最新冀教版9年级数学课本•下册_26秋新教材初中课本合集，各科目同步电子版一站配齐_全部版本•初中数学电子课本_冀教版•初中数学电子课本

!"#$%&'(
!"#$%&!
'&(" )%*+'&,-.#/012#34'&5678#9:9
;#<-.%=>?@ABC#DE$
F'&GHI)JKLMNOPQR#SMITUVWXYZ'&[\
K#R]$
!"#$%! *^'&_`ab%cdefg#hijk#l%mn$
&'()! eopqrstumvl%nv%fwexy#Iz{'&
|}o#~h$
*+,," ,&,! Çüé#9éqé#I+%=l%âäàå#$
-.//! e$%&çêëè#%=ïî#opì$ÄÅ$
01#2$! ÉæÆôöò#ûùnvÿÖ#Ü¢fwxy#£k¥₧
ƒá#I+âäíà#%=óú$
,öòA#I)Qì|ñѪº$
!"#$%&'()&&&st¿⌐¬¿⌐½¼#¡«»░+%=▒▓#
│┤╡╢½q$,I╖#╕&╣st║¬B%╗╝¬B#¡«»░#╜.z
╛┐└┴┬┤#├─e┼ù#%H└┴┬┤#l%fwxy$
*+,-&&&╞+╟q╚╔l╩╦$╠═╔l#¿╬e├─äS╧╨╤
╥╙┴┐╘╒╓#╫╪+╣╞¬q┘╠═x┌¢█r╨#▄╧}5▌▐
▀α$
./01%23&&&>?.▒ßΓRΓπΣzσHµτ╒╓#ΦôƒΘ
âΩδ∞$,I╖#╕&╣-Å%=estqTφε∩≡ƒ±#µτ#ôz
e≥æqT≤⌠eµτ#fwxy$
45#67&&&⌡÷≈╨#I°çöò∙·√┌ⁿ⌠#²■# !"ä
S≈╞+▒▓#▄╧$╜╞ë##öò╨≈#"╙nvuâ$┴#%┬┤#
+╞&ô┐#'t▒▓#qT()fwxy#+╪)öòâ*+,#$%(
╞#-·╕&./ù╤eÉæ▒▓+0ç|12#$
,-.12#/0qÑ%*#34'&,l%A*|}o#ÄÅ#<5
0#l%%=6┼7╘#(8$
3456789
!"#$:%;
!"#$%!&'()*+,
-.
!!!
"#$! !"#$%&'(
!
!"
"#$"!)*"#$%&'(
!
!%
"#$&!+*$,-./0
!
!'
"#$(!+*102
"
!
!!!
"#$%!3456"#
!
!!)
!
78"9:
!
!"*
!
;<=
!
!"!
!/#%!"012
!!"%
&*$!!>?@A
!
!")
&*$"!>?@A$BC.,-
!
!"#
&*$&!DEF*G!$HIJ0>?
@A
"
!
!&#
&*$(!>?@A$KL
!
!(!
&*$%!>?@A"MN>?OP$'(
!
!%*
!
78"9:
!
!%(
!
;<=
!
!%%
!/#3%!4567*89 !!%#
&!$!!J0QR.STQR
!
!)*
&!$"!STQR$UV
!
!)&
!
WMW!UVX$YZ"[\
!
!+*
&!$&!L]V^_UV
!
!+!
&!$(!L`abcdeQR$UV
!
!+'
!
Afgh!ijklmn
!
!'(
!
78"9:
!
!'%
!
;<=
!
!')
!/#"%!:;(<=
!!'#
&"$!!ko
!
!#*
&"$"!pB
!
!#(
!
WMW!qr$GLst
!
!!*%
&"$&!)uv.#w$xy\zB
!
!!*)
!
78"9:
!
!!!*
!
;<=
!
!!!!
>?(@A!BCDE'
!!!!%
 
!
!
!"!#$%&'
!!!"#$!%&'()*+,-./"%!'($0%!'(1!
%&2)345,-./6# 789:;<=>?5@A!
!"#$%&'(!")"*+,$!)!"-./01"/2341
5#(67/!89!":;<=>!?=>@3ABCD(EFGH$
)I<=JKL!>@3BMNEFGH%>)3O&>)3+P>)
3L!>" @"# (EFGHQR"# $ $ST!
R"# $ $
UV>" P"#!"# (WXY$!>" @3Z# [2(\]Y%!
$!^_`abR4/>" @"# (EF!)cd/ef$@% [2(
ghGH!
()*#+!!"#$%&'()
"
!
ijkl
R4cT
$@% [2(ghGH
%" !"# 1
%" !"# $
%" !"# @
"!m%@$nop!qr%#$!%%$!%$$s!^tu'>" @"#
(EFGH!
!
B C $%%D E
$FGH%!IJKLM
NOPQRSN!LS
NTOPQRMN!
vwxy%
"$#>" )"# O%%#$!
""#>" )"# +%%%$!
"&#>" )"# L%%$$!
R"# $ "
,!QR"# $ "!)&&'( /!'(%#'(!&'%)*+!
'(%,*+!z>& Y3Z&&*+YWX{3!|}~%
"$#>(@"& (EFGH!
""#>' @"& (EFGH!
"&#&' (/>) @"& (EFGH!
%UV"& (WX$%&*+!
"$#ÇY&(% &'"-'(
槡
"% )"-,
槡
"%&"*+#%$!Sz>( )
"& +!
""#ÇY&'%)*+#&*+%$!Sz>' )"& O!
"&#ÇY)&%$
"&'%".)*+$&*+%$!Sz>) )"&L!
#
!
!"!#$%&'
!!$!)üéâäH/!zà>Y3Z("# (WXY)!}~zaå>
@"# (EFGH%
&",!"#!'"-&!,#!(",!-,#!)"$!)#!
! "ç"ê#
"!QR!ëè5z>& Y3Z&&/+ YWX
(3415Yïîì(ÄÅ1!ÉæÆôöòû!
æùÿÖ>' Ü¢£>& Ü¥₧ƒá!'!& í>
[2(\]ó$'/+!QúæùñѪº$'/+'0(
¿⌐₧¬!½¼)¡¼s«L!æùó»░($ æ
ù▒s¥▓ÄÅ15$
! "ç$ê#
1 │
$!!"!"# #$%$%)!&' # ()** #+,
#)%&!-)**./"!+!, 01!23")%
,!+)#,!,)$,!1"!+!, 4&#5678
9:;<=#"
"!->?&'() @!&'%&!&)%,!AB1& C&
'D&!E'!(!) 01FG/H1-&I!3F
G/H1-&J!KLM"& #$%$#NOPQ!
2 │
$!RS) C*T'( #@1!B'(C)%D")!UB'(CVWDXY
0Z?&'(!
! "ç"ê#
#$$[1& -") .\!]XY0Z?&'(^Z#_`!
#"$[1& -") I\!]XY0Z?&'(^Z#
NOPQ!
#&$[1& -") J\!]XY0Z?&'(^Z#
NOPQ!
"!!"!"##$%C)!&'#(a&' #+,C"!
"#.(a&'b-)*#+,C"#1/cd"
()*#+!!"#$%&'()
$
!
!!'(&2)345,-./# UVWXY./Z[\'(&25,
-./6#
┤╡!<╢╖╕Ö╣║╗╗╝╜!╛┐(╢└┴┬<=#$(3!Ö├
J─a┼┼╝╞╟/!)╚67/!╛┐╢└@├J─B╔NvI(EFG
H╩$
<qü─@<=3(EFGH!_`╦╠═╬>(=g8nYMN╧
╨%í=═╬>&<=═╬>&╤B═╬>!
mü─@3Bí=═╬>s!╥╠╙ü─@3-.(mü─@3B╘<
<=═╬>s!╙ü─@3-/!╚s?=═╬>╒╓/0!?qü─╒╓
3(/1(mü─@3╤B═╬>s!╙ü─@3-2!
ü─*@"#╫╪&╫┘P╫](MNEFGH!QR"# " $ST!
R"# " $
ü─@3(EFGH┌8z█BGgh[2(GH▄▌{!
QR"# " "!"# (WXY$!3Z# ╞ü─*(\]Y%!
"$#m*@"# ╫╪&╫┘▐╫]s!$@% noABCD(ghGH$
""#m%$$!%%$▐%#$s!*@"# noABCD(EFGH$
%
!
!"!#$%&'
R"# " "
▀αß!8Γ%
"$#ü─*@"# ╫╪%%$$!
""#ü─*@"# ╫┘%%%$!
"&#ü─*@"# ╫]%%#$!
,!QR"# " &!) 34&&'( /!'(%#'(!&(%&*+!'(%,*+!
z>(Y3Z!"*+!".,*+!&*+noYWX{"(!πΣ&' no
@"(BCD(EFGH$ Y¡¼$
!R"# " &
%QR"# " ,!6>( σ()(&'!µ!Y
)!)34&&'(/!
&'% &("5'(
槡
"% &"5,
槡
"%)"*+#!
τMé4(KΦ═Θ!|Ωδ!Γ
&()'(%&')()!
!R"# " ,
Ö∞
()%&()'(
&'
%&6,
) %".,"*+#!
φ3Z(╞πΣ&' (\]%%".,*+!
m$%"*+s!%#$!πΣ&' @"(╫]!
m$%".,*+ s!%%$!π Σ &' @ "(
╫┘!
m$%&*+s!%$$!πΣ&' @"(╫╪!
$!UV<=3(üXY$'!Qú?=3(3Z╞<qü─(\]no
ε∩&!)!7!½¼?qü─@?=3(EFGHnoóCD($
()*#+!!"#$%&'()
&
!
! "ç"ê#
"!QR!'&#'%&'(!- Y#' +<>!≡#-%
7*+!z> - Y3Z{3!m±WX$noε∩"*+!
&*+!,*+s!ü─#& @"- noBCD(EFGH$
Y¡¼$
1 │
$!RS"# #$%C$!&'# ()**#+,C%!!e)**4"# /
fg1!hi%4$#`j78;<=#"
"!!"!-)Zkl8@/&#)!"$m'#"!)$n1!B1& C&'%&'
#oC$%D&!KLM.pm/ p9:4"& #5678!
"ç"ê#
2 │
$!-XY0Z?&'(@!''&(%$"'(!&'%&(%,!KLMB1& C
&'%"C$%#&4'(#5678!
"!-&&'(@!'(%#'(!''%&'(!# C&' .H1!#&%0!"# #
$%$%$
"!-qrstq!9:]0 #NOPQ!
#$$&(4"# u,!
#"$&(4"# uv!
#&$&(4"# uw!
'
!
!"!#$%&'
!!]^_`!a'(&2bcd!2efc(5ghFH25ij!
25c(k)lmno# UVpqrs'(925c(6#
)╥╠(≥≤/!▀⌠⌡÷╞ü─@3╫┘(╧4!Q≈ü─₧¬(°
₧∙∙╢@∙·!8z:;ü─@3╫┘(A√ⁿ²!
!!!!!
R"# & $
ü─@3╫┘s!■B !"#╩$
QR"# & $!ü─*Y"# (<q┘─!┘>Y1!#1 YWX!)
ü─*+$%<>"!&'#"!αß#1 P#" (ghGH!()#1 @┘
─*ABCD(EFGH!
!R"# & "
*ⁿ+!#1(*!
QR"# & "!+,#1 @*vµü!6>#σ#"(
*!µ!Y"!ÇY#" óµ─«!Sz#"$#1"µ─«
-.#!φ3Z# ╞ü─*(\]/∩3(WX!τ╚Γ
╞ü─*@"# ╫╪!?Pü─*@"# ╫┘01!Sz
#1(*!
!!
34/15678/049:!
()*#+!!"#$%&'()
(
!
!R"# & &
!!QR"# & &!#& Y"# (WX!ü─*6>&!≡
*(#&!
"$#Qú█$cT"# WX(2!% cT3Z# ╞ü
─*(\]!½¼$@% ABCD(ghGH╩$
""#ü─*ó"# (┘─3$
ÇY*(#&!µ!Y&!Sz%%$!Ç╚*@"# ╫┘!
!!
;89:4<=>?567@A9:461B34/1!
!R"# & ,
QR"# & ,!" Y"# +(<>!^t█Mé4{'?
=36>" (┘─!
$!QR!"& Y"# (┘─!┘>Y &!#"%"!'&"#%&'(!5
"# (WX!
"ç$ê#
!!!!!!
"ç"ê#
"!QR!() Y"# (üX!>& ))( (62─+!ü─&2 @"#
╫┘∩>'!'&%"8(!5')'2 (7g!
! "ç&ê#
&!QR!ü─&' ▀6"# +<>(!|≡#&%
#'!(&%('!ü─&' @"# ABCD(EFGH$ ^
89δτ!
)*
!
!"!#$%&'
1 │
$!!"!nd&;B1# C&'#x'&!y&#a&' ;z&#v*!
(Cv1!(;&' #@1{" C|i"
"ç$ê#
!!!
"ç"ê#
!!!
"ç&ê#
"!!"!-"# @!&' C)%!&) Ca!}1' #v*4&) #~o*
w1(!3&)%)(!]'&') #_`!
&!RS&!"!&' C"# #)%!'&'1%,)(!&1%&'!]Ç&&1
4"# uv!
2 │
$!RS&!"!&' C"# #)%!(' C"# #v*!v1C'!a&)
üé#(!]Ç&() ;"# #v*!
"ç$ê#
!!!!!!
"ç"ê#
"!.âäàåçêëèïîkì.âÄäÅÉæÆô!Bö,78+ #ò
_ûCùÿÖÜ#òî!!"!"# ¢£}¥₧₧'# #ƒáíó!
1& ¢£úî#^ñ!&1 ;Ѫº¿$%!⌐¬½HqѪº¿$%
¼B¡(«G»░!#¥₧$%▒C7&9'/+!▓e│L('.$/+$
()*#+!!"#$%&'()
))
!
!!t2@r%5'(&2ubc!t2$r%v)rs25c(!t
21r%)*s25c(!wx215%fc%5*s(yz{|)3
45XY./6#
QR"# , $!UV"# :3O<>"!Q▒6> " σ'"# (┘
─╩$
/;ó<ab=>{R(%
!QR"# , "!&'#"!z#" YüXσ3!╪"# ∩&!' í>!
R"# , $
!!!!!!
!R"# , "
"&'"&!"'!
/;?Y"&!"' ┴ó"# (┘─!
"$#t?Y"&!"' ó"# (┘─3$ @ó!^89δτ!
""#()─«"&!"' ABCD(ghGH!
*ⁿ+!"&!"' Aó"# (┘─!≡"&%"'!
!R"# , &
aK╥╠B9%63O<>C3SD(íq┘─
(2╫ε!
UV%QR"# , &!" ó"# O<>!"&!"'
no@"# ╫┘∩>&!'!
)!
!
!"!#$%&'
5B%"&%"'!
!R"# , ,
B9%QR"# , ,!&'#&!#'!#"!
)34&#&"P34&#'"/!
:!"&!"' no@"# ╫┘∩>&!'!
;!"&(#&!"'(#'!
;!'#&"%'#'"%#'(!
E:!#&%#'!#"%#"!
;!34&#&")34&#'"!
;!"&%"'!
╥╠F─«"&!"' (2╒╓>" ╞"# (┘─2!
/1CDE
!!
83<F0GH434IA/14/1C-J!
)+K(GH67/!■IJΓ╞'&"#%''"#!φ3O<>@3
Z(&─Jn6?>(íq┘─S4;(Ké!
,)!UV%QR"# , )!6>" (íqü─no@"# ╫┘∩>&!'!
+ YLM*
&'+N∩>&!' ($O<>!6>+ (┘─no
@┘─"&!"' ╫╪∩>(!)!
5B%&"() (P2ε∩""&!
B9%:!"&!"'!() Aó"# (┘─!
!R"# , )
;!"&%"'!(+%(&!)+%)'!
;!!&"() (P2
%"(5")5()
%"(5")5(+5)+
%"(5")5(&5)'
%"&5"'%""&!
,!!█4Qσ3!R±@UVMé4(MΣA╫┘!
UV%QR"# , 7!&&'(!
5σ%"3!R╦@&&'((MΣA╫┘!
nS%ÿ 5 σ ( 3 @ &&'( ( M Σ A ╫┘!T ? = 3 ( 3 Z ╞
()*#+!!"#$%&'()
)"
!
&&'(MΣ(\]A╫ε!Sz3ZóMé4í=LéJn
─(╪>!3(WXó╪>╞Mé4<Σ(µ─«(2!
σU%QR"# , 9!
"$#noσ'' P'( (Jn─'- P(4!,'- @(4 ╪
∩>3!
""#6>3σ3)('(!µ!Y)!
"&#z>3Y3Z&3) (2YWXσ"3!"3φYS5!
R"# , 7
!!!
R"# , 9
!!!
R"# , 8
QR"# , 8!σ32(&(!35(&'!µ!noY2!5!τσR67
8V3)%32%35!ÇY"3(WXY3)!Sz"3@&&'( (MΣ&'!
'(!&(no╫┘∩>5!)!2!
@Mé4(MΣA╫┘(3B≡VB<=!╥╠╙?=3YMé4(K
/3"
<=*<>*?@#!╙?=3(3ZYMé4(KL"
<=*@=4@>#!
$!QR!"# Y&&'((L┘3!┘>noY)!2!5!
"$#R/B╔W╫ε(─«$
""#@&)%"!'2%&!(5%$!5&&'((P2!
"ç$ê#
!!!!!!!
"ç"ê#
"!QR!)&&'(/!'&%)'(!╦(LZY3!5''3((7g!
１４
　
数学　九年级下册
Ａ组
１．已知⊙犗的半径为３，点犘与圆心犗之间的距离为６．过点犘作⊙犗的
两条切线，求这两条切线的夹角和切线长．
２．如图，⊙犗为△犃犅犆的内切圆，切点分别为犇，犈，犉，犃犈＝１，犅犉＝
２，犆犇＝３．求⊙犗的半径．
（第２题）
　　　　　　
（第３题）
３．已知：如图，四边形犃犅犆犇的四边犃犅，犅犆，犆犇，犇犃分别与⊙犗相切
于点犈，犉，犌，犎．求证：犃犅＋犆犇＝犃犇＋犅犆．
４．如图，犘犃，犘犅是⊙犗的两条切线，犃，犅是切点，直线犗犘交⊙犗于
点犇，犈，交犃犅于点犆．
（１）请写出图中所有具有垂直关系的直线．
（２）请写出图中所有的全等三角形．
（第４题）
　　　　　　
（第５题）
５．已知：如图，犃犅为⊙犗的直径，犈为⊙犗外一点，犈犅，犈犆分别切⊙犗
于点犅，犆．求证：犃犆∥犗犈．
()*#+!!"#$%&'()
)$
!
2 │
$!!"!'&#'%7'(!- C┐*#' .#H1!#-%,!B1 - C&'%
"C$%D&!└#& ┴1# ┬├\─à┼╞╟!╚[#& m"- uv
\!#& b╞╟#Z_;«G"
"ç$ê#
"!RS&!"!&' C"# #)%!'( v"# 1'!&( w"# 1"!
12 -'( .!23"2 v"# 1"!]Ç&(2%'2!
"ç"ê#
)%
!
!"!#$%&'
!!F}~Ç&üéÇ5â}bF!âTbF!äàåk)çêâ
}bF&âTbF5ê}Ç!7ëê}Ç&2)èïc5î/!
$!αßaK(MXRY!88RY/åZ[ !ïΣ4!
"!h<habR4(ΣPé!\]╦╠(╬I^>!
åΣ╫ε&åé┌╫ε(ïΣ4╒╓MNOP">@AB?C>DE?FAE=#!
F<=388+
"
#
& εn!_`&'åεn>!┴Γ╞<=a8Σ4!╥
╠F?=a8Σ4╒╓34KQM! OP!?=3╒╓M!OP4<Q3!
O'3(3Z╒╓aïΣ4(RL!O'3(WX╒╓aïΣ4(9:!b
<ΣSW(3Zé╒╓aïΣ4(RLS!/Z╞Σ(\]╒╓aïΣ4(
OLT!
!R"# ) $
QR"# ) $!acΣ4&'()25 Y"# (L
'acΣ4!"# YacΣ4&'()25 (O'3!
># Y?=acΣ4(/Z!#& YWX!'&#'
Y/Zé!#7 (2YΣZ\!
$!Vÿ938 "8+&#εn!┴8z{'a8 Σ4!Q▒9<=3
8εn╩$
()*#+!!"#$%&'()
)&
!
"!adΣ4(/Zéóïe7$ Q▒93dεn!{adΣ4╩$
f6εn3Zé!8z{aïΣ4!W∩<!^g╧4!8z█4Qσ
3(L'aïΣ4!
,)!█4Qσ3(L'a║4!
UV%QR"# ) "!"#!
5σ%a║4&'() L'∩"#!
R"# ) "
!!!!!!!
R"# ) &
σU%"$#QR"# ) &!σíqh╫µü(üX&(!')!
""#_`&'&'!'(!()!)&!
τσR678V!i=/ZéAó#'(!Sz&'%'(%
()%)&!Ç Y &(!') A ó ü X!S z '&'( %
''()%'()&%')&'%#'(!
φiΣ4&'() Y"# (L'a║4!
$!jk3(L'acΣ4(/Zé7g!u'acΣ4(Σ2PO'
3WX[2(ghGH!
"!█4Qσ3(L'acΣ4!"ªlσRmn!vÿ5f'σU#
,!!QR"# ) ,!&&'( Y"# (L'aMé4!Qú"# (WXY
$!5?=aMé4(Σ2PΣZ\!
R"# ) ,
!!!!!
R"# ) )
)'
!
!"!#$%&'
%QR"# ) )!&'#'!6># σ#)('(!µ!Y)!
)34&#') /!
:!'#')%&'(!#'%$!
;!#)%$
"!')%槡&
"$!'(%"')%槡&$!
φ?=aMé4(Σ2Y槡&$!ΣZ\Y$
"!
$!W∩Mé4!QúMΣ╫ε!½¼╦(M=é<o╫ε!p6▄!
QúM=é╫ε!½¼╦(MΣ┌<o╫ε!W∩±qïΣ4!Qúrs
+åΣ╫ε,P +åé╫ε,í=qr/($O<=!■tªB?=ïΣ4
óaïΣ43$ ^u²89!
"!<=aïΣ4(ΣZ\@Σ2(vY$
"!5?=aïΣ4(Σg!
1 │
$!!"!-"# @!╔jZ╩D╗Hd╦╠W?!UD╗╖d╦╠W?#
═s╬Z*!
"ç$ê#
"!!"!╦0Z?#WoC7!╧╨0dZ╤ûCHd╦╥W?!]╖d
╦╥W?#á╙!
"ç"ê#
()*#+!!"#$%&'()
)(
!
&!]$%C"#&#I╘╦0Z?!╦à?!╦╥W?#Wo%W'+%
@'Zmá╙!╒▓e╓║-q¢@&
3(L'aïΣ4
Σ2
ΣZ\
/Zé
KΦ
ü~Ç
üéÇ
üì}Ç
2 │
$!╫-&?╪┘.ƒ╗WoC$)*+ #╦à?╪┘!b┌╔#&?╪┘#
)%█z▄C«G▌░"
"!╔&7+o#▐▀-α¥.Q╗HßΓ¥!A/Bq╣πΣ¬àσ&╦0
Z?%╦à?%╦╥W?m&!µ}¬½τåΦπΓ¥#á╙█y!
!*
!
!"!#$%&'
!!F!UVWX
)!YWZ[\
)wx/!╥╠yHz>@3&ü─@3(EFGH!)╚{|+!╥
╠■GHz3(┘─("#P}o&┘─2oδz:aïΣ4@3(GH!
)yH>@3&ü─@3EFGH(67/!╥╠}█zn~()!
█3Z╞>▐ü─(\]%@WX$[2(ghGHÇT>▐ü─@3(E
FGH!?√yzg4üé()!
$!>@3&ü─@3(EFGH!
>@3&ü─@3noBMNEFGH!╦╠óQ▒n~($ CD█3
Z╞>▐ü─(\]%@WX$[2(ghGH▄kl?MNEFGH$ ^
efac!
>@3(
EFGH
3Z╞>(\]%
@WX$(GH
ü─@3(
EFGH
═╬>
(=g
3Z╞ü─(\]%
@WX$(GH
╫╪
╫┘
╫]
"!┘─("#P}o!
┘─("#%3(┘─µü∩6┘>(WX!
┘─(}o%▀6WX(Oâ|≡µü∩?qWX(ü─ó3(┘─!
┘─2oδ%63O<>S{(3(íq┘─(┘─2╫ε!
()*#+!!"#$%&'()
!)
!
&!aïΣ4@3!
f6εn38z{3(L'aïΣ4!äà█4Qσ3(L'a║4P
L'acΣ4(║U!åQ▒σ3(L'açΣ4PaêëΣ4!
1 │
$!-34&&'(@!'(%#'(!'(%&!&(%,!B1( C&'%'( oC
$%D&!⌐ΘΩδ1& 4"(#5678!
"!└34&&'(#∞W&'%7!)ZW&(%&!╚&'C1(!$%9:
C"!,#nd&4&' ╝/<=#5678" [$%C«o\!&' 4
"(uv"
! "ç&ê#
&!!"!- 34&&'( @!'(%#'(!&(%)!
'(%$"!"# #&'-*T(& .!3φ#
$%C&!
#$$[1# 41( ε∩\!"# 4)*&'
╝/<=#5678"
#"$!e"# ≡)*(& ±≥#1# ≡)*
(& ±≥$![#( X«G\!"# 4
)*&' uv"
,!¬½XW0Z?#J╘&á╙4Iv&á╙#≤O!
)!!"!-&&'( @!&'%&(%,!B &' C)%#&4&( uv
1&!4'(uw1)!]"@⌠⌡÷9#á╙!
"ç)ê#
!!!!!!!!!!
"ç7ê#
7!!"!-üá)Zkl8@!"- 4. puw1&#"!'$!'#8!'$!
4/puv1(!]&' - #kl!
"ç9ê#
9!!"!- 34&&'( @!'(%#'(!1 # -&'
.!B1 # C&'%#& oC$%#&4&(!
&' 9:w1)!2!3'(')%'&!Ωδ)
*') 4"# #5678!2ÇåΘ#▓≈!
!!
!
!"!#$%&'
8!Hd&₧°6- 'G(?∙.!!"b£Cöƒá£·"!-"@!(&
m(' √;"# #v*!v19:;&!'!!e"# #$%C"槡&*+!
3&'%7*+!]'&(' #_`!
"ç8ê#
!!!!!!!!
"ç#ê#
#!!"b£!zåxⁿ²jHd■ #)%!!╒)"%■ m0Z"°
6#á.!2j╗&'%&.)*+!]$■ #)%!
"ç$'ê#
$'!RS&!"!&' C"# #)%!( C"# .H
1!1) -&' #~o*.!3')('%'&!
#$$]Ç&() C"# #v*!
#"$└')%&'(!')%$'*+!]"# #$%!
2 │
$!!"!"&!"'!)2 9:v"# 1&!'!(!└"# #$%C)*+!
"# #oC$&*+!╚&")2 #%o;«G▌░"
"ç$ê#
"!RS&!"!- 34&&'( @!'&'(%#'(!''&( #ü9*w'( 
1)!2 C&' .#H1!)2%)(!B1 ) C&'%)' oC$%╢
")!]Ç&
#$$&(C") #v*!
#"$&'52'%&(!
"ç"ê#
第二十九章 直线与圆的位置关系
23
 
3.已知:如图,A,B 为☉O 上的两点,∠AOB=120°,D 为劣弧AB
︵的中点.
(第3题)
(1)求证:四边形AOBD 为菱形.
(2)延长线段BO 至点P,交☉O 于另一点C,且BP=3OB,连接AP.
求证:AP 为☉O 的切线.
4.已知:如图,AB 为☉O 的直径,C 为☉O 上一点,AD 和过点C 的切线
互相垂直,垂足为D.
(第4题)
(1)求证:AC 平分∠DAB.
(2)过点O 作线段AC 的垂线OE,垂足为E.若CD =4,AC=4 5,
求垂线段OE 的长.
C 组
1.已知:如图,AB 为☉O 的直径,BC⊥AB,垂足为B,连接OC,交☉O
于点E,D 为☉O 上一点,AD∥OC,DF⊥AB,垂足为G.
(第1题)
(1)求证:E 为BD
︵的中点.
(2)求证:CD 为☉O 的切线.
!#
!
!"!#$%&'
#&$└I<=''&)%,
)!"# #$%C)!])5 #o!
"!!"!-)Zkl8@!>?#&'(#^1# 4kl-1ε∩!6 Cn
s╬Z*#w1!^1& -. p.!^1(#klC#'!7$!'(#'%
&'(!B#(.H1" C&'%&
"C$%#&.4#' uv1)!
"ç"ê#
#$$]1" #kl!
#"$Ωδ&(m"" #5678!2τå/0!
#&$RS2 C"" 4"( #w1!])2 #o!
 
!"
!
数学!九年级下册
!!我们已经学习了一次函数和反比例函数!现在!我们来学习二次
函数!
!图"# $ $
!!$!如图"# $ $所示!用规格相同的正方形
瓷砖铺成矩形地面!其中!每行瓷砖比每列瓷砖多
%块!矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖!其余部分
全为白色瓷砖!设每列有"块瓷砖!
"$#设灰色瓷砖的总数为#块!
!用含"的代数式表示#!则#&
!
"#与"具有怎样的函数关系$
"'#设白色瓷砖的总数为$块!
!用含"的代数式表示$!则$&
!
"$是"的函数吗$ 说说理由!
'!某企业今年第一季度的产值为(#万元!预计产值的季平均增长率
为%!
"$#设第二季度的产值为#万元!则#&
!
设第三季度的产值为$万元!则$&
!
"'##!$都是%的函数吗$ 它们的表达式有什么不同$
上面遇到的函数
$&"')"*+!$&(#%')$+#%)(#!
它们的表达式都是自变量的二次式!
一般地!如果两个变量%和#之间的函数关系可以表示成#&&%')
'%)("&!'!(是常数!且&"##!那么称#为% 的二次函数",-./0.123
4-531265#!其中!&叫做二次项系数!'叫做一次项系数!(叫做常数项!
(_*+!*+,-
!&
!
+KΓ╞(í=Ög!z:/%."5".5$
,!/%-)
,."5$)
,.5)!/%
&."!/%-$
"."57ε!Aóë`Ög!
!!$!^nou'+K'y(ë`ÖgcªΘ(ë`⌐Hg&<`⌐Hg
P⌠g⌐!
"!¬¬<`Ög&pv²Ög&ë`ÖgB¡¼vI!
!!½¼¡«¼!░»I¼░Ks╫h▒┘▓
│┤╡!,░»B0 ╢I¼!bí╖[2A▓
│<`!█/cT░»I¼▓│(ù`g!
"$#^█[0 (ÿgΘcT/!89/ó0
(ë ` Ö g!u ' ╕Ö g / W ╣(:!;!<
(ƒ!
""#@░»B,)╢I¼!T?D▓│(ù`góïe$
!!$!u'abë`Ög/╫╣(:!;!<(ƒ%
"$#/%-)."5&.5$(""#/%".5$#
"-$("&#/%-."57!
"!<æ2║4║├!╦(2v╗ï"+!,╦(2Y. +!KΦY
/+"!^f'█.cT/ (ÖgcªΘ!/ó. (ë`Ög3$ @ó!^u
'╫╣(:!;!<(ƒ!
1 │
$!-qr1`@!Φ2;341`"
!'
!
!"!#$%&'
#$$/%.")!!!!!!!#"$/%-$
"."5$)
#&$/%$
.)
#,$/%.5")
#)$/%."-".5")
#7$/%-$
"#.5$$
"5$!
"!╦à?#WoC.*+!á╙C/*+"!⌐║╗╔.¢£/ #1`¢¡5!
/;. #341`{"
&!H67╩-8;$"'9:!;<#=>?C.!n<╤╖67╩#8@
C/9:!]/7. #1`¢¡5!
2 │
$!]╗4.O╬▄#1`O&
.
-)
-,
-&
-"
-$
'
$
"
&
/%."5".5&
/%-"."-,.5#
"!╬341`/%."5".5&!/cd.#O4/%"9u╬▄" ⌐ΘA╔
àB]╗╖=#.#O!
(_*+!*+,-
!(
!
!!ÖÜ?rôöX0òûùöX5now4!]^¢£¥ÿôöX5
₧Ö!ƒáíó₧ÖZ>?ÿôöX5no!
)]^!"!#$" 4`abcd
!!UVë`Ög/%."!╥╠8<ab=>{'╦(R┬!
"$#bc%
.
-
-&
-"
-$
'
$
"
&
-
/%."
-
#
,
$
'
$
,
#
-
""#k>%QR&' " $!)üéâäH/k'╫╣(>!
"&#&─%QR&' " "!█J╝╜─_`&'å>!Γ╞ë`Ög/%
."(R┬!
R&' " $
!!!
R&' " "
αßë`Ög/%." (R┬!ä╛ab┤ê%
"$#@9/%."(R┬≈┐/ └W┴!/ └í┬(ònt├─░┼é
3$ /%."(R┬óvó└W╙R4$ Qúó!½¼╦(W╙└ó qü─$
""#/%."(R┬B-╞>3$ QúB!½¼-╞>(âäó¡¼$
"*
!
!"!#$%&'
$!)QR&' " &ST(üéâäH/!U{'z/%." (R┬!^
╟{'Ög/%-." (R┬!
R&' " &
!!!
R&' " ,
"!)QR&' " ,ST(üéâäH/!U{'z/%"."(R┬!^
╟{'Ög/%-"."(R┬!
!!WvÖg/%."@/%-."!/%"."@/%-"."(R┬!┴ë`Ög
/%:."ä╛za┤ê%
"$#R┬(«╚║CP╦(-╔"▐-╞#>@:(╩╦ABCD(GH$
""#R┬óvó└W╙R4$ Qúó!½¼╦(W╙└ó qü─$
"&#_`R┬!89/(ƒ╠. (ƒñ═∞º╬(╧╨!
ë`Ög/%:."(R┬ó<qG∩/└W╙(╜─!?D(╜─╒╓
ef1"DC>CME?C#!╜─(W╙└╒╓╧╨─(W╙└!╧╨─@╦(W╙
└(╪>╒╓╧╨─(g0"N@>4@O#!
(_*+!*+,-
")
!
!"#$/%:."%&'()*
cªΘ
«╚║C
W╙└
╤>âä /╠. (º╬╧╨
-═"▐-/#ƒ
/%:."
':#'(
ú$
/ñ
Ñ%
''!'(
a.$'d!/ª.
5º¿⌐¬½)a
.#'d!/ª. 5
º¿⌐º¿
) ¼ ¡ % ''!
'(!a.%'d!
/¼½%'
/%:."
':$'(
ú«
/ñ
Ñ%
''!'(
a.$'d!/ª.
5º¿⌐º¿)a
.#'d!/ª. 5
º¿⌐¬½
) ¼ » % ''!
'(!a.%'d!
/¼¿%'
!!Y║╥╜░!╥╠F/└╙Yü─.%'!F6>":!'#≡µü∩.└
(ü─╙Yü─.%:(F.└╙Yü─/%'!F6>"'!;#≡µü∩/└
(ü─╙Yü─/%;!ë`Ög/%:."┌╙Y╧╨─/%:."!
!!$!v{R┬!^u'Ög/%-#."R┬(«╚║C&W╙└&╤>â
äz:-╔"▐-╞#>!
"!╘u'╧╨─/%-$
&."(«╚║C&W╙└P╤>âä!╒╓╟
{'╦(R┬!
1 │
$!C╗qrDE*#FGà┼%╬Hpm^1kl!
#$$/%7.")!#"$/%-,.")! #&$/%&
,.")! #,$/%-$
)."!
"!9:C╗DE*/%&."4/%-&."#FGà┼%╬Hp%^1klm/
I. #JyKLM#NO!2-xH)Zkl8@D╗φP#"Q!
2 │
$!╬DE*/%"."m/%."!ΘRCφP/Φ2Sx1"
"!!eDE*/%:."T}1 -#"!)$!⌐]╗:#O!2C╗úDE*#
FGà┼!
"!
!
!"!#$%&'
)]^!"!#"$#%#
" Z
"!#"$#%#
"$&4`abcd
!!/╫)I<=üéâäH/!Wë`Ög/%."!/%".-&#
" P/%
".5"#
" ╪█Qabc&k>&&─(║Θ!{'z╦╠(R┬!
.
-
-&
-"
-$
'
$
"
&
-
/%."
-
#
,
$
'
$
,
#
-
.
-
'
$
"
&
,
)
7
-
/%".-&#
"
-
#
,
$
'
$
,
#
-
.
-
-)
-,
-&
-"
-$
'
$
-
/%".5"#
"
-
#
,
$
'
$
,
#
-
R&' " )
!!Ö4┘+:!ë`Ög/%".-&#
"!/%".5"#
" (R┬@ë`Ög
/%." (R┬ó─░╫I(!É╦╠(EFvI!
"$#/%".-&#
" (R┬8zτ/%." (R┬≈¡¼║CJ┌ïe=█
E27Γ╞$
""#/%".5"#
" (R┬8zτ/%." (R┬≈¡¼║CJ┌ïe=█
E27Γ╞$
8zV▄!ë`Ög/%:".-=#
" (R┬8zτ/%:." (R┬σQa
J┌Γ╞%m=#'s!C▌J┌= =█E27(m=$'s!C▐J┌
-=-=█E27!
(_*+!*+,-
""
!
!!τÖg/%-"." (R┬!no▀6CD(J┌8zΓ╞abÖg(
R┬$
"$#/%-"".5$#
"(""#/%-"".-,#
"("&#/%-".-&
"
#
"
"
!
)R&' " 7/(üéâäH/!U▀{'zë`Ög/%".-&#
"
(R┬!
"$#^t)╕âäH/╟{'ë`Ög/%".-&#
"5$P/%".-&#
"-&
(R┬!
""#▀┐89Ög/%".-&#
"5$P/%".-&#
"-&(R┬8znoτ
Ög/%." (R┬▀6CD(J┌Γ╞!
"&#^f'Ög/%".-&#
"5$P/%".-&#
"-&(R┬(W╙└@╤
>âä!
R&' " 7
"$#^8'9ë`Ög/%-"." (R┬!no▀6CD(J┌!8z
Γ╞Ög/%-"".-,#
"57P/%-".5)
"
#
"
"
-,(R┬!
"#
!
!"!#$%&'
""#u'Ög/%-"".-,#
"57P/%-".5)
"
#
"
"
-,(R┬(W╙
└@╤>âä!|89óQ▒αo(!
!"#$/%:!.-=""5>%&'()*
cªΘ
«╚
║C
W╙└
╤>
âä
/╠. (º╬╧╨
-═"▐-/#ƒ
/%:'.-=(
"5>
':#'(
ú$
'(.%= '=!>(
a.$=d!/ ª.
5º¿⌐¬½)a
.#= d!/ ª. 5
º¿⌐º¿
) ¼ ¡ % '=!
>(! a . %=
d!/¼½%>
/%:'.-=(
"5>
':$'(
ú«
'(.%= '=!>(
a.$=d!/ ª.
5º¿⌐º¿)a
.#= d!/ ª. 5
º¿⌐¬½
) ¼ » % '=!
>(! a . %=
d!/¼¿%>
,)!"$#5Ög/%-$
"".5)#
"-"(-═"▐-/#ƒ!
""#╘9Ög/%-$
"." (R┬C▐J┌"=█E27!╟CaJ┌
&=█E27!^f'J┌╓Γ╞(R┬(ÖgcªΘ!
%"$#τ-$
"$'!V╕ÖgB-═ƒ!
m.%-)s!Ög%Γ-═ƒ!/-═%-"!
""#J┌╓Γ╞(R┬(ÖgcªΘY/%-$
"".5"#
"-&!
!!ec%
cªΘ
«╚║C
W╙└
╤>âä
/╠. (º
╬╧╨
-═"▐
-/#ƒ
/%-".-"#
"5"
&
/%$
"".5&#
"-&
/%-".5$#
"5)
(_*+!*+,-
"$
!
1 │
$!<=UV0/%"." #"QT}ü±W(1`/%"#.-7$
"59#"QX"
zYτ&Z┼[ü±7d\5o_!U┼.ü±9d\5o_!
zåτ&Z┼]ü±7d\5o_!U┼.ü±9d\5o_!
z^τ&Z┼.ü±9d\5o_!U┼]ü±7d\5o_!
Θx·_#τ`" ⌐τå/0!
"!C╗qr1`"Q#FGà┼%╬Hp%^1klm1`#█y#a█
z$O!
#$$/%'.7."!/%'.7#.-"$
"!/%'.7#.-"$
"5,!
#"$/%-&
,."!/%-&
,#.5,$
"!/%-&
,#.5,$
"-,!
#&$/%-7."!/%-7#.-"
&$
"!/%-7#.-"
&$
"58!
2 │
$!╒341`/%-8." #"Q┼[ü±&d\5o_!U┼qü±"d\
5o_!]Å"Q#1`¢¡5!
"!C╗qr;bnd341`"Q┤╡#5678!
#$$/%&." 4/%-&."!
#"$/%&#.5"$
" 4/%&#.-"$
"!
#&$/%-"#.5$$
"5"4/%-"#.5$$
"-"!
#,$/%#.-"$
"5$4/%#.5"$
"-$!
)]^!"!#$"$'$$(4`abcd
b=ë`Ög/%:."5;.5<A8zf6ß║╬;
/%:".-=#
"5>
(4Θ%
"%
!
!"!#$%&'
/?:."@;.@<
?:"."@;
:.#@<
?:.."@");
":).@";
":#
"/A:);"
,:"@<
?:".@;
":#
"@,:<A;"
,:
!
±/!=%-;
":!>%,:<-;"
,:
!
!!Wvë`Ög/%:".-=#
"5>(R┬P"#!efë`Ög/%:."5
;.5<(╫G┤ê(cd%
cªΘ
«╚║C
W╙└
╤>âä
/╠. (º╬╧╨-═"▐-/#ƒ
/%:."5;.5<
':#'(
/%:."5;.5<
':$'(
ë` Ö g /%:." 5;.5< ( R ┬ó < q ╧╨─!╦( W ╙└ó
.%-;
":!
@:#'!T╧╨─«╚C+!╤>âäó"-;
":!,:<-;"
,:
#!m.$
-;
":s!/╠. (ñ═∞Γ/(m.#-;
":s!/ ╠. (ñ═∞ñ═(m
.%-;
":s!/%Γ-/ƒ!≡/-/%,:<-;"
,:
!
@:$'!T╧╨─«╚Ca!╤>âäó"-;
":!,:<-;"
,:
#!m.$
-;
":s!/╠. (ñ═∞ñ═(m.#-;
":s!/ ╠. (ñ═∞Γ/(m
.%-;
":s!/%Γ-═ƒ!≡/-═%,:<-;"
,:
!
(_*+!*+,-
"&
!
Y║╥╜░!╥╠Fë`Ög/%:."5;.5<┌╙Y╧╨─/%:."5
;.5<!
,!!5╧╨─/%."5".-$(W╙└P╤>âä!|{'╦(R┬!
%:!/%."5".-$%".5$#
"-"!
;!╧╨─(W╙└Y.%-$!╤>âäY"-$!-"#!
"$#bc%
.
-
-& -" -$ '
$
-
/%."5".-$ -
"
-$ -" -$ "
-
R&' " 9
""#)üéâäH/!k>!&─!φ
Γë`Ög/%."5".-$(R┬!
QR&' " 9!
,"!_`abqr!αo╧╨─(cªΘ!
"$#╧╨─/%-"."5B.5C(╤>âäY
"-&!)#!
""#╧╨─/%:."5;.-7▀6>&"-$!&#P'""!-7#!
%"$#:!/%-"."5B.5C%-"".-B
,#
"5B
"58C
8
!
;!B
,%-&!B
"58C
8
%)!
;!B%-$"!C%-$&!
Sz╕╧╨─(cªΘY/%-"."-$".-$&!
""#>&"-$!&#P'""!-7#(âäp!╧╨─(cªΘ!φ
:-;-7%&!
,:5";-7%-7
.
/
0
!
Γ
:%&!
;%-7
.
/
0
!
Sz╕╧╨─(cªΘY/%&."-7.-7!
!!$!5ab╧╨─(W╙└P╤>âä!|u'╦╠(«╚║C!
"$#/%&."-7.5$(!!!!""#/%-"."-7.-$!
"!{'╧╨─/%."-,.5"(R┬!|89m.%-"P.%-$s!
 <=W╣(Ögƒπ═!
"'
!
!"!#$%&'
1 │
$!]qrDE*#╬Hpm^1kl!2C╗φP#FGà┼!
#$$/%."-".58)
#"$/%-)."5&.-"!
"!RSDE*/%-."5".5"!
#$$╖sDE*#╬Hp;
!^1kl;
!
#"$D╗╖sDE*!
#&$╖sDE*.&#.$!/$$!'#."!/"$n1#ckld,.$#."#$!
ef"Q!C╗/$ 4/" #yz78!
&!µ}gà!hqr1`MC/%:#.-=$
"5>#?5!2C╗1`#█
y#a█z$O!
#$$/%-"."-).5#)
#"$/%"."5&.)
#&$/%)
"."-,.5$)
#,$/%-&
,."5#
".-"!
2 │
$!ijqrst!]DE*#¢¡5!
#$$DE*/%."5;.5<#^1C-#"!&$!
#"$DE*/%:."-".5<T}1&#-$!'$m'#"!-#$!
"!RSDE*/%."-"B.5$7#^1-klp.!KLMB#O!
(_*+!*+,-
"(
!
!!Ä_*%5░▒!OP▓qrôöX!UV│u┤(~%5░▒Z
▓qÿôöX6#
)üéâäH/!τv╬─M>(âä8zαoë`Ög(cªΘ!
UVv╬─(M>&"$!&#!'""!-"#!("-$!$#!CDαo6?
M>(ë`Ög/%:."5;.5<(cªΘ╩$
Σ)█σoHgU5<`ÖgcªΘ(67!/;)╞z█σoHgU
5ë`Ög(cªΘ%
!!╒&!'!(01#kl9:kl341`/%:."5;.5<@!W
:5;5<%&!
,:5";5<%-"!
:-;5<%$
.
/
0
!
!mW
:%-"!
;%$!
<%,
.
/
0
!
!!b]341`#¢¡5C/%-"."5.5,!
!!█σoHgU5ë`ÖgcªΘ(67@5<`ÖgcªΘ(67B 
!╫I>@vI>$
,!UVM>&"'!$#!'"$!'#!(""!&#!5τ?M>Sαo(ë`Ö
gcªΘ!
%,S5ë`ÖgY/%:."5;.5<!9&!'!( M>(âäno
ÿ▓ë`ÖgcªΘ/!Γ
<%$!
:5;5<%'!
,:5";5<%&
.
/
0
!
Γ
#*
!
!"!#$%&'
:%"!
;%-&!
<%$
.
/
0
!
S5ë`Ög(cªΘY/%"."-&.5$!
!!)üéâäH/!UV> &"&
"!&
"#!'"-&
"!'#!("$
"!'#!5τ
&!'!(M>Sαo(ë`ÖgcªΘ!
!!5τ &"$!9#!'""!8#!("&!$$#M>Sαo(ë`ÖgcªΘ!
1 │
$!RS341`/%:."-,.5<#"QT}1&#-$!-$$!'#&!-#$!
#$$]╖d341`#¢¡5!
#"$║╗╖sDE*#╬Hpm^1kl!
"!]0&#$!'$!'#&!"$!(#-"!$"$01bLM#341`¢¡5!
2 │
$!RS341`/%:."5;.5<@#nLj.m1`/#÷9╬▄O!q¢&
.
*
-&
"
-$ -$
"
'
$
"
$
&
"
*
/
*
-)
,
-" -#
,
-" -)
,
'
9
,
*
⌐╔Sx#à`]╗╖d341`#¢¡5!
"!└}&#.$!/$$!'#."!/"$!(#.&!/&$01#1`#¢¡5C/%
:."5;.5<!╚}&D#.$!/$5$$!'D#."!/"5$$!(D#.&!/&5$$01
#1`#¢¡5C/%:."5;.5#
<5$$!╖;C|i"
第三十章　!"#$ ４１
　
　　通过建立二次函数模型并利用它的有关性质，可以解决许多实际问题．
例１　如图３０４１，一名运动员在距离篮圈中心４ｍ（水平距离）远处跳起
投篮，篮球准确落入篮圈．已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运
行的水平距离为２．５ｍ时，篮球达到最大高度，且最大高度为３．５ｍ．
如果篮圈中心距离地面３．０５ｍ，那么篮球在该运动员出手时的高度是
多少米？
图３０４１
　　　
图３０４２
分析：由于篮球在空中运行的路线为一条抛物线，所以可以建立恰当
的直角坐标系，求出该抛物线的表达式，借助表达式来解决所
求问题．由题设，已知抛物线的顶点，建立顶点在狔轴上的直
角坐标系，可使所得的函数表达式较简单．
解：如图３０４２，建立直角坐标系，篮圈中心为点犃（１．５，３．０５），
篮球在最大高度时的位置为点犅（０，３．５）．以点犆表示运动员投
篮球的出手处．
设以狔轴（直线狓＝０）为对称轴的抛物线为狔＝犪（狓－０）２＋犽，即
狔＝犪狓２＋犽，而点犃，犅在这条抛物线上，所以有
２．２５犪＋犽＝３．０５，
犽＝３．５．
烅烄
烆
解得
犪＝－０．２，
犽＝３．５．
烅烄
烆
４２
　
数学　九年级下册
所以该抛物线的表达式为狔＝－０．２狓２＋３．５．
当狓＝－２．５时，狔＝－０．２×（－２．５）２＋３．５＝２．２５（ｍ）．
答：篮球在该运动员出手时的高度为２．２５ｍ．
图３０４３
　　某市为打造宜居城市，将“民心
河”沿线改造为绿色景观带．为节约
水资源，河两边的景观带安装了自动
喷灌器．如图３０４３，某喷灌器犃犅
的喷头高出地面１．３５ｍ，喷出的水流
呈抛物线形从高１ｍ的小树犆犇上面
的点犈处飞过，点犆距点犃４．４ｍ，点犈在直线犆犇上，且距点犇０．３５ｍ，
水流最后落在距点犃５．４ｍ远的点犉处．喷出的水流最高处距地面多少米？
水流最高处到地面的距离即为抛物线顶点到地面的距离．为求抛物线的
表达式，小亮和小惠分别建立了如图３０４４和图３０４５所示的直角坐
标系，并写出了相关点的坐标．
图３０４４
　
图３０４５
（１）请分别按小亮和小惠建立的直角坐标系求这条抛物线的表达式．
（２）根据以上两种表达式，求出水流最高处到地面的距离．
　　对上面的抛物线形水流问题，请以地平线犃犆犉为横轴，以犉为原点建
立直角坐标系，并解决相应的问题．
Ａ组
１．如图，在相距２ｍ的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子
(_*+!*+,-
#"
!
#¥à√ò╗¥á".7+!stnyq╜z{|DE*?![}ò$.$+
#z~+z#hop'.)+ \!Ç÷üé╘â(st!╚st#█ä
1+¥á#+,C
+!
"ç$ê#
!!!!
"ç"ê#
"!!"!Hàåç#íó|DE*?!åò7+!ê_C"'+!uënè
ï╡#+,îC)+!
#$$ìèÄ[#)Zkl8!]╖sDE*#¢¡5!
#"$]èï25 #o!
#&$åçqáÅÉΣéæÆ!╫ôÇò&+#öæVòµ}#æ^4çå
#+,Sz'.&+$!éæÆ█û¼ÉΣ«G░"
2 │
!!!!!"!Hòùÿ₧ÖÜ¢£q#1# ¥₧╗H₧!₧┼¢£.#
₧ƒ1& ¥á╨!₧#áéí*CDE*!!eSóúαñѪ![
₧¡(█yò_$"+\!₧±≥#ºü+,
C#+!RS¢£#& 4ºüà┼#( #╕Z
C&'(!#!& n1╡#+,C8槡&+!
#$$ìèÄ[#)Zkl8!]₧#áéí
*b-DE*#1`¢¡5!
#"$╖H¿V⌐hòùÿ₧Ü1# ¥)╘₧
l1& ¥₧ƒ"
!!W∩ë`Ög/%:."5;.5<%:".5;
":#
"5,:<-;"
,:
▄8!m:#'!≡
.%-;
":s!/-/%,:<-;"
,:
(m:$'!≡.%-;
":s!/-═%,:<-;"
,:
!ë`
Ög(?<^ !R╦;Y⌠!ï5 +-/ƒ,▐+-═ƒ,┤ê(┼ÿ
"A!
４４
　
数学　九年级下册
图３０４６
例２　用总长度为２４ｍ的不锈钢材料制成如图３０４６所
示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与犃犇，
犃犅平行．设犃犅＝狓ｍ，当狓为多少时，矩形框架
犃犅犆犇的面积犛最大？最大面积是多少平方米？
解：∵　犛＝２４－４狓
３·狓＝－４３狓２＋８狓＝－４３（狓－３）２＋１２，
犪＝－４３＜０，
∴　当狓＝３时，犛有最大值，且犛最大＝１２ｍ２．
答：当狓＝３时，矩形框架犃犅犆犇的面积最大，最大面积为１２ｍ２．
例３　一工艺师生产的某种产品按质量分为９个档次．第１档次（最低档次）
的产品一天能生产８０件，每件可获利润１２元．产品每提高一个档
次，每件产品的利润增加２元，但一天产量减少４件．如果只从生产
利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
解：设生产狓档次的产品时，每天所获得的利润为狑元，则
狑＝［１２＋２（狓－１）］［８０－４（狓－１）］
＝（１０＋２狓）（８４－４狓）
＝－８狓２＋１２８狓＋８４０
＝－８（狓－８）２＋１３５２．
当狓＝８时，狑有最大值，且狑最大＝１３５２．
答：该工艺师生产第８档次的产品，可使每天获得的利润最大，最大
利润为１３５２元．
　　某班课外活动小组为践行绿色发展理念，倡导低碳的生活方式，对某型
号燃气灶的能效情况进行了测试．这种燃气灶的开关旋钮可从０°旋转到９０°．
为测试开关旋钮在不同角度的燃气用量，在相同条件下，用开关旋钮的５个
不同角度分别烧开一壶水，得到下列对应值：
开关旋钮旋转过的角度
２０° ５０° ７０° ８０° ９０°
烧开一壶水所用燃气量／ｄｍ３７３６７８３９７１１５
（１）若所用燃气量是开关旋钮转过角度的二次函数，求这个二次函数的
表达式．
（２）当开关旋钮转过多少度时，烧开一壶水所用燃气量最少？
(_*+!*+,-
#$
!
!!QR!UV &'%"!>( )─«&' +!iΣ
4&()2 PiΣ4('56 Aóa║4!,'(%.!
"$#&(%
!
""#,a║4&()2 Pa║4('56 (ùKΦ
YE!█.cTE (ÖgcªΘYE%
!
"&#ùKΦEB-═ƒ■ó-/ƒ$ ?=-═ƒ▐-/ƒóïe$
",#mùKΦE%-═ƒ▐-/ƒs!>()&' (¡¼EF$
!!
1 │
$!╔7'+o#▐▀QûHdHW¬½%@╡╔▐▀¼F#>?¡«Γ!
#$$!e@╡»/HÆ▐▀!!"#$$!2Σ>?HWoC.+!hi[
.C░O\!¡«Γ#á╙█y"
"ç$ê#
#"$!e¡«Γ@╡/7Æ▐▀!!"#"$!2Σ>?HWoC.+!h
i[.C░O\!¡«Γ#á╙█y"
"!▒▓│#û┤;$"':+t!-K╡╢T![▓│#╖8C.#:+t$\!
╕╡jC#"''-.$t!
#$$║╗╔╖8.#:+t$¢£;╕#╡╖A╣/#:$#¢¡5!
#"$[╕╡╖A╣;$)'':\!▓│#╖8;«G" ╕╡j;«Gt"
#&$[╖8MC«G\!╕╡╖A╣█y" █y╕╡╖A╣;«G:"
４６
　
数学　九年级下册
Ｂ组
１．某社区为了美化环境，准备在一块矩形土地犃犅犆犇上修建一个矩形休闲
（第１题）
广场犈犉犆犌．为了使三角形文物保护区犃犓犎不
被破坏，休闲广场的顶点犈不能在文物保护区
内．已知犃犅＝５２ｍ，犃犇＝４０ｍ，犃犓＝１２ｍ，
犃犎＝９ｍ．
（１）当犈为犎犓的中点时，休闲广场的面积是
多少平方米？
（２）当点犈在犎犓上什么位置时，休闲广场的
面积最大？最大面积是多少平方米？
２．某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家．统计销
售情况时发现，当这种面包的价格定为７角／个时，每天可卖出１６０个．在
此基础上，这种面包的单价每提高１角，该零售店每天就会少卖出
２０个．已知该零售店每个面包的成本是５角．当面包单价定为多少角
时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
　　汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还
要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做
刹车距离．刹车距离是分析和处理道路交通事
故的一个重要因素．有一个道路交通事故案
例：甲、乙两车在限速为４０ｋｍ／ｈ的湿滑弯道
上相向而行，待望见对方，同时刹车时已经晚了，两车还是相撞了．事后经
现场勘察，测得甲车的刹车距离为１２ｍ，乙车的刹车距离超过１０ｍ，但小
于１２ｍ．根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离狊甲（ｍ）与
车速狓（ｋｍ／ｈ）之间的关系为狊甲＝０．１狓＋０．０１狓２，乙车的刹车距离狊乙（ｍ）与
车速狓（ｋｍ／ｈ）之间的关系为狊乙＝１４狓．
（１）甲车刹车前的行驶速度是多少千米／时？甲车是否违章超速？
（２）乙车刹车前的行驶速度在什么范围内？乙车是否违章超速？
(_*+!*+,-
#&
!
!!UVë`Ög/%:."5;.5<(ë<=Ögƒ/%0!┴8}█<íë
`║7:."5;.5<%0 αo@╦W╣(. (ƒ!
R&' , 9
,#!QR&' , 9!UVΣ2Y$(a║4&'()!
)'( Σ+B<$>2!&' &2!σ 25(
&2!╪() Σ∩>5!
"$#(5 (28tε∩&
,3$
""#>2 )¡¼EFs!(5 (2Y&
$7$
%,'2%.!(5%/!
:!''&2%'(25!
;!34&&'2134&2(5!
;!'2
(5%&'
2(!φ.
/% $
$-.!
;!/%-."5.%-".-$
"#
"
5$
,!
"$#:!/-═% $
,!
;!(5 (2v8tε∩&
,!
""#,-."5.%&
$7!φ$7."-$7.5&%'!
Γ.$%$
,!."%&
,!
;!m'2 (2Y$
,▐&
,s!úB(5 (2Y&
$7!
!!mφ╨VWs!)XY(φK+!ë
N>∙(@∙\]H"+#@∙⌐I"/+'0#
[2(GHQac%
I'"/+'0#
-
,'
7'
8'
$'' $"'
-
H'+
-
"
,." 9."
$$ $).7
-
#'
!
!"!#$%&'
"$#)JKüéâäH/k'bW"I!H#SW╣(>!|█J╝(╜─
_`&'å>!
""#}█R┬ZB@∙\]H"+#@∙⌐I"/+'0#óRABQaGH%
H% $
$'''I"5 $
$''I!
"&#5H%#+s(∙⌐I!
1 │
$!!"!HÜ█▄▌▐₧!▐₧é▀ò_/#+$4ºü+,.#+$┤╡#7
8C/%-$
$"."5"
&.5)
&!
! "ç$ê#
#$$]▐₧╞▌╗#ºü+,!
#"$µ}¬½Ωδ▐₧é▀ò_V⌐¡(,+!
"!▒αß│╠▄▓HΓαß│!RS╖Γαß│#▄▓û┤C7':+t!
TπΓΣσ╥A!╖Γαß│;╙#╡╖j/#t$4╖8.#:+t$┤╡
µ-τ!q¢b£#H41`78&
╖8.+#:+t$
*
9'
#'
*
╡╖j/+t
*
&'''
$'''
*
#$$]╡╖j/#t$4╖8.#:+t$┤╡#1`785!
#"$];╙#╡╖A╣F#:$4╖8.#:+t$┤╡#1`785!
#&$!░M8UVEúαß│╠;╙┌W#╡╖A╣C,'''':"
(_*+!*+,-
#(
!
2 │
!"!&&'( ;Hß╪ΦΘΩ!RSVW'(%$7'*+!ò&)%
$"'*+!-╪ΦΘΩ.ƒNHd>?2567!E1 7 -&' .!16
-&( .!12!5 -'( .!&) w76 1-!
#$$Σ 76%/*+!72%.*+!KLM╔.¢£/ #1`¢¡5!
#"$[.C░O\!>?2567 #á╙E █y"
#&$Bá╙█y\#>?2567 Cδá!QûHd∞V&φ!<=Q!
&φ#ε╙y" ⌐τå/0!#╘∩¥≡±S¬!▓e¼ô≥#$
$*
!
!"!#$%&'
!!ÿôöX0r┴ÿôé┬)è├ï5î/!ä!!]^8Z>?I
^z{5./!
!!QR&' ) $!UVI<üéâäH/╧╨─/%."5".-&!/%."-
7.5#!/%."-,.57!
R&' ) $
"$#?Mq╧╨─P.└╫╪"▐v╫╪#(╧╨noóCD($
""#m/%'s!?Mq╧╨─(cªΘW╣(║7noó."5".-
&%'!."-7.5#%'!."-,.57%'!╦╠_(╧╨noóCD($
"&#+lM=║7_(╧╨@╦╠SW╣(Mq╧╨─P.└╫╪"▐
v╫╪#(╧╨ABCD(GH$
<¿├!╧╨─/%:."5;.5<P. └╫╪"▐v╫╪#(╧╨@<íë
`║7:."5;.5<%'_(╧╨BQaW╣GH%
(_*+!*+,-
$)
!
╧╨─/%:."5;.5<@
.└(EFGH
)*─
┼┤%
)r─
┼┤%
╞┼┤%
<íë`║7:."5;.5<%'
_(╧╨
)*─
ubF5à╟
)*─
bF5à╟
╚)à╟
!!v{R┬!89ab╧╨─P.└╫╪"▐v╫╪#(╧╨!
"$#/%."-".-$( ""#/%-"."59.-9( "&#/%,."-$".5#!
_`╧╨─P.└╫╪"▐v╫╪#(╧╨@±W╣(<íë`║7_
(╧╨(GH!z:ë`Ög╠°ºhñ═∞ñ═"▐Γ/#("#!8z≥
≤ë`Ög▄5<íë`║7_([\ƒ!
,!5║7."-".-7%'π/_([\ƒ!"üú]α╞'.$#
%QR&' ) "!{'ë`Ög/%."-".-7(R┬!
R&' ) "
αß{'(╧╨─!,╦@.└(╪>(ÄâäY.$P."!v^
,.$$."!
y)▄5.$([\ƒ!
"$#IJ:'%
m.%-"s!/#'(m.%-$s!/$'!≡)-"$. $-$
$!
!
!"!#$%&'
TUL!/╠. (ñ═∞Γ/!Sz
-"$.$$-$!
""#%-"P-$(/2g-$.)"/2gY-"-$
"
#!ÿ▓cªΘ/
ߟ!
m.%-$.)s!/%"-$.)#
"-"6"-$.)#-7%-'.9)$'(
m.%-"s!/#'!)-"$.$-$.)TUL!/╠. (ñ
═∞Γ/!Sz
-"$.$$-$.)!
"&#%-"P-$.)(/2g-$.9)!ÿ▓cªΘ/▀ƒ!
m.%-$.9)s!/%"-$.9)#
"-"6"-$.9)#-7%'.)7")#
'(m.%-$.)s!/$'!)-$.9)$.$-$.)TUL!
/╠.(ñ═∞Γ/!Sz
-$.9)$.$$-$.)!
",#%-$.9)P-$.)(/2g-$.7")!ÿ▓cªΘ/▀ƒ!
m. % -$.7") s!/% "-$.7")#
"-"6 "-$.7")#-7%
-'.$'#&9)$'(m. %-$.9)s!/#'!)-$.9)$.$
-$.7")TUL!/╠. (ñ═∞Γ/!Sz
-$.9)$.$$-$.7")!
.$2-$.9φY]α╞'.$([\ƒ!
!!5²ê/."]α╞'.$([\ƒ!
1 │
$!C╗qr1`#"Q4.puw #aSuw$#NO!2τå/0!
#$$/%"."-&.)
#"$/%-."58.-$7)
#&$/%&."57.5,)
#,$/%$
"."-.5&!
(_*+!*+,-
$"
!
"!A╔341`/%-$
"."5.5"#"Qm≤⌠!]àB-$
"."5.5"%'
-&m,┤╡#i#z{O!#▓e│L('.$$
"ç"ê#
2 │
$!]àB."-".-"%'#Hdi#z{O!#▓e│L('.$$
"!⌡÷ 1b≈"°#"Q!]àB-$
"."5.5"%'--"m-$┤╡#i
#z{O!#▓e│L('.$$
$#
!
!"!#$%&'
!!F!UVWX
)!YWZ[\
ë`ÖgóE<~┼ÿ(Ög_`!≥≤ë`Ög(R┬!8züα├
zë`Ög("#!|⌠<!⌡█(ⁿa┤ê!?bn√yz +g4ü
é,(┼ÿ)!
$!ë`Ög/%:."5;.5<(R┬ó<q╧╨─!?q╧╨─G∩ü
─.%-;
":W╙!╦(╤>âäY"-;
":!,:<-;"
,:
#!m:#'s!╧╨─«
╚C+!í┬C+cI6d!╤>ó-╞>(m:$'s!╧╨─«╚Ca!
í┬CacI6d!╤>ó-╔>!
"!ë`Ög/%:."5;.5<("#8f6╦(R┬pe'▄!äf|
e╟%
m:#'s!)W╙└.%-;
":(▐┬!/ ╠. (ñ═∞
()
(_*+!*+,-
$$
!
W╙└.%-;
":(▌┬!/ ╠. (ñ═∞
(m.%
s!
/-/%
!
m:$'s!)W╙└.%-;
":(▐┬!/╠. (ñ═∞
()
W╙└.%-;
":(▌┬!/ ╠. (ñ═∞
(m.%
s!
/-═%
!
&!█σoHgU5ë`Ög(cªΘ!8z█vI(║U%<óUV
M>(âä!9±ÿ▓<¿cªΘ/%:."5;.5</!5G∩:!;!<(
Mí<`║7│φ8(ëóUVí>(âäPW╙└!9±ÿ▓cªΘ/%
:".-=#
"5>/!φ85Γ!
,!5<íë`║7([\!ó}█<íë`║7@ë`Ög(GH!
≥≤ë`Ög(R┬αo<íë`║7(TU!f6g=h[!ü╞i╞
╩é]7ÿ5([\Yj!
)!)█ë`Ög⌠ⁿa┤ês!k╘ÿWⁿa┤ê¥₧αßPnS!
lδ|cª'╫╣(ghGH!zαoë`Ög(cªΘ!¥∞}█ë`Ö
g(R┬▐"#⌠ⁿa┤ê!
_!hijk
$!){ë`Ög(R┬s!ÿ)W╙└(í┬W╙├m%@X=>!
"!)⌠@╧╨─BG(ⁿa┤ês!ÿnO∩≡±m(üéâäH!
&!)}█ë`Ög⌠ⁿa┤ês!°ºh(%ƒTUoÿüéA√
┤ê▄αo!
1 │
$!9:-xH)Zkl8ID╗qr═b341`#"Q!2ij"Q║
╗DE*#FGà┼%╬Hpm^1kl!
#$$/%-$
&."5"4/%-$
&."-"!
#"$/%$
,#.5$$
"4/%$
,#.-$$
"!
$%
!
!"!#$%&'
#&$/%$
&#.5$$
"5&4/%-$
&#.5$$
"5&!
"!║╗qrDE*#FGà┼%╬Hpm^1kl!2C╗341`#█
y#a█z$O!
#$$/%."5".-&)
#"$/%-."57.5")
#&$/%"."-&.5))
#,$/%)."57.!
&!D╗341`/%-."5".5&#"Q!2ij"Qm∙qr·°!
#$$║╗DE*#╬Hp%^1kl%4.pm/ p#w1kl!
#"$[.-|iPQI\!/I. #JyKJy" [.-|iPQI\!
/I. #JyK√z"
#&$[.-|iPQI\!/#'"
#,$[.-|iPQI\!/$'"
,!341`/%:."5;.5<#÷9╬▄O!q¢&
.
*
-&
-"
'
$
&
)
*
/
*
9
'
-8
-#
-)
9
*
╚φ#" Q # ╬H p C .%
)[ .%" \!╬▄# 1 ` O
/%
!
)!ijqrst!]╗DE*#¢¡5!
#$$DE*/%:."-,.5<T}-1!4.pw)H1)#-,!'$!
#"$DE*/%-."5;.5<#^1klC#"!$$!
#&$DE*/%:."5;.-&T}1&#$!-,$m'#"!-&$!
7!RS341`/%:."5;.5<#"QT}1&#-$!-$$!'#'!"$!
(#$!&$!
#$$]╖d341`#¢¡5!
#"$D╗╖d341`#"Q!
9!]H:34àB."5".-$'%'╦i#z{O!#▓e│L('.$$
8!-$%C8*+#y&@!ⁿ╨Hd$%C.*+ #z&!²q÷9#á
╙C/*+"!
#$$⌐║╗╔.¢£/ #1`¢¡5!
#"$[.C░O\!²q÷9#á╙;-■y&á╙#H$"
(_*+!*+,-
$&
!
#!zå╫ ╢Hd0Z?#!∙"#!-╖d0Z?@!oC.*+#W4
╖sW.#ò┤mC7'*+!Σ╖d0Z?#á╙CE*+"!
#$$⌐║╗E4. ┤╡#1`785!
#"$[.X«G\!╖d0Z?#á╙E █y" █yá╙;«Güà
▌░"
$'!▒π$%1&╤!ö.'#ò_=#+$m\╡J#I$(∩785=%I'J-
$
"KJ"#'$J3"$!╖π$%1&╤BI'%"'++I#)*_.'!K N
$'++I"!
#$$╖π$%-¥á.1&╤!T}«o\╡+¥á$)+"
#"$-$%1&╤#$.)IF$.8I╖T\╡I!$%;.'+;q,"
⌐τå/0!
2 │
$!RS341`#"Q}1 '!&
"
#
" !^1klC#-$!"$!
#$$]╖d341`#¢¡5!
#"$]Ç&╬-·.` 0!1 -#0!-0"$√S-╖d341`#"
Q.!
"!DE*/%-."5"8.58"-##8C/`$T}kl-13^1-≈H01!
KLMúDE*b╬▄#1`785!2║╗ö^1kl!
&!▒öæ23f4A/öæ$''5![;5öæ#627C&''':\!
Vò╛÷2╗);5öæ#627;╫ò)':!SV2╗#öæ╒J8
$5!;5╬2╗#öæ69┼:C$'':!
#$$⌐╔;5öæ#627.#:$¢£öæ23f4#6;</#:$!
#"$[;5öæ#627C«G:\!öæ23f4#6;<█y" █
y6;<;«G:"
! "ç,ê#
,!A╔¥=ÉΣoà?êΓ#¥á&'()!RSoà
?êΓ¥á#oC$''+!ûC8'+!"σΣ¬!
"b£!êΓ#╣ZîCz╦à?!⌠⌡÷9C╣
doà?!╣doà?#û√Xz╦à?#W
o!⌠⌡÷9É>?¥=!öΘ÷9É@?¥=!
$'
!
!"!#$%&'
#$$!e╫EÉ@?¥=#á╙C)"''+"!hioà?êΓ╣Z#z
╦à?#Wo▄C«G░"
#"$!eÉ@?¥=A╫#:╔C&':+üà░!É>?¥=A╫#:
╔C"':+üà░!hi[êΓ╣Zz╦à?#WoC«G░\!
ÉêΓ¥á#B:╔█G" █G:╔;«G:"
H │
$!!"!-&&'(@!'(%"!'( W.#ò&)%$!" ;'( W.-·
H1!"2*&'!w&(12!"5*&(!w&' 15!Σ'"%.!
&"25 #á╙CE&"25!
#$$║╗╔.¢£E&"25#¢¡5!
#"$.C░O\!E&"25█y"
"ç$ê#
!!!
"ç"ê#
"!╔x=yz#╦àεCßD4E°û!"#$$%"#"$%"#&$b£#.'
c░ε!2┬F╖=#GHIJE°q╨!Σ≈8d"?@K/╦àε
CßHd!
#$$֛&
8
$
"
&
,
*
H
*
#"$RSH;8 #341`!]╖d341`#¢¡5!
#&$≈$'d"?@#╦àεCß/«Gd"
#,$;⌐µ-▒d"?!φ╬▄#c░ε0$99'd╦àεCßbû"
└µ-!C╗φ;≈cd"?)└Sµ-!⌐τå/0!
 
６０
　
数学　九年级下册
　　在现实生活中，有些事情事先我们能知道它们一定发生或一定不发
生，但对有些事情是否发生，我们事先不能作出肯定的回答，它们有时
会发生，有时不会发生，发生与否具有随机性．
　　观察下列摸球试验，思考相应的问题．
试验１：Ａ盒中有１０个大小和质地都相同的红球，搅匀后从中任意摸
出１个球．事先能肯定摸到的是红球吗？能摸到黄球吗？
试验２：Ｂ盒中有１０个大小和质地都相同的球，其中６个是红球，４个
是黄球，搅匀后从中任意摸出１个球．事先能肯定摸到的是红球吗？能肯定
摸到的是黄球吗？
试验３：Ｃ盒中有１０个大小和质地都相同的球，分别标号为０，１，…，
９，搅匀后从中任意摸出１个球．摸到球的号码有多少种可能结果？事先能
肯定摸到球的号码是几吗？
在试验１中，由于Ａ盒中全是红球，所以摸到的肯定是红球．我们说
“摸到红球”是必然发生的事情．由于Ａ盒中没有黄球，所以肯定不会摸到
黄球，即“摸到黄球”是不可能发生的事情．
在试验２中，可能摸到红球，也可能摸到黄球，事先不能肯定摸到的是
红球还是黄球．我们说“摸到红球”和“摸到黄球”都是随机发生的事情．
在试验３中，标号为０，１，…，９的球都有可能被摸到，共有１０种可
能结果，但事先不能肯定哪种结果会发生．
(_*F+!./01%23
%)
!
)<oqra!w╒x≥(*╧╒╓lmjn"*@>4C<=@N@=4#!v8t
x≥(*╧╒╓opqjn"
<+DEII<M?@@N@=4#!8tx≥┌8tvx≥(*
╧╒╓rsjn">C=KE+@N@=4#!w╒*rPv8t*rz╙Yαo*r!
²Q!)▀Z$/!+p╞╖",ów╒*r!+p╞u",óv8t*
r!╦╠Aóαo*r!)▀Z"/! +p╞╖",P +p╞u",Aó╠
x*r!
!!W∩▀Z&!u'ab*r/! !ów╒*r! !óv8t*r!
 !ó╠x*r!
"$#p╞"(╦vvP6#!
""#p╞"(╦vY7!
"&#p╞"(╦vY$'!
",#p╞"(╦vY{g!
Y║╥╜░!<¿█═f|}~&!'!(!-cT*r!²Q!)
▀Z&/!8, &% +p╞"(╦vY{g,!'% +p╞"(╦vYÇ
g,!*r& P' Aó╠x*r!
)yⁿüé/!â)═h(╠x*r!²Q%
"$#╧ä<àåç!åç∞├╓! +aKê+,P +pKê+,Aó╠
x*r!
!!!
""#+¼φ+!/9)ë=B╪fë╦è(φ╚+÷╞╖è,ó╠x*r!
"&#/;ïîì∙ÄÅÄÉæ!+─φÆ─,ó╠x*r!
",#Ö<ôötèò/$Oûù<V!+R█ÿÖP6&'''0,ó╠x
*r!
!!$!u'ab*r/! !ów╒*r! !óv8t*r! !ó╠
%!
!
!"!#$%&'
x*r!
"$#)äδ═6Üa!τ)$''Ps¢£!
""#C╟/╧ä<=¥₧"!"∞╞├K!
"&#)╤Bƒ6(áíóú/!ñÑt5<!
",#╛B,=m⌐(█⌐mªê!╠O(<=╛F!(/aα╛F!
")#뺿#$%º¿<`!;⌐Y$'¬!
"!^t╟u'╔=╠x*r(²ú!
1 │
╬qrKL@#Mt!9:C╗Φ2;NyMt!Φ2;S¼V
Mt!Φ2;I7Mt!
#$$Ü$!"!*!$'@-·┌Ond`!
&% 'nd`#m;ny`()'% 'nd`#mX"$()
(% 'nd`#≤;P`())% 'nd`#╙X$)(!
#"$ÜQ/&dR₧!$dS₧#Tt@-·N╗"d₧!
2% '"d₧√;S₧()
5% '"d₧√;R₧()
6% '"d₧@/R₧(!
#&$?Uuz#)hVW@»/$hV₧FX!
7% '-·Y╗$h!₧FrX(!
2 │
$!HdZt@Q/&dR₧!"dS₧!$d@₧!Ü@N₧!ΩδqrM
t;|iMt!
*r
}~
*r
}~
'$(╪┘$─┌!█9▄┌
'"(╪┘$─┌!█9▌┌
'&(╪┘"─┌!▐9▌┌
',(╪┘"─┌!▐9▀┌
')(╪┘&─┌!αå)▄┌
'7(╪┘,─┌!αå)▄┌
"![n\]t!⌐Θ─╬[#▓e║╗$dNyMt%$dS¼VMtm
,dI7Mt!
(_*F+!./01%23
%"
!
!!ª╫╦ß9╥╬╔|)Γπn!╨I^╬╔5O═n)¿½zΣ!
UVWX󵥪╫╦ß╬╔5O═n¿½6#
!!$!)!"v½s!f6äåç!za&pKêC▄⌠o¼╘¡Σ!t
?Y?N║Θ═J3$
"!+¢/B«,ów╒*r■ó╠x*r$ +»8tÿa«,ó¡¼O$
!!!!
ä<à#├ús(åç!∞├╓+aKê+,P +pKê+,Aó╠x
*r!╦╠x≥(8t"╫I!+¢/B«,ó╠x*r!+»8tÿa«,
ó8*r +¢/B«,x≥(8t"π═!
!!░ú/B═/&#├─░╫I()="!±/&=ó╖"!"=óu
"!Ö/$Op'$="!*r&% +p╞╖",!'% +p╞u",!
"$#()%*r& P' x≥(8t"═/╫I3$
""#n│╓p"▀Z!bp'$="!╙a"(▒ô╓▓ä░ú/!r
s╓╟¥₧a<`p"!b│┼│"'`▀Z!╙┤*r& P' x≥(`
%#
!
!"!#$%&'
g!╡ùå│(p"üú|efac"▀Zù`gve∩"''`#%
*r
&% $τf▄┌% '% $τf▌┌%
ΦΘ
x≥(`g
Æ▀Zù`g(╢nv
"&#*r& P' x≥(`gÆ▀Zù`g╢nv(═/B¡¼Q╖$
",#t█í=gno▌{*r& P' x≥(8t"═/3$
╓8`┼│▀Z!Qú*r& x≥z0 `!½¼g0 ╒╓*r& x≥
(t!"L>@JB@=*F#!vƒ0
8╒╓*r& x≥(tu">@?C4<N@L>@JB@=*F#!
*rx≥(╕Ñ!)ëN77+pez*rx≥(8t"═/!
)+K +<╜GH,(p"▀Z/!$Op'$="!B)N8tü
ú!p╞b="(8t"═/╫I!φp╞b="ABε8t(üú!╥╠
8z█$
)▄▌{p╞b="(8t"═/!∩ó8z█&
)▄▌{p╞╖"(
8t"═/!█"
)▄▌{p╞u"(8t"═/!
!!╥╠█<=g▌{╠x*r& x≥(8t"═/!?=g╒╓*r&
(vu"D>EMCM<?<4F#!╙σ""&#!
Qú<=▀ZB8Nε8t(üú!*r& Z[±/(> Nüú!½
¼*r& x≥(\ÑY""&#%>
8!
$▒<=*r& Ap!'3""&#3$!w╒*r(\ÑY$!v8t*
r(\ÑY'!
,)!B$'╣aKnofB$!"!-!$'(║Y!╗KRF╫I!9║Y
╗Kê+bn╝s╓!Ö/╠xû%$╣║Y!Γ╞<=g!,&%
+Γ╞(gó),!'% +Γ╞(góÇg,!(% +Γ╞(gty&Ω
╜,!5*r&!'!(x≥(\Ñ!
%▀Z╬B$'N8tüú!b=gyû╞(8t"╫ε!T& Z
[$N8tüú!' Z[)N8tüú!(Z[&N8tüú!
Sz
""&#%$
$'!""'#%)
$'%$
"!""(#%&
$'!
(_*F+!./01%23
%$
!
!!$!░ú/╛B$'="!╦╠╜▒ôO─░╫I!±/)=ó╖"!
&=óu"!"=óû"!Ö/$%$="!,&% +%╞╖",!'% +%
╞u",!(% +%╞û",!5*r&!'!(x≥(\Ñ!|ä)R/!
"ç$ê#
! "ç"ê#
"!QR!<=8z:$(3┐!±/8=└4
(3ZéA╫ε!
"$#:$3┐!ε3┐Bas!u┴∞) N
▒ô15(8t"-═$ ^89δτ!
""#no5u┴∞)╖ô15&┬ô15Pu
ô15(\Ñ!
1 │
$!-HdΣ/wµÑª^#íG!R^_J,'I!>^_J7'I!w`▀
é!-╖díG!'a(R^(m 'a(>^(!ΦdMt╥▄#¼V≤
y"
"!Ül/`b$!"!*!8#8cd┘@!-·eN$c!Σ&% 'N("
#f`(!'% 'N(&#f`(!
#$$Mt& m' Φd╥▄#¼V≤y"
#"$Mt& m' #g?═;«y"
&!HdZt@/"'dJ?ux#₧!ö@$"d;R₧!8d;@₧!Ü
Zt@-·N╗$d₧!]N╗#;R₧#g?!
! "ç,ê#
,!hijk&!"b£!1l@╡#┬m!╗A`b&!
¢å%Q8d56@/&\¥i!-·1l╖8d┬
m@#Hd!n.¥i#g?;«y"
)!Hopqrg/),c!s9tu╤Ü@-·eN$c!
Σ&% 'e(yvr(!'% 'e(wxr(!(% 'e
( Qr(!)% 'e(w?#r(!╒Mt &!'!(!
%%
!
!"!#$%&'
) ┬╥▄#¼V≤yzÜz(yyrC
!
2 │
$!╒z─\{ R1STUR1SVHW#`ⁿ$#═b|║-$$cd┘.!s9}
u╤-N$c!]qrMt#g?!
#$$N(b| R!
#"$N(b|X!
#&$N(:~b|!
"!⌐ΘΣ¬HdY₧KL!E 'Y(R₧(#g?C$
"!'Y(@₧(#g
?C$
&!'Y(S₧(#g?C$
7!
/9P/;╓äåç├─!
9<à#├ús(åçΩäí`!QúAóaKê+!½¼/9┼(Q
ú<`aKê+&<`pKê+!½¼/;┼!?=├─═J3$
!!!!!GI¼(α>!!!!!!!!!!!HI¼(α>
!![n4Ç!/0π¼V
▓e&'n 4 √; ╦á ü .(
'H 4 ╦á ü .%H 4 é á ü
.( 'n4√;éáü.(!╖
0dMt#g?uX!√;$
&!
jk;fü#!
!
!!â u } [ n 4  Ç # K
L!- $'' 4 ε ä K L @!
'H4╦áü.%H4éáü
.(#à?åå≤'n4√;
╦áü.(#à?y!âRC
jkSfü!
$!G&Hí╢I¼xczå°(α>!tIO¼(α>$
"!CDAkó<=═J(├─$
ⁿa+!)x⌡├─/!W∩í=*r& P'!QúQo& x≥!G
┼!' x≥!H┼!½¼m*r& P' (\Ñ╫εs!├─ó═J(!R
T!┴v═J!
(_*F+!./01%23
%&
!
!!!!R&$ " $
QR&$ " $!äí`åç!
"$#B╔Nε8t(üú$
""#""í`aKê+#%
(
""<`aKê+!<`pKê+#%
(
""í`pKê+#%
!
"&#W∩/9P/;S╓(äåç├─!Qú├─v═J!CD╞╟├
─QT!8R±;Y<=═J(├─$
!!G&Hí=qú/å╛BM╣noä╙$!"!&(║Y!noÖG&H
í=qú/╠xû%<╣!╙┤+K(g!|█"0!8#cT +Gq/û%
(║Y+(gY0!Hq/û%(║Y+(gY8,?<üú!
"$#?D( +gW,╬BïeN8tüú$
""#9SB?D( +gW,(8tüú:W╣(íg[Pe▓ac%
8tüú
íg(P
"&#""íg[PY{g#%
!""íg[PYÇg#%
!
,!!<╚╔╩╦╜r +═&/╠,╓╬B)"╣!bn═s╓Ö/$Oû
%$╣╦!
"$#û╞╖Z╦(\Ñóï═$
""#û╞1╦(\Ñóï═$
"&#û╞╖ô╦(\Ñóï═$
%Ö)"╣╔╩╦/$Oû%$╣╦!╬
B)"Nε8tüú!±/û╞╖Z╦
(üúB$&N!û╞1 ╦(üúB,N!û╞╖ô╦"╖Z╦
$&╣&║æ╦$&╣#(üúB"7N!Sz
%'
!
!"!#$%&'
""û╞╖Z╦#%$&
)"%$
,!
""û╞1╦#%,
)"%$
$&!
""û╞╖ô╦#%"7
)"%$
"!
!!$!G&Hí╖╓äåç├─!ä<à#├ús(åç!∞├╓!aK
ê+!G┼(pKê+!H┼!╬äz$'`åç!üúB7`aKê+!
,`pKê+!H?Y?=├─v═J!tIOq(:U3$ ^88t(
δτ!
"!QRST(:┐!M=└4(3ZéA╫ε!:$3┐!εBas
αßu┴Ba(15!
! "ç"ê#
G(α>%Qú¢&`u┴AB)╬ô15!a
<`B)╬ô15(\Ñ⌡º═!
H(α>%┼│▀Z&`!<o⌡B<`B)╬
ô15!
╧(α>%u┴B)╖&u&╬M=15(\Ñ
╫ε!
t?Y¼(α>óaα($
1 │
$!,₧≤çê!ëç#nèµ}[HïÇ■îW!!e╦áü.!hi
ìèZF₧a┌O▀Äà┼)!eéáü.!hiÅèZF₧a┌O▀
Äà┼!╖πîW#à5fü{" C|i"
"ç"ê#
"!-ÉHæ│8@#jk@!ë4ÆMZSSÆúæ
│#8@!ô_ö╫]!Ü"@#,cd┘@-·
òû$c!E²q#d┘Ü[(]*ûHd05`!
第三十一章!!"#$%&'
!"
!
该数就是他猜的价格!若商品的价格是!"#元!则参与者一次就能猜中
的概率是
!
$!掷一颗质地均匀的骰子!观察上面的点数!设"% "点数为偶数#!#%
"点数为奇数#!$% "点数能被$整除#!分别求事件"!#!$的概率!
!!在一个有!#人的班里!&"名女生中有'名共青团员!((名男生中有"名
共青团员!随机选择&名学生!求下列事件的概率!
$&%选到女生!
$(%选到共青团员!
$$%选到女共青团员!
) 组
&!甲和乙用$张同样规格的硬纸片做拼图游戏!硬纸片正面如图$&%所
示!背面完全一样!将它们背面朝上混匀后!同时抽出(张!游戏规则
如下&如图$(%!当两个图形可以拼成电灯或小人儿时!甲获胜'当两
个图形可以拼成房子时!乙获胜!你认为这个游戏规则公平吗( 为什么(
!&"
!!!
!("
!第&题"
! !第(题"
(!如图!一个圆被分成&(个等圆心角的扇形!假设
投一次飞镖一定命中圆内区域!而且命中每个扇
形的可能性相等!请你用红)黄)蓝三种颜色对
某些扇形涂色!将这个圆设计成一个飞镖盘!
要求&投一次飞镖!命中红)黄)蓝区域的概率
之比为&*(*$!
&*
!
!"!#$%&'
!"#$%&'()
$9ù«@»!/2ö╬░▒@#·°╥▄r▓≈!ö@#Hd·°
; '│7 9 g · °(!! P ┤M ⌐╡` ╢` ⁿ Æ ╖╕d #XCI*C?$m
:╣#Z@>+C4$!n5`ⁿÆ╬╖d·°▀érR║#╗≈!2█╝m┤
r╖d·°!╖d·°#m┤)╘▌≥rg?≈#╜▄!
╨╤║"$7"&$$77"#
!!!
╥╙"$7'$$$77)#
╛{ '│79g·°(#Hd┐t!q&
ì%ÅnÜ└≥Ö▀é┴┬₧≤ç!Σè7'':├7!GMZú&─
#└≥Ö╒┌W╛÷├7!nö.ªu[!ARçó&─!ì"Y$┼Z!
$\≤ç╞╟╝╚!╖7'':├7<=9gUfü"
üî9g!ìSx·!╛÷╔ì!╬ÅSfü!;!/ö╫╗r┬
Rú─`#≤┐9g#àσ&ìW09┤3!,'':)ÅW09┤H!
"'':!╖dàσ¢á.╩{fü!╦║#fü{"
Σ╠IJ≤ç!≈╣─≤çìúaÅú#g?═C'.)!!eìú!
hiì╒Zú&─┌W╛÷├7)!eÅú!hiA╫▀é≈╠─≤ç!
══/'.)#┌ú7┘!B┤!└IJ≤ç!ìZú&─#g?C'.9)!
ÅZú&─#g?C'.")!╞$├7▄┬█╝┌úg?#≤┐9g!ì
W,)':!ÅW$)':!
g?4╤¬#H2g╬mv\à`!╧╨ô╫╔│░möG╤¬"#!
Iτö╛#║┘.╤!öPA╫rm═πSLMA0@╥K#NyGH!2
╔`ⁿà`σ╙═π▓e╗A#¼V≤yz!ÜK▓▄rg?≈!2E┤╘
╒╥╓ûCHX╫╪#ⁿ┘!A-!g?4╤¬#à`╕<┌█(═d┼¬!
2ê▄▄╔ny┘ⁿ%T▌ⁿ%▐ⁿ%7▀%ôαßFö─┘ⁿ@!
(_*F+!./01%23
&)
!
!!╤äà╔╩å5Ωmª╫╦ß!δ=∞¿Yφε∩≡!W╦ß5±
≥≤⌠Θ⌡≥!wx!±≥0⌡≥|)345./6#
╥╠V▄!ä<à#├ús(åç!∞├╓! +aKê+,P +pKê
+,(\ÑAó$
"!
d=/│noä<àåç)'`P)''`!zj +aKê+,x≥(╕
gP╕Ñ!üúQac%
/│╘╦
8%)'
8%)''
╕g
╕Ñ
╕g
╕Ñ
$
""
'.,,
")$
'.)'"
"
")
'.)'
",#
'.,#8
&
"$
'.,"
")7
'.)$"
,
"9
'.),
",7
'.,#"
)
",
'.,8
")$
'.)'"
9+K(▀Züú█┴─zjRcT!QR&$ & $!
R&$ & $
&!
!
!"!#$%&'
!!αßR&$ & $!åab┤ê%
"$#m▀Z`gπ/s!╕ÑB¡¼^ $
""#m▀Z`g»═s!╕ÑB¡¼D(º╬╒╓$
ⁿa+!Wäåç▀Z! +aKê+,(\ÑY'.)!∞╕ÑTABv
αo"!▀Z`gvI!╕Ñ8tvI(φRó╫I`g(vI▀Z!╕Ñ
┌8tvI!m▀Z`gπ/s!╕Ñ(╫$π═!Éó╠┐▀Z`g(ñ
═!+aKê+,x≥(╕Ñ╫$9╪Γ/!g┼┘o╞'.)┌[!?="
#╒╓╕Ñ(┘o"!
!!$!9░»n;$"=/│!█Os2b=/│╓"'`äåç▀Z!╙
┤*r&% +aKê+,x≥(`g!╡ùå/│(▀Züú!efac%
/│╘╦
$
"
&
,
)
7
& x≥`g
/│╘╦
9
8
#
$'
$$
$"
& x≥`g
!!"!Ωδ+c/(g`!▄`▌j¥₧"'`&,'`&-&",'`▀Z!
╙┤*r& x≥(`g!jk╫╣(╕Ñ!efac%
▌j╧ä`g
"'
,'
7'
8'
$''
$"'
& x≥`g
& x≥(╕Ñ
▌j╧ä`g
$,'
$7'
$8'
"''
""'
",'
& x≥`g
& x≥(╕Ñ
(_*F+!./01%23
&"
!
!!&!)R&$ & "/{┴─zjR!cT*r +aKê+,x≥(╕Ñ
(º╬╒╓!
R&$ & "
!!,!αß+K(zjc@zjR!╠┐Ωä`g(ñ3!*r +aKê
+,x≥(╕ÑóQ▒º╬($ óRg┼┘o╞'.)┌[$
!!G∩ä<à#├úsåç(▀Z!ab8UóRaα$ Y¡¼$
"$#+aKê+,P +pKê+,(\ÑAó'.)!Szä$''`åç
<oó +aKê+,P +pKê+,åx≥)'`!
""#üúó +aKê+,■ó +pKê+,!░▐#6!╤B¡¼Q╖!
1 │
$!Ωδqrτ`;⌐╦L!-°╤#ΓªI╓║'╦L(a 'πΣ(!
#$$[Hï⌠¥îu#Ç!'╦áü.(#g?C'.)!
#!!$
&#
!
!"!#$%&'
#"$[Hï⌠¥îu#Ç$'4!'╦áü.(.é╥▄)4! #!!$
#&$[Hï⌠¥îu#Ç"'4!'╦áü.(╥▄#à?;'.)!
#!!$
#,$[Hï⌠¥îu#Ç$'''4!'╦áü.(╥▄#à?╘z'.)!
#!!$
#)$Iτ[Ç4`#Jy!'╦áü.(╥▄#à?╘σµM('.)!
#!!$
"![H\]t!'[╗71(#g?;«y" !e[74]t!hiHM╗
AHd71{" !eu7''4KL!hi '[╗71(╥▄#à?▄╘
z|i`"
&!HπτΦ@├?C$[#!$'''''c@$'''c/├$!ΘΩ$''cτΦ
HM┘@├{" ΘΩ$''''c╖=#τΦ!y▒/«Gc/├"
2 │
╒ndlª9:C$m"#┴┬₧°lHdTt@!ZÜ@-·N
╗$d!δqª∞╤°╨T@!y╤UN╗$dδqª∞!ndª∞┤
m¼VC"!&!,!ΣMt&% 'mC"(!'% 'mC&(!(% 'mC,(!
#$$Mt&!'!(#g?═;«y"
#"$nÜxⁿur$)'4KL!┌W#`j#ndª∞#m$!q&
&,&,&,,&"&
,&&"&",,"&
""&&""&&,,
,",&"&"&,"
&",&&"&&&&
,&&&,&&&,,
","",&&,"&
&,&&,"&"&"
&"&&&",,&&
&,,&&,&,,"
&,&&,""&&&
&,&"&,&"""
&"&""&&,,&
,&,&,&&,&"
&&,&&,&,&"
Σ¬Ä[#¢@!¢£φ¬KL$'4%&'4%)'4%*%$)'4
\!Mt&!'!(╥▄#à?!╔=*╤¬"¢£Mt&!' ╥▄
#à?LMε∩!
#&$IτKL4`#Jy!Mt╥▄#à?;⌐µM(φ#g?O≡z"
W∩äåç▀Z!mΩä`g»═s! +aKê+,x≥(╕Ñg┼┘
o╞'.)!φ╕Ñ┘o╞\Ñ!W∩±q(▀Z!*rx≥(╕ÑóR┌A
B┘o"╩$
QR&$ & &!),╣RY/!"$#P""#!"&#P",#no▀)<╜s!
(_*F+!./01%23
&$
!
åY<=─Ω(Z4RY!9,╣RY╗KC+!bn╝s╓!Ö/▄`$
O%'"╣!t▀;<=─Ω(Z4RFk +;α,!RTk +ßΓ,!
R&$ & &
$!▐üπ}~%*r +;α,P +ßΓ,(\Ñ╫ε3$ Qút?Y
vε! <=*r(\Ñπ═$
"!╓┼│▀Z¥₧ZB!í╢I¼╓z",'`▀Z!üúQac%
▀Z`g
&'
7'
#'
$"'
$)'
$8'
"$'
",'
+;α,x≥(`g
9
$9
&&
,&
,8
7&
78
8&
+;α,x≥(╕Ñ
'."&
jk*r +;α,x≥(╕Ñ"üú]α╞'.'$#!|)aK(ΣdR
/!σmä╙▌7!µ'┴─zjR!
R&$ & ,
&%
!
!"!#$%&'
αßR&$ & ,!╠┐▀Z`g(ñ═!+;α,x≥(╕ÑóR╒∩
┘o$ ┘o) =g┌[$
&!ü'jk +;α,P +ßΓ,(\Ñ!
Ö,╣RY/▄`$%"╣!╥╠█"$!"#cTç<`%╞"$#╦RY&
çë`%╞""#╦RY(üú!▄╚~τ!SB8tüú░ac%
!!!ç"╣╦v
ç$╣╦v!!!
"$#
""#
"&#
",#
"$#
6
"$!"#
"$!&#
"$!,#
""#
""!$#
6
""!&#
""!,#
"&#
"&!$#
"&!"#
6
"&!,#
",#
",!$#
",!"#
",!&#
6
▀Z(SB8tüúB
N!±/!VB
Nt▀;<=
─Ω(Z4RF!+;α,(\ÑY
!+ßΓ,(\ÑY
!
!!═h▀Zc9!╠┐▀Z`g(ñ═!*rx≥(╕Ñg┼┘o╞
╦(\Ñ!▐Φ8\Ñó╕Ñ(┘oƒ!)ⁿa/!╥╠⌠█vπ┘o
s(╕ÑΘj*r(\Ñ!∞▀Z`g.═!Γ╞\Ñ(π]αΘjƒ
(8t".═!
\Ñpez*rx≥8t"═/(Q╖!?=Q╖óτ═h┼│▀Z√
y'▄(!Sz)█╕ÑΘj\Ñs!oÿ╓═h▀Z!?ÿΩ╥═h(s
2!Qú░»I¼éσ!b╖╓$'`▀Z!FSΓ▀Zg`é╜▄!½¼
┴╫m∩╓z,''`δ)''`▀Z!Γ╞(╕у┴π'[\Ñ!
$!뺿│º¿)''`!/∞"''`!Θj╕º¿│(Ö/Ñ!
"!ë#$%φεµ"Ωµ"''`!Ö/$,'`!Ωµ$`!Ö/(\
Ñ═∩Yï═$
!!$!ëN╬≡.▀±≥╠x≤┤z,╢à⌠!üúB&╖R█\.╦(
╬≡.!▀±≥⌡╙% +\.╦╬≡.(÷*ÆBÑY9)[!,?=ü≈8
(_*F+!./01%23
&&
!
ë3$ Y¡¼$
"!ë├1)"''#£δ"'$&£)£2!╬'≥°∙"#&7"╖!±/·
°$,#''╖!`╚noΘj╕├1≥·√P≥ⁿ√(\Ñ!
1 │
$!Crm▒èï±≥#;ï?!0ÆÅ≤\59:▀érΣ⌠!▓e!q¢&
1█E(²ùüú
2█E(²ùüú
H█E(²ùüú
÷≈
°X
∙·
°X
∙√≥
÷≈
°X
∙·
°X
∙√≥
÷≈
°X
∙·
°X
∙√≥
$''
&'
&'[
$'''
")7
").7[
&'''
7#&
"&.$[
ΘRCΦÆÅ≤\5Σ⌠(#;ï?¼V⌡╛L2" C|i"
"!╒HïÇ#Há÷.ª∞$!)Há÷.ª∞"![Çn4!ef[╗#
ndª∞#╙!Σ&% '╙;"(!╬$7'4KL`j▀éP/#▓e!
q¢&
▀Z`g
$'
"'
,'
7'
8'
$''
$"'
$,'
$7'
& x≥(`g
&
8
")
"9
&9
)&
7&
9"
98
& x≥(╕Ñ
#$$╔¬½╩¬½& ╥▄#à?!2╓¢!
#"$ij¢@`j≈ =*╤¬"!
#&$IτKL4`#Jy!à?µM(|i`≡z"
#,$ijà?°¬ '╙;"(╥▄#g?!
#)$)╘¬½ '╙;$('╙;"(m '╙;,(#g?!
2 │
!!╛┐&d┴┬₧!9:l.ª∞$!"!&!°lTt@!┬qr╫
]uY₧KL!2GMY($ª₧½ 'û∙(!
#$$ì%Å%·0ö┬ì4Å4·#√Mⁿ²/°╨¥D4Y╗$d₧!
É╠ì%Å%· 'û∙(#g?═;«y!
#"$╛Üxⁿ9C$'b!;b┬GMu&'4εäKL!■B╛Ü#K
L`j!¬½ 'û∙(╥▄#à?!LÇΘ#É╠;⌐╦L!
&'
!
!"!#$%&'
!!Uⁿr─ª╫∩≡v))²─FO═5■ⁿ!]^OP╗W₧J!
 !∩≡5<)O═■ⁿ"╦ß<#$5O═■ⁿ!'%Θ&╦ß5
⌡≥!
QR&$ , $!<=#├ús(aiK√"i=KAóεΣMé4#!i
=K+noäBg~$!"!&!,!Ωä?=aiK√!╒╓αß■K+(
g~!
R&$ , $
!!$!Ωä<`!BïeN8tüú$ ╦╠x≥(8t
"╫I3!\Ñåóï═$
"!Ωäí`!╬BïeN8tüú$ Q▒cT?!
8tüú$
&!Q▒jkíg[PY"!&!-!8(\Ñ$
Ωä<`!B,Nε8t(üú!╦╠x≥(\ÑA
ó$
,!
Ωäí`!B$7",6,#Nε8t(üú!█"0!8#cTí`Ωä(ü
ú!±/0 Yç<`ä'(g!8Yçë`ä'(g!0 P8 no8tó
$!"!&!,!SB8t(üúz:W╣(í=g(P8no█aK(cd
cT%
!8
0!
$
"
&
,
$
"$!$# "$!"# "$!&# "$!,#
"
""!$# ""!"# ""!&# ""!,#
&
"&!$# "&!"# "&!&# "&!,#
,
",!$# ",!"# ",!&# ",!,#
!
5
$
"
&
,
$
"
&
,
)
"
&
,
)
7
&
,
)
7
9
,
)
7
9
8
(_*F+!./01%23
&(
!
Öc/8z:'!Ωäí`Sx≥(8tüú:W╣(í=g(P!
Q%Ωäí`!*r +íg[PY,,Z[&Nε8t(üú!noó"$!
&#!""!"#!"&!$#!Sz +íg[PY,,(\Ñó&
$7!
!!WΩäaiK√(▀Z!no5'íg[PY"!&!)!7!9!8(\
Ñ!|e▓aK(cd/!
íg[P
"
&
)
7
9
8
\Ñ
!R&$ , "
,!QR&$ , "!i=«G<9/Bí=å 
'<!è!"í=<9 '<=x#╛F!
m&$<Wí=<9>;í!ès! +%G
;α,(∞V ÿ < & < = < 9!┴⌡x '
+%G ß Γ,( ' #!5 +% G ; α,(
\Ñ!
%v^,$╦!"╦<9å '<!è!
&$<í=<9"vå4<9(_╘#(SB8tüúbcQa%
<9ÿ╦
$"
$&
$,
"&
",
&,
üú
'(
)*
)*
)*
)*
)*
SB8tüúB7N!╦╠Aóε8tx≥(!∞±/VB<Nü
úY +%G;α,!Sz!""%G;α#%$
7!
!!Wwö +<╜GH,ΩäaiK√(▀Z!5ab*r(\Ñ!
&% +íg[PYÇg,!
'% +íg[PY{g,!
(% +íg[P═∩),!
)% +íg[PY&((g,!
８０
　
数学　九年级下册
Ａ组
１．将四个面分别标有１，２，３，４的正四面体连续投掷两次，用两次投掷底
面上的数字按投掷顺序组成一个两位数（第一次掷出的数为十位数，第二
次掷出的数为个位数），求下列事件的概率．
（１）这个两位数是偶数．
（２）这个两位数是奇数．
　（第２题）
（３）这个两位数的个位数和十位数相同．
２．如图，将一个圆盘等分成三个扇形，分别标上数字
１，２，３，指针不动，转动圆盘两次，等圆盘停下
时，由指针指向区域各得到一个数，把这两个数组
成一个数对（犿，狀）．
（１）用表格表示所有可能结果．
（２）分别求两数的和是２，３，４，５，６的概率．
（３）分别求两数之和为偶数和奇数的概率．
３．“锤子、剪刀、布”是一个古老的儿童游戏，三种不同手势分别代表锤
子、剪刀和布．规则是：锤子胜剪刀，剪刀胜布，布胜锤子；当两人做
出相同的手势时，不能决定胜负．设甲、乙两人都等可能地采用三种
手势．
　乙
甲　平甲胜乙胜
乙胜平甲胜
甲胜乙胜平
　　　（第３题）
（１）求一个回合不能决定胜负的概率．
（２）分别求甲、乙获胜的概率．
（３）用这种方式决定胜负公平吗？
Ｂ组
１．在本节例题的闯关游戏中，如果四个开关按钮中有三个各控制一盏灯，
连续按三个按钮，能点亮三盏灯的概率是多大？
２．袋子中有３个红球，２个黄球．甲先从中任取１个球，取后不放回，乙
再从中任取１个球．用表格列举试验结果，分别求下列事件的概率．
（１）甲取到红球．
（２）乙取到红球．
（３）两人都取到红球．
(_*F+!./01%23
')
!
)<`V)*½/!BM╢I¼A╛Wz!É+.VB<,!¼╣╕Γ
╞?,+.╩$ q╠⌠o█û-(║Θ▄αo!
%&╣═/╫I!noäBg~$!"!&(║Y!bn╝s╓.╞/ú
+!<G&H&╧(_╘!b╖Ö/$Oû%$╣"%╓v▓ä#!Qoû╞
$╦║Y(╖/+!/+(\ÑPû-(_╘BG3$
!!aKóM╢I¼(:U!tIO¼(α>$ ^8't(δτ!
!!! /9(:U!!! !!/;(:U!!!!!!/╖(:U
! ! Z q ) C 0!
!eâZe($ª
d┘!╤á#ö╪
1/7┘r!
!
!!╤╥ ö!!
eêá#ö√1/
e@!7┘╪╛;
â#r!
!
!!@├#7┘;
H=#!4e2#
ⁿ²∞7!
╥╠k╘▄klM╖<╘╓_╘û-(SB8tüú!
█+$"&,cTGû╞$╦║Y&Hû╞"╦║Y&╧û╞&╦║Y(
üú!▄╚~τ!
Gû%sB&N8t!Hû%sB"N8t!╧û%sVB$N8t!
█R4cT8tüú!QR&$ , &!
R&$ , &
!!■8z█Qa(cdbu▀Z(8tüú!
G
$
$
"
"
&
&
H
"
&
$
&
$
"
╧
&
"
&
$
"
$
'!
!
!"!#$%&'
!!IJ:'!M=╖▄`û-!B7Nε8t(üú!∞G&H&╧û╞
$╦║YåB"N8tüú!SzG&H&╧/+(\ÑAó$
&!
QúM=╖03û-!ÉBí,+.!Qoû╞$╦▐"╦║YA8z
/+!TG&H&╧/+(\ÑAó"
&!
*ⁿ+!û-vn╘╓_╘!b=╖/+(\ÑA╫ε!
!!QR&$ , ,!<12+ús├3B╔É3ú!9</"Ö╤â▓▓!
/"4╞3ú╓ε8t├C▐▐C▌∞a!-╓∞▓aK(dú/!
R&$ , ,
!!!!
R&$ , )
"$#R&$ , )cT/"a∞(SB8tφX!W╣bqφX!9/
"-╓∞▓dú(╦vef)Ra║(]╦L!
""#jk/"-╓∞▓$╦&"╦&&╦&,╦dú/(\Ñ!
┬R&$ , &PR&$ , )?D(R4!╒╓wP`"4>@@K<CA>C+#!
ⁿ4R8z┤5├cT▀Züú!)I<6!QúÖb=ö>ε8t├n'
g7╫I(n8!½¼Ω=ⁿ4R(SBn8g7┴ó▀Z(8tüú=
g!∞≡?!üúAóε8t(!
!!äí9:ú!Γ╞í=>g!jkí=>g[P!
"$#)ⁿ4R(]╦Lefσm(g▐üú!
""#}~ⁿ4R(,=n8W╣(*róRε8t!
"&#no5 +>g[PY{g,P +>g[PYÇg,(\Ñ!
第三十一章!!"#$%&'
!"
!
! 组
"!小红有红色!黄色!白色三件衬衣"有红色和蓝色两条裙子"任取一件
衬衣"并任取一条裙子"求它们恰好都是红色的概率!
#!如图"在上排六个房间中的某个房间内放有一个存宝箱""!"$各是一
扇可以打开的门!假如你事先不知道存宝箱在哪里"从"号门进入后"
先在#号!%号!&号门中随机打开一扇门"进入后再在两扇门中随机打
开一扇门"则能找到存宝箱的概率是多少#
!第#题"
%!从""#"%"&四个数字中任取两个"按顺序组成没有重复数字的两位
数"求组成的两位数是偶数的概率!
' 组
"!掷%枚质地均匀的硬币"求下列事件的概率!
$"%%枚全是反面向上!
$#%#枚正面向上""枚反面向上!
#!甲!乙!丙三名同学做传球练习"先由甲等可能地将球传给乙或丙"每
人接到球后又等可能地传给其他两人!画树形图"求三次传球后球分别
在甲!乙!丙手中的概率!
'#
!
!"!#$%&'
*+,-./
$999<!`╢┘ⁿÆ>?#2BLLE=!$9'9$$988$╫╗rHdÖÜ#·
°&-üá.DH2üé*!uënsüé*┤╡#+,√;:!┼╖dü
á.-·ºHo_C*#
*$:$#─!hi─4-Hüé*uw#g?;
«y"
@≥H&u╛{#KL!
-üP#¥á.╔ABDH2üé*!uënsüé*┤╡#+,√;
:#:%&'*+$!╒HioC*#
*%")*+$#Ctº┼üé*b-#ɬ!e
fCtmüé*;⌐uw!δMt&% 'Ct4üé*uw(!
98dzbuºCtKL!;dzbu$''4εäKL!δDMt &
╥▄#4`!¬½Mt& ╥▄#à?!╒▓e╓lq¢!
/│;╦
$
"
&
,
)
7
9
8
éj
Ωä`g
& x≥(`g
& x≥(╕Ñ
@≥3&≤▓e!
#$$T/≈¬½!¼S"#&$%"*
#:!╒:%&'*+!*%")*+ klf5
@!¬½Mt& #g?"#&$!
#"$╔.á;bW(#à?O°¬Mt& #g?!╩╩φP4"#&$#
ΣE9:;«y!
#&$■B═bKL▓e!╩╩8''4εäKLW(#à?;⌐4"#&$
⌡╘z2!
@≥0&]##z{O!
Ct4üé*uw#g?4&%?#/7!╔à?╢Cg?#z{O!
⌡÷"#&$%"*
#:!╪¼B]W##z{O!ij8''4KL#▓e!]##z
{O!
(_*F+!./01%23
'$
!
!!F!UVWX
)!YWZ[\
═Qüé/bpzvαo"!Ç╒/<[┐w╒Q╖!\ÑóyH╠x
y=Q╖"(¼>!
$!)╠x▀Z/!8tx≥┌8tvx≥(*╧╒╓╠x*r!╠x
*r(x≥ABÇ╒"!É)═h┼│▀Z/!?√y'αo(Q╖!█<
=gƒkl*rx≥(8t"═/!?=gƒ┴╒╓*r(\Ñ!
"!Qú<=▀ZVBBI=ε8t(üú!╥╠8zü'jk╫G*
r(\Ñ!}█cd&ⁿ4Rbu▀Z(8tüú!8@≤╥╠jk\Ñ!
&!W∩═h(╠x*r!oÿf6┼│▀Z!█╕ÑΘj\Ñ!╕Ñ
AB┘o"!φm▀Z`gg┼ñ3s!*rx≥(╕Ñg┼┘o╞<=⌠
g┌[!?=g┴ó*r(\Ñ!▐Φ8\Ñó╕Ñ(┘oƒ!█╕ÑΘj
\Ñ!Γ╞(Vó<=[\ƒ!▀Z`g.═!Γ╞πδα(Θjƒ(8t
"┌.═!
,!"$#u²89¡¼ó╠x*r!
""#*r(╕ÑP\Ñ(GHó¡¼!Aÿ1o) B$
"&#jk*r(\Ñ(<¿=>ó¡¼$
",#u²89\Ñ)ⁿa/(⌡█╣█!
_!hijk
)jk⌡█*r(\Ñs!ÿnO▀Z(SB8tüúóvóε8
t(!
)╠x▀Z/!▀⌠█╞( +╠xû%, +#├ús,εC╡!AóY
zªB▀Züú(ε8t"!
'%
!
!"!#$%&'
1 │
$!HdZt@/"dR₧!$dS₧!Ü@-·N╗"d₧!-qrMt
@!Φ2;NyMt!Φ2;S¼VMt!Φ2;I7Mt"
&% 'n₧√;S₧()'% 'n₧√;R₧()(% 'HdR₧HdS₧(!
"!qrτ`╦L{" ⌐τå/0!
#$$NyMt;╥▄#¼V≤Fy#MN!
#"$S¼VMt;cGS¼V╥▄#MN!
#&$!eHdMt╥▄#7┘¡(##.##[!hiφ╪;NyMt!
#,$!eHdMt╥▄#7┘»/H99┤H!hiφ╪;S¼VMt!
! "ç&ê#
&!!";Hd¼B╟≥#& #C─√MS≥$!╥dÑ
?#&'ZuX!╟≥& !Xφ!╚╤!C─C┼
c╪┬ⁿ\─à┼ûc@!W(Hd`b!
#$$9:]W(`bCù`mÿ`#g?!
#"$⌐┴I& @#`b!E 'W(ù`(4 'W(
ÿ`(╝/ux#g?!
,!/ndjk!!e≈HdjkΘ┌ú#g?C'.8!≈3djkΘ┌ú
#g?C'.&!hiu≈HdjkΘHMVJ{!u≈3djkΘHM
┘K{"
)!Ü$'(##╖#'d`@-·┌N$d`!]qrMt#g?!
&% 'N(#;H5`()!!'% 'N(#;n5`()
(% 'N(#;"#f`()
)% 'N(#;)#f`(!
! "ç7ê#
7!hHd╦àεCß#¢á¡.R?!╒ú╦àεCß
9Lû7,dyzux#z╦àε!U╒╖2z╦àε
îu¥}∩-HM!y╤Ü@-·N╗$d!]qr
Mt#g?!
#$$N(#z╦àε═á√1/R?!
#"$N(#z╦àεHá/R?!
#&$N(#z╦àεná/R?!
#,$N(#z╦àε0á/R?!
(_*F+!./01%23
'&
!
9!nbl/b|#d┘═9c!≈Hbl#b|9:CH!T!V!]!U!
W!U)≈3bl#b|9:C U!]!^!_!V!W!T!Ünbd┘@
═-N$c!W(ndb|!
#$$]ndb|ux#g?!
#"$]ndb|√;:~b|#g?!
2 │
$!ÜΘb-Ü¢-┌HÜxⁿ[O╕bo!
#$$+╔|iN`UVôÇ;Üxⁿ√/x=#7┘╞┌("
#"$zåτ!-┌HÜxⁿ!┌(#S;█▄╪;£▄!bB '┌(█
▄(m '┌(£▄(#g?═;$
"!Θx·╖dτ`{" C|i"
"!Cr°¬HO▓│#4│?!zå-·e⌠r$'t▓│!╥A/$t4
│!!°¬4│?C$'[!zü-·e⌠r$''t▓│!╥A/,t4
│!!°¬4│?C,[!Φd▓e⌡¼Ñ" C|i"
&!ì%Åndα╠▄▓xH#ª#Æ╔è╩!ì╠▓│#∩@?C#)[!
Å╠▓│#∩@?C##[!!e8@mö!àá√ux!ΘP·ΘΩΦ
dα╠#▓│" C|i"
,!Üo9:C$!"!&!,!)!7#╥s*T@-·┌O0s!Mt& ¢
£ '╖0s*TVQû0Z?(!¬½Mt& #g?!
)!╬╣┌H#┌O°!RES┘m°!ó╛SÉT/$
,#g?W(╦L
∙σ!CrU╚VÉ!A WX9l╛C&∙σ╦LW&9!∙σπ
ΣY$9#W-$9$!u$''Æ┌O°!ó╛Sɲ!y▒VW«
G9"
! "ç7ê#
7!!";nd¼B╟≥#& #C─
√MS≥!n&@Ñ?#&'Z9
:uX$!x\╟≥nd& !X
φP!q\!& #$$m#"$.#C
─9:C┼Hd`!Σ&% 'n`
┤mCÿ`(!'% 'n`┤mCù
`(!Dp?"]Mt&m'#g?!
''
!
!"!#$%&'
H │
$!zåmz0ZHπjk&ÜQ/&dR₧m$dS₧#Zt@!-·Y
╗Hd₧!!eY(S₧!zåW,9)!eY(R₧!z0W$9!
#$$ΘRC╖djkfü{" C|i"
#"$ªΣZ╖djk,''4!zåy▒¼W«G9!z0y▒¼W«
G9"
#&$!eΘRCjkSfü!hi<=┴IW9l╛Ufü"
"!mxⁿ∩╢!uD["[#KL!9:D[$'4%"'4%*%"''4"
[!δD;H4KL@[\â¥#4`!¬½ '[\â¥(╥▄#à?!
D=*╤¬"¢£à?#LMNO!
▀Z`g
$'
"'
,'
8'
$"' $7' "''
3DE├`g
3DE├╕Ñ
IτKL4`#J8! '[\â¥(╥▄#à?;⌐εµM" !eµ
M!µM(|i`≡z" 0$°¬ '[\â¥(#g?!
(*
!
!"!#$%&'
!!./!0(512«!╓!34#$Ç'34!./534|)3
45566#
╨√)F─(Gºa⌡4;Hú!
èFa│(Hú
!!!!!
ÑFaI(Hú
┐Fa╕JJ┴(Hú
!!!!!
GGèa╖╨(Hú
╨√)F─(Gºa!⌡)ë=JK"KK&├KεS)(JK#+la
╦(Hú!?Ny=┴óΩH!F─óΩH─!?=JKóΩHK!
ñÑPèL(F─8z:╓óÖ<>º'(!┬?D!τ<>º'(F
─Gº)╨√+S4;(ΩH!╒╓RLxy"*@=4>C?D>E`@*4<E=#!
╛┐F─PGGè(F─8z:╓óJ₧(!┬?D!τJ₧F─Gº
)╨√+S4;(ΩH!╒╓z{xy"DC>C??@?D>E`@*4<E=#!
$!QR&" $ $!αßa║4(/ZΩH!mΩHKP╨√(M▓E
Fvºs!Fö\╨√(Φ[@╨√ΩH(═/B¡¼GH$
(_*)+!45#67
()
!
R&" $ $
!!"!mΩHKPFö(EFvºs!╨√(M▓EF@╦(ΩH4┘B
¡¼GH$
$!QR&" $ "!<NJ₧F─Oπ├Gº)├K "ΩHK#+!
"$#≡∩├K+>& Ü(PQ(╔7@╦ΩH(2.B¡¼GH$
""#^tno{'/9R)>' ÜP>( Üs(ΩH"█─«cT#!
|vπq)?íÜΩH(2.!
"&#PQ╔@╦ΩH2(v!/9S╔@qΩH2(v!ëΦ[2B¡
¼GH$
R&" $ "
R&" $ &
"!QR&" $ &!<NJ₧F─µü├Gº)├K "ΩHK#+!
"$#a║4TYM▓EF\]├K(Φ[@╦ΩH(4┘B╤BGH$
""#ma║4TYτJ▓F&Oπ▓FP+≡▓Fs!no8'╦(Ω
H(4┘!
J₧ΩHEnYíN4Θ!<NYΩH─Oπ∩ΩHK!<NYΩH─
µü∩ΩHK!╥╠FΩH─µüGº)ΩHK+(╨√(ΩH╒╓Mx
y"E>40EA>CD0<*D>E`@*4<E=#!R&" $ &/!a║4TY(ΩHAóaΩH!
(!
!
!"!#$%&'
!R&" $ ,
QR&" $ ,!UVa║√(, K@
ΩHKóJ₧(!╦)ΩHK+(aΩH
óiΣ4&D'D(D)D!
"$#iΣ4&D'D(D)Dó¡¼iΣ4$
a║√, KWK(aΩHó¡¼R4$
""#a║√+ KP" K(aΩHno
ó¡¼R4$
"&#a║√U&' PU&2 (aΩH
noó¡¼R4$ a║√╤>& P╤>2
(aΩHnoó¡¼R4$
$!QR!_`═ⁿ)┐Fa(ΩH!{'"<V/ⁿ(ΩH"█─«
cT#!
"ç$ê#
!!!!!
"ç"ê#
"!QR!/9R)φèa!zφèY>Fö!^{'/9"û=Y─
«#)├K+(/ZΩH"█─«cT#!
1 │
$!!"!⌐D╗Hi)è¥á#l¿#º⌡#╔*T¢£$!
(_*)+!45#67
("
!
"ç$ê#
!!!
"ç"ê#
"!!"!⌐ijì¿-]■q#º⌡!D╗Å¿#º⌡#╔*T¢£$!
&!⌐ij"@╔╗#º⌡*!D╗&ï#╦º⌡!
"ç&ê#
2 │
$!┬F"@╔╗#º⌡*!D╗.%qVá√;╦à?#oàε#╦º⌡!
"ç$ê#
!!!!!!!
"ç"ê#
"!!"!zåm!-]■q#⌡t9:B*T&'!'( ¢£!^¿m½9
:B*T)2!56 ¢£!
#$$⌐-"@D╗^¿-xH\_]■F┐q#⌡t!
#"$!e&'%$.7+!'(%".,+!)2%$)+!^¿4½#+,26%
$9.9+!hi^¿#⌡tì-½.#o_;«G░"
(#
!
!"!#$%&'
!!!7┬8Θå!╖/₧Ç5Ç9::9P"#₧ÇZµ¥5!áí
ü34!Oàä╖/₧Ç0"#₧Çz{5b;<=!
$!QR&" " $!▐Σ╔▒√(aΩH"$#!""#!"&#noóÖ╔▒√
( =║C+Γ╞($
R&" " $
"!QR&" " "!W∩W'(╔▒√!å|ä╛ab┤ê%
R&" " "
"$#W∩""#!"&#?í=╔▒√!VÖ╦╠+K(aΩH!╥╠tαo
?í=╔▒√(4┘3$
""#W∩"$#!"&#?í=╔▒√!VÖ╦╠aKP▐K(aΩH!╥╠
tαo?í=╔▒√(4┘3$
"&#W∩?M=╔▒√!noÖ╦╠(aK&▐KP+K(aΩH!╥
(_*)+!45#67
($
!
╠tαo?M=╔▒√(4┘3$
<¿├!█╔▒√(aK&▐KP+KM=vI║C+(aΩH!┴8
z▌{'?=╔▒√(4┘@═/z!
<=╔▒√(aΩH!E╒╓?=╔▒√(|`!ÖaKΓ╞(XR╒
╓}|`!Ö+KΓ╞(XR╒╓~|`!Ö▐KΓ╞(XR╒╓|`!
aK!╥╠∩oKW╔▒√(<KY╔▒√(aK!τ▐C▌║C(<
KY╔▒√(▐K!+üCa║C(<KY╔▒√(+K!
QR&" " &!R"$#?=╔▒√(AXR&YXRP▐XRQR""#ST!
R&" " &
,)!{'QR&" " ,ST3Z(AXR&YXRP▐XR!
h
d
R&" " ,
!!!!!
R&" " )
%QR&" " )!3Z(AXRó<=2║4!2║4(2P╗n
oε∩3Z(╔P3Z■K3(üX(╦(YXRó<=3!3
(üXε∩3Z■K3(üX(╦(▐XR┌ó<=2║4!2
║4(2P╗noε∩3Z(╔P3Z■K3(üX!
)╔▒√(AXR&YXRP▐XR/!AXR8pe'╔▒√(2P
╔!YXR8pe'╔▒√(2P╗!▐XR8pe'╔▒√(╔P╗!
(%
!
!"!#$%&'
XR(M▓EF<¿ó%YXR)AXR(aK!▐XR)AXR(▌
K!|≡╣mó +2Wa!╔J[!╗╫ε,!
$!QR&" " 7!UV3\(AXRP▐XR!^╟{'?=3\(
YXR!
R&" " 7
!!!!!
R&" " 9
"!QR&" " 9!^{'"(AXR&YXRP▐XR!
$!aK"$#!""#!"&#MXR/! XRó]+^(AXR$
"ç$ê#
"!<ÿ5{'ab╔▒√(XR!
"ç"ê#
"ç$ê#
1 │
$!!"!D╗c░ε#ôï"%`ï"m[ï"!
(_*)+!45#67
(&
!
"!!"!D╗╦àε#ôï"%`ï"m[ï"!
"ç"ê#
!!!!!!!!
"ç&ê#
&!!"!D╗.%qVá√;╦à?#oàε#ôï"%`ï"m[ï"!
2 │
$!#$$/1/ôï"m[ï"ó╛ux#c░ε" !e/!⌐/┐τå!
! "ç"ê#
#"$/1/ôï"%`ï"m[ï"ó╛ux#c░ε"
!e/!⌐/┐τå!
"!!"!D╗$₧#ôï"%`ï"m[ï"!
╥╠Fí=■KJ₧&Uµü∩■K(UZ!╒╓üUZ!)╤B^g
89(╧╨a!z╓SuUZAóüUZ!
QR&" " 8STY■KóεΣMé4(MUZ!/9{'(MUZ
(AXR&YXRP▐XRQR&" " #ST!t?Yq{(XRt─░
peMUZ(^ 3$
R&" " 8
!!!
R&" " #
!!
R&" " $'
?=MUZ(AXR/B<q─:v░!╣{;_─!QR&" " $'
ST!
('
!
!"!#$%&'
,!!QR&" " $$!no{'iUZ"▐&▌í=KYa║4#P`aZ
_`"+òó3\!aòó3Z#(AXR&YXRP▐XR!
R&" " $$
%QR&" " $"ST!
R&" " $"
$!QR&" " $&!{'│é√"τ)=╫I(/a║√b;#(AX
R&YXRP▐XR!
R&" " $&
!!!!!
R&" " $,
"!QR&" " $,!{'cd"+òó3Z!aòócUZ#(AXR&
YXRP▐XR!
(_*)+!45#67
((
!
!!$!QR!τ)=╫I/a║√b;(│é√(YXRY!!!!!
"ç$ê#
"!QR!{'■KYadΣ4(dUZ(AXR&YXRP▐XR!
"ç"ê#
!!!!!!!!!
"ç&ê#
&!QR!{'?=│é√"aòóa║√!+òó"!"(üXε∩a
║√(U2#(AXR&YXRP▐XR!
1 │
$!!"!9:C╗]W0a"C[Wb∩ε#0H2╦àεQû$#Φπ
ï"!
"ç$ê#
"!!"!D╗VáC╦╥W?#╥bï#ôï"%`ï"m[ï"!
)**
!
!"!#$%&'
"ç"ê#
!!!!!!
"ç&ê#
&!!"!D╗╖d╩t"##ôï"%`ï"m[ï"!
2 │
$!!"!⌐c╛"@c░ε#0dï"!
"ç$ê#
!
"ç"ê#
"!!"!D╗d|#.÷;$₧!q÷;╥bï$#ôï"%`ï"m[
ï"!
$!QR&" " $)!_`XR!nokl╫╣╔▒√(4┘!
R&" " $)
"!<=╔▒√(AXRP▐XRQR&" " $7"$#ST!╦8tó N
(_*)+!45#67 )*)
!
╔▒√$ <=╔▒√(YXRQR&" " $7""#ST!╦8tó N╔▒√$
R&" " $7
&!í=╔▒√b;(│é√(XRQR&" " $9ST!?=│é√
óτ¡¼D(╔▒√│;($
R&" " $9
,"!QR&" " $8!R"$#&R""#&R"&#noó■KYaMé4&εe
üéMé4(MUZP■KYa║4(iUZ(YXR!no{'╦
╠(AXRP▐XR!"UZ(╔Aó$.7*+#
R&" " $8
%QR&" " $#ST!
!!!
■KYaMé4(MUZ
!!!
■KYεeüéMé4(MUZ
!!!
■KYa║4(iUZ
R&" " $#
)*!
!
!"!#$%&'
$!^_`aKí│╔▒√(XR!nokl╦╠åó¡¼╔▒√!
"ç$ê#
"!_`aK(XR!{'╔▒√(║R!
"ç"ê#
&!QR!UVí=╔▒√b;(│é√(XR!T?í=╔▒√no
ó N╔▒√$
"ç&ê#
1 │
$!!"!RSHdc░ε#ï"!⌐ijï"efúc░ε#?U!2¬½
(_*)+!45#67 )*"
!
φ#ε╙!#▓eô≥#!\5&++$
! "ç$ê#
"!!"!RSHdc░ε#ï"!#\5&++$
#$$ef╖dc░ε#?U!
#"$¬½╖dc░ε#ε╙!
"ç"ê#
&!⌐ij!"b£#ï"!efu▄c░ε#?U!
"ç&ê#
１０４
　
数学　九年级下册
Ｂ组
１．如图，已知某型号的正六角螺母的视图．它的表面积（侧面积、上底面积
和下底面积之和）为　　　　ｃｍ２．
（第１题）
２．如图所示为一个几何体的视图（左图为主视图，右图为俯视图），求该几
何体的体积．（π取３．１４）
（第２题）
(_*)+!45#67 )*$
!
01$2345
ï"#-/-▄@@/τê▄#▄╔!
┐!!Cg./0dh!h#?U9:;╦à?%i 'S(?m
& #"#$$$!!e»╔Hdjt!EWφVkl;Hdh!jt#?U▄
;|i=#"
ö.!0Cg.0dh#?UâP╪¼BSÆjt#ôï"%`ï"
m[ï"9:;i 'S(?%&m╦à?#"#"$$r!U0╖0dï"!
╪¼B╠0╗jt#?U!;âP╪¼BΣ¬ ╢╖djtr#"#&$$!
"$#
!!!
""#
!!!
"&#
╛{#0╔jt+/Bq?U#!ΘVC╗╖ndjt9:VklΦ
ßCg.#0dh{"
)*%
!
!"!#$%&'
!!2>02?@OPAI^5B(CD'"#₧Ç!'E>5F#C
D₧93456#
QR&" & $!■KYacΣ4(cUZ!≈╦(<q┬Uf«!┴Γ
╞z?=cUZ(┬Kf«R!
R&" & $
!R&" & "
$!)R&" & $/!cUZ(┬Kf«RY2║4!?
=2║4(2P╗no@UZ■K(P2P┬U2B¡¼GH$
"!QR&" & "!■KYïΣ4(UZ┬Kf«Ró2║
43$ Qúó2║4!½¼╦(2P╗no@UZ■K(P2
P┬U2B¡¼GH$
QR&" & &!UVM=UZ(┬Kf«R!^88╦╠noó¡¼D
(UZ!
R&" & &
第三十二章　%&'() １０７
　
（１）在硬纸片上画一个半径为６ｃｍ，圆心角为２１６°的扇形．将这个扇
形剪下来，按图３２３４所示围成一个圆锥的侧面．指出这个圆锥的母
线长．（２）用一块硬纸片剪出这个圆锥的底面，和（１）中圆锥的侧面一起做成
一个圆锥．（黏合部分忽略不计）
图３２３４
几何体可以按它的侧面展开，也可以按它的表面展开．
例　如图３２３５所示为一个正方体．按棱画出它的一种表面展开图．
图３２３５
　　　　　　
图３２３６
解：按棱展开的方式有多种，其中一种如图３２３６所示．
　图３２３７
如图３２３７，已知一个长方体纸箱的长、宽
和高分别为３０ｃｍ，２０ｃｍ，１０ｃｍ．一只昆虫从纸箱
的顶点犃处沿纸箱表面犃犆犇犈和表面犌犈犇犅爬到
另一个顶点犅处．它沿哪条路线爬行的距离最短？
请说明理由，并求出这个最短距离．（结果保留两位
小数）
)*'
!
!"!#$%&'
QR&" & 8!9?=2║√Tk(cKf«!&'&'!_` +í>
[2─«-.,!8V─«&' ┴ólmn₧\]-.(φ─!
R&" & 8
)34&&'( /!&(%&'*+!'(%
')5()%"'5$'%&'"*+#!
_`opoδ!Γ
&' % &("5'(
槡
"
% &'"5&'
槡
"
%&'槡"
2,".,&"*+#!
φlm-.n₧φ─(\]∩Y,".,&*+!
$!<=2║√(b=K+AäB~!╦(cKf«RQRST!^
u')?=2║√+!K& PK' (WKnoó =K!@K( ╫q(K
ó !K!
"ç$ê#
!
"ç"ê#
"!QR!╘no<å╔▒√cKf«R/(_─¥₧┴r!╟u'┴
r╓b;(╔▒√(4┘!
1 │
$!!"!h"@b£#ƒ┘≡m*=û╦àε╤! '7(¢£#^14Φ
2`¢£#^1ε∩"
(_*)+!45#67 )*(
!
"ç$ê#
!!!!
"ç"ê#
"!!"!9:hndc░ε#¢á╓F"Qûc░ε!⌐C╗╖ndc░
ε#?U!
&!╔HßoC$"*+%ûC)*+#oà?ƒ┘╢δá!uHdVá;╦
à?#╣bï!
2 │
$!!"![W#üá"?;0]W#▒d╦àε¢á╓FW(#!╖d╦
àε;Φd"
"ç$ê#
"ç"ê#
"!! "!o à ε # o%û m ò 9 : C ,*+!"*+!
)*+!└H»noÜ1" ¥Fp!T},dδáq
éHr(¡1+ ¥!╚noqé#█sí*#o;
«G▌░"
))*
!
!"!#$%&'
F!UVWX
!
"
#
$
%
&'()
*+()
,()
-./
0./
1./
()
234
56789/
:;<
*7/=
)!YWZ[\
)wx/!╥╠Aÿ¼εzJ₧ΩH&/ZΩH&XRz:⌡█╔▒√
(┬Kf«RεLI!╔▒√(AXR&YXR&▐XRPcKf«R!Ç
Tz╔▒√@JKR4(ΣH!f6W?ònLI(yH!╥╠?)zÖ
+≡√,C +JK,:╬(íN║U!√⌡zf6F╔▒√:╬YJKR4
▄ÇTPyH╔▒√({w║U!
$!/ZΩHPJ₧ΩH!
/ZΩH(ΩH─óÖ<>º'(!J₧ΩH(ΩH─óJ₧(!J₧
ΩHEnYπΩHPaΩH!╥╠V¼εzΩH─@ΩHKµü(aΩH!
Fö╫W∩╨√(EF!⌠oz╨√ΩH(4┘&EFP═/!
"!XR!
QR!╔▒√(AXR&YXRP▐XR8
no:╓ó╦)M=h╫µü(ΩHK+(aΩ
H!<=╨√(AXR&YXRP▐XR{w+
┴tpe╦(4┘z!
UV╔▒√!8z{'╦(AXR&YXR
P▐XR!p6▄!UV╔▒√(AXR&YX
RP▐XR!┌8zαo?=╔▒√(4┘P
═/!
&!3Z&üUZP3\(┬Kf«R!
╔▒√(┬Kf«RAóJKR4!3ZPüUZ(┬Kf«RAóì
(_*)+!45#67 )))
!
4!3\(┬Kf«Ró└4!╔▒√(cKf«R┌óJKR4!╦ó┬
Kf«RP■Kf«R(│éR4!
_!hijk
$!){XRs!:Γ░(╢└─ÿ{;ⁿ─!
:v░(╢└─ÿ{;_─!
"!XR╣<QRST(EFM▓!≡╣< +2
Wa!╔J[!╗╫ε,(ÿ5{R!
1 │
$!╓α&
#$$Hdc░ε#ôï"%`ï"m[ï"√;&!╖dc░εC
!!!!!Hdc░ε#ôï"%`ï"m[ï"√;╦à?!╖
dc░εC!!!!!
#"$ååmttZ ')⌡(jk!tt#)y!)⌡u╗rH»y
'u()åå#)z!╦vu╗rH»⌡y# 'u(!■w56√M!
åå#)≤tt#),½á
#╓'z(a 'x($!
#&$Hd╥bï#¢á╓F";0nd!!!!?m!!!!d>?b
û#!
! "ç$",#ê#
#,$zyxⁿ-Hd╦àεTt#;dá.√║r
Hdb!9:;&â%z%{%`%ⁿ%|!
ö¢á╓F"!"b£!hi-ú╦àεTt
.!m 'â(u╬#á.b║#b; '!!!(!
"!nop-xH\_╞xH1■wF┐≥q#⌡t!
"b£!⌐-"@D╗?ûp⌡#■*!2LM■
wb-#56!
"ç"ê#
１１２
　
数学　九年级下册
３．把下面左边的图形折叠并围成一个正方体，它是右边的哪个正方体？
（第３题）
４．把下面这个几何体的表面展开图用纸复制下来，再按虚线折起来，看看
是哪种几何体．
（第４题）
　　　　　
（第５题）
５．如图，分别画出保温杯与冰箱的主视图、俯视图和左视图．
６．如图所示为某几何体的视图．请指出它是什么几何体，并试着画出它的
草图．
（第６题）
Ｂ组
１．如图，某建筑工地的地面上立有三根等高的钢管，点犗为照明灯的位
置．请你分别画出立于点犃，犆两处的钢管的影子．它们影子的长短与
立于点犅处钢管影子的长短有什么数量关系？
(_*)+!45#67 ))"
!
"ç$ê#
"ç"ê#
"!!"!RS-bï#¢á╓F"@!&'%&*+!&(%)*+!╣W
?)765 C˅?!
#$$C╗φ;cbï!
#"$¬½φ#δá╙!
&!!"!Ü 1!2!H!a╣a"@:╗0ï"b╬▄#c░ε!
"ç&ê#
!!
"ç,ê#
,!!"!Hoyp)è¥á!pä.qàåuESy!¼╩û&ïε!
²Wpä#%oC&+!òC"'+!/Hçênp#i÷X+G╚¥ 
┴-pä.!.é┴9%(¡pä#^÷!çêoC«G░"
! "ç$ê#
H │
$!!"!-&ëVá&%.#1" ¥/H»no!φ╫
Ü&ë#δáqHr╤U╨(1" ¥!RS&ë#δ
á╓FÑ?#&'Zz$8'(!⌐╔noΣ¬Hs█
s#qéí*!
))#
!
!"!#$%&'
"!╔!"b£#Hß>?╪Φ8αH2boC$'*+ #∞¿╦àε╪T!
<=èΩUVEW8α#Tt`j█«"
"ç"ê#
&!!"!RS▒π7ï╩t#0ï"!#\5&*+$
"ç&ê#
#$$▒α╠╫îì)'''t╖π╪⌠╩t!A╔╨«GÄ╪" #╪#Å_C
9.8A+*+&!Éæ≡±S¬$
#"$αtîû╤!¢áA╫¡HÆUôö!RS$/AUôö¼B¡,+"
#╪╩á!¡ó╖OαtA╔«G»qUôö"
ÇüZéâ ))$
!
6789:
<&┤ê
$!╔HcWoC8*+#╦à?ƒ┘!┬HM╒ò=╗H21!╔üû
#ù*Ü[F]D4*╘═1!W(Hsù*!τå╖sù*;DE*!
"!╔HcoC8*+%ûC7*+ #oà?ƒ┘!┬F.á#à`=╗
H21!D╗╖sDE*!2]╗╖sDE*#¢¡5!
ë&⌠║F
$!=ƒ#à`!q#;╒'=}(╤!hƒ₧F!U▀éqH╒=}$!
≈H╒&!"$!╒╦à?ƒ┘╬=04!EöÿX9!=ÖBm*¢
£!U╒ƒ≡)Hà┼╬=04!W(&#%$
8&'!&&D%$
,&'!
≈3╒&!""!╒ƒ=}!E1&$4&Dε∩!=Ö4&$'$#w1C"$!
R$
!!!!
R"
R&
!!!!
R,
))%
!
!"!#$%&'
≈0╒&!"&!╒ƒ=}!9:E1&"4&D!1&&4&D!*!1&8
4&Dε ∩!╖2 = Ö 9 : 4 &"'"!&&'&!*!&8'8w  1 ""!"&!
*!"8!
≈╣╒&!",!╔üû#ù*ⁿ4*╘1",!"&!""!"$!#!")!
"7!"9!"8!╪W(Hsù*!
"!ìèÄ[#üá)Zkl8!]╗═1kl!
&!Z]╗DE*#¢¡5!ULÇö!═1T-╖sDE*.!
M&80å(V)@║U
$!p╬H#≤⌠!
"!Ü¢M/!
&!£M8``!
i&p@╪·
â#▓e
m┤·°
#ô╫}
B4à`
xⁿ#·¥
ì₧
┴Ióƒ
┤¥
█╝▓e
â#áí
! !
编写后记
!!!""#年!国家正式启动了义务教育阶段的新一轮课程改革"有感于时
代的召唤!我们这些研究和从事数学教育的工作者!满怀共同的梦想!成立
了编写组!尝试进行义务教育七年级至九年级数学教科书的建设与编写"
!""#年$月!编写组正式向教育部提出了编写立项申请"经专家评审!
当年#!月通过了立项"编写组从此开始编写工作"
!""$年$月!这套依据#全日制义务教育数学课程标准$实验稿%&编写
的教科书!经全国中小学教材审定委员会审查通过!并公布于当年的订书目
录中!作为义务教育课程标准实验教科书!供实验区选用"
!"#"年#"月!这套教科书开始修订准备"
!"##年#!月!七年级上册和七年级下册的修订工作完成"
!"#!年$月!按照#义务教育数学课程标准&$!"##年版%修订后的七年
级上册和七年级下册!经教育部基础教育课程教材专家工作委员会审查通
过"!"#$年$月!八年级上'下册和九年级上'下册也顺利通过教育部基
础教育课程教材专家工作委员会的审查"现在与大家见面的这本教科书就是
修订后的九年级下册"
我们在编写教科书的过程中!得到了众多的专家'学者'数学教师的大
力支持和热情帮助!特别是下面这些老师!更是我们应当感谢的(
王宝仓'杨志坚'孟庆林'张庆'仇岷'陈雪梅'石凌等!都是这套教
科书原实验版本的编者!为教科书的编写作出了很大贡献)
刘璐'许艳秋'潘新学'王春丽'李春祥'魏元洪'张玲等!对这套教
科书的实验给予了大力的支持和帮助)
穆怀宇'郭辉'章巍'许春英'张燕飞'李永强'滕杰'张晓娴'牛翠
英'杨金钗'刘建锋'靳春会'陈彦敏'徐在荣'王建华'张素平等!在这
套教科书的修订过程中!参与讨论并提出了许多宝贵意见"
我们深知!教科书的编写和建设是一个长期的任务!更是一个不断完
善'不断发展的过程"我们会继续努力!朝着精品教科书的建设目标奋力进
取"我们也诚挚地希望广大的数学教师继续关注和支持这套教科书!使它越
来越好"
编者
!"#$年%月