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2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（广东卷）02·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，则
（ ），
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，则
，
所以
．
故选：A.
2．有一组数据，按从小到大排列为：
，这组数据的
分位数等于他们的平均数，则为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【详解】因为该组数据共6 个，且
，
1
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所以这组数据的
分位数为第三位数，即为，
则
，解得
.
故选：D.
3．已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】C
【详解】因为向量
，
，
所以
.
又因为
，
所以
，解得
或
.
则当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
.
所以
或
.
故选：C.
4．记等比数列
的前项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．32
D．64
【答案】D
【详解】由
，得
，则
，
设等比数列
公比为，则
，解得
，
所以
.
故选：D
2
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5．在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的
温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为
，则经过一定时间，即分钟后的温度
满足
称为半衰期，其中
是环境温度.若
，现有一杯
的热水降至
大
约用时1 分钟，那么水温从
降至
大约还需要（ ）（参考数据：
）
A．8 分钟
B．9 分钟
C．10 分钟
D．11 分钟
【答案】C
【详解】根据题意得
，即
；
则
，所以
，可得
，
两边取常用对数得
，
故选：C.
6．设
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
，
，
3
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.
，
，
，
或
，即
或
（舍去）.
故选：A.
7．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了100 个样本，勘探队中的
成员甲提议用如下方式进行检测，先将100 个样本分为10 组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本
进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将100 个样本
分为5 组或20 组等等．假设每个样本含有该矿物质的概率
．且每个样本是否含有该矿物质相互独
立．则下列选项中检测次数的期望值最小的是（ ）（参考数据：
）
A．5 个一组
B．10 个一组
C．20 个一组
D．逐个检验
【答案】B
【详解】若5 个一组时，每组检测次数为，
或5，
，
，
的分布列是
1
6
0.951
0.049
，
总检测次数
的期望为
，
若10 个一组时，每组检测次数为
，
或11，
，
，
4
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的分布列是
1
11
0.904
0.096
，
总检测次数
的期望为
，
若20 个一组时，每组检测次数为
，
或21，
，
，
的分布列是
1
21
0.818
0.182
，
总检测次数
的期望为
，
若逐个检测，总检测次数为100，
因此10 个一组检测次数的期望值最小，
故选：B．
8．如图1 所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的
反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线
的左、右焦点分别为
，从
发出
的光线经过图2 中的A，B 两点反射后，分别经过点
和
，且
，则
的离心率
为( )
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可知直线CA，DB都过点
，如图，
则有
，
，
设
，则
，
所以
，故
，
所以
，
因此
，
在
，
，
即
，
整理得
即
，解得
，
6
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所以
，
令双曲线半焦距为c，
在
中，
，即
，
解得
，
所以
的离心率为
.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：
①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c 的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由
已知条件得出关于a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特
殊值或特殊位置，求出离心率.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知复数
，
，若
为实数，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．
为纯虚数
D．
对应的点位于第三象限
【答案】AC
【详解】因为
为实数，所以
，解得
，
所以
，
，所以
，故A 正确；
，故B 错误；
因为
，所以
，故C 正确；
7
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因为
，所以
，
其对应的点
在第四象限，故D 错误．
故选：AC
10．已知等差数列
的首项为
，公差为
，前项和为
，若
，则下列说法正确的是
（ ）
A．当
最大
B．使得
成立的最小自然数
C．
D．
中最小项为
【答案】ABD
【详解】因为
，所以
，
由
，所以
，所以
，
所以
.
所以，当
时，
最大，故A 正确；
由
，
，
所以使得
成立的最小自然数
，故B 正确；
由
，且
，
所以
，即
，故C 错误；
8
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因为当
时，
，
，所以
；
当
时，
，
，所以
；
当
时，
，
，所以
.
且
，
，
所以
中最小项为
，故D 正确.
故选：ABD.
11．在正三棱柱
中，
，
的重心为
，以
为球心的球与平面
相切.
若点
在该球面上，则下列说法正确的有（ ）
A．存在点
和实数
，
，使得
B．三棱锥
体积的最大值为
C．若直线
与平面
所成的角为，则
的最大值为
D．若
，则所有满足条件的点
形成的轨迹的长度为
【答案】BC
【详解】对于A，
9
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取
中点
，
中点
，连接
，
，
正三棱柱
中，平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
，而
为
的重心，
，
到平面
的距离为
，
而
到平面
的距离为
，
球
与平面
相离，则不存在这样的
和实数
，使
，A 错误．
对于B，
到平面
的距离为
，球
半径
，
则
到平面
的最大距离为
，
，B 正确．
对于C，设
为球的上顶点，
平面
于点
，
与球
相切且
与平面
共面，
，
，
设
，则有
，得
，
，C 正确．
10
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对于D，由选项B 可知
到平面
的距离为
，即球
半径
，
所以球
大圆的周长为
，
由题意点
的轨迹为过B 且垂直于
的平面与球的交线圆，而
，
截面圆的周长大于球的大圆的周长，所以是不可能的，D 错误.
故选：BC．
【点睛】方法点睛：利用正三棱柱的结构特征和三角形重心的位置特征，求出重心
到相关平面的距离，
可解决向量共面，棱锥高度最大，轨迹及位置关系等问题.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．在
的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．
【答案】
【详解】由于所有项的二项式系数之和为
，
二项式
展开式的通项公式为
，
令
，所以常数项为
.
故答案为：
13．我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点
都满足方程
，
现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点
“爱心线”上任意
一点的最小距离为
，则用
表示心吧面积的最大值为 ．
11
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【答案】
【详解】解：由曲线方程
，
由点
“爱心线”上任意一点且点
在
轴的右侧，
所以点
“爱心线”上任意一点的最小距离
，一定出现在爱心线位于
轴的右侧的点，
当
时，可得
，
设曲线上任意一点
，且
，
有
，
因为
的最小值为
，所以
的最小值为
，
当
时，心吧面积为
的最小值为
；
当
时，心吧面积为
的最大值为
.
故答案为：
.
14．已知函数
，若关于的方程
有个不同的实数根，则的取值范围是
【答案】
【详解】由题知，
的定义域为
，
12
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且
，
所以
为偶函数，
当
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增，
由对称性可知
在
上单调递减，
所以
，
令
，
若
仅有一个实数根
，则
，
此时
，解得
或
，有两个根，不符合，舍去；
若
有两个实数根
，由对称知，
，
需要满足
和
均有两个解，
即
和
均有两个解，
由
，
，解得
，
又
，故
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；
(2)设
，
，求
的值.
13
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【详解】（1）因为
，所以
，.............1 分
所以
，所以
，
化简得
，...........................................................................................................................................3 分
所以由余弦定理，得
，............................................................................................5 分
又
，所以
...........................................................................................................................................6 分
（2）由（1）知，
，且
，
，
则由余弦定理
，得
，即
，解得
或
......................8 分
当
时，
，
则
，................................................................................................................................9 分
又
，
，
所以
；.............................................10 分
当
时，
，
则
，..............................................................................................................................11 分
又
，
，
14
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所以
.................................................12 分
综上所述，
或
............................................................................................13 分
16．（15 分）已知函数
.
(1)设
，求曲线
的斜率为2 的切线方程；
(2)若
是
的极小值点，求b 的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，其中
，则
，..........1 分
令
，化简得
，解得
（负值舍去），..................3 分
又此时
，则切线方程过点
，..........................................................................................................4 分
结合切线方程斜率为2，
则切线方程为
，即
......................................................................................................6 分
（2）由题可得
定义域为(0,+ ∞)，
，
因
是
的极小值点，则
，.......................................................................7 分
则
，
若
，令
，令
，
则
在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
得
是
的极大值点，不满足题意；............................................................................................................9 分
15
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若
，令
，令
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
得
是
的极大值点，不满足题意；..........................................................................................................11 分
若
，则
，
在(0,+ ∞)上单调递减，无极值，不满足题意；............................13 分
若
，令
，令
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
得
是
的极小值点，满足题意；..............................................................................................................14 分
综上，
是
的极小值点时，
..............................................................................................................15 分
17．（15 分）如图（1）五边形
中，
，将
沿
折
到
的位置，得到四棱锥
，如图（2），点
为线段
的中点，且
平面
.
(1)求证：
；
(2)若直线
与
所成角的正切值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）取
中点
，连接
，.....................................................................................................1 分
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因为点
为线段
的中点，所以
且
，
因为
，所以
，
，
故四边形
为平行四边形，所以
，............................................................................................3 分
因为
⊥平面
，所以
⊥平面
，
因为
平面
，
所以
⊥
，由三线合一得
；............................................................................................................5 分
（2）由（1）得
，又因为
，所以
为等边三角形，
故
，因为
，
，即
⊥
，
因为
，所以直线
与
所成角的正切值为
，
即
，故
，
又
，解得
，....................................................................................7 分
设
，则
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，
故
，由勾股定理逆定理得
⊥
，
因为
，
平面
，
所以
⊥平面
，..............................................................................................................................................9 分
取
中点
，连接
，取
中点
，连接
，则
⊥
，
因为
平面
，所以
⊥
，由三线合一得
⊥
，
因为
平面
，
，
所以
⊥平面
，.........................................................................................................................................10 分
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
17
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则
，..............................................................12 分
设平面
的法向量为
，
则
，
令
得
，
，故
，.............................................................................................14 分
设直线
与平面
所成角大小为，
则
..................................................................15 分
18．（17 分）定义若椭圆
（
）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完
美曲线”．已知
：
（
）为“完美曲线”，且
和：
，：
均相切．
(1)求
的表达式和离心率
(2)已知动点
在
的第一象限上运动，
和
相切，和交于
，和交于
．设
右焦点为
，证明
是定值，并求其正切值．
【详解】（1）焦点和长轴顶点共线，它们不会共圆，从而焦点和短轴顶点共圆，则
，为半焦距，
18
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，因此
的离心率为
，...........................................................................................2 分
椭圆
的方程为
，由
消去得
，
由
和相切，得
，解得
，....................................................................4 分
此时
，由对称性知，
和相切，
所以
的表达式为
...................................................................................................................................6 分
（2）设
从而斜率必然存在且非0，令
，
设切线
代入
得到
由
在
上，得
，从而
，......................................................8 分
由直线
与椭圆相切，得上述方程有相等实根
，则
，即
，
从而
，即
由
，解得
，记为
.............................................................10 分
同理
，记为
，
19
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即
，
，
，
，
，
，
由
，得
，直线
的斜率分别为
，..................................12 分
，
，
，................................................15 分
当
时，
，
和重合，与已知矛盾，又
，
因此
，所以
是定值，其正切值为
．.................................................17 分
19．（17 分）对于给定的数列
以及正整数
，若
，使得
成立，则称
为“
阶可分拆数列”.
(1)设
，证明：
为“3 阶可分拆数列”；
(2)设
的前项和为
，若
为“1 阶可分拆数列”，求实数的值；
(3)设
，是否存在
，使得
为“
阶可分拆数列”？若存在，请求出所有
的值；若不
存在，请说明理由.
20
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【详解】（1）
，
，.................................................................................................................2 分
若
，使得
成立，则
成立，
显然，当
时等式成立，
所以
，使得
成立，得证.............................................................................................................4 分
（2）因为数列
的前项和为
当
时，
；
当
时，
，
所以
，.......................................................................................................................................5 分
因为存在正整数使得
成立，
则①当
时，
，即
，
因为
，
所以
，而
，所以不存在正整数
使得
成立；....................................................7 分
②当
时，若
成立，则
，得
，
所以
时存在正整数
使得
成立，
由①②得
.............................................................................................................................................................9 分
（3）假设存在
使得数列
为“
阶可分拆数列”
即存在确定的正整数
，存在正整数使得
成立.
21
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即
，
即
，.................................................................................................................................11 分
①当
时，
时方程成立，................................................................................................12 分
②当
时，
当
时，
；
当
时，
，
当
时，
，所以不存在正整数使得
成立；.............................................14 分
③当
时，
，当
时，
成立，........................................................15 分
④当
时，
，
所以不存在正整数使得
成立.
综上：
或3........................................................................................................................................................17 分
22
