【数学思考】备课日记之除数是整数的小数除法:拨开算法表象,看见计数单位 “分—换 —再分” 的本质

最近，开始学习小数的除法了，它是小学数学“数与代数”领域的重要内容，是小学阶段“数与运算”中普遍认为最“难”的部分，当然也是发展运算能力的深入阶段。

它之所以难，就在运算过程中综合运用了小数点位置移动规律、商不变规律、估算策略、余数变化规律、两位数乘法、万以内数的减法等多项知识。其中，“除数是整数的小数除法”是沟通小数除法和整数除法的桥梁，使学生理解整数除法、小数除法在算法、算理上的共性，实现十进制计数法从整数领域向小数领域的延展运用。

史宁中教授认为，除法运算的一致性表现在计数单位与计数单位相除，计数单位的个数与计数单位的个数相除。小数除法的算理与算法，可以从整数除法进行推演。他认为小数除法运算可以概括为“披着小数外衣的整数除法运算”。

从小数意义的角度看，小数除法运算是将个位上的计数单位“1”借助十进制的核心思想进行继续运作的过程，这种运作直接体现就是计数单位的逐步细分。从除法意义的角度看，小数除法包括除数是整数的小数除法和除数是小数的小数除法。从运算性质的角度看，除数是小数的小数除法本质是借助商不变性质下的计数单位的同步转换的过程。

由此可见，小数除法的教学应立足凸显小数除法的核心本质，计数单位的逐步细分过程。在“除数是整数的小数除法”一课中，新教材的不同版本给的情境和学习素材不同，但都是基于儿童立场，从真实可感的生活情境出发。都是和“价钱”有关，基于“元角分”小数意义的学习背景。

沪教版教材也是如此，在开篇就有买书的情境，用到的数据就说97÷4，也是从整数除以整数引入，最终剩余的1元该如何分呢？这个数据应该源于吴正宪老师的经典课例。通过这个活动自然引出“现实生活中，我们经常用小数来表示除法计算的结果”，进而进入小数除法的学习，也打破学生原有整数除以整数等于整数的惯性思维。

书本中的例1和“价钱有关”，求每包纸巾的价格？列式为15.6÷6。学生能够想到什么方法呢？

首先可以进行估算，12÷6=2，18÷6=3，每包纸巾的价格大约为2元与3元之间。那自主尝试一下，具体有哪些方法呢？

单位换算的方法。由于学生有了小数乘法的经验，学生已经熟悉了用单位换算的方法。

这位同学运用了被除数、除数、商的变化规律来移动小数点的位置，推理出商是2.6的。

这位同学用递等式的方法来进行计算，其实本质也是把15.6先转换156。

这位同学利用小数的组成将15.6换为156个0.1，然后再进行计算。

还有同学用到了竖式的方法。

这位同学是把15.6除以6先看成整数除法156➗6，按整数除法的方法进行竖式计算，然后在2和6之间点上小数点。

这里给学生自主探索的空间，学生从多个角度解决了这个问题。这么多方法观察一下，有什么共同点？显然都是把小数除法转化成整数除法。学生们也发现这里的方法，其实都有156➗6这一步。

那为什么商的小数点在2和6之间呢？为什么要点在这？这样写小数除法竖式的道理又是什么呢？竖式的过程中为什么没有小数点？等问题我们需要弄清楚，为下节课继续对小数除法算理的深入探究。

其实，这里小数除以整数的竖式计算步骤和整数除法基本相同，唯一不同就是要确定商中小数点的位置。当然，书本中给的思考过程也挺好，让学生去理解“分—换—再分”的过程。

这里的“3”表示3个一，不够分，此时可以“换”为30个0.1，再和6个0.1合起来就是“36”个0.1，又可以继续分，所以分到的是6个0.1。

这里可以拿15.6÷6和156÷6进行对比。其实分的都是计数单位的个数，只是计数单位不同。在整数除法竖式中，3个十不够分，换为30个一，再和6个一合起来为36个一，继续分。可见，都有两次“分”，一次“换”的过程。

书本中其实缺少了一些直观模型来支撑学生的认识和理解，所以可以提供一些直观学具帮助学生进一步明确竖式中每一步计算的道理，体会除法就是在平均分计数单位的个数。

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