文档内容
应用题-经典应用题-鸡兔同笼问题基
本知识-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
鸡兔同笼问题基本知识 C 1.了解鸡兔同笼的基本概念。 少考
2.会利用假设法解决简单的鸡兔同
笼问题及其变形题。
3.会利用分组法解决鸡兔同笼问
题。
知识提要
鸡兔同笼问题基本知识
鸡兔同笼的由来
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题
．书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这
四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只
脚
．问笼中各有几只鸡和兔？
假设法解鸡兔同笼
（1）假设全是兔子
鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)
鸡数=鸡兔总数-鸡数
（2）假设全是鸡
兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)
鸡数=鸡兔总数-兔数 分组法解鸡兔同笼
腿数相同，2鸡1兔为一组；
头数相同，1鸡1兔为一组。
精选例题
鸡兔同笼问题基本知识
1. 一个奥特曼与一群小怪兽战斗．已知奥特曼有一个头、两条腿，开始时每只小怪兽有两个
头、五条腿．在战斗过程中有一部分小怪兽分身了，一只小怪兽分成了两只，分身后的每只小
怪兽有一个头、六条腿（不能再次分身），某个时刻战场上一共有 21 个头，73 条腿，那么
这时共有 只小怪兽．
【答案】 13
【分析】 可知小怪兽共有 20 个头和 71 条腿．1 个头、6 条腿的小怪兽肯定为偶
数，把它们两个一对捆在一起，则每组有 2 个头和 12 条腿．用假设法易得 2 个头、12 条
腿的小怪兽有 (71-10×5)÷(12-5)=3(组)，2 个头 5 条腿的小怪兽有 10-3=7(只)，
共 2×3+7=13(只)．
2. 甲乙二人相距 30 米面对面站好．两人玩“石头、剪子、布”．胜者向前走 3 米，负者向
后退 2 米．平局两人各向前走 1 米．玩了 15 局后，甲距出发点 17 米，乙距出发点 2 米．
甲胜了 次．
【答案】 7
【分析】 有胜有负的局，两人距离缩短 1 米；平局两人距离缩短 2 米．15 局后两
人之间的距离缩短 15～30 米．
（1）如果两人最后的效果都是后退，两人之间的距离会变大，与上述结论矛盾．
（2）如果两人最后的效果是“一人前进，另一人后退”，如果乙前进，甲后退，两人距离增
大，这与（1）矛盾．则一定是甲前进，乙后退，两人距离会缩短 15 米．但如果两人距离缩
短 15 米，只能是 15 局都是“胜负局”．
假设甲 15 局都是胜者，他会前进 45 米，每把一次“胜者”换成一次“负者”，他会少前
进 5 米．45 减去多少个 5 都不可能等于 17，这种情况不成立．
（3）如果两人最后的效果是都向前进，两人的距离缩短 19 米．假设 15 局都是“胜负局”，
两人之间距离缩短 15 米，每把一局“胜负局”换成平局，两人之间距离多缩短 1 米．由
“鸡兔同笼”法求出，“胜负局”共 11 局，平局 4 局．
4 局平局中甲前进了 4 米．假设甲其余 11 局都是胜者，他一共前进 33+4=37（米）．
每把一局胜局改为败局，他会退 5 米，要想前进 17 米，则改 (37-17)÷5=4（局）．验算：甲 7 胜 4 平 4 败，前进 21+4-8=17（米）；乙 4 胜 7 败 4 平，前进
12+4-14=2（米）．
3. 从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个
小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了 38 根扁担和 58 个桶，那么有多少个小和尚抬水？
多少个挑水？
【答案】 36 人抬水，20 人挑水
【分析】 假设全是抬水，38 根扁担应担 38 个桶，而实际上是 58 个桶，比实际少
了
58-38=20(个).
因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算 2-1=1(个) 桶，所以有
20÷1=20(人)
抬水的扁担数是
38-20=18(根),
抬水的人数是
18×2=36(人).
4. 男生手里拿 2 个红气球、13 个蓝气球，女生手里拿 1 个红气球、12 个蓝气球，一共有
62 个红气球，且蓝气球的范围在 495∼510 之间，请问男生多少人？女生多少人？
【答案】 男生有 22 人；女生有 18 人．
【分析】 不管男生还是女生，每个人手中的蓝气球比红气球多 11 个，那么总的蓝气
球比红气球多的必须是 11 的倍数，即 ▫-62 是 11 的倍数，且 ▫ 的范围在 495-510 之
间，则 ▫=502 才行，这样 502-62=440 才是 11 的倍数，那么总人数为 440÷11=40
人；假设这 40 人全是男生，那么会有红气球 40×2=80 个，比较：80-62=18 个，将一
个男生变成一个女生会少拿 1 个红气球，则有 18÷1=18 个女生，那么男生有 22 人．
5. 一百个和尚刚好喝一百碗粥，一个大和尚喝三碗粥，三个小和尚喝一碗粥，那么大和尚有
多少个，小和尚有多少个？
【答案】 大和尚 25、小和尚 75
【分析】 我们把大碗换小碗，换小碗盛粥，把一大碗粥分成三小碗粥，则原题变为一
百个和尚喝三百碗粥，一个大和尚喝九碗粥，一个小和尚喝一碗粥．
然后仍然用假设法：假设都是小和尚，只能喝
1×100=100(碗),
有一个大和尚被当成小和尚会少喝
9-1=8(碗),
一共少了
300-100=200(碗).所以大和尚有
200÷8=25(个);
小和尚有
100-25=75(个).
6. 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头 26 个，脚 80 只，犄角 20 只．已知犀牛有 4 只脚、
1 只犄角，羚羊有 4 只脚，2 只犄角，孔雀有 2 只脚，没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔
雀各有几只呢？
【答案】 孔雀：12 只；羚羊：6 只；犀牛：8 只．
【分析】 这道题有三种不同的动物混合在一起，这样假设起来会比较麻烦，我们可以
观察一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是 4 只脚，这样，只看脚数，就可以
把孔雀与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把
犀牛和羚羊分开，也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼”．
假设 26 只都是孔雀，那么就有脚：
26×2=52(只),
比实际的少：
80-52=28(只),
这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚
数：
4-2=2(只).
所以，孔雀有
26-28÷2=12(只),
犀牛和羚羊总共有
26-12=14(只).
假设 14 只都是犀牛，那么就有犄角：
14×1=14(只),
比实际的少：
20-14=6(只),
这说明犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数
就会增加：
2-1=1(只),
所以，羚羊的只数：
6÷1=6(只),
犀牛的只数：
14-6=8(只).
7. 甲、乙两人合作清理 400 米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工
1
作，最初，甲清理的速度比乙快 ，中途乙曾用 10 分钟去换工具，而后工作效率比原来提
3
高了一倍，结果从开始算起，经过 1 小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道
一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？【答案】 30
【分析】 方法一：直接求首先求出甲的工作效率，甲 1 个小时完成了 200 米的工
10 1
作量，因此每分钟完成 200÷60= (米)，开始的时候甲的速度比乙快 ，也就是说乙开
3 3
10 ( 1) 1
始每分钟完成为 ÷ 1+ =2 (米)，换工具之后，工作效率提高一倍，因此每分钟完成
3 3 2
1
2 ×2=5(米)，问题就变成了，乙 50 分钟扫完了 200 米的雪，前若干分钟每分钟完成
2
1
2 米，换工具之后的时间每分钟完成了 5 米，求换工具之后的时间．这是一个鸡兔同笼类
2
1
型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫 2 米，那么 50 分钟应该能扫
2
1
2 ×50=125(米)，比实际少了 200-125=75(米)，这是因为换工具后每分钟多扫了
2
1 1 1
5-2 =2 (米)，因此换工具后的工作时间为 75÷2 =30(分钟)．
2 2 2
方法二：其实这个问题中的 400 米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和
他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案．不妨假设乙开始每分钟清理的量为 3，
甲比他快三分之一，则甲每分钟清理的量为 4；60 分钟后，甲共清理的量为 4×60＝240，
乙和甲的工作总量相同，也是 240 份，但是乙总共的工作时间为 60－10＝50 分钟，并且
乙之前的工作效率为 3，换工具之后的工作效率为 6，和（方法一）相同的，利用鸡兔同笼
的思想，可以得到乙换工具后工作了 (240-3×50)÷(6-3)=30(分钟)．
