【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义微专题8空间几何体的外接球与内切球-夜雨聆风

【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义微专题8空间几何体的外接球与内切球

长方体切割体的外接球

例1　(1)(墙角模型)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为22，32，62，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为(　A　)

A．6π　B．26π

C．36π　D．46π

【解析】设AB，AC，AD的长分别为a，b，c，由题意得ab＝\r(236)，解得a＝\r(2b＝1，3).因为三条侧棱两两垂直，所以以a，b，c为棱长的长方体的体对角线长就是该三棱锥的外接球的直径，所以R＝12×2＋1＋3＝62，故所求外接球的体积为4π3×\a\vs4\al\co1(\f(\r(62)³＝6π．

(2) (鳖臑模型)(2024·汕头二模)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，则球O的表面积为(　D　)

A．10πB．25π

C．50πD．100π

【解析】三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA＝8，AC＝6，把三棱锥P－ABC补成一个长方体，如图所示，所以长方体的外接球即是三棱锥P－ABC的外接球．因为PA＝8，AC＝6，可得长方体的外接球的半径为R＝12×82＋62＝5，所以球O的表面积为S＝4π×5²＝100π．

(3) (对棱相等模型)已知在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，若沿对角线AC将△ABC折起到△ACB′的位置，使得B′D＝13，则此时三棱锥B′－ACD的外接球的体积是__196__．

【解析】如图(1)，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，则AC²＝AB²＋BC²－2AB·BC·cos 60°＝9＋16－12＝13，所以AC＝13．如图(2)，在三棱锥B′－ACD中，B′C＝AD＝4，B′A＝CD＝3，AC＝B′D＝13，故可将三棱锥B′－ACD补成一个长方体，如图(3)，则a2＋b2＝9，a2＋c2＝16，b2＋c2＝13，故2(a²＋b²＋c²)＝38．由题意可知三棱锥B′－ACD的外接球即为该长方体的外接球，设外接球的半径为r，则r＝a2＋b2＋c22＝192，故外接球的体积为196．