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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（天津）01·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本题共9 小题，每小题5 分，共45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意
，所以
.故选：C.
2．设a，b 都是不等于1 的正数，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
，
都是不等于1 的正数，
由
，得
，
；
反之，由
，得
，若
，
，则
，故
不成立．
“
”是“
”的充分不必要条件．
故选：B．
1
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3．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1 和图3 是正相关，相关系数大于0，图2 和图4 是负相关，相关系数小于0，
图1 和图2 的点相对更加集中，所以相关性要强，所以
接近于1，
接近于
，
由此可得
．故选:A.
4．下列函数不是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A , 定义域为
,
所以
为奇函数，
对于B，定义域为
，且
，所以
为奇函数，
对于C，定义域为
，且
，所以
为偶函数，
对于D，定义域满足
且
，所以
且
，
故定义域为
或
或
,故定义域关于原点
2
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对称，且
，所以为奇函数，
故选：C
5．若
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，故
.
故选:B.
6．设m，n 是两条直线，
，
是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【答案】B
【解析】m，n 是两条直线，
，
是两个平面，
对于A，若
，
，
，则由面面平行的判定定理得
，故A 错误；
对于B，若
，
，
，则由线面平行的性质得
，故B 正确；
对于C，若
，
，
，则
与
相交或平行，故C 错误；
对于D，若
，
，
，则
与
相交、平行或异面，故D 错误．
故选：B.
7．函数
的图象关于直线
对称，则
在
上的最小值为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意
，则
，又
，
所以
，则
，
在
上，
，故
，
所以
最小值为
.故选：A
8．已知双曲线
，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线
相交于A、B、C、D 四点，四边形ABCD 的面积为2b，则双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为
，双曲线的两条渐近线方程
为
，
不妨设A 在第一象限，则
，
，∵四边形ABCD 的面积为2b，
∴由对称性可得
，又
，∴
，
将
代入
，可得
，∴
，
∴双曲线的方程为
1，
故选：D．
4
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9．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿
殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体
，其中正方形
边长为3，
，且
到平面
的距离为2，则几何体
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取
的中点分别为
，连接
，
可得几何体
分割为一个三棱柱
和一个四棱锥
，
将三棱柱
补成一个上底面与矩形
全等的矩形的平行六面体，
可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，
则三棱柱
的体积为
，
四棱锥
的体积为
，
所以该几何体
的体积为
.故选：D.
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
10．已知复数
，那么
.
【答案】
【解析】由题意可得：
.
11．若
的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ．
5
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【答案】28
【解析】因为
的展开式中二项式系数之和为256，
所以
，故
，即该二项式为
设其展开式的通项为
，则
，
当
时，即
，此时该项为
12．已知抛物线
，斜率为
的直线交抛物线于
，
两点.若以线段
为直径的圆与抛物线的准
线切于点
，则点
到直线
的距离为 ．
【答案】
【解析】设直线的方程为
，联立抛物线的方程
，消去y 得
，所以
.
设
，所以
.
因为
所以
因为以线段
为直径的圆与抛物线的准线切于点
，所以
,
即
所以直线的方程为
因为
，所以点P 到直线AB 的距离为
.
13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项
目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共
有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A 为丙和丁参加的项目不同，事件B
为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则
．
6
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【答案】
【解析】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共
种，
其中甲、乙参加同一项目的方案
种，
则所求的参赛方案一共有
种；
因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，
则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有
种方案，
若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，
故总共有
种不同的方案；
若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2 个人分别选择2 个项目，
故共有
种不同的方案；
同理，乙单独选择跳台滑雪，有
种不同的方案；
乙和一人共同选择跳台滑雪，有
种不同的方案，总共有16 种方案.
所以
.
14．在边长为2 的菱形
中，
，E 是
的中点，F 是边
上的一点，
交
于H．
若F 是
的中点，
，则
；若F 在边
上（不含端点）运动，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】（1）如图所示：
7
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设
，
由
三点共线，
可设
，
则有
，解得：
，
，即
.
（2）如图所示：当点
与点
重合时，此时
最长，
易知
，且相似比为
，
，在
中，由余弦定理得：
，
所以
，此时满足
，所以
，
所以
，此时
，
8
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由图可知，
，
则
.
15．设
，函数
，若函数
恰有4 个零点，则实数
的取值范围
为 ．
【答案】
或
【解析】因为函数
恰有4 个零点，
所以
的图象与
的图象有四个交点，当
时，如图所示，
的图象与
的图象仅有两个交点，与题意不符；
当
时，如图所示，
在
上，当
与
相切时，
联立
，得
，
则
，得
（舍去
），
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由图可知，当
时，
与
在
有一个交点，在
有两个交点，与题意不符，
所以当
时，
与
在
无交点，在
有两个交点，与题意不符，
当
时，
与
在
无交点，在
有三个交点，与题意不符，
当
时，
与
在
无交点，在
有四个交点，符合题意；
当
时，如图所示，
在
上，当
与
相切时，
联立
，得
，
则
，得
（舍去
），
由图可知，当
时，
与
在
有两个交点，在
有四个交点，与题意不符，
当
时，
与
在
有两个交点，在
有三个交点，与题意不符，
当
时，
与
在
有两个交点，在
有两个交点，符合题意，
当
时，
与
在
有一个交点，在
有两个交点，与题意不符.
综上所述，
或
.
四、解答题：本题共5 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14 分）在非等腰
中，
，
，分别是三个内角
，
，
的对边，且
，
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的周长；
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(3)求
的值.
【解】（1）在
中，由正弦定理
，
，
，
可得
，
因为
，所以
，即
，
显然
，解得
．
（2）在
中，由余弦定理
，
得
，解得
或
．
由已知
，
，互不相等，所以
，
所以
．
（3）因为
，所以
，
所以
，
，
所以
.
17．（本小题满分15 分）如图，四边形
是正方形，
平面
，
，
，
分别为
的中点．
(1)求证：
平面
；
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(2)求平面
与平面
夹角的大小；
(3)求点
到平面
的距离．
【解】（1）由题意
分别为
的中点，
所以
是
的中位线，
即
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）由于四边形
是正方形，
平面
，
所以
两两垂直，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
又
，
分别为
的中点，
则
，
所以
；
设平面
的一个法向量
，
则
，
解得
，令
，得
；
即
，
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设平面
的一个法向量为
，
则
，
解得
，令
，
即
；
设平面
与平面
夹角的大小为
，
所以
，
又
，所以
；
即平面
与平面
夹角的大小为
；
（3）由（2）平面
的一个法向量为
；
又
，
所以点
到与平面
的距离距为：
.
18．（本小题满分15 分）已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
，上、
下顶点分别为
，且四边形
的面积为
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点
，直线
与椭圆C 交于
两点，与y 轴交于点N，若
，
求
面积的取值范围.
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【解】（1）由椭圆的离心率为
，可设
，
，则
，
四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为
，
即
，所以椭圆的方程为：
.
（2）设
，联立直线
与椭圆
，
消去y 可得
，
，则
，
，
设PQ 的中点为
，则
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
，所以
，
又
，所以
，
又
，故
即
，
所以
的取值范围是
，
所以
面积的取值范围为
.
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19．（本小题满分15 分）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式：
(2)设数列
满足
，
①求
前
项中所有奇数项和
，②若
的前n 项和为
，证明：
.
【解】（1）因为
，所以
，且
，
所以
是首项为，公比为的等比数列，所以
，所以
，
所以
的通项公式为
；
（2）①设
的公差为
，因为
，
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
15
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②所以
，
所以
，
所以
，
又因为
，所以
.
20．（本小题满分16 分）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线的方程为
，求实数，
的值；
(2)当
时，
，且
，求证
．
(3)若
，对任意
，
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
【解】（1）
,
∵曲线
在
处的切线的方程为
，
所以
， ∴
；
（2）当
时，
，则
，
当
时，
，
递减，当
时，
，
递增，
由于
，且
，故不妨设
，
则要证明
，即证
，而
，
16
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当
时，
递增，故即证
，
由于
，即只需证明
，
令
，
则
，
当
时，
，
即
单调递减，故
，
即
时，
，即有
，
故原命题成立，即
；
（3）因为
，
，
所以
，故函数
在
上单调递增，
不妨设
，则
可化为
，设
，则
，
所以
为
上的增函数，即
在
上恒成立，
等价于
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
又
，所以
，所以
，
对于函数
，
，当
时，
，
故
在
上是增函数，所以
，
所以
，即m 的取值范围为
.
在△ABE 中，
．
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设外接球半径为R，则
，
故当
时，外接球半径的最小值为
．
18
