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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（上海卷）·参考答案
一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1.
2.
3. 2 或-2（写一个即可） 4.33
5. -56 6. 30 7. 10 8.4
9.9450 10. 3 11. 625 12.
二、选择题（本大题共4 题,满分18 分,第13-14 题每题4 分,第15-16 题每题5 分)
13
14
15
16
C
C
C
A
三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+18+18=78 分）
17.（14 分）【详解】（1）因为
，
所以
，
即
，
所以
，又
，
所以
.……（7 分）
（2）由正弦定理知，
，
所以
，
所以
，
解得
，
所以
.……（7 分）
18．（14 分）【详解】（1）在
中，
，
所以
，
所以
，所以
，
因为
平面
平面
，
所以
，因为
，
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，
所以平面
平面
；.……（7 分）
（2）因为
平面
，所以
，又
，
所以以
为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系：
则
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，得
，得
，
取平面
的法向量为
，
设二面角
的大小为
，由图形知，
为锐角，
所以
，
所以二面角
的余弦值为
．.……（7 分）
19．（14 分）【详解】（1）由题设
，
，则
，
所以
，所以
；
当
时，代入
，得到
，
所以2024 年顾客对该市火车站投诉的次数约为20 次..……（7 分）
（2）由题意，
服从超几何分布，可取0，1，2，
，
，
，
0
1
2
所以
..……（7 分）
20．（18 分）【详解】（1）由函数
，可得
，所以
，
.
又由
，所以
，解得
...……（6 分）
（2）若
，可得
，
则
，则不等式
可化为
，
即
对任意
恒成立，
令
，则
，设函数
，可得
，
因为
，所以
恒成立，所以函数
在
上严格递增，
所以
，故
，即实数
的取值范围为
...……（6 分）
（3）解法1：由
，
因为
，可得
，
当且仅当
时，等号成立；
所以
，当且仅当
时，等号成立，
故
，
当且仅当
时等号成立.
因此有
，
，
，
以上
个式子相加得：
.
解法2：由
，
可得
，
当且仅当
时等号同时成立.
故
，
，
，
以上
个式子相加得：
...……（6
分）
21．（18 分）【详解】（1）由
得：
，
，且
的离心率为
；
恰为
的两个焦点，即椭圆
的半焦距
，
又椭圆
的离心率
，
，
，
椭圆
的方程为：
...……（6 分）
（2）设
，则
，即
，
，
，
，
为定值，定值为
...……（6 分）
（3）
设直线
与椭圆
交于另一点
，由椭圆对称性可知：
关于坐标原点对称，
设直线
，
，
，则
，
由
得：
，
则
，
，
，
，
由（2）知：
，
，
解得：
，又
，
...……（6 分）
