【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义第31讲等比数列及其前n项和

n项和

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1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{a_n}的前3项和为168，a₂－a₅＝42，则a₆＝(　D　)

A．14B．12

C．6D．3

【解析】 设等比数列{a_n}的公比为q，q≠0，显然q≠1．因为a₁＋a₂＋a₃＝a11－q31－q＝168，a₂－a₅＝a₁·q－a₁·q⁴＝a₁q(1－q³)＝42，所以q＝12，a₁＝96，则a₆＝a₁q⁵＝96×132＝3．

2．(2021·全国甲卷)已知等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n．设甲：q＞0，乙：{S_n}是递增数列，则(　B　)

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【解析】 若a₁＝－1，q＝1，则S_n＝na₁＝－n，{S_n}是递减数列，不满足充分性；若{S_n}是递增数列，则q≠0，且S_n＋1－S_n＝a_n＋1＝a₁qⁿ＞0恒成立，则a₁＞0，q＞0，满足必要性．故甲是乙的必要条件但不是充分条件．

3．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n＝2λ＋(λ－3)·2ⁿ(λ为常数)，则λ＝(　C　)

A．－2B．－1

C．1D．2

【解析】 因为等比数列{a_n}的前n项和S_n＝2λ＋(λ－3)·2ⁿ(λ为常数)，所以a₁＝S₁＝2λ＋(λ－3)×2＝4λ－6，a₂＝S₂－S₁＝2λ＋(λ－3)·2²－(4λ－6)＝2λ－6，a₃＝S₃－S₂＝2λ＋(λ－3)·2³－[2λ＋(λ－3)·2²]＝4λ－12．因为a22＝a₁a₃，所以(2λ－6)²＝(4λ－6)(4λ－12)，解得λ＝1或λ＝3．若λ＝3，则S_n＝2λ是常数，不成立，故舍去，所以λ＝1，经检验符合题意．

4．(人A选必二P31练习T3改)在递增等比数列{a_n}中，a₁a₃＝36，a₂＋a₄＝60，则a₁＝__2__，q＝__3__．

【解析】 设递增等比数列{a_n}的公比为q．由等比数列的性质可得a₁a₃＝a22＝36．又a₂＋a₄＝a₂(1＋q²)＝60，所以a₂＞0，a₂＝6，所以1＋q²＝10，解得q＝±3．当q＝3时，由a₂＝a₁q＝6，解得a₁＝2；当q＝－3时，由a₂＝a₁q＝6，解得a₁＝－2，不满足递增等比数列的条件，舍去．综上，a₁＝2，q＝3．

5．记S_n为等比数列{a_n}的前n项和，若a₃＝4a₁，则S8S4＝__17__．

【解析】 设等比数列{a_n}的公比为q．由a₃＝4a₁，可得a₃＝4a₁＝a₁q²，即q²＝4，所以S8S4＝a11－q81－qa11－q41－q＝1＋q⁴＝1＋4²＝17．

聚焦知识

1．等比数列的通项公式

设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，则它的通项公式为a_n＝__a₁·q^n－1__，其推导方法是累乘法．

2．等比数列的前n项和公式

设等比数列{a_n}的公比为q(q≠0)，其前n项和为S_n，当q＝1时，S_n＝__na₁__；当q≠1时，S_n＝__a11－qn1－q＝a1－anq1－q__，其推导方法是错位相减法．

3．等比数列的性质

已知数列{a_n}是等比数列，S_n是其前n项和(m，n，p，t，r，k∈N^*)．

(1) 若m＋n＝p＋t＝2r，则a_m·a_n＝a_p·a_t＝a2r．

(2) 数列a_{m，am＋k，am＋2k，am＋3k，…}仍是等比数列．

(3) 数列S_m，S2m－S_m，S3m－S_2m，…仍是等比数列(此时{a_n}的公比q≠－1，或q＝－1且m为奇数)．

(4) 若{b_n}(与{a_n}项数相同)也是等比数列，则{λa_n}(λ≠0)，\f(1an))，{a2n}，{a_n·b_n}，\f(anbn))仍是等比数列．

(5) 若a_n＞0，则{log_aa_n}(a＞0且a≠1)是以log_aa₁为首项，log_aq为公差的等差数列．

(6) ∀m，p∈N^*，S_m＋p＝S_m＋q^mS_p．

(7) 若{a_n}共有2n项，则S偶S奇＝q，其中S_偶，S奇分别是数列{a_n}的偶数项和与奇数项和．

(8) 等比数列的单调性：当q＞1，a₁＞0或0＜q＜1，a₁＜0时，{a_n}是递增数列；当q＞1，a₁＜0或0＜q＜1，a₁＞0时，{a_n}是递减数列；当q＝1时，{a_n}是常数列．

4．常用结论

(1) 等比数列{a_n}的通项公式可以写成a_n＝cqⁿ，其中c≠0，q≠0．

(2) 等比数列{a_n}的前n项和S_n可以写成S_n＝Aqⁿ－A，其中A≠0，q≠1,0．

研题型　能力养成

举题说法

等比数列的基本量运算

例1　(1) (2024·南通一调)设{a_n}为等比数列，a₂＝2a₄＋3a₆，则a4－a7a2－a5＝(　B　)

A．19B．13

C．3D．9

【解析】 设等比数列{a_n}的公比为q．因为a₂＝2a₄＋3a₆，即a₂＝2a₂q²＋3a₂q⁴，所以1＝2q²＋3q⁴，解得q²＝13，则a4－a7a2－a5＝q²＝13．

(2) (2023·全国甲卷)设等比数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，若a₁＝1，S₅＝5S₃－4，则S₄＝(　C　)

A．158B．658

C．15D．40

【解析】设等比数列{a_n}的公比为q．方法一：因为S₅＝5S₃－4，a₁＝1，显

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