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2026 年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）
专题07 空间向量与立体几何
考点01：空间向量的概念与运算
1. （2025 上海市徐汇中学高三三模）空间向量
的单位向量的坐标是__________．
【答案】
【分析】单位向量只需根据
即可求出.
【详解】
，
，
.
故答案为：
2.（2025 华东师范大学二附中高三5 月冲刺试卷） 已知空间向量
，
，
共面，则实数
______
【答案】3
【分析】根据空间向量共面得到
，得到方程，求出
【详解】设
，即
，
故
，解得
.
故答案为：3
3. （2025-26 复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）在正四面体
中，点
是
的中心，若
（
），则
__________.
【答案】
##
【分析】连接
并延长交
于点
，连接
，可得
，
，结合图形将
用
表示即得.
【详解】
如图，在正四面体
中，连接
并延长交
于点
，连接
，
则
，
，
于是
，
即得
，故
.
故答案为：
.
4. 为空间任意一点，若
，若，，，四点共面，则
_____
答案：.
5. （2025 行知中学高三6 月模拟）如图，在四面体OABC 中，
，
，
．点M 在OA
上，且
，N 为BC 中点，则
等于______.
【答案】
【解析】
【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出
.
【详解】依题意，
.
故答案为：
6.（2026 届高三青浦区一模）如图，在四面体
中，
为
的中点，
，且
为
的
中点,设
,用
,表示
，则
_____.
【解析】
7. 已知空间向量
、
、
两两垂直，空间中点
满足
，记
，则
的取值范围为________.
【答案】
【分析】不妨设
，
，
，
，由空间向量模的意义及条件可得
，进而求出范围.
【详解】不妨设
，
，
，则
.
设
，则有
，
所以
，
由
，及
，
因此得到等式
，即
，
所以
.
故答案为：
.
考点02：平面基本性质的理解
8.以下选项正确的是（ ）
A．空间中两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面.
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
D．若直线
平面
，直线
平面
，则
.
【答案】(1)(4)
【解析】对于(1)，可设与
相交，
这两条直线确定的平面为
；若
与相交，则交点
在平面
内，
同理，
与
的交点
也在平面
内，所以，
，即
，故(1)正确；
对于(2)，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故(2)错误；
对于(3)，空间中两条直线相交、平行或异面，故(3)错误；
对于(4)，若直线
平面
，则
垂直于平面
内所有直线，
直线
平面
，
直线
直线，故(4)正确.
故选：(1)(4).
9．在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一平面的两直线相互平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
【答案】D
【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A 错误；
平行于同一平面的两直线可能相交，故B 错误；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C 错误；
如果两个相交平面
垂直于同一个平面
，且
，则在平面
、
内分别存在直线
垂直于平面
，由线面垂直的性质可知
，再由线面平行的判定定理得
，由线面平行的性质得出
，则
，故D 正确；
故选：D
10.如图，水平放置的
的斜二测直观图为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，所以
．
因为
，所以
，
，所以
．
还原直观图得到
，如图所示．
因为
，
，所以
．
故选：B
考点03：异面直线的判定
11. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN 和PQ 为异
面直线的是（ ）
A.
B.
C.
D.
选：D.
12.（2026 届高三长宁区一模）如图,已知
分别是正方体所在棱的中点,则下列直
线中与直线
异面的是（ ）
A.直线
; B.直线
;C.直线
; D.直线
.
【解析】由异面直线判定定理得与直线
异面的是
故选：D.
13.（2025 上海宝山区高三三模） 如图所示，长方体
中，
，P
是线段
上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答.
【详解】在长方体
中，
，当
是
与
的交点时，
平面
，
与
相交，A 不是；
当点
与
重合时，
平面
，
与
相交，B 不是；
当点
与
重合时，因为长方体
的对角面
是矩形，此时
，C 不是；
因为
平面
，
平面
，而
平面
，因此
与
是异面直线，D
是.
故选：D
14．（2025·上海·模拟预测）如图，
是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是
（ ）．
A．
和
；
B．
和
；
C．
和
；
D．
和
．
【答案】D
【解析】因为
是正四棱台，所以
，故A 错误，
侧棱延长交于一点，所以
与
相交，故B 错误，
同理
与
也相交，所以
四点共面，所以
与
相交，故C 错误，
与
是异面直线，故D 正确.
故选：D
考点04：空间中的位置关系的判定
15. 已知
是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线
的是
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果.
【详解】对于A，
，则与
相交、平行或
，故A 错误；
对于B，
，则与
相交、平行或
，故B 错误；
对于C，
，由线面垂直的性质知
，故C 正确；
对于D，
，则与
相交、平行或
，故D 错误
故选：C.
16.（2026 届高三黄埔区一模）设
是两个不同的平面, 是一条直线,以下命题正确的是( ).
A.若
,则
B.若
,则
C.若
,则
D.若
,则
【解析】若
,则
，正确；
故选：C.
17. （2024 青浦区高三三次学业监测）已知
是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，下列条件
中，一定得到直线
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果.
【详解】对于A，
，则与
相交、平行或
，故A 错误；
对于B，
，则与
相交、平行或
，故B 错误；
对于C，
，由线面垂直的性质知
，故C 正确；
对于D，
，则与
相交、平行或
，故D 错误.
故选：C.
18.（2026 届高三奉贤区一模）设
是互不重合的平面,
是互不重合的直线,给出四个命题:
①若
，则
②若
，则
③若
，则
④若
，则
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】③若
，则
正确；④若
，则
其中正确命题的个数是为两个；故选：B.
19. （2025 建平中学高三下学期三模）已知m，n 是两条直线，
是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若
，
，则
B. 若
，
，则
C. 若
，
，则
D. 若
，
，则
【答案】C
【分析】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可.
【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A 错误；
对B：若
，
，则
或
，故B 错误；
对C：根据线面垂直的定义可知，C 正确；
对D：若
，
，则直线
与平面
的位置关系不确定，故D 错误.
故选：C
20.（2026 届高三静安一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（ ）
A.垂直于同一条直线的两条直线平行.
B.垂直于同一个平面的两个平面平行.
C.若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直.
D.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直.
【答案】D
【解析】一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直.正确；故选：C.
21. （2025 上海市金山中学高三三模）在棱长为1 的正方体
中，点
分别是棱
的中点，动点
在正方形
（包括边界）内运动，则
平面
的一个充分非必要条
件是（ ）
A.
为
B.
为
的中点
C.
的轨迹长度为
D.
为
的中点
【答案】D
【分析】取线段
的中点
，求证平面
平面
，即可逐一分析选项.
【详解】取线段
的中点
，连接
，则
，
因点
分别是棱
的中点，则
，则
，
因
平面
，
平面
，则
平面
，
因
，
，
，
，则
，
，
则四边形
为平行四边形，则
，
又
平面
，
平面
，则
平面
，
又
平面
，则平面
平面
，
故欲使
在正方形
（包括边界）内，且
平面
，
则点
必在线段
上；
A 选项：当
为
时，无法得出
平面
，故A 错误；
B 选项：当
为
的中点，无法得出
平面
，故B 错误；
C 选项：
的轨迹长度为
，无法说明点
在线段
上，
但若
平面
，则
的轨迹长度为
，
则
的轨迹长度为
是
平面
的必要不充分条件，故C 错误；
D 选项：
为
的中点，即点
重合时，必有
平面
，
但
平面
时，
不一定为
的中点，
故
为
的中点是
平面
的充分不必要条件，故D 正确.
故选：D
考点05：空间几何体的表面积和体积
22. （2025 进才中学高三模拟）已知扇形的弧长为
，面积为
，则扇形所在圆的半径为______．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求解即得.
【详解】令扇形所在圆的半径为
，依题意，
，所以
.
故答案为：3
23. （2024 上海市曹杨第二中学高三三模）已知圆锥的底面积为
，高为
，则该圆锥的侧面积为
________．
【答案】
【分析】设圆锥的底面半径为
，高为
，母线长为，先求底面半径
，再根据
求，利用圆
锥的侧面积公式即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为
，高为，母线长为，则
，
，即
，
所以
，所以圆锥侧面积为
，
故答案为：
.
24. （2025 届上海市大同中学高三三模）某圆锥高为1，母线与底面所成的角为
，则该圆锥的表面积为
________
【答案】
【分析】根据给定条件，确定圆锥轴截面三角形形状，求出圆锥底面圆半径及母线长即可.
【详解】由母线与底面所成的角为
，得该圆锥轴截面是等腰直角三角形，而该圆锥的高为1，
即轴截面是等腰直角三角形斜边上的高为1，因此底面圆半径
，母线
，
所以该圆锥的表面积为
.
故答案为：
25. （2025 上海市崇明中学高三三模）若一个圆锥的侧面展开图是面积为
的半圆面，则该圆锥的体积为
.
【答案】
【详解】由面积为
的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为
.所以底面
半径为1.即可得到圆锥的高为
.所以该圆锥的体积为
.
26. （2025 上海宝山区高三三模）若球的大圆的面积为
，则该球的体积为________
【答案】
【分析】根据球的大圆的面积，先计算出球的半径，进而可得球的体积．
【详解】设球的半径为R，
则球的大圆面积为9π=πR2，
解得R=3，
故该球的体积V=
πR3=36π，
故答案为36π
【点睛】本题考查了球的体积公式，面积公式，属于基础题．
27. （2025 华东师范大学二附中高三5 月冲刺试卷）将一个圆心角为
、面积为
的扇形卷成一个圆
锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________．
【答案】
【分析】由已知可求圆锥底面圆的半径与母线，设轴截面的内切圆半径为
，进而由
，可求得
，进而可求得球的表面积.
【详解】设圆锥底面半径为
，母线长为
，则
，解得
，
，
易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中
，
，且点
为
边上的中点，
设内切圆的圆心为
，由于
，
故
，
设内切圆半径为
，则
，
解得
，其表面积为
.
故答案为：
.
28. 已知三棱锥
的四个顶点均在球
的表面上，且
，
，
，
．若点
到底面
的距离为1，则球
的表面积为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】依据线面垂直的判定定理来确定线面垂直关系，再利用长方体的体对角线与外接球直径的关系求
出球的直径，进而求出球的半径和表面积.
【详解】因为
平面
，所以
底面
，
因为点
到底面
的距离为1．所以
．
因为
平面
，
所以
平面
，而
平面
，故
，
，
即该球的直径为
所以球的半径为
．
故选：B
29. （2025 上海市徐汇中学高三三模）已知四棱台
的侧棱
垂直于底面，底面
是边长为2 的正方形，四边形
是边长为1 的正方形，
，则四棱台
的体积为______.
【答案】
##
【分析】过
作
于
，利用勾股定理求出
，再利用棱台的体积公式求解即可.
【详解】过
作
于
，则
，
因为
平面
，所以
平面
，
在
中，
，
可得
，
从而棱台的高
，
所以四棱台的体积为：
故答案为：
.
30. （2025 上海市格致中学高三三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．
已知在鳖臑
中，
，
平面
，当该鳖臑的外接球的表面积为
时，则该
鳖臑的体积为________．
【答案】
【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再应用体积公式计算求解.
【详解】
如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，
则三棱锥
外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥
的外接球的半径为
，
三棱锥
的外接球的表面积为
，
，
，
，
，解得
，
.
故答案为：
.
31.如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为
，则
该正四棱台的体积为_______
【解析】设
，则
，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上下底面为正方形，
､
在四边形
中，过点
作
于点
，
，则
，
，解得
，
在平面
中，过点
作
于点
，则
为正四棱台的高，
且
，因此
，
该正四棱台的体积为
.
32. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称
美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的
“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为_______
【解析】将该多面体放入正方体中, 如图所示.
由于多面体的棱长为, 所以正方体的棱长为
因为该多面体是由棱长为
的正方体连接各棱中点所得,所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中
点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即
，所以
所以该多面体外接球的体积
.
考点06：空间中角与距离问题
33. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB 与CD 所成角的大小不可能为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案.
【详解】①由题意作图如下：
由图易知
为等腰直角三角形，则直线
与
的夹角为
；
②由题意作图如下：
由图易知
为等边三角形，则直线
与
夹角为
；
③由题意作图如下：
由图易知
，因为
，则直线
与
的夹角为
.
而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB 与CD 所成角为
.
故选：A.
34. （2025 复旦大学附属中学高三期末）已知一圆锥的侧面积与底面积的比值为2，则该圆锥的母线与底面
所成的角为_____.
【答案】
##
【分析】利用侧面积和底面积公式即可求出
，即可求出圆锥的母线与底面所成的角
的余弦值.
【详解】设圆锥的底面半径为
，母线长为，则底面积
，侧面积
，
由题知：
，得
，
设圆锥的母线与底面所成的角
，则
，得
.
故答案为：
35. （2024 学年宜川中学高三模拟）正四面体中，相邻两个面所成的锐二面角的大小为______.
【答案】
【分析】在正四面体中，作出正四面体中相邻平面的二面角，利用余弦定理可求其锐二面角的大小.
【详解】
在正四面体
中，E 为
中点，则
，
又平面
平面
，所以
就是平面
与平面
所成锐二面角的平面角，
设正四面体棱长为
，
，
，
所以相邻两个面所成的锐二面角的大小为
.
故答案为：
.
36.（2025 复旦大学附属中学高三6 月检测） 已知圆锥底面半径为
，母线长为2，点A 为底面圆周上一
点，若一只蚂蚁从点A 出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A 点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．
【答案】
【分析】由圆锥的侧面展开图为圆心角为90 度的扇形，结合等腰直角三角形，即可求得最短距离.
【详解】由题意，圆锥底面半径为
，母线长为2，
因为圆锥底面半径为
，可得底面周长为
，
可得圆锥的侧面展开图为圆心角为90 度的扇形，如图所示，
则三角形
为边长为2 的等腰直角三角形，所以最短距离为
.
故答案为：
37. （2024 上海市曹杨第二中学高三三模）已知圆柱的底面半径为，高为
，A、B 分别为该圆柱上、下底
面圆周上的动点．若直线
和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB 长度的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据圆柱的结构特征及异面直线定义，数形结合判断线段长度范围.
【详解】如下图
，
要使直线AB 与该圆柱的轴始终互为异面直线，则
不能与
重合，
假设
能与
重合，若
与
重合时线段AB 长度最小为3；
若
与
重合时线段AB 长度最大为
，
综上，线段AB 长度的取值范围是
.
故答案为：
.
考点07：直线与平面平行、垂直的证明（综合题）
38. （2025 上海宝山区高三三模）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为矩
形，
为线段
的中点，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
的夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明
平面
；
（2）通过建立空间直角坐标系求出平面
的法向量，进而利用向量公式求出直线
与平面
所成
角的正弦值.
【小问1 详解】
连接
交
于点
是
的中点，
是
中点.
.
又
平面
平面
平面
.
【小问2 详解】
建立如图所示的空间直角坐标系
.则
，
.
设平面
的法向量为
，则
令
，则
.
是平面
的一个法向量.
，
设直线
与平面
所成角为
，
则直线
与平面
所成角的正弦值为
.
39. （2025 上海市格致中学高三三模）图一，四边形
是边长为2 的菱形，且
，点
为
的中点，现将
沿直线
折起，形成如图二的四棱锥
，点
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若三棱锥
的体积为
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取线段
的中点为
，连接
和
，证明四边形
为平行四边形，
可得
，再由线面平行的判定定理即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，利用向量
法求解即可
【小问1 详解】
图二中，取线段
的中点为
，连接
和
，
∵点
为
的中点，
∴
且
；
由题易知：
且
，
∴
且
；
∴四边形
为平行四边形，
∴
；
∵
平面
，
平面
，
∴
平面
【小问2 详解】
由题知：在图一中，
、
都是正三角形，且点
为
的中点，
则有
，
，
，
，
此时
；
设三棱锥
的高为，则
，则
，
即点
到平面
的距离为1，而
，故
平面
；
则可以建立如图所示的空间直角坐标系，
且
，
，
，
，
则
，
，
；
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
；
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
；
则
，
设二面角
的平面角为
，
则
40. （2025 上海市崇明区高三三模）如图，已知点
在圆柱
的底面圆
的圆周上，
为圆
的直径.
（1）求证：
；
（2）若
，
，圆柱
体积为
，求异面直线
与
所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明
平面
，即可求解；
（2）延长
交圆
于点
，连接
、
、
，易知
或其补角
即为所求的角，
即可求解.
【小问1 详解】
证明：易知
，
又由
平面
，
平面
，得
，
而
平面
，
则
平面
，而
平面
，故
.
【小问2 详解】
延长
交圆
于点
，连接
、
、
，
易知
或其补角
即为所求的角，
由题知
，解得
，
中，
由余弦定理得
，
所以
，所以异面直线
与
所成角的大小为
.
41. （2025 届上海市大同中学高三三模）如图，在四面体
中，
为棱
上一点，
，
，
，且
，
，二面角
大小为
.
（1）证明：
平面
；
（2）求
的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；
（2）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得
，把这个三棱锥换成以
作底面，以
为坐
标原点，建立空间直角坐标系，设
，求出平面
、平面
的法向量，由二面角的向量求法
可得答案.
【小问1 详解】
因为
，
，
，
所以
，即
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
；
【小问2 详解】
由
平面
，
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
把这个三棱锥换成以
作底面，以
为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
设
，则
，则
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，所以
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，所以
，
因为二面角
的大小为
，
所以
，解得
.
42. （2024 上海市曹杨第二中学高三三模）如图，三棱柱
中四边形
､
是菱形，且
，
，
，
，
（1）证明：平面
平面
；
（2）求直线
和平面
所成角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接
交
于O，连接
，证明
可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理
得证；
（2）利用等体积法求出点
到平面
的距离
，再由线面角公式
求解即可.
【小问1 详解】
连接
交
于O，连接
，如图，
四边形
是菱形，所以
，
又
，
，
是
的中点，
所以
且
，
由
，可知
为正三角形，
所以
，
，
在
中，
，所以
，
又
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
【小问2 详解】
设
到平面
的距离为
，
因为
中，
，
，
所以
，
又
，
，
所以由
，可得
,
即
,
设直线
和平面
所成角为
，
则
.
考点08：空间中的角与距离问题（综合题）
43. （2025 进才中学高三模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P
AD1中点，Q 是BD 中点，E 是DD1中
点．
（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；
（2）求异面直线CE 和DP 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】
【详解】试题分析：（1）连接AC，CD1，推导出PQ∥CD1，由此能证明PQ∥平面D1DCC1．
（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，推导出四边形FPDE 是平行四边形，从而∠FEC 或其补角中的锐角
或直角为异面直线CE 和DP 所成角，由此能求出异面直线CE 和DP 所成角的余弦值．
试题解析：（1）证明：连接
.∵底面
∴
取
∴
故四边形
是平行四边形，∴
∴
或其补角中的锐角或直角为异面直线
和
所成角.
在
∴异面直线
和
所成角的余弦值为
．
44. （2025 七宝中学高三三模）如图，
是圆锥的顶点，
是底面圆
的一条直径，
是一条半径.且
，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为
的半圆面.
（1）求该圆锥的体积：
（2）求异面直线
与
所成角的大小.
【答案】（1）
（2）
【分析】(1)运用圆锥的体积公式求解；
(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角公式求解.
【详解】解：（1）设该圆锥的母线长为，底面圆半径为
，高为，
由题意
，∴
，
底面圆周长
，∴
，
∴
，
因此，该圆锥的体积
；
（2）如图所示，取弧
的中点
，则
，
因为
垂直于底面，所以
、
、
两两垂直
以
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，
计算得
，
，
，
，
所以
，
，
设
与
所成角的大小为
，
则
，
所以
，
即异面直线
与
所成角的大小为
.
【点睛】本题考查圆锥的体积和异面直线所成的角，属于基础题.
45. （2025 华东师范大学二附中高三5 月冲刺试卷）如图，四边形
是圆柱
的轴截面，
，
，以圆柱上底面为底面作高为
的圆锥
，
、
分别在
、
上，
，
.
（1）求这个几何体的表面积和体积；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）表面积为
，体积为
；（2）
.
【解析】
【分析】（1）计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体
的表面积，结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积；
（2）以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
，利
用空间向量法可求得二面角
的余弦值.
【详解】（1）由题意可知，圆柱的底面半径为
，
因为
为圆锥的高，且
，所以，圆锥的母线长为
，
又
，因此，该几何体的表面积为
.
该几何体的体积为
；
（2）以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系
，
则点
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
由
，得
，令
，则
，
，
所以，平面
的一个法向量为
，
易知平面
的一个法向量为
，
，
由图象可知，二面角
为锐角，它的余弦值为
.
【点睛】本题考查组合体的表面积与体积的计算，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考
查计算能力，属于中等题.
46. 如图，已知一个由半圆柱与多面体
构成的几何体，平面
与半圆柱的下底面共面，且
．
为半圆弧
上的动点（与
，
不重合）
（1）证明：平面
平面
；
（2）若四边形
为正方形，且
，
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）面面垂直判定应用，由两个线线垂直：
，
，得线面垂直，进而得面面
垂直；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角
的余弦值.
【小问1 详解】
在半圆柱内，
平面
，所以
；
因为
为上底面对应圆的直径，所以
，
又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，
所以平面
平面
.
【小问2 详解】
根据题意以
为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为
，所以
，
，
，
，
，
所以
，
，
平面
的一个法向量
，
设平面
的一个法向量
，
则
，令
，则
，
取
，所以
，
由图可知，二面角
为钝角，
所以所求二面角
的余弦值为
.
47. （2025 上海市徐汇中学高三三模）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O
的半径为1，圆锥的高
，三棱锥
的底面
是以圆锥的底面圆的直径AB 为斜边的等腰
直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．
（1）求直线
和平面
所成角的大小；
（2）求该几何体的表面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）找到直线
和平面
所成角等于
，由
，求出线面角；
（2）求出圆锥表面积的一半加上
、
和
的面积即可.
【小问1 详解】
连接
，由题意，
⊥平面
，故直线
在平面
上的射影为直线
，
因此直线
和平面
所成角等于
．
因为
是以
为直径的等腰直角三角形，所以
．
因此，由
知
．
即直线
和平面
所成角的大小为
．
【小问2 详解】
由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上
、
和
的面积．
因为圆锥的高
，圆锥的底面半径
，所以圆锥的母线长为
，
表面积为
．
在
和
中，
，
，
所以
，得
． 同理
．
因此
．
而
，
因此，所求表面积为
．
考点09：存在性问题（综合题）
48. （2024-25 长宁区高三监测练习试卷）图1 所示的平行四边形
中，
，
现
将
沿
折起，得到如图2 所示的三棱锥
，记棱
的中点为
，且.
.
（1）求证：
；
（2）记棱
的中点为
，在直线
上作出点
，使得
平面
，请说明理由，并求出二面角
的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析，理由见解析，
，
【解析】
【分析】（1）通过条件证明
面
，进而证明
面
，即可求解；
（2）以
为临边，构造矩形
,通过中位线可说明点
即为点
，再通过二面角平面角的概念
求得
为二面角
的平面角，即可求解.
【小问1 详解】
因为
，
，
，
所以
，所以
，即
，
图2 中，
，
则
,所以
，又
，
又
为平面
内两条相交直线，
所以
面
，又
在面
，
所以
又
，
为平面
内两条相交直线，
所以
面
，又
在面
内，
所以
.
【小问2 详解】
以
为临边，构造矩形
,连接
，易知过点
，
因为
分别为
的中点，
所以
，又
在平面
内，
在平面
外，所以
平面
,
即点
就是
点，
由（1）知
面
，
在面
内，
所以
，又
，
是平面
内两条相交直线，
所以
面
，
在面
内，
所以
，又
，
所以
为二面角
的平面角，
因为
,
所以
，
所以二面角
的大小为
.
考点10：最值与范围问题（综合题）
49.（2026 届高三普陀一模）如图所示，过圆柱的轴
的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2 的正
方形
是该圆柱底面圆周上异于
、
两点的点.
（1）设平面
平面
，求证:
；
（2）当三棱锥
的体积最大时，求二面角
的余弦值.
【解析】（1）由已知得
，又
平面
，
在平面
外，
则
平面
, 4 分
又平面
平面
平面
则
.
6 分
（2）设
的边
上的高为
，则
，
，
当三棱锥
的体积最大时，
，即
为
的中点， 2 分
又
平面
是
在平面
上的投影，
，
由三垂线定理得，
，
则
是二面角
的平面角, 6 分
在直角三角形
中,
,则
,
即所求的二面角
的余弦值为
.
1.（2025·全国2 卷·14 题）一个底面半径为
，高为
的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有
两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为
．
【答案】
【解析】若两铁球相切，且下方铁球与底面和侧面均相切，轴截面如图，
则球的半径
，此时
，故不符合题意；
若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切，
两球心均在圆柱上下底面中心连线上，如图，
则铁球半径
满足
，此时
；
若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切，
两球心分别在圆柱轴截面对角的角平分线上，轴截面如图，
其中
为轴截面对角线，
、
为两球球心，
分别过
作
的平行线，过
作
的平行线，两线交于点
，
设铁球半径为
，则
，
，
，
所以
，解得
或
（舍去），故此时
．
综上，铁球半径的最大值为
．
故答案为：
．
2．（2025·天津卷·4 题）若
为直线，
，
为两个平面，则下列结论中正确的是
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【解析】对于
，若
，
，则
与
可能平行也可能异面，故
错误；
对于
，若
，
，则
，故
错误；
对于
，若
，
，则
，
正确；
对于
，若
，
，则
可能平行于
，也可能与
斜交，也可能垂直于
，故
错误．
故选：
．
3．（2024·甲卷（文）·11 题）设
是两个平面，
是两条直线，且
.下列四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
③若
，且
，则
④若
与
和
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
【答案】A
【解析】对①，当
，因为
，
，则
，
当
，因为
，
，则
，
当
既不在
也不在
内，因为
，
，则
且
，故①正确；
对②，若
，则
与
不一定垂直，故②错误；
对③，过直线
分别作两平面与
分别相交于直线和直线，
因为
，过直线
的平面与平面
的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知
，
同理可得
，则
，因为
平面
，
平面
，则
平面
，
因为
平面
，
，则
，又因为
，则
，故③正确；
对④，若
与
和
所成的角相等，如果
，则
，故④错误；
综上只有①③正确，
故选：A.
4.（2024·新高考Ⅰ卷·5 题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆锥的
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为
，
而它们的侧面积相等，所以
即
，
故
，故圆锥的体积为
.
故选：B.
5.（2024·新高考Ⅱ卷·7 题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面ABC
所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】解法一：分别取
的中点
，则
，
可知
，
设正三棱台
的为，
则
，解得
，
如图，分别过
作底面垂线，垂足为
，设
，
则
，
，
可得
，
结合等腰梯形
可得
,
即
，解得
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值为
；
解法二：将正三棱台
补成正三棱锥
，
则
与平面ABC 所成角即为
与平面ABC 所成角，
因为
，则
，
可知
，则
，
设正三棱锥
的高为
，则
，解得
，
取底面ABC 的中心为
，则
底面ABC，且
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值
.
故选：B.
6．【2022 年上海市高考数学第5 题】已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 ．
【答案】24π．
【解答】解：因为圆柱的底面积为9π，即πR2＝9π，
所以R＝3，
所以S 侧＝2πRh＝24π．
故答案为：24π．
7.（2022·新课标甲卷·文10 题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分
别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为
，乙圆锥底面圆半径为
，则
，所以
，
又
，则
，所以
，所以甲圆锥的高
，
乙圆锥的高
，所以
.
故选：C.
8．【2021 年上海市高考数学第9 题】已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C
是下底面圆周上的一个动点，则△ABC 的面积的取值范围为 ．
【答案】
【解答】解：如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O'，
连接OC，过点C 作CM⊥AB，垂足为点M，
则
，
根据题意，AB 为定值2，所以S△ABC的大小随着CM 的长短变化而变化，
如图2 所示，当点M 与点O 重合时，CM＝OC
，
此时S△ABC取得最大值为
；
如图3 所示，当点M 与点B 重合，CM 取最小值2，
此时S△ABC取得最小值为
．
综上所述，S△ABC的取值范围为
．
故答案为：
．
9.（2021·新高考2 卷·5 题）正四棱台的上下底面的边长分别为
､
2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高
，
下底面面积
，上底面面积
，
所以该棱台的体积
.
故选：D.
10.（2021·新课标甲卷·文14 题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为
则该圆锥的侧面积为________.
【答案】
【解析】∵
∴
∴
∴
.
故答案为：
.
11.（2025·上海·18 题）如图，
是圆锥的顶点，
是底面圆心，
是底面直径，且
．
（1）若直线
与圆锥底面的所成角为
，求圆锥的侧面积；
（2）已知
是母线
的中点，点
、
在底面圆周上，且弧
的长为
，
．设点
在线段
上，证明：直线
平面
．
【解析】：（1）如图，连接
，依题意及圆锥的性质得
，
，
，
所以
，
所以圆锥的侧面积
．
（2）证明：连接
，
，
，
因为
是母线
的中点，
是底面圆
的直径，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
则△
为等边三角形，
，
所以
，
所以△
为等边三角形，
，
所以
，
所以四边形
是平行四边形，则
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
而
，
，
平面
，
所以平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
．
解法二：同解法一
（1）连接
，
，
，
在
中
，
为等边三角形可得
四边形
为平行四边形
解法三：同解法一
（1），设
的中点为
，建立坐标系
为坐标原点，以
分别为
轴，可得
.所以
，设
是平面
的一个法
向量，
令
，可得
。所以
。
令
则
，
，
,
所以
，即
12．（2024·北京·17 题）已知四棱锥P-ABCD，
，
，
，
，E 是
上一点，
．
(1)若F 是PE 中点，证明：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）取
的中点为，接
，则
，
而
，故
，故四边形
为平行四边形，
故
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）
因为
，故
，故
，
故四边形
为平行四边形，故
，所以
平面
，
而
平面
，故
，而
，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
则
设平面
的法向量为
，
则由
可得
，取
，
设平面
的法向量为
，
则由
可得
，取
，
故
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
