文档文本内容
2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（上海卷）·参考答案
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 2. 3. 2或-2（写一个即可） 4.33
5. -56 6. 30 7. 10 8.4
9.9450 10. 3 11. 625 12.
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13 14 15 16
C C C A
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17.（14分）【详解】（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，又 ，
所以 .……（7分）
（2）由正弦定理知， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .……（7分）18．（14分）【详解】（1）在 中， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ；.……（7分）
（2）因为 平面 ，所以 ，又 ，
所以以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系：
则 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，得 ，取平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，由图形知， 为锐角，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ．.……（7分）
19．（14分）【详解】（1）由题设 ， ，则
，
所以 ，所以 ；
当 时，代入 ，得到 ，
所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次..……（7分）
（2）由题意， 服从超几何分布，可取0，1，2，
， ， ，
0 1 2
所以 ..……（7分）
20．（18分）【详解】（1）由函数 ，可得 ，所以 ， .
又由 ，所以 ，解得 ...……（6分）（2）若 ，可得 ，
则 ，则不等式 可化为 ，
即 对任意 恒成立，
令 ，则 ，设函数 ，可得 ，
因为 ，所以 恒成立，所以函数 在 上严格递增，
所以 ，故 ，即实数 的取值范围为 ...……（6分）
（3）解法1：由 ，
因为 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立；
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，
当且仅当 时等号成立.
因此有 ，
，
，
以上 个式子相加得：
.
解法2：由 ，可得 ，
当且仅当 时等号同时成立.
故 ，
，
，
以上 个式子相加得：
...……（6
分）
21．（18分）【详解】（1）由 得： ， ，且 的离心率为 ；
恰为 的两个焦点，即椭圆 的半焦距 ，
又椭圆 的离心率 ， ， ，
椭圆 的方程为： ...……（6分）
（2）设 ，则 ，即 ，
， ，
，为定值，定值为 ...……（6分）
（3）
设直线 与椭圆 交于另一点 ，由椭圆对称性可知： 关于坐标原点对称，
设直线 ， ， ，则 ，
由 得： ，
则 ，
， ，
，
由（2）知： ，
，
解得： ，又 ， ...……（6分）
