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导图梳理-数资1 （笔记） 主讲教师：王义 授课时间：2025.09.27 粉笔事考²官方微信 1 导图梳理-数资1（笔记） 【注意】和差倍比问题： 1.倍数特性法。 2.方程法。 3.赋值法。 2 【注意】倍数特性法： 1.整除型：若A=B*C，则A 能被B、C 整除；前提：B、C 均为整数。 2.余数型：多退少补。 （1）特征：平均分配，有剩余或有缺少，求总数。 （2）方法：若答案=ax+b，则答案-b 能被a 整除；若答案=ax-b，则答案+b 能被a 整除。 （3）前提：a、x 均为整数。 3.比例型（重点）： （1）题目出现分数、百分数、比例、倍数（0.6 倍、3/5、60%、3：5），化 简成最简整数比（不能约分）。 （2）若A/B=m/n，则A 是m 的倍数，B 是n 的倍数，A±B 是m±n 的倍数。 （3）前提：A、B 均为整数，m/n 是最简整数比。如A/B=3/7，A 是3 的倍数， B 是7 的倍数，A+B 是3+7=10 的倍数，B-A=7-3=4 的倍数。 倍数特性法重点高频：比例型倍数特性的考法汇总 考法一：直接给比例，直接用 （2025 公务员）某绿色有机农场把61600 平方米耕地划分为玉米、大豆、 稻谷三个作物区，玉米和大豆的面积比是7：2，大豆和稻谷的面积比是6：1， 则玉米的面积是多少平方米？ A.46200 B.47200 C.48200 D.49200 3 考法二：借助其他主体的比例关系 （2023 河北） ……其中乙档人数比甲档人数的 其中乙档人数比甲档人数的3 倍少2 人……甲档人数是 甲档人数是 丁档人数的1.5 倍，则这个旅行团中年龄属于乙档的人数为 A.25 B.26 C.27 D.28 考法三：给出多出来的比例 （2022 福建） ……已知这 已知这4 个盒子中红色小球的总个数比黄色小球多1.2 倍，则这4 个盒子中红色小球的总个数至少有（ ）个 A.30 B.32 C.33 D.40 考法四：比例的逆运用 （2024 重庆）甲、乙两个工厂分别有180 名和120 名工人，甲厂每名工人 的生产效率是乙厂的1.25 倍，现两厂分批次安排工人参加脱产培训，培训后每 人的生产效率都将提升20%，已知最后一批50 名工人参加培训期间，两厂剩余 人员的总体生产效率已经与培训之前的总生产效率相同。问最后一批培训的工人 中，甲、乙两厂的人数比为（ ）。 A.3：1 B.2：1 C.3：2 D.4：3 考法五：总人数是范围，有比例型出现 （2024 公务员）某居民楼居住人数介于90 和110 之间，其中50 岁及以上 居民占1/12，女性占7/16…… 【注意】倍数特性法重点高频：比例型倍数特性的考法汇总。 1.直接给比例，直接用。 例： （2025 公务员）某绿色有机农场把61600 平方米耕地划分为玉米、大豆、 稻谷三个作物区，玉米和大豆的面积比是7：2，大豆和稻谷的面积比是6：1， 则玉米的面积是多少平方米？ A.46200 B.47200 C.48200 D.49200 答：已知“玉米和大豆的面积比是7：2，大豆和稻谷的面积比是6：1”， 4 玉米/大豆=7/2，玉米的面积是7 的倍数，答案是7 的倍数，选项末两位都是0， 先不看末两位；A 项：462=420+42，420 和42 都是7 的倍数，则A 项是7 的倍数； B 项：472=420+52，52 不是7 的倍数，排除；C 项：482=420+62，62 不是7 的倍 数，排除；或者482=490-8，8 不是7 的倍数，排除；D 项：492=490+2，2 不是 7 的倍数，排除；对应A 项。 2.借助其他主体的比例关系。 例：（2023 河北） ……其中乙档人数比甲档人数的 其中乙档人数比甲档人数的3 倍少2 人……甲档人数 甲档人数 是丁档人数的1.5 倍，则这个旅行团中年龄属于乙档的人数为？ A.25 B.26 C.27 D.28 答：“乙档人数比甲档人数的3 倍少2 人”，乙=甲*3-2；“甲档人数是丁 档人数的1.5 倍”，甲/丁=1.5=3/2，甲是3 的倍数，乙=9 的倍数-2，27-2=25， 只有A 项满足。 3.给出多出来的比例。 例： （2022 福建）……已知这 已知这4 个盒子中红色小球的总个数比黄色小球多1.2 倍，则这4 个盒子中红色小球的总个数至少有（ ）个。 A.30 B.32 C.33 D.40 答：已知“红色小球的总个数比黄色小球多1.2 倍”，则红球/黄球 =2.2=22/10=11/5，红球是11 的倍数，对应C 项。 4.比例的逆运用。 例：（2024 重庆）甲、乙两个工厂分别有180 名和120 名工人，甲厂每名工 人的生产效率是乙厂的1.25 倍，现两厂分批次安排工人参加脱产培训，培训后 每人的生产效率都将提升20%，已知最后一批50 名工人参加培训期间，两厂剩 余人员的总体生产效率已经与培训之前的总生产效率相同。问最后一批培训的工 人中，甲、乙两厂的人数比为（ ）。 A.3：1 B.2：1 C.3：2 D.4：3 答：已知“最后一批50 名工人参加培训期间”，甲+乙=50，代入选项，A 5 项：甲/乙=3/1，甲+乙是4 的倍数，50 不是4 的倍数，排除；B 项：甲/乙=2/1， 甲+乙是3 的倍数，50 不是3 的倍数，排除；C 项：甲/乙=3/2，甲+乙是5 的倍 数，满足；对应C 项。 5.总人数是范围，有比例型出现。 例：（2024 公务员）某居民楼居住人数介于90 和110 之间，其中50 岁及以 上居民占1/12，女性占7/16…… ，问总人数。 答：“50 岁及以上居民占1/12”，50 岁及以上/总人数=1/12，则总人数为 12 的倍数；“女性占7/16”，女性/总人数=7/16，则总人数为16 的倍数，即总 人数既是12 的倍数、又是16 的倍数，找最小公倍数，利用短除法，12、16 同 时除以4 得到3、4，则总人数是4*3*4=48 的倍数，且满足“居住人数介于90 和110 之间”，则总人数为96 人。 【注意】方程法（基础）：设未知数。四种方法没有优先级，根据题目条件 设未知数。 1.一般情况下：求谁设谁，避免陷阱。 2.条件中有“是”字、“比”字：通常设后者。 3.条件中有比例关系：根据比例设份数，减少计算。 4.条件中有多个关系：设中间量，方便列式。 【注意】赋值法： 1.何时赋值： 6 （1）题干所给条件全是比例，最后求比例。 （2）三量关系中只知其一。 2.怎么赋值： （1）赋为公倍数。 （2）赋为简单好算的数字。 给完工时间型：赋工作总量 （2025 天津）一项工程甲单独完成需要6 小时，乙单独完成需要8 小时， 现为提高效率，甲乙两人合作完成这项工程。两人在共同工作了2 个小时后，甲 休息了一段时间，其间乙一直在工作，甲休息结束后与乙一起工作了1 个小时就 完成了工程，问…… 给效率比例型：赋效率 （2024 浙江）有甲、乙、丙三支工程队，已知甲、乙效率比为5：4，甲、 乙效率之和是丙效率的0.9 倍。某项工程开始先由甲、丙合作8 天，剩余工程由 乙单独再做20 天完成。如果该工程先由甲、乙合作10 天，那么…… 给比例求比例：赋值 （2024 军队文职）某超市对商品按照利润率30%定价，节日期间打折促销， 超市仍获得4%的利润，则商品的折扣为（ ）。 A.6 折 B.7 折 C.8 折 D.9 折 【注意】 1.给完工时间型：赋工作总量。 例： （2025 天津）一项工程甲单独完成需要6 小时，乙单独完成需要8 小时， 现为提高效率，甲乙两人合作完成这项工程。两人在共同工作了2 个小时后，甲 休息了一段时间，其间乙一直在工作，甲休息结束后与乙一起工作了1 个小时就 完成了工程，问 ……。 。 答：给的都是时间，属于给完工时间型，三量关系只知时间，可以考虑赋值， 原则上赋值工作量或者效率都可以，不同的完工时间对应同一份工作，赋总量计 算比较简单，W 总=P 甲*6=P 乙*8，给完工时间型工程问题，赋值总量为完工时间的 7 公倍数。 2.给效率比例型：赋效率。 例：（2024 浙江）有甲、乙、丙三支工程队，已知甲、乙效率比为5：4，甲、 乙效率之和是丙效率的0.9 倍。某项工程开始先由甲、丙合作8 天，剩余工程由 乙单独再做20 天完成。如果该工程先由甲、乙合作10 天，那么 ……。 。 答：三量关系只知时间，给出效率比例，赋值效率比例好计算。 3.给比例、求比例：赋值。 例：（2024 军队文职）某超市对商品按照利润率30%定价，节日期间打折促 销，超市仍获得4%的利润，则商品的折扣为（ ）。 A.6 折 B.7 折 C.8 折 D.9 折 答：给比例，求比例，考虑赋值；经济利润通常赋值成本为好算的数，赋值 成本为100，则定价为100*（1+30%）=130，活动后价格为104，所求=104/130=80%， 打八折，对应C 项。 【注意】工程问题： 1.给完工时间型：给出多个完工时间。 （1）先赋总量（公倍数）。 （2）再算效率=总量/时间。 （3）根据工作过程列式子或方程。 2.给效率比例型：直接给（P 甲：P 乙=4：3，赋值P 甲为4，P 乙为3）、间接给 8 （甲3 天工作量=乙4 天工作量，工作量一定，效率和时间成反比，P 甲：P 乙=4： 3，赋值P 甲为4，P 乙为3）、特殊给（题干中出现20 个工厂、10 台机器，赋值每 台机器效率为1）。 （1）先赋效率（满足比例即可）。 （2）再算总量=效率*时间。 （3）根据工作过程列式子或方程。 3.给具体单位型（给出工作量或效率的数值单位）：设未知数，找等量关系 列方程。 1.一项工程，若由甲单独干需要6 小时完成；若由甲乙合作需要4 小时完 成…… 2.一项工程，甲单独干3 小时后，乙加入又干2 小时完成…… 3.已知甲的效率是乙的3 倍…… 4.甲3 小时的工作量和乙4 小时的工作量相等 5.某工厂有50 名工人…… 6.甲、乙共同完成500 件礼品包装…… 【注意】 1.一项工程，若由甲单独干需要6 小时完成；若由甲乙合作需要4 小时完 成……。 。 答：属于给完工时间型，（1）赋总量：赋值总量为完工时间6 和4 的公倍数 12。（2）算效率：P 甲=12/6=2，P 甲+P 乙=12/4=3，P 乙=3-2=1。 2.一项工程，甲单独干3 小时后，乙加入又干2 小时完成 ……。 。 答：3 小时没干完，单独2 小时也没干完，则3 小时、2 小时都不是完工时 间。 3.已知甲的效率是乙的3 倍……。 。 答：直接给出效率比例，赋值P 甲=3、P 乙=1。 4.甲3 小时的工作量和乙4 小时的工作量相等。 答：属于间接给效率比例，P 甲：P 乙=4：3。 5.某工厂有50 名工人 ……。 。 9 答：属于特殊的给效率比例型，赋值每名工人的效率为1。 6.甲、乙共同完成500 件礼品包装 ……。 。 答：给出工作量的数值单位，属于给具体单位型，用方程法。 考法：工程问题，多个题型特征冲突，方程法优先 （2022 四川）甲、乙两人加工一批配件，已知甲单独加工需要15 小时才能 完成，甲和乙的工作效率之比为4：3。现在甲、乙两人一起加工了5 小时，还 剩下200 个配件未加工，则这批配件的总数是（ ）个。 A.480 B.450 C.420 D.390 【注意】多个题型特征冲突，方程法优先（只要给工作量、效率单位，考虑 方程法）。 例：（2022 四川）甲、乙两人加工一批配件，已知甲单独加工需要15 小时 才能完成，甲和乙的工作效率之比为4：3。现在甲、乙两人一起加工了5 小时， 还剩下200 个配件未加工，则这批配件的总数是（ ）个。 A.480 B.450 C.420 D.390 答：方法一：“甲和乙的工作效率之比为4：3”，给效率比例关系；“甲、 乙两人一起加工了5 小时，还剩下200 个配件未加工”，出现具体带单位的工作 量，属于给具体单位型工程问题，多个题型特征冲突，方程法优先。设P 甲=4x， P 乙=3x，“甲单独加工需要15 小时才能完成”，W 总=15*4x=60x，“现在甲、乙 两人一起加工了5 小时”，5 小时完成的工作量=（4x+3x）*5=35x，“还剩下200 个配件未加工”，35x+200=60x，25x=200，解得x=8，所求=60x=60*8=480，对 应A 项。 方法二：考虑比例型倍数特性，“甲、乙两人一起加工了5 小时”，已知“甲 和乙的工作效率之比为4：3”，P 甲/P 乙=4/3，则W 甲/W 乙=4/3，W 已完成=4+3=7 的倍 数，5 小时完成的量为7 的倍数，还剩余200 个零件未加工，7 的倍数+200=W 总， 则“答案-200”是7 的倍数，选项-200 依次为A.280、B.250、C.220、D.190， 只有A 项满足。 10 【注意】经济利润问题： 1.基础公式： （1）利润=售价-进价，比如赚20 元，即利润为20 元。 （2）利润率=利润/进价。赚20%，则利润率为20%。大多数题目进价和成本 一致，少数题目成本=进价+其他。 （3）售价=进价*（1+利润率）。比如成本100，按20%的利润率定价，则定 价为120；按照20%的利润率售卖，则售价为120。 （4）打折率=折后价/折前价。 （5）总价=单价*数量，总利润=单利*数量。 2.基础经济： （1）方程法：给具体数值单位用方程，如多少元、多少件等。 （2）赋值法：给比例、求比例。 ①如果只提到“钱”，只赋值成本为100。 ②如果既提到钱、又提到数量：赋值成本为100、总量为10 个。 3.函数最值： （1）特征：售价/利润与销量此消彼长，问何时销售额/总利润最高。 （2）方法：两点式。当x=（x1+x2）/2 时取得最值。 考法：给具体数值单位的经济利润，多个主体、多个时间售卖，列表列方程 （2025 浙江）2017 年，老王花费5 万元购买了甲、乙2 件艺术品。到2020 11 年，甲的价格下降20%，乙的价格变为原来的2 倍。今年，2 件艺术品价格均比 2020 年上涨50%，老王卖出这2 件艺术品共盈利4.6 万元。问老王购买时甲的价 格比乙（ ）。 A.高1 万元 B.低1 万元 C.高0.6 万元 D.低0.6 万元 【注意】 1.给具体数值单位的经济利润，多个主体、多个时间售卖，列表列方程。 2.（2025 浙江）2017 年，老王花费5 万元购买了甲、乙2 件艺术品。到2020 年，甲的价格下降20%，乙的价格变为原来的2 倍。今年，2 件艺术品价格均比 2020 年上涨50%，老王卖出这2 件艺术品共盈利4.6 万元。问老王购买时甲的价 格比乙（ ）。 A.高1 万元 B.低1 万元 C.高0.6 万元 D.低0.6 万元 答：给出多个主体，给出3 个时间段（2017 年、2020 年、今年），考虑列表； “花费5 万元购买了甲、乙2 件艺术品”，设2017 年甲的价格为x、乙的价格为 5-x，“到2020 年，甲的价格下降20%，乙的价格变为原来的2 倍”，2020 年甲 的价格为0.8x，2020 年乙的价格为2*（5-x）；“今年，2 件艺术品价格均比2020 年上涨50%”，今年甲的价格=0.8x*（1+50%）=1.2x，今年乙的价格=2*（5-x）+ （5-x）=3*（5-x），“（今年）老王卖出这2 件艺术品共盈利4.6 万元”，列式： 0.2x+2*（5-x）=4.6，10-1.8x=4.6，1.8x=5.4，解得x=3，则2017 年时甲的价 格为3 万元、乙的价格为2 万元，甲比乙高1 万元，对应A 项。 四、行程问题 12 【注意】行程问题： 1.普通行程： （1）路程=速度*时间（S=V*t）。 （2）火车过桥： ①火车完全通过桥：提到过桥、通过桥、完全通过桥，路程=桥长+车长=V*t。 ②火车完全在桥上：提到完全在桥上/完全在隧道里，路程=桥长-车长=V*t。 （3）流水行船：船速指的是船本身的速度，水速指的是水流的速度，顺流 而下，水推动船，顺流速度=船速+水速，S 顺=V 顺*t 顺；逆流而上，水阻碍船，逆 流速度=船速-水速，S 逆=V 逆*t 逆。 2.相对行程： （1）直线相遇追及： ①相遇（重点）：S 和=V 和*t 遇。 ②追及（重点）：两个人一前一后出发，在某处追上，S 差=V 差*t 追。比如早 上8:00，小王从家出发，8:30 的时候小李发现小王的电脑包忘在家里了，所以 小李出门去送，9:00 的时候小李追上小王，8:30 才开始追，9:00 追上，t 追=0.5 小时。8:30 的时候小王已经往前走了一段时间，小李才出发，在某处小李追上 小王，这是追及，t 追=0.5 小时，S 差：小王提前0.5 小时先走的距离。 13 （2）环形多次运动： ①环形同点出发第n 次相遇（重点）：n*每圈长度=V 和*t 遇。 ②环形同点出发第n 次追及（重点）：n*每圈长度=V 差*t 追。 ③直线两端同时出发、第n 次相遇（不重要）：S 和=（2n-1）*S=V 和*t 遇。 行程问题重点高频： 考法：多个主体、多个运动过程，分开看、列方程组 （2024 公务员）甲乙二人在同一条环形跑道上各自匀速慢跑健身。已知甲 按顺时针跑，若乙按逆时针跑时每3 分钟和甲相遇一次，若乙按顺时针跑时每 12 分钟追上甲一次，问甲跑一圈需要多少分钟？ A.7 B.8 C.9 D.10 【注意】行程问题重点高频： 1.考法：多个主体、多个运动过程，分开看、列方程组。 2.例：（2024 公务员）甲乙二人在同一条环形跑道上各自匀速慢跑健身。已 知甲按顺时针跑，若乙按逆时针跑时每3 分钟和甲相遇一次，若乙按顺时针跑时 每12 分钟追上甲一次，问甲跑一圈需要多少分钟？ A.7 B.8 C.9 D.10 答：若甲顺时针、乙逆时针，第1 次相遇需要3 分钟；若甲顺时针、乙顺时 针，第1 次追上需要12 分钟。“甲按顺时针跑，若乙按逆时针跑时每3 分钟和甲 相遇一次”，属于环形相遇，1*每圈长度=（V 甲+V 乙）*3；“甲按顺时针跑，若乙 按顺时针跑时每12 分钟追上甲一次”，属于环形追及，1*每圈长度=（V 乙-V 甲） *12。一个方程、一个未知数，两个方程、两个未知数，三个方程、三个未知数 都可以直接求解；两个方程、三个未知数，无法直接求解。行程问题，S=V*t， 三量关系，只知道时间，可以赋值，赋值每圈长度为3、12 的公倍数12（如果 14 给速度赋值，不能确定是赋值甲还是赋值乙），则V 甲+V 乙=4①、V 乙-V 甲=1②，① +②得：2*V 乙=5，解得V 乙=2.5、V 甲=1.5。最终问甲跑一圈需要多少分钟，所求 =12/1.5=24/3=8，对应B 项。 五、几何问题 【注意】几何问题： 1.公式运用类： （1）周长： ①正方形：4a。 ②长方形：2*（a+b）。 ③圆形：2πR。 ④弧长：2πR*（n°/360°）。2πR 是一圈周长，n°/360°指的是扇形占 整个圆的几分之几。 15 （2）面积： ①正方形：a²。 ②长方形：ab。 ③三角形：ah/2。 ④圆形：πR²。 ⑤扇形：πR²*（n°/360°）。πR²是圆的面积，n°/360°乘以圆的面积就 是扇形的面积。 ⑥梯形：1/2*（a+b）*h。 ⑦菱形（特殊记忆）：对角线乘积/2。 （3）表面积： ①正方体：6a²。 ②长方体：2*（ab+bc+ac）。 ③圆柱体：2πR²+2πRh。 ④球体（特殊记忆）：4πR²。 （4）体积： ①正方体：a³。 ②长方体：abc。 ③柱体：Sh。 ④锥体：1/3*Sh，无论几棱锥，都是乘以1/3。 ⑤球体（特殊记忆）：4/3*π*R³。 2.结论技巧类： （1）勾股定理（直角三角形专属）：a²+b²=c²。 （2）相似几何：边长比或高之比等于相似比，面积比等于相似比的平方， 体积比等于相似比的立方。如果相似比为5：7，面积比为25：49；如果相似比 16 为1：2，体积比为1：8；如果相似比为2：3，体积比为8：27。 （3）底（高）相等的三角形，面积比等于高（底）之比。 （4）两点之间，线段最短。 几何问题重点高频： 考法一：平面几何，给图，不能直接套公式，用结论 （2023 福建）如图，某考古队在一个土坡下发现了一个古墓，位置在图中 点C 处，考古队从土坡两侧同一水平线上的A、B 两点进行探测。已知A、B 两点 的直线距离为40 米，探测线AC、BC 与水平线AB 的夹角分别是30°和45°，那 么古墓所在点C 与水平线AB 的距离为（ ）米。 A.20 B.20（√2+1） C.20（√3+1） D.20（√3-1） 考法二：立体几何，不给图，空间立体搭建清楚，能直接套公式 （2025 联考）有长为150mm，直径分别为90mm 和120mm 的两根铜柱，以此 为原料最多可以熔铸直径为100mm 的铜球多少个？ A.3 B.5 C.8 D.11 【注意】几何问题重点高频： 1.考法一：平面几何，给图，不能直接套公式，用结论。 例：（2023 福建）如图，某考古队在一个土坡下发现了一个古墓，位置在图 中点C 处，考古队从土坡两侧同一水平线上的A、B 两点进行探测。已知A、B 两点的直线距离为40 米，探测线AC、BC 与水平线AB 的夹角分别是30°和45°， 那么古墓所在点C 与水平线AB 的距离为（ ）米。 17 A.20 B.20（√2+1） C.20（√3+1） D.20（√3-1） 答：方法一：“A、B 两点的直线距离为40 米，探测线AC、BC 与水平线AB 的夹角分别是30°和45°”，给图就看图，过C 点作AB 垂线，要求虚线长度， 已知AB=40，结合45°，出现等腰直角三角形，CD=BD，结合选项，肉眼可见， 不可能正好是一半关系，排除A 项；结果＜20，B 项：20（√2+1）≈20*2.4=48， C 项：20（√3+1）≈20*2.7=54，排除B、C 项，对应D 项。 方法二：设CD=BD=x，即短直角边为x，30°角的直角三角形三边之比为1： √3：2，则长直角边为√3x，√3x+x=40，（√3+1）*x=40，解得x=40/（√3+1）， 考场不会做就结合选项看大小关系，x≈40/2.732＜20，只有D 项符合；答案必 然带√3，排除A、B 项，剩下C、D 项，40/2.732＜40，选择D 项。常规思路： 分母有理化，分子、分母同时乘以√3-1，40*（√3-1）/[（√3+1）*（√3-1）]=40* （√3-1）/[（√3）²-1²]=40*（√3-1）/2=20*（√3-1），对应D 项。 18 2.考法二：立体几何，不给图，空间立体搭建清楚，能直接套公式。 例：（2025 联考）有长为150mm，直径分别为90mm 和120mm 的两根铜柱，以 此为原料最多可以熔铸直径为100mm 的铜球多少个？ A.3 B.5 C.8 D.11 答：已知“直径分别为90mm 和120mm”，则二者的半径分别为45mm 和60mm， 可以求出体积。问“以此为原料最多可以熔铸直径为100mm 的铜球多少个”，“直 径为100mm 的铜球”说明半径为50mm，列式为：材料体积/每个球的体积=（π* 45*45*150+π*60*60*150）÷（4/3*π*50*50*50），能约分的先约分，那么可得 原式=（45*45*150+60*60*150）÷（4/3*50*50*50）=（243+432）÷（4/3*100） =[（81+144）*3]÷（4/3*100）=（225*3*3）/（4*100）=81/16=5 +，对应B 项。 六、排列组合与概率问题 【注意】排列组合与概率问题： 1.基础概念： （1）区分运算符号：分类用加法（要么……要么……），分步用乘法（既…… 又……）。 ）。 （2）有序用排列（改变顺序，结果变化），无序用组合（改变顺序，结果不 变）。8 个选4 个，为C（8,4），如果选完还要再安排（如安排4 个人坐在第一排 的4 个位置上），为A（8,4）。 2.经典题型： 19 （1）必须相邻：捆绑法，先捆再排。 （2）不能相邻：插空法，先排再插。 （3）错位重排（每个主体都不能排在原来的位置上）：D3=2、D4=9、D5=44。 （4）同素分堆：隔板法，把m 个相同的东西分给n 个人，每人至少1 个→C （n-1,m-1）。 3.概率问题： （1）给情况求概率：满足条件的情况数/总情况数。 （2）给概率求概率：分类用加法（要么……要 么……） ），分步用乘法（既…… 又……） ）。 4.“6+1”课程中值得听的几节课：高频重点难点系列拓展课程，里面讲到 了匀加速直线运动、条件概率等数量中比较难的小题型；溶液问题、容斥问题、 小题型专项都可以听一听，这都是前期课程中没学过的。 排列组合与概率重点高频： 考法一：排列组合问题，捆绑法和插空法同时使用 （2025 江苏公务员）一场演出的节目有舞蹈《水韵江苏》、歌曲《让世界充 满爱》和《绣红旗》、小品《幸福一家人》、魔术《奇幻之旅》、杂技《力量》。若 要求两首歌曲分别作为开头曲和结尾曲，舞蹈与杂技相邻演出，小品和魔术不能 相邻演出，则节目演出的排列顺序有（ ）。 A.8 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 考法二：概率问题，给情况数求概率 （2025 山东）甲和乙周日去参观某博物馆展览，该馆有1～7 号7 个展厅， 由于时间有限，他们都只参观三个展厅，已知甲必须参观1 号、2 号展厅，乙必 须参观3 号展厅，其余展厅随机，问甲乙参观展厅都不相同的概率是多少？（ ） A.16% B.18% C.20% D.24% 【注意】排列组合与概率重点高频： 1.考法一：排列组合问题，捆绑法和插空法同时使用，意味着题干中存在要 20 相邻和不相邻。 例：（2025 江苏公务员）一场演出的节目有舞蹈《水韵江苏》、歌曲《让世 界充满爱》和《绣红旗》、小品《幸福一家人》、魔术《奇幻之旅》、杂技《力量》。 若要求两首歌曲分别作为开头曲和结尾曲，舞蹈与杂技相邻演出，小品和魔术不 能相邻演出，则节目演出的排列顺序有（ ）。 A.8 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 答：要求两首歌曲分别作为开头曲和结尾曲，这2 首歌排在2 个位置，为A （2,2）=2。要求舞蹈与杂技相邻演出，先把舞蹈与杂技捆绑，为A（2,2）=2； 再插空，要求小品和魔术不能相邻演出，把小品和魔术插空，只有中间的2 个位 置可以选，为A（2,2）=2。分步用乘法，所求=2*2*2=8，对应A 项。 2.考法二：概率问题，给情况数求概率。 例：（2025 山东）甲和乙周日去参观某博物馆展览，该馆有1～7 号7 个展 厅，由于时间有限，他们都只参观三个展厅，已知甲必须参观1 号、2 号展厅， 乙必须参观3 号展厅，其余展厅随机，问甲乙参观展厅都不相同的概率是多少？ （ ） A.16% B.18% C.20% D.24% （1）答：“只参观三个展厅”不是参观三次，每个人都是7 选3，不能重复 参观。一共有1～7 号7 个展厅，甲必须参观1 号、2 号展厅，乙必须参观3 号 展厅，正面情况比较多，有些同学会考虑反面情况，反面是参观相同的展厅，问 的是都不相同，如果用总情况数-相同情况数，会出现交叉（如1、2、4，1、2、 3），不能完全去重，这是错误的。反面不仅仅是三个都相同，也可以两个相同， 如果甲、乙都不相同，满足要求的情况数：甲只能从4、5、6、7 中选1 个，4 选1，为C（4,1），假设甲选了4 号，乙只能从剩余的5、6、7 中选2 个，为C 21 （3,2），满足要求的情况数：C（4,1）*C（3,2）=4*3=12 种；总情况数：甲已 经确定两个、乙已经确定一个，甲5 选1（除去1、2 之外的5 个）、乙6 选2（除 去3 之外的6 个），C（5,1）*C（6,2）=5*15=75 种；所求=12/75=4/25=16%，对 应A 项。 七、数列问题 【注意】数列问题： 1.等差数列： （1）通项公式：an=a1+（n-1）*d。 （2）求和公式：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数。 2.等比数列： （1）通项公式：an=a1*q n-1，基本都是枚举，要么q=1/2、q=2。 （2）求和公式（基本没考过）：Sn=a1*（1-q n）/（1-q），q≠1。 数列问题重点高频： 考法：等差数列求和公式 【例】（2025 联考）某果园每天最多可采摘10 箱水果，每箱水果每天的保 存成本为10 元。该果园接到一笔75 箱水果的订单并要求一次性交付（交付当天 不计保存成本）。问保存成本最低为多少元？（ ） A.2100 B.2450 C.2650 D.2800 【注意】数列问题重点高频： 1.考法：等差数列求和公式。 22 2.例（2025 联考）：某果园每天最多可采摘10 箱水果，每箱水果每天的保 存成本为10 元。该果园接到一笔75 箱水果的订单并要求一次性交付（交付当天 不计保存成本）。问保存成本最低为多少元？（ ） A.2100 B.2450 C.2650 D.2800 答：已知“某果园每天最多可采摘10 箱水果，每箱水果每天的保存成本为 10 元”，若第1 天摘10 箱、不卖，第1 天的保存成本=10*10=100；第2 天继续 采摘5 箱、不卖，第2 天的保存成本=150；第3 天继续采摘8 箱、不卖，第3 天的保存成本=230。要求成本最低，一共75 箱水果，最少需要8 天，第1 天采 摘的水果过夜成本是最高的（算7 天的过夜费），所以第1 天5 箱，后面每天10 箱，保存成本=50+150+250+350+450+550+650，第八天一次性交付，交付当天不 计成本，等差数列，所求=中位数*项数=350*7=2450，对应B 项。 23 答疑/学习笔记分享 抖音：公考王义讲数资 【注意】抖音：公考王义讲数资，会分享资料分析的速算方法，比如差分法、 年均增长率的计算、资料分析小窍门等。 24 遇见不一样的自己 Be your better self
