八年级 下册
义务教育教科书
数 学
八年级 下册
义
务
教
育
教
科
书
数 学
致 同 学
你们好! 在这个春暖花开、播种希望的季节里,大家将更深入地领悟数学的抽象、
模型与推理,开始新学期的数学学习生活。
当你们拿到这本八年级下册教科书时,一定想了解它的内容、它的特点、它的一切。
在设计上,这本书有以下栏目:
观察与思考: 通过观察、感悟和思考,期待你们进一步学会用数学的眼光观察现
实世界,发现问题,提出问题。
一起探究: 通过和大家一起探究,学会用数学的思维方式思考问题,领悟数学思
想和方法。在探究过程中互相启发,有利于分析问题,解决问题。
大家谈谈: 重视问题探究后的反思,尝试将问题进行拓展,并用数学的语言表达
你们的认识。这是促进你们学习进步的重要环节。
做一做: 在学习活动中,通过做一做,你们将体会到运用已有知识和方法解决问
题、巩固应用时获得数学发现的乐趣。
回顾与反思: 把握整体内容,梳理知识脉络,概括总结思想方法,学会从整体上
认识问题和概括归纳。这是不可或缺的学习环节。
在内容上,这本书共有五章内容等待你们去探究,去认识:
平面直角坐标系———建立了平面直角坐标系,平面上的点与坐标之间就形成了一
一对应的关系,架起了沟通代数与几何的桥梁,对探究事物的变化规律起到了重要
作用。
函数———刻画事物变化过程中数量之间关系的重要数学模型。在这里,你们将初
步体会函数在现实生活中的广泛应用。
一次函数———研究描述均匀变化规律的一类函数,它的图象是一条直线。由图象
得到一次函数的性质,运用性质和待定系数法可以解决许多实际问题。
四边形———从三角形到四边形,是数学知识发展的必然,也是数学学习的需要。
这里蕴含了许多数学基本定理和基本思想,对提升推理能力十分有益。
数据的收集整理与描述———统计的基本内容。在这里,你们会发现统计与现实生
活具有十分紧密的联系,它的思想方法具有十分重要的应用价值。
同学们,在新学期里,让我们携手前行,一起走进数学新天地!
第十八章 平面直角坐标系
1
18.1 位置的确定
2
18.2 平面直角坐标系
7
18.3 图形的位置与坐标
15
18.4 图形的运动与坐标
18
读一读 笛卡儿与平面直角
坐标系
27
数学活动 绘制平面地图
28
回顾与反思
29
复习题
30
第十九章 函数
35
19.1 常量和变量
36
19.2 函数
39
19.3 函数的表示
45
读一读 艾宾浩斯遗忘曲线
51
19.4 函数的初步应用
52
回顾与反思
57
复习题
58
第二十章 一次函数
63
20.1 一次函数
64
20.2 一次函数的图象和性质
71
20.3 用待定系数法确定一次函数
表达式
77
20.4 一次函数的应用
81
20.5 一次函数与二元一次方程的
关系
94
回顾与反思
97
复习题
98
第二十一章 四边形
103
21.1 多边形
104
21.2 平行四边形的性质
112
21.3 平行四边形的判定
120
21.4 三角形的中位线
128
21.5 矩形
132
21.6 菱形
139
21.7 正方形
147
21.8 梯形
153
数学活动 在四边形上构造特殊
四边形
158
回顾与反思
159
复习题
161
第二十二章 数据的收集整理与
描述
167
22.1 统计的初步认识
168
22.2 数据的收集
172
22.3 数据的整理与描述
179
22.4 频数分布与直方图
188
22.5 数据变化趋势的刻画
193
回顾与反思
196
复习题
197
项目学习 主题探究(一)
体育健身运动时的心率与年龄的
关系
202
项目学习 主题探究(二)
如何近似计算湖面的面积
203
项目学习 主题探究(三)
八年级学生视力情况调查
204
2
数学 八年级下册
现实生活中,在平面上确定位置的方法有很多.这些方法常常与两
个元素有关.
每名同学在教室里都有一个确定的座位,按照列在前、行在后的顺序,
每个座位都可以用一个有序数对来表示.例如,小明在第3列第5行,可以
用有序数对(3,5)来表示他的座位位置.
按照上面的表示方法,说一说自己在教室里的座位应该怎样表示.教室
里每个座位都能用有序数对来表示吗?
图18.1 1是中国象棋棋盘的示意图,部分黑棋的棋子摆在这些交叉点
上,每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用有序数对来表示.
图18.1 1
(1)用有序数对分别表示“车”“马”“炮”所在的位置.
(2)有序数对(5,3)和(7,4)分别表示哪枚棋子的位置?
(3)象棋规则规定: “车”只能沿直线行走,一次可以走任意格.请用
有序数对来描述“车”的行走路线:A→B→C→D.
第十八章 平面直角坐标系
3
由上可知,在平面内,物体的位置可以用有序数对来表示.但在航海、
航空和工程测量中,通常又用“方位角和距离”来表示物体的位置.
从某个参照点看物体,视线与正北(或正南)方向射线的夹角称为方位
角(azimuth
angle).
>ᄌ̻
ᕊ5
如图18.1 2,在某个时刻,一艘货轮在导航灯北偏东60°的方向上,
且距离导航灯10
km.
图18.1 2
(1)如何用方位角和距离描述导航灯相对于货轮的位置?
(2)在同一时刻,一艘客轮在导航灯北偏西30°的方向上,且距离导航
灯5
km.请在图中标出这艘客轮的位置.
采用“方位角和距离”来表示物体位置的方法,要明确参照点.选择不
同的参照点来表示同一个物体的位置,结果是不同的.
在地图上,常常用经纬度来表示地理位置.例如,我国首都北京位于
北纬39°56',东经116°20';上海位于北纬31°14',东经121°
29'.
2013年9月和10月,国家主席习近平在出访中亚和东南亚国家期间,
先后提出共建“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的重大倡议,
简称共建“一带一路”倡议.根据“一带一路”走向,请依据地图,写出下
列“丝绸之路经济带”所经过城市的大致地理位置.
兰州、乌鲁木齐、撒马尔罕、德黑兰、伊斯坦布尔、莫斯科、杜伊
斯堡.
4
数学 八年级下册
1.在办公软件电子表格的界面上,每个单元格的位置都可以用字母和
数字确定.如图,单元格A1,B1,C1,D1中的内容分别为“姓名” “演
讲”“绘画”“书法”.
(1)请分别指出单元格A2,B3,C4,D5中的内容.
(2)请分别指出王涛的演讲成绩和张磊的书法成绩所在的单元格.
(第1题)
(第2题)
2.如图,如何描述小明家相对于学校的位置? 学校相对于小明家的位
置又该怎样描述?
A 组
1.如图,国际象棋棋盘由纵横各8格、颜色深浅交错排列的64个小方格组
成,棋子可以在这些方格中移动.列和行分别用字母和数字标记,按照
先列后行的顺序,“白车”所在方格A 的位置可用(
c,3)表示.
#
$
%
"
(第1题)
第十八章 平面直角坐标系
5
(1)按照上述规定, “白后”和“黑车”所在方格的位置应该如何表
示呢?
(2)如果从左到右的8列也分别用数字1到8标记,那么应该如何表示
“白后”和“黑车”的位置呢?
(3)国际象棋规则规定:“车”只能沿直线行走,一次可以走任意格.请
按(2)题中的规定,用有序数对描述“白车”的行走路线:A→B→
C→D.
2.如图,以学校为参照点,请用方位角和实际距离分别表示新华书店、少
年宫和超市的位置.
(第2题)
3.如图,甲船从码头A 出发,沿北偏东35°的方向行驶可以直达小岛C.
码头B 在码头A 的正东方向,当乙船与甲船分别从码头B,A 同时等速
出发,并直接驶向小岛C 时,两船可以同时到达.(水流速度忽略不计)
(第3题)
(1)请在图中画出小岛C 的位置.
(2)如果AC=150
km,那么应该如何用方位角和距离描述小岛C 相对
于码头B 的位置呢?
6
数学 八年级下册
B 组
4.某校八年级师生到郊外进行夏令营活动,关于营地驻扎的信息如下:
1号营地在大本营北偏东30°的方向上,距大本营500
m 处;
2号营地在大本营北偏西45°的方向上,距大本营600
m 处;
3号营地在大本营南偏东60°的方向上,距大本营400
m 处.
根据以上信息,按1∶10
000的比例尺画出各营地的位置图.
5.根据“一带一路”走向, “21世纪海上丝绸之路”以重点港口为节点,
共同建设通畅安全高效的运输大通道.请依据地图,写出下列“21世纪
海上丝绸之路”所经过港口城市的大致地理位置.
福州、广州、河内、吉隆坡、雅加达、科伦坡、
加尔各答、内罗毕、雅典、威尼斯、鹿特丹.
第十八章 平面直角坐标系
7
建立数轴后,数轴上的点与实数具有一一对应的关系.那么,建立
平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对之间具有怎样的关系呢?
图18.2 1是某城市部分街道的示意图.在繁星大道和中山路的交叉口
点O 处,小亮向志愿者问路.
图18.2 1
1.按照志愿者的指引,小亮能找到图书大厦吗?
2.如果小亮从点O 处去科技馆,那么他该如何规划行走路线呢?
3.如何约定,才能用唯一的一个有序数对来表示点C 的位置?
如果我们把中山路看成一条数轴(向东的方向为正方向),把繁星大道看
成另一条数轴(向北的方向为正方向),把它们的交点O 看成两条数轴的公
共原点,以1
km 作为数轴的单位长度,约定先说向东(或向西)方向上的距
离,再说向北(或向南)方向上的距离,那么点C 的位置就可以用有序数对
(-2,-1.5)来表示.
8
数学 八年级下册
>ᄌ̻
ᕊ5
在图18.2 1中,按照前面的规定,思考下列问题:
(1)点A,B 的位置应如何表示?
(2)你能在图中找到用(3,-1.5),(-2,2)表示的点的位置吗?
(3)街道所在平面上任意一点的位置都可以用有序数对表示出来吗? 请
举例说明.
如图18.2 2,在平面内,画两条有公共原点且互相垂直的数轴,就
构成了平面直角坐标系(rectangular
plane
coordinates
system).通常,两条
数轴分别置于水平位置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的
正方向.水平的数轴叫作x 轴(或横轴),竖直的数轴叫作y 轴(或纵轴),
x 轴和y 轴统称为坐标轴.x 轴与y 轴的公共原点叫作坐标原点(coordinate
origin).建立了平面直角坐标系的这个平面叫作坐标平面(coordinate
plane).
图18.2 2
图18.2 3
如图18.2 3,已知坐标平面上一点A,怎样找到有序数对来表示它的
位置呢?
从点A 分别向x 轴和y 轴作垂线,垂足在x 轴和y 轴上对应的点表
示的实数分别是x0 和y0.我们把有序实数对(x0,y0)称为点A 的坐
标(coordinate).其中,x0 称为点A 的横坐标,y0 称为点A 的纵坐标.
点A 也记作A(x0,y0).
第十八章 平面直角坐标系
9
在图18.2 3中,写出点M,N,P,Q 的坐标.
例1 如图18.2 4,在平面直角坐标系中,描出点A(0,4),B(4,2),
C(2,-3),D(-2,-3),E(-4,2),并依次连接点A,B,C,
D,E,A.
图18.2 4
图18.2 5
解:在y 轴上描出表示4的点,即得点A(0,4).
分别过x 轴上表示4的点和y 轴上表示2的点,作x 轴和y 轴的
垂线,两条垂线的交点就是点B(4,2).
同理,可以描出C,D,E 三点.
依次连接点A,B,C,D,E,A,即得图18.2 5中所示的图形.
在坐标平面上,任意一点都能用唯一的一个有序实数对来表示吗? 任意
一个有序实数对都能确定坐标平面上唯一的一个点吗?
我们发现:坐标平面上的点与有序实数对具有一一对应关系.
1.某市植物园各主要景点的位置如图所示.以南门所在的位置为坐标
原点,向东方向为正方向的直线作横轴,向北方向为正方向的直线作纵轴,
10
数学 八年级下册
小方格的边长为1个单位长度,建立平面直角坐标系.分别写出东门及各景
点所在位置的坐标.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在平面直角坐标系中,描出下列各点,并按A→B→C→D→A
的顺序用线段把各点连接起来.
(1)A(2,1),B(-2,1),C(-2,-2),D(2,-2).
(2)A(2,2),B(-2,-1),C(-2,1),D(2,-2).
A 组
1.在给出的平面直角坐标系中,写出A,B,C,D,E,F,G 各点的
坐标.
(第1题)
2.新中国从这里走来! 西柏坡是见证革命历史、领略领袖风采的著名爱国
主义教育基地.
第十八章 平面直角坐标系
11
(1)请结合如图所示的西柏坡景区景点分布图,以西柏坡纪念碑所在的
位置为坐标原点,向东方向为正方向的直线作横轴,向北方向为正
方向的直线作纵轴,小方格的边长为1个单位长度,建立平面直角
坐标系,并分别写出各景点所在位置的坐标.
(2)请写出一种建立平面直角坐标系的方法,使得表示西柏坡青少年文
明园所在位置的点的横坐标大于0,纵坐标小于0.
> LᄾᎡ᪴
ᬻ
> LᄾᎡ᪴
ᬻ
(第2题)
3.先画出平面直角坐标系,再描出下列各点:
A(5,3),B(-2,6),C(2,-3),
D(-4,-3),E(-3,0),F(0,4).
B 组
4.小明家在学校北偏东60°的方向上,距学校4
km;小芳家在学校南偏
西45°的方向上,距学校2
km.以学校所在的位置为坐标原点,向东方
向为x 轴的正方向,向北方向为y 轴的正方向,1
km 为1个单位长度,
(第5题)
建立平面直角坐标系.分别求出小明家和小芳
家所在位置的坐标.
5.某快递员服务区域的街道如图所示.现在,他
要把一件快递包裹从仓储中心所在地点O 处尽
快送到点A 处.他选择的一条路径是
(0,0)→(0,3)→(4,3)→
(4,8)→(7,8).
(1)用彩笔在图中标出快递员走的这条路径.
(2)用坐标写出由点O 到点A 的其他最短路径.
12
数学 八年级下册
如图18.2 6,平面直角坐标系的两条坐标轴将平面分成了四个部分,
从右上方的部分开始,按逆时针方向,各部分依次叫作第一象限、第二象
限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.
图18.2 6
如图18.2 7,八边形ABCDEFGH 与两条坐标轴的交点分别是M,
N,P,Q 四点.
图18.2 7
(1)分别写出各点的坐标.
(2)观察各点的坐标,你认为同一象限内点的坐标的共同特点是什么?
(3)指出坐标轴上点的坐标的共同特点.
(4)分别写出点B 关于x 轴的对称点的坐标,关于y 轴的对称点的坐
标,关于原点的对称点的坐标.关于x 轴、y 轴和原点对称的点的特征分别
是什么?
第十八章 平面直角坐标系
13
关于x 轴对称的两点,横坐标相等,纵坐标互为相反数;关于y 轴对
称的两点,横坐标互为相反数,纵坐标相等;关于原点对称的两点,横坐标
和纵坐标分别互为相反数.
例2 在平面直角坐标系中,解决下列问题:
(1)描出下列各点,并把各点依次连接成封闭图形.
A(1,-1),B(3,-1),C(3,1),D(1,1),E(1,3),
F(-1,3),G(-1,1),H(-3,1),I(-3,-1),
J(-1,-1),K(-1,-3),L(1,-3).
(2)观察所得的图形,它是轴对称图形吗? 如果是轴对称图形,画出
它的对称轴.
(3)在(1)题的各点中,分别写出关于x 轴、y 轴和原点对称的点.
图18.2 8
解:(1)描点,连线后得到的图形如
图18.2 8所示.
(2)这个图形是轴对称图形,它
有四条对称轴:x 轴,y 轴,
l1,l2.
(3)关于x 轴对称的点分别是
点A 和点D,点B 和点C,
点E 和点L,点F 和点K,
点G 和点J,点H 和点I.
关于y 轴对称的点分别是点A 和点J,点B 和点I,点C
和点H,点D 和点G,点E 和点F,点L 和点K.关于原
点对称的点分别是点A 和点G,点B 和点H,点C 和点I,
点D 和点J,点E 和点K,点F 和点L.
1.点A(-3,4)在第
象限,其到x 轴的距离为
,到
y 轴的距离为
,到原点的距离为 .
2.点B(3,-5)在第
象限,其关于x 轴的对称点的坐标为
,关于y 轴的对称点的坐标为 ,关于原点的对称点的坐
14
数学 八年级下册
标为
.
3.在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,2).
(1)分别画出点A 关于x 轴、y 轴和原点的对称点B,C,D,并分别
写出点B,C,D 的坐标.
(2)四边形ABDC 是轴对称图形吗? 如果是轴对称图形,请画出它的
对称轴.
A 组
1.若P(a,-2a)是第二象限内的点,则a 的取值范围是 .
2.已知点P(a,b)在第三象限,那么点Q(a,-b)在第 象限,
点M(-a,b)在第 象限,点N(-a,-b)在第 象限.
3.在平面直角坐标系中,已知直线AC 垂直于x 轴,垂足为C,点A 的坐
标是(1,2).求点C 的坐标.
4.建立平面直角坐标系,解决以下问题:
(1)描出下列各点,并把各点依次连接成封闭图形.
A(-2,3),B(2,3),C(5,0),
D(2,-3),E(-2,-3),F(-5,0).
(2)指出上面各点所在的象限或坐标轴.
(3)分别写出上面各点关于x 轴、y 轴和原点对称的点.
B 组
5.如果点M(a,b)在第四象限,且到x 轴和y 轴的距离相等,那么a 和b
的关系是 .
6.如果M(a,b),N(
c,d)是平行于x 轴的一条直线上的两点,那么b
与d 的关系是 .
7.在长方形ABCD 中,点A 的坐标为(-2,3),点B 的坐标为(3,3),
BC=8.求点C 的坐标.
第十八章 平面直角坐标系
15
在坐标平面中,利用图形上点的坐标可以描述图形的位置.因此,
建立适当的平面直角坐标系,能够方便地解决一些问题.
图18.3 1
如图18.3 1,小亮画了一个四边形,他想通过
电话告诉小强,让小强也能准确地画出相同的图形.
大家替他想想办法,如何用语言描述这个四
边形.
小明说:“建立平面直角坐标系,告诉这个四边形四个顶点的坐标就能
画出相同的图形.”
你认为小明的说法可行吗? 说说理由.
在实际生活中,经常需要建立适当的平面直角坐标系,通过坐标来描述
某个图形的位置与形状.
已知一个边长为4的正方形.建立适当的平面直角坐标系,通过各顶点
的坐标来描述它的位置.
(1)图18.3 2(1),(2),(3)分别是三名同学建立的平面直角坐标系.
请分别将四边形各顶点的坐标填写在下面的表格中.
平面直角坐标系
点A 的坐标
点B 的坐标
点C 的坐标
点D 的坐标
(1)
(2)
(3)
16
数学 八年级下册
图18.3 2
(2)这三种建立平面直角坐标系的方式各有什么优点? 说说你的看法.
(3)你还能建立其他平面直角坐标系吗?
建立不同的平面直角坐标系,同一个图形的顶点坐标也不同,应根据图
形的特点及实际情况来建立适当的平面直角坐标系.
图18.3 3
如图18.3 3,在等腰三角形ABC 中,底边BC=4,
高AD=6.
(1)请在网格图中建立适当的平面直角坐标系,并写
出点A,B,C 的坐标.
(2)说明你建立这个平面直角坐标系的理由.
1.选择适当的方法,将图中图形的形状告诉你的同学,以便他们能画
出相同的图形.
(第1题)
(第2题)
2.如图,已知等边三角形ABC 的边长为6.请建立适当的平面直角坐
标系,并写出顶点A,B,C 的坐标.
第十八章 平面直角坐标系
17
A 组
1.小敏画了一个如图所示的四边形.如果小红不看这个图形,小敏用什么
方法能让小红也画出同样的图形?
(第1题)
(第2题)
2.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAB 的斜边OB 的长为
4个单位长度.
(1)写出点B 的坐标.
ᎄԃܩ
(第3题)
(2)还可以怎样建立平面直角坐标系,
使得各顶点的坐标更为简单?
3.如图,请建立适当的平面直角坐标系,
并用坐标表示各旅游景点的位置.
B 组
4.已知点A 的坐标为(0,0),点B 的坐标为(4,0),点C 在y 轴上,
△ABC 的面积为10.求点C 的坐标,并在平面直角坐标系中画出符合
条件的三角形.
(第5题)
5.在一次夏令营活动中,老师将一份行动计划藏
在没有任何标记的点C 处,只告诉大家点A
和点B 处各是一棵树,坐标分别为(0,0),
(30,10),点C 的坐标为(20,20).请确定
点C 的位置,尽快找到这份行动计划.(单
位:m)
18
数学 八年级下册
在平面直角坐标系中,图形的运动使图形的位置发生了变化,图形
上点的坐标也会相应地发生变化.
将一个图形沿坐标轴方向平移后,对应点的坐标是如何变化的呢?
图18.4 1
1.在坐标平面上,一个智能机器人接到指
令后,从原点出发,移动的路线如图18.4 1
所示.
(1)写出A,B,C,D,E 这五个点的坐标.
(2)指出智能机器人在各条路线上移动的
方向和距离,并填写下表.
移动的路线
移动的方向和距离
坐标的变化
横坐标
纵坐标
O(0,0)→A(0,2)
向上移动2个单位长度
不变
加2
A(0,2)→B( )
B( )→C( )
C( )→D( )
D( )→E( )
2.在平面直角坐标系中,将一个图形沿坐标轴的方向平移时,各对应
点的坐标有怎样的变化规律?
在平面直角坐标系中,若将图形沿x 轴方向向右(或向左)平移m 个单
位长度,则各对应点的横坐标增加(或减少)m,纵坐标不变;若将图形沿
y 轴方向向上(或向下)平移n 个单位长度,则各对应点的横坐标不变,纵坐
标增加(或减少)n.
第十八章 平面直角坐标系
19
例 如图18.4 2,在平面直角坐标系中,长方形ABCD 各顶点的坐标分别
为A(-2,1),B(2,1),C(2,3),D(-2,3).将长方形ABCD 沿
x 轴方向向右平移5个单位长度,得到长方形A1B1C1D1.请写出长方
形A1B1C1D1 各顶点的坐标,并指出对应顶点坐标的变化规律.
图18.4 2
解:长方形A1B1C1D1 各顶点的坐标分别为:
A1(3,1),B1(7,1),C1(7,3),D1(3,3).
对应顶点坐标的变化规律为:长方形A1B1C1D1 各顶点的横坐标
是将长方形ABCD 各顶点的横坐标都增加5、纵坐标不变而得
到的.
1.在图18.4 2中,将长方形ABCD 沿y 轴方向向下平移4个单位长
度,画出平移后的长方形,写出其各顶点的坐标,并说出图形平移前后对应
顶点的坐标是如何变化的.
2.在图18.4 2中,将长方形ABCD 先沿x 轴方向向右平移6个单位
长度,再沿y 轴方向向下平移5个单位长度,画出平移后的长方形,写出
其各顶点的坐标,并说出图形平移前后对应顶点的坐标是如何变化的.
在平面直角坐标系中,将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移时,各对
20
数学 八年级下册
应点坐标的变化规律如下:
图形上任意
一点P(x,y)
第一次平移
第二次平移
沿x 轴方向平移
m 个单位长度
坐标
沿y轴方向平移
n个单位长度
坐标
向右平移
P'(x+m,y)
向上平移
P″(x+m,y+n)
向下平移
P″(x+m,y-n)
向左平移
P'(x-m,y)
向上平移
P″(x-m,y+n)
向下平移
P″(x-m,y-n)
1.已知平面直角坐标系中一点P(1,1),写出这个点向下平移2个单
位长度,再向左平移2个单位长度后的坐标.
2.在平面直角坐标系中,已知线段AB 两个端点的坐标分别为
A -3,3
,B -5,0
,P(x,y)是线段AB 上任意一点.根据线段的平
移情况,写出点A,B,P 平移后对应点的坐标.
平移方向和距离
A -3,3
B -5,0
P x,y
向左平移4个单位长度
向下平移3个单位长度
向右平移2个单位长度,再向上平移4个单
位长度
向左平移3个单位长度,再向下平移5个单
位长度
A 组
1.如图,将三角形①平移,与三角形②拼成一个长方形,正确的平移方法是:
先向 平移 个单位长度,再向 平移 个单位长度.
第十八章 平面直角坐标系
21
(第1题)
(第2题)
2.各三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示.请分别说明△A1B1C1,
△A2B2C2,△A3B3C3 是由△ABC 如何变化得到的,并指出它们各对
应顶点坐标之间的关系.
3.在平面直角坐标系中,四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A -3,0
,
B -2,-2
,C -4,-3
,D -5,-1
.把这个四边形向上平移
4个单位长度,再向右平移6个单位长度后,得到四边形A1B1C1D1.
写出四边形A1B1C1D1 的顶点坐标,并画出这个四边形.
B 组
4.在同一平面直角坐标系中有四个三角形,其各顶点坐标如下表所示:
三角形
各顶点的坐标
△ABC
A -2,3
B -4,1
C -1,0
△A1B1C1
A1 3,3
B1 1,1
C1 4,0
△A2B2C2
A2 -2,-1
B2 -4,-3
C2 -1,-4
△A3B3C3
A3 2,0
B3 0,-2
C3 3,-3
画出这四个三角形,并分别说明△A1B1C1,△A2B2C2,△A3B3C3 是
由△ABC 经过怎样的变化得到的.
5.在平面直角坐标系中,将点P(x,y)向右平移1个单位长度,再向上平
移2个单位长度到点P'.写出点P'的坐标,并求出线段PP'的长.
22
数学 八年级下册
如果两个图形关于坐标轴成轴对称,那么各对应点的坐标之间有什么关
系呢?
如图18.4 3,在平面直角坐标系中,△ABC 各顶点的坐标分别为:
A(-5,1),B(-1,1),C(-2,4).
"
#
0
$
6
4
2
2
4
6
2
4
2
4
图18.4 3
(1)分别把点A,B,C 关于x 轴和y 轴对称的点的坐标填写在下
表中.
△ABC 顶点坐标
A -5,1
B -1,1
C -2,4
关于x 轴的对称点
A1
B1
C1
关于y 轴的对称点
A2
B2
C2
(2)在图18.4 3中作出与△ABC 关于x 轴成轴对称的△A1B1C1,关
于y 轴成轴对称的△A2B2C2.
(3)根据对应点坐标的变化规律,描述关于x 轴、y 轴成轴对称的两个
三角形对应顶点坐标之间的关系.
关于x 轴成轴对称的两个图形,各对应点的横坐标相等,纵坐标互为
相反数;关于y 轴成轴对称的两个图形,各对应点的横坐标互为相反数,
纵坐标相等.
将一个多边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘(或除以)相同的正数,所得
多边形与原多边形之间的形状和大小有什么关系呢?
第十八章 平面直角坐标系
23
1.如图18.4 4,在平面直角坐标系中,五边形OABCD 各顶点的坐
标分别为:
O(0,0),A(0,2),B(2,3),C(4,2),D(3,0).
(1)将各顶点的横坐标和纵坐标都乘2,写出各对应点O1,A1,B1,
C1,D1 的坐标.
(2)在平面直角坐标系中,描出这些点并依次连接各点,得到的五边
形O1A1B1C1D1 与五边形OABCD 相比较,形状和大小有什么变化?
图18.4 4
图18.4 5
2.如图18.4 5,在平面直角坐标系中,四边形OABC 各顶点的坐标
分别为:
O(0,0),A(2,6),B(6,6),C(8,0).
(1)将各顶点的横坐标和纵坐标都乘1
2,写出各对应点O1,A1,B1,
C1 的坐标.
(2)在平面直角坐标系中,描出这些点并依次连接各点,得到的四边
形O1A1B1C1 与四边形OABC 相比较,形状和大小有怎样的变化?
3.分别过每对对应顶点画直线,你能发现什么结果?
将一个多边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘k 或1
k(k>1),所得多边形
的形状不变,各边扩大到原来的k 倍或缩小为原来的1
k,且连接各对应顶点
的直线相交于一点.
24
数学 八年级下册
1.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(第1题)
(1)作与△ABC 关于x 轴成轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1 各
顶点的坐标.
(2)作与△ABC 关于y 轴成轴对称的△A2B2C2,并写出△A2B2C2 各
顶点的坐标.
2.已知△ABC 的顶点坐标分别为A 0,0
,B 6,0
,C 3,4.5
,
△A1B1C1 的顶点坐标分别为A1 0,0
,B1 12,0
,C1 6,9
,△A2B2C2
的顶点坐标分别为A2(0,0),B2(4,0),C2(2,3).
(1)△A1B1C1 与△ABC 的形状和大小各有什么关系?
(2)△A2B2C2 与△ABC 的形状和大小各有什么关系?
A 组
1.在如图所示的平面直角坐标系中,解决下列问题:
(1)在图(1)中,将长方形OABC 各顶点的横坐标和纵坐标都乘1.5,写
出各对应点的坐标,并画出放大后的四边形.
第十八章 平面直角坐标系
25
(2)在图(2)中,将△ODE 各顶点的横坐标和纵坐标都除以3,写出各
对应点的坐标,并画出缩小后的三角形.
(第1题)
2.(1)在如图所示的平面直角坐标系中,分别描出点A,B,C 关于原点O
的对称点A1,B1,C1,写出点A1,B1,C1 的坐标,并分别依次连接
点A,B,C,A 和点A1,B1,C1,A1.
"
#
$
0
2
4
4
2
2
4
(第2题)
(2)描述△ABC 和△A1B1C1 各对应顶点坐标之间的关系.
(3)△A1B1C1 是由△ABC 经过怎样的变化得到的?
B 组
3.在平面直角坐标系中,△OAB 经过变化后得到的相应图形如图(1)~
图(6)所示(虚线为原图形).
(1)分别写出图(1)~图(6)中与点O,A,B,C,D 对应的点的坐标.
(2)说明图(1)~图(6)中的图形分别发生了怎样的变化.
26
数学 八年级下册
(3)图(1)~图(6)中的图形变化前后,其对应点的坐标之间各有什么关
系? (填写表格)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(第3题)
图号
图形的变化
对应点坐标的变化
(1)
向右平移3个单位长度
P(x,y)→P1(x+3,y)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
第十八章 平面直角坐标系
27
笛卡儿与平面直角坐标系
笛卡儿(Descartes,1596-1650),法国哲学家、数学家、物理学家.
笛卡儿在哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域都有值得称
道的创见,是17世纪欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,被誉为
“近代科学的始祖”.
笛卡儿对数学的杰出贡献是创立了解析几何.
1637年,笛卡儿发表了《几何学》,用平面上的一点
到两条固定直线的距离来确定点的位置,使得平面图
形中的点P 与有序实数对(a,b)建立了一一对应关
系,从而创立了坐标系.笛卡儿的这一天才创举,改
变了自古希腊以来代数和几何分离的倾向,把
“数”与“形”统一起来,
使几何曲线与代数方程相结合,为微积分的创立奠定了基础,从而开拓了
变量数学的广阔领域.
平面直角坐标系是代数与几何联结的桥梁,把形象的几何图形和运动
过程变成代数的形式,原来静止不动的几何图形可以转化成点连续运动的
轨迹,进而通过代数的方法进行精确的刻画,使得用代数方法研究几何问
题成为现实.
28
数学 八年级下册
绘制平面地图
在公园、博物馆等大型参观游览场所,为了满足游客的个性化需求,常
常需要提供不同主题的平面地图;在向他人介绍自己所在的学校、社区、户
外休闲娱乐场地等的整体布局时,有一张该地的平面地图,同样能够达到事
半功倍的效果.
活动一:
选择某一场景,提炼相应主题,成立问题探究小组.小组成员先独立思
考、查阅资料、请教相关学科教师,再在小组内合作交流,确定活动方案,
为绘制选定主题的平面地图做好前期准备.
活动二:
小组成员按照活动方案分工协作,做好探究主题所需要的相关数据的收
集工作.
活动三:
小组合作,共同完成所选场景平面地图的绘制工作.在班内展示交流,
取长补短,进一步修订和完善各组所绘制的平面地图.
第十八章 平面直角坐标系
29
一、知识结构
二、总结与反思
位置的确定有多种方法:确定地理位置可用经纬度,确定相对位置可用
方位角和距离,而在平面上确定点的位置则常用建立平面直角坐标系的方
法.建立了平面直角坐标系以后,平面上的点与有序实数对之间就建立了一
一对应关系,这样就为用代数的方法来研究几何问题提供了可能.因此,平
面直角坐标系是数形结合的重要桥梁,也是我们运用数学知识解决实际问题
的重要工具.
1.平面直角坐标系.
平面直角坐标系是由两条具有公共原点且相互垂
直的数轴构成的.建立平面直角坐标系后,平面上任
意一点都可以用一个有序实数对来表示;反过来,任
意一个有序实数对都可以表示平面上的一点.
2.图形上点的坐标.
对于给定的图形,通过建立适当的平面直角坐标系,利用图形上点的坐
标,能够方便地解决各类问题.
3.用坐标的变化来研究图形的平移、轴对称和放缩.
设m 为正实数,P(x,y)为图形上任意一点.
(1)如果将图形分别沿坐标轴向左、向右、向上和向下平移m 个单位
长度,那么点P(x,y)相应地变为点P1(x-m,y),P2(x+m,y),
P3(x,y+m),P4(x,y-m).
30
数学 八年级下册
(2)如果分别作该图形关于x 轴和y 轴的轴对称图形,那么点P(x,
y)相应地变为点P1(x,-y),P2(-x,y).
(3)如果将多边形各顶点的坐标P(x,y)变化为P1(mx,my)或
P2 x
m,y
m
(m>1),那么这个多边形各边的长扩大到原来的m 倍或缩小为
原来的1
m.
三、注意事项
1.同一个点在不同的平面直角坐标系中,其坐标一般也不相同.说一
个点的坐标,都是相对某一个确定的平面直角坐标系来说的.
2.对一个图形,建立不同的平面直角坐标系,图形上点的坐标也不相
同.要根据图形的特点建立适当的平面直角坐标系,以使图形上点的坐标尽
可能简单.
A 组
1.如图,A,B,C,D,E,F,G,H 分别是平面直角坐标系中的点,
写出这些点的坐标.
(第1题)
2.在平面直角坐标系中,描出下列各点,再把它们依次连接成封闭图形,
看看得到的图形像什么,并写出这些点关于坐标轴对称的点的坐标.
(0,0),(1,3), (2,3), (3,2),(3,0), (1,-1), (2,-1),
第十八章 平面直角坐标系
31
(1,-3),(0,-1),(-1,-3),(-2,-1),(-1,-1),(-3,0),
(-3,2),(-2,3),(-1,3).
3.填空:
(1)若点A 在第二象限,且到x 轴的距离为2,到y 轴的距离为3,则
点A 的坐标为 .
(2)若点A(a,b)在第二象限,则点B(-a,b)在第 象限.
(3)点P(-4,-2)到x 轴的距离是 ,到y 轴的距离是 ,
到原点的距离是 .
(4)若点A(3,5)关于x 轴的对称点是B(3,m),则m= .
(5)到x 轴和y 轴的距离都等于2的点有 个,坐标分别为
.
(6)在平面直角坐标系中,已知点A 的坐标为(2,3).若将OA 绕原
点O 逆时针旋转90°得到OA1,则点A1 的坐标为 .
4.在平面直角坐标系中,描出下列各点:A(0,5),B(1,1),C(5,0),
D(1,-1),E(0,-5),F(-1,-1),G(-5,0),H(-1,1).顺次
连接各点成为封闭图形.这个图形还可以看成由图形中的哪一部分经过
(第5题)
怎样的变化得到的?
5.在如图所示的平面直角坐标系中,解答下
列问题:
(1)写出图中标出的各点的坐标.
(2)画出所给图形关于y 轴对称的图形,并
写出图中各点关于y轴的对称点的坐标.
6.小亮在某市动物园的门票上看到这个动物
园的平面示意图(如图).请借助刻度尺、
量角器解决如下问题.
(1)填空:
①百鸟园在大门的北偏东 度的方向上,到大门的图上距离约
32
数学 八年级下册
(第6题)
为
cm.
②大象馆在大门的北偏东
度的方向上,到大门的图上距
离约为
cm.
③狮子馆在大门的南偏东
度的方向上,到大门的图上距
离约为
cm.
(2)建立适当的平面直角坐标系,用
坐标分别表示猴山、大象馆、狮子馆和百鸟园在图中的位置.
7.一个长方形的长和宽分别为6和5.建立适当的平面直角坐标系,写出
这个长方形各顶点的坐标.
8.在平面直角坐标系中,解答下列问题:
(1)描出A(-2,1),B(-3,-5),C(0,4)三点.依次连接各点,
得到△ABC.
(2)将△ABC 向右平移,使其顶点A 移到点(1,1)的位置.画出平移
后的三角形,并写出B,C 两点平移后的坐标.
(3)△ABC 平移前后,对应点的坐标之间有什么关系?
9.在平面直角坐标系中,描出A(2,1),B(0,-3),C(4,-4)三点,
依次连接各点得到△ABC.分别作出与△ABC 关于x 轴和y 轴对称的
图形△A1B1C1 和△A2B2C2,并写出它们各顶点的坐标.
(第10题)
10.在如图所示的平面直角坐标系中,解
答下列问题:
(1)五边形ABCDE 各顶点的坐标通
过怎样的变化后可得到五边形
A1B1C1D1E1?
(2)五边形ABCDE 各顶点的坐标通
过怎样的变化后可得到五边形
A2B2C2D2E2?
第十八章 平面直角坐标系
33
11.按要求解答下列问题:
(1)填表:
(x,y)
(x,-y)
(-x,y)
(x-2,y) (x+2,y-1) (2x,2y)
A(1,1) A1( ) A2( ) A3( )
A4( )
A5( )
B(1,3) B1( ) B2( ) B3( )
B4( )
B5( )
C(4,3) C1( ) C2( ) C3( )
C4( )
C5( )
(2)在平面直角坐标系中,画出以上表中每一列三个点为顶点的三角
形,然后说明所得三角形与△ABC 的位置关系.
B 组
12.已知点P2x-3,3-x
到两个坐标轴的距离相等,试确定点P 的位置.
13.已知点P(a-1,2a+2)在第二象限内,求a 的取值范围,并在数轴上
表示.
14.如图,在平面直角坐标系中,一个平行四边形(虚线)经过不同的变化分
别得到图(1)~图(4)中的相应图形.
(1)写出图(1)~图(4)中点A 变化后的坐标.
(2)图(1)~图(4)中的图形分别发生了怎样的变化? 图形变化前后,其
对应点的坐标之间有什么关系?
(1)
(2)
(3)
(4)
(第14题)
34
数学 八年级下册
C 组
15.在平面直角坐标系中,解答下列问题:
(1)描出下列各点,并把各点依次连接构成一个封闭图形.
A(0,1),B (0,-1),C(3,-1),D (3,-2),E (5,0),
F(3,2),G(3,1).
(2)对图形上所有顶点的坐标分别进行下列变化,请指出相应图形的位
置和形状的变化.
坐标变化
图形的位置和形状的变化
P a,b
→P1 a+2,b-3
图形向右和向下分别平移2个单位长度和3个单位
长度,形状不变
P a,b
→P2 -a,b
P a,b
→P3 -a,-b
P a,b
→P4 2a,2b
P a,b
→P5 1
2a,1
2b
16.在平面直角坐标系中,以原点为圆心、5为半径画圆,写出圆周上横坐
标与纵坐标都是整数的点的坐标.
17.在方格纸上设计一幅你喜欢的图案(如花朵、小动物、房子等),建立适
当的平面直角坐标系,写出图案中关键点(影响图案形状及位置的点)的
坐标,并画出放大适当倍数后的新图案.
36
数学 八年级下册
在描述一个事物的变化过程时,常常会涉及一些量.其中,有些量
是不变的,有些量是变化的.
我们知道,物体在匀速运动过程中,路程=速
度×时间.
这里的路程、速度和时间就是三个不同的量.
这些量在不同的变化过程中会有怎样的具体表现形
式呢?
1.中国标准动车组“复兴号”是由我国自主研发、具有完全自主知识
产权、达到世界先进水平的新一代高速列车,也是我国科技创新的又一重大
成果.已知某高速列车在一运行区间内匀速行驶,速度为
350
km/h.
(1)填写下表:
时间t/h
0.5
1
1.5
2
路程s/km
(2)在这个问题中,哪些量是不变的,哪些量是变化的? 变化的量之间
存在着怎样的关系?
2.用一根长为20
cm 的细铁丝任意折出一个长方形.在长方形的长、
宽、周长和面积这四个量中,哪些量是不变的,哪些量是变化的? 变化的量
之间存在着怎样的关系?
3.类似地,请再举出两个实际问题的例子,并分别说明它们各含有几
个不同的量,其中哪些量是不变的,哪些量是变化的.
在问题1中,共有三个量.其中,速度350
km/h是不变的量,路程和
第十九章 函数
37
时间都是变化的量,它们之间满足关系s=350t.
在问题2中,共有四个量.其中,长方形的周长20
cm 是不变的量,
长方形的长、宽和面积都是变化的量.如果用a 表示折出的长方形的长,
用S 表示长方形的面积,那么长方形的宽为20-2a
2
=10-a,S 和a 之间满
足关系S=a(10-a).
在一个变化过程中,数值保持不变的量叫作常量(constant),而可以取
不同数值的量叫作变量(variable).
请指出你自己举出的两个例子中的常量和变量.
在下列各问题中,分别有几个量? 其中哪些量是常量,哪些量是变量?
这些量之间具有怎样的关系?
(1)每张电影票的售价为50元.某日共售出x 张票,票房收入为y 元.
(2)一台小型台秤最大称重为6
kg,每添加0.1
kg重
物,指针就转动6°的角.添加重物质量为m
kg时,指针转
动的角度为α.
(3)如图19.1 1,有n 个点阵图,其中第n 个点阵图
中点的总个数为a.
图19.1 1
38
数学 八年级下册
1.已知数a 比数b的平方大1.
(1)填写下表:
b
-3
-2 -0.5
0
1
3
3
5
100
a
(2)请指出问题中的常量和变量,并写出a 与b之间的关系式.
2.已知一个梯形的高为10,下底长是上底长的2倍.设这个梯形的上
底长为x,面积为S.请指出问题中的常量和变量,并写出S 与x 之间的关
系式.
A 组
1.写出下列各问题中的常量和变量:
(1)购买单价为5元的钢笔n 支,共花去y 元.
(2)某汽车以60
km/h的速度行驶了t
h,所走的路程为s
km.
(3)神舟飞船绕地球一周约需90
min,t
min绕地球的周数为N.
2.粮店在某一段时间内以4.8元/千克的价格出售同一种大米.在售米的过
程中,出售大米的质量记为m(kg),获得的米款记为W (元).其中,哪
些量是常量,哪些量是变量?
B 组
3.某中学八年级(2)班的同学平均每人一学期要使用某种笔记本8本,这种
笔记本的售价是3元/本.n名同学一学期买这种笔记本的总金额为m 元.
请指出问题中的常量和变量,并写出m 与n之间的关系式.
4.某地某一时刻的地面温度为10
℃,高度每增加1
km,温度下降4
℃.
请指出问题中的常量和变量,并写出该地某一高度这一时刻的温度y(℃)
与高度x(km)之间的关系式.
第十九章 函数
39
我们知道,方程和不等式是描述等量关系和不等关系的数学模型.
那么,用什么模型来描述一个事物变化过程中两个变量之间的关系呢?
>ᄌ̻
ᕊ5
1.思考并解决下列问题:
(1)下表是某自动售货机上半年的纯收入情况:
月份n
1
2
3
4
5
6
纯收入S/元
4
560
4
790
4
430
4
200
4
870
4
730
根据这个表格,你能说出1~6月每个月的纯收入吗?
(2)图19.2 1是某市冬季某天的气温变化图.
图19.2 1
观察这个气温变化图,你能找到3时、9时和16时对应的温度吗? 你
能得到这天24小时内任意时刻对应的温度吗?
(3)某报告厅共有30排座位,第一排有20个座位,后面每一排都比前
一排多2个座位.若用n 表示排数,m 表示第n 排的座位数,请写出用n
表示m 的表达式.根据写出的表达式,是否可以得出任意排数的座位数?
2.在上述三个问题中,分别指出其中的变量,并说明在同一个问题中,
当其中一个量变化时,另一个量是否也在相应地变化;当其中一个量取定一
个值时,另一个量是否也相应地确定一个值.
40
数学 八年级下册
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x 和y,如果对于x 的每一个
确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说y 是x 的函
数(function).其中,x 叫作自变量(
independent
variable).
如上面问题
1(1)~(3)中,自动售货机的纯收入S(元)是月份n 的函
数,n 是自变量;某市某一天的气温T(℃)是时刻t的函数,t是自变量;
报告厅内第n 排的座位数m 是排数n 的函数,n 是自变量.
如果y 是x 的函数,那么我们也说y 与x 具有函数关系.
1.如果y 是x 的函数,那么哪个量是自变量,哪个量是自变量的函数?
2.在上面的“观察与思考”中,我们认识了用数值表、图形、表达式三
种方式分别表示的函数.请用这三种方式再各举一个表示函数关系的例子.
1.党的十九大以来,我国人民的生活发生了巨大变化.下表是国家统
计局公布的2017年至2021年全国居民人均可支配收入的情况:
年份
2017
2018
2019
2020
2021
全国居民人均可支配收入/元
25
974
28
228
30
733
32
189
35
128
在这里,全国居民人均可支配收入(元)与年份两个量之间是否具有函数
关系? 若具有函数关系,请指出其中的自变量和关于自变量的函数.
2.海水受日月的引力而产生潮汐现象.海水早晨上涨的现象叫作潮,
黄昏上涨的现象叫作汐,潮与汐合称潮汐.某港口的某一天,从0时至
24时的水位情况如图19.2 2所示.变量h(m)与变量t(时)是否具有函数
关系? 若具有函数关系,则哪个量是自变量,哪个量是这个自变量的函数?
图19.2 2
第十九章 函数
41
1.下表给出的是一出租车司机某年
4月
24日至
5月
7
日两周时间内
每天的收入情况:
日期
4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日4月30日
收入/元
225
280
254
261
303
322
266
日期
5月1日5月2日5月3日5月4日5月5日5月6日5月7日
收入/元
387
276
381
263
270
338
259
表中反映的两个量之间是否具有函数关系? 如果具有函数关系,那么我
们可将其中哪个变量看作另一个变量的函数?
2.某“复兴号”列车以350
km/h的平均速度从A 地开往B地.请
写出行驶的路程s(km)与行驶的时间t(h)之间的关系式,并指出其中哪个
量是自变量,哪个量是自变量的函数.
A 组
1.如图,对于每一个确定的时刻,是否都能相应地确定一个温度? 哪个变
量是另一个变量的函数?
14 16
4
6
8 10 12
2
(第1题)
(第2题)
2.如图,在△ABC 中,BC=8.设BC 边上的高AH =x,那么△ABC 的
面积S= .当x 发生变化时,变量有 、 .
其中, 可以看成 的函数.
42
数学 八年级下册
(第3题)
B 组
3.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚
动,其速度每秒增加2
m/s.
(1)写出小球的速度v(m/s)和滚动的时
间t(s)之间的函数关系式,并指出其
中的自变量和函数.
(2)当小球滚动了3.5
s时,其速度是多少?
4.一台拖拉机在开始工作前,油箱中有油40
L,开始工作后,每小时耗油
6
L.
(1)写出油箱中的剩余油量W (L)与工作时间t(h)之间的函数关系式,
并指出其中的自变量和函数.
(2)工作3
h后,油箱中的剩余油量为多少升?
函数的自变量可以在允许的范围内取值,超出这个范围可能失去意义,
这就是函数的自变量的取值范围问题.
在前面讲到的“自动售货机1~6月的每月纯收入S(元)是月份n 的
函数”“某市某一天的气温T(℃)是时刻t的函数”“报告厅内第n 排的座
位数m 是排数n 的函数”中,自变量分别可取哪些值? 为什么?
实际上,在上述三个问题中,月份n 只能取1,2,3,4,5,6;时刻t
可取这一天0时至24时中的任意值;排数n 只能取小于或等于30的正
整数.
图19.2 3
例 如图19.2 3,等腰直角三角形ABC 的直角
边长与正方形MNPQ 的边长均为10
cm,边
CA 与边MN 在同一条直线上,点A 与点M
第十九章 函数
43
重合.让△ABC 沿MN 方向运动,当点A 与点N 重合时停止运动.
试写出运动中两个图形重叠部分的面积y(cm
2)与MA 的长度x(cm)之
间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
解:因为等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均
为10
cm,所以AC=BC=QM=MN,∠BAC=45°,∠QMN =
90°.所以,运动中两个图形的重叠部分也是等腰直角三角形.
由MA=x,得
y=1
2x
2,0≤x≤10.
函数自变量的取值范围由两个条件所确定:一是使函数表达式有意义,
二是使所描述的实际问题有意义.
1.求下列函数中自变量的取值范围:
(1)y=2x
2+7; (2)y=
2
x(x+1); (3)y=
1
x-2
.
2.某市居民用电的收费标准为0.52元/(千瓦·时),求电费y(元)与
用电量x(千瓦·时)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
3.已知一等腰三角形的面积为20
cm
2.设它的底边长为x
cm,底边
上的高为y
cm,求y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
1.求下列函数中自变量的取值范围:
(1)y=2x-5; (2)y=
2
x
2-1
; (3)y= 2-x.
2.一辆长途汽车以60
km/h的平均速度从甲地驶往乙地.已知甲、乙
两地之间的路程为270
km,求汽车距乙地的路程s(km)与行驶时间t(h)
之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
44
数学 八年级下册
A 组
1.求下列函数中自变量的取值范围:
(1)y=-x; (2)y=1
2x+2
3x;
(3)y=
1
2x-1;
(4)y= x+4.
2.某工厂生产某种产品,每件产品的生产成本为25元,出厂价为50元.
在生产过程中,平均每生产一件这种产品有0.5
m
3 的污水排出.为净化
环境,该厂购买了一套污水处理设备,每处理1
m
3 污水所需原材料费为
2元,每月排污设备耗费30
000元.
(1)求该厂每月的利润与产品件数之间的函数关系式.
(2)为保证盈利,该厂每月至少需生产并销售这种产品多少件?
B 组
3.求函数y= x-2- x+3中自变量的取值范围.
4.某汽车以100
km/h的速度匀速行驶时的油箱剩余油量变化情况如下表:
汽车行驶时间t/h
0
1
2
3
…
油箱剩余油量Q/L
60
54
48
42
…
(1)根据上表中的数据,请写出Q 与t之间的函数关系式.
(2)该车行驶5
h后,油箱中的剩余油量是多少升?
(3)若在该车的油箱中加满60
L汽油,且使其以100
km/h的速度匀速
行驶,则该车最多能行驶多远?
第十九章 函数
45
函数有不同的表示方式,可用来表达不同问题情境中两个变量之间
的关系,帮助我们分析和解决问题.
我们知道,用数值表、图形和表达式等都可以表示两个变量之间的函数
关系.现在,我们对这些表示方法作进一步的探究.
声音在空气中传播的速度(简称声速)与气温之间具有函数关系.某研究
者通过实验得到了如下一组关于气温x(℃)与声速y(m/s)对应的数值:
气温x/℃
-10
-5
0
5
10
15
20
声速y/(m/s)
325
328
331
334
337
340
343
这是用数值表的形式来表示声速y(m/s)与气温x(℃)之间的函数关系.
1.以横轴表示气温,每5
℃为1个单位长度,以纵轴表示声速,每
100
m/s为1个单位长度,建立平面直角坐标系.以表格中给出的气温和声
速的数值为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系中描点,连线(用平滑
的曲线连点),画出图形.
2.观察表格中的数值,不难发现:气温每升高(或降低)5
℃,对应的
声速增加(或减少)3
m/s.根据这个特点,求声速y(m/s)和气温x(℃)之
间的函数关系式.
图19.3 1
通过上面的“做一做”,我们发现在这个问
题中,声速与气温这两个变量之间的函数关系,
既可以用数值表来表示,也可以用图19.3 1
中的图形来表示,还可以用函数表达式y=
3
5x+331来表示.
46
数学 八年级下册
一般地,我们把一个函数的自变量x 的值与对应的函数y 的值分别作
为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系中描点,所有这些点组成的图形
就叫作这个函数的图象(
image).如图19.3 1中的图形就是函数y=3
5x+
331的图象.
观察可知,函数y=3
5x+331的图象为一条直线.
数值表、图象和表达式是函数关系的三种不同表达形式,它们分别表现
出具体、形象直观和便于抽象应用的特点.
例 在平面直角坐标系中,画出函数y=2x+1的图象.
解:(1)列表.根据函数表达式,取自变量的一些值,得出函数的对应
值,按这些对应值列表:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-3
-1
1
3
5
…
(2)描点.根据自变量和函数的数值表,在平面直角坐标系中
描点.
(3)连线.用平滑的曲线将这些点连接起来,即得函数的图象,如
图19.3 2所示.
图19.3 2
第十九章 函数
47
图19.3 3
用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根,
显示器显示的结果随输入数的变化而变化.设输入的数
为x,显示的结果为y,程序如图19.3 3所示.
(1)请写出y 与x 之间的函数关系式,并指出自变
量的取值范围.
(2)根据函数关系式,填写表格:
x
0
1
4
9
16
…
y
…
(3)借助这些对应的数值画出这个函数的图象.
1.下图是某地某个星期日天气预报的部分截图.请根据图中的信息回
答下列问题:
(1)画出气温随时间变化的函数的图象.
(2)观察图象,说明气温变化的趋势.
(第1题)
2.小莉和父母出去散步,从家出发20
min后到达离家900
m 的书店,
母亲随即按原速度返回,父亲停留10
min后,用了15
min回到家.请根据
关于小莉父亲或母亲距家的路程y(m)和离家时间x(min)的函数的图象
回答:
(1)哪幅图象表示小莉父亲距家的路程y 与离家时间x 的关系?
(2)哪幅图象表示小莉母亲距家的路程y 与离家时间x 的关系?
48
数学 八年级下册
(3)余下的那幅图象是关于小莉的,请讲述一段与之相符的故事.
900
10 20 30 40 50 60
(1)
(2)
(3)
(第2题)
A 组
1.在某超市中,西红柿的标价是6元/千克.购买x
kg西红柿,应付费
y 元.
(1)写出y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(2)请画出这个函数的图象.
2.一辆汽车行驶在路途中.出发时,油箱内存油40
L.行驶若干小时后,
司机停车吃饭,饭后继续行驶一段时间后到某加油站准备加油.图中表
示的是该过程中油箱里剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数关系.
(第2题)
(1)行驶几小时后司机开始吃饭? 吃饭用了多长时间?
(2)饭后行驶几小时到加油站? 到加油站时油箱内还有多少升油?
(3)在饭前与饭后的行驶过程中,汽车每小时的耗油量相同吗? 请说明
理由.
第十九章 函数
49
3.小亮家到学校的路程为1
500
m.一天,他步行去上学,最初以某一速
度匀速行进,途中遇到熟人小强,说话耽误了几分钟.与小强告别后,他
改为匀速慢跑,终于准时到校.设小亮从家出发后所用的时间为t(min),
行进的路程为s(m).
(1)在下列图象中,哪幅能表示上述过程?
(2)从其他两个图象中任选一个,写出与图象相应的情境.
(1)
(2)
(3)
(第3题)
B 组
4.宁宁同学设计了一个计算程序,根据计算程序得到的数据如下表:
输入数据x
1
2
3
4
5
…
输出数据y
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
根据表格中数据的对应关系,求输出数据y 与输入数据x 之间的函数关
系式.
(第5题)
5.在用表达式和图象这两种方式表达玩具车以
1
m/s的速度匀速行驶的过程时,得到了表达
式y=x 和如图所示的函数图象.
(1)请从图象上任意找出5 个点,并写出这
5个点的坐标.
(2)说明(1)中得到的5个点的坐标均可使表达
式y=x 成立.
(3)任意写出满足表达式y=x 的三个有序正数对,说明分别以这三个
有序正数对为坐标的三个点都在函数图象上.
50
数学 八年级下册
C 组
6.周老师上下班一直坚持步行.已知学校到周老师家的路程为2
000
m.
一天,周老师下班后以45
m/min的速度从学校往家走,走到距学校900
m
时遇到朋友,停下来聊了20
min,之后以110
m/min的速度走回了家.
在周老师回家的过程中,距家的路程s(m)与所用时间t(min)之间的关
系如图所示.
(第6题)
(1)求a,b,c的值.
(2)求周老师从学校到家的平均速度.
第十九章 函数
51
艾宾浩斯遗忘曲线
每个人都有这样的体验:
学过的知识会遗忘.但遗忘有什么规律吗?
德国著名心理学家艾宾浩斯(Hermann
Ebbinghaus,
1850-1909)对此进
行了系统的研究.他认为,输入的信息在认真学习后,就成为人的短时记
忆.但是如果不及时复习,这些记住的东西就会被遗忘.
艾宾浩斯采用了
无意义的音节(例如
SUW,XIQ等)作为记忆的材料进行试验,获得如下
相关数据:
时间
刚记忆完20分钟后1小时后9小时后1天后
2天后
6天后
30天后
记忆量
100%
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
并根据上表绘制了一条曲线,如下图.
@ᓳF
ᬣK๖
这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线.这条曲线告诉我们:遗忘的进程是
不均衡的,但是有显著的规律,这就是先快后慢.你看,在前面几小时里
遗忘的速度是多么快呀!
到
6天以后,遗忘的速度就变得很慢.这条曲线
给我们什么启示呢?
学习的知识如果不及时复习,一天后大约只能记住开
始的三分之一了!
因此,我们要尊重科学,及时复习,与遗忘抗争,巩固
记忆.
你不妨与小组的同学进行一次试验.你们分成甲、乙两组,同时学习
同一段课文,甲组下午复习一次,乙组不复习.
第二天测试,分别计算出两
组平均的记忆保持量,体验一下艾宾浩斯遗忘曲线给世人的启示.
52
数学 八年级下册
很多实际问题和数学问题都表现为两个相关变量之间的函数关系.
因此,学会建立函数模型,并用函数模型来解决问题,是十分重要的.
常用的温度计量单位有两种:一种是摄氏温度(℃),另一
种是华氏温度(℉).中央气象台天气预报中的气温,用的就是
摄氏温度.
已知摄氏温度值和华氏温度值有下表所示的对应关系:
摄氏温度/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度/℉
32
50
68
86
104
122
(1)当摄氏温度为30
℃时,华氏温度为多少?
(2)当摄氏温度为36
℃时,由数值表能直接求出华氏温度吗? 试写出这
两种温度计量之间关系的函数表达式,并求出摄氏温度为36
℃时的华氏温度.
(3)当华氏温度为140
℉时,摄氏温度为多少?
大家都熟悉奥运会的标志图案———五环图.在五环图的上面三个环中填
入三个连续的偶数,在下面的两个环中填入两个连续的奇数,使得这三个连
续偶数的和等于这两个连续奇数的和(如图中已经填好的2,4,6和5,7).
1.请按照要求再填写两组数,并谈谈你的想法.
第十九章 函数
53
2.如果用2x-2,2x,2x+2表示三个连续的偶数,用2y-1和2y+1
表示两个连续的奇数,请写出y 与x 之间的函数关系式,并谈谈如何用这
个函数关系式写出更多符合要求的数组.
实际上,上述问题中的函数关系式为y=3
2x.为保证x,y 都为整数,
x 必须取偶数.如当x=20时,y=30,满足条件的一组数是:偶数38,
40,42;奇数59,61.
1.一支20
cm 长的蜡烛,点燃后,每小时燃烧5
cm.在图19.4 1
中,哪幅图象能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间
t
(h)之间的函数关系? 请说明理由.
(1)
(2)
(3)
图19.4 1
2.一等腰三角形的周长为12
cm,设其底边长为y
cm,腰长为x
cm.
(1)写出y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(2)画出这个函数的图象.
1.某人以4
km/h的速度步行.请写出他的步行路程s(km)和步行时
间t(h)之间的函数关系式,指出自变量的取值范围,并画出函数图象.
2.某批发部对经销的一种电子元件调查后,发现一天的盈利y(元)
与这天的销售量x(个)之间的函数关系如图所示.请观察图象并解答下列
54
数学 八年级下册
问题:
(第2题)
(1)一天售出多少个这种电子元件时盈利最多,最多盈利多少元?
(2)一天售出多少个这种电子元件时不赔不赚?
(第1题)
A 组
1.图中折线表示的是某工厂2021年至2025年
一种产品的年产量与年份的函数关系,由此
你能对生产情况作出哪些判断?
2.如图是某地区学生的平均体重(kg)随年龄(岁)
变化的图象.
(1)在哪个年龄段,女生的平均体重略高于男生的平均体重?
(2)从哪个年龄开始,男生的平均体重超过了女生的平均体重?
(第2题)
第十九章 函数
55
3.为改善市民的居住环境,某市在老旧房屋改造中,除解决原有居民的住
房需求外,还对外销售一部分楼盘.已知一栋楼共有30层,从第8层开
始,售价y(元/平方米)与楼层x(8≤x≤30,x 为整数)之间的关系如
下表:
楼层x
8
9
10
11
12
…
售价y/(元/平方米) 9
000 9
050 9
100 9
150 9
200
…
求售价y 与楼层x 之间的函数关系式.
B 组
4.某市规定如下用水收费标准:当每户每月的用水量不超过10
m
3 时,水
费按a元/立方米收费;当超过10
m
3 时,不超过的部分仍按a 元/立方米
收费,超过的部分按c元/立方米(
c>a)收费.该市小明家今年3月份和
4月份的用水量、水费如下表:
月份
用水量/m
3
水费/元
3
8
36
4
12
58
(1)求a,c的值.
(2)设某户1个月的用水量为x
m
3,应交水费为y 元.
①分别写出用水量不超过10
m
3 和超过10
m
3 时,y 与x 之间的函
数关系式.
②已知一户5月份的用水量为14
m
3,求该户5月份的水费.
5.“三北”防护林工程经过建设者数十年的奋斗,在水土保持、防风固沙、
农田保护等方面取得了显著的成效.某气象站观察一场沙尘暴从发生到
结束的全过程如下:开始时,风速按一定的速度匀速增大;经过荒漠地
时,风速增大得比较快;一段时间后,风速保持不变;经过防风林时,
56
数学 八年级下册
风速开始逐渐减小,直至为零.如图所示是风速与时间之间关系的图象.
请结合图象回答下列问题:
(第5题)
(1)沙尘暴从开始发生到结束,共经历了多长时间?
(2)风速在哪一个时间段增大得比较快,每小时增大多少?
(3)风速在哪一个时间段保持不变,经历了多长时间?
(4)风速从开始减小直至为零,每小时减小多少?
第十九章 函数
57
一、知识结构
ᧀ
ᮽح־ᮽ
二、总结与反思
本章学习了常量和变量、函数及其表示、画函数图象的一般步骤等内
容.在本章的学习过程中,利用建立函数模型的方法解决了变化过程中的相
关问题,突出体现了函数思想以及数形结合思想方法的应用,有利于发展抽
象能力,培养应用意识.
1.常量和变量.
在一个变化过程中,数值保持不变的量是常量,可以取不同数值的量是
变量.
2.函数.
在函数概念中,特别强调:自变量的取值范围;当自变量取定一个数值
时,对应的函数值唯一确定.
3.函数的表示.
可以用数值表、图象和表达式来表示两个变量之间的函数关系,它们分
别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点.
4.画函数图象的一般步骤:
(1)列表;(2)描点;(3)连线.
58
数学 八年级下册
三、注意事项
在研究函数的问题时,确定自变量的取值范围应注意以下两点:
(1)自变量的取值要使函数表达式有意义;
(2)自变量的取值要符合实际问题.
A 组
1.在某超市中,橙子标价为12元/千克.设购买这种橙子x
kg,付费y 元.
(1)请指出这个过程中的常量和变量.
(2)请写出y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
2.如图,在△ABC 中,BC=16,高AD=10.动点C'由点C 沿CB 向点B
移动(不与点B 重合).设CC'的长为x,△ABC'的面积为S.
(第2题)
(1)在这个过程中,哪些量是常量,哪些量是变量?
(2)请写出S 与x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(3)当x 分别取10,5,3时,计算出相应的S 的值.
3.下列说法中,哪些是正确的?
(1)在匀速运动公式s=vt中,s是t的函数,v 是常量.
(2)在球的体积公式V=4
3πR
3 中,4
3是常量,π,R,V 均为变量.
(3)入射光线照射到平面镜上,如果入射角的度数为α,反射角的度数
为β,那么β是α的函数.
(4)同一种物质,其质量是体积的函数.
第十九章 函数
59
4.党的十八大以来,通过推进城乡人居环境整治等系列工程,我国城乡人
居环境明显改善,美丽中国建设成效显著.下表是2014年至2020年我
国城市绿地面积的统计情况:
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
城市绿地面积/万公顷252.80266.96278.61292.13304.71315.29331.22
(1)其中有哪些变量?
(2)可以把其中的哪个变量看作另一个变量的函数?
5.如图,线段l1,l2 分别表示的是小兰和小惠在一次短跑比赛过程中,路
程s(m)与时间t(s)之间关系的图象.
(1)这次短跑比赛的距离是多少米?
(2)这次比赛谁起跑慢了,慢了多长时间?
(3)小兰与小惠谁跑得快?
(4)小兰与小惠跑完全程实际各用了多长时间?
(第5题)
ѿ#
ᬢ
(第6题)
6.人体正常体温在36.5
℃左右,但是在一天中的不同时刻,体温也不尽相
同.如图,该图象反映了一天24小时中小明体温的变化情况.
(1)小明在这一天中,体温最高的时刻是几时,体温最低的时刻是几时?
(2)体温由高到低变化的是哪些时段?
(3)请指出这一天内小明体温变化的范围.
7.小刚的妈妈购买了一张公交车IC卡(A卡),首次充值30元.公交公司
规定:A卡持有人每乘车一次,刷卡扣除0.90元.设乘车次数为x,该
卡余额为y 元,那么y 与x 的关系应怎样表示? 它们之间是函数关系
吗? 如果是函数关系,那么x 的取值范围是什么?
60
数学 八年级下册
8.在种植某品种土豆的过程中,当钾肥和磷肥施用量恰当时,土豆的产量
y(吨/公顷)与氮肥施用量x(千克/公顷)有以下关系:
x/(千克/公顷)
0
34
67
101
135
y/(吨/公顷)
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
x/(千克/公顷)
202
259
336
404
471
y/(吨/公顷)
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
(1)试用图象表示上面的函数关系. (建议x 轴与y 轴采用10∶1的单
位长度)
(2)是否施用氮肥越多,土豆产量越高?
(3)要使土豆产量在40吨/公顷以上,应怎样选择氮肥的施用量?
B 组
9.某校八年级登山小组以a
km/h的速度开始登山,走了一段时间后休息
了一会儿.由于山路逐渐变陡,所以休息后就以b
km/h的速度继续前
进.一段时间后到达山顶,吃午饭并原地活动.午休后,又以c
km/h的
速度下山(
b<a<c),中间再也没有休息过,直到返回山脚.此次登山活
动,整个过程中所走路程s(km)与所用时间t(h)之间关系的图象大致是
下列中的哪一个?
(1)
(2)
(3)
(4)
(第9题)
第十九章 函数
61
10.一圆锥的高是20
cm,当底面半径r(cm)由1
cm 变化到10
cm 时,圆
锥的体积V(cm
3)也随之变化.
(1)请写出V 与r之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(2)完成下表:
r/cm
1
3
5
9
10
V/cm
3
60π
11.暑假期间,舅舅开车带小明去旅游,6时40分从家出发,9时50分到
达景点.小明每隔10
min读一次计程器,记录下来,制成下表:
时刻
路程/km
时刻
路程/km
时刻
路程/km
时刻
路程/km
6:40
0
7:30
63
8:20
105
9:10
122
6:50
6
7:40
80
8:30
108
9:20
135
7:00
15
7:50
96
8:40
110
9:30
148
7:10
31
8:00
99
8:50
112
9:40
162
7:20
47
8:10
102
9:00
115
9:50
178
(1)从家到景点全程共有多少千米? 汽车行驶了多长时间?
(2)画出行驶过程中路程随时间变化的函数图象.
(3)汽车在哪个时间段内行驶得最快,在哪个时间段内行驶得最慢?
C 组
12.小惠调查了一个冷食批零(批发与零售兼营)供应点,发现雪糕的日销售
量与当日的最高气温密切相关:当最高气温低于15
℃时,日销售量约为
1箱;当最高气温为20
℃时,日销售量约为3箱;当最高气温为25
℃时,
日销售量约为8箱;当最高气温为28
℃时,日销售量约为15箱;当最
高气温为30
℃时,日销售量约为25箱;当最高气温为35
℃时,日销
售量约为38箱;当最高气温为39
℃时,日销售量约为60箱.
(1)这项调查反映了哪两个变量之间的函数关系? 你能用什么方法表示
这一问题中的函数关系?
62
数学 八年级下册
(2)据气象预报,明日最高气温为33
℃.这个供应点进多少箱雪糕比
较合适?
13.下图是人体每小时排出的汗液量和尿液量随环境温度变化的曲线.请观
察图象,然后回答:
ѿ/
( #Ꮢ
ྃ
ᮽ໊ྃ
ᮽ
(第13题)
(1)随着环境温度的升高,汗液量和尿液量分别有什么变化?
(2)大约在什么环境温度时,汗液量与尿液量相等?
64
数学 八年级下册
我们知道,函数可以用来刻画两个变量之间的关系.本节我们将研
究一个变量随着另一个变量的变化而均匀变化的一类函数.
我们在小学就认识了成正比例的量,并能从实际问题中判断出成正比例
的两个量.
>ᄌ̻
ᕊ5
小明骑自行车去上学,匀速行驶,行驶时间和
路程之间的关系如下表:
时间/min 1
2
3
4
5
… 17.5
路程/km 0.2 0.4 0.6 0.8
1
…
3.5
(1)小明行驶的路程和时间成正比例吗? 为什么?
(2)如果用t(min)表示时间,s(km)表示路程,那么s与t之间的函数
关系式具有什么特征?
通过观察与计算,我们发现小明行驶的路程与时间的比值恒等于0.2,
即这两个量是成正比例的量.
s与t之间的函数关系式为:s=0.2t.
1.小亮每小时读20页书.若读书时间用t(h)表示,读过书的页数用
m(页)表示,则用t表示m 的函数表达式为 .
2.小明去买碳素笔,每支碳素笔2元.若购买碳素笔的数量用n(支)
表示,支出的总金额用w (元)表示,则用n 表示w 的函数表达式
为 .
第二十章 一次函数
65
3.某工程队维修一段公路的路面,每小时维修路面的长度为30
m.若
维修时间用x(h)表示,维修路面的长度用y(m)表示,则用x 表示y 的函
数表达式为 .
在上面的问题中,我们分别得到了函数s=0.2t,m=20t,w=2n,
y=30x.这些函数的共同特点是都能写成y=kx 的形式.其中,k 为常数,
且k≠0.
一般地,我们把形如y=kx(k 为常数,且k≠0)的函数,叫作正比例
函数(proportional
function).其中,非0常数k 叫作比例系数.
例1 下列函数,哪些是正比例函数? 请指出正比例函数的比例系数.
(1)y=3x; (2)y=2x+1; (3)y=-x
2;
(4)y=2
x;
(5)y=πx;
(6)y=- 3x.
解:(1)(3)(5)(6)是正比例函数,比例系数分别是3,-1
2,π,
- 3.(2)和(4)不是正比例函数.
例2 有一块10公顷的成熟麦田,用一台收割速度
为0.5公顷/时的小麦收割机来收割.
(1)求收割面积y(公顷)与收割时间x(h)
之间的函数关系式.
(2)求收割完这块麦田需要用的时间.
解:(1)y=0.5x.
(2)把y=10代入y=0.5x,得10=0.5x.
解得x=20,即收割完这块麦田需要20
h.
答:(1)y 与x 之间的函数关系式为y=0.5x.
(2)收割完这块麦田需要用20
h.
66
数学 八年级下册
1.已知正比例函数y=15x,根据函数表达式填写下表.
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
…
2.填空:
(1)已知函数y=3x.当x=3时,y= .
(2)已知函数y=3
4x.当y=3时,x= .
(3)已知函数y=kx,当x=-2时,y=10.k= .
A 组
1.下列函数,哪些是正比例函数? 请指出正比例函数的比例系数.
(1)y=-4x; (2)y=3x-1; (3)y=5x
6;
(4)y=9
x;
(5)y=-0.9x;
(6)y=(5-1)x.
2.已知y 是x 的正比例函数,当x=2时,y=8.
(1)写出y 与x 之间的函数关系式.
(2)当x=5时,求y 的值.
(3)当y=5时,求x 的值.
B 组
3.如果x 和y 成正比例,y 和z 成正比例,那么x 和z 之间有什么关系?
4.一个深度为8
m的长方体污水处理池,容积为V(m
3),底面积为S(m
2).
(1)写出用S 表示V 的函数表达式.
(2)当S=64
m
2 时,求V 的值.
第二十章 一次函数
67
C 组
5.已知函数y= 3m+9
x
2+ 2-m
x 是关于x 的正比例函数,求m 的值.
一支长为18
cm 的蜡烛,点燃后每分钟缩短0.1
cm.设点燃
后蜡烛燃烧的时间为t
(min),蜡烛的长度为y(cm).
1.写出y 与t之间的函数关系式.
2.写出t的取值范围.
3.对比正比例函数,它们的表达式在形式上有什么相同点与不同点?
1.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是以厘米为单位量出身高值h,
用h 减常数105,所得的差就是G 的值.求用h 表示G 的函数表达式.
2.某新建住宅小区的物业管理费按住房面积收缴,每月1.6元/平方米;
有车位的再交车位管理费,每月80元.设有车位的房主的住房面积为x
m
2,
每月应缴物业管理费与车位管理费的总和为y 元,求用x 表示y 的函数表
达式.
3.从A 城市向B 城市行驶的某高速列
车,出发10
min后速度达到了330
km/h,此
时已行驶15
km,之后按330
km/h的速度继
续匀速驶向B城市.设列车从A 城市出发后
行驶的时间为t(h)(
t>1
6
h),行驶的路程为
s(km),求用t表示s的函数表达式.
在上面的问题中,我们分别得到了函数表达式:
y=18-0.1t,G=h-105,y=1.6x+80,s=330t-40.
68
数学 八年级下册
这些函数表达式的形式有什么共同特点? 与同学交流你的看法.
一般地,我们把形如y=kx+b(k,b 为常数,且k≠0)的函数,叫作
一次函数(
linear
function).
对于一次函数y=kx+b,当b=0时,它就是正比例函数y=kx.所
以,正比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数.
下列函数,哪些是一次函数? 请指出一次函数中的k 和b的值.
(1)y=3x+6; (2)y=-1
3x+2; (3)y=x+3
x ;
(4)y=-0.4t;
(5)w= 3-2z;
(6)y=2x
2+6x-9.
图20.1 1
例3 如图20.1 1,△ABC
是边长为x 的等边三角形,
AD⊥BC,垂足为D.设AD=h,△ABC 的面积
为S.
(1)求
h 与x 之间的函数关系式.h 是x 的一次函
数吗?
如果是一次函数,请指出相应的k 与b
的值.
(2)当h= 3时,求x 的值.
(3)求S
与x
之间的函数关系式.S 是x 的一次函数吗?
解:(1)因为△ABC 是边长为x 的等边三角形,AD⊥BC,
所以BD=1
2x.
在Rt△ABD 中,由勾股定理,得
h=AD= AB
2-BD
2= x
2-1
4x
2= 3
2x,
第二十章 一次函数
69
即h= 3
2x.
所以h 是x 的一次函数,且k= 3
2,b=0.
(2)当h= 3时,有3= 3
2x.
解得x=2.
(3)因为S=1
2BC·AD=1
2x· 3
2x= 3
4x
2,即S= 3
4x
2,所
以S 不是x 的一次函数.
1.下列函数,哪些是一次函数? 请指出一次函数中的k 和b的值.
(1)y=2-x; (2)y=1+x+1
x; (3)y=8+0.03t;
(4)y=2
5x;
(5)s= 2t-3;
(6)y=5x
2-6.
2.已知两条平行线l1,l2 之间的距离为3
cm,点A 在l1 上,点B,C
在l2 上,BC=x.求△ABC 的面积S 与x 之间的函数关系式,并判断这个
函数是不是一次函数.
A 组
1.下列函数,哪些是一次函数? 请指出一次函数中的k 和b的值.
(1)y=1
3-x; (2)y=2πr (
r为自变量);
(3)y=3x-1
x
;
(4)y=0.5x+π
3.
70
数学 八年级下册
2.已知一次函数y=-2x+3.
(1)当x 为何值时,y=0?
(2)当y 为何值时,x=0?
B 组
3.已知y-3与x+2成正比例,且当x=1时,y=9,求y 与x 之间的函
数关系式.y 是x 的一次函数吗? 如果是一次函数,请指出相应的k 与
b的值.
4.由S市寄往G市的包裹,邮寄标准是1
kg以内(含1
kg)收费5元,超过
1
kg
的部分按2元/千克收费.另外,每件收取挂号费3元.
(1)当包裹质量超过1
kg时,写出邮寄总费用y(元)与包裹质量x(kg)
之间的函数关系式.
(2)如果邮寄包裹的质量是7.8
kg,那么邮寄总费用为多少元?
C 组
5.某社区健身场馆推出了两种健身付费的方式.
方式一:先购买会员卡(每张会员卡100元,只限本人使用),凭卡健身
每次再付费5元.
方式二:不购买会员卡,每次健身付费8元.
小张计划到该场馆去健身,设他健身的次数为x(x 为正整数),两种健
身方式的费用分别为y1 元,y2 元.
(1)分别写出y1,y2 与x 之间的函数关系式.
(2)若小张计划健身的总费用为280元,则他选择哪种付费方式健身的
次数比较多?
第二十章 一次函数
71
前面我们学习了一次函数的概念,根据一次函数的表达式可以画出
它的图象,进而借助一次函数的图象来研究它的性质.
已知函数的表达式,通过列表、描点和连线,可以在平面直角坐标系中
画出这个函数的图象.
1.已知一次函数y=2x-1.
(1)填写下表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
…
(2)以(1)中得到的每对对应值分别为横坐标和纵坐标,在图20.2 1
所示的平面直角坐标系中描出相应的点.
(3)把由(2)描出的点依次用平滑的曲线连接起来,就得到y=2x-1
的图象.
图20.2 1
图20.2 2
2.已知一次函数y=-x+2,请按照1题的方式和步骤在图20.2 2中
画出它的图象.
72
数学 八年级下册
1.一次函数y=2x-1和y=-x+2的图象的形状分别是怎样的? 你
和其他同学得到的结果一样吗?
2.凡是满足关系式y=2x-1或y=-x+2的x,y 的值所对应的点,
都分别在一次函数y=2x-1或y=-x+2的图象上吗? 举例说明你的想
法,并与同学交流一下.
一般地,一次函数y=kx+b的图象为一条直线.因此,我们把一次函
数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
取点时,坐标
的数值越简单,描
点越方便.
画一次函数的图象时,只要确定出两个点,再
过这两点画直线就可以了.
例1 画出一次函数y=-1
2x+1的图象.
解:当x=0时,y=1.
图20.2 3
当y=0时,0=-1
2x+1,解得x=2.
在平面直角坐标系中,过点(0,1)和点(2,0)
画直线,即得一次函数y=-1
2x+1的图
象,如图20.2 3所示.
1.在同一平面直角坐标系中,画出y=x 和y=1-x 的图象.
2.在同一平面直角坐标系中,画出y=-1
2x 和y=1
2x-1的图象.
A 组
1.在同一平面直角坐标系中,画出y=-3x 和y=3x 的图象.
第二十章 一次函数
73
2.在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的图象.
(1)y=2x; (2)y=2x+5; (3)y=2x-5.
B 组
3.填表并观察下列两个函数的变化情况.
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=x-10
…
…
y=-5x+2
…
…
(1)在同一平面直角坐标系中,画出这两个函数的图象.
(2)它们的图象有公共点吗? 如果有,请写出公共点的坐标.
(第4题)
4.今有一根弹簧,不悬挂重物时的长度为12
cm.悬挂的重物
每增加1
kg(重物不超过8
kg),弹簧的长度就增加0.5
cm.
写出弹簧的长度y(cm)和悬挂物的质量x(kg)之间的函数
关系式,指出自变量的取值范围,并画出这个函数的图象.
我们已经知道,一次函数的图象是一条直线,下面就借助
这条直线在平面直角坐标系中的位置,来探究一次函数的性质.
1.请在图20.2 4所示的平面直角坐标系中,画出一次函数y=2x+3
和y=1
2x-2的图象.
图20.2 4
图20.2 5
74
数学 八年级下册
2.请在图20.2 5所示的平面直角坐标系中,画出一次函数y=-2x+
4和y=-1
2x+2的图象.
>ᄌ̻
ᕊ5
观察上面画出的四个函数y=2x+3,y=1
2x-2,y=-2x+4,y=
-1
2x+2的图象,请思考:
(1)哪些函数,y 的值是随x 的值的增大而增大的?
(2)哪些函数,y 的值是随x 的值的增大而减小的?
(3)y 的值随x 的值的增大而增大和y 的值随x 的值的增大而减小两种
函数,它们的区别和自变量系数的符号有怎样的关系?
一般地,我们有:
对于一次函数y=kx+b(k,b 为常数,且k≠0):
当k
>
0时,y 的值随x 的值的增大而增大;
当k
<
0时,y 的值随x 的值的增大而减小.
参考上面画出的四个函数y=2x+3,y=1
2x-2,y=-2x+4,y=
-1
2x+2的图象,请谈谈:
(1)哪些函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方,哪些函数的图象与y
轴的交点在x 轴的下方?
(2)函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方和函数的图象与y 轴的交
点在x 轴的下方,这两种函数,它们的区别与常数项有怎样的关系?
(3)正比例函数的图象一定经过哪个点?
事实上,一次函数y=kx+b的图象是经过y 轴上的点(0,b)的一条直
第二十章 一次函数
75
线.当b>0时,点(0,b)在x 轴上方;当b<0时,点(0,b)在x 轴下方;当
b=0时,(0,0)是原点,即正比例函数y=kx 的图象是经过原点的一条直线.
例2 已知关于x 的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1).
(1)当k 满足什么条件时,函数y 的值随x 的值的增大而增大?
(2)当k 取何值时,函数的图象经过原点?
(3)当k 满足什么条件时,函数的图象与y 轴的交点在x 轴的下方?
解:(1)当2k-1>0时,y 的值随x 的值的增大而增大.
解2k-1>0,得k>1
2.
所以,当k>1
2时,函数y 的值随x 的值的增大而增大.
(2)当2k+1=0,即k=-1
2时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)
的图象经过原点.
(3)当2k+1<0时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图象与
y 轴的交点在x 轴的下方.
解2k+1<0,得k<-1
2.
所以,当k<-1
2时,函数的图象与y轴的交点在x 轴的下方.
在例2中,如果y 的值随x 的值的增大而减小,且函数图象与y 轴的
交点在x 轴的上方,求k 的取值范围.
1.判断下列函数中,y 的值随x 的值的增大而变化的情况.
(1)y=-3x+3; (2)y=3x-3;
(3)y=(3-π)x;
(4)y=0.5x.
2.已知关于x 的一次函数y=kx+4k-2.
(1)如果函数的图象经过原点,求k 的值.
(2)如果y 的值随x 的值的增大而减小,求k 的取值范围.
3.写出一个图象不经过第二象限的一次函数的表达式.
76
数学 八年级下册
A 组
1.已知一次函数y=(k+1)x-1,y 的值随x 的值的增大而减小,求k 的
取值范围.
2.画出函数y=-3x+3的图象,并结合图象回答下列问题:
(1)y 的值随x 的值的增大而 (填“增大”或“减小”),图象
从左到右逐渐 (填“上升”或“下降”).
(2)当y<0时,求x 的取值范围.
(3)当0<x<1时,求y 的取值范围.
3.在同一平面直角坐标系中,画出一次函数y=-1
2x,y=-1
2x+1
2,
y=-1
2x-2的图象,并回答:
(1)各图象的位置有什么关系?
(2)这种位置关系与函数表达式中的哪个量相关?
B 组
4.在同一平面直角坐标系中,画出一次函数y=x+3,y=x-3,y=
-x+3,y=-x-3的图象,并指出每两个函数图象之间的位置关系.
5.某食品加工厂每周用10
000元流动资金采购面粉及其他物品.其中,购
买面粉的质量在1
500~2
000
kg之间,面粉的价格为3.6元/千克,用
剩余款额y 元购买其他物品.设购买面粉的质量为x
kg.
(1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(2)画出该函数的图象.
(3)观察图象,写出购买其他物品的款额y 的取值范围.
第二十章 一次函数
77
我们知道,两点确定一条直线.在坐标平面内,点与有序数对对应,
那么两个有序数对是不是就可以确定一个一次函数表达式呢?
图20.3 1
已知一次函数的图象如图20.3 1
所示.其中,点P(-20,5),Q(10,20)
均在直线上.怎样求这个一次函数的表达
式呢?
>ᄌ̻
ᕊ5
阅读下面小惠对此问题的解答过程,并验证小惠求得的一次函数表达式
是否正确.
小惠的解答过程如下:
设这个一次函数的表达式为y=kx+b.
因为P,Q 为直线上的两点,所以这两个点的坐标都满足
表达式y=kx+b,即
5=-20k+b,
20=10k+b.
解这个关于k 和b的二元一次方程组,得
k=1
2,
b=15.
所以,这个一次函数的表达式为
y=1
2x+15.
像这样先设出函数的表达式,再根据已知条件确定表达式中未知的系
数,从而求出函数表达式的方法,叫作待定系数法.
78
数学 八年级下册
1.已知A(-20,5)为正比例函数y=kx 图象上的一点,求这个正比
例函数的表达式.
2.已知一个一次函数的图象经过点M(0,1)和点N(1,0),求这个一
次函数的表达式.
例 一辆汽车匀速行驶.当行驶了20
km 时,油箱中剩余58.4
L油;当行
驶了50
km 时,油箱中剩余56
L油.如果油箱中剩余油量y(L)与汽
车行驶的路程x(km)之间是一次函数关系,请求出这个一次函数的表
达式,并写出自变量x 的取值范围以及常数项的意义.
解:设所求一次函数的表达式为y=kx+b.根据题意,把已知的两组
对应值(20,58.4)和(50,56)分别代入y=kx+b,得
58.4=20k+b,
56=50k+b.
解得
k=-0.08,
b=60.
这个一次函数的表达式为y=-0.08x+60.
因为剩余油量y≥0,所以-0.08x+60≥0.解得x≤750.
因为路程x≥0,所以0≤x≤750.
因为当x=0时,y=60,所以这辆汽车行驶前油箱中存油60
L.
用待定系数法求一次函数表达式的步骤有哪些? 与同学交流你的想法.
用待定系数法求一次函数的表达式,一般步骤如下:
(1)设一次函数的表达式为y=kx+b;
(2)根据已知条件,列出关于k 和b的二元一次方程组;
(3)解这个方程组,求出k 与b的值,从而得到一次函数的表达式.
第二十章 一次函数
79
1.一次函数的图象经过点A(1,2)和点B(-2,1),求这个函数的表
达式.
2.某市举办一场中学生羽毛球比赛,场地和耗材需要一些费用.场地费用
b(元)固定不变,耗材费用与参赛人数x 成正比例函数关系,这两部分的总费
用为y(元).已知当x=20时,y=1
600;当x=30时,y=2
000.
(1)求y 与x 之间的函数关系式.
(2)当支出总费用为3
200元时,有多少人参加了比赛?
(第3题)
A 组
1.如果一次函数y=(k+3)x-13的图象上一点P 的
坐标为(-5,7),那么k 的值是多少?
2.求下列函数的表达式:
(1)正比例函数的图象经过点(2,-1).
(2)一次函数的图象经过点(-1,-2)和1
2,3
.
3.已知一次函数的图象如图所示,求这个函数的表达式.
(第4题)
B 组
4.如图,已知直线AB 上两点的坐标分别为
A(4,4),B(0,2),且直线AB 与x 轴交于
点C,连接AO.
(1)求直线AB 所对应的一次函数的表达式.
(2)求△AOC 的面积.
80
数学 八年级下册
C 组
5.为保护学生的视力,供学生使用的课桌和椅子的高度均需按一定的关系
配套设计.研究表明:课桌高度y(cm)与椅子高度x(cm)之间具有一次
函数关系.今有两套符合条件的课桌和椅子,其高度如下表所示:
项目
第一套
第二套
x/cm
40.0
37.0
y/cm
75.0
70.2
(1)试确定y 与x 之间的函数关系式.
(2)现有一把高为42.0
cm 的椅子和一张高为78.2
cm 的课桌,它们是
否配套? 为什么?
第二十章 一次函数
81
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ຕڦᆌᆩ
利用一次函数这一数学模型,可以解决许多与其相关的实际问题和
数学问题.
一辆客车,准乘20人(包括一名司机和一名乘务员).这辆客车由A地
行驶到B地,运营总成本为180元,乘客票价为25元/人.
1.设乘客人数为x 时,客车运营盈利y 元,求y 与x 之间的函数关
系式.
2.用求出的函数关系式,尝试解决下列问题:
(1)当客车运营盈利120元时,求乘客人数.
(2)要想使客车运营盈利超过170元,则乘客人数至少为多少?
在上面的问题中,客车运营盈利y 元与乘客人数x 之间的函数关系式
为y=25x-180.
当客车运营盈利120元时,有120=25x-180.解得x=12.
要想使客车运营盈利超过170元,只要使25x-180>170即可.解得
x>14.所以,乘客人数至少为15.
图20.4 1
如图20.4 1,某种称量体重的台秤,最大称量是
150
kg.称体重时,体重x(kg)与指针按顺时针方向转过
的角度y(
°)有如下对应数据:
x/kg
0
15
40
55
60
y/°
0
36
96
132
144
82
数学 八年级下册
(1)请在平面直角坐标系中,分别以上表中的每对对应数值为横坐标和
纵坐标,描点连线,画出图象.
(2)求y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围.
(3)当体重为多少千克时,台秤的指针恰好转到180°的位置? 当体重为
50
kg时,台秤的指针转过的角度是多少度?
由这些对应值画出的图象,如图20.4 2所示.
y/°
x/kg
图20.4 2
由表格给出的数据可以看出,体重为0
kg时,台秤指针指向0°,每增
加5
kg,台秤指针按顺时针方向旋转12°,所以y 是x 的正比例函数.根据
已知条件可得
y=12
5x(0≤x≤150).
当y=180时,180=12
5x.解得x=75.
当x=50时,y=12
5×50=120.
即当体重为75
kg时,台秤的指针恰好转到180°的位置;当体重为50
kg
时,台秤的指针转过的角度是120°.
第二十章 一次函数
83
1.某水库在春季播种前,向下游灌溉区开闸放水.放水量V(m
3)与放
水时间t(min)之间有如下对应数据:
t/min
30
60
90
120
150
V/m
3
1
500
3
000
4
500
6
000
7
500
(1)求V 与t之间的函数关系式.
(2)求放水24
h的放水量.
2.某出版社出版了一种适合中学生阅读的科普书.当该书首次出版的
印数不少于5千册时,该出版社投入的成本y(万元)与印数x(千册)之间为
一次函数关系,并有如下对应数据:
x/千册
6
8
y/万元
3.1
3.6
(1)求y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(2)当出版社投入的成本为4.1万元时,能印该书多少千册?
A 组
1.一个长方形的长、宽分别为60和40.现将它的宽减少10,长增加x.
设变化后的长方形的面积为y.
(1)写出y 与x 之间的函数关系式.
(2)当x 取何值时,变化后长方形的面积与原来长方形的面积相等?
(3)当x 取哪些值时,可以使变化后长方形的面积比原来长方形面积的
2倍还要大?
84
数学 八年级下册
2.某茶叶经销商经市场调研,发现甲、乙两种茶叶每千克的利润分别为
100元、150元,于是决定购进甲、乙两种茶叶共200
kg进行销售.设
购进甲种茶叶x
kg,这批茶叶全部销售完之后的总利润为y 元.
(1)写出y 与x 之间的函数关系式.
(2)若该经销商将这批茶叶全部销售完之后的总利润为28
000元,则购
进甲、乙两种茶叶各多少千克?
B 组
3.某科技公司研发出一种新型设备.该设备每台的成本为30万元,经过市
场调研发现:当每台的售价为40万元时,年销售量为680台;当每台的
售价为45万元时,年销售量为640台.假定该设备的年销售量y(台)和
销售单价x(万元)之间是一次函数关系.
(1)求y 与x 之间的函数关系式.
(2)当年销售量为600台时,求该设备的销售单价及获得的利润.
C 组
4.如图,水平放置的容器内有210
mm高的水.现有若干个质地相同的两种
规格的球,需将它们逐一放入容器中.已知每放入一个大球,水面升高
4
mm;每放入一个小球,水面升高3
mm.假定放入6个大球后,再开始
放入小球,且放入容器中的所有球都完全浸没在水中,而水不溢出.设
放入小球的个数为x,水面的高度为y
mm.
(第4题)
(1)求y 与x 之间的函数关系式.(不必写出x 的取值范围)
(2)如果限定水面的高度不能超过260
mm,那么最多能放入多少个小球?
第二十章 一次函数
85
某航班托运行李的费用y(元)与托运行李的质量x(kg)之间的函数关系
如图20.4 3所示.
图20.4 3
(1)求y 与x 之间的函数关系式.
(2)依据(1)中求得的函数关系式,确定该航班可以免费携带行李的质
量最多是多少千克.
例1 一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻,在公路旁的某加油站加满油
后,以40
km/h的速度匀速行驶.已知警车加满油后,油箱中的余油
量y(L)与行驶时间x(h)之间的函数关系图象是图20.4 4所示的直
线l的一部分.
图20.4 4
(1)求直线l的函数表达式.
(2)警车加满油时,油箱中的油量是多少升?
(3)已知警车往返的耗油量相同.若要求警车按原路返回加油站时油
箱中的余油量不少于10
L,则其巡逻的最远路程是多少千米?
86
数学 八年级下册
解:(1)设直线l的函数表达式为y=kx+b.依据图20.4 4所示的
数据,将已知的两组对应值(1,56)和(4,44)分别代入y=
kx+b,得
k+b=56,
4k+b=44.
解得
k=-4,
b=60.
所以
y=-4x+60.
(2)在函数y=-4x+60中,因为x=0时,y=60,所以警车
加满油时,油箱中的油量是60
L.
(3)若警车返回加油站时油箱中的余油量为10
L,则警车往返的
耗油量为50
L,单程行驶的耗油量为1
2×50=25(L).警车
行驶至最远时,油箱中的余油量为60-25=35(L).
将y=35代入y=-4x+60,得
35=-4x+60.
解得
x=6.25.
而
6.25×40=250(km).
所以,警车巡逻的最远路程是250
km.
1.例1中的函数图象与x 轴是否相交? 说说理由.
2.设一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x 轴、y 轴的交点依次为
P,Q.请用k,b 表示这两点的坐标,并指出这两点的坐标具有什么
特点.
第二十章 一次函数
87
1.某海岸线上有A,B两个港口,一艘轮船从A 港口出发,沿海岸线
匀速前往B港口.设该轮船行驶的时间为x(h),距B港口的路程为y(km).
y 与x 之间的函数关系如图所示.
(1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围.
(2)求轮船行驶1.5
h时与B港口之间的路程.
(第1题)
(第2题)
2.某市出租车的计费方法如图所示,x(km)表示出租车行驶的里程,
y(元)表示打车的费用.
(1)若某乘客的乘车里程为2.5
km,则他需付的打车费是多少元?
(2)当x≥3时,求y 与x 之间的函数关系式.
(3)若某乘客一次打车付费36元,求这位乘客的乘车里程.
(第1题)
A 组
1.汽车在刹车后都会由于惯性继续向前
滑行一段距离,我们将其称为“刹车
距离”.某型号轿车的刹车距离y(m)
与速度x(km/h)之间的函数关系如图
所示.
(1)写出y 与x 之间的函数关系式.
(2)要使刹车距离不超过12
m,车速应当保持在哪个范围内?
88
数学 八年级下册
2.某水果批发商为了解市场行情,对经销的一种水果进行了市场调查.在
调查中发现:经销这种水果一天的利润y(元)与这天的销售量x(kg)之
间的函数关系如图所示.
(第2题)
(1)求y 与x 之间的函数关系式.
(2)如果想保证某天的销售不亏本,那么这天的销售量至少应是多少
千克?
B 组
3.一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后立即返回.设汽
车从甲地出发的时间为x(h),汽车与甲地之间的路程为y(km),y 与x
之间的函数关系如图所示.
(第3题)
(1)这辆汽车往返的速度是否相同? 请说明理由.
(2)求返回的过程中,y 与x 之间的函数关系式.
(3)求这辆汽车从甲地出发4
h时与甲地之间的路程.
第二十章 一次函数
89
C 组
4.某市为鼓励市民节约用水,自来水公司采用分段收费标准收费.每月收
取水费y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示.
(第4题)
(1)小兰家7月份用水7
t,应交水费多少元?
(2)按图示分段收费标准计算,小兰家3月份和4月份分别交水费29元
和19.8元.小兰家4月份比3月份少用水多少吨?
例2 甲骑自行车以10
km/h的速度沿公路行驶,出发3
h后,乙骑摩托车
从同一地点出发沿同一公路与甲同向行驶,速度为25
km/h.
(1)设甲离开出发地的时间为x(h),求:
①甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指
出自变量x 的取值范围.
②乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指
出自变量x 的取值范围.
(2)在同一平面直角坐标系中,画出(1)中两个函数的图象,并结合
实际问题,解释两图象交点的意义.
解:(1)由公式s=vt,得
①甲离开出发地的路程y 与x 之间的函数关系式为
y=10x.
自变量x 的取值范围为x≥0.
②乙离开出发地的路程y 与x 之间的函数关系式为
90
数学 八年级下册
y=25(x-3),即y=25x-75.
自变量x 的取值范围为x≥3.
(2)以上两个函数的图象如图20.4 5所示.两个函数图象的交点
坐标是(5,50),即甲出发5
h后被乙追上(或乙出发2
h后
追上甲).此时,两人距离出发地50
km.
图20.4 5
对于例2中甲、乙行驶的情况,你能借助图20.4 5解释“乙出发多长
时间后可以超过甲”这一问题吗? 还有其他方法解答这个问题吗?
由此可以看出,有些一元一次方程和一元一次不等式问题,可以借助一
次函数来考虑.借助一次函数的图象,往往能使方程和不等式的意义更加直
观和形象.
某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋.现
有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3
000元;乙家未装
修,每月租金为2
000元,但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装
修费4万元.
(1)设租用时间为x 个月,承租房屋所付租金为y 元,分别求租用甲、
乙两家的租金y 与租用时间x 之间的函数关系式.
(2)根据求出的两个函数表达式,试判断租用哪家的房屋更合算.
第二十章 一次函数
91
小亮的做法 小丽的做法
(1) 租用甲家房屋时,y =
3
000x;租用乙家房屋时,y =
2
000x+40
000.
(2)①由3
000x=2
000x
+
40
000,解得
x=40.
即当租用40个月时,无论是租
用哪一家,租金都相同.
②由3
000x>2
000x
+40
000,
解得
x>40.
即当租用时间超过40个月时,
租乙家的房屋更合算.
③由3
000x<2
000x
+40
000,
解得
x<40.
即当租用时间少于40个月时,
租甲家的房屋更合算.
(1) 租用甲家房屋时,y =
3
000x;租用乙家房屋时,y =
2
000x+40
000.
(2)在同一平面直角坐标系中,
分别画出y=3
000x,y=2
000x+
40
000这两个函数的图象.
观察图象可知,当租用40个月
时,甲、乙两家的租金相同;当租
用时间超过40个月时,租乙家的房
屋更合算;当租用时间少于40个月
时,租甲家的房屋更合算.
小亮和小丽的做法有什么不同? 你是怎么做的? 与同学交流一下.
1.某工厂开发生产一种新产品,前期投入150
000元.已知每件的成
本为25元,售价为40元.设生产x 件时,总成本(包括前期投入)为
m 元,销售额为n 元.
(1)分别求m,n 与x 之间的函数关系式.
(2)至少生产并销售多少件产品后,工厂才会有盈利?
92
数学 八年级下册
2.A,B两地之间的路程为36
km,甲、乙二人分别从A 地和B地同
时出发,相向而行.他们距A地的路程s(km)和出发后的时间t(h)之间的
函数关系如图所示.
(第2题)
(1)甲行驶了几小时到达B地,乙行驶了几小时到达A地?
(2)分别写出甲、乙二人距A地的路程s与时间t之间的函数关系式.
(3)求两个图象交点的坐标,并解释交点坐标所表示的实际意义.
A 组
1.某学校欲购置一批标价为4
800元的电脑,需求数量在15至25台之间.
经与两个专卖店商谈,甲店同意打八折;乙店承诺先赠一台,其余打九
折.这所学校购买哪家的电脑更合算?
(第2题)
2.某学校无人机科研小组对甲、乙两架无人机进行飞行
试验.两架无人机从不同的高度同时起飞,匀速上升,
当上升5
s时,两架无人机的高度相同.两架无人机上
升高度y(m)与上升时间x(s)之间的函数关系如图所示.
(1)分别求甲、乙两架无人机的上升高度y 与上升时
间x 之间的函数关系式.
(2)上升多长时间时,甲无人机比乙无人机高24
m?
第二十章 一次函数
93
B 组
3.某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池,容积都是480
m
3.其中,甲
池有240
m
3 的水,乙池已经注满水.此时,甲池以8
m
3/h的速度注水,
乙池以16
m
3/h的速度将水放出使用.设乙池放水时间为x
h时,甲、
乙两池中的水量为y
m
3.
(1)分别写出甲、乙两池中的水量y 关于x 的函数关系式及自变量x 的
取值范围,并在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象.
(2)借助由(1)得出的图象回答:
①当x 取何值时,甲、乙两池中的水量相等?
②当x 取哪些值时,甲池中的水量少于乙池中的水量?
③当x 取哪些值时,甲池中的水量多于乙池中的水量?
C 组
4.某种子商店销售一种蔬菜种子,为促销,推出了两种销售方案供采购者
选择.
方案一:蔬菜种子的价格为4元/千克,无论购买多少均不打折.
方案二:购买3
kg以内(含3
kg),蔬菜种子的价格为5元/千克;若一
次性购买超过3
kg,则超过3
kg的部分价格打七折.
设购买蔬菜种子x
kg,所付金额为y 元.
(1)求方案一中y 与x 之间的函数关系式.
(2)若你去购买这种蔬菜种子,你会选择哪种方案? 请说明理由.
94
数学 八年级下册
一次函数与二元一次方程之间具有密切的联系,用不同的观点进行
解释,二者是可以互相转化的.那么,如何将它们进行转化呢?
1.二元一次方程x+y=1可以变形为一次函数y=-x+1.当x=
-2,-1,0,1,2,3时,分别写出二元一次方程x+y=1的解和一次函
数y=-x+1所对应的点的坐标,并探究它们之间的关系.
图20.5 1
2.在图20.5 1所示的平面直角坐标
系中,画出一次函数y=-x+1的图象.
3.(1)若点P(
a,b)在一次函数y=
-x+1的图象上,则x=a,
y=b
是二元一次
方程x+y=1的一组解吗?
(2)若x=a,
y=b
是二元一次方程x+y=1
的一组解,则坐标为(a,b)的点是否在一
次函数y=-x+1的图象上?
通过上面的探究活动,我们发现:以二元一次方程x+y=1的解为坐
标的点都在一次函数y=-x+1的图象上;反过来,一次函数y=-x+1
图象上点的坐标都是二元一次方程x+y=1的解.
事实上,我们把二元一次方程ax+by=c(a≠0,b≠0)变形为y=
-a
bx+c
b后,原来的二元一次方程就化成了一次函数的形式.当x,y 表
示未知数时,ax+by=c 就是二元一次方程;当x,y 表示变量时,y=
-a
bx+c
b就是一次函数,且有如下结论:
第二十章 一次函数
95
以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图象上;反
过来,一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解.
例 已知直线l1:y=-2
3x+3和直线l2:y=x-2.
(1)在同一平面直角坐标系中,画出直线l1 和l2 的图象.
(2)若直线l1 与直线l2 相交于点P,求点P 的坐标.
图20.5 2
解:(1)图象如图20.5 2所示.
(2)我们知道,一次函数y=-2
3x+3图象
上任意一点的坐标都是二元一次方程
2x+3y=9的解.同理,一次函数y=
x-2图象上任意一点的坐标也都是二元
一次方程x-y=2的解.所以,直线l1
与直线l2 的交点P 的坐标就是二元一次方程2x+3y=9和
x-y=2的公共解,即为二元一次方程组2x+3y=9,
x-y=2
的解.
因此,解方程组y=-2
3x+3,
y=x-2,
得x=3,
y=1.
所以,点P 的坐标为(3,1).
我们发现:两个一次函数图象的交点坐标是与它们对应的二元一次方程
组的解;反过来,以二元一次方程组的解为坐标的点是与它对应的两个一次
函数图象的交点.
1.把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=kx+b 的形式,并
画出这个一次函数的图象.
2.写出二元一次方程2x-y=1的三组解,并以方程的解为坐标在平
面直角坐标系中描点.这些点是否都在一次函数y=2x-1的图象上?
96
数学 八年级下册
A 组
1.已知一次函数y=ax+5和y=-x+b的图象交于点P(1,2).
(1)直接写出方程组ax-y=-5,
y+x=b
的解.
(2)求a,b的值.
2.把二元一次方程2(x-3)+y=0改写成一次函数y=kx+b 的形式,并
画出这个一次函数的图象.
B 组
3.解方程组2x-y=2,
y+2x=6,
并由此指出在同一平面直角坐标系内,一次函数
y=2x-2与y=-2x+6图象交点的坐标.
4.已知关于x,y 的方程组x+y=1,
ax+3y=8
的解为x=-1,
y=2.
(1)写出一次函数y=-x+1和y=-a
3x+8
3的图象交点P 的坐标.
(2)若这两个函数的图象与x 轴分别交于点A,B,求S△ABP.
C 组
5.如图,直线l1:y=kx+b 与直线l2:y=-x+4交于点P(m,1),
直线l1 过点(6,5).
(第5题)
(1)求直线l1 的函数表达式.
(2)直接写出方程组y=kx+b,
y=-x+4
的解.
(3)依据图象信息,确定不等式kx+b>-x+4的
解集.
第二十章 一次函数
97
一、知识结构
ᧀ
Ჽᶩ
二、总结与反思
由实际问题建立一次函数模型是强化“符号意识”的过程,这个过程着
重体现了抽象与模型化的思想.一次函数的图象,不仅揭示了一次函数的性
质,更重要的是凸显了数形结合的思想方法.
1.一次函数y=kx+b的图象是直线,故其图象又称为直线y=kx+b.
2.一次函数y=kx+b中的系数k 与b决定着它的性质:
(1)当k>0时,y 随x 的增大而增大,图象从左向右是上升的.
(2)当k<0时,y 随x 的增大而减小,图象从左向右是下降的.
(3)当b=0时,一次函数y=kx+b 化为正比例函数y=kx,它的图
象一定经过坐标原点.
(4)当b>0时,直线y=kx+b与y 轴的正半轴相交.
(5)当b<0时,直线y=kx+b与y 轴的负半轴相交.
3.求一次函数的表达式至关重要,它是解决许多实际问题的关键环节.
求一次函数表达式的主要方法有:
(1)直接列式法:由问题的实际意义直接写出.这种方法的实质是把问
题中用文字叙述的数量关系用等式表示出来.
(2)待定系数法:根据图象、表格或已知条件确认两个变量成一次函数
关系,就可以将表达式设为y=kx+b,利用两组对应值求出k 与b的值.
4.正比例函数是一次函数的特例,它们之间是特殊与一般的关系.正
比例函数具备一次函数所有的性质,它的特点在于其图象必过原点,只需知
道另一个点的坐标就可以确定其表达式.
98
数学 八年级下册
5.一次函数与二元一次方程的关系体现在:
(1)从形式上它们之间可以相互转化.
(2)以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数图象上;
反过来,一次函数图象上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解.
6.一次函数的应用有两个层次:
(1)若给出了一次函数的表达式,则可直接应用一次函数的性质解决
问题.
(2)若问题只提供了一次函数的情境(有时是隐含的表述),则一般应先
求出函数表达式,进而利用性质解决问题.
三、注意事项
1.对于一次函数的概念,要把握函数表达式是自变量的一次式,而与
表示自变量的字母无关.例如y=3x+1,s=2t-5,l=2πr 等都是一次
函数.
2.在实际问题中,有时会遇到两个或多个一次函数
的图象组合起来的图象,如图,它便是由两个一次函数
的图象组合而成的.对于其中的每一段,都可以利用一
次函数来解决问题.
A 组
1.填空:
(1)直线y=3-9x 与x 轴的交点坐标为 ,与y 轴的交点坐标
为 .
(2)若M(a,2)为一次函数y=2x-3图象上的一点,则a=
.
(3)在函数y=x+4中,若自变量x 的取值范围是-3<x<-1,则y
的取值范围为 .
(4)汽车离开A 站5
km 后,又以40
km/h的速度匀速行驶了t
h.
此时,汽车离开A 站的路程为s
km.s与t之间的函数关系式
为 .
第二十章 一次函数
99
(5)一棵树现在的高度为2.2
m,预计未来10年平均每年长高25
cm.设
x年后该树的高度为y
m,则y与x 之间的函数关系式为 ,
y 是x 的 函数.
2.解答下列各题:
(1)已知四个点的坐标分别为(1,2),(2,-1),(0,3),(2,2),其
中哪些点在直线y=-x+3上?
(2)若点A(-5,y1),B(-2,y2)都在直线y=-1
2x 上,则y1 与y2
的大小具有怎样的关系?
(3)某纸业公司生产一种品牌的卫生纸,近年的产销情况如图所示.直
线l1 和l2 分别表示产量与年份、销量与年份之间的函数关系.下
列说法哪些是正确的,哪些是错误的? 试说明理由.
〔第2(3)题〕
①该卫生纸产量与销量均呈直线上升的趋势,且每年的产量与销量
之间的差距越来越小.
②该卫生纸已经出现供大于求的趋势.
③该卫生纸库存积压越来越大,应该压缩生产或设法促销.
3.某产品每件的成本是120元,试销阶段每件产品的售价x(元)与日销量
y(件)之间的关系如下表所示.若日销量y(件)是售价x(元)的一次函数,
且不允许亏本销售,求这个一次函数的表达式,并指出x 的取值范围.
x/元
130
150
165
y/件
70
50
35
100
数学 八年级下册
4.已知某种物体的密度为ρ,密度公式为ρ=m
V(其中,m 为该物体的质量,
V 为体积).
(1)导出公式m=ρV 是一次函数吗? 若是一次函数,则哪个量是自变量?
(2)导出公式V=m
ρ
是一次函数吗? 若是一次函数,则哪个量是自变量?
5.已知一次函数的图象经过点(1,1)和(-1,-5).
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)求这个一次函数的图象与x 轴和y 轴的交点坐标,并求出该图象与
两坐标轴围成的三角形的面积.
6.请在同一平面直角坐标系中,画出一次函数l1:y=1
2x-3和l2:y=
-x+6的图象.观察图象并回答下列问题:
(1)当x 为何值时,l1 与l2 所对应的表达式的y 值相等?
(2)当x 为哪些值时,l1 所对应的表达式的y 值大于l2 所对应的表达式
的y 值?
(3)当x 为哪些值时,l1 所对应的表达式的y 值小于l2 所对应的表达式
的y 值?
(第7题)
7.在一次百米赛跑过程中,小明跑过的路程s(m)与所用
时间t(s)之间的函数关系如图所示.
(1)s是t的什么函数?
(2)写出s与t之间的函数关系式.
(3)小明在此次比赛中的速度是多少?
(第8题)
B 组
8.A,B两地之间的路程为60
km,甲、乙二人
分别骑自行车和摩托车沿相同路线匀速行驶,
由A 地到达B地.他们行驶的路程s(km)与
甲出发后的时间t(h)之间的函数关系如图所示.
第二十章 一次函数101
(1)乙比甲晚出发几小时? 乙比甲早到几小时?
(2)分别写出甲、乙行驶的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之间的函
数关系式.
(3)乙在甲出发后几小时追上甲? 追上甲的地点离A地有多远?
9.某水产市场经营一种海产品,其日销售量y(kg)与销售单价x(元/千克)
之间的函数关系如图所示.
(1)分别求出当20≤x≤30,30<x≤35时,y 与x 之间的函数关系式.
(2)当销售单价为32元/千克时,日销售量是多少?
(3)当日销售量为80
kg时,单价是多少?
(第9题)
(第10题)
10.A,B,C三地位于一条南北走向的公路上(A,B,C依次由南往北),
B与A之间的路程为20
km,C与B之间的路程为40
km.甲骑自行车,
乙步行,分别由A,B两地同时出发,向C地行驶,他们离A 地的路
程y(km)是行驶时间x(h)的一次函数,其图象如图所示.
(1)出发后多长时间甲追上乙? 此时离C地多远?
(2)当出发后2.5
h时,谁在前面? 此时他超过另一人多少千米?
C 组
11.有36名分别了多年的老同学约定到某个地方故地重游,他们决定租用
汽车前往.可租用的汽车有两种:甲种每辆可以乘8人,乙种每辆可以
乘4人.他们不愿意让车子留出空位,但也不能超载.(乘坐人数不包
含司机)
(1)你能想出几种租车的方案?
(2)已知甲种汽车每天的租金为300元,乙种汽车每天的租金为200元.
请帮助他们选择一个最便宜的租车方案.
102
数学 八年级下册
12.李虹和张惠平时的耐力与速度相差无几.某日体育课上,老师设计了一
个400
m 的赛跑方案,让李虹从起跑就全速前进,而让张惠留着后劲
儿,待到剩下最后100
m 时再加速,并跟踪记录了赛跑的全过程.赛
跑的全过程如图所示.
(第12题)
(1)你从这幅图中读出了哪些信息?
(2)老师设计这个方案的目的是什么?
104
数学 八年级下册
四边形、五边形等多边形是比三角形复杂一些的图形.这些图形与
三角形相比,有哪些新的性质呢?
如图21.1 1,观察这些图形,谈谈它们在组成方式上有什么共同
特征?
图21.1 1
这些图形与我们学过的三角形一样,都是在平面上由不在同一条直线上
的线段首尾顺次相接所组成的.
形如图21.1 1中的图形那样,在平面上,由不在同一条直线上的线段
首尾顺次相接(且不能相交)组成的图形,叫作多边形(polygon).一般把边
数为n 的多边形叫作n 边形(n 为正整数,且n≥3).
如图21.1 2,组成多边形的各条线段叫作多边形的边,多边形相邻两
边组成的角叫作多边形的内角,多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成
的角叫作多边形的外角,多边形每一个内角的顶点叫作多边形的顶点,连接
多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
一个多边形如果总在
它的任意一条边所在直线
的同一侧,那么这个多边形
叫作凸多边形.目前我们
只研究凸多边形.
图21.1 2
第二十一章 四边形105
如图21.1 2所示的五边形,我们记作五边形ABCDE.用类似的方法
可以表示其他多边形.
如图21.1 3,在纸上任意画出一个四边形,剪下它的四个角,然后把
这四个角的顶点重合,拼在一起.
(1)你有什么发现? 与同伴进行交流,你们的发现一样吗?
(2)把你发现的结论概括出来,并试着证明.
图21.1 3
通过上面的探究,我们发现:
四边形的内角和等于360°.
图21.1 4
现在,我们来证明这个结论.
已知:如图21.1 4所示的四边形ABCD.
求证:∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
证明:如图21.1 5,连接AC.
∵ 在△ABC 中,∠BAC+∠B+∠BCA=
180°,
图21.1 5
在△ACD 中,∠DAC+∠D+∠DCA=
180°,
∴ (∠BAC+∠B+∠BCA)+(∠DAC+
∠D+∠DCA)=180°+180°,
即
(∠BAC + ∠DAC)+ ∠B + ∠D +
(∠BCA+∠DCA)=360°.
∴ ∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°.
106
数学 八年级下册
还有其他证明方法吗?
在四边形的每个顶点处,分别取这个四边形的一个外角,这四个外角的
图21.1 6
和叫作这个四边形的外角和.
1.如图21.1 6,已知四边形ABCD.请在它的每
个顶点处画出这个四边形的一个外角.
2.求四边形ABCD 的外角和.
四边形的外角和等于360°.
例 如图21.1 7,已知∠EAD 是四边形ABCD 的一个外角,且∠EAD=
∠C.那么,∠B 与∠D 互补吗? 为什么?
图21.1 7
解:∠B 与∠D 互补.理由如下:
∵ ∠EAD+∠DAB=180°,
∠EAD=∠C,
∴ ∠C+∠DAB=180°.
又∵ 四边形ABCD 的内角和等于360°,
∴ ∠B+∠D=180°,
即 ∠B 与∠D 互补.
我们知道,三角形具有稳定性.对于四边形,即使各边长都是确定的,
四边形的形状也是不能确定的,它可以有不同的形状,如图21.1 8所示.
因此,四边形具有不稳定性.
图21.1 8
第二十一章 四边形107
在日常生活中,四边形的不稳定性有着广泛的应用,下列图片反映了四
边形不稳定性的部分应用.除此之外,你还能举出哪些应用四边形不稳定性
的例子?
衣帽架
伸缩门
升降台
1.在四边形ABCD 中,如果∠A+∠C+∠D=280°,那么∠B 的度
数是多少?
2.请举出实际生活中克服四边形不稳定性的例子.
A 组
1.在四边形ABCD 中,已知∠A
∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4.求
∠D 的度数.
2.已知:如图,∠1,∠2分别为四边形ABCD 的外角.求证:∠1+∠2=
∠A+∠C.
(第2题)
(第3题)
3.如图,在四边形ABCD 中,∠B = ∠C =90°,∠BAD 的平分线与
∠ADC 的平分线相交于点P.求∠P 的度数.
108
数学 八年级下册
B 组
4.如图,由四条射线围成的四边形形状保持不变,面积不断缩小.
Ă
(第4题)
(1)在四边形面积缩小的过程中,四边形各外角的大小是否发生了变化?
(2)请想象四边形最后会变成什么图形.
(3)借助上述变化过程,试着说明四边形的外角和是360°.
5.在四边形的四个内角中,最多可以有几个锐角,最多可以有几个钝角,
最多可以有几个直角? 为什么?
6.如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,BE 平分∠ABC,DF 平
分∠ADC.BE 与DF 有怎样的位置关系? 为什么?
(第6题)
我们已经知道,三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,你
能猜想出五边形、六边形、七边形等多边形的内角和分别是多少度吗?
1.回顾求四边形内角和的过程,思考是如何将求四边形内角和的问题
转化,从而利用三角形内角和定理求出四边形的内角和的.
第二十一章 四边形109
2.类比求四边形内角和的方法,将多边形分割成不重叠的三角形,求
五边形、六边形、七边形的内角和.完成图形分割,并将结果填入下表.
3.多边形的内角和与边数n 有关系吗? 猜想n 边形的内角和,并将结
果填入下表.
多边形
边数
图形
(分割成三角形)
分割出的三
角形的个数
多边形的
内角和
四边形
4
2
360°
五边形
5
六边形
6
七边形
7
︙
︙
︙
︙
︙
n 边形
n
我们发现,n 边形的内角和等于(n-2)×180°.
现在,我们来证明这个结论.
已知:如图21.1 9,n 边形A1A2A3…An-1An.
求证:n 边形A1A2A3…An-1An 的内角和等于(n-2)×180°.
图21.1 9
证明:连接A1Ai(i=3,4,…,n-1),得到△A1Ai-1Ai(i=3,
4,…,n-1,n),共有(n-2)个三角形.
110
数学 八年级下册
∵ △A1Ai-1Ai(
i=3,4,…,n-1,n)的内角和等于180°,
∴ n 边形A1A2A3…An-1An 的内角和=△A1A2A3 的内角
和+△A1A3A4 的内角和+…+△A1An-1An 的内角和=
(
n-2)×180°.
多边形的内角和定理
n 边形的内角和等于(n-2)×180° (n≥3).
想一想:还有其他方法可以探究出多边形的内角和公式吗?
我们知道,四边形的外角和是360°.请借助求四边形外角和的方法求
n 边形的外角和.
多边形的外角和定理
多边形的外角和等于360°.
例1 已知一个多边形,它的内角和与外角和相等,这个多边形是几边形?
解:设多边形的边数为n,那么它的内角和等于(n-2)×180°,外角
和等于360°.由题意,得
(n-2)×180°=360°.
解这个方程,得
n=4.
所以,这个多边形是四边形.
例2 如图21.1 10,小亮从点O 处出发,前进5
m 后向右转20°,再前进
5
m 后又向右转20°,这样走n 次后,恰好回到点O 处.
图21.1 10
(1)小亮走出的这个n 边形的每个内角是多少度,
内角和是多少度?
(2)小亮走出的这个n 边形的周长是多少米?
解:(1)这个n 边形的每个内角为
180°-20°=160°.
∵ 多边形的外角和等于360°,
第二十一章 四边形111
∴ n×20°=360°.
∴ n=18.
∴ 这个n 边形的内角和=(18-2)×180°=2
880°.
(2)∵ 5×18=90(m),
∴ 小亮走出的这个n 边形的周长为90
m.
1.在540°,720°,960°中,哪个度数不可能是多边形的内角和?
2.一个多边形的内角和等于1
080°,这个多边形的边数是多少?
3.内角和等于外角和的2倍的多边形是几边形?
A 组
1.一个五边形有三个内角是直角,另两个内角都等于n°,求n 的值.
2.一个n 边形的外角和与内角和的度数之比为2∶7,求n 的值.
3.过某个多边形一个顶点的对角线共有10条,求这个多边形的内角和.
(第4题)
4.某模板如图所示,规定:AB,CD 的延长线应相
交成80°的角.因交点不在板上,不便测量,工人
师傅测得∠BAE =122°,∠DCF =155°.此时
AB,CD 的延长线相交所成的角是否符合规定?
为什么?
B 组
5.一个多边形最多可以有几个锐角? 为什么?
6.现有边数分别是n 和n+1(n≥3)的两个多边形.
(1)这两个多边形的内角和相差多少度?
(2)如果n 边形的每个外角都是x°,n+1边形的每个外角都是y°,求
x-y 的值.(用含字母n 的式子表示)
112
数学 八年级下册
平行四边形作为一类特殊的四边形,除具有一般四边形的性质外,
还有其特殊的性质.
在我们的周围存在着许多四边形.观察下列图片,从中抽象出四边形,
并就它们的共同特征和不同特性,和同学交流你的看法.
瓷砖图案
教室
伸缩门
晾衣架
上面图片中的四边形可以归类为以下四种:
我们把两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形(parallelogram),连
接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫作平行四边形的对角线(diagonal).
图21.2 1
如图21.2 1,四边形ABCD 是平行四边形,记作
“▱ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.线段AC,
BD 为▱ABCD 的两条对角线.
第二十一章 四边形113
如图21.2 2,在半透明的纸上画一个▱ABCD,对角线AC,BD 相交
于点O,再复制一个相同的图形.将两个图形完全重合,用大头针钉在点O
处.使下面的图形不动,将上面的图形绕点O 旋转180°.
图21.2 2
1.这两个图形能完全重合吗? 平行四边形是不是中心对称图形? 如果
是中心对称图形,它的对称中心是哪个点? 被对角线分成的三角形中,关于
点O 成中心对称的三角形有几对?
2.在上面的活动过程中,你发现了▱ABCD 的对边AD 与CB,AB 与
CD 之间具有怎样的数量关系? 对角∠BAD 与∠DCB,∠ABC 与∠CDA
之间具有怎样的数量关系? 线段OA 与OC,OB 与OD 之间具有怎样的数
量关系?
3.把你的发现写出来,说明理由,并与同学交流.
通过探究,可发现:
平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点.
同时,我们还发现平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相
平分.
我们先来证明平行四边形的对边相等,对角相等.
图21.2 3
已知:如图21.2
3,四边形ABCD 是平行四
边形.
求证:(1)AD=CB,AB=CD.
(2)∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA.
114
数学 八年级下册
证明:(1)如图21.2 4,连接BD.在△ABD 和△CDB 中,
∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
∴ AD∥CB,AB∥CD.
∴ ∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CDB.
图21.2 4
又∵ BD=DB,
∴ △ABD≌△CDB.
∴ AD=CB,AB=CD.
(2)∵ △ABD≌△CDB,
∴ ∠BAD=∠DCB.
∵ ∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD,
∴ ∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB,
即 ∠ABC=∠CDA.
∴ ∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA.
平行四边形的性质定理
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
图21.2 5
如图21.2 5,▱ABCD 的周长为22
cm,△ABD
的周长为18
cm.求对角线BD 的长.
例1 如图21.2 6,在▱ABCD 中,∠B+∠D=260°.求∠A,∠C 的度数.
图21.2 6
解:∵
四边形ABCD 是平行四边形,
∴ ∠B=∠D,∠A=∠C,AD∥CB.
又∵ ∠B+∠D=260°,
∴ ∠B=∠D=260°
2 =130°.
∵ AD∥CB,
∴ ∠A=180°-∠B=180°-130°=50°.
∴ ∠C=∠A=50°.
第二十一章 四边形115
1.如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,过点O 的
直线EF 交AB 于点E,交CD 于点F.图中全等的三角形有哪几对? 为
什么?
(第1题)
(第2题)
2.如图,在▱ABCD 中,AC 平分∠DAB,AB=3.求▱ABCD 的
周长.
3.在▱ABCD 中,∠A,∠B 的度数之比为5∶4.求∠C 的度数.
A 组
1.已知一个平行四边形,其相邻两角的差是40°.求该平行四边形各角的
度数.
2.如图,四边形ABCD 是平行四边形,CE⊥BA,交BA 的延长线于点E,
∠EAD=46°.求∠BCE 和∠D 的度数.
(第2题)
(第3题)
3.如图,在▱ABCD 中,点E,F 在对角线BD 上,且BE=DF.猜想
AE 与CF 有怎样的数量关系,并对你的猜想给出证明.
116
数学 八年级下册
B 组
4.已知:如图,四边形ABCD 是平行四边形,E 为BC 的中点,DE 的延
长线与AB 的延长线相交于点F.求证:B 为AF 的中点.
(第4题)
(第5题)
5.已知:如图,在▱ABCD 中,E,F 分别是BC,AD 上的点,且BE=
DF.求证:AE=CF.
由前面的探究过程,我们还发现平行四边形的对角线互相平分.
现在,我们来证明这个结论.
已知:如图21.2 7,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O.
求证:OA=OC,OB=OD.
图21.2 7
证明:在△AOB 和△COD 中,
∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
∴ AB∥CD,AB=CD.
∴ ∠BAO=∠DCO.
又∵ ∠AOB=∠COD,
∴ △AOB≌△COD.
∴ OA=OC,OB=OD.
第二十一章 四边形117
平行四边形的性质定理
平行四边形的对角线互相平分.
例2 如图21.2 8,O 为▱ABCD 两条对角线的交点,AC=24
mm,
BD=38
mm,BC=28
mm.求△OAD 的周长.
图21.2 8
解:∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
∴ AD=BC,OA=1
2AC,
OD=1
2BD.
∵ BC=28
mm,AC=24
mm,
BD=38
mm,
∴ AD=28
mm,OA=12
mm,OD=19
mm.
∴ △OAD 的周长=AD+OA+OD=28+12+19=59(mm).
例3 已知:如图21.2 9,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,
直线EF 过点O,交AD 于点E,交BC 于点F.
图21.2 9
求证:OE=OF,AE=CF,DE=BF.
证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
∴ OA=OC,AD=BC,AD∥BC.
∴ ∠EAO=∠FCO.
又∵ ∠AOE=∠COF,
∴ △AOE≌△COF.
∴ OE=OF,AE=CF.
∴ AD-AE=BC-CF.
∴ DE=BF.
118
数学 八年级下册
1.如图,在▱ABCD 中,AB=5
cm,AC=6
cm,BD =8
cm.求
△AOB 和△AOD 的周长.
(第1题)
(第2题)
2.如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点O 的直线分别
交AD 和BC 于点E,F,▱ABCD 的面积为24.求图中阴影部分的面积.
A 组
1.如图,▱ABCD 的周长是38,对角线AC,BD 相交于点O,△AOD 与
△AOB 的周长之差是5.求AB 的长.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,且BD ⊥BC,
BC=4,BD=6.求对角线AC 的长.
3.已知:如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,AE ⊥BD,
CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:OE=OF.
(第3题)
第二十一章 四边形119
B 组
4.已知:如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,M 为OA 的中
点,N 为OC 的中点.求证:BM=DN,BM∥DN.
(第4题)
(第5题)
5.如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,过点O 的直线
EF⊥AC,分别交DC,AB 于点E,F,连接AE.已知▱ABCD 的周
长是18,求△ADE 的周长.
120
数学 八年级下册
根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是平行四边形.由平行
四边形的性质逆向思考,能否判定一个四边形是平行四边形呢?
小明用下列方法得到一个四边形ABCD.
画两条互相平行的直线,在这两条直线上
分别截取线段AB=CD,连接AD,BC,得四
边形ABCD.
(1)将线段AB 沿BC 方向平行移动,线段AB 与CD 能不能重合? 你
认为这样得到的四边形ABCD 是不是平行四边形?
(2)试着说说你判断的理由,并与同学交流.
我们发现:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
现在,我们来证明这个结论.
已知:如图21.3 1,在四边形ABCD 中,AD∥BC,且AD=BC.
求证:四边形ABCD 是平行四边形.
图21.3 1
图21.3 2
证明:如图21.3 2,连接BD.
在△ABD 和△CDB 中,
∵ AD∥BC,
第二十一章 四边形121
∴ ∠ADB=∠CBD.
为证明另两条边
平行,可借助内错角
相等.为此,需构造
相应的全等三角形.
又∵ AD=CB,BD=DB,
∴ △ABD≌△CDB.
∴ ∠ABD=∠CDB.
∴ AB∥DC.
∴ 四边形ABCD 是平行四边形.
平行四边形的判定定理
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
例1 已知:如图21.3 3,四边形ABCD 是平行四边形,E 为BA 延长线
上一点,F 为DC 延长线上一点,且AE=CF,连接BF,DE.
图21.3 3
求证:四边形BFDE 是平行四边形.
证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
∴ AB∥CD,AB=CD.
∵ AE=CF,
∴ BE=DF.
又∵ BE∥DF,
∴ 四边形BFDE 是平行四边形.
例2 求证:平行线间的距离处处相等.
已知:如图21.3 4,EF∥MN,A,B 为直线EF 上任意两点,
AD⊥MN,垂足为D,BC⊥MN,垂足为C.
求证:AD=BC.
图21.3 4
122
数学 八年级下册
证明:∵ AD⊥MN,BC⊥MN,
∴ ∠ADN=∠BCN=90°.
∴ AD∥BC.
又∵ EF∥MN,
∴ 四边形ADCB 是平行四边形.
∴ AD=BC.
1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗? 为什么?
2.将两块全等的含30°角的三角板按如图的方式摆放在一起,则四边
形ABCD 是平行四边形吗? 请尝试用多种方法说明理由.
(第2题)
A 组
1.如图,四边形ABCD 是平行四边形,延长AB 到点E,延长CD 到点F,
使BE=DF,EF 与AC 相交于点O.猜想线段AC 与EF 之间的关系,
并证明自己的猜想.
(第1题)
第二十一章 四边形123
2.已知:如图,把△ABC 绕边BC 的中点O 旋转180°得到△DCB.求证:
四边形ACDB 是平行四边形.
(第2题)
3.已知:如图,BD 是▱ABCD 的对角线,点E 和点F 在BD 上,且
BE=DF.求证:四边形AECF 是平行四边形.
(第3题)
B 组
4.已知:如图,△ABC 是等边三角形,点D,F 分别在线段BC,AB 上,
E 为△ABC 外一点,DC=EF,∠EFB=60°.求证:四边形EDCF 是
平行四边形.
(第4题)
(第5题)
5.已知:如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AE⊥AD,交BD 于点E,
CF⊥BC,交BD 于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD 是平行四
边形.
124
数学 八年级下册
>ᄌ̻
ᕊ5
小亮和小芳分别按下列方法得到了各自的四边形.
小亮的做法
用4根木条搭成如图所示
的四边形,其中,AB =CD,
AC=BD.
小芳的做法
画两条相交于点O 的直线,截
取OA=OC,OB=OD;连接AB,
BC,CD,DA,得到四边形ABCD.
他们得到的四边形是不是平行四边形? 请你进行判断,并尝试说明
理由.
我们发现:两组对边分别相等的四边形是平行四边形,两条对角线互相
平分的四边形是平行四边形.
现在,我们先来证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知:如图21.3 5,在四边形ABCD 中,AB=CD,AD=CB.
求证:四边形ABCD 是平行四边形.
图21.3 5
图21.3 6
证明:如图21.3 6,连接BD.
在△ABD 和△CDB 中,
第二十一章 四边形125
∵ AB=CD,AD=CB,BD=DB,
∴ △ABD≌△CDB.
∴ ∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD.
∴ AB∥CD,AD∥CB.
∴ 四边形ABCD 是平行四边形.
求证:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
例3 已知:如图21.3 7,▱ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于点O,
E,F 分别为OA,OC 的中点.
求证:四边形EBFD 是平行四边形.
图21.3 7
证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
∴ OA=OC,OB=OD.
∵ E,F 分别为OA,OC 的中点,
∴ OE=OF.
∴ 四边形EBFD 是平行四边形.
在例3的已知条件中,如果E,F 不再为OA,OC 的中点,请你
谈谈:
126
数学 八年级下册
(1)点E,F 分别在OA,OC 上,怎样确定点E 和点F 的位置,可使
得四边形EBFD 是平行四边形?
(2)点E,F 分别在OA,OC 的延长线上,怎样确定点E 和点F 的位
置,可使得四边形EBFD 是平行四边形?
1.已知:如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O.
仅从下列条件中任意选取两项作为已知条件,能够判定四边形ABCD 是平
行四边形的有哪些?
①AB∥CD;②BC=AD;③AB=CD;
④BC∥AD;⑤OA=OC;⑥OB=OD.
(第1题)
(第2题)
2.已知:如图,AC 为▱ABCD 的对角线,DE⊥AC,BF⊥AC,垂
足分别为E,F.求证:四边形DEBF 是平行四边形.
A 组
1.已知:如图,D,E 分别为△ABC 的边AB 和边AC 的中点,延长DE
到点F,使EF=DE,连接CF.求证:四边形BCFD 是平行四边形.
(第1题)
第二十一章 四边形127
2.如图,已知三点A,B,C.画平行四边形,使其三个顶点分别是点A,
B,C.
(第2题)
(第3题)
3.如图,在▱ABCD 中,E 为BC 边上一点.试在AD 边上找一点F,使
四边形AECF 是平行四边形,并说明理由.
B 组
4.已知:如图,在▱ABCD 的各边AB,BC,CD,DA 上分别取点K,L,
M,N,使AK=CM,BL=DN.求证:四边形KLMN 是平行四边形.
(第4题)
(第5题)
5.已知:如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,EF 过点O 交
AD 于点E,交BC 于点F,G 是OA 的中点,H 是OC 的中点.求证:
四边形EGFH 是平行四边形.
128
数学 八年级下册
三角形的中位线是三角形中的重要线段.借助平行四边形的性质,
可以探索三角形中位线的性质.
连接三角形两边中点的线段,叫作三角形的中位线(median
line).
如图21.4 1,D,E 分别为△ABC 的两边AB,AC 的中点,线段DE
就是△ABC 的一条中位线.
图21.4 1
一个三角形有三条中位线.
1.如图21.4 2,在△ABC 中,画出它的三条中位线DE,DF,EF.
沿中位线剪出四个小三角形,将它们叠合在一起,它们能完全重合吗? 三角
形的中位线DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系?
图21.4 2
图21.4 3
2.如图21.4 3,DE 是△ABC 的中位线,将△ADE 绕点E 旋转
180°,使点A 和点C 重合,点D 落在点F 处.四边形DBCF 是平行四边形
吗? DE 与BC 的位置关系和数量关系与1题中的结论相同吗?
通过探究,我们得到:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边
的一半.
现在,我们来证明这个结论.
第二十一章 四边形129
图21.4 4
已知:如图21.4 4,D,E 分别为△ABC
的边AB,AC 的中点.
求证:DE∥BC,且DE=1
2BC.
证明:如图21.4 5,延长DE 到点F,使
EF=DE,连接CF.
在△ADE 和△CFE 中,
∵ AE=CE,∠AED=∠CEF,DE=FE,
∴ △ADE≌△CFE.
图21.4 5
∴ AD=CF,∠A=∠ECF.
∴ AD∥CF,
即 BD∥CF.
又∵ BD=AD,
∴ BD=CF.
∴ 四边形DBCF 是平行四边形.
∴ DE∥BC,且DF=BC.
∴ DE=1
2DF=1
2BC.
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
如图21.4 6,在△ABC 中,D,E,F 分别为AB,BC,AC 的中点,
AC=12,BC=16.求四边形DECF 的周长.
图21.4 6
130
数学 八年级下册
例 已知:如图21.4 7,在四边形ABCD 中,AD=BC,P 为对角线BD
图21.4 7
的中点,M 为DC 的中点,N 为AB 的中点.
求证:△PMN 是等腰三角形.
证明:在△ABD 中,
∵ N,P 分别为AB,BD 的中点,
∴ PN=1
2AD.
同理 PM=1
2BC.
又∵ AD=BC,
∴ PN=PM.
∴ △PMN 是等腰三角形.
1.三角形三边的长分别为5,9,12,求连接各边中点所构成的三角形
的周长.
2.如图,EF 为△ABC 的中位线,BD 平分∠ABC,交EF 于点D,
AB=4,BC=6.求DF 的长.
(第2题)
A 组
(第1题)
1.如图,A,B 两点被池塘隔开,不能直接测量它们
之间的距离.测量员在池塘外选一点C,连接AC,
BC,并分别找到AC 和BC 的中点M,N.由
MN 的长度即可知道A,B 两点间的距离.
第二十一章 四边形131
(1)指出上述测量方法中的道理.
(2)若测得MN=20
m,求A,B 两点间的距离.
2.如图,△CDE 是△ABC 沿AC 方向平移得到的,延长AB,ED 相交于
点F.请指出图中有哪些相等的线段,有哪些平行的线段.
(第2题)
B 组
3.如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA
的中点.请猜想四边形EFGH 的形状,并证明自己的猜想.
(第3题)
(第4题)
4.已知:如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点E,BD=AC,
M,N 分别为AD,BC 的中点,MN 分别交AC,BD 于点F,G.求
证:EF=EG.
132
数学 八年级下册
矩形是特殊的平行四边形.与一般的平行四边形相比,矩形有哪些
更为特殊的性质? 该如何来判断一个四边形是不是矩形呢?
我们把有一个角是直角的平行四边形叫作矩形(rectangle).
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在实际生活中,经常能够见到表面是矩形的物体,如桌面、书本封面、
显示屏、地砖等.
图21.5 1
1.如图21.5 1,剪出一个矩形纸片ABCD,O 是
对角线AC 与BD 的交点.请用折叠的方法验证它是轴
对称图形.矩形有几条对称轴? 它们都经过矩形对角
线的交点吗?
2.如图21.5 2,根据四边形的不稳定性,使一个平行四边形保持四
条边长不变,而将一个内角α由钝角先变成直角,再变成锐角.
图21.5 2
第二十一章 四边形133
在这个过程中:
(1)这个四边形总是平行四边形吗? 为什么?
(2)当α=90°时,其余三个内角的度数各是多少?
(3)当α=90°时,两条对角线的长有什么关系?
通过探究,可知:
矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形.
我们还发现:矩形的四个角都是直角,两条对角线相等.
1.求证:矩形的四个角都是直角.
2.求证:矩形的两条对角线相等.
矩形的性质定理
矩形的四个角都是直角.
矩形的两条对角线相等.
例1 如图21.5 3,矩形ABCD 的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,
AB=4
cm.求矩形对角线的长.
图21.5 3
解:∵ 四边形ABCD 是矩形,
∴ AC=BD,AO=CO,BO=DO.
∴ AO=CO=BO=DO.
∵ ∠AOD=120°,
∴ ∠AOB=60°.
∴ △AOB 是等边三角形.
∴ AO=BO=AB=4
cm.
∴ AC=AO+CO=AO+BO=8(cm),
即矩形ABCD 对角线的长为8
cm.
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 .
134
数学 八年级下册
2.如图,四边形ABCD 为矩形.请指出图中相等的线段和角.
(第2题)
A 组
1.已知矩形ABCD 的边AB=4,BC=5.求对角线AC 的长.
2.已知:如图,E 为矩形ABCD 的边AD 的中点,连接BE,CE.求证:
△EBC 是等腰三角形.
(第2题)
(第3题)
3.如图,在矩形ABCD 中,E 为AD 上一点,EF⊥CE,交AB 于点F,
且EF=CE,DE=2,矩形的周长为16.求AE 的长.
B 组
4.已知:如图,四边形ABCD 是矩形,对角线AC,BD 相交于点O,过
点B 作BE∥AC,交DC 的延长线于点E.求证:BD=BE.
(第4题)
第二十一章 四边形135
5.如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 为AD 上一点,过点P
作PE⊥AC,PF⊥BD,垂足分别为E,F.求PE+PF 的值.
(第5题)
(第6题)
6.如图,四边形ABCD 是矩形,AB=3,AD=4,E 为CD 的中点,连接
AE 并延长,交BC 的延长线于点F,连接DF.求DF 的长.
下面我们来探究矩形的判定条件.
1.我们已经知道,矩形的四个角都是直角.反过来,一个四边形有几
个角是直角,就能判定它是矩形呢? 观察图21.5 4,提出你的猜想.
图21.5 4
2.矩形的对角线相等.那么,对角线相等的平行四边形是矩形吗?
通过探究,我们发现:有三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的
平行四边形是矩形.
求证:有三个角是直角的四边形是矩形.
136
数学 八年级下册
现在,我们来证明对角线相等的平行四边形是矩形.
图21.5 5
已知:如图21.5 5,在▱ABCD 中,AC=BD.
求证:▱ABCD 是矩形.
证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形,
∴ AD∥BC,AD=BC.
在△ABD 和△BAC 中,
∵ AD=BC,AB=BA,BD=AC,
∴ △ABD≌△BAC.
∴ ∠DAB=∠CBA.
又∵ AD∥BC,
∴ ∠DAB+∠CBA=180°.
∴ ∠DAB=∠CBA=90°.
∴ ▱ABCD 是矩形.
矩形的判定定理
有三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2 已知:如图21.5 6,在矩形ABCD 中,E,F,G,H 分别为OA,
OB,OC,OD 的中点.
求证:四边形EFGH 是矩形.
图21.5 6
证明:∵ 四边形ABCD 是矩形,
∴ AC=BD,且OA=OC,OB=OD.
∴ OA=OC=OB=OD.
第二十一章 四边形137
又∵ E,F,G,H 分别为OA,OB,OC,OD 的中点,
∴ OE=OG=OF=OH.
∴ 四边形EFGH 是平行四边形.
又∵ EG=OE+OG=OF+OH=HF,
∴ 四边形EFGH 是矩形.
在例2中,如果四边形ABCD 是平行四边形,那么四边形EFGH 是平
行四边形吗? 说说你的理由.
1.指出下列说法是否正确.
(1)有一个角为直角的四边形是矩形.
(2)两条对角线相等的四边形是矩形.
(3)两条对角线互相垂直的四边形是矩形.
(4)四个角皆为直角的四边形是矩形.
2.已知:如图,AB=AC,D 为BC 的中点,四边形AEDB 是平行四
边形.求证:四边形AECD 是矩形.
(第2题)
A 组
1.已知一矩形对角线的长为10
cm,求顺次连接该矩形四边中点所得的
四边形的周长.
138
数学 八年级下册
2.如图,矩形ABCD 的两条对角线AC,BD 的夹角为60°,AC+AB=
12.求AC 和AB 的长.
(第2题)
3.小亮想检验一块木板是不是矩形.现仅有一根足够长的细绳,你能想办
法帮他进行检验吗? 请说明理由.
B 组
4.已知:如图,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN 是△ABC 的外角
∠CAM 的平分线,CE ⊥AN,垂足为E.求证:四边形ADCE 是
矩形.
(第4题)
(第5题)
5.如图,在矩形ABCD 中,AC,BD 相交于点O,AE 平分∠BAD,交
BC 于点E,∠CAE=15°.求∠BOE 的度数.
第二十一章 四边形139
菱形也是一类特殊的平行四边形.它会有什么样的特殊性质,又该
如何进行判定呢?
>ᄌ̻
ᕊ5
从下列图片中抽象出如图21.6 1所示的图形.观察这些图形,它们有
什么共同特征呢?
图21.6 1
通过观察和验证,图21.6 1(1), (2), (3)皆为平行四边形,而且有
一组邻边相等.我们把有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形(rhombus).
菱形作为特殊的平行四边形,除具有平行四边形的所有性质外,还有哪
些特殊的性质呢?
1.如图21.6 2,将一张菱形纸片ABCD 按图示方法折叠后,再展开.
图21.6 2
140
数学 八年级下册
(1)说明两条折痕的交点O 恰为菱形的对称中心.
(2)菱形ABCD 是轴对称图形吗? 如果它是轴对称图形,那么它有几
条对称轴,分别是哪些直线?
图21.6 3
2.如图21.6 3,四边形ABCD 是菱形.
(1)菱形ABCD 的四条边有怎样的数量
关系?
(2)菱形ABCD 的两条对角线有怎样的位
置关系?
通过上述探究活动,我们发现:
菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形.
同时,我们还发现:菱形的四条边相等;菱形的两条对角线互相垂直,
且每条对角线平分一组对角.
现在,我们来证明这个结论.
图21.6 4
已知:如图21.6 4,四边形ABCD 是菱形,
AB=AD.
求证:(1)AB=BC=CD=DA.
(2)AC⊥DB.
(3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,
∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.
证明:(1)∵ 四边形ABCD 是菱形,
∴ AB=CD,AD=CB.
又∵ AB=AD,
∴ AB=BC=CD=DA.
(2)在△ADO 和△CDO 中,
∵ DA=DC,DO=DO,AO=CO,
∴ △ADO≌△CDO.
∴ ∠AOD=∠COD.
又∵ ∠AOD+∠COD=180°,
第二十一章 四边形141
∴ ∠AOD=∠COD=90°.
∴ AC⊥DB.
(3)∵ △ADO≌△CDO,
∴ ∠ADB=∠CDB,∠DAC=∠DCA.
∵ AB∥CD,AD∥CB,
∴ ∠ADB=∠CBD,∠CDB=∠ABD,
∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.
∴ ∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,
∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.
菱形的性质定理
菱形的四条边相等.
菱形的两条对角线互相垂直,且每条对角线平分一组对角.
例1 如图21.6 5,菱形ABCD 的周长为16
cm,∠ABC=120°.求对角
线BD 和AC 的长.
图21.6 5
解:∵ 四边形ABCD 是菱形,
∴ AB=BC=CD=DA,BD 平分∠ABC,
AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.
∵ AB+BC+CD+DA=16
cm,
∴ AB=BC=CD=DA=1
4×16=4(cm).
∵ BD 平分∠ABC,∠ABC=120°,
∴ ∠ABD=60°.
∴ △ABD 是等边三角形.
∴ BD=AB=4
cm.
在Rt△AOB 中,OB=2
cm,
AO= AB
2-OB
2= 4
2-2
2= 12=23(cm).
∴ AC=2AO=43
cm.
142
数学 八年级下册
(第2题)
1.已知菱形的边长和一条对角线的长均为2
cm,
求这个菱形的面积.
2.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所
示,∠AOC=45°,OC= 2.求点B 的坐标.
(第1题)
A 组
1.如图,在菱形ABCD 中,AC,BD 为对角线,∠BAC=
50°.求菱形ABCD 各内角的度数.
2.在菱形ABCD 中,对角线AC=8,BD=6.求菱形ABCD
的周长.
3.如图,菱形ABCD 的边长为2
cm,E 为AB 的中点,且DE⊥AB.求
菱形ABCD 的面积.
(第3题)
B 组
4.如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,且AC=6
cm,BD=
8
cm,AE⊥BC,垂足为E.求AE 的长.
(第4题)
第二十一章 四边形143
5.如图,菱形ABCD 的对角线相交于点O,延长AB 至点E,使BE=
BC,连接EC.
(1)求证:BD=EC.
(2)求证:S菱形ABCD=S△AEC.
(第5题)
(第6题)
6.如图,四边形ABCD 是菱形,A,B 两点的坐标分别为(0,4),(-3,0),
点D 在y 轴上.求点C,D 的坐标.
我们已经知道,菱形的四条边都相等,两条对角线互相垂直.反过来,
如果一个四边形的四条边都相等,那么能判定这个四边形是菱形吗? 如果一
个平行四边形的对角线互相垂直,那么能判定这个平行四边形是菱形吗?
图21.6 6
如图21.6 6,画两条等长的线段AB,AD,分
别以点B,D 为圆心,以AB 长为半径画弧,两弧相
交于点C.连接BC,CD,得到四边形ABCD.
四边形ABCD 是菱形吗?
事实上,我们有:四条边相等的四边形是菱形.
现在,我们来证明这个结论.
图21.6 7
已知:如图21.6 7,在四边形ABCD 中,AB=
BC=CD=DA.
求证:四边形ABCD 是菱形.
证明:∵ AB=CD,且BC=DA,
144
数学 八年级下册
∴ 四边形ABCD 是平行四边形.
又∵ AB=DA,
∴ 四边形ABCD 是菱形.
菱形的判定定理
四条边相等的四边形是菱形.
图21.6 8
如图21.6 8,▱ABCD 的两条对角线AC,BD 互
相垂直,O 是这两条对角线的交点.
(1) 你能说明图中的Rt△ABO,Rt△CBO,
Rt△CDO,Rt△ADO 都是全等的吗?
“每条对角线都平分
一组对角的四边形是菱
形”也是正确的,同学
们可以自己试着证明.
(2)平行四边形ABCD 的四条边都相等吗?
(3)请证明你的猜想.
菱形的判定定理
两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形﹒
图21.6 9
例2 已知:如图21.6
9,在△ABC 中,AD 是
∠BAC 的平分线,DE∥AC,交AB 于点E,
DF∥AB,交AC 于点F.
求证:四边形AEDF 是菱形.
证明:∵ DE∥AC,DF∥AB,
∴ 四边形AEDF 是平行四边形,∠1=∠3.
又∵ ∠1=∠2,
∴ ∠2=∠3.
第二十一章 四边形145
∴ AE=DE.
∴ 四边形AEDF 是菱形.
1.如图,AB=AC,画出点A 关于BC 的对称点A'.请用两种不同的
方法证明四边形ABA'C 是菱形.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在▱ABCD 中,∠D=60°,以顶点A 为圆心、AB 长为半径
画弧,交BC 于点E,交AD 于点F,连接AE,EF.请指出图中的等腰三
角形、平行四边形和菱形.
A 组
1.已知:如图,E 是菱形ABCD 的边AD 的中点,EF⊥BD 于点H,交BC
的延长线于点F,交DC 于点G.求证:DC 与EF 互相平分.
(第1题)
(第2题)
2.已知:如图,在▱ABCD 中,O 为对角线AC 的中点,过点O 作AC
的垂线与边AD,BC 分别交于点E,F,连接AF,CE.求证:四边
形AFCE 是菱形.
146
数学 八年级下册
3.已知:如图,四边形ABCD 是菱形,两条对角线相交于点O,DE 为
∠ADB 的平分线,交AC 于点E,DF 为∠CDB 的平分线,交AC 于
点F,连接BE,BF.求证:四边形DEBF 是菱形.
(第3题)
B 组
4.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=60°,M 为AB 的中点,P 为对角线
AC 上的一个动点,PM+PB 的最小值是3.求AB 的长.
(第4题)
(第5题)
5.如图,绿丝带下部重叠部分是什么图形? 请说明理由.
第二十一章 四边形147
正方形是我们熟悉的四边形,它也是一类特殊的平行四边形.那
么,正方形有怎样的特殊性质和判定方法呢?
我们已经知道,有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等
的平行四边形是菱形.那么,有一组邻边相等的矩形是什么图形呢? 有一个
角是直角的菱形又是什么图形呢?
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形(square).
1.正方形是中心对称图形吗? 如果是中心对称图形,那么它的对称中
心在哪里? 正方形是轴对称图形吗? 如果是轴对称图形,那么它有哪几条对
称轴?
2.谈谈正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系.
3.正方形有哪些性质?
正方形是中心对称图形,它的对角线交点是对称中心.正方形还是轴对
称图形,它有四条对称轴:两条对角线和每组对边中点连线所在的直线.
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.
148
数学 八年级下册
例1 已知:如图21.7 1,在正方形ABCD 中,点E 在对角线AC 上.
图21.7 1
求证:BE=DE.
证明:∵ 四边形ABCD 是正方形,
∴ AB=AD,∠BAC=∠DAC.
又∵ AE=AE,
∴ △AEB≌△AED.
∴ BE=DE.
图21.7 2
例2 已知:如图21.7 2,在正方形ABCD 中,
△BCE 是等边三角形.
求证:∠EAD=∠EDA=15°.
证明:∵ 四边形ABCD 是正方形,
∴ AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°.
∵ △BCE 是等边三角形,
∴ BC=BE,∠EBC=60°.
∴ AB=BE,∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°.
∴ ∠BAE=∠BEA=1
2×(180°-30°)=75°.
∴ ∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-75°=15°.
同理 ∠EDA=15°.
∴ ∠EAD=∠EDA=15°.
图21.7 3
已知:如图21.7
3,点E,F,G 分别在正方形
ABCD 的边AB,AD 和CD 上,且EF⊥FG,AF=DG.
求证:EF=FG.
如图,正方形ABCD 的对角线AC 为菱形AEFC
的一边,求∠FAB 的度数.
第二十一章 四边形149
A 组
1.如图,如果正方形ABCD 旋转后能与正方形CFED 重合,那么图形所
在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个? 请指出它们的位置.
(第1题)
2.已知:如图,四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形.求证:AE=CG.
(第2题)
(第3题)
3.已知:如图,正方形ABCD 的两条对角线相交于点O,点M,N 分别
在OA,OD 上,且MN∥AD.请探究线段DM 和CN 之间的数量关系,
写出结论并给出证明.
B 组
4.如图,E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点,且CE=BD,AE
交DC 于点F.求∠AFC 的度数.
(第4题)
(第5
题)
5.已知:如图,正方形ABCD 的两条对角线相交于点O,E 为OC 上一
点,AM⊥BE,垂足为M,AM 与DB 相交于点F.求证:OE=OF.
150
数学 八年级下册
根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,说一说如何判定一个四
边形是正方形.
可以先判定这个四边形是矩形,再证明这个矩形是菱形;也可以先判定
这个四边形是菱形,再证明这个菱形是矩形.因此,判定一个四边形是正方
形,只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可.
例3 已知:如图21.7 4,分别延长正方形ABCD 的边AB,BC,CD,
DA 到点E,F,G,H,使BE=CF=DG=AH,连接EF,FG,
GH,HE,得到四边形EFGH.
图21.7 4
求证:四边形EFGH 是正方形.
证明:∵ 四边形ABCD 是正方形,
∴ AB=BC=CD=DA,
∠EBF=∠FCG=∠GDH=
∠HAE=90°.
又∵ BE=CF=DG=AH,
∴ AE=BF=CG=DH.
∴ △EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE.
∴ EF=FG=GH=HE,∠EFB=∠HEA.
∴ 四边形EFGH 是菱形.
又∵ ∠EFB+∠FEB=90°,
∴ ∠FEB+∠HEA=90°,即∠FEH=90°.
图21.7 5
∴ 菱形EFGH 是正方形.
例4 已知:如图21.7 5,在菱形ABCD 中,
对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 在
对角线BD 上,且BE=DF,OE=OA.
求证:四边形AECF 是正方形.
证明:∵ 四边形ABCD 是菱形,
∴ AC⊥BD,OA=OC,
第二十一章 四边形151
OB=OD.
又∵ BE=DF,
∴ OE=OF.
∴ 四边形AECF 是菱形.
又∵ OE=OA,
∴ OE=OF=OA=OC,即EF=AC.
∴ 菱形AECF 是正方形.
图21.7 6
已知:如图21.7 6,点E,F,M,N 分别在正方
形ABCD 的四条边上,且AE=BF=CM=DN.
求证:四边形EFMN 是正方形.
(第1题)
1.如图,把一张矩形纸片折叠,把重叠部分剪下来,
展开后可以得到一个怎样的四边形? 为什么?
2.判定一个四边形是正方形有哪些方法? 请至少写出
三种方法.
A 组
1.已知:如图,在矩形ABCD 中,点E,F 分别在边AB,BC 上,且
DE=AF,DE⊥AF,垂足为P.求证:四边形ABCD 是正方形.
(第1题)
152
数学 八年级下册
2.已知:如图,四边形ABCD 是矩形,AD=2AB,M 是AD 的中点,N 是
矩形ABCD 外一点,且BN∥CM,CN∥BM.求证:四边形BNCM 是正
方形.
(第2题)
(第3题)
3.如图,小红选中了一块丝巾作为生日礼物送给妈妈.她想验证这块丝巾
是不是正方形,可以用什么方法呢? 说说理由.
B 组
4.如图,已知△ABC,分别以AB,AC,BC 为边,在BC 的同侧作等边
三角形ABD、等边三角形ACF 和等边三角形BCE.
(1)求证:四边形ADEF 是平行四边形.
(2)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是正方形?
(第4题)
(第5题)
5.七巧板是我国一项传统的智力游戏,可以用来拼出多种图形.请分别选
择七巧板中的两块、三块、四块、五块,尝试拼出一个新的正方形.(相
邻两块之间无缝隙、不重叠)
第二十一章 四边形153
梯形也是一类比较特殊的四边形,在现实生活中有着较为广泛的应用.
>ᄌ̻
ᕊ5
在现实生活中,还存在着一类四边形,它们与平行四边形不同.请观察
下面的图片,从中找出这类四边形,并就它们的共同特征和不同特性,和同
学互相交流.
中式家具 龙门起重机 足球门 挡车器
从上面的图片中,可以抽象出如下一类四边形.
我们把只有一组对边平行的四边形叫作梯形(trapezoid).
在梯形中,平行的两边叫作梯形的底,通常把较短的底叫作上底,较长
的底叫作下底;不平行的两边叫作梯形的腰;梯形上底和下底之间的垂线段
叫作梯形的高.
如图21.8 1,在梯形ABCD 中,DC 和AB 分别是梯形的上底和下
底,AD 和BC 都是梯形的腰,DE⊥AB 于点E,DE 是梯形的高.
154
数学 八年级下册
图21.8 1
图21.8 2
如图21.8 2,有一个角是直角的梯形叫作直角梯形,两腰相等的梯形
叫作等腰梯形.它们都是特殊的梯形.
解决梯形问题时,
常把梯形转化为平行四
边形和三角形的组合.
画出一个梯形,并按下列要求分割这个梯形.
(1)分割成一个平行四边形和一个三角形.
(2)分割成矩形和直角三角形.
图21.8 3
例1 已知:如图21.8 3,在梯形ABCD 中,AB∥DC,
AD=BC.
求证:∠A=∠B.
证明:如图21.8 4,过点C 作CE∥AD,交
AB 于点E.
图21.8 4
又∵ AB∥DC,
∴ 四边形ADCE 是平行四边形.
∴ AD=EC.
又∵ AD=BC,
∴ EC=BC.
∴ ∠CEB=∠B.
∵ CE∥AD,
∴ ∠CEB=∠A.
∴ ∠A=∠B.
想一想:如果把例1已知条件中的“AD=BC”换成“∠A=∠B”,
你能证出AD=BC 吗?
第二十一章 四边形155
例2 如图21.8 5,梯形ABCD 是一座水库堤坝的横断面.已知AD∥BC,
∠B=45°,∠DCB=30°,坝顶AD=6
m,AB=10 2
m.求CD 的
长及堤坝横断面(即梯形ABCD)的面积.
图21.8 5
解:如图21.8 6,作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,则
∠AEF=∠DFC=90°.
图21.8 6
∴ AE∥DF.
又∵ AD∥BC,
∴ 四边形AEFD 是
矩形.
∴ AE=DF,AD=EF.
在Rt△ABE 中,
∵ ∠B=45°,
∴ AE=BE.
由AB
2=AE
2+BE
2,得(102)
2=2AE
2.解得AE=10
m.
∴ AE=BE=DF=10
m.
在Rt△DFC 中,由∠DCB=30°,得CD=2DF=20
m.
∴ FC= DC
2-DF
2= 20
2-10
2=103(m).
∴ BC=BE+EF+FC=10+6+103=16+103(m).
∴ S梯形ABCD =1
2(AD+BC)·AE
=1
2×(6+16+103)×10
=110+503(m
2).
答:CD 的长为20
m,堤坝横断面的面积为(110+503)
m
2.
156
数学 八年级下册
1.如图,在梯形ABCD 中,已知AB∥CD,点E 在边AB 上,CE∥AD,
AE=5,△BCE 的周长为27.求梯形ABCD 的周长.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在直角梯形ABCD 中,AB∥DC,∠A=90°,AB=10,BC=
13,DC=15.求梯形的高.
A 组
1.如图是一个机械设备上已损坏零件的平面图,四边形ABCD 是梯形,
AD∥BC.经过测量得到∠A=122°,∠D=114°,∠B 和∠C 由于已经
损坏,不便测量.你能求出∠B 和∠C 的度数吗? 请说明理由.
(第1题) (第2题)
2.如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,对角线AC 与BD 相交于点O.从
(第3题)
图中找出所有面积相等的三角形,并说明理由.
3.如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,∠C=70°,
∠D=55°,AB=5,DC=11.求腰BC 的长.
第二十一章 四边形157
B 组
4.如图,将一张矩形纸片沿着虚线剪成两张全等的直角梯形纸片.根据图
中标出的数据,求剪成的直角梯形纸片的上底和下底的长度.
(第4题)
5.已知:如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AD =2,BD =6,AC=
BC=8.求证:AC⊥BD.
(第5题)
158
数学 八年级下册
在四边形上构造特殊四边形
我们已经知道:对于任意一个四边形,连接它的四边的中点所构成的四
边形是一个平行四边形.那么,在什么条件下,连接四边形各边中点所构成
的四边形是矩形、菱形或正方形呢?
活动一:
1.任意画两条互相垂直且相交的线段AC,BD,并顺次连接四个端点
得到四边形ABCD,如图(1)所示.连接四边形ABCD 的各边中点得到四边
形EFGH,如图(2)所示.观察四边形EFGH,你能发现它是什么形状的
四边形吗? 提出猜想,并说明你的猜想是否正确.
(1)
(2)
(3)
(4)
2.任意画两条相等且相交的线段AC,BD,并顺次连接四个端点得到
四边形ABCD,如图(3)所示.连接四边形ABCD 的各边中点得到四边
形EFGH,如图(4)所示.观察四边形EFGH,你能发现它是什么形状的四
边形吗? 提出猜想,并说明你的猜想是否正确.
3.根据以上经验,猜想在一个什么样的四边形中,顺次连接其各边的
中点,可以得到一个正方形.试试看.
活动二:
顺次连接矩形、菱形或正方形各边中点所得到的四边形分别是什么形状
的四边形? 提出猜想,并说明你的猜想是否正确.
第二十一章 四边形159
一、知识结构
二、总结与反思
本章学习了多边形和一般四边形的有关概念和性质,在此基础上,重点
学习了特殊的四边形———平行四边形.
在现实生活中,从各种物品、建筑
物、艺术设计中,都能抽象出正方形、矩形、菱形这些几何图形.
正方形、
矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
因此,研究平行四边形的性质与判定,
无论是从数学自身角度还是从实际应用角度,都具有重要的意义.
1.
对于一般n 边形,可将其分割为多个三角形.利用三角形内角和定
理,可得n 边形的内角和为(n-2)×180°.利用内角与外角互补,可得任意
多边形的外角和为360°.
2.观察和实验是发现几何图形性质的重要手段与方法.
通过观察和旋转变化,对平行四边形的性质形成了一些直观猜想,再用
推理的方法对猜想给出证明.
在这样的过程中,我们逐步学会用数学的眼光
观察现实世界,感悟归纳推理和演绎推理的全过程.
160
数学 八年级下册
3.
特殊四边形之间的关系.
从一般到特殊是人们认识事物的一种常用的方法.
四边形、平行四边
形、矩形、菱形、正方形和梯形,它们之间具有的一般与特殊的关系如下图
所示.了解它们之间的相互关系,分析它们的共性和特性,有利于更好地理
解有关概念.
4.
平行四边形与矩形、菱形、正方形之间是一般与特殊的关系.
当平行四边形有一个角是直角时,此平行四边形是矩形;当平行四边形
有一组邻边相等时,此平行四边形是菱形;当矩形中有一组邻边相等或菱形
中有一个角是直角时,就得到了正方形.
研究平行四边形的性质时,利用全等三角形的性质,能得到平行四边形
的边、角、对角线具有的性质.
特殊的平行四边形除了具有平行四边形的一
般性质外,还具有更特殊的性质.
例如,矩形的对角线互相平分且相等,菱
形的对角线互相垂直平分,正方形的对角线互相垂直平分且相等.
5.特殊四边形的判定.
(1)判定方法的探索,往往是对图形的性质逆向思考得来的.请总结平
行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理与性质定理的关系.
(2)矩形和菱形的判定可分成两类:一类以四边形为起点,另一类以平
行四边形为起点.请总结这两类判定方法之间的区别和联系.
(3)正方形的判定一般分成两个步骤:可以先判定是矩形,再判定是菱
形;也可以先判定是菱形,再判定是矩形.
(4)平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形的定义既是性质,也是对
其进行判定的依据.
第二十一章 四边形161
三、注意事项
1.对图形的认识,应先从整体把握,再到局部具体掌握.因此,理解
和掌握平行四边形中每对成中心对称的三角形,矩形和菱形中每对成中心对
称的三角形和每对成轴对称的三角形,是掌握并运用这些图形性质的基础.
2.在解决有关图形的问题时,往往需要把较为复杂的图形转化为简单
的图形,例如常把特殊的四边形的特征转化为三角形之间的关系,把梯形转
化为平行四边形和三角形,等.这些都体现了转化与化归的思想.
A 组
1.填空:
(1)若一个多边形的内角和等于1
800°,则它是 边形.
(2)三角形的外角和是它内角和的 倍.
(3)如果▱ABCD 的周长为60
cm,AB =12
cm,那么AB 的对边
CD= cm,AB 的邻边BC= cm.
(4)对于菱形ABCD,当满足 时,它可成为正方形.
(5)若一个矩形的长和宽分别为25
cm和15
cm,它的一个内角平分线把
一条长边分为两部分,则这两部分的长度分别为 和 .
(6)若梯形的上底长为10
cm,高为24
cm,两腰长分别为25
cm 和
26
cm,则下底长为 .
(第2题)
2.如图,一多边形木板锯掉不过顶点的一个角后,得到
的新多边形木板的内角和是2
160°.那么,原来的多
边形木板的边数是多少?
(第4题)
3.在▱ABCD 中,已知∠A 的度数是∠B 的2倍.
求∠C,∠D 的度数.
4.如图,在▱ABCD 中,E,F 分别是AD,BC
的中点.连接EF,AF,EC.图中共有多少
个平行四边形? 请把它们列举出来.
162
数学 八年级下册
5.用两个三边互不相等的全等三角形可以拼接成几种不同的平行四边形?
6.分别过△ABC 的三个顶点作它对边的平行线,围成△DEF.
(1)若△ABC 的周长为a,则△DEF 的周长是多少?
(2)△DEF 中有几个平行四边形?
7.求证:顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
8.如果一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转90°,所得图形与原来图形重
合,那么这个菱形是正方形吗? 请证明你的猜想.
9.如图,如果将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转90°到矩形A'BC'D'
的位置,那么△DBD'是什么三角形? 请证明你的猜想.
(第9题)
(第10题)
10.如图,正方形ABCD 的对角线相交于点O,点P 在CD 上,且PE⊥DB,
PF⊥CA,垂足分别为E,F.试猜想PE+PF 与正方形的边长有怎
样的数量关系,并证明你的猜想.
11.如图,四边形ABCD 为平行四边形,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,
F,点G 在DB 的延长线上,点H 在BD 的延长线上,且BG=DH.
(1)请写出图中所有的全等三角形.
(2)请选出一对全等三角形(△ABD≌△CDB 除外),并给出证明.
(第11题)
第二十一章 四边形163
12.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=80°,AB 的垂直平分线交对角线
AC 于点E,交AB 于点F,连接DE.求∠CDE 的度数.
(第12题)
(第13题)
13.已知:如图,四边形ABCD 是正方形,G 是边BC 上的一点,
DE⊥AG,BF⊥AG,垂足分别为E,F.求证:AF=BF+EF.
14.如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,且∠D=2∠B,AB=16,AD=
9.求CD 的长.
(第14题)
B 组
15.小刚在计算一个多边形的内角和时,求得的结果为900°.老师指出他的
计算结果不对,小刚重新检查,发现多数了一条边.你知道这个多边形
是几边形吗? 为什么?
16.如图,在▱ABCD 中,AB=5,AD=8,∠BAD,∠ADC 的平分线
分别交BC 于点E,F.求EF 的长.
(第16题)
164
数学 八年级下册
17.如图,在正方形ABCD 中,点P 在对角线BD 上,PE⊥BC,PF⊥CD,
垂足分别为E,F.请猜想EF 与AP 的数量关系,并证明你的猜想.
(第17题)
(第18题)
18.如图,∠BAC=90°,D,E 分别为AB,BC 的中点,点F 在CA 的延
长线上,∠FDA=∠B.
(1)AF 与DE 有怎样的位置关系和数量关系? 请证明你的猜想.
(2)若AC=6,BC=10,求四边形AFDE 的周长.
19.如图,将平行四边形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点C 与点A 重合,
点D 落到点D'处,打开后如图所示.
(1)求证:△ABE≌△AD'F.
(2)连接CF.判断四边形AECF 是什么四边形,并证明你的结论.
(第19题)
(第20题)
20.如图,正方形ABCD 的边长为a,正方形CEFG 的边长为b.求△BFD
的面积.
(第21题)
21.如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,对角线AC⊥
BD,垂足为O,AC=8,BD=6.
(1)求梯形ABCD 上底与下底的和.
(2)求梯形ABCD 的面积.
第二十一章 四边形165
22.如图,一块四边形草坪ABCD 的四个顶点处各有一棵大树.现想使草
坪面积扩大一倍,又想保持大树在草坪绿化带的边缘,并要求扩大后
草坪的形状为平行四边形.这一设想能否实现? 若能,请设计并画出
图形;若不能,请说明理由.
(第22题)
C 组
23.如图,将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在平面上的
点B'处,AB'交CD 于点E,∠EAC=25°.求∠B'CE 的度数.
(第23题)
(第24题)
24.如图,有两个边长均为a 的正方形ABCD 与正方形EFGH,且正方
形EFGH 的顶点E 为正方形ABCD 两条对角线的交点.
(1)试判断AF 与BH 的大小关系.当正方形EFGH 绕点E 旋转变化
时,这种关系是否保持不变?
(2)如果正方形EFGH 的边长为b(b>a),(1)中的结论是否仍然成
立? 请作出判断并给出证明.
166
数学 八年级下册
25.如图,将两个透明的全等直角三角形纸片△ABC 和△DEF 重叠在一
起,其中∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE=2,AC=DF=1.固定
△ABC 不动,将△DEF 沿直线AB 的方向平移,使点D 在线段AB
上(不与点A,B 重合).连接CD,CF,BF.
(1)四边形CDBF 的面积是否有变化? 说说你的理由.
(2)四边形CDBF 的形状是怎样变化的?
(第25题)
(第26题)
26.如图,在▱ABCD 中,O 是对角线BD 的中点,过点O 的一条直线和
AD,BC 分别相交于点E,F,AM 为∠BAD 的平分线,交BD 于
点M,CN 为∠DCB 的平分线,交BD 于点N.
(1)求证:OE=OF.
(2)连接AN,CM,请判断四边形AMCN 的形状;连接EM,EN,
FM,FN,请判断四边形EMFN 的形状;连接AF,CE,请判
断四边形AFCE 的形状.请以四边形EMFN 为例给出证明.
(3)G 为边DA 延长线上一点,要使四边形DGCH 为平行四边形,请
指出点H 的位置.
(4)请在▱ABCD 的基础上添加适当的条件,构造新的平行四边形,
进而谈谈你的感想.
168
数学 八年级下册
在现实生活中,我们经常看到统计数据和统计图表.你知道它们是
怎么得到的吗? 本节我们将初步认识统计的一般过程和方法.
为了解某学校八年级(1)班50名同学对体育课的喜欢程度,我们可以按
照下面的程序进行调查,记录调查数据,对调查数据进行简单的整理,并表
示调查的结果.
为了使调查客观公正,便于数据汇总,建议使用调查表进行调查.(只
需在选项代号上画“√”即可)
第二十二章 数据的收集整理与描述169
例如,利用调查表,收集到50名同学对体育课喜欢程度的数据如下:
调查表 调查数据
问题选项
选项代号
喜欢
A
比较喜欢
B
一般
C
不喜欢
D
A A B B B C A D B A
B B C A B C A B C C
A B C A A B C B B C
A B C B C A D B A B
B A A D B D B B A D
>ᄌ̻
ᕊ5
1.从上面这些数据中,你能看出全班同学对体育课的喜欢程度吗?
2.面对这些杂乱无章的数据,如何用统计表和统计图表示结果呢?
统计上面调查数据中各选项的人数并计算其所占的百分比,完成下表.
选项代号
画“正”字计数
人数
百分比
A
B
C
D
合计
为了更直观地看出统计表中的信息,将统计结果绘制成如下统计图.
图22.1 1
图22.1 2
如图22.1 1和图22.1 2所示是绘制的条形统计图和扇形统计图.
170
数学 八年级下册
1.在上面的问题中,除了问卷调查外,还可以使用什么调查方法?
2.用画“正”字的方法统计各选项的人数是一种常用且不易出错的统
计方法.你还有其他更省时的统计方法吗?
3.你由统计调查结果了解到了哪些信息?
4.统计的一般过程包括哪些步骤?
统计的一般过程可以按下面框图所示的步骤进行.
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Ѭ
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解决下面的问题需要哪些数据? 说明调查范围和调查方法.
(1)了解你所在班全体男生立定跳远的成绩.其中,优秀、良好、及格
和不及格的各有多少人?
(2)调查你所在学校全体同学每天写作业的时间.了解每天写作业时间
在60
min以内、60
min至90
min、超过90
min的各有多少人.
(3)2020年,我国进行了第七次全国人口普查.
了解各省、自治区和直
辖市的人口分布情况.
A 组
1.四名同学分别阅读同一篇文章,请记录每人1分钟阅读的字数,并用适
当的统计表和统计图表示数据.
第二十二章 数据的收集整理与描述171
2.我国的陆地面积约为960万平方千米.请查阅资料,了解其他5个国家
的陆地面积,并填表.
国家
俄罗斯
加拿大
中国
美国
巴西
澳大利亚
陆地面积/万平方千米
960
B 组
3.调查你所在班全体同学的出生月份,填写统计表,并回答问题.
出生月份
人数
出生月份
人数
出生月份
人数
1
5
9
2
6
10
3
7
11
4
8
12
(1)采用哪种方法调查最方便、最省时间?
(2)各月份出生的人数是否有明显的差异?
(3)收集其他班同学的出生月份.汇总两个班的数据,计算各月份出生
的人数及其所占的百分比,看看有什么结果.
4.请举出一些需要用数据才能得出结论或作出判断的例子.
172
数学 八年级下册
有许多实际问题,需要通过调查收集数据,用数据来作出判断.但
当要调查的对象太多或调查具有某种破坏性时,该怎样进行调查呢?
2022年2月,第二十四届冬季奥运会在我国
北京和张家口成功举办,我国运动健儿取得了15
枚奖牌的优异成绩.其中,短道速滑、花样滑冰、
自由式滑雪空中技巧、自由式滑雪U 形场地技巧
等都是我国的优势项目,获得的奖牌较多.
1.为了解全班同学最爱观看短道速滑、花样滑冰、自由式滑雪空中技
巧、自由式滑雪U形场地技巧这四项比赛中的哪一项(每人只选一项),请
采用适当的方式进行调查,将收集的数据汇总后填入下表,并指出最爱观看
哪个比赛项目的人最多.
比赛项目
短道速滑
花样滑冰
自由式滑雪
空中技巧
自由式滑雪
U 形场地技巧
最爱观看的人数
2.如果要了解某学校3
000名学生最爱观看哪一个比赛项目的情况,
应怎样设计调查方案? 请试着设计一个.
我们可以制作这样一份调查问卷:
下面四个比赛项目,你最爱观看的是( )【单选】
A.短道速滑 B.花样滑冰
C.自由式滑雪空中技巧 D.自由式滑雪U 形场地技巧
像问题1这样,对全体对象进行调查,叫作普查(thorough
survey).
对于问题2,虽然能进行普查,但要调查的人太多了,既费时又费力.我
第二十二章 数据的收集整理与描述173
们可以抽取一部分学生,对这部分学生进行调查,得出一个估计结果.比如
按10%的比例确定各班要调查的人数,分别进行调查.
例 从八年级(1)班50名学生中选择5名学生,要求每名学生被选到的机会
相同.请设计抽样方案.
解:对50名学生按1~50分别进行编号,并将号码写在50张卡片上.
方案一:把卡片装在一个盒子中,摇匀后,从中抽取5张卡片,得
到5个号码,选出对应这5个号码的学生.
方案二:从1~10号卡片中任意抽出1张,比如抽到3号,那么对
应3号、13号、23号、33号、43号的这5名学生入选.
我们把要考察对象的全体叫作总体(population),把组成总体的每一个
对象叫作个体(
individual).从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查方
式叫作抽样调查(sampling
survey).这部分个体叫作总体的一个样
本(sample).样本中包含个体的数目叫作样本容量(sample
size).我们把
能保证总体中每个个体有相同的机会被抽到的抽样调查称为简单随机抽
样(simple
random
sampling).
在“做一做”的问题2中,我们关心的是学生最爱观看的比赛项目,总
体是3
000名学生选择的项目,每名学生选择的项目都是一个个体,按10%
的比例确定被调查的300名学生选择的项目构成样本,样本容量为300.
1.中央电视台对“春节联欢晚会”的收视情况进行调查,得出该节目
电视端的直播平均收视率约为20%.这个结果是怎样得到的?
2.能用普查的方式了解一批节能灯泡的寿命吗?
一般来说,普查能够得到总体全面、准确的信息,如旅客登机前的安全
检查等.但有的总体中个体的数目很大,普查工作量太大;有的受条件限
制,无法进行普查;有的调查具有破坏性(如测试一批节能灯泡的寿命,了
解炮弹的杀伤力,等),不宜进行普查.这时,多采用抽样调查的方式,通
过样本来了解总体.
174
数学 八年级下册
1.为了解某市八年级5
000名学生的平均身高,应采用什么方式进行
调查? 如果按5%的比例进行抽样调查,请指出调查的总体、个体、样本及
样本容量.
2.下列调查分别采用了哪种方式? 请指出每个问题中的总体和个体.
如果是抽样调查的,再指出总体的样本.
(1)某家用电器厂对6月份出厂的电冰箱逐一进行质量检验.
(2)为了解全年级同学的体能状况,对全年级学号为偶数的同学进行
1分钟跳绳测试,记录其1分钟跳绳的次数.
(3)为了解全校八年级学生的睡眠状况,从八年级每个班随机选择4名
学生,调查他们每天的睡眠时间.
A 组
1.下列调查分别采用了哪种方式?
(1)为了解全班同学的视力情况,对全班同学进行调查.
(2)为了解全校同学的视力情况,在每个班任意选择5名同学进行调查.
(3)为了解某本书稿中“的”字出现的次数,利用计算机的查找功能,
对整本书稿进行查找.
(4)为了解某本书中“了”字出现的次数,随机选择6页进行查找.
2.下列问题分别适合用哪种方式进行调查?
(1)工厂对准备出厂的一批轿车的刹车系统进行测试.
(2)了解某市九年级全体学生的体育达标情况.
(3)某质检部门调查某罐头厂生产的一批罐头的质量.
(4)对某厂生产的摩托车头盔进行防撞击性能测试.
B 组
3.某校八年级有800名学生,从中随机抽取了100名学生进行立定跳远测
第二十二章 数据的收集整理与描述175
试.指出下列说法中哪些是正确的.
(1)这种调查方式是抽样调查.
(2)800名学生是总体.
(3)每名学生的立定跳远成绩是个体.
(4)这100名学生的立定跳远成绩是总体的一个样本.
(5)100名学生是样本容量.
4.某市为了分析全市9
600名八年级学生的视力状况,共抽取了15组(每
组30名学生)视力检测报告单进行调查.
该调查的样本容量是多少?
C 组
5.
为了解某校八年级900名学生的睡眠状况,请设计一个调查问卷和调查
方案,并展开调查.
抽样调查是实际生活中普遍使用的调查方式.怎样调查才能保证样本具
有较好的代表性呢?
电视台为了解电视节目的收视率,经常采用抽样调查.
(1)四名同学对一家电视台某体育节目的收视率进行调查,他们采用的
调查方式及结果如下:
小红
我调查了全班40名同学,有10人收看了这个节目.
小亮
我在火车站调查了50人,只有2人收看了这个节目.
小强
我在爸爸工作的大学调查了100名大学生,其中有40人收看
了这个节目.
小刚
我利用互联网调查,共有200人答复,其中有30人收看了这
个节目.
(2)电视台根据不同年龄段、不同文化背景,按一定的比例确定了
1
000人,就是否收看了该节目进行了电话访问,其中有35人收看了这个
节目.
176
数学 八年级下册
将小红等人和电视台的调查结果以及估计的收视率整理成下表:
调查者
小红
小亮
小强
小刚
电视台
调查的总人数
40
50
100
200
1
000
收看节目的人数
10
2
40
30
35
估计的收视率
25%
4%
40%
15%
3.5%
1.为什么用不同的调查方式估计的收视率差别很大?
2.你认为上述调查中,谁的调查样本对总体的代表性较好,估计的收
视率更准确些?
3.抽样调查应该注意什么?
4.抽样调查的优点和缺点各是什么?
由于条件的限制,对有些问题只能进行抽样调查.抽样调查的优点是节
省时间,比较经济.但是,抽样调查只考察了总体中的一部分个体,调查结
果不如普查准确.为了得到较为准确的结果,调查的个体不能太少.
电视台的调查,考虑了不同年龄段、不同文化背景的人对节目喜好的差
异,按比例进行抽样,样本中的人数比例和总体比较一致,样本对总体的代
表性较好,估计的收视率结果可信度要高一些.
某学校初、高中六个年级共有3
000名学生.为了解其视力情况,现采
用抽样调查.各年级学生人数如下表所示.
年级
七年级
八年级
九年级
高一
高二
高三
合计
人数
560
520
500
500
480
440
3
000
调查人数
(1)如果按10%的比例抽样,样本容量是多少?
(2)考虑不同年级学生的视力差异,为了保证样本有较好的代表性,
各年级分别应调查多少人? 将结果填写在上表中.
第二十二章 数据的收集整理与描述177
(3)如果要从你所在的班抽取5人进行调查,请设计一个抽样方案,保
证每人有相同的机会被抽到.
1.为了解某学校七至九年级学生每天的睡眠时间,下列抽样调查的样
本,哪些代表性较好,哪些缺乏代表性?
(1)选择九年级一个班进行调查.
(2)选择全校学号为5的倍数的同学进行调查.
(3)选择全校男生进行调查.
(4)对所有班级按10%的比例,用抽签的方法确定被调查者.
2.在互联网上,经常有对人们所关注的一些问题进行的调查,你认为
这种调查的代表性如何?
A 组
1.下列抽样调查的总体和样本分别是什么? 样本的代表性如何?
(1)为了估计某家庭一年中平均每月的用电量,调查该家庭7月份的用
电量.
(2)为了估计一台电冰箱工作24
h的耗电量,调查它1
h的耗电量.
(3)某饮料厂生产瓶装果汁,为了解一周内生产的果汁中维生素C的含
量是否达标,每天按一定的时间间隔抽取10瓶进行检验.
(4)为了估计全国初中生的平均身高和体重,在某省会城市的一所中学
选择了100名八年级的学生进行调查.
2.下面的结论分别是通过哪种调查方式得到的?
(1)某品牌电视机的平均使用寿命为10年.
(2)某型号电池的连续使用时间为20
h.
(3)一次数学水平测试,某班的优秀率为20%.
(4)在一本书稿中共发现20处错误.
(5)在英文单词中,字母E的使用频率最高,大约为13%.
178
数学 八年级下册
B 组
3.下列哪些调查的样本缺乏代表性?
(1)在医院里调查老年人的健康状况.
(2)在公园里调查老年人的健康状况.
(3)为了解一批苹果的平均质量,任意拿出20个,称它们的质量.
4.
一场歌咏比赛有500名大众评委现场投票.根据年龄将大众评委分为
5组,各组的人数如下:
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
为了调查大众评委对歌手的支持情况,现按比例从各组中随机抽取若干
名评委,其中从B组抽取了6人.请将从其余各组抽取的评委人数填入
下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
C 组
5.某县共种植小麦30
000公顷,其中山区、丘陵、平原种植面积的比为
1∶2∶3.为了估计每公顷小麦的平均产量,请设计一个代表性较好的抽
样调查方案.
第二十二章 数据的收集整理与描述179
通过调查或试验收集到的数据一般数量较大且无序.为了得到有用
的信息,需要利用统计表对数据进行分类(组)整理,并利用统计图直观
描述数据.
目前,中学生的视力状况不容乐观.据有关调查,初中生视力不良率达
50%以上,高中生视力不良率达70%以上.
调查问卷表
你的视力状况:
A.正常(度数≤50)
B.低度近视(50<度数≤300)
C.中度近视(300<度数≤600)
D.高度近视(度数>600)
某学校有3
000名学生,采用抽样调查
的方式,使用调查问卷对100名学生的视
力状况进行调查,结果如下:
ABAABBACBA BCAAA ABCAA ABACB
CAABB AABBCCBAAB ABBAD BACAB
ABCAA AABBABACAD ABBAA ABCCA
BAAABCABCABBAAA ABBCA AABBC
(1)你想了解关于视力情况的哪些信息? 如何整理数据以获得这些
信息?
(2)什么样的统计图可以直观地描述数据信息?
收集到的数据比较散乱,难以从中直接获得需要的信息,通常将这些数
据制成统计表.这些数据经整理可得:
视力状况
画“正”字计数
人数
百分比
A
正正正正正正正正正
48
48%
B
正正正正正正
34
34%
C
正正正
16
16%
D
2
2%
合计
100
100%
180
数学 八年级下册
为了直观地描述数据信息,可以用图22.3 1和图22.3 2所示的条形
统计图和扇形统计图来分别表示不同视力状况的人数分布,以及不同视力状
况人数的比例.
图22.3 1
图22.3 2
我们常用圆和扇形来表示整体和部分的关系,即用圆表示整体,各个扇
形的大小表示各部分所占的百分比.
画扇形统计图的关键是确定各扇形圆心角的度数.这里,各不同视力状
况对应扇形的圆心角度数分别为:
A(正常)360°×48%=172.8°,
B(低度近视)360°×34%=122.4°,
C(中度近视)360°×16%=57.6°,
D(高度近视)360°×2%=7.2°.
根据扇形圆心角的度数,利用圆规和量角器画出各扇形,并标注各类别
的名称(图例)及相应的百分比.
2010年11月1日,我国进行了第六次全国人口普查的登记工作,我国
大陆31个省、自治区、直辖市及现役军人的总人口约为133
972万人.
2020年11月1日,我国进行了第七次全国人口普查的登记工作,上述总人
口约为141
178万人.两次普查人口年龄构成分别如图22.3 3和图22.3 4
所示.
第二十二章 数据的收集整理与描述181
2010年人口年龄构成统计图 2020年人口年龄构成统计图
图22.3 3 图22.3 4
(1)根据统计图提供的信息,将下表填写完整.
年龄分组
0~14岁
15~64岁
65岁及以上
总人口/万人
2010年
11月1日
人口/万人
133
972
百分比
2020年
11月1日
人口/万人
141
178
百分比
(2)请描述这10年间我国人口年龄构成的变化情况.
目前我国城市的空气质量正在逐步改善.小明为了解某城市的空气质量
状况,从互联网上查询到该城市连续30天空气质量指数的数据如下:
105
85
55
38
63
52
51
60
75
78
45
48
70
100
69
106
92
133
68
88
72
55
46
67
96
80
102
86
65
76
这里,规定空气质量指数在0~50之间的为优,在51~100之间的为
良,在101~150之间的为轻度污染,在151~200之间的为中度污染.
(1)整理数据,填写下面的统计表:
空气质量指数类别
优
良
轻度污染
中度污染
合 计
天数
百分比
(2)请描述获得的空气质量信息.
182
数学 八年级下册
A 组
1.有资料显示,某城市在60天内每天发生的火灾事故次数如下:
0 1 2 6 5 4 0 1 2 3 0 2 4 1 3 0 2 3 1 4
2 0 1 2 0 2 1 3 0 3 2 1 0 3 2 6 0 1 0 0
3 1 4 0 3 2 4 0 3 1 3 0 5 4 2 6 0 1 0 1
按发生火灾的次数分类,统计日发生火灾次数分别为0次、1次……的
天数,分别用统计表和统计图描述数据.
2.某市教育部门在全市随机抽取了1
000名八年级学生的体育测试成绩,
分优秀、良好、及格和不及格进行考查.请完成下表:
等级
优秀
良好
及格
不及格
合计
人数
435
164
1
000
百分比
33.3%
100%
请根据统计表提供的信息,描述本次活动中各类成绩的情况.
B 组
3.我们居住的地球上有七大洲,各大洲面积之和约为15
000万平方千米.
根据统计图提供的信息,解决下面的问题.
(第3题)
第二十二章 数据的收集整理与描述183
(1)设计适当的统计表整理数据资料.
(2)画扇形统计图描述各大洲所占面积的百分比.
(3)用文字语言描述数据资料信息.
4.
图(1)和图(2)分别是甲、乙两户居民家庭某年10月份支出情况的统计
图.已知乙户居民10月份的总支出为6
300元.
(第4题)
(1)下列说法正确的是( ).
A.甲户的总支出比乙户的总支出多
B.甲户教育支出的百分比高于乙户教育支出的百分比
C.甲户的服装支出低于乙户的服装支出
(2)画出甲户支出情况的扇形统计图.
>ᄌ̻
ᕊ5
党的十八大以来,在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下,我国经
济高速发展,国内生产总值(GDP)由2012年的53.9万亿元上升到2021年
的114.4万亿元,城乡居民人均可支配收入也大幅度提高.
据中国统计年鉴
资料显示,2012~2021年我国城镇居民人均可支配收入数据如下表所示.
年份
城镇居民人均可支配收入/元
年份
城镇居民人均可支配收入/元
2012
24
127
2017
36
396
2013
26
467
2018
39
251
2014
28
844
2019
42
359
2015
31
195
2020
43
834
2016
33
616
2021
47
412
184
数学 八年级下册
根据数据资料绘制的统计图如图22.3 5所示.
图22.3 5
从上面的统计表和统计图中,你能了解到哪些信息呢?
像图22.3 5这样的图形叫作折线统计图.折线统计图主要反映数据的
变化趋势.图22.3 5直观地反映了我国城镇居民人均可支配收入逐年快速
增长的趋势.
某学校八年级进行了一次数学水平测试,测试成绩由高到低分为A,
B,C,D四个等级.为了分析男生和女生的数学水平是否有差异,随机抽
取了男生和女生各60名.根据其测试成绩绘制成的统计图如图22.3 6和
22.3 7所示.
图22.3 6
图22.3 7
第二十二章 数据的收集整理与描述185
(1)请根据统计图所反映的信息填写下表.
性别
A
B
C
D
总和
人数
百分比
人数
百分比
人数
百分比
人数
百分比
人数
男
女
合计
(2)结合统计图表,谈谈该校八年级男生和女生在数学水平上呈现的
特点.
条形统计图、扇形统计图和折线统计图分别适合描述数据的哪些特征?
用统计表可以按某种顺序系统条理地排列数据,便于阅读和检查,也便
于计算和分析.用统计图描述数据资料,形象直观,各类数据个数的多少、
所占百分比、数量的变化规律及趋势等,一目了然.
为深入贯彻习近平生态文明思想,聚焦绿色低碳发展的理念,我国大力
发展天然气、水电、核电、风电、太阳能发电等清洁能源.
2017~2021年我
国清洁能源消费量占能源消费总量的百分比如下表:
年份
2017
2018
2019
2020
2021
清洁能源消费量占比
20.5% 22.1% 23.3% 24.3% 25.5%
选择合适的统计图描述我国清洁能源消费量占能源消费总量百分比的
增长趋势.
186
数学 八年级下册
A 组
1.北京一年四季分明,而昆明则四季如春.依据两个城市历年12个月的月
平均气温资料绘制的折线统计图如下:
(第1题)
(1)从总体上看,两个城市的月平均气温有怎样的变化趋势? 它们之间
最明显的差别是什么?
(2)北京月平均气温最低的是 月,月平均气温最高的是 月;
昆明月平均气温最低的是 月,月平均气温最高的是 月.
(3)北京和昆明月平均气温差别最大的是 月,月平均气温最接近
的是 月.
2.我国运动员从1984年至2021年已参加了10届夏季奥运会,获得的奖牌
数如下面统计表所示:(未含港澳台地区)
届别
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
合计/枚
金牌/枚
15
5
16
16
28
32
48
39
26
38
银牌/枚
8
11
22
22
16
17
22
31
18
32
铜牌/枚
9
12
16
12
14
14
30
22
26
19
合计/枚
(1)分别计算我国运动员在各届夏季奥运会上获得的奖牌总数及在这
第二十二章 数据的收集整理与描述187
10届奥运会上获得的金、银、铜牌的总数,并填表.
(2)画扇形统计图描述这10届奥运会上获得的金、银、铜牌总数占奖牌
总数的百分比.
(3)画折线统计图描述这10届奥运会上获得的奖牌总数的变化情况.
B 组
3.为加强中小学生体质健康管理工作,某地区教育部门对他们的视力情况
进行了健康监测.从该地区小学、初中和高中三个学段中各随机抽取
300名学生(男、女生各150名)作视力调查,根据男、女生视力不良的
调查数据绘制成如图(1)所示的统计图.
(1)
(2)
(第3题)
(1)分别计算各学段男、女生视力不良率.
(2)请在图(2)中分别画出三个学段男、女生视力不良率的折线统计图.
(3)该地区中小学生的视力不良率随着年级的升高有什么变化趋势? 男
生和女生的视力情况有什么明显的差异?
188
数学 八年级下册
在统计中,我们关心总体中所有个体某个数量指标的分布情况.
当
这个数量指标取连续变化的值时,应该如何整理和描述数据呢?
为了倡导节约能源,我国对居民用电采用阶梯电价.为了使大多数家庭
不增加电费支出,事前需要了解居民全年月平均用电量的分布情况,制订一
个合理的方案.
随机调查某城市50户居民全年月平均用电量(单位:千瓦·时)的数据如下:
155
198
175
158
158
124
154
148
169
120
190
133
160
215
172
126
145
130
131
118
108
157
145
165
122
106
165
150
136
144
140
159
110
134
170
168
162
170
205
186
182
156
138
187
100
142
168
218
175
146
按以下步骤整理数据,并用统计图表表示数据.
(1)确定数据的最小值和最大值.
在这50个数据中,最小值为100,最大值为218.
(2)确定数据分组的组数和组距.
分组的组数没有固定标准,数据个数在100以内时,一般分为5~10组.
数据个数越多,分组的个数也应多一些.采用等距分组,分为6组较合适.
因为218-100=118,118÷6≈19.7,所以分组如下:
100≤x<120,120≤x<140,140≤x<160,…,200≤x<220.
其中,x 为居民全年月平均用电量.
每组两个端点之间的距离称为组距.这里的组距为20.
(3)列频数(频率)分布表.
各组中数据的个数叫作频数(frequency),频数与数据总个数的比值叫
作频率(relative
frequency).在表格中用画“正”字的方式统计各组的频数,
计算相应的频率,就得到频数分布表(frequency
distribution
table).
第二十二章 数据的收集整理与描述189
全年月平均用电量/(千瓦·时)
画“正”字计数
频数
频率
100≤x<120
正
5
10%
120≤x<140
正正
10
20%
140≤x<160
正正正
15
30%
160≤x<180
正正
12
24%
180≤x<200
正
5
10%
200≤x<220
3
6%
合计
50
100%
(4)画频数分布直方图.
用横轴表示全年月平均用电量,纵轴表示频数,用小长方形的高表示各
组的频数,画如图22.4 1所示的图形,直观表示全年月平均用电量的分布
情况.我们把这样的图形叫作频数分布直方图(histogram).
图22.4 1
档次
全年月平均用
电量/(千瓦·时)
电价/
[元/(千瓦·时)]
第一档
0~180
0.52
第二档
181~280
0.57
第三档
大于280
0.82
(1)观察统计图表,全年月平均
用电量在哪个范围内分布的户数最多?
(2)该城市的阶梯电价方案如表
所示.就这50户居民来说,各档用
电量的户数分别占多大比例? 你认为
这个阶梯电价方案合理吗?
190
数学 八年级下册
从统计表或统计图中可看出,全年月平均用电量x 在140≤x<160内
的户数最多;全年月平均用电量小于180千瓦·时的有42户,占84%,即
第一档全年月平均用电量覆盖了大多数居民家庭.
某学校八年级共有n 名男生.现测量他们的身高(单位:cm.结果精确
到1
cm),依据数据绘制的频数分布直方图如图所示.(为了避免有些数据
落在分组的界限上,对作为分点的数保留一位小数)
(1)数据个数n 为多少? 数据的大致分布范围在哪两数之间?
(2)组距和组数各为多少?
(3)频数最大的组为哪一组? 该组的频数和频率各为多少?
(4)根据频数分布直方图提供的信息,填写下表.
身高/cm
148~156
157~165
166~174
频数
频率
(5)学校要给八年级男生订购校服,男生的校服按上表分组方式设计了
小、中、大三个尺码.请对订购各尺码校服的数量提出你的建议.
第二十二章 数据的收集整理与描述191
A 组
1.某校举行科技知识竞赛,100名参赛同学最后得分(得分取整数)的频数
分布直方图如图所示(频数轴刻度等间隔).根据图中的信息写出下面问
题的结果.
(第1题)
(1)标注频数轴上的刻度.
(2)得分在61~70分的人数为 ,得分在71分及以上的人
数为 .
(3)如果得分大于80分定为优秀,那么优秀率为 .
2.
体育委员统计了全班学生1分钟跳绳的次数(用x 表示),并列出如下
频数分布表:
次数
60≤x<8080≤x<100100≤x<120120≤x<140140≤x<160
频数
3
6
21
13
7
(1)全班共有多少名学生? 组距为多少?
(2)跳绳次数在100≤x<140范围内的学生有多少名? 占全班学生的百
分之多少?
(3)画出频数分布直方图,并根据频数分布直方图评价这个班的跳绳成绩.
B 组
3.英国物理学家卡文迪许在18世纪测量地球的密度(单位:g/cm
3)时,重
复测量29次,得到如下数据:
192
数学 八年级下册
5.05 5.61 5.88 5.07 5.26 5.55 5.36 5.29
5.38 5.65 5.57 5.53 5.62 5.29 5.44 5.34
5.79 5.10 5.27 5.39 5.42 5.47 5.63 5.34
5.46 5.30 5.75 5.68 5.86
(1)数据中的最小值和最大值各为多少?
(2)整理数据时,如果组距取0.2,应该分几组,如何分组? 如果组距
取0.1,又应该分几组,如何分组?
(3)以上两种分组方式,哪种能较好地反映测量数据的分布?
(4)按下表的分组统计各组的频数.
密度/(g/cm
3) 5.0~5.2 5.2~5.4 5.4~5.6 5.6~5.8 5.8~6.0
合计
频数
C 组
4.收集你所在地区连续30天的空气质量指数,将收集的数据绘制成频数分
布直方图.
空气质量指数
空气质量指数类别
0~50
优
51~100
良
101~150
轻度污染
151~200
中度污染
201~300
重度污染
大于300
严重污染
第二十二章 数据的收集整理与描述193
在现实生活中,有一些量随着另一个量的变化呈现出一种大致的直
线变化趋势,但又与一次函数描述的确定关系不同.那么,如何描述这
种变化趋势和关系呢?
原文: “黄帝曰:愿闻众
人之度,人长七尺五寸者,
其骨节之大小长短,各几何?
伯高曰:……足长一尺二寸,
广四寸半.…… 肘至腕长一
尺二寸半,腕至中指本节长
四寸……”
我国现存最早的医学文献典籍《黄帝内
经》中的《灵枢:骨度第十四》记载了黄帝
与伯高的一段对话,
翻译为: “黄帝说:我
想听听普通人的骨度,成人身长以七尺五寸
长计算,其骨节的大小、长短各是多少呢?
伯高说:……足长一尺二寸,宽四寸半.……
肘至腕关节长一尺二寸半,
腕至中指本节长
四寸……”这段话说到了身高与各骨骼长度的关系.
小丽想通过测量小臂长推算出人的身高.
她在班里用抽签的方式选取了
10名女生,测量了她们的小臂长和身高,数据如下表所示:
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
小臂长/cm 23.0 23.3 24.0 24.5 24.8 25.0 25.6 26.0 26.5 27.0
身高/cm
156.2 158.1 159.8 160.2 161.3 163.2 164.5 167.2 169.5 170.0
如果身高用y(cm)表示,小臂长用x(cm)表示,在图22.5 1所示的
平面直角坐标系中,描出各对数值(x,y)所对应的点.
(1)观察图22.5 1,请说明身高y 随小臂长x 的增长有怎样的变化
趋势.
(2)你能用一条直线来描述这种变化趋势吗? 如果能,应怎样确定这条
直线以及对应的一次函数呢?
194
数学 八年级下册
图22.5 1
从图形可以看出,身高y 随小臂长x 的增长呈大致的直线增长趋势.
我
们可以画一条直线,使其整体上与图中的数据点较接近,用直线对应的一次
函数近似描述这种变化趋势.
图22.5 2
选取直线上的两点,如(24.0,159.8)和(27.0,170.0),用待定系数法确
定直线对应的一次函数表达式.设y=kx+b(k,b为常数,k≠0),所以,
159.8=24k+b,
170=27k+b.
解得k=3.4,
b=78.2.
因此,身高与小臂长之间的关系可用一次函数y=3.4x+78.2近似表示.
小红的小臂长为26
cm.请用得到的一次函数推测她的身高,并与实际
身高166
cm 进行比较,思考为什么会有误差,与同学交流一下.
第二十二章 数据的收集整理与描述195
据国家统计局网站数据,从2016年至2022年某省全体居民人均可支配
收入R(万元)的数据如下表所示:
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
对应的t值
0
1
2
3
4
5
6
R/万元
1.97
2.15
2.34
2.57
2.71
2.94
3.09
(1)用统计图直观表示R 随年份增加的变化趋势.
(2)请确定一个一次函数,近似表示R 随t的增大而增长的趋势.
(3)推测2024年该省全体居民人均可支配收入.
A 组
1.从班里随机选取10名男生,测量他们的手掌长x
(cm)和身高y
(cm).
(1)
设计统计表记录数据,并在平面直角坐标系中描
出点(x,y).
(2)请确定一个一次函数,近似表示y 与x 之间的
关系.
(3)在班中随机选择一名男生,测量他的手掌长和身高,比较身高的推
测值与实际身高,说明误差的大小.
2.实验表明,对于同一树种,一般树的胸径越大,树就越高.
由于测量树高
比测量胸径困难,因此研究人员希望由胸径推测树高.在研究树高与胸
径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据,如下表所示:
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
胸径/cm
18.1
20.1
22.3
24.4
26.0
28.3
29.6
32.4
树高/m
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
22.3
22.6
请用直线近似刻画树的高度随胸径增大而增长的趋势,并推测树的胸径
为50
cm 时树的高度.
196
数学 八年级下册
一、知识结构
二、总结与反思
统计在社会生活及科学领域有着广泛的应用.用统计方法解决实际问题
的主要过程为:收集、整理和描述数据,通过对数据的分析和计算获取有用
的信息,作出合理的判断和决策.真实的数据能提供科学信息.许多科学结
论都是通过分析数据得到的,借助数据提供的信息而作出的判断才是比较可
信的.
1.收集数据常用的方法有调查、试验、查阅资料等.当要考察的个体
较多,调查具有破坏性,限于时间和费用等因素而无法一一进行调查时,多
采用抽样调查.
2.整理数据就是按一定的方式,对数据进行分类或分组,统计各类(组)
数据的个数,计算相应的频率,描述数据的分布规律.
统计图可以直观描述数
据的特征,常用的统计图有条形统计图、扇形统计图、折线统计图和直方图.
3.统计最核心的思想是用样本推断总体.由于抽样调查只考察部分个
体的情况,所以采用不同的样本得到的结果一般也不相同,即统计结果具有
不确定性.要想得到总体较准确的结果,在保证样本具有较好的代表性的前
提下,样本容量要适当大一些.
第二十二章 数据的收集整理与描述197
4.思考并总结以下问题:
(1)举例说明,如何抽样才能使样本对总体具有较好的代表性.
(2)整理数据的一般步骤有哪些?
(3)条形统计图、扇形统计图、折线统计图、直方图分别描述数据哪方
面的特征?
A 组
1.有关部门规定:初中生每天的睡眠时间应达到9小时.请对你所在班的
学生作一次调查,了解有多大比例的学生每天睡眠时间能达到9小时.
(1)调查的问题是什么?
(2)调查的范围有多大? 怎样进行调查?
(3)共调查了多少人? 每天睡眠时间达到9小时的有多少人,所占的百
分比是多少?
2.某乡镇有8
000户家庭,请分别指出下列调查的总体和样本.
(1)抽样调查200户家庭的人口.
(2)抽样调查100户家庭的年实际收入.
(3)抽样调查100户家庭的年消费支出金额.
3.解决下列问题需要哪些数据? 采用什么样的调查方式能得到这些数据?
(1)学校召开运动会,要统一购买运动鞋.你所在班各种号码的鞋各要
买多少双?
(2)你所在班全体同学的视力情况如何?
(3)去年植树节某单位种下的树木的成活率是多少?
(4)一张选定的报纸上大约有多少个字?
4.小亮随意选取了10期电脑体育彩票的中奖号码,结果如下:
4924288 1041749 2756345 9437063 5415205
4382477 0257196 5147653 0417769 3652891
(1)分别统计数字0~9出现的次数,并计算各数字出现的频率.
198
数学 八年级下册
(2)各数字出现的频率差异大吗? 如果选100期中奖号码的700个数字
进行统计,你认为各数字出现的频率有什么规律?
5.小明家的电表在3月底至9月底的读数(取整千瓦·时)如下表:
记录时间
3月底
4月底
5月底
6月底
7月底
8月底
9月底
电表读数
1
750
1
850
1
960
2
110
2
360
2
600
2
720
(1)计算小明家4~9月份的用电量,并填写统计表:
月份
4
5
6
7
8
9
用电量/(千瓦·时)
(2)画条形统计图表示各月的用电量.
(3)画折线统计图表示各月用电量的变化情况.
(4)解释用电量变化的主要原因.
6.2000年6月,人类基因组计划中的DNA 全序列草图完成,人类拥有了
一本记录着自身生老病死及遗传进化全部信息的“天书”.这本天书是由
四个字符A,T,C,G按一定顺序排成的长约30亿个字符的序列,这
四个字符表示四种碱基.下表所示的是两个类型的DNA序列片段.
A类
ATGGCCGATCGGCTGGAAGGAACAAATAGGCGGAATTAAGGA
AGGCGTTCTCGCTTTCGACAAGGAGGCGGACCATAGGAGGCGG
ATTAGGAACGGTTATGAGGAAGTTA
B类
GTTAGATTTAACGTTTTTTATGGAATTTATGGAATTATAAAT
TTAAAAATTTATATTTTTTAGGTAAGTAATCCAACGTTTTTA
TTACTTTTTAAAATTAAATATTTATT
统计这两个类型的DNA序列片段中字符A,T,C,G出现的频数,比
较它们的主要差异.
B 组
7.面粉厂生产的面粉,规定每袋的标准质量为50
kg.采用自动装袋工艺,
一袋面粉的实际质量和标准质量有一定的误差.任选40袋,称得其质
第二十二章 数据的收集整理与描述199
量(单位:kg)如下:
48.5 50.0 49.0 50.0 51.0 50.0 49.5 50.5 50.0 51.0
49.5 49.5 50.0 50.5 49.0 50.5 50.0 51.0 50.0 49.5
49.5 50.5 50.5 50.0 50.0 50.5 49.0 50.0 51.0 49.5
50.0 50.0 50.5 50.0 49.5 51.5 49.5 48.5 51.0 51.5
(1)计算每袋面粉的质量与标准质量的差.统计各类误差的面粉袋数,
并填写统计表:
误差/kg
-1.5
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
1.5
袋数
百分比
(2)画条形统计图表示数据,描述误差分布的特点.
8.某医院记录了一周内60名病人在门诊看病时等候的时间(单位:min),
并对记录数据进行分组统计,结果见下表:
时间t/min 0<t≤10 10<t≤2020<t≤3030<t≤4040<t≤5050<t≤60
频数
7
17
13
x
7
6
频率
(1)求x 的值,计算各组的频率并填表.
(2)绘制频数分布直方图.
(3)估计在这家医院门诊看病的病人等候时间超过30
min的百分比.
9.小明就班内所有同学的到校方式进行了一次调查.图(1)和图(2)是根据
整理后的数据绘制的两幅不完整的统计图.
(1)
!"
#"
$%
30%
50%
(2)
(第9题)
200
数学 八年级下册
请根据图中提供的信息,解答以下问题:
(1)该班共有多少名学生?
(2)该班有多少名学生乘车到校?
(3)在图(1)中,将表示“乘车”的部分补充完整.
10.对48个橘子的维生素C含量(单位:mg)进行测量,数据如下:
26.228.029.628.326.630.328.529.826.830.429.228.7
29.730.030.229.431.627.030.532.831.330.029.927.1
31.629.830.528.630.730.829.231.428.332.730.431.8
27.528.430.629.627.630.932.029.231.527.832.428.9
确定适当的分组个数,整理数据,列频数分布表,画频数分布直方图,
描述数据的分布情况.
C 组
11.(1)每人测量自己的身高(结果精确到0.01
m)和体重(结果精确到0.1
kg).
(2)按公式K=
体重
(身高)
2,计算K 的值.
(3)汇总全班数据,按下表中的分组,分别计算各组的频数和频率.
K 值
频数
频率
K<16
16≤K<18
18≤K<20
20≤K<22
22≤K<24
24≤K<26
K≥26
(4)你的K 值在哪组? 如果K<16,那么你要注意补充营养,加强体
育锻炼;如果K≥26,那么你要控制饮食,加强体育锻炼.
(5)请根据(3)中计算出的结果,对全班同学提出健康建议.
第二十二章 数据的收集整理与描述201
12.下表是我国某两个城市月平均降水量(单位:mm)的统计表:
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
甲市
10
15
20
30
60 130 200 210 70
35
20
15
乙市
20
40
80 160 290 280 250 240 200 110 35
20
(1)在下面的网格图中画折线统计图表示两市各月份平均降水量的变化
情况.
(2)从总体看,两市月平均降水量之间最明显的差别是什么?
(3)两市月平均降水量差别最大的月份是 月,月平均降水量最
接近的月份是 月.
(第12题)
202
数学 八年级下册ͨ
Mᣏ/Ṷ
U
ၜ ბသ
体育健身运动时的心率与年龄的关系
一、问题背景
《全民健身计划(2021-2025年)》是一项由国家倡议、社会支持、全民
参与的体育健身计划,是提高全民的健康水平、促进人的全面发展、展示国
家文化软实力的重要举措,是与实现社会主义现代化目标相配套的社会系统
工程,是我们国家面向21世纪的体育发展战略规划.
科学研究发现,人们在进行体育健身运动时,心率的变化直接反映出运
动者的运动强度.所以,对运动者心率的监测不仅能有效监控与衡量其身体
状况,也能确保运动者不会运动过度或不足,从而使每一次的体育健身运动
都能达到较好的效果.那么,在进行体育健身运动时,心率为多少才是合理
的运动强度? 运动强度与年龄又有怎样的关系呢?
二、活动任务与建议
1.独立思考,完成下列任务:
(1)通过调查,查阅资料,走访相关学科的教师(如体育老师、生物老
师等),获得在体育健身运动的过程中,心率变化范围与年龄之间关系的相
关信息,以及体育健身运动相关的标准和要求.
(2)针对某一特定的人群进行体育健身运动(如有效运动、无效运动或
过激运动等)调查或走访,了解运动者的年龄、性别以及运动时的心率.
(3)
在平面直角坐标系中,表示出每个人在运动时的心率与年龄的关
系,并借助一次函数来描述不同年龄运动者的心率范围.
2.在小组内交流各自的探究成果,通过共同讨论、比较和归纳,结合
在研究过程中发现的某些规律、在体育健身运动中需要注意的问题等,选择
一项内容进行专题研究.
三、完成探究报告,分享交流
项目学习203
ͨ
Mᣏ/UιU
ၜ ბသ
如何近似计算湖面的面积
一、问题背景
(卫星照片)
湖泊与湿地是重要的生态资源.人们常
用蓄水量和湖泊水面面积来描述一个湖泊的
大小.如图所示的是位于西藏的我国第三大
咸水湖———纳木错,湖面面积约为2
015平方
千米,蓄水量约为864亿立方米(注:数据
出自中华人民共和国生态环境部官方网站).
一般地,湖面轮廓构成的平面图形大多是不规则的,那么,如何近似计算
(或估算)湖面的面积呢?
二、活动任务与建议
1.独立思考,完成下列任务:
(1)在方格纸上任意画出一个不规则的多边形(如图1),用适当的方法
近似计算多边形的面积.
(2)思考如何提高估算精度.
2.将纳木错湖面轮廓视为图2网格(每个小方格的边长均为5
km)中的
图形,在小组内交流各自近似计算湖面面积的方案,通过共同讨论、比较和
归纳,提出计算不规则图形面积的方法和提高估算精度的方法.
图1
图2
三、完成探究报告,分享交流
204
数学 八年级下册ͨ
Mᣏ/U̶
U
ၜ ბသ
八年级学生视力情况调查
一、问题背景
国家高度重视青少年近视防控工作.2021年5月,国务院教育督导委
员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》中提
到,要严格落实《综合防控儿童青少年近视实施方案》要求.
我们发现,随着年级的增高,戴眼镜的同学逐渐增多,近视的度数也相
应增加.
因此,有必要切实了解八年级同学近视情况的现状,并提出合理化
建议.
二、活动任务与建议
1.独立思考,完成下列任务:
(1)请围绕近视这一问题,搜集有关资料,确定研究主题.
(2)独立设计一个解决主题问题的初步方案.
2.
在小组内交流各自的初步方案,研讨探究活动步骤:设计问卷、收
集数据、整理数据、描述数据、分析数据、作出决策.提出解决八年级同学
近视情况的有关建议.
三、完成探究报告,分享交流
后 记
2001年,国家正式启动了义务教育阶段的新一轮课程改革。有感于时代的召唤,
编写组正式向教育部提出了编写立项申请。经专家评审,当年12月通过了立项。
2003年3月,依据《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》编写的教科书,经
全国中小学教材审定委员会审查通过,并公布于当年的用书目录中,作为义务教育课
程标准实验教科书,供实验区选用。
2012年3月,编写组依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》完成了教科书的
修订工作。修订后的2011年课标版教科书于2012年秋季开始使用。
2021年12月,编写组启动新一轮教科书编修工作。2023年3月,编写组依据《义
务教育数学课程标准(2022年版)》完成了本套教科书的修订稿。
本套教科书的编写是在深入研究《义务教育数学课程标准(2022年版)》,认真听取
2011年课标版教科书主编杨俊英、副主编王洁敏、核心编者徐建乐和简友等同志的建
议,吸纳一线教师审读及课堂教学实验意见的基础上,进一步创新发展修订而成的,
凝聚了编写组的集体智慧。同时,在编写、完善教科书的过程中,我们得到了众多专
家、学者、教师的大力支持和热情帮助,在此我们表示衷心的感谢,并感谢所有为教
科书的编修工作提供帮助的教育界同人和社会各界朋友。
我们深知,教科书是全面落实立德树人根本任务、弘扬中华优秀传统文化、发展
学生核心素养的重要载体。我们会持续努力,不断提升教科书的质量,朝着建设精品
教科书的目标奋力进取。我们也诚挚地希望广大教师、学生和家长继续关注和支持这
套教科书,使它越来越好。
在使用过程中,如果您有意见或建议,请及时反馈给我们。
联系电话:0311-88643523 0311-88643630
电子邮箱:chuzhongshuxue@hbep.com
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