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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（上海卷）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．若集合
，
或
，则
.
【答案】
【详解】由题意
，
故答案为：
．
2．已知i 为虚数单位，复数
，则
.
【答案】
【详解】由
可得
，
所以
.
故答案为：
3．若函数
的最小正周期是
，则
的取值可以是 ．（写出一个即可）．
【答案】2 或-2（写一个即可）
【详解】由题知，
，
即：
，
解得：
.
故答案为：2 或-2（写一个即可）.
4．一组数据按从小到大的顺序排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是
16，若
分位数是20，则
.
【答案】33
【详解】因为
，故中位数是
，解得
；
因为
，故75%分位数是
，则
；
所以
故答案为：33.
5．已知
，则
（结果用数字表示）
【答案】
【详解】由题意得
，
.
故答案为：
.
6．设等差数列
中，
，前
项和为
，则
．
【答案】30
【详解】等差数列
中，根据等差数列的性质可知：
，
即
，则
．
故答案为：30．
7．艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课
程
后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的
．为使得所记忆的内容不低于原来的
，最多在
个星期之后对所学内容进行复习，则
．（
，
）
【答案】
【详解】根据题意一个星期后，记忆内容剩余
；二个星期后，记忆内容剩余
；
个星期后，记忆内容剩余
，为使得所记忆的内容不低于原来的
，
则有
，
为增函数，对上式两边取对数有
，
，
，又因为
，所以
，
即
，
，
，
，
所以最多在10 个星期之后对所学内容进行复习.
故答案为：
8．已知数列
满足
，点
在双曲线
上，则
．
【答案】4
【详解】作出示意图如图所示：
当
时，
与渐近线平行，
在
轴的投影为2，
不妨取渐近线
，令其倾斜角为
，则
，
所以
，所以
.
故答案为：4.
9．为增强学生体质，某校在暑假期间组织本校学生开展各项体育比赛，由于工作需要，将10 名志愿者分
成4 组，每组至少2 人，则不同的分组方法种数为 ．
【答案】9450
【详解】将10 名志愿者分成4 组，每组至少2 人，有两种分组方案：
（1）若小组人数分别为2，2，2，4，则有
种；
（2）若小组人数分别为2，2，3，3，则有
种，所以共有
种．
故答案为：9450
10．用
表示点
与曲线
上任意一点距离的最小值．已知
及
，
设
为
上的动点，则
的最大值为 ．
【答案】3
【详解】如图所示，
得到圆心
；
得到圆心
；
由于
，所以两圆相离，因为
为
上的动点，
，
所以要使
取得最大值，只需
最大即可，
因为
，则
的最大值为.
故答案为：3.
11．如图，已知三角形
为直角三角形（
为直角），分别连接点
与线段
的
等分点
，
，…，
得到
个三角形依次为
，
，…，
，将
绕看
所在直线旋转一周，记
，
，…，
旋
转得到的几何体的体积依次为
，
，…，
，若
，则三角形
旋转得到的几何体的体积
．
【答案】625
【详解】设
，
，
则
，①
，②
②
①得
，所以
，可得
，
则三角形
旋转得到的几何体的体积
.
故答案为：
.
12．经研究发现：任意一个三次多项式函数
的图象都有且只有一个对称中心点
，其中
是
的根，
是
的导数，
是
的导数.若函数
图象的对称中心点为
，且不等式
对任
意
恒成立，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】
，
因为
图象的对称中心点为
，所以
，所以
，
由
，所以
，
原不等式为
，
因为
，所以
，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以
，即
，
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，所以其最小值为
，故
.
故答案为：
.
二、选择题（本大题共4 题,满分18 分,第13-14 题每题4 分,第15-16 题每题5 分)
13．若a、b、
且
，则下列不等式中成立的是（ ）．
A．
B．
C．
（n 为自然数）
D．
【答案】C
【详解】对于A，若
，则
，所以A 错误，
对于B，若
，则
，所以B 错误，
对于C，因为
，
，所以
，所以C 正确，
对于D，若
，则
，所以D 错误.
故选：C
14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，
则下述大小关系正确的为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故
，
图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强，
故
，
，
，故
，所以
.
故选：C.
15．若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．26
D．28
【答案】C
【详解】设直线
与曲线
切于点
，
与曲线
切于点
．
对于函数
，则
，
解得
或
（舍去）．
所以
，即
．
对于函数
，
则
，
整理得
，所以
，故
．
故选：C.
16．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k 个，黑球
.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：
第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局
中甲先摸球，记第
局甲获胜的概率为
，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①
，且
；
②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则
不小于1992.
A．①②都是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
【答案】A
【详解】第一局：摸1 次甲获胜概率为：
，摸3 次甲获胜概率为：
，
摸5 次甲获胜概率：
，摸7 次甲获胜概率：
，
，
摸
次甲获胜概率：
，
所以
，
所以
，
第
局甲获胜包括两种情况：第
局甲赢且第
局甲后摸球和第
局甲输且第
局甲先摸球，
则
，故①正确；
由
，设
，解得
，
所以
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
则
，即
，
所以
，即
，
即
，即
，即
，
则
，即
，解得
，
所以
不小于1992，所以②正确.
故选：A
三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+18+18=78 分）
17．（14 分）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，
，求
的值.
【详解】（1）因为
，
所以
，
即
，
所以
，又
，
所以
.……（7 分）
（2）由正弦定理知，
，
所以
，
所以
，
解得
，
所以
.……（7 分）
18．（14 分）如图：
平面
，四边形
为直角梯形，
，
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的余弦值；
【详解】（1）在
中，
，
所以
，
所以
，所以
，
因为
平面
平面
，
所以
，因为
，
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，
所以平面
平面
；.……（7 分）
（2）因为
平面
，所以
，又
，
所以以
为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系：
则
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，得
，得
，
取平面
的法向量为
，
设二面角
的大小为
，由图形知，
为锐角，
所以
，
所以二面角
的余弦值为
．.……（7 分）
19．（14 分）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投
诉.某市火车站为了解每年火车的正点率
对每年顾客投诉次数
（单位：次）的影响，对近8 年（2015
年~2022 年）每年火车正点率
和每年顾客投诉次数
的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
600
592
43837.2
93.8
(1)求
关于
的经验回归方程；若预计2024 年火车的正点率为
，试估算2024 年顾客对火车站投诉的
次数；
(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8 年中有6 年被评为“优秀”，2 年为“良好”，若
从这8 年中随机抽取3 年，记其中评价“良好”的年数为
，求
的分布列和数学期望.
附：经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
【详解】（1）由题设
，
，则
，
所以
，所以
；
当
时，代入
，得到
，
所以2024 年顾客对该市火车站投诉的次数约为20 次..……（7 分）
（2）由题意，
服从超几何分布，可取0，1，2，
，
，
，
0
1
2
所以
..……（7 分）
20．（18 分）已知函数
.
(1)
，求实数
的值；
(2)若
，且不等式
对任意
恒成立，求
的取值范围；
(3)设
，试利用结论
，证明：若
，其中
，则
.
【详解】（1）由函数
，可得
，所以
，
.
又由
，所以
，解得
...……（6 分）
（2）若
，可得
，
则
，则不等式
可化为
，
即
对任意
恒成立，
令
，则
，设函数
，可得
，
因为
，所以
恒成立，所以函数
在
上严格递增，
所以
，故
，即实数
的取值范围为
...……（6 分）
（3）解法1：由
，
因为
，可得
，
当且仅当
时，等号成立；
所以
，当且仅当
时，等号成立，
故
，
当且仅当
时等号成立.
因此有
，
，
，
以上
个式子相加得：
.
解法2：由
，
可得
，
当且仅当
时等号同时成立.
故
，
，
，
以上
个式子相加得：
...……（6
分）
21．（18 分）如图，已知椭圆
的方程为
和椭圆
，其中
分别是椭
圆
的左右顶点．
(1)若
恰好为椭圆
的两个焦点，椭圆
和椭圆
有相同的离心率，求椭圆
的方程；
(2)如图
，若椭圆
的方程为
.
是椭圆
上一点，射线
分别交椭圆
于
，连接
（
均在
轴上方）.求证：
斜率之积
为定值，求出这个定值；
(3)在（2）的条件下，若
，且两条平行线的斜率为
，求正数
的值．
【详解】（1）由
得：
，
，且
的离心率为
；
恰为
的两个焦点，即椭圆
的半焦距
，
又椭圆
的离心率
，
，
，
椭圆
的方程为：
...……（6 分）
（2）设
，则
，即
，
，
，
，
为定值，定值为
...……（6 分）
（3）
设直线
与椭圆
交于另一点
，由椭圆对称性可知：
关于坐标原点对称，
设直线
，
，
，则
，
由
得：
，
则
，
，
，
，
由（2）知：
，
，
解得：
，又
，
...……（6 分）
