文档内容
几何-直线型几何-等积变形-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
等积变形 B 1.了解等积变形的概念 少考
2.能够熟练的应用等积变形来解决
有关的几何题目
知识提要
等积变形
概念
等积变形：如果两个三角形同底等高，那么他们的面积相等．
夹在一组平行线之间的等积变形
S =S
△ABC △BCD精选例题
等积变形
1. 图中由 3 个边长是 6 的正方形组成，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 36
【分析】 等积变形如下：
阴影部分面积：
(6×2)×6÷2=36.
2. 如下图所示，一大一小两个正方形拼在一起，若阴影部分的面积是 10 平方米，小正方形
的面积是 平方米．【答案】 20
【分析】 如下图所示，连接 BF,BF 和 AC 平行，阴影部分面积等于三角形 ABC
的面积，而三角形 ABC 的面积是小正方形面积的一半，所以小正方形的面积是阴影部分面
积的 2 倍，为 20 平方米．
3. 如下图所示，四边形 ABCD 是梯形，上底是 8 厘米，下底是 16 厘米，点 E 是 BC
边上任意一点，如果 △AED 的面积是 30 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是
平方厘米．
【答案】 90【分析】 方法一：三角形 ADE 的高为 30×2÷8=7.5（厘米），那么梯形面积为
(8+16)×7.5÷2=90（平方厘米）．
方法二：由于 BC=2AD,△AEB 与 △ECD 的面积和是 △AED 面积的 2 倍，所以梯形
的面积是 30×(1+2)=90（平方厘米）．
4. 如下图所示，点 C 在线段 AE 上，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是正三角形，且 F
是线段 BC 的中点，G 是线段 DE 的中点．若三角形 ABC 的面积为 27，三角形 AFG
（阴影部分）的面积是 ．
【答案】 13.5
【分析】 如下图所示，连接 CG，那么 AF∥CG，根据梯形蝴蝶模型，得到
1 1
S =S = S = ×27=13.5.
△AFG △AFC 2 △ABC 25. 如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行于 AC，连结 BE、AE、CF、BF．那么与
△BEC 等积的三角形有哪几个三角形？
【答案】 S =S =S =S
△BEC △AEC △AFC △ABF
【分析】 因为 AB∥CD，所以 S =S ，因为AD\parallel BC，所以
△BEC △AEC
S =S ，因为 EF∥AC，所以 S =S ．即 S =S =S =S ．
△AFB △AFC △AEC △AFC △BEC △AEC △AFC △ABF
6. 如图，BC＝CD，AF∥BE，请比较 △ABC、△BCE、△BCF，△CDF 的面积大小．
【答案】 一样大．
【分析】 平行线之间的等积变形，这四个三角形底和高都相等，所以面积是一样大．
7. 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果 △ADE 的面积为 4 平方厘米．求三
角形 CDF 的面积．【答案】 4 平方厘米
【分析】
连结 AF、CE．因为 S =S ；S =S ，
△ADE △ACE △CDF △ACF
又因为 AC 与 EF 平行，所以，S =S ；S =S =4(平方厘米)．
△ACE △ACF △ADE △CDF
8. 如图，梯形 ABCD 中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？【答案】 共 8 个三角形；△ABC 与 △DBC、△ABD 与 △ACD、△ABO 与
△CDO．
【分析】 这是一个经典的梯形模型，共有三对三角形面积相等．根据 AD 平行于
BC，可以知道 △ABC 的面积等于 △BCD 的面积；△ABD 的面积等于 △ACD 的面积．
△ABD 和 △ACD 有一个共同的 △AOD，所以 △ABO 和 △OCD 的面积相等，我们称
梯形的两翼面积相等．
9. 如图，有三个正方形的顶点 D、G、K 恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB 的边长
为 10 厘米，求阴影部分的面积．
【答案】 100 平方厘米
【分析】 连结 BD，EG，FK．由 BD∥EG 知 S =S ，由 EG∥FK 知
△DGE △BGE
S =S ，所以阴影部分的面积为 △BGE 和 △GEF 的面积之和，即为正方形 GFEB
△GEK △GEF
的面积，10×10=100(平方厘米)．
10. 四边形 ABCD 是一个直角梯形．以上底 AD 为边向外作正方形 ADEF，面积为 9 平
方厘米，连接 BE 交 AD 于 P，再连接 PC．试求图中阴影部分的面积．【答案】 4.5 平方厘米
【分析】 连接 BD，因为 AD∥BC，所以，S =S ，由于 BF∥DE，所以
△PDC △PBD
S =S ，所以阴影部分的面积和三角形 ADE 的面积相等，为
△BDE △ADE
9÷2=4.5(平方厘米)．
11. 如图所示，梯形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上的一点．已知 DE 和 AB 平行，那么
与 △ADC 面积相等的三角形一共有哪几个？
【答案】 △ABD 和 △ABE．【分析】 观察图中哪些线段平行，AD 平行于 BC，AB 平行于 DE．根据 AD
平行于 BC，可以知道 △ADC 的面积等于 △ABD；根据 AB 平行于 DE，可以知道
△ABD 的面积等于 △ABE．所以与 △ADC 面积相等的三角形有 △ABD 和 △ABE．
12. 如图所示，大正方形的边长是 10 厘米，小正方形的边长是 8 厘米．求阴影部分的面积．
【答案】 （1）50 平方厘米；（2）32 平方厘米．
【分析】 （1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形
与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于
大正方形面积的一半，为 50 平方厘米．
（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个
等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一
半，为 32 平方厘米．13. 正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 20 厘米，则图中阴影面积
为多少平方厘米？
【答案】 200 平方厘米
【分析】连接 CF，那么 CF∥BD，所以 $\text{阴影面积}=\text{三角形$ BCD $的面积}=20 \times 20
\div 2{\text{ = }}200\text{(平方厘米)}$．
14. 如图，过平行四边形 ABCD 顶点D作直线交 BC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F，
已知 △AEF 的面积为 10 平方厘米，求 △BFC 的面积．
【答案】 10 平方厘米
【分析】 连结 BD，因为 AF∥CD，S =S ，又因为 BC∥AD，
△BFC △BFD
S =S ，所以 S =S ，S =S =10（平方厘米）．
△ABE △BDE △BDF △AEF △BFC △AEF
15. 如图，直角梯形 ABCD 中，S =75 平方厘米，阴影部分的面积为 15 平方厘米．问
△ABE
长方形 ABCF 的面积是多少平方厘米？【答案】 180 平方厘米
【分析】
连 BF．根据等积变形，S =S =15(平方厘米)，因此长方形 ABCD 的面积是
△BEF 阴影
S=(15+75)×2=180(平方厘米)．
16. 在长方形 NOPQ 中，NQ=15 厘米，NO=8 厘米，四边形 STUR 的面积是 9 平方厘
米，求阴影的面积是多少？
【答案】 69 平方厘米
【分析】 长方形 NOPQ 的面积是 15×8=120(平方厘米)，空白的面积是
S +S -S =120÷2-9=51(平方厘米)，那么阴影的面积是
△NTP △OTQ 四STUR
120-51=69(平方厘米)．
17. 如图，在 △ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，连结 BE、CE，那么与
△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？【答案】 S 、S 、S
△DBE △DCE △AEC
【分析】 等底等高的三角形面积相同，所以 S =S =S =S ．
△ABE △DBE △DCE △AEC
18. 如图，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是 8 厘米和 6 厘米，那么图中阴
影部分的面积分别是多少平方厘米？
【答案】 18 平方厘米
【分析】 利用等积变形，阴影部分面积为小正方形面积的一半，
1
S= ×6×6=18(平方厘米)
2
19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E，交 DA 延长线于 F，若
S =1，求 △BEF 的面积．
△DAE【答案】 1
【分析】 连接 AC，在梯形 CAFB 中，
S =S ．又因为，CD∥AB，S =S =1．所以，S =1．
△BEF △CAE △CAE △DAE △BEF
20. 正方形 ABCD 和正方形 CEFG，如果两个正方形的边长分别为 6 和 4，那么 △AEG
的面积为多少？【答案】 8
【分析】
连接 AC，那么 AC∥≥¿，阴影部分的面积与三角形 GCE 的面积相等，为：4×4÷2=8．
21. 如图所示，梯形 ABCE 是由正方形 ABCD 和等腰直角三角形 CDE 构成．已知等腰直
角三角形的斜边是 10 厘米，那么 △BCE 面积是多少平方厘米？【答案】 25 平方厘米．
【分析】 根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别
是 25 平方厘米和 50 平方厘米．
方法一：△BCE 的面积是正方形面积的一半，所以 △BCE 的面积是 25 平方厘米；
方法二：连结 BD，△BCE 和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，则
△BCE 的面积也是 25 平方厘米．
