
x 的取值无关.求a,b的值.
B 组
10.如果代数式
2x
2+3x+7的值为8,那么代数式4x
2+6x-9的值是多少?
11.
已知整式(ax
2+bx-1)-(4x
2+3x)(其中,a,b为常数),先给a,
b赋不同的数值,再进行化简.
(1)甲同学给出了a=5,b=-1.请按照他给出的数值化简整式.
(2)乙同学也给出了一组a,b的值,最后化简的结果为2x
2-3x-1,
求a,b的值.
12.一名同学在做“已知两个多项式A,B,计算2A+B”这道题时,
误将“2A+B”看成了“A+2B”,求得的结果为7x
2-2x+4.已
知B=x
2+3x,求该题的正确答案.
154
数学 七年级上册
13.在数学课上,王老师出示了这样一道题:“当x=-1
2,y=-2
022时,
求多项式4x
2-6xy-3y
2-3x
2-2xy-y
2-2x+1
3
的值.”解完这道
题后,小明指出“y=-2
022”是多余的条件.师生讨论后,一致认为
小明的说法是正确的.请说明小明说法正确的理由.
C 组
14.如图所示的组合体是由棱长为a 的正方体积木拼成的,求这个组合体
的表面积.
(第14题)
(第15题)
15.如图,两个相同的直角三角板重叠后,沿斜边推动其中一块,使它平移
到某一位置.
(1)四边形ABOA'的面积与四边形B'C'CO 的面积有什么关系?
(2)已知BO=3,OB'=2,BC=a.用含a的代数式表示四边形ABOA'
的面积.
16.阅读材料:我们知道,4x-2x+x=(4-2+1)x=3x.类似地,我们
把(
a+b)看成一个整体,则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)
(a+b)=3(a+b). “整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方
法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
请尝试应用整体思想解决下面的问题:
(1)把(
a-b)
2 看成一个整体,合并3(
a-b)
2-(
a-b)
2+2(
a-b)
2.
(2)已知x
2-2y=4,求3x
2-6y-21的值.
(3)已知a-2b=3,2b-c=5,c-d=10,求(a-c)+(2b-d)-
(2b-c)的值.
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156
数学 七年级上册
在小学阶段的学习中,我们对等式的基本性质已经有了初步的认识.
对于含有字母的等式来说,等式的基本性质仍然适用.
在下面的表格中,天平处于平衡状态表示两边物体的质量相等.已知一
个砝码的质量为1
g,一个小球的质量为x
g.请观察左边的等式变化情况,
思考右边对应的操作过程,最后说出一个小球的质量是多少克.
等式及变形情况
天平图示及操作过程
3x+1=x+5.
等式两边都减去1,得
3x+1-1=x+5-1,
3x=x+4.
左右两边同时取走一个砝码.
等式两边都减去x,得
3x-x=x+4-x,
2x=4.
左右两边同时取走一个小球.
等式两边都乘1
2,得
1
2×2x=1
2×4,
x=2.
左右两边同时取走一半的小球和一半的砝码.
第五章 一元一次方程157
通过上面天平的图示以及等式3x+1=x+5的变形情况,我们得知:
在等式两边同时减去1(或减去x),得到的是等式;在等式两边同时乘1
2,
得到的仍是等式.
事实上,等式有如下的性质:
等式的基本性质
1.
等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个整式,结果仍是等
式,即
如果a=b,那么
a±c=b±c.
2.
等式的两边乘(或除以)同一个数(除数不等于0),结果仍是等
式,即
如果a=b,那么ac=bc 或a
c=b
c,c≠0
.
在“观察与思考”中,我们得到了3x+1=x+5,3x=x+4,2x=4,
x=2这样的等式.其中,x 是未知数,我们把这样含有未知数的等式叫作
方程(equation).
例 请利用等式的基本性质,把下列方程化成x=a 的形式.
(1)x+3=8;
(2)6x-4=5x+7.
解:(1)两边都减去3,得
x+3-3=8-3.
所以
x=5.
(2)两边都加上4,得
6x-4+4=5x+7+4.
所以
6x=5x+11.
两边都减去5x,得
6x-5x=5x+11-5x,
158
数学 七年级上册
即
x=11.
请利用等式的基本性质,把下列方程化成x=a 的形式.
(1)3
2x-1=4x; (2)7x
4=2-3x
5.
1.已知等式a=b,请判断下列等式是否成立:
(1)a+2=b;
(2)a-2=b-2;
(3)
a+2=b+2;
(4)a+2=b+3;
(5)
2a=2b;
(6)
-2a=2b;
(7)
1
3a=1
3b;
(8)1
3a=1
5b.
2.请在下列各题的横线上填上适当的式子.
(1)如果3x-2=8,那么3x= .
(2)如果4x+3=5x,那么4x= .
(3)如果m-3n=6,那么m= .
(4)如果5b=3,那么b= .
ȟM
A 组
1.已知等式a=b,请判断下列等式是否成立:
(1)a+b=2b; (2)a+3c=b+3c;
(3)2a-3c=2b-3c;
(4)
a-b=0;
(5)c+a
5=c+b
5;
(6)1-a
2 +b-1
2 =0.
第五章 一元一次方程159
2.请判断下列各式的变形是否正确,并说明理由.
(1)如果ac
2=bc
2,那么a=b.
(2)如果a+c=b-c,那么a=b.
(3)如果a=b,那么a
c=b
c.
(4)如果a+5=b+5,那么a=b.
3.如果x=y,请利用等式的基本性质写出三个关于x 和y 的等式,并说
明依据.
4.请利用等式的基本性质,把下列方程化成x=a 的形式:
(1)x-6=10;
(2)7x-4=5x;
(3)3x=27;
(4)-x=2.
B 组
5.如果代数式x+4
3 与3
5互为倒数,那么x 的值是多少?
6.如果x=2能使等式ax+4=6成立,那么a 的值是多少?
160
数学 七年级上册
在求解含有等量关系的问题中,有时需要先用字母表示未知量,再
利用等量关系建立方程来解决问题.
小明骑自行车从甲村出发去乙村.已知甲村到乙村的路程是18
km,
小明行驶的速度是12
km/h.当小明骑行的时间为t
h时,
距乙村的路程还
有3
km,由此得到方程12t+3=18.
1.一张长方形纸片的周长为20
cm,面积为24
cm
2.设长方形的长为
x
cm,请根据题意列出方程.
2.某市为创建优美宜居城市,计划经过若干年使城区绿化总面积增加
360万平方米.自2020年初开始实施计划后,实际每年新增绿化面积是原
计划的1.25倍,这样可提前2年完成任务.设原计划每年新增绿化面积为
x 万平方米,请根据题意列出方程.
在上面的问题中,我们得到了方程12t+3=18,x(10-x)=24和360
x =
360
1.25x+2.
对于方程12t+3=18,当t=1时,左边=15,左边<右边;当t=2
时,左边=27,左边>右边;当t=1.25时,左边=18,左边=右边.我们
把能使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解(solution).t=1.25就是方
程12t+3=18的解.
第五章 一元一次方程161
观察下列式子:
1-1
2=1
2,
2x+18,
4x-3=1,
x
2+1=10x,
6-x>3,
y=xy+9.
1.请判断哪些式子是方程,哪些不是方程.为什么?
2.请思考每个方程所含未知数的个数与所含未知数的项的次数分别
是多少.
在前面的学习过程中,我们遇到了一类像x+3=8,6x-4=5x+7,
12t+3=18,4x-3=1等这样的方程.在这些方程中,只含有一个未知数(也
称元),并且未知数的次数是1,我们把这样的方程叫作一元一次方程(
linear
equation
with
one
unknown).能使一元一次方程两边相等的未知数的值,叫作
一元一次方程的解(solution).如x=5是一元一次方程x+3=8的解.
已知方程:
①5x=x+6,②2x-5y=-3,③1-2x=3,
④2x
2-5x=0,⑤1=3
x,⑥xy=12.
(1)上面的方程中,哪些是一元一次方程?
(2)x=-1是哪个一元一次方程的解?
1.下列方程中,哪些是一元一次方程?
①x+y=1,②2x+4=0,③1
2x-1=3,
④2x
2=1,⑤xy=10,⑥3
x+1=x.
2.x=2是下列哪个一元一次方程的解?
①5x-4=1,
②2x+1=-1,
③1
2x=2,
④3x-6=0.
162
数学 七年级上册
3.请利用等式的基本性质,将下列方程化成x=a 的形式.
①x+4=2,②11x+4=13,
③1
2x-3=2x-5,④10x-3=17x+2.
ȟM
A 组
1.请用式子表示下列问题中的数量关系,并判断所列式子中,哪些是一元
一次方程.
(1)x 与3的差是5.
(2)代数式2+x 与2y-5的值相等.
(3)两个正方形的边长分别为x
cm,y
cm,它们的面积差为7
cm
2.
(4)小明参加学校的乒乓球比赛,胜了x 场,负了(8-x)场,胜的场数
大于负的场数.
2.在-1,0,1,2,3,4中,哪些值是方程x
2=3x 的解?
3.请利用等式的基本性质,将下列方程化成x=a 的形式.
(1)10+3x=x; (2)2x=x+3.
B 组
4.请根据题意设未知数,并列出方程.(不用求解)
(1)一个数的2倍加30,比这个数的6倍少14,求这个数.
(2)已知地球的表面积约为5.1亿平方千米,其中陆地面积约为海洋面
积的29
71,求陆地的面积.
5.一张长方形纸片,周长是90
cm,长是宽的2倍.
(1)设宽为x
cm,请列出关于x 的方程.
(2)说明x=15是该方程的解,而x=20不是它的解.
C 组
6.已知某月有四个星期日,这四天的日期数之和是58.那么,这个月第一
个星期日的日期数是多少?
第五章 一元一次方程163
一元一次方程是含有未知数的等式.那么,怎样利用等式的基本性
质去解一元一次方程呢?
利用等式的基本性质求方程5x=3x+8的解.
方程的两边都减去3x,得
5x-3x=3x+8-3x,
即
2x=8.
方程的两边同除以2,得
x=4.
x=4就是方程5x=3x+8的解.
我们可以借助下面框图所示的步骤来理解上面解方程的过程:
在解方程的过程中,等号的两边加上或减去方程中某一项的变形过程,
相当于将这一项改变符号后,从等号的一边移到另一边.这种变形过程叫作
移项(transposition).
例1 解下列方程:
(1)5x-2=2x-10; (2)1
3x=2
3x+1.
移项时,注意改
变这一项的符号.
解:(1)移项,得
5x-2x=-10+2.
合并同类项,得
3x=-8.
164
数学 七年级上册
将x 的系数化为1,得
x=-8
3.
(2)移项,得
1
3x-2
3x=1.
合并同类项,得
-1
3x=1.
将x 的系数化为1,得
x=-3.
一般地,对于形如ax=b(a≠0,a,b 是已知数)的一元一次方程,方
程两边同除以a,得到方程的解是x=b
a.
1.下列方程的变形是否正确? 请说明理由.
(1)由x-2=6,得x=6-2. (2)由5=x+3,得x=5-3.
2.解下列方程:
(1)2x+4=x-6; (2)x-9=6-2x;
(3)1
3x+1
6=1;
(4)5x-4=8x+3.
ȟM
A 组
1.解下列方程:
(1)2x-5=x+2;
(2)5x+2=7x-8;
(3)8x-11=-1-2x;
(4)13x=3-11x;
(5)x+1
2=9x-0.5;
(6)1.3-x=3x+5.3.
第五章 一元一次方程165
B 组
2.当a 是什么值时,代数式2a-8的值等于20?
3.三个数的比是1∶2∶4,并且它们的和是84,求这三个数中最大的数.
C 组
4.解下列方程:
(1)2+1
3x=5
3x-7;
(2)5
3-6x=-7
2x+1.
5.已知x=7是方程ax+2=20+a 的解,求a 的值.
例2 解方程:6(2x-5)+20=4(1-2x).
当方程中含有括号
时,一般应先去括号.
解:去括号,得
12x-30+20=4-8x.
移项,得
12x+8x=4+30-20.
合并同类项,得
20x=14.
将x 的系数化为1,得
x=7
10.
例3 解方程:x-1
3 -x-2
6 =4-x
2 .
当括号前是“-”
时,去括号后,括号
内的每一项都要改变
符号.
解:去分母,得
2(x-1)-(x-2)=3(4-x).
去括号,得
2x-2-x+2=12-3x.
移项,得
2x-x+3x=12+2-2.
166
数学 七年级上册
合并同类项,得
4x=12.
将x 的系数化为1,得
x=3.
1.结合例2、例3的学习,请谈谈在解一元一次方程时,需要注意哪
些问题.
2.请总结解一元一次方程的一般步骤,并与同学互相交流.
解方程时,应根
据方程的具体形式,
灵活运用这些步骤.
解一元一次方程的一般步骤是:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项;
(5)将未知数的系数化为1.
解方程:2-5x-7
2
=12-x
3.
1.下列解方程的过程是否正确? 如果不正确,请改正过来.
(1)3-(1-2x)=6, (2)2x+1
4
-1=3x+2
4
,
3-1-2x=6, 2x+1-1=3x+2,
-2x=4,
2x-3x=2,
x=-2.
-x=2,
x=-2.
第五章 一元一次方程167
2.解下列方程:
(1)3(x-1)=9; (2)2x+2
3x=90;
(3)1-2y-5
6
=3-y
4 ;
(4)2x-1
3
-8x+1
6
=2x+1
2
.
ȟM
A 组
1.下面是小明在解下列方程时去分母的过程.这样做对不对? 如果不对,
请帮他改正过来.
(1)x-1
2 -5x+2
4
=1.
去分母(两边同乘4),得
2(x-1)-5x+2=4.
(2)2x-1
3
-5x+2
4
=1.
去分母(两边同乘12),得
4(2x-1)-3(5x+2)=1.
(3)1-x
2 -9x+5
8
=0.
去分母(两边同乘8),得
4(1-x)-(9x+5)=8.
2.解下列方程:
(1)5(x+8)-5=0;
(2)4(x+0.5)+x=7;
(3)-x=-2
5x+1;
(4)1
4(
x+1)= 1
3(
x-1).
B 组
3.请列方程并求出x 的值:
(1)代数式3(2-x)和2(3+x)的值相等.
(2)代数式5(x+2)比2(1-3x)的值小3.
4.解下列方程:
(1)6-3x+2
3
=2
3;
(2)3-x
2 =x+4
3 ;
(3)(x+3)×40%+(8-x)×30%=2
5x;
(4)2x-1
3=-x
3+2;
168
数学 七年级上册
(5)x-1
2 x-1
2x-1
2
=2; (6)7x-1
2
-4x+1
2
=3x+2
4
.
4=1?
请算一道猜年龄的题目:哥哥8岁,妈妈32岁,弟弟年龄的16倍加
上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄,弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰
好等于爸爸的年龄,那么弟弟的年龄是多大?
聪聪同学是这样算的:
设弟弟的年龄为x 岁.列方程,得
16x+8=4x+32.
移项,得
16x-32=4x-8,
16(x-2)=4(x-2).
两边同除以4(x-2),得
4=1.
得出这样奇怪的结果,你可能感到惊讶和不解.那么,错误出在哪
里呢?
下面重新解方程16x+8=4x+32:
移项,得
16x-4x=32-8,
即
12x=24,
x=2.
当x=2时,4(x-2)=0.原来,在聪聪的解题过程中,方程两边同
时除以了一个等于0的因式,才导致了4=1这个错误结果.
正确结果是:弟弟的年龄是2岁.
第五章 一元一次方程169
在小学阶段的学习中,我们通常是利用列算式的方法解决一些实际
问题.实际上,通过设未知数而建立一元一次方程,可以更方便地解决
许多实际问题.
我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:今有鸡兔同
笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何? 这是著名趣题之一.
下面是用列算式与列方程两种不同的方法解答该问题的过程.
列算式解法 列方程解法
每只兔子先算2只足(与鸡的
足数凑齐),此时兔子和鸡的足数
共有
2×35=70.
由于每只兔子少算了2只足,
总共少算的足数为
94-70=24.
所以兔子数为
24÷2=12,
鸡数为
35-12=23.
答:鸡有23只,兔子有12只.
设鸡有x 只,那么兔子有
(35-x)只.因为
鸡的足数+兔的足数=94,
所以
2x+4(35-x)=94.
解这个方程,得
x=23.
从而
35-x=12.
答:鸡有23只,兔子有12只.
1.比较上述列算式的方法与列方程的方法,说说它们各自的特点.
2.谈谈你对方程意义的理解与感悟,并与同学互相交流.
对上述问题,利用列算式的方法求解,要先将每只兔子看成2只足,与
170
数学 七年级上册
每只鸡的足数凑齐(或先将每只鸡看成4只足,与每只兔子的足数凑齐),然
后用足数之差间接求出兔子(或鸡)数.思考过程和算式的得出都比较曲折.
利用列方程的方法,可根据足数之和直接列方程,使得问题的解决比较简单.
例1 某学校七年级同学参加一
次公益活动,其中15%的
同学去作保护环境宣传,
剩下的170名同学去植
树.七年级共有多少名同
学参加了这次公益活动?
分析:参加保护环境宣传的人数+参加植树的人数=总人数.
解:设七年级共有x 名同学参加了这次公益活动,那么作保护环境宣
传的同学有15%x 名.
依题意,得
15%x+170=x.
解这个方程,得
x=200.
答:七年级共有200名同学参加了这次公益活动.
如图5.4 1(1),已知高度为60
cm 的圆柱形玻璃容器内水面的高度为
20
cm.现有体积分别相等的大球、小球若干个.
20 cm
25 cm
图5.4 1
(1)如图5.4 1(2),已知在容器内放入5个小球后,容器内水面的高
度为25
cm,那么在容器内放入1个小球,水面会升高
cm.
第五章 一元一次方程171
(2)在容器内放入1个大球,水面可升高2
cm.如果在图5.4 1(1)所
示的容器内放入大球、小球共18个,水面上升到46
cm,那么应该放入小
球多少个?
1.一个数的3倍与这个数的1
3的和等于6,求这个数.
2.某仓库存放的大米运出25%后,还剩37
500
kg.仓库原有大米多少
千克?
3.一种小麦加工成面粉后,可得到85%的面粉.为得到5
100
kg的面
粉,需要小麦多少千克?
ȟM
A 组
1.有含盐20%的盐水5
kg,要配制成含盐8%的盐水,需要加水多少千克?
2.某农户为消灭棉田中的害虫,需配制一种药水.已知这种药水中药液与
水的质量比为1∶10.配制110
kg这种药水,需要多少千克的这种药液?
3.某村原有林地108公顷、耕地54公顷.为保护环境,需把一部分耕地改造为林
地,使耕地面积占林地面积的20%.那么,要把多少公顷的耕地改造成林地?
B 组
4.一个三位数,三个数位上的数的和是17,百位上的数比十位上的数大7,
个位上的数是十位上的数的3倍,求这个数.
5.甲、乙两队参加植树劳动,甲队人数是乙队人数的2倍.若从甲队抽调
16人到乙队,则甲队剩下的人数比乙队人数的一半少3.求甲、乙两队
原来的人数.
C 组
6.在课间活动中,小英、小丽和小敏在操场上画出A,B两个区域,一起
172
数学 七年级上册
玩投沙包游戏.沙包落在A 区域所得分值与落在B区域所得分值不同,
当每人各投沙包四次时,其落点和四次总分如图所示.那么小敏投沙包
四次所得总分是多少?
(第6题)
甲、乙两地间的路程为375
km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙
两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90
km/h,公共汽车的平均
速度为60
km/h.它们出发后多长时间相遇?
1.找出本题中的等量关系.
2.设两车出发后x
h相遇,请解释图5.4 2的含义.
图5.4 2
3.列出方程并求解.
第五章 一元一次方程173
例2 一项工作,小李单独做需要6
h完成,小王单独做需要9
h完成.如果
小李先做2
h后,再由两人合做,那么还需两人合做几小时才能完成?
分析:本题中含有如下等量关系.
小李单独做6
h的工作量=小王单独做9
h的工作量,
小李单独做2
h的工作量+两人合做的工作量=总工作量,
工作效率×工作时间=工作量.
如果设还需两人合做x
h才能完成,则有下面的分析图.
图5.4 3
解:设还需两人合做x
h才能完成.根据题意,得
1
6×2+ 1
6+1
9
x=1.
解这个方程,得
x=12
5.
答:还需两人合做12
5
h才能完成这项工作.
1.甲、乙两人骑自行车,同时从相距14
km的两地相向而行,甲的速度
为12
km/h,乙的速度为16
km/h,他们出发后多长时间相遇?
小明的解答思路为:设他们出发x
h后相遇,画出如下分析图.
ᇉͩ
12x km
14 km
16x km
174
数学 七年级上册
列出的方程为
12x+16x=14.
(1)请结合图示解释小明所列方程两端各项的含义.
(2)请在学过的题目中选出两道具有“部分+部分=整体”这种等量关
系的题目.
2.为使福利院的孩子们度过一个快乐的儿童节,某玩具厂决定赠送他们
一批玩具.这批玩具甲组独立生产需要10天完成,乙组独立生产需要6天完
成.甲组独立生产2天后,乙组开始参与生产.两组合做多少天可以完成这
批玩具的生产任务?
ȟM
A 组
1.甲、乙两地之间的路程是49
km,一名旅游爱好者步行从甲地到乙地,
以两种不同的速度分两段走完了全程,共用9
h.他在第一段、第二段路
程中的平均速度分别是6
km/h和5
km/h.求第一段和第二段路程的长.
2.一项工程,甲单独做需要9天完成,乙单独做需要12天完成.甲、乙两
人合做3天后,甲有其他任务,剩下的工程由乙单独完成.那么,乙还
需要几天才能完成全部工程?
3.小明对小亮说:“我有一本科普书,第一次读了全书的1
3多2页,第二次接着
读了全书的1
2少1页,最后还剩31页没读.”那么,这本书一共有多少页?
B 组
4.两组同学参加某项公益活动.已知第一组同学单独做需要75
min完成,
第二组同学单独做需要50
min完成.若第一组同学先做15
min,再由两
组同学一起完成剩下的部分,则还需多少分钟才能完成?
5.已知某水池有甲、乙两个进水管.单独开放甲管,15
h可以将空水池注
满;单独开放乙管,24
h可以将空水池注满.如果先打开甲管对空水池
第五章 一元一次方程175
注水2
h,再打开乙管同时注水,那么注满水池还需多少小时?
C 组
6.请根据方程4
12+x
12+x
6=1,编一道应用题.
某学校七年级师生进行了一次徒步活动.带队教师和学生以4
km/h的
速度从学校出发,20
min后,小王骑自行车前往追赶.如果小王以12
km/h
的速度骑行,那么小王要用多长时间才能追上队伍? 此时,队伍已行走了
多远?
小明和大刚的部分解答过程如下:
小明 大刚
解:设小王要用
x
h才能追上
队伍,这时队伍行走的时
间为1
3+x
h.
依题意,得
12x=41
3+x
.
解:设此时队伍行走的路程
为y
km.
依题意,得
y
12
=y
4-1
3.
1.请解释方程
12x=41
3+x
与y
12=y
4-1
3所表示的意义.
2.分别完成他们的解答过程.
3.在解决这类问题时应注意什么?
例3 某农场要对一块麦田施底肥,现有化肥若干千克.若每公顷施肥400
kg,
则余下化肥800
kg;若每公顷施肥500
kg,则缺少化肥300
kg.那
么,这块麦田的面积是多少公顷? 现有化肥多少千克?
解:设这块麦田的面积是x 公顷.依题意,得
400x+800=500x-300.
176
数学 七年级上册
解得
x=11.
现有化肥为
400x+800=5
200.
答:这块麦田的面积是11公顷,现有化肥5
200千克.
在例3中,如果设现有化肥y
kg,请列出方程并求解.
1.小李家和小刚家相距900
m,两人同时从家出发,相向而行.
(1)如果小李每分钟走60
m,小刚每分钟走90
m,那么两人几分钟后
相遇?
(2)如果小李每分钟走60
m,5
min后两人相遇,那么小刚每分钟走多
少米?
2.一块长为200
cm、宽为100
cm、厚为1
cm 的钢板经锻压后宽度不
变,长度增加到320
cm.那么,锻压后的钢板厚度是多少厘米?
3.甲、乙两名同学从学校出发去县城.甲步行,每小时走4
km.甲出
发1.5
h后,乙骑自行车追赶,半小时后追上了甲.求乙的速度.
ȟM
A 组
1.把一个底面直径为40
mm、高为300
mm的圆柱形塑料杯装满水,再把水
倒入一个底面直径为50
mm的圆柱形玻璃杯中(没有溢出).求这个玻璃
杯中水的高度.
2.甲、乙两人同时从相距27
km 的A,B两地相向而行,3
h后相遇.已知
甲比乙每小时多走1
km,求甲、乙两人的速度.
3.一艘轮船在两码头之间匀速航行.已知水流的速度是8
km/h,轮船顺水
航行所需的时间是2.5
h,逆水航行所需的时间是3
h.求这两个码头之
间的路程.
第五章 一元一次方程177
(第4题)
B 组
4.如图,两根铁棒直立于圆柱形水桶的桶底.在桶中加入水
后,一根铁棒露出水面的长度是它的1
3,另一根铁棒露出
水面的长度是它的1
5,两根铁棒长度之和为55
cm.那么
此时水桶中水的深度是多少厘米?
5.从甲城到乙城,原来乘公共汽车需要4
h,原线路改造成高速公路后,平
均车速提高了20
km/h,3
h即可到达.那么两城之间的路程是多少千米?
某企业2022年的生产总值为95
930万元,比
2021年增长了7.3%.那么2021年该企业的生产
总值为多少万元? (结果精确到1万元)
1.请找出本题中的等量关系.
2.设该企业2021年的生产总值为x 万元,请将下表补充完整.
2021年的生产总值
2022年增长的产值
2022年的生产总值
x
3.请列出方程并求解.
例4
某期3年期国债的年利率为2.8%,这期国债发行时,3年期定期存
款的年利率为3.0%.小红的爸爸有一笔钱,如果用来存3年期定期
存款比买这期国债到期后可多得利息48元,那么这笔钱是多少元?
(提示:利息=本金×年利率×年数)
解:设这笔钱是x 元.依题意,得
x×3.0%×3-x×2.8%×3=48.
解得
x=8
000.
答:这笔钱是8
000元.
178
数学 七年级上册
一件上衣按其进价提高40%后标价出售.在促销活动中,以标价的八
折售出,结果仍盈利18元.那么这件上衣的进价是多少元? (提示:利润=
售价-进价,售价=标价×折扣率)
1.某产品每件的成本是200元.如果每件产品按原价的九折出售,商
家所获得的利润率为8%,那么这种产品的原价是多少元?
2.某人购买了一种1年期债券50
000元,到期后共得本息51
750元.
这种债券的年收益率是多少?
ȟM
A 组
1.某钢厂预计今年的钢产量为230万吨,比去年减少15%.那么去年的钢
产量是多少万吨? (结果保留两位小数)
2.某商店为吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售.已知某款旅游鞋每
双的进价为60元,按八折出售后,商家所获得的利润率为40%.那么
这种鞋的标价是多少元,优惠价是多少元?
B 组
3.
2012年年底时,某镇人口为4.8万,人均住房面积约为25
m
2.到2022年
年底,该镇人口增加至6万,人均住房面积达到30
m
2.那么这10年间,
该镇居民住房总面积增长了百分之几?
C 组
4.某村去年种植的油菜籽每公顷的产量达3
600
kg,含油率为40%.今年
第五章 一元一次方程179
改种新选育的油菜籽,每公顷的产量提高了600
kg,含油率提高了
10%.今年与去年相比,油菜籽的种植面积减少了2公顷,而用本村所
产油菜籽榨油时的产油量提高了25%.(榨油损耗忽略不计)
(1)设今年油菜籽的种植面积是x 公顷,请将下表补充完整.
产量/
(千克/公顷)
种植面积/
公顷
油菜籽
总产量/kg
含油率
产油量/kg
去年
3
600
40%
今年
x
(2)求今年油菜籽的种植面积.
图5.4 4 图5.4 5
将一张长和宽分别为40
cm,
30
cm的长方形薄纸板按图5.4 4
中的实线剪开,再按虚线折叠,恰
好折叠成图5.4 5所示的长方体
盒子.如果这个盒子的宽∶高=
4∶1,那么这个长方体盒子的体
积是多少?
例5 为鼓励居民节约用电,某市实行每月阶梯电价收费制度,具体执行方
案如下:
档次
每户每月用电量/(千瓦·时)
执行电价/
[元/(千瓦·时)]
第一档
小于或等于240
0.5
第二档
大于240且小于或等于400时,超出240的部分
0.6
第三档
大于400时,超出400的部分
0.8
180
数学 七年级上册
某户居民6月、7月共用电520千瓦·时,用电费用为268元.已知该用
户7月的用电量大于6月的用电量,且6月、7月的用电量均小于400千
瓦·时.那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时?
解:依题意可知,6月、7月的用电量不可能都在第一档.若6月、
7月的用电量都在第二档,则这两个月用电的总费用为
240×0.5+240×0.5+40×0.6=264≠268,
故6月、7月的用电量也不可能都在第二档.又因为7月的用电量
大于6月的,所以6月的用电量应在第一档,7月的用电量应在第
二档.
设6月的用电量为x 千瓦·时,则7月的用电量为(520-x)千瓦·时.
依题意,得
0.5x+240×0.5+(520-x-240)×0.6=268.
解得
x=200.
520-200=320.
答:该用户6月的用电量为200千瓦·时,7月的用电量为320千瓦·时.
对于分段收费、分段计价等问题,有时需根据题意先确定未知数的范
围,再列出符合题目要求的方程,进而解决问题.
1.已知每立方厘米铁的质量为7.8
g.现有质量为46.8
kg的一块废
铁,把它熔化后铸成铁锭.已知铁锭的外形为长方体形,长和宽分别为
15
cm 和10
cm.那么它的高为多少厘米?
2.某市为鼓励市民节约用水,增强节水意识,决定对居民用水实行“阶
梯收费”办法.规定:每户每月不超过月用水标准部分的水价为2.5元/吨,
超过月用水标准部分的水价为3.5元/吨.该市小明家5月用水量为12吨,
交水费32元.
(1)请判断小明家5月用水是否超过标准用水量.
(2)该市规定的每户月用水标准量是多少吨?
第五章 一元一次方程181
ȟM
A 组
1.一个长方形的周长为26
cm.如果将这个长方形的长减少1
cm,宽增加
2
cm,那么就得到一个正方形.求这个长方形的长.
2.某养鸡场准备在一处空地上修建一个长方形鸡舍.该鸡舍的一边靠墙(墙
足够长),其他三边用36
m 长的丝网围成,且长比宽多3
m.那么这个
长方形鸡舍的长和宽分别是多少米?
B 组
3.一个等腰三角形的三边长分别为7,2x+3,3x-2.那么这样的三角形
有几个? 它们的边长分别是多少?
C 组
4.某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“革命圣地西柏坡一日游”活动,
收费标准如下:
人数
大于0且
小于或等于100
大于100且
小于或等于200
大于200
收费标准/(元/人)
60
55
50
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加
的学生人数小于100,乙校报名参加的学生人数大于100.经核算,两校
分别组团共需花费13
650元,两校联合组团只需花费12
000元.
(1)甲、乙两校报名参加活动的学生共有多少人?
(2)甲、乙两校报名参加活动的学生各有多少人?
182
数学 七年级上册
一、知识结构
Ჽᶩ
ᐄ
ᮽҬᒉ
ӿ̭
ҏ̭
๖
ᐄ
ᐄ ቝޙ
̭
ҏ̭
๖
ᤋ̭
ҏ̭
๖
̭
ҏ̭
๖
ቝᤋ
二、总结与反思
方程是一种非常重要的数学模型,涉及求未知量的实际问题和数学问题
都可以借助于方程来解决.运用方程解决问题的关键是构造出相应的方程,
这个过程就是建立方程模型.
1.由问题建立方程的过程,主要有以下几个环节:阅读和理解问题,
分析和寻找等量关系,设置恰当的未知数,建立方程.
2.建立方程常遇到的等量关系有以下几类:
第一类,和(差)关系.
如,总量=各分量之和,大数=小数+大数与小数的差.
第二类,倍(分)关系.
如,几倍后的量=基础量×倍数,分量=总量×分量对总量所占的份数.
第三类,用不同形式表示的同一个数量相等.
第四类,几何图形中几何量之间的等量关系.
3.解方程是求未知数的值的过程.在求解的过程中,依据等式的基本
性质将方程变形简化,求得方程的解.
4.解一元一次方程的一般步骤是:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项;
第五章 一元一次方程183
(5)将未知数的系数化为1.
三、注意事项
1.在解方程的过程中,需要注意以下几个问题:
(1)去分母时,要对所有的项乘同一个数,避免漏乘不含分母的项.
(2)去括号时,如果括号前是负号,那么括号内每一项都要改变符号.
(3)移项时,要改变符号.
2.由实际问题设未知数列方程,可以先考虑直接设未知数(求什么设什
么).当直接设未知数不容易找到等量关系时,可以间接设未知数.方法的
选择应根据具体问题而定.
3.借助方程解决实际问题,除了检验结果是否符合方程外,还应检验
结果是否符合实际问题.
A 组
1.下列方程的解法错在哪里? 请改正.
(1)解方程x+1
2 =3x-1
2
-1.
解:x+1=3x-1-1,
2x=3,
x=3
2.
(2)解方程2x+1
3
-x+1
6 =2.
解:4x+2-x+1=12,
3x=9,
x=3.
2.解下列方程:
(1)3(x-6)+5x=6;
(2)100(1+3×x%)=115;
184
数学 七年级上册
(3)x
5=30+x
6
;
(4)10%·x+15%(1
000-x)=130;
(5)y-1
2 =1-y-2
3 ;
(6)1
3(1-2x)=3
5(2x+1).
3.将一长为12
m 的钢管截为两段,使其中一段比另一段长40%.这两段
钢管的长各为多少米?
4.A,B两村之间的路程是2
800
m.小明从A村出发向B村步行5
min后,
小军骑自行车沿同一条路从B村向A 村出发,又经10
min两人相遇.
小军骑自行车比小明步行每分钟多走130
m,那么小明每分钟步行多少米?
5.某班去年有6名共青团员,占全班总人数的1
8;今年共青团员人数占全
班总人数的3
16.那么今年有多少名共青团员?
6.某家电商场销售A,B两种品牌的冰箱.5月份A 品牌冰箱的销量是
80台,B品牌冰箱的销量是120台.6月份A品牌冰箱的销量减少了5%,
但总销量增长了16%.那么B品牌冰箱6月份的销量比5月份增长了百
分之几?
B 组
7.一份试卷共有15道单项选择题.每题选对得4分,不选或选错扣1分.
某考生得了45分,那么他选对了多少道题? 如果得35分呢?
8.一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成.
(1)两队合做需几天完成?
(2)甲队先做5天,剩下的部分由两队合做,那么还需几天完成?
9.一艘船的燃料最多用6
h.去时顺水航行,速度为15
km/h;返回时逆水
航行,速度为12
km/h.那么这艘船最多行出多少千米就必须返航?
10.某工厂运来一堆煤.如果每天烧煤1
500
kg,那么比计划提前1天烧
完;如果每天烧1
000
kg,那么比计划多烧1天.如果恰在计划的天数
烧完,那么每天应烧煤多少千克?
第五章 一元一次方程185
11.某汽车站原计划用35辆A型客车送一批学生回家过年,恰好能全部送
走,并且没有空座.因后来又增加了58名学生,车站只好改用27辆较
大的B型客车运送,每辆B型车比A型车可多坐14人,恰好将学生全部
送走.那么,一共有多少名学生?
12.机械厂加工车间有27名工人,平均每人每天加工小齿轮12个或者大齿
轮10个,2个大齿轮和3个小齿轮配成一套.那么该车间要分别安排
多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套?
C 组
13.在明代数学家程大位(1533—1606)所著的《算法统宗》中有这样一道
题:“假如井不知深,先将绳三折入井,绳长四尺;后将绳四折入井,
亦长一尺.问井深及绳长各若干?”
题意是:“用绳子测量井深,把绳子折成三折来量,井外余绳4尺;把
绳子折成四折来量,井外余绳1尺.井深和绳长各是多少?”
请列方程解决这个问题.
14.如图,几张大小不相等的正方形纸片A,B,…,I,无重叠地铺满了
一块长方形纸片.已知正方形纸片E的边长为7,求其余各正方形纸
片的边长.
(第14题)
186
数学 七年级上册ͨ
M"ߕṶ
U
ၜ ბသ
做个小小会计师
一、问题背景
在日常生活中,父母会不定期地给你一些零花钱,让你买学习用品、吃
早餐或买冷饮等.
为了养成勤俭节约、合理消费的好习惯,我们有必要做好
计划并记录日常收支.
小明一周日常收支的记录
8月30日
爸爸给零花钱
50元
9月2日
吃早餐
5.5元
9月2日
买作业本
4.5元
9月3日
买黑色中性笔
6元
9月4日
买三角板
7元
9月4日
买冷饮
8元
9月5日
妈妈给零花钱
10元
随着我国科技的发展,智能
手机移动支付成为人们在日常生
活中最常用的一种支付方式.这
种支付方式对于资金的往来大都
采用账单的方式记录,每一笔记
录均显示收入来源或消费用途、
资金变动的时间以及账户余额等
信息,有的应用软件中还有账目归类的功能.
你能参考移动支付的记账方
式,记录自己的日常收支情况吗?
二、活动任务与建议
1.独立完成下列任务:
(1)参照小明的收支记录,做好自己2周的收支情况记录.
(2)
设计《收支情况记录表》,将自己2周的收支情况记录在表中.要
求分类表示收入与支出,并显示余额.
2.小组合作完成下列任务:
(1)在小组内与同学一起整理、分析各自设计的《收支情况记录表》,
并进一步完善.
(2)结合个人的具体情况,与同学交流对日常消费的认识.
3.反思大家的消费情况,就此提出理性、健康的消费倡议,做一名有
计划、理性、健康消费的中学生.
三、完成活动报告,分享交流
项目学习187
ͨ
M"ߕUιU
ၜ ბသ
天宫空间站轨道长度变了多少
一、问题背景
天宫空间站是我国在低地轨道上自主建设的常
驻大型空间站.天宫空间站轨道高度约为400
km,
设计寿命为10年,长期驻留3人,总质量可达180
t,
可以满足较大规模空间应用的需要.
天宫空间站在长时间绕地飞行的过程中,有
时需要“升轨”或“降轨”.假设天宫空间站升高了m
km,其运行轨道长
度改变了多少呢?
二、活动任务与建议
1.请独立完成下列任务:
(1)请查阅天宫空间站轨道的相关数据,完成下表.
轨道近地点
高度
轨道远地点
高度
轨道平均
高度
地球
半径
每日绕
地圈数
(2)请画两个圆心相同、半径不同的圆,并计算大圆与小圆周长的
差.(结果保留π)
2.请小组成员合作完成下列任务:
(1)将自己独立完成的任务在小组内交流.
(2)在小组内交流将天宫空间站轨道抽象为圆的有关体会.
(3)假设天宫空间站在半径为h
km 的圆形轨道上运行,变轨后天宫空
间站升高了m
km,那么它的运行轨道长度改变了多少千米?
3.通过对计算结果与天宫空间站变轨情况的综合思考,进一步反思
“两个圆半径差与周长差的关系”,尝试提出一般性的结论.
三、完成活动报告,分享交流
188
数学 七年级上册
主题活动报告
编号:
主持人:
年
月
日
活动主题
活动成员
活动时间
活动地点
人员分工
问题论证
探究结论
小组成员的
其他典型发现
交流收获
与自我评价
后 记
2001年,国家正式启动了义务教育阶段的新一轮课程改革。有感于时代的召唤,
编写组正式向教育部提出了编写立项申请。经专家评审,当年12月通过了立项。
2003年3月,依据《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》编写的教科书,经
全国中小学教材审定委员会审查通过,并公布于当年的用书目录中,作为义务教育课
程标准实验教科书,供实验区选用。
2012年3月,编写组依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》完成了教科书的
修订工作。修订后的2011年课标版教科书于2012年秋季开始使用。
2021年12月,编写组启动新一轮教科书编修工作。2023年3月,编写组依据《义
务教育数学课程标准(2022年版)》完成了本套教科书的修订稿。
本套教科书的编写是在深入研究《义务教育数学课程标准(2022年版)》,认真听取
2011年课标版教科书主编杨俊英、副主编王洁敏、核心编者徐建乐和简友等同志的建
议,吸纳一线教师审读及课堂教学实验意见的基础上,进一步创新发展修订而成的,
凝聚了编写组的集体智慧。同时,在编写、完善教科书的过程中,我们得到了众多专
家、学者、教师的大力支持和热情帮助,在此我们表示衷心的感谢,并感谢所有为教
科书的编修工作提供帮助的教育界同人和社会各界朋友。
我们深知,教科书是全面落实立德树人根本任务、弘扬中华优秀传统文化、发展
学生核心素养的重要载体。我们会持续努力,不断提升教科书的质量,朝着建设精品
教科书的目标奋力进取。我们也诚挚地希望广大教师、学生和家长继续关注和支持这
套教科书,使它越来越好。
在使用过程中,如果您有意见或建议,请及时反馈给我们。
联系电话:0311-88643523 0311-88643630
电子邮箱:chuzhongshuxue@hbep.com
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