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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（上海卷）01·参考答案
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．3.7
12．②④
二、选择题(本题共有4 题，满分18 分，第13-14 题每题4 分，第15-16 题每题5 分；每题有且只有一个正
确选项)
13
14
15
16
C
B
A
A
三、解答题(本大题共有5 题，满分78 分，第17-19 题每题14 分，第20、21 题每题18 分.)
17．（1）由正方形
，得
，而
平面
，
平面
，则
平面
，
又
，
平面
，
平面
，则
平面
， (2 分)
又
平面
，因此平面
平面
，而
平面
，
所以
平面
. (6 分)
（2）由
平面
，且四边形
为正方形，得直线
两两垂直，
以B 为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
令
，则
，
， (8 分)
设平面
的法向量
，则
，取
，得
，
设平面
的法向量
，则
，取
，得
，
(10 分)
设二面角
的大小为
，则
，
，
所以二面角
的正弦值为
. (14 分)
18．（1）∵函数
的定义域为
，
又∵
∴①当
时，即
时，可得
即当
时，函数
为偶函数； (3 分)
②当
时，即
时，可得
即当
时，函数
为奇函数. (6 分)
（2）由（1）可得，当函数
为偶函数时，
，
即
时，
由题可得，
令
，则有
∵
∴
，
又∵
，当且仅当
时，等号成立
根据对勾函数的性质可知，
，即
①
此时
的取值不存在；
②
此时，可得
的取值为
综上可得
(14 分)
19．（1）根据数据补全
列联表如下：
不达
标
达
标
合
计
男
50
250
300
女
100
200
300
合
计
150
450
600
零假设
体育锻炼达标与性别无关，
由表格数据得
，
因为
，
所以推断
不成立，依据显著性水平
的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
(3 分)
（2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为
，
记事件
“从该地区居民中随机抽取1 人参加体能测试，其体能测试合格”，
则由题
. (6 分)
（3）由题意
，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即
，
所以
；
；
；
；
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
则
；
.
(14 分)
20．（1）
，
为椭圆
的两焦点，且
，
为椭圆上的点，
，从而
的周长为
．
由题意，得
，即
的周长为
. (4 分)
（2）由题意可设过
的直线方程为
，
联立
，消去x 得
，
则
，
所以
，
令
，
则
（当
时等号成立，即
时）
所以
,
故
面积的取值范围为
. (10 分)
（3）设
，直线
的方程为：
，将其代入椭圆
的方程可得
，
整理可得
，
则
，得
，
，
故
．
当
时，直线
的方程为：
，将其代入椭圆方程并整理可得
，
同理，可得
，
因为
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立.
若
轴时，易知
，
，
，
此时
，
综上，
的最大值为
. (18 分)
21．（1）（1）函数
是区间
上的“平均值函数”，
不是区间
上的“平均值函数”，理由如下：
由题题意
，得
，则
，所以函数
是区间
上的“平均值函数”；
，即
，
所以
，无解，所以
不是区间
上的“平均值函数”；
(4 分)
（2）因为
是区间
上的“平均值函数”，1 是函数
的一个均值点，
所以
，
即
，
显然不成立，
所以
，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得
，
又所求的
为整数对，故
或
或
或
. (10 分)
（3）由题意可得
，则所证不等式为
，
需证
，令
，则不等式为
，
则不等式等价于
，
令
，求导得
，
所以
在
上单调递减，所以
，
即
，即
. (18 分)
