文档内容
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共5页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题
卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.若z＝1＋i，则|z2－2z|＝
A.0 B.1 C. 2 D.2
2.设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝
A.－4 B.－2 C.2 D.4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。以该四棱锥的
高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与
底面正方形的边长的比值为
第1页 | 共6页5-1 5-1 5+1 5+1
A. B. C. D.
4 2 4 2
4.已知为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p
＝
A.2 B.3 C.6 D.9
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同
的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(x，y)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：
i i
由此散点图，在10℃40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归
方程类型的是
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2 C.y＝a＋bex D.y＝a＋blnx
6.函数f(x)＝x4－2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为
A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1 C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1
p
7.设函数f(x)＝cos(ωx＋ )在[－π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为
6
10p 7p 4p 3p
A. B. C. D.
9 6 3 2
y2
8.(x＋ )(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为
x
A.5 B.10 C.15 D.20
9.已知a∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝
5 2 1 5
A. B. C. D.
3 3 3 9
10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O 为△ABC的外接圆，若⊙O 的面积为4π，A
1 1
第2页 | 共6页B＝BC＝AC＝OO ，则球O的表面积为
1
A.64π B.48π C.36π D.32π
1..已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的
切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为
A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0
12.若2a＋log a＝4b＋2log b，则
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a0,b>0)的右焦点，A为C的右项点，B为C上的点，且
a2 b2
BF垂直于x轴。若AB的斜率为3，则C的离心率为 。
16.如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝ 3，AB⊥AC，AB⊥AD
，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝ 。
第3页 | 共6页三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
设{a }是公比不为1的等比数列，a 为a ，a 的等差中项。
n 1 2 3
(1)求{a }的公比；
n
(2)若a ＝1，求数列{na }的前n项和。
1 n
18.(12分)
如图，D为圆锥的项点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD。△ABC是底
6
面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝ DO。
6
(1)证明：PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B－PC－E的余弦值。
19.(12分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者
与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的
两人继续比赛，直至其中人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。
1
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空。设每场比赛双方获胜的概率都为 。
2
(1)求甲连胜四场的概率；
第4页 | 共6页(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率。
20.(12分)
x2 uuur uuur
已知A，B分别为椭圆E： + y2 =1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG×GB
a2
＝8。P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点。
21.(12分)
已知函数f(x)＝ex＋ax2－x。
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性：
1
(2)当x≥0时，f(x)≥ x3＋1，求a的取值范围。
2
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
ìïx=cosk t
在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为í (t为参数)。以坐标原点为极点，x
1
ïîy =sink t
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4ρcosθ－16ρsinθ＋3＝0。
2
(1)当k＝1时，C 是什么曲线?
1
(2)当k＝4时，求C 与C 的公共点的直角坐标。
1 2
第5页 | 共6页23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|。
(1)画出y＝f(x)的图像；
(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集。
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