湖北圆创联盟2027届高三8月开学考数学 第5题 椭圆+三角函数 综合题 秒解

题目

已知椭圆 ， 为左右焦点， 是椭圆上一点，且 ，，则  的离心率为

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 

解法一：正弦定理（通用常规解法 ✅，推荐考场使用）

步骤 1：求  第三个内角

三角形内角和为 ：

步骤 2：对焦点三角形用正弦定理

在  中，正弦定理：

其中焦距 ，，代入：

得到：

步骤 3：利用椭圆定义

椭圆定义：椭圆上点到两焦点距离之和为 ，即

代入上面结果：

约去 2，整理离心率：

步骤 4：三角化简求值

，所以

利用辅助角公式：

所以：

解法二：直角三角形边角关系（秒解，仅限本题条件）

因为 ， 是直角三角形：

后续和解法一完全一致，代入椭圆定义计算 。

⚠️ 局限性：这个方法依赖三角形是直角三角形，如果题目角度变化，就不能直接用，通用性差。

解法对比

最优解法：解法一（正弦定理），它是解决焦点三角形的通用套路。

考点分析

1. 椭圆定义：，焦距 ，离心率 。
2. 焦点三角形：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，是高频考点，常和正、余弦定理结合。
3. 三角恒等变换：辅助角公式，特殊角 、 的化简。

解题 & 应试技巧

1. 椭圆求离心率，不需要算出  具体值，只需要找到  的等式求比值。
2. 焦点三角形套路：
• 已知角度 → 优先正弦定理；
• 已知边长 → 优先余弦定理；
• 永远记得椭圆定义：。
3. 遇到 、，优先用  做辅助角化简，减少根式运算。

最终答案

答案：C（）