高中数学|两个“最值”长得不一样,背后其实都是柯西不等式

同样是求最值，一题披着代数约束的外衣，一题直接写成向量点积，看起来几乎不是一类题。真正值得掌握的不是记住两套做法，而是看见“平方和约束+线性式”时，能迅速识别柯西不等式的结构，并且把等号条件一起盯住。

（1）实数x,y满足3x²+4y²=12，则的最小值是（　　）

A.−5　　B.−6　　C.3　　D.4

先把约束整理成“平方和等于1”的样子。

由

3x²+4y²=12

可得

现在目标式是。为了让它和前面的两个平方项对应，可以写成

再用二维形式的柯西不等式。

因为第一括号等于1，所以

也就是

最后一定要检查等号能不能取到。

柯西不等式取等号时，两组对应量成比例，即

等价于

当

时，既满足原约束，又有。因此最小值确实能够取得，为−5。

（2）设向量，向量，若x²+y²=16，则的最大值为__________。

先把点积写出来。

因为

所以

而x²+y²=16恰好给出了向量的长度：

直接使用柯西不等式的向量形式。

其中

因此

即

最大值对应两个向量同向。

当且k>0时取右端等号。结合，得到

此时

所以最大值为。

这两题真正共用的是同一个骨架：已知一个平方和，去控制一个线性组合。第一题把、看成一组量，把4、3看成另一组量；第二题则已经把同样的结构包装成了向量点积。形式不同，核心都是

(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²,

或者等价的向量写法

做柯西不等式求最值时，建议固定检查三件事：第一，能不能把条件整理成平方和；第二，目标式的系数怎样与平方项配对；第三，等号条件是否与原约束同时成立。只算出一个上下界，却没有验证等号能否取得，最值题就还没有真正做完。

素材还给出了常见变式

这里的等号条件要特别严谨：它实际上是对(|a|,|b|)与(|c|,|d|)使用柯西不等式，因此一般应写成|ad|=|bc|；若只写ad=bc，会漏掉两组分量符号相反但绝对值仍成比例的情形。公式会背只是起点，能把“何时取等号”说准确，才算真正吃透柯西不等式。