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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（上海卷）01·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合 ，则 ．
【答案】
【分析】先求出集合B，再应用并集定义计算即可.
【解析】 ．
故答案为： .
2．不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】将不等式转化成一元二次不等式求解即可.
【解析】由不等式 ，得 ，即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为：
3．准线为直线 ，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 .
【答案】
【分析】由抛物线的性质得出抛物线标准方程即可.【解析】设抛物线为 ，
因为准线为 ，则 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
4．函数 的严格减区间为 .
【答案】
【分析】根据严格减区间定义即可得出答案.
【解析】因为 的单调减区间为 ，
所以 的严格减区间为 .
故答案为：
5．在研究线性回归模型时， 样本数据 （ ， ， ， ， ）所对应的点均在直线
上，用 表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 .
【答案】
【分析】根据线性相关系数的定义直接得解.
【解析】由已知样本数据 （ ， ， ， ， ）所对应的点均在直线 上，
则 ，
又 ，
所以满足负相关，
即 ，
故答案为： .
6．若 （ 为虚数单位）是关于 的方程 的根，则实数 ．
【答案】【分析】方程有两个虚数根，则这两个虚数根互为共轭复数，由韦达定理得出参数的值.
【解析】∵ （ 为虚数单位）是关于 的方程 的根
∴另一根为
∴
∴
故答案为：
7．设 ，若 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用对数函数单调性求解不等式.
【解析】当 时，函数 在 上单调递减，
不等式 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
8．已知数列 满足 ，且 ， ，则 ．
【答案】
【分析】
根据等差中项法判断数列 为等差数列，进而利用等差数列的性质求解.
【解析】因为数列 满足 ，
所以数列 为等差数列，
所以 ，又因为 ， ，所以 ，解得 ，
故答案为： .
9．设 ，若 ，则
．
【答案】
【分析】令 ，即可得到 ，再利用赋值法计算可得.
【解析】令 ，则 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以 .
故答案为：
10．在平面直角坐标系 ，已知点 在圆 内，动直线 过点 且
交圆 于 两点，若 的面积等于 的直线 恰有3条，则正实数 的值为 .
【答案】
【分析】将圆的方程配成标准式，求出圆心及半径，由三角形面积公式得 ，则
或 ，要使 的面积等于 的直线 恰有3条，则 有最小值，从而得到 ，即可
求解；
【解析】解：由 ，得： ，则圆心 ， ，
因为点 在圆内，所以 解得
由已知得： ，
解得： ，则 或
因为过 的直线与圆相交于 ， 两点，要使 的面积等于 的直线 恰有3条，则 有最
小值，
即
所以 （负值舍去）.
故答案为： .
11．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆 和半圆 的直径均为2.8米，平面 和平面
均垂直于平面 ，用任意平行于帐篷底面 的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该
帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）
【答案】3.7
【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的
体积减去正四棱锥的体积，计算即可.
【解析】设截面与底面的距离为 ，在帐篷中的截面为 ，
设底面中心为 ，截面 中心为 ，则 ， ，
所以 ，所以截面为 的面积为 .A B C D
1 1 1 1
设截面截正四棱柱得四边形为 ，截正四棱锥得四边形为 ，
底面中心 与截面 中心 之间的距离为 ，
在正四棱柱中，底面正方形边长为 ，高为 ， ，
所以 ，所以 ， 为等腰直角三角形，
所以 ，所以四边形 边长为 ，
所以四边形 面积为 ，
所以图2中阴影部分的面积为 ，与截面 面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即 .
帐篷围成几何体的体积为： （立方米）.
故答案为：3.7.
12．对于具有相同定义域D的函数 和 ，若存在函数 (k，b为常数)，对任给的正数
m，存在相应的 ，使得当 且 时，总有 ，则称直线 为曲线
和 的“分渐近线”．给出定义域均为 的四组函数如下：
① ， ；② ， ；
③ , ；
④ ,
其中，曲线 和 存在“分渐近线”的是 ．
【答案】②④
【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数.
【解析】 和 存在分渐近线的充要条件是 时， ．
对于① ， ，当 时，令
由于 ，所以 为增函数，不符合 时， ，所以①不存在；
对于② ，
，
因为当 且 时， ，所以存在分渐近线；
对于③ ， ，
当 且 时， 与 均单调递减，但 的递减速度比 快，
所以当 时 会越来越小，不会趋近于0，
所以不存在分渐近线；
对于④ ， ，当 时，，且
因此存在分渐近线．
故存在分渐近线的是②④．
故答案为②④．
【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于中档题.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．“ ”是“事件A与事件 互相独立”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据事件互斥，对立，独立的关系得出即可.
【解析】因为对于任意两个事件 ，如果 ，则事件 与事件 相互独立，若事件
与事件 相互独立，则事件A与事件 也互相独立，所以充分性成立；
若事件A与事件 互相独立，则事件 与事件 也相互独立，则 成立，所以必要性
成立；
故选：C
14．已知 和 都是锐角，向量 ， ，则（ ）
A．存在 和 ，使得 B．存在 和 ，使得
C．存在 和 ，使得 D．存在 和 ，使得
【答案】B【分析】依题意可得 ，根据数量积的坐标表示及和角公式得到 ，即可判断A、C，
当 时可以判断B，根据数量积的运算律判断D.
【解析】因为 和 都是锐角，所以 ，
又 ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，所以 ，故 ，因此A和C错误；
当 时， ，即 ，所以B正确；
，所以D错误；
故选：B.
15．如图，正四棱柱 的底面 边长为 ， 为 上任意一点， 为 中点，若棱
上至少存在一点 使得 ，则棱长 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出点 、 、 的坐标，结合已知条件得到方程 ，根据方
程解的情况求出 的取值范围即可求解.【解析】根据已知条件， 以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴的空间直角坐标系，
设正四棱柱的高为 ，令 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
整理得： ，因为棱 上至少存在一点 使得 ，
所以关于 得的方程 ， 至少有一个解，
即 ，整理得： ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以棱长 的最大值为 .
故选：A
16．已知数列 ，若存在数列 满足对任意正整数 ，都有 ，则称数列 是
的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列 ，不存在等差数列 ，使得 是
的交错数列；②对任意给定的等比数列 ，都存在等比数列 ，使得 是 的交错数列.下列结论
正确的是（ ）
A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题；
C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题．【答案】A
【分析】对于①：根据等差数列通项公式为一次函数形式分析判断；对于②：根据等比数列通项公式为指
数型，并举例说明即可.
【解析】对于①：因为数列 、 均为等差数列，
设 ，则 ，
若 ，可知当 时， 恒成立，不满足交错数列；
若 ，可知 的符号不变，不满足交错数列；
若 ，可知当 时， 恒成立，不满足交错数列；
综上所述：对任意等差数列 、 ， 均不是 的交错数列，故①正确；
对于②：因为数列 为等比数列，设 ， 等比数列 的公比为
不妨假设 ， ，此时等比数列 的公比为
当 为奇数，则 ；
当 为偶数，则 ；
满足 是 的交错数列，
若等比数列 的公比为 ，根据对称结构，上述结论依然成立，
同理若 ， ，此时等比数列 的公比为
当 为奇数，则 ；
当 为偶数，则 ；
满足 是 的交错数列，
若等比数列 的公比为 ，根据对称结构，上述结论依然成立，综上所述：对任意给定的等比数列 ，都存在等比数列 ，使得 是 的交错数列，故②正确；
故选：A.
【点睛】关键点点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求
解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，四边形ABCD是正方形， 平面ABCD， ．
(1)求证： 平面PBC；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【解析】（1）由正方形 ，得 ，而 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，因此平面 平面 ，而 平面 ，
所以 平面 .
（2）由 平面 ，且四边形 为正方形，得直线 两两垂直，
以B为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，令 ，则 ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
设二面角 的大小为 ，则 ， ，
所以二面角 的正弦值为 .
18．已知函数 ( 为常数， ).
（1）讨论函数 的奇偶性；
（2）当 为偶函数时，若方程 在 上有实根，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；
（2）当函数 为偶函数时， ，列出方程 ，利用换元法，结合指数函数和对勾函
数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数 的取值范围．
【解析】（1）∵函数 的定义域为 ，又∵
∴①当 时，即 时，可得
即当 时，函数 为偶函数；
②当 时，即 时，可得
即当 时，函数 为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数 为偶函数时， ，
即 时，
由题可得，
令 ，则有
∵
∴ ，
又∵ ，当且仅当 时，等号成立
根据对勾函数的性质可知， ，即
①
此时 的取值不存在；
②此时，可得 的取值为
综上可得
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令
，则方程化简为 ，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考
查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．
19．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
不达标 达标 合计
男 300
女 100 300
合计 450 600
(1)完成 列联表，根据显著性水平 的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为 ，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为 ，用
上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测
试，求其体能测试合格的概率；
(3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分
布、数学期望及方差．
附： ， ．
【答案】(1)表格见解析，根据显著性水平 的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
(2)
(3)分布列见解析，数学期望为 ，方差为
【分析】（1）根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可.
（2）根据全概率公式结合表格数据可求出这600位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的
思想可得当地全体居民体能测试合格的概率.（3）由题意随机变量 ，且由（2） ，故根据二项分布概率公式即可求得X的每一
个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差.
【解析】（1）根据数据补全 列联表如下：
不达 达 合
标 标 计
男 50 250 300
女 100 200 300
合
150 450 600
计
零假设 体育锻炼达标与性别无关，
由表格数据得 ，
因为 ，
所以推断 不成立，依据显著性水平 的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
（2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为 ，
记事件 “从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”，
则由题 .
（3）由题意 ，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即 ，
所以 ； ；
； ；
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3P
则 ； .
20．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆 ： 的左，右焦点外别为 ， ，设P是第一象限
内 上的一点， 、 的延长线分别交 于点 、 ．
（1）求 的周长；
（2）求 面积的取值范围；
（3）设 、 分别为 、 的内切圆半径，求 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；
（2）设过 的直线方程为 ，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得 ，换元后可
求 ，代入三角形面积公式即可求解；
（3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得 ，即可转化为
，根据三角形面积可化为 ，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解.
【解析】
（1） ， 为椭圆 的两焦点，且 ， 为椭圆上的点，
，从而 的周长为 ．
由题意，得 ，即 的周长为 .
（2）由题意可设过 的直线方程为 ，
联立 ，消去x得 ，
则 ，
所以 ，
令 ，
则 （当 时等号成立，即 时）
所以 ,
故 面积的取值范围为 .
（3）设 ，直线 的方程为： ，将其代入椭圆 的方程可得
，
整理可得 ，
则 ，得 ， ，
故 ．当 时，直线 的方程为： ，将其代入椭圆方程并整理可得
，
同理，可得 ，
因为 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立.
若 轴时，易知 ， ， ，
此时 ，
综上， 的最大值为 .
21．定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在实数 ，满足
，那么称函数 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点.例如
是区间 上的“平均值函数”，0是它的均值点.
(1)已知函数 、 ，判断 、 是否为区间 上的“平均值函数”，并说明理由；
(2)设 是区间 上的“平均值函数”，1是函数 的一个均值点，求所有满足条
件的整数数对 ；
(3)若 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点，求证： .
【答案】(1)函数 是区间 上的“平均值函数”，
不是区间 上的“平均值函数”，理由见解析
(2) 或 或 或 .
(3)证明见解析
【分析】（1）利用“平均值函数”的定义计算即可判断；
（2）由平均值函数的定义可得 ，可求所有满足条件的整数数对 ；
（3）所证不等式可变形为 ，利用换元法，令 ，可证结论.
【解析】（1）（1）函数 是区间 上的“平均值函数”，
不是区间 上的“平均值函数”，理由如下：
由题题意 ，得 ，则 ，所以函数 是区间
上的“平均值函数”；，即 ，
所以 ，无解，所以 不是区间 上的“平均值函数”；
（2）因为 是区间 上的“平均值函数”，1是函数 的一个均值点，
所以 ，
即 ， 显然不成立，
所以 ，因为 是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得 ，
又所求的 为整数对，故 或 或 或 .
（3）由题意可得 ，则所证不等式为 ，
需证 ，令 ，则不等式为 ，
则不等式等价于 ，
令 ，求导得 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，即 .
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足 ，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为
常见函数，进行求解即可.
